L'encyclopédie des Sciences
  1ere S et ES
 
Polynôme - définitions
Un monôme est une expression de la forme : axn ou a est un nombre réel (ou un nombre complexe ) et n un entier naturel : le nombre a est appelé coefficient du monôme et le nombre n est appelé le degré du monôme.
  • 3x² est un monôme du second degré et de coefficient 3
  • -2x -1 n'est pas un monôme
  • 3 = 3x0 est un monôme de degré 0 et de coefficient 3
Une somme de plusieurs monômes est un polynôme.
  • 3 - 5x + 7 est un polynôme du second degré
  • -x3 + 4x - 9 est un polynôme du 3 ème degré
  • 2x + 1 est un polynôme du 1 er degré
  • 3 est un polynôme de degré 0
  • Par convention 0 est le polynôme nul (qui n'a pas de degré ou par convention - )
  • Le polynôme particulier x est appelée indéterminée

Un polynôme dont le coefficient du monôme de plus haut degré est 1 est appelé polynôme unitaire ou normalisé
exemples : x² + 3x - 5 ; x3 - 5x² + 7

Au niveau lycée, surtout on ne fait pas trop de distinction entre polynôme et fonction polynôme :

  • est un polynôme
  • la fonction p définie sur par p(x) =
    est la fonction polynôme associée.

Remarque : Au niveau lycée, on étudie essentiellement des polynômes ou les coefficients sont des réels, éventuellement des complexes, mais on peut trés bien définir un polynôme sur tout autre corps commutatif K.

  • L'ensemble des polynômes à coefficients réels est noté [X]
  • L'ensemble des polynômes à coefficients complexes est
    noté [X]

Méthode de factorisation connaissant une racine
Méthode : si a est une racine du polynôme p(x) 
 (autrement dit p(a) = 0) on peut mettre le polynôme sous la forme d'un produit dont (x - a) est l'un des facteurs.
Exemple : 
Soit le polynôme
p(2) = 8 + 6 - 14 = 0, donc le nombre 2 est une racine de p(x) on en déduit que p(x) peut se mettre sous la forme d'un produit 
p(x) = (x - 2
)q(x) ou q(x) est un polynôme du premier degré.

Il faut déterminer q(x), comme ici q(x) est un polynôme du premier degré, q(x) = ax + b , il faut donc trouver a et b.
On a donc : 

On procède par identification :

les 2 polynômes sont égaux donc leurs coefficients sont égaux :

ce qui permet de déterminer les coefficients a et b du polynôme
p(x) : a = 2 et b = -7

Conclusion p(x) = (x - 2)(2x + 7)


Polynôme du second degré  : ax² + bx + c
1) - Différentes formes d'un polynôme du second degré
Un polynôme du second degré peut être mis sous plusieurs formes : 
le polynôme p(x) = x² - 6x + 5 est sous la forme développée, mais il peut être mis sous la forme 
- canonique  : x² - 6x + 5 = x² - 6x + 9 - 4 = (x - 3)² - 4 
- factorisée (x - 3)² - 4 = (x - 3 - 2)(x - 3 + 2) = (x - 5)(x - 1)  
3 formes courantes pour un polynôme du second degré :
-
Forme développée : ax² + bx + c ( où a,b,c sont des réels).
- Forme canonique :  la variable x n'apparaît qu'une seule fois.
-
Forme factorisée : le polynôme est sous forme d'un produit de  facteurs du premier degré.
Un polynôme du second degré peut toujours se mettre sous les 2 formes : développée et canonique. ( voir démonstration)
Pour passer d'une forme à l'autre il faut quelques bases en calcul littéral.
2) - Forme canonique et racines d'un polynôme du second degré .
En mettant un polynôme du second degré sous la forme canonique, trois cas peuvent se produirent exemple :
1 er cas  Le polynôme 4x² + 4x + 9 = 4x² + 4x + 1 + 8 = (2x + 1)² + 8
la dernière expression obtenue est la forme canonique de ce polynôme. 
On remarque que sa forme canonique est une somme de 2 nombres
positifs (dont l'un est strictement positif) : (2x + 1)² et 8. Donc il ne peut pas s'annuler quelque soit la valeur de x. 
(autrement dit il n'a pas de racines réelles)
2 ème cas  Le polynôme x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Ici, la forme canonique et la forme factorisée correspondent.
La seule valeur pouvant annuler (x + 3)² est - 3.
(autrement dit une seule racine)
3 ème cas  Le polynôme x² + 2x - 3 = x² + 2x + 1 - 4 = (x + 1)² - 4
La forme canonique de se polynôme est de la forme a² - b² .
Le polynôme peut donc être factorisé.
(x + 1)² - 4 = (x + 1 - 2)(x + 1 + 2)  = (x - 1)(x + 3)
l'équation (x - 1)(x + 3) = 0 admet 2 solutions 1 et -3.
( autrement dit 2 racines )
Quelque soit le polynôme du second degré choisi, la forme canonique sera soit une différence de 2 carrés, soit une somme de deux nombres positifs, soit un carré à un coefficient réel prés.
Conclusion : ( dans l'ensemble des nombres réels ) un polynôme du second degré peut admettre soit aucune racine , soit une racine, soit 2 racines
3) - Discriminant d'un polynôme du second degré
Visualisation avec Applet Geogebra
Dans le cas général on trouve pour la forme canonique d'un polynôme du second degré ax² + bx + c :
Forme canonique
ou le nombre D
= b² - 4ac appelé discriminant du polynôme 
ax² + bx + c joue un rôle important pour la recherche des racines.

- Si
D < 0, à l'intérieur des crochets de la forme canonique on trouve une  somme de 2 nombres positifs dont l'un est strictement positif, ax² + bx + c n' a pas de racines réelles (ne pouvant pas s'annuler) .

- Si 
D = 0 , la forme canonique est réduite à :
forme canonique réduite
 donc une seule racine : x0= - b/2a pour ax² + bx + c.
- Si 
D > 0 , à l'intérieur des crochets de la forme canonique on trouve une différence de 2 carrés.
On obtient après avoir factorisé (A² -  B² = (A - B)(A + B)) les 2 racines du polynômes 
4) propriétés des racines d'un polynôme du second degré
Dans le cas ou le polynôme ax² + bx + c admet deux racines x1 et x2
en posant S
= x1 +  x2  et P = x1x2  la somme et le produit des racines 
On obtient une relation entre S, P, a, b, c :
le produit et la somme des deux racines sont calculables à partir des coefficient de ax² + bx + c 
Si on connaît le produit et la somme de deux nombres réels, on peut en déduire que ces nombres sont solutions de l'équation 
x² - Sx + P = 0.

uites numériques
Une suite est une fonction numérique dont l'ensemble de définition est . Comment différentier une suite u  (on note ) aussi d'une fonction f  :  ou une partie I de
  • Différence au niveau de la notation
La notation f(x) est remplacée par la notation indicielle un           ( généralement on utilise les lettres u,v,w pour les suites )
  • Différence au niveau du vocabulaire 
Fonction :  f(3) = 4 se lit " l'image de 3 par la fonction f est 4 " ou " 4 est l'image de 3 par f "
Suite : u3 = 4 se lit " le terme d'ordre 3 de la suite u est 4 " ou " 4 est le terme d'ordre 3 de la suite u "
L'expression de un en fonction de n est appelé terme général de la suite ( équivalent de f(x)  pour la fonction f ).
  • Différence dans la façon d'aborder certaines notions

On étudie le comportement d'une suite uniquement en +, puisqu'une suite est toujours définie sur une partie de . Etudier une limite quand n tend vers une valeur entière n'a pas de sens puisque on ne peut plus " s'approcher " de cette valeur aussi près que l'on veut.
La dérivée d'une suite n'a donc pas de sens non plus.

