Un monôme est une expression de la forme : axn ou a est un nombre réel (ou un nombre complexe ) et n un entier naturel : le nombre a est appelé coefficient du monôme et le nombre n est appelé le degré du monôme.
3x² est un monôme du second degré et de coefficient 3
-2x -1 n'est pas un monôme
3 = 3x0 est un monôme de degré 0 et de coefficient 3
Une somme de plusieurs monômes est un polynôme.
3x² - 5x + 7 est un polynôme du second degré
-x3 + 4x - 9 est un polynôme du 3 ème degré
2x + 1 est un polynôme du 1 er degré
3 est un polynôme de degré 0
Par convention 0 est le polynôme nul (qui n'a pas de degré ou par convention - )
Le polynôme particulier x est appelée indéterminée
Un polynôme dont le coefficient du monôme de plus haut degré est 1 est appelé polynôme unitaire ou normalisé exemples : x² + 3x - 5 ; x3 - 5x² + 7
Au niveau lycée, surtout on ne fait pas trop de distinction entre polynôme et fonction polynôme :
est un polynôme
la fonction p définie sur par p(x) =
est la fonction polynôme associée.
Remarque : Au niveau lycée, on étudie essentiellement des polynômes ou les coefficients sont des réels, éventuellement des complexes, mais on peut trés bien définir un polynôme sur tout autre corps commutatif K.
L'ensemble des polynômes à coefficients réels est noté [X]
L'ensemble des polynômes à coefficients complexes est
noté [X]
Méthode de factorisation connaissant une racine
Méthode : si a est une racine du polynôme p(x)
(autrement dit p(a) = 0) on peut mettre le polynôme sous la forme d'un produit dont (x - a) est l'un des facteurs.
Exemple :
Soit le polynôme p(2) = 8 + 6 - 14 = 0, donc le nombre 2 est une racine de p(x) on en déduit que p(x) peut se mettre sous la forme d'un produit
p(x) = (x - 2)q(x) ou q(x) est un polynôme du premier degré.
Il faut déterminer q(x), comme ici q(x) est un polynôme du premier degré, q(x) = ax + b , il faut donc trouver a et b.
On a donc :
On procède par identification :
les 2 polynômes sont égaux donc leurs coefficients sont égaux :
ce qui permet de déterminer les coefficients a et b du polynôme
p(x) : a = 2 et b = -7
Conclusion p(x) = (x - 2)(2x + 7)
Polynôme du second degré : ax² + bx + c
1) - Différentes formes d'un polynôme du second degré Un polynôme du second degré peut être mis sous plusieurs formes :
le polynôme p(x) = x² - 6x + 5 est sous la forme développée, mais il peut être mis sous la forme
- canonique : x² - 6x + 5 = x² - 6x + 9 - 4 = (x - 3)² - 4
- factorisée (x - 3)² - 4 = (x - 3 - 2)(x - 3 + 2) = (x - 5)(x - 1)
3 formes courantes pour un polynôme du second degré :
- Forme développée : ax² + bx + c ( où a,b,c sont des réels).
- Forme canonique : la variable x n'apparaît qu'une seule fois.
- Forme factorisée : le polynôme est sous forme d'un produit de facteurs du premier degré.
Un polynôme du second degré peut toujours se mettre sous les 2 formes : développée et canonique. ( voir démonstration)
Pour passer d'une forme à l'autre il faut quelques bases en calcul littéral.
2) - Forme canonique et racines d'un polynôme du second degré .
En mettant un polynôme du second degré sous la forme canonique, trois cas peuvent se produirent exemple : 1 er cas Le polynôme 4x² + 4x + 9 = 4x² + 4x + 1 + 8 = (2x + 1)² + 8
la dernière expression obtenue est la forme canonique de ce polynôme.
On remarque que sa forme canonique est une somme de 2 nombres positifs (dont l'un est strictement positif) : (2x + 1)² et 8. Donc il ne peut pas s'annuler quelque soit la valeur de x.
(autrement dit il n'a pas de racines réelles) 2 ème cas Le polynôme x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Ici, la forme canonique et la forme factorisée correspondent.
La seule valeur pouvant annuler (x + 3)² est - 3.
(autrement dit une seule racine) 3 ème cas Le polynôme x² + 2x - 3 = x² + 2x + 1 - 4 = (x + 1)² - 4
La forme canonique de se polynôme est de la forme a² - b² .