Différentes définitions d'une suite 
Une suite peut être définie de la même façon qu'une fonction c'est à dire par son ensemble de définition ( partie de ) et son terme général un ou bien par récurrence c'est à dire par une relation liant deux termes consécutifs quelconques de la suite et par la connaissance de son terme initial.
Exemple : la suites est définie ci-dessous sont de deux façons, explicitement comme une fonction et par récurrence
définie par :    
définie par  :

ariation d'une suite
Sens de variation
  • on dit que la suite est croissante sur si : pour tout entier naturel n : un   un+1
  • on dit que la suite est strictement croissante sur si : pour tout entier naturel n : un < un+1
  • on dit que la suite est décroissante sur si : pour tout entier naturel n : un un+1
  • on dit que la suite est strictement décroissante sur si : pour tout entier naturel n :      un > un+1
En pratique : on étudie le signe de la différence un+1 - un ou ou bien dans certains cas on compare les nombres 1 et le quotient :

 

Si la suite est décroissante ou croissante on dit qu'elle est monotone, si elle est strictement croissante ou strictement décroissante, on dit qu'elle est strictement monotone.

Suite majorée, suite minorée, suite bornée
Une suite numérique est majorée , si il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n : un 
M est alors un majorant de la suite
Une suite numérique est minorée , si il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n : un 
m est alors minorant de la suite
une suite numérique est bornée si et seulement si elle est minorée et majorée à la fois.
propriétés : 
  • Toute suite croissante et majorée est convergente.
  • Toute suite décroissante et minorée est convergente.
  • Toute suite monotone et non bornée est divergente.

Suites arithmétiques
Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r ( c'est une définition par récurrence
Pour tout entier naturel n : un+1 = un+ r
Remarque : pour démontrer qu'une suite est arithmétique il faut prouver pour tout entier naturel n l'égalité un+1 - un = constante .
Cette définition n'est pas pratique pour calculer par exemple le 30 ème terme si on connaît le troisième terme u2 de la suite, en effet il faut calculer u3 , puis u4, ....... et de proche en proche "arriver " jusqu'à u28          (     29 ème terme )
Expression de un en fonction de u0 et de n 

On peut d'après la définition écrire les n égalités, en additionnant membre à membre ces n égalités, on obtient après  simplification la relation : 

        

Remarques : en fait toute suite explicitement définie par un = an + b ( ou a et b sont deux réels fixés ) est une suite arithmétique de premier terme u0 = b et de raison a. On peut voir aussi la suite arithmétique comme la restriction à de la fonction affine f définie par f(x) = ax + b
Cette dernière expression peut être généralisée en remplaçant u0 par n'importe quel terme up de la suite.

On peut comprendre aussi cette formule de cette façon :
Variation et convergence 
  • Si r = 0,  la suite est constante ( stationnaire à partir de n = 0)
  • Si r > 0 , la suite est strictement croissante puisque pour tout n entier naturel on a un+1 - un = r > 0 et :

 

  • Si r < 0, la suite est strictement décroissante puisque pour tout n entier naturel on a                  un+1 - un = r < 0  et on a  :

Somme des  n+1 premiers termes de la suite
Soit S la somme des n + 1 premiers termes de la suite arithmétique

Exprimons les nombres un + u0 ,un-1 + u1 ,un-2 + u2.... en fonction de n et de u
On trouve le même résultat ( ce qui est normal si on réfléchit un peu, puisque si on retire r d'un côté on l'ajoute de l'autre ) , on peut donc dire que :
Calculons S en utilisant cette propriété :
On en déduit l'égalité suivante plus facile à retenir et appliquer :

Suites géométriques
Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre réel constant non nul q ( c'est une définition par récurrence
Pour tout entier naturel n : un+1 = q un 
Remarque : pour démontrer qu'une suite est géométrique, il faut prouver pour tout entier naturel n l'égalité un+1 = q un et si un est non nul quelque soit n,  il suffit de prouver que :

 

ou q est un réel constant.

Cette définition n'est pas pratique pour calculer par exemple le 30 ème terme si on connaît le troisième terme u2 de la suite, en effet il faut calculer u3 , puis u4, ....... et de proche en proche "arriver " jusqu'à u28          (     29 ème terme )
Expression de un en fonction de u0 et de n 

On peut d'après la définition écrire les n égalités, en multipliant membre à membre ces n égalités, on obtient après  simplification la relation : 

        

Remarques : en fait toute suite explicitement définie par un = ban  ( ou a et b sont deux réels fixés ) est une suite géométrique de premier terme u0 = b et de raison a. 
Cette dernière expression peut être généralisée en remplaçant u0 par n'importe quel terme up de la suite.

On peut comprendre aussi cette formule de cette façon :
Variation 
  • Si   q = 1 ou u0 = 0,  la suite est constante ( stationnaire à partir de n = 0)
  • Si   q > 1 et  u0 > 0 , la suite est strictement croissante puisque pour tout n entier naturel on a un+1 - un > 0.
  • Si  q > 1 et u0 < 0 , la suite est strictement croissante puisque pour tout n entier naturel on a  un+1 - un < 0
  • Si  0 < q < 1 et u0 > 0 , la suite est strictement croissante puisque pour tout n entier naturel on a  un+1 - un < 0
  • Si  0 < q < 1 et u0 < 0 , la suite est strictement croissante puisque pour tout n entier naturel on a  un+1 - un > 0
  • Si q < 0 , la suite est alternée 
Convergence
  • Si q = 1 la suite est constante donc convergente. 
  • Si |q|< 1, la suite est convergente  et converge vers 0.
  • Si |q|> 1, la suite est divergente.
Essayez vous même sur des exemples en choisissant le 

premier terme u

   = et la raison q = de 
la suite et en cliquant plusieurs fois de , vous verrez l'évolution des termes de la suite.
Somme des  n+1 premiers termes de la suite
Soit S la somme des n + 1 premiers termes de la suite géométrique
Exprimons S, puis qS en fonction de u0 , q  et n : 
En mettant en facteur q dans le premier membre de l'égalité et u0 dans le second membre, on obtient :
Puis : 

On retient plutôt la formule : 

C
onvergence d'une suite numérique Définition : on dit que la suite si et seulement si :

En clair , on peut rendre un
converge vers 0 , ou que la suite a pour limite quand n tend vers + aussi proche de 0 que l'on veut, il suffit pour cela de choisir n suffisamment grand
on note :




S
uites divergentes Une suite divergente est par définition une suite non convergente, il y a plusieurs type de divergence.

-Un exemple de suites divergentes
Les suites tendant vers l'infini

soit une suite, on dit que
un tend vers + quand n tend vers + si et seulement si :


En clair , on peut rendre un
aussi grand que l'on veut, il suffit pour cela de choisir n suffisamment grand
On note :


Opérations sur les fonctions
Égalité de deux fonctions 

Deux fonctions f et g d'ensembles de définition respectifs Df et Dg sont égales si : 

  • Df = Dg    et
  • Pour tout réel x de Df , f(x) = g(x)

On note alors f = g

Opérations sur les fonctions

Soit f et g 2 fonctions d'ensembles de définition respectifs Df et Dg tels que  D Dg ( intersection non vide )

Somme de deux fonctions

Par définition la fonction qui à tout réel x de  D Dg  associe le réel f(x) + g(x) est appelée la somme des fonctions f et g et est notée f + g :

Pour tout réel x de  D Dg 

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

'ensemble de définition d'une somme de fonction)

Produit d'une fonction par un nombre réel  k

Par définition la fonction qui à tout réel x de  D associe le réel k f(x) est produit de la fonction f par le réel k et est notée k f :

Pour tout réel x de  D

( k f )(x) = k f(x) 

 

Remarque :  pour k = -1, la courbe représentative de de -f est obtenue à partir de la courbe représentative de f par la réflexion d'axe l'axe des abscisses.
De la même façon on définie : 
le produit de deux fonctions f et g comme étant la fonction qui à tout réel x de  D Dg  associe le réel f(x) g(x) que l'on note  f g : Pour tout réel x de  D Dg  (f g)(x) = f(x) g(x)
(ensemble de définition d'un produit de fonctions)
l'inverse d'une fonction g comme étant la fonction qui à tout réel x de Dg tel que g(x) 0 associe le réel 1/g(x) que l'on note  1/g 
le quotient de deux fonctions f par g comme étant la fonction qui à tout réel x de D Dg tel que g(x) 0 associe le réel f(x)/g(x) que l'on note  f/g.
( ensemble de définition d'un quotient de fonctions)
Composée de deux fonctions f suivie de g notée :  g o f
La fonction g o f ( fonction composée de f suivie de g ) la fonction fabriquée de la manière suivante : 
  • si f(x) Dg  , on dit que (g o f ) (x) = g(f(x))
  • si f(x) Dg  , x n'a pas d'image par g o f

Exemple , si f définie sur par f(x) = x - 1 et g définie sur [0 ; +[ par g(x) = alors g o f  est définie sur ]-; -1] [1 ; +[ ( il faut que f(x) [0 ; +[ ) par g o f (x) = g(f(x)) = 

Inversement si h est définie sur ]-; -1] [1 ; +[ par h(x) =
on peut décomposer en h en g o f avec les définitions précédentes.


Fonction dérivée 
La fonction dérivée a de multiples applications, comme la recherche de variations d'une fonction, le calcul de coefficient directeur d'une tangente de la courbe représentative d'une fonction, la recherche de primitive d'une fonction etc...
Avant de définir exactement la fonction dérivée, essayez de comprendre sur plusieurs activités ses applications.

1) Approche : nombre dérivé ( télécharger l'activité d'approche en .doc )
-----> activité d'approche
f est une fonction et Df son ensemble de définition, Cf sa courbe représentative.
on appelle nombre dérivé en a la limite quand h tend vers 0 (si elle existe) du nombre :


On a :

Si vous ne comprenez, pas cliquez
interprétation graphique : Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a ( si il existe ) est le nombre réel f '(a)

Position limite d'une sécante

Exemple : pour la fonction f définie sur IR par f(x) = x²

On trouve que le coefficient directeur de la droite (AM) est égal à : 

(2ah + h²) / h ,ce qui donne pour  h différent de 0 : 2a + h.

Cette quantité tend vers 2a quand h tend vers 0

donc f '(a) = 2a.

Voir l'applet Geogebra pour comprendre

2) Fonction dérivée ( voir l'applet geogebra pour comprendre )

Soit f une fonction définie sur une intervalle I et dérivable en tout point a de I, la fonction qui à tout réel a de I associe le réel f '( a) est appelée fonction dérivée de f sur I et noté f '.


1.3)   Les méthode pour dériver.

Pour déterminer si une fonction f est dérivable en un point x0, il y a trois cheminements possibles :

  1. Première méthode:

    On peut essayer de déterminer la limite lorsque x tend vers  x0 du quotient  .

    C'est la définition du nombre dérivé.
    C'est ce qui a été fait avec le premier exemple du paragraphe précédent.
     

  2. Seconde méthode:

    On peut aussi d&eacut;terminer la limite lorsque h tend vers 0 du quotient .

2)  Fonction dérivée .       retour

 

2.1)   Définition:

Définition:
f est une fonction dérivable sur un ensemble I .

La fonction dérivée de la fonction f est la fonction notée f' et définie pour tout réel x de I par :

f' : x ®  Nombre dérivé de f en x






3) Opérations sur les dérivées:       retour


3.1)  Dérivée d'une fonction par un scalaire


Théorème:
On suppose que u est une fonction dérivable en x.

l est un nombre réel.
Si ces conditions sont remplies alors :

  • La fonction  l.u  est dérivable en x.

  • Le nombre dérivé au point x de la fonction l.u  est égal au produit de l  et du nombre dérivé de u au point x.


En résumé:

(l.u)' (x) = l . u'(x)

Exemple:
Déterminons la dérivée de la fonction f(x) = 7.x5.
La dérivée de la fonction x5 est égale à  5.x4 . D'où :

f'(x) = (7.x5)' = 7 . (x5)' = 7 . (5.x4) = 35.x4

 

  3.2)   Dérivée d'une somme.

Théorème:
u et v sont deux fonctions dérivables en x.
Si ces deux conditions sont remplies alors :

  • La fonction  u + v est dérivable en x.

  • Le nombre dérivé au point x de la somme u + v est la somme des nombres dérivés de u et v au point x.

En résumé:

(u + v)' (x) = u'(x) + v'(x)

La preuve

Exemple:
Déterminons la dérivée de la fonction f(x) = 7.x3 - 3.x2 + 3.
Les dérivées des fonctions x3, x2 et 3 sont respectivement 3.x2, 2.x et 0.
Ainsi :

f '(x)

= (7.x3 - 3.x2 + 3)'
= (7.x3)' - (3.x2)' + (3)'
= 7 . (x3)' - 3 . (x2)' + (3)'
= 7 . (3.x2) - 3 . (2.x) + 0
= 21.x2 - 6.x


3.3)  Dérivée d'un produit.

Théorème:
u et v sont deux fonctions dérivables en x.
Si ces deux conditions sont remplies alors :

  • La fonction u.v est dérivable en x.

  • Le nombre dérivé au point x du produit u.v est égal à  u(x) . v'(x) + u'(x) . v(x).

En résumé:

(u.v)' (x) = u(x) . v'(x) + u'(x) . v(x)

La preuve

Exemple:
Déterminons la dérivée de la fonction  f(x) = (x3 - x +1) . (x2 - 1).
La fonction f est le produit des fonctions :

  • u(x) = x3 - x +1  dont la dérivée est 3.x2 - 1.
  • v(x) = x2 - 1  dont la dérivée est 2.x.