Le polynôme peut donc être factorisé.
(x + 1)² - 4 = (x + 1 - 2)(x + 1 + 2) = (x - 1)(x + 3)
l'équation (x - 1)(x + 3) = 0 admet 2 solutions 1 et -3.
( autrement dit 2 racines )
Quelque soit le polynôme du second degré choisi, la forme canonique sera soit une différence de 2 carrés, soit une somme de deux nombres positifs, soit un carré à un coefficient réel prés.
Conclusion : ( dans l'ensemble des nombres réels ) un polynôme du second degré peut admettre soit aucune racine , soit une racine, soit 2 racines
3) - Discriminant d'un polynôme du second degré Visualisation avec Applet Geogebra Dans le cas général on trouve pour la forme canonique d'un polynôme du second degré ax² + bx + c :
ou le nombre D = b² - 4ac appelé discriminant du polynôme
ax² + bx + c joue un rôle important pour la recherche des racines.
- Si D < 0, à l'intérieur des crochets de la forme canonique on trouve une somme de 2 nombres positifs dont l'un est strictement positif, ax² + bx + c n' a pas de racines réelles (ne pouvant pas s'annuler) .
- Si D = 0 , la forme canonique est réduite à : donc une seule racine : x0= - b/2a pour ax² + bx + c.
- Si D > 0 , à l'intérieur des crochets de la forme canonique on trouve une différence de 2 carrés.
On obtient après avoir factorisé (A² - B² = (A - B)(A + B)) les 2 racines du polynômes
4) propriétés des racines d'un polynôme du second degré Dans le cas ou le polynôme ax² + bx + c admet deux racines x1 et x2 en posant S = x1 + x2 et P = x1x2 la somme et le produit des racines On obtient une relation entre S, P, a, b, c :
le produit et la somme des deux racines sont calculables à partir des coefficient de ax² + bx + c
Si on connaît le produit et la somme de deux nombres réels, on peut en déduire que ces nombres sont solutions de l'équation
x² - Sx + P = 0.
uites numériques
Une suite est une fonction numérique dont l'ensemble de définition est . Comment différentier une suite u (on note ) aussi d'une fonction f : ou une partie I de
Différence au niveau de la notation
La notation f(x) est remplacée par la notation indicielle un ( généralement on utilise les lettres u,v,w pour les suites )
Différence au niveau du vocabulaire
Fonction : f(3) = 4 se lit " l'image de 3 par la fonction f est 4 " ou " 4 est l'image de 3 par f "
Suite : u3 = 4 se lit " le terme d'ordre 3 de la suite u est 4 " ou " 4 est le terme d'ordre 3 de la suite u "
L'expression de un en fonction de n est appelé terme général de la suite ( équivalent de f(x) pour la fonction f ).
Différence dans la façon d'aborder certaines notions
On étudie le comportement d'une suite uniquement en +, puisqu'une suite est toujours définie sur une partie de . Etudier une limite quand n tend vers une valeur entière n'a pas de sens puisque on ne peut plus " s'approcher " de cette valeur aussi près que l'on veut.
La dérivée d'une suite n'a donc pas de sens non plus.
Différentes définitions d'une suite
Une suite peut être définie de la même façon qu'une fonction c'est à dire par son ensemble de définition ( partie de ) et son terme général un ou bien par récurrence c'est à dire par une relation liant deux termes consécutifs quelconques de la suite et par la connaissance de son terme initial.
Exemple : la suites est définie ci-dessous sont de deux façons, explicitement comme une fonction et par récurrence :
définie par :
définie par :
ariation d'une suite
Sens de variation
on dit que la suite est croissante sur si : pour tout entier naturel n : un un+1
on dit que la suite est strictement croissante sur si : pour tout entier naturel n : un < un+1
on dit que la suite est décroissante sur si : pour tout entier naturel n : un un+1
on dit que la suite est strictement décroissante sur si : pour tout entier naturel n : un > un+1
En pratique : on étudie le signe de la différence un+1 - un ou ou bien dans certains cas on compare les nombres 1 et le quotient :
Si la suite est décroissante ou croissante on dit qu'elle est monotone, si elle est strictement croissante ou strictement décroissante, on dit qu'elle est strictement monotone.
Suite majorée, suite minorée, suite bornée
Une suite numérique est majorée , si il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n : un M
M est alors un majorant de la suite
Une suite numérique est minorée , si il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n : un m
m est alors minorant de la suite
une suite numérique est bornée si et seulement si elle est minorée et majorée à la fois.
propriétés :
Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Toute suite monotone et non bornée est divergente.