On peut donc écrire que :

f '(x)

= u(x) . v'(x) + u'(x) . v(x)
= (x3 - x +1) . (2.x) + (x2 - 1) . (3.x2 - 1)
= 2.x4 - 2.x2 + 2.x + 3.x4 - x2 - 3.x2 + 1
= 5.x4 - 6.x2 + 2.x + 1 

 

3.4)   Dérivée de l'inverse d'une fonction .

Théorème:
u est une fonction dérivable en x. On suppose également que u(x) est non nul.
Si ces deux conditions sont remplies alors :

  • La fonction 1/u est dérivable en x.

  • Le nombre dérivé au point x de 1/u est égal à .

En résumé:

La preuve

Exemple:
Déterminons la dérivée de la fonction
f(x) =
Cette fonction est l'inverse de la fonction  u(x) = x2 + 1 dont la dérivée est 2.x.
Ainsi :

 

3.5)   Dérivée d'un quotient .

"
Diviser revient à multiplier par l'inverse".

Théorème:
u et v sont deux fonctions dérivables en x. On suppose également que v(x) est non nul.
Si ces trois conditions sont vérifiées alors :

  • La fonction  u/v  est dérivable en x.

  • Le nombre dérivé au point x du quotient u/v est égal à  .

En résumé:

La preuve

Exemple:
Déterminons la dérivée de la fonction f(x) = .
La fonction f est le produit des fonctions :

  • u(x) = 2.x +1  dont la dérivée est 2.
  • v(x) = x2 + 1  dont la dérivée est 2.x.

On peut donc écrire que :

 




4) Dérivées des fonctions usuelles:       retour

  • Les fonctions puissances
  • .

    Ce sont les puissances de x avec lesquelles on écrit les polynômes.
    Ces fonctions sont définies et dérivables sur ]-infini ; +infini [.


Fonction Dérivée Ensemble de dérivation Annexe
k 0 La dérivée de  f(x) = 3
est  f'(x) = 0.
x 1 La preuve
x2 2.x La preuve
x3 3.x2 La preuve
xn n . xn-1 La preuve


  • Les fonctions inverses et racine.


  • Ces fonctions sont les inverses des fonctions puissances.

    Et comme ces premières, elles sont dérivables sur leur intervalle de définition.
    Sauf la fonction racine(x) qui n'est pas dérivable en 0.


Fonction Dérivée Ensemble de dérivation Annexe
La preuve
La preuve
La preuve

n'est pas dérivable en 0.
La preuve


  • Les fonctions trigonométriques.


  • Les fonctions trigonométriques sont les fonctions sinus, cosinus et tangente.
    Ces fonctions sont dérivables sur leur domaine de définition.

Fonction Dérivée Ensemble de dérivation Annexe
sin(x) cos(x) La preuve
cos(x) -sin(x) La preuve
tan(x)
Là où tangente est définie.
La preuve

 


5) Dérivées et tangentes:       retour

4.1)   Définition:

La tangente à une courbe en un point A est la droite "limite" (AB) lorsque le point B se rapproche indéfiniment du point A tout en restant sur la courbe.

Lorsque le point B se rapproche du point A, la droite (AB) se "rapproche" de la tangente à la courbe en A.
Donc la pente de la droite (AB) tend vers la pente de la tangente.

Or le coefficient directeur (ou pente) de la droite (AB) est égal à :

 

Donc, la pente de la tangente à la courbe en A peut être vue comme étant la limite lorsque xB tend vers xA du quotient .

En résumé :

point B point A
droite (AB) tangente en A
pente de la tangente en A

Conclusion:



5.2  Equation de la tangente:

 

Théorème:
Si la fonction f est dérivable en
x0  alors  la courbe de la fonction f admet au point M(x0 ; f(x0)) une tangente dont l'équation réduite est :

y = f'(x0) . (x - x0) + f(x0

Exemple:
Déterminons l'équation réduite de la tangente dans le cas de notre premier exemple.

Cette fonction f est définie par :
f(x) = 2.x2 + 1
Déterminons l'équation de la tangente D à sa courbe en 
x0
= 1.

Nous savons déjà que :

f(1) = 3        f'(1) = 4.
L'équation réduite de la droite D est donc :

y
y
y
= f'(x0) . (x - x0) + f(x0)
= 4 . (x -1) + 3
= 4.x - 1.


1 Méthodes

 

retour


Il existe plusieurs méthodes pour déterminer la limite d'une fonction f en ou en 0. Si on n'a aucune idée de la limite à trouver, on peut s'aider de la représentation graphique ou d'une calculatrice

1.1 L'expression conjuguée

 

retour


Il faut utiliser cette méthode lorsque l'on est en présence d'une racine carrée car on peut alors utiliser les identités remarquables afin de simplifier l'expression.

Exemple: Soit

Déterminer la limite de f en 0. Tout d'abord, il faut déterminer l'ensemble de définition de f et voir si 0 appartient à cet ensemble.

Alors, en multipliant par l'expression conjuguée, on obtient

On utilise ensuite un encadrement pour utiliser le théorème de comparaison.



1.2 La factorisation

 

retour


Cette méthode doit être utilisée quand la factorisation d'une fonction rationnelle semble évidente (identité remarquable, racine...).

CAS PARTICULIER :


Pour cela, on met en facteur ce qu'on pense qui tend le plus rapidement vers l'infini (c'est-à-dire le terme de plus haut degré).

On met en facteur le terme de plus haut degré au dénominateur et au numérateur :



1.3 Autres méthodes

 

retour


  1. On peut encadrer f par deux fonctions g et h admettant la même limite l en un certain point, puis on utilise le théorème des gendarmes.
  2. On peut utiliser les opérations sur les limites.
  3. On peut, lorsque l'énoncé donne la limite l à obtenir, majorer par une fonction connue de limite nulle. Dans ce cas, il ne faut jamais oublier la valeur absolue et il ne faut la retirer que lorsque le signe de f(x)-l est connu.

2 Opérations sur les limites

 

retour



2.1 Somme

 

retour



2.2 Produit

 

retour



2.3 Quotient

 

retour


Les énoncés des opérations sur les limites sont faciles à retenir car il suffit de savoir qu'il y a indéterminations dans les 4 cas suivants:

On les traite par factorisation ou par l'expression conjuguée.


3 Asymptotes

 

retour



3.1 Asymptote verticale

 

retour



3.2 Asymptote horizontale

 

retour



3.3 Asymptote oblique

 

retour


Il y a asymptote oblique si et seulement si on peut trouver deux constantes a et b et une fonction g (souvent données dans le texte) telles que f(x)=ax+b+g(x)

Exemple de fonction acceptant une asymptote oblique : f(x)=(2x^2+1)/(x+1)



Ensembles
Un ensemble est une "collection" de plusieurs objets de même nature ou de nature différente, on peut considèrer par exemple les éléves d'une classe comme des éléments de l'ensemble classe.
Un ensemble peut être :
  • vide si il ne possède aucun éléments on le note
  • fini dans le cas ou on peut compter ses éléments.
    (infini dans le cas contraire )
  • booléen si il contient comme seuls éléments 0 et 1 ( faux ou vrai )

Notations et définitions :
- Si un élément a appartient à un ensemble A, on note : a A ce qui se traduit par " a est un élément de A " ou bien a appartient à A" , si un élément x n'appartient pas à A on note : x A .
- Si un ensemble A est tel que tous ses éléments appartiennent à un ensemble B on dit dans ce cas que l'ensemble A est inclu dans B et on note : AB, on dit aussi que A est un sous ensemble de B.