Suites arithmétiques
Une suite arithmétique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r ( c'est une définition par récurrence )
Pour tout entier naturel n : un+1 = un+ r
Remarque : pour démontrer qu'une suite est arithmétique il faut prouver pour tout entier naturel n l'égalité un+1 - un = constante .
Cette définition n'est pas pratique pour calculer par exemple le 30 ème terme si on connaît le troisième terme u2 de la suite, en effet il faut calculer u3 , puis u4, ....... et de proche en proche "arriver " jusqu'à u28 ( 29ème terme )
Expression de un en fonction de u0 et de n
On peut d'après la définition écrire les n égalités, en additionnant membre à membre ces n égalités, on obtient après simplification la relation :
Remarques : en fait toute suite explicitement définie par un = an + b ( ou a et b sont deux réels fixés ) est une suite arithmétique de premier terme u0 = b et de raison a. On peut voir aussi la suite arithmétique comme la restriction à de la fonction affine f définie par f(x) = ax + b
Cette dernière expression peut être généralisée en remplaçant u0 par n'importe quel terme up de la suite.
On peut comprendre aussi cette formule de cette façon :
Variation et convergence
Si r = 0, la suite est constante ( stationnaire à partir de n = 0)
Si r > 0 , la suite est strictement croissante puisque pour tout n entier naturel on a un+1 - un = r > 0 et :
Si r < 0, la suite est strictement décroissante puisque pour tout n entier naturel on a un+1 - un = r < 0 et on a :
Somme des n+1 premiers termes de la suite
Soit S la somme des n + 1 premiers termes de la suite arithmétique
Exprimons les nombres un + u0 ,un-1 + u1 ,un-2 + u2.... en fonction de n et de u0 :
On trouve le même résultat ( ce qui est normal si on réfléchit un peu, puisque si on retire r d'un côté on l'ajoute de l'autre ) , on peut donc dire que :
Calculons S en utilisant cette propriété :
On en déduit l'égalité suivante plus facile à retenir et appliquer :
Suites géométriques
Une suite géométrique est une suite numérique dont chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un nombre réel constant non nul q ( c'est une définition par récurrence )
Pour tout entier naturel n : un+1 = q un
Remarque : pour démontrer qu'une suite est géométrique, il faut prouver pour tout entier naturel n l'égalité un+1 = q un et si un est non nul quelque soit n, il suffit de prouver que :
ou q est un réel constant.
Cette définition n'est pas pratique pour calculer par exemple le 30 ème terme si on connaît le troisième terme u2 de la suite, en effet il faut calculer u3 , puis u4, ....... et de proche en proche "arriver " jusqu'à u28 ( 29 ème terme )
Expression de un en fonction de u0 et de n
On peut d'après la définition écrire les n égalités, en multipliant membre à membre ces n égalités, on obtient après simplification la relation :
Remarques : en fait toute suite explicitement définie par un = ban ( ou a et b sont deux réels fixés ) est une suite géométrique de premier terme u0 = b et de raison a.
Cette dernière expression peut être généralisée en remplaçant u0 par n'importe quel terme up de la suite.
On peut comprendre aussi cette formule de cette façon :
Variation
Si q = 1 ou u0 = 0, la suite est constante ( stationnaire à partir de n = 0)
Si q > 1 et u0 > 0 , la suite est strictement croissante puisque pour tout n entier naturel on a un+1 - un > 0.
Si q > 1 et u0 < 0 , la suite est strictement décroissante puisque pour tout n entier naturel on a un+1 - un < 0
Si 0 < q < 1 et u0 > 0 , la suite est strictement décroissante puisque pour tout n entier naturel on a un+1 - un < 0
Si 0 < q < 1 et u0 < 0 , la suite est strictement croissante puisque pour tout n entier naturel on a un+1 - un > 0
Si q < 0 , la suite est alternée
Convergence
Si q = 1 la suite est constante donc convergente.
Si |q|< 1, la suite est convergente et converge vers 0.
Si |q|> 1, la suite est divergente.
Essayez vous même sur des exemples en choisissant le
premier terme u
= et la raison q = de
la suite et en cliquant plusieurs fois de , vous verrez l'évolution des termes de la suite.