Pour définir les différentes opérations sur les ensembles, choisissons un ensemble de référence que l'on notera , le nombre des éléments d'un ensemble E fini est appelé cardinal de E et note card E

Soit l'ensemble des individus 

card =17

 

 

Soit A l'ensemble des individus portant un pull bleu

Soit B l'ensemble des individus portant un pantalon rouge

card A = 10, card B = 9

Intersection   ( que l'on lit A inter B) est ici l'ensemble des individus appartenant à la fois à A et à B, c'est à dire l'ensemble des individus ayant à la fois un pull bleu et un pantalon rouge

card voir des exemples = 5 
Quand deux ensembles ont une intersection vide on dit qu'ils sont disjoints.
En savoir davantage ...

L'union ou la réunion voir des exemples( que l'on lit A union B) est l'ensemble des individus appartenant à A ou à B, c'est à dire l'ensemble des individus ayant un pull bleu ou un pantalon rouge est noté:

card voir des exemples = 14

En savoir davantage...

L'ensemble des individus de n'appartenant pas à A est noté A ( on l'appelle complémentaire  de  A)

card A = 7

En savoir davantage

Une partition d'un ensemble A est une famille d'ensemble A1, A2, A3,..., An telle que :

robabilité sur un ensemble fini
Activités d'approche : Activité 1, Activité 2.
Soit un univers fini  = {1, 2, ....n} a n élément.
Un probabilité sur l'univers est une application p de l'ensemble des parties de à valeur dans l'intervalle [0 ;1] telle que :
  • p() = 0
  • p({1}) + p({2}) + p({3}) +...+p({n}) = 1  ( la somme des probabilités des événements élémentaires qui composent  est égale à 1 )
  • l'image de tout événement A non vide est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent ( dont il est la réunion ).

ropriétés d'une probabilité Soient P une probabilité sur un univers , A, B deux événements alors :

P(A B ) = P(A) + P(B) - P(A B )
Si A et B sont incompatibles : P(A B ) = P(A) + P(B)
P( ) + P(A) = 1
P( ) = 1
P( ) = 0


Equiprobabilité
Définition : il y a équiprobabilité ( ou probabilité uniforme ) si et seulement tous les événements ont la même probabilité. 
Probabilité d'un événement élémentaire
Dans le cas d'un univers fini
la probabilité d'un événement élémentaire { } quelconque est de :
Probabilité d'un événement 
Pour tout événement A ( relativement bien sur à l'univers , la probabilité de A est :
 
Remarque importante : dans le cas de l'équiprobabilité la détermination d'une probabilité se ramène à des problèmes de dénombrements
Exemple : on lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On s'intérresse à la probabilité de l'évènement :
A : " le numéro de la face supérieure est multiple de 3 "
A = {3 ; 6}
card A = 2
card = 6
P(A) = 2/6 = 1/3

Séries statistiques à une variable
Activité d'approche
La statistique étudie certaines caractéristiques : caractères ou variables d'un ensemble fini  : population. Les éléments de cette population étudiée sont appelés alors individus.
Une variable peut être :
  • Quantitative : numérique et fait l'objet de calcul  ( age, taille, poids, notes, nombres d'heures etc ...)
  • Qualitative : c'est le contraire de quantitative, mais la variable peut très bien être numérique.
  • Discrète : si la variable ne prends qu'un nombre fini de valeurs (ces valeurs sont appelées modalités et notées xi ) .
  • Continue : si la variable prends ses valeurs dans un intervalle ( classe )
Exemple : supposons que l'on veut faire une étude statistique sur les 50 notes attribuées par un jury à un examen.
On dispose pour cette étude de la liste des notes obtenues :

On peut regrouper ces notes par ordre croissant :
0,1,1,2,2,3,3,3 ....., et construire le tableau suivant :
( dans ce cas la distribution est discrète )

Ou bien regrouper ces notes par intervalle ( classe ) :
( dans ce cas la distribution est continue )
Exemple de regroupement par classe :

Quelques définitions
L'
effectif d'une classe ou d'une modalité est alors le nombre d'individu de  cette classe ou de cette modalité. Généralement on note ni est l'effectif de la classe n°  i ( ou de la modalité xi ).
Exemple : ici l'effectif de première classe est 10

L'effectif total est la somme des effectifs de toutes les classes noté souvent N;
on a N =
n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 10 + 8 + 12 + 11 + 9 = 50 .
En utilisant la notation sigma : ( hors programme collège )

La fréquence fi de la classes i ou de la modalité xi est le rapport fi/N , la fréquence d'une classe est un nombre de l'intervalle [0 ;1]
Exemple : ici la fréquence de la première classe est 10/50 soit 0,5

L'effectif cumulé d'une modalité est la somme des effectifs des modalités qui lui sont inférieures ou égales 

La fréquence cumulé d'une modalité est la somme des fréquences des modalités qui lui sont inférieures ou égales 

Dans le cas "variable discrète" on obtient :
  • 3 personnes ont une note inférieure ou égale à 1
  • 15 personnes ont une note inférieure ou égale à 6
  • 47 personnes ont une note inférieure ou égale à 18
  • etc...
Dans le cas "variable continue" on obtient :
Paramètres statistiques d'une série statistique simple :

ariance et écart-type
Pour calculer la variance d'une série statistique on utilise la formule :
Pour calculer la variance , il faut  calculer d'abord la moyenne , la variance peut être calculer aussi en utilisant la formule :



Démonstration :

L'écart-type est le nombre noté tel que .
 

Propriété de l'écart type :

  • Considérons une série statistique S de modalités
    x1, x2, x3, .........,xN affectées des effectifs n1, n2, n3, .........,nN d'écart type , et la série statistique S' de modalités
    y1, y2, y3, .........,yN affectées des même effectifs n1, ........,nN telle que pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; ....; N }, yi = axi + b alors l'écart type de la série statistique S' est telle que : = |a|


La translation

Soit $vec{u}$ un vecteur du plan, la translation T de vecteur $vec{u}$ associe à tout point M du plan le point $M'$ tel que $vect{MM'} = vec{u}$. La composition de deux translations de vecteurs $vec{u}$ et $vec{v}$ est la translation de vecteur $vec{u} + vec{v}$, elle ne dépend pas de l'ordre dans lequel on effectue les deux translations. Une translation envoie une droite sur une droite parallèle.

 


La symétrie centrale

La symétrie centrale est une autre transformation simple. La symétrie centrale de centre O envoie M sur le point $M'$ tel que $vect{OM'} = - vect{OM}$. Il s'agit également d'une rotation d'angle $pi$.