Somme des n+1 premiers termes de la suite
Soit S la somme des n + 1 premiers termes de la suite géométrique
Exprimons S, puis qS en fonction de u0 , q et n :
En mettant en facteur q dans le premier membre de l'égalité et u0 dans le second membre, on obtient :
Puis :
On retient plutôt la formule :
Convergence d'une suite numérique Définition : on dit que la suite si et seulement si :
En clair , on peut rendre un converge vers 0 , ou que la suite a pour limite quand n tend vers + aussi proche de 0 que l'on veut, il suffit pour cela de choisir n suffisamment grand
on note :
Suites divergentes Une suite divergente est par définition une suite non convergente, il y a plusieurs type de divergence.
-Un exemple de suites divergentes
Les suites tendant vers l'infini
soit une suite, on dit que un tend vers + quand n tend vers + si et seulement si :
En clair , on peut rendre un aussi grand que l'on veut, il suffit pour cela de choisir n suffisamment grand
On note :
Opérations sur les fonctions
Égalité de deux fonctions
Deux fonctions f et g d'ensembles de définition respectifs Df et Dg sont égales si :
Df = Dg et
Pour tout réel x de Df , f(x) = g(x)
On note alors f = g
Opérations sur les fonctions
Soit f et g 2 fonctions d'ensembles de définition respectifs Df et Dg tels que Df Dg ( intersection non vide )
Somme de deux fonctions
Par définition la fonction qui à tout réel x de Df Dg associe le réel f(x) + g(x) est appelée la somme des fonctions f et g et est notée f + g :
Par définition la fonction qui à tout réel x de Df associe le réel k f(x) est produit de la fonction f par le réel k et est notée k f :
Pour tout réel x de Df
( k f )(x) = k f(x)
Remarque : pour k = -1, la courbe représentative de de -f est obtenue à partir de la courbe représentative de f par la réflexion d'axe l'axe des abscisses.
De la même façon on définie :
le produit de deux fonctions f et g comme étant la fonction qui à tout réel x de Df Dg associe le réel f(x) g(x) que l'on note f g : Pour tout réel x de Df Dg (f g)(x) = f(x) g(x) (ensemble de définition d'un produit de fonctions)
l'inverse d'une fonction g comme étant la fonction qui à tout réel x de Dg tel que g(x) 0 associe le réel 1/g(x) que l'on note 1/g
Composée de deux fonctions f suivie de g notée : g o f
La fonction g o f ( fonction composée de f suivie de g ) la fonction fabriquée de la manière suivante :
si f(x) Dg , on dit que (g o f ) (x) = g(f(x))
si f(x) Dg , x n'a pas d'image par g o f
Exemple , si f définie sur par f(x) = x2 - 1 et g définie sur [0 ; +[ par g(x) = alors g o f est définie sur ]-; -1] [1 ; +[ ( il faut que f(x) [0 ; +[ ) par g o f (x) = g(f(x)) =
Inversement si h est définie sur ]-; -1] [1 ; +[ par h(x) =
on peut décomposer en h en g o f avec les définitions précédentes.
Fonction dérivée
La fonction dérivée a de multiples applications, comme la recherche de variations d'une fonction, le calcul de coefficient directeur d'une tangente de la courbe représentative d'une fonction, la recherche de primitive d'une fonction etc...
Avant de définir exactement la fonction dérivée, essayez de comprendre sur plusieurs activités ses applications.
1) Approche : nombre dérivé ( télécharger l'activité d'approche en .doc ) -----> activité d'approche f est une fonction et Df son ensemble de définition, Cf sa courbe représentative.
on appelle nombre dérivé en a la limite quand h tend vers 0 (si elle existe) du nombre :
On a :
interprétation graphique : Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a ( si il existe ) est le nombre réel f '(a)
Exemple : pour la fonction f définie sur IR par f(x) = x²
On trouve que le coefficient directeur de la droite (AM) est égal à :
(2ah + h²) / h ,ce qui donne pour h différent de 0 : 2a + h.
Soit f une fonction définie sur une intervalle I et dérivable en tout point a de I, la fonction qui à tout réel a de I associe le réel f '( a) est appelée fonction dérivée de f sur I et noté f '.
Exemple:
Déterminons la dérivée de la fonction f(x) = 7.x3 - 3.x2 + 3.
Les dérivées des fonctions x3, x2 et 3 sont respectivement 3.x2, 2.x et 0.
Ainsi :
Ces fonctions sont les inverses des fonctions puissances.
Et comme ces premières, elles sont dérivables sur leur intervalle de définition.
Sauf la fonction racine(x) qui n'est pas dérivable en 0.
La tangente à une courbe en un point A est la droite "limite" (AB) lorsque le point B se rapproche indéfiniment du point A tout en restant sur la courbe.
Lorsque le point B se rapproche du point A, la droite (AB) se "rapproche" de la tangente à la courbe en A.
Donc la pente de la droite (AB)tend vers la pente de la tangente.
Or le coefficient directeur (ou pente) de la droite (AB) est égal à :
Donc, la pente de la tangente à la courbe en A peut être vue comme étant la limite lorsque xBtend vers xA du quotient .
En résumé :
point B
point A
droite (AB)
tangente en A
pente de la tangente en A
Conclusion:
5.2Equation de la tangente:
Théorème:
Si la fonction f est dérivable en x0alors la courbe de la fonction f admet au point M(x0 ; f(x0)) une tangente dont l'équation réduite est :
y = f'(x0) . (x - x0) + f(x0)
Exemple:
Déterminons l'équation réduite de la tangente dans le cas de notre premier exemple.
Cette fonction f est définie par :
f(x) = 2.x2 + 1
Déterminons l'équation de la tangente D à sa courbe en
x0 = 1.
Il existe plusieurs méthodes pour déterminer la limite d'une fonction f en ou en 0. Si on n'a aucune idée de la limite à trouver, on peut s'aider de la représentation graphique ou d'une calculatrice
Il faut utiliser cette méthode lorsque l'on est en présence d'une racine carrée car on peut alors utiliser les identités remarquables afin de simplifier l'expression.
Exemple: Soit
Déterminer la limite de f en 0. Tout d'abord, il faut déterminer l'ensemble de définition de f et voir si 0 appartient à cet ensemble.
Alors, en multipliant par l'expression conjuguée, on obtient
On utilise ensuite un encadrement pour utiliser le théorème de comparaison.
On peut encadrer f par deux fonctions g et h admettant la même limite l en un certain point, puis on utilise le théorème des gendarmes.
On peut utiliser les opérations sur les limites.
On peut, lorsque l'énoncé donne la limite l à obtenir, majorer par une fonction connue de limite nulle. Dans ce cas, il ne faut jamais oublier la valeur absolue et il ne faut la retirer que lorsque le signe de f(x)-l est connu.
Il y a asymptote oblique si et seulement si on peut trouver deux constantes a et b et une fonction g (souvent données dans le texte) telles que f(x)=ax+b+g(x)
Exemple de fonction acceptant une asymptote oblique : f(x)=(2x^2+1)/(x+1)
Ensembles
Un ensemble est une "collection" de plusieurs objets de même nature ou de nature différente, on peut considèrer par exemple les éléves d'une classe comme des éléments de l'ensemble classe.
Un ensemble peut être :
vide si il ne possède aucun éléments on le note
fini dans le cas ou on peut compter ses éléments.
(infini dans le cas contraire )
booléen si il contient comme seuls éléments 0 et 1 ( faux ou vrai )
Notations et définitions :
- Si un élément a appartient à un ensemble A, on note : a A ce qui se traduit par " a est un élément de A " ou bien a appartient à A" , si un élément x n'appartient pas à A on note : x A .
- Si un ensemble A est tel que tous ses éléments appartiennent à un ensemble B on dit dans ce cas que l'ensemble A est inclu dans B et on note : AB, on dit aussi que A est un sous ensemble de B.
Pour définir les différentes opérations sur les ensembles, choisissons un ensemble de référence que l'on notera , le nombre des éléments d'un ensemble E fini est appelé cardinal de E et note card E
Soit l'ensemble des individus
card =17
Soit A l'ensemble des individus portant un pull bleu
Soit B l'ensemble des individus portant un pantalon rouge
card A = 10, card B = 9
Intersection( que l'on lit A inter B) est ici l'ensemble des individus appartenant à la fois à A et à B, c'est à dire l'ensemble des individus ayant à la fois un pull bleu et un pantalon rouge
card = 5
Quand deux ensembles ont une intersection vide on dit qu'ils sont disjoints. En savoir davantage ...