La composée d'une translation et d'une symétrie centrale est une symétrie centrale. Soit s une symétrie de centre O et $s'$ une symétrie de centre $O'$, alors la tranformation $s' circ s$ est une translation de vecteur $2vect{OO'}$.

 


La rotation

La rotation de centre O et d'angle $a$ associe à tout point M du plan un point $M'$ tel que $OM =
    OM'$ et $ang {MOM'} = a$ (angle orienté). Attention, si on remplace $a$ par $- a$ on applique la rotation inverse de la rotation voulue. Si $a = 0$, la rotation est l'identité. Si $a = pi$, c'est une symétrie centrale.

 


La symétrie axiale

Pour ne pas la confondre avec la symétrie centrale on l'appelle également réflexion. Soit D une droite, la réflexion d'axe D associe à tout point M du plan le point $M'$ tel que $vect{MM'}$ soit perpendiculaire à D et que le milieu de $[MM']$ appartiennent à la droite D.

La composée de deux réflexions est une translation si les axes sont parallèles, une rotation sinon. Si $a$ est l'angle entre les axes D et $D'$ des réflexions s et $s'$, alors la composée $s' circ s$ est une rotation d'angle $2 a$ et dont le centre est le point d'intersection des droites D et $D'$.

 


L'homothétie

L'homothétie est une transformation qui ne conserve pas les distances. L'homothétie de centre O et de rapport $l$ associe à tout point M du plan le point $M'$ tel que $vect{OM'} = l vect{OM}$. Si $l = -1$ on retrouve la symétrie centrale. Une homothétie envoie une droite sur une droite qui lui est parallèle. Les seules droites invariantes sont celles qui passent par le centre de l'homothétie. Une homothétie conserve les angles et multiplie les longueurs par $abs l$. Si $vect{AB}$ est un vecteur du plan, son image $vect{A'B'}$ vérifie $vect{A'B'} = l vect{AB}$. Une homothétie conserve donc les rapports de longueurs.

La composée de deux homothéties est soit une homothétie dont le rapport est le produit des rapports, soit une translation si le produit des rapports vaut $1$.

Les homothéties sont très utiles lors de la résolution d'exercices dans le triangle (voir cercle d'Euler).

Définition :

soit (A, α) et (B, β) deux points pondérés tels que ;α + β ≠ 0,
il existe un point unique G tel que αvect(GA) + β vect(GB) = vect(0)  ;
le point G est appelé barycentre des points pondérés (A, α) et (B, β).

Barycentre de deux points

figure 1

Pour chercher G, avec la relation de Chasles,
remplacer vect(GB) par vect(GA) + vect(AB),
on obtient : (α + β) vect(GA) = β vect(AB),

donc vect(AG) = β/(α+β) vect(AB).

Cette relation assure que le point G existe et est unique.

Si k ≠ 0, alos kα vect(GA) + kβ vect(GB) = vect(0) ; ceci montre que le point G est aussi le barycentre des points pondérés (A, kα) et (B, kβ).

g2w Télécharger la figure GéoPlan bary2_f1.g2w

Coordonnées barycentriques d'un point sur une droite

Soit A et B deux points distincts d'une droite.
Pour tout point M de la droite, il existe un couple unique (α, β) de nombres réels tels que :
• α + β = 1;
• M est le barycentre des points pondérés (A, α) et (B, β).

(α, β) sont les coordonnées barycentriques de M relativement à A et B.

On perd l'unicité du couple de réels (α, β), en remplaçant la première condition par α + β ≠ 0.

c) Position du barycentre

De la colinéarité des vecteurs vect(AG) et vect(AB) on peut déduire que A, B et G sont alignés.

Théorème 

Le barycentre de deux points A et B appartient à la droite (AB).
Il est sur le segment [AB] si les coefficients sont de même signe,
au milieu si les coefficients sont égaux.
De A et de B, le point le plus près du barycentre est celui dont le coefficient a la plus grande valeur absolue.

Si les coefficients sont de même signe on a 0 ≤ β/(α+β) ≤ 1, donc G appartient au segment [AB].

αvect(GA) = - β vect(GB) d'où |α|GA = |β|GB, donc si |α| ≥ |β|   ; GA est plus petit que GB ; G est plus près de A.

d) Problème réciproque

Exprimer un point comme barycentre de deux autres :

B milieu [AC] : B isobarycentre de A et de C,
A barycentre de (B, 2) et (C, -1) : 2 vect(AB) = vect(AC),
C barycentre de (A, 1) et (B, -2) : 2 vect(CB) = vect(CA).

B au tiers de [AC] : B barycentre de (A, 2) et (C, 1) : 2 vect(AB) = vect(BC),
A barycentre de (B, 3) et (C, -1) : 3 vect(AB) = vect(AC),
C barycentre de (A, 2) et (B, -3) : CA = 3 ; CB = 2 d'où 3 vect(CB) = 2 vect(CA).

e) Fonction vectorielle de Leibniz α vect(MA) + β vect(MB)

Fonction vectorielle de Leibniz

figure 2

G barycentre de (A, 2) et (B,3/2)

vect(MA') = α vect(MA) ; vect(MB') = β vect(MB) ;
vect(MS)
= vect(MA') + vect(MB') = α vect(MA) + β vect(MB)

Soit (A, α) et (B, β) deux points pondérés tels que α + β ≠ 0, et G leur barycentre.

Pour tout point M du plan on a :

α vect(MA) + β vect(MB) = α (vect(MG) + vect(GA) ) + β (vect(MG) + vect(GB)) =
(α + β) vect(MG) + α vect(GA) + β vect(GB) = (α + β) vect(MG) + vect(0) = (α + β) vect(MG)

(α + β) vect(MG) = α vect(MA) + β vect(MB)

vect(MG) = α/(α+β) vect(MA) + β/(α+β) vect(MB).

En remplaçant M par G on retrouve la formule du barycentre.

g2w Télécharger la figure GéoPlan bary2_f2.g2w

En remplaçant M par A ou par B on reconnaît les formules permettant de calculer les vecteurs vect(AG) ou vect(BG).
Dans un repère (O, vect(i), vect(j)), remplacer M par O permet d'obtenir les coordonnées du barycentre.

f) Cas particuliers

Médianes : si les coefficients α et β sont égaux et non nuls l'isobarycentre I des points (A, α) et (B, β) est le milieu du segment [AB].
On choisit souvent α = β = 1.
On a alors vect(IA) + vect(IB)= vect(0). On obtient pour tout point M la forme vectorielle du «théorème de la médiane» dans le triangle ABM :

vect(MA) + vect(MB) = 2 MI.

En géométrie analytique ou avec le produit scalaire on peut vérifier les formes numériques des «théorèmes de la médiane» :

MA2 + MB2 = 2MI2 + AB²/2 (formule d'Apollonius de Perge, 262/190 avant J.-C.)
et MA2 - MB2 = 2 vect(AB).IH ou |MA2 - MB2| = 2 AB × I H ; le point H est la projection du point M sur la droite (AB).