L'union ou la réunion( que l'on lit A union B) est l'ensemble des individus appartenant à A ou à B, c'est à dire l'ensemble des individus ayant un pull bleu ou un pantalon rouge est noté:
Un probabilité sur l'univers est une application p de l'ensemble des parties de à valeur dans l'intervalle [0 ;1] telle que :
p() = 0
p({1}) + p({2}) + p({3}) +...+p({n}) = 1 ( la somme des probabilités des événements élémentaires qui composent est égale à 1 )
l'image de tout événement A non vide est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent ( dont il est la réunion ).
ropriétés d'une probabilité Soient P une probabilité sur un univers , A, B deux événements alors :
P(A B ) = P(A) + P(B) - P(A B )
Si A et B sont incompatibles : P(A B ) = P(A) + P(B)
P( ) + P(A) = 1
P( ) = 1
P( ) = 0
Equiprobabilité
Définition : il y a équiprobabilité ( ou probabilité uniforme ) si et seulement tous les événements ont la même probabilité.
Probabilité d'un événement élémentaire Dans le cas d'un univers fini la probabilité d'un événement élémentaire {} quelconque est de :
Probabilité d'un événement
Pour tout événement A ( relativement bien sur à l'univers , la probabilité de A est :
Remarque importante : dans le cas de l'équiprobabilité la détermination d'une probabilité se ramène à des problèmes de dénombrements
Exemple : on lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On s'intérresse à la probabilité de l'évènement :
A : " le numéro de la face supérieure est multiple de 3 "
A = {3 ; 6}
card A = 2
card = 6
P(A) = 2/6 = 1/3
Séries statistiques à une variable
Activité d'approche
La statistique étudie certaines caractéristiques : caractères ou variables d'un ensemble fini : population. Les éléments de cette population étudiée sont appelés alors individus.
Une variable peut être :
Quantitative : numérique et fait l'objet de calcul ( age, taille, poids, notes, nombres d'heures etc ...)
Qualitative : c'est le contraire de quantitative, mais la variable peut très bien être numérique.
Discrète : si la variable ne prends qu'un nombre fini de valeurs (ces valeurs sont appelées modalités et notées xi ) .
Continue : si la variable prends ses valeurs dans un intervalle ( classe )
Exemple : supposons que l'on veut faire une étude statistique sur les 50 notes attribuées par un jury à un examen.
On dispose pour cette étude de la liste des notes obtenues :
On peut regrouper ces notes par ordre croissant : 0,1,1,2,2,3,3,3 ....., et construire le tableau suivant :
( dans ce cas la distribution est discrète )
Ou bien regrouper ces notes par intervalle ( classe ) : ( dans ce cas la distribution est continue )
Exemple de regroupement par classe :
Quelques définitions
L'effectif d'une classe ou d'une modalité est alors le nombre d'individu de cette classe ou de cette modalité. Généralement on note ni est l'effectif de la classe n° i ( ou de la modalité xi ).
Exemple : ici l'effectif de première classe est 10
L'effectif total est la somme des effectifs de toutes les classes noté souvent N;
on a N = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 10 + 8 + 12 + 11 + 9 = 50 .
En utilisant la notation sigma : ( hors programme collège )
La fréquence fide la classes i ou de la modalité xi est le rapport fi/N , la fréquence d'une classe est un nombre de l'intervalle [0 ;1]
Exemple : ici la fréquence de la première classe est 10/50 soit 0,5
L'effectif cumulé d'une modalité est la somme des effectifs des modalités qui lui sont inférieures ou égales
La fréquence cumulé d'une modalité est la somme des fréquences des modalités qui lui sont inférieures ou égales
Dans le cas "variable discrète" on obtient :
3 personnes ont une note inférieure ou égale à 1
15 personnes ont une note inférieure ou égale à 6
47 personnes ont une note inférieure ou égale à 18
etc...
Dans le cas "variable continue" on obtient :
Paramètres statistiques d'une série statistique simple :
ariance et écart-type
Pour calculer la variance d'une série statistique on utilise la formule :
Pour calculer la variance , il faut calculer d'abord la moyenne , la variance peut être calculer aussi en utilisant la formule :
Démonstration :
L'écart-type est le nombre noté tel que .