Coefficients opposés : si α + β = 0 alors α vect(MA) + β vect(MB) = α(vect(MA) - vect(MB)) = α vect(BA) est un vecteur constant indépendant du point M. Il n'y a pas de barycentre si A et B sont distincts.

Sommaire
Faire des maths… avec GéoPlan

4. Barycentre de trois points

Barycentre de trois points

figure 3

a) Extension des définitions

Soit (A, α) ; (B, β) et (C, γ) trois points pondérés tels que α + β + γ ≠ 0,

il existe un point unique G tel que :

α vect(GA) + β vect(GB) + γ vect(GC) = vect(0) ;

le point G est appelé barycentre des points pondérés (A, α) ; (B, β) et (C, γ).

g2w Télécharger la figure GéoPlan bary3_f3.g2w

Démonstration : calcul par exemple du vecteur vect(AG) :
α vect(GA) + β vect(GB) + γ vect(GC) = vect(0)
α vect(GA) + β(vect(GA) + vect(AB)) + γ(vect(GA) + vect(AC)) = vect(0)
(α + β + γ) vect(GA) + β vect(AB) + γ vect(AC) = vect(0)
(α + β + γ) vect(AG) = β vect(AB) + γ vect(AC)
vect(AG)
= β/(α+β+γ)vect(AB) + γ/(α+β+γ)vect(AC)

Calcul de vect(AG)Sur la figure 4 ci-contre :

vect(AB') = β vect(AB) ; vect(AC') = γ vect(AC) ;

vect(AS) = AB' + AC' = β vect(AB) + γ vect(AC)

vect(AG) = 1/(α+β+γ) vect(AS)

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan bary3_f4.g2w


Coordonnées barycentriques d'un point dans un plan

Soit A, B et C trois points du plan tous distincts et non alignés.

Théorème de Gergonne (Joseph Gergonne 1771-1859) :
Pour tout point M du plan, il existe un triplet unique (α, β, γ) de nombres réels tels que :
• α + β + γ = 1;
• M est le barycentre des points pondérés (A, α) ; (B, β) et (C, γ).

(α, β, γ) sont les coordonnées barycentriques de M relativement à A, B et C.

On perd l'unicité du triplet de réels (α, β, γ), en remplaçant la première condition par α + β + γ ≠ 0.

b) Fonction vectorielle de Leibniz α vect(MA) + β vect(MB) + γ vect(MC)

Transformation pour calculer le vecteur vect(MG) :

α vect(GA) + β vect(GB) + γ vect(GC) = vect(0),
α (vect(GM) + vect(MA)) + β(vect(GM) + vect(MB)) + γ(vect(GM) + vect(MC)) = vect(0).

Quel que soit le point M on a :
α vect(MA) + β vect(MB) + γ vect(MC) = (α + β + γ) vect(MG),
vect(MG)
= α/(α+β+γ) vect(MA) + β/(α+β+γ) vect(MB) + γ/(α+β+γ) vect(MC).

c) Exemples

Centre de gravité d'un triangle

Centre de gravité

figure 5

Soit G l'isobarycentre des sommets d'un triangle ABC.

En prenant α = β = γ = 1 on a :

vect(GA) + vect(GB) + vect(GC) = vect(0)

Si A’ est le milieu de [BC] on a : vect(GB) + GC= 2 GA'

donc vect(GA) + 2 GA' = vect(0)

g2w Télécharger la figure GéoPlan medianes.g2w
cabri
Télécharger la figure Cabri medianes.fig
GeoLabo
Télécharger la figure GeoLabo medianes.glb (Logiciel libre de géométrie dynamique : GeoLabo)

G est donc le barycentre de (A, 1) et (A’, 2).

G appartient à la médiane [AA’] du triangle ABC et est situé aux 2/3, à partir de A, de cette médiane.

La fonction de Leibniz permet d'écrire pour tout point M : vect(MA) + vect(MB) + vect(MC) = 3 vect(MG).

barycentre de (A, 2) ; (B, 1) et (C, 1)

figure 6

Exemple 2

Trouver le point G barycentre de (A, 2) ; (B, 1) et (C, 1)

Choisir A comme origine des vecteurs de la fonction vectorielle de Leibniz :
4 vect(AG) = vect(AB) + vect(AC) = 2vect(AI) où I est le milieu de [BC].
vect(AG)
= 1/2 vect(AI) : G est le milieu de [AI].

g2w Télécharger la figure GéoPlan bary3_f6.g2w

Calcul vectoriel :
2 vect(GA) + vect(GB) + vect(GC) = vect(0)
2 vect(GA) + 2 vect(GI) = vect(0)

d) Théorème du barycentre partiel (ou d'associativité)

Barycentre partiel

figure 7

Théorème :

On ne change pas le barycentre de trois points pondérés en remplaçant deux d'entre eux par leur barycentre partiel (s'il existe) affecté de la somme des deux coefficients.

 

Exemple 1 : Construction du barycentre de (A, -1) ; (B, 2) et (C, 3) ;

Construire le barycentre B’ de (A, -1) et (C, 3) et conclure que G est le milieu de [BB’].

g2w Télécharger la figure GéoPlan bary3_f7.g2w

Barycentre de (A, 2) ; (B, -1) et (C, 4)

figure 8

Exemple 2 : Construction du barycentre de
(A, 2) ; (B, -1) et (C, 4) où BC = 6 cm ;

construire les barycentres partiels C’ de (A, 2) ; (B, -1)
 et A’ de (B, -1) ; (C, 4)
puis trouver G à l'intersection des droites (CC’) et (AA’).

Pas de barycentre partiel sur la droite (BC)

figure 9

Exemple 3 : pas de barycentre partiel sur la droite (BC)

G barycentre de (A, 2) ; (B, 1) et (C, -1).

Construire les barycentres partiels B’ et C’.

Le choix de A comme origine des vecteurs de la fonction vectorielle de Leibniz permet d'écrire :

2 vect(AG) = vect(AB) - vect(AC) = vect(CB).

Vérifier que (AG) est parallèle à (BC).

Conclusions

Si β + γ ≠ 0, A’ est le barycentre partiel de (B, β) et (C, γ), alors G est le barycentre de (A, α) et (A’, β + γ).
Si α + γ ≠ 0, B’ est le barycentre partiel de (A, α) et (C, γ), alors G est le barycentre de (B, β) et (B’, α + γ).
Si α + β ≠ 0, C’ est le barycentre partiel de (A, α) et (B, β), alors G est le barycentre de (C, γ) et (C’, α + β).

Lorsqu'elles existent les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes en G.

ngles orientés
Angle orienté de deux vecteurs non nuls
Il faut bien comprendre la différence entre angle géométrique et angle orienté (ou angle de vecteur )
A un angle géométrique
correspondant deux angles orientés distincts et

On peut définir un angle de vecteur pour deux vecteurs et quelconques de l'espace ou du plan , il suffit de prendre deux représentants de et de même origine.

Mesures d'un angle orienté
On appelle mesure de l'angle orienté
toute mesure de l'arc orienté intercepté par cet angle.

Soient A, B deux points d'un cercle de centre O , on dit que l' arc
orienté intercepte l'angle si = .


Réciproquement : à un nombre réel correspond un unique angle orienté
( est positif dans l'exemple )
Rappel sens positif = sens inverse des aiguilles d'une montre jusqu'à présent


Si le nombre est une mesure ( en radian ) de l'angle il existe une infinité de mesure de l'angle, tout nombre réel de la forme + k2 ou k est une mesure de l'angle .
la mesure particulière de l'angle appartenant à l'intervalle ]- ; ] est appelé mesure principale de l'angle . (voir arc orienté ) testez-vous


Propriétés
pour tous vecteurs
, et non nuls on a :

on note une mesure de l'angle de vecteur ou bien mes

Nombres constructibles

Considèrons une droite D muni d'un repère (O ; ) ou O est un point de la droite D et est un vecteur directeur de D.
Nommons sur la droite D le point
I d'abscisse 1, la distance OI = 1

Points et ensembles constructibles à la régle et au compas :

La définition choisie est une définition par récurrence :

  • les points O et I sont des points constructibles.
  • tout point du plan est un point constructible si il est intersection de deux ensembles de points constructibles ( droite ou cercle )
  • une droite est constructible si et seulement si elle passe par deux points constructibles.
  • un cercle est constructible si et seulement son centre est un point constructible et son rayon est la distance entre deux points constructibles.

Nombres constructibles :

Un nombre est constructible si et seulement si il est l'abscisse d'un point du plan dans le repère (O ; ).

Propriétés :

  • la somme de deux nombres constructibles est un nombre constructible.
  • la différence de deux nombres constructibles est un nombre constructible.
  • le produit de deux nombres constructibles est un nombre constructible ( utilisation du théorème de Thalès )

  • le quotient de deux nombres constructibles est un nombre constructible.

  • la racine carrée d'un nombre constructible est un nombre constructible.

    (voir propriétés dans un triangle rectangle )

  • les entiers naturels et relatifs sont constructibles.
  • les nombres rationnels sont constructibles.
  •  
  • oordonnées polaires

    Dans le plan, il existe plusieur façon de repèrer un point.
    Repérage cartésien :
    on muni le plan d'un repère orthonormal ,
    à tout point M de ce plan, correspond un couple unique (x ; y )
    de réels tels que = x+ y.
    Ce couple s'appelle coordonnées
    cartésiennes du point M dans le repère.

    Repérage polaire : on muni une droite du plan d'un repère (O ; ) ,
    à tout point M de ce plan correspond un couple unique ( r ; )
    où r est la distance OM ( en unité de longueur )
    et une mesure de l'angle orienté ( ; ) .
    Ce couple s'appelle coordonnées
    polaires du point M relativement au repère (O ; ).

    • Comment passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires :
    • Comment passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes :
    • le point M de coordonnées :
      cartésiennes ( x = , y = )
      polaires ( r = , = )
      ( 1 carreau = , angle deg rad grad , syntaxe)


    Equation polaire d'une droite
    Equation polaire d'un cercle


roduit scalaire de deux vecteurs
( ces définitions ne sont pas forcément rigoureuses et habituelles mais elles se retiennent plus facilement)
  • Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires

Le produit scalaire de deux vecteurs et colinéaires et de même sens est le produit des normes de et

Le produit scalaire de deux vecteurs et colinéaires et de sens contraires est l'opposé du produit des normes de et

Le produit scalaire de deux vecteurs et est noté .

Exemple :

soient A, B, C sont trois points alignés dans cet ordre tels que
AB = 2, BC = 3

  • Produit scalaire de deux vecteurs quelconques

Soient et deux vecteurs quelconques :
  .
. ou est la projection orthogonale du vecteur sur le vecteur
Remarque
, on pourrait définir de la même façon :
  .
= .  avec est la projection orthogonale du vecteur sur le vecteur .

Exemple :

ABC est un triangle rectangle en A et H est le projeté orthogonal de H sur la droite (BC) tel que :
AB = 3, AC = 4 et BC = 5, AH = 2,4 ; HB = 1


  • Propriétés sur le produit scalaire :
    quelque soient les vecteurs , , et tout réel a on a : 

    Les propriétés 7) et sont des définitions possibles du produit scalaire de deux vecteurs  et .
  • Expression analytique du produit scalaire dans le plan muni d'un repère orthonormal
    Si (x ; y) et (x' ; y') sont les coordonnées respectives 
    des vecteurs et dans la base orthonormale (; ) alors :  .
    = x x' + y y'
  • Expression analytique du produit scalaire dans l'espace plan muni d'un repère orthonormal (O; ; ; )
    Si (x ; y ; z ) et (x' ; y'; z') sont les coordonnées respectives 
    des vecteurs et dans la base orthonormale (; ; ) alors :  .
    = x x' + y y' + zz'
  •  
  • elations métriques dans un triangle quelconque Soit ABC un triangle quelconque on note :
  • a = BC, b = AC, c = AB les longueurs des trois côtés du triangle.
  • A, B, C les mesures des angles des trois angles de sommets    ( mesures comprises en 0 et p)
  • p le demi-périmètre du triangle ABC
    2p =
    a + b +c.
  • S l'aire du triangle ABC
on a les trois formules d'Al-Kashi :


Expression de l'aire S du triangle en fonction du demi-périmètre p et des côtés
a , b , c : ( formule de Héron)

Expression de l'aire S du triangle en fonction du rayon R du cercle circonscrit au triangle ABC :

La somme des angles au sommet est 180 ° ou radians


Proportionnalité sinus de l'angle avec côté opposé :




Equation cartésienne d'un cercle dans le plan
 

Comment déterminer l'équation d'un cercle

Dans le plan muni d'un repère orthonormé , considérons le cercle de centre ( a; b) et de rayon r , le cercle étant l'ensemble des points M situé à une distance de r du centre ( a; b), on a :

Cette équation est appelée équation cartésienne du cercle dans le repère

On peut aussi déterminer l'équation d'un cercle, connaissant un de ces diamètres, si on vous demande de déterminer l'équation du cercle de diamètre [AB] il suffira d'utiliser :

M(
x ; y) cercle de diamétre [AB]
AMB est un triangle rectangle
les vecteurs (x - xA; y - yA) et (x - xB; y - yB) sont orthogonaux
(x - xA)(x - xB) + ( y - yA) ( y - yB) = 0
et on arrive après quelques transformations à une équation de la forme
(x - a)² + (y - b)² = r²

Réciproquement :
une équation à deux inconnues qui est équivalente à une équation de la forme
(x - a)² + (y - b)² = r² où a et b sont des constantes réelles est l'équation d'un cercle.
Exemple :
on considère l'équation
x
² - 4x + y² - 6y - 12 = 0
on met sous la forme canonique les deux polynômes x² - 4x et y² - 6y
x
² - 4x + 4 - 4 + y² - 6y + 9 - 9 -12 = 0
(x - 2)² - 4 + (y - 3)² - 9 - 12 = 0
(x -2)² + (y -3)² = 25
qui est l'équation du cercle de centre de coordonnée (2 ; 3) et de rayon 5.











Commentaires sur cette page:
Commentaire de sarr, 21.03.2014 16:05:13:
formidable



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