Propriété de l'écart type :
Considérons une série statistique S de modalités
x1, x2, x3, .........,xN affectées des effectifs n1, n2, n3, .........,nN d'écart type , et la série statistique S' de modalités
y1, y2, y3, .........,yN affectées des même effectifs n1, ........,nN telle que pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; ....; N }, yi = axi + b alors l'écart type de la série statistique S' est telle que : = |a|
La translation
Soit un vecteur du plan, la translation T de vecteur associe à tout point M du plan le point tel que . La composition de deux translations de vecteurs et est la translation de vecteur , elle ne dépend pas de l'ordre dans lequel on effectue les deux translations. Une translation envoie une droite sur une droite parallèle.
La symétrie centrale
La symétrie centrale est une autre transformation simple. La symétrie centrale de centre O envoie M sur le point tel que . Il s'agit également d'une rotation d'angle .
La composée d'une translation et d'une symétrie centrale est une symétrie centrale. Soit s une symétrie de centre O et une symétrie de centre , alors la tranformation est une translation de vecteur .
La rotation
La rotation de centre O et d'angle associe à tout point M du plan un point tel que et (angle orienté). Attention, si on remplace par on applique la rotation inverse de la rotation voulue. Si , la rotation est l'identité. Si , c'est une symétrie centrale.
La symétrie axiale
Pour ne pas la confondre avec la symétrie centrale on l'appelle également réflexion. Soit D une droite, la réflexion d'axe D associe à tout point M du plan le point tel que soit perpendiculaire à D et que le milieu de appartiennent à la droite D.
La composée de deux réflexions est une translation si les axes sont parallèles, une rotation sinon. Si est l'angle entre les axes D et des réflexions s et , alors la composée est une rotation d'angle et dont le centre est le point d'intersection des droites D et .
L'homothétie
L'homothétie est une transformation qui ne conserve pas les distances. L'homothétie de centre O et de rapport associe à tout point M du plan le point tel que . Si on retrouve la symétrie centrale. Une homothétie envoie une droite sur une droite qui lui est parallèle. Les seules droites invariantes sont celles qui passent par le centre de l'homothétie. Une homothétie conserve les angles et multiplie les longueurs par . Si est un vecteur du plan, son image vérifie . Une homothétie conserve donc les rapports de longueurs.
La composée de deux homothéties est soit une homothétie dont le rapport est le produit des rapports, soit une translation si le produit des rapports vaut .
Les homothéties sont très utiles lors de la résolution d'exercices dans le triangle (voir cercle d'Euler).
Définition :
soit (A, α) et (B, β) deux points pondérés tels que ;α + β ≠ 0,
il existe un point unique G tel que α + β = ;
le point G est appelé barycentre des points pondérés (A, α) et (B, β).
figure 1
Pour chercher G, avec la relation de Chasles,
remplacer par + ,
on obtient : (α + β) = β ,
donc = .
Cette relation assure que le point G existe et est unique.
Si k ≠ 0, alos kα + kβ = ; ceci montre que le point G est aussi le barycentre des points pondérés (A, kα) et (B, kβ).
Coordonnées barycentriques d'un point sur une droite
Soit A et B deux points distincts d'une droite.
Pour tout point M de la droite, il existe un couple unique (α, β) de nombres réels tels que :
• α + β = 1;
• M est le barycentre des points pondérés (A, α) et (B, β).
(α, β) sont les coordonnées barycentriques de M relativement à A et B.
On perd l'unicité du couple de réels (α, β), en remplaçant la première condition par α + β ≠ 0.
c) Position du barycentre
De la colinéarité des vecteurs et on peut déduire que A, B et G sont alignés.
Théorème
Le barycentre de deux points A et B appartient à la droite (AB).
Il est sur le segment [AB] si les coefficients sont de même signe,
au milieu si les coefficients sont égaux.
De A et de B, le point le plus près du barycentre est celui dont le coefficient a la plus grande valeur absolue.
Si les coefficients sont de même signe on a 0 ≤ ≤ 1, donc G appartient au segment [AB].
α = - β d'où |α|GA = |β|GB, donc si |α| ≥ |β| ; GA est plus petit que GB ; G est plus près de A.
d) Problème réciproque
Exprimer un point comme barycentre de deux autres :
B milieu [AC] : B isobarycentre de A et de C,
A barycentre de (B, 2) et (C, -1) : 2 = ,
C barycentre de (A, 1) et (B, -2) : 2 = .
B au tiers de [AC] : B barycentre de (A, 2) et (C, 1) : 2 = ,
A barycentre de (B, 3) et (C, -1) : 3 = ,
C barycentre de (A, 2) et (B, -3) : CA = 3 ; CB = 2 d'où 3 = 2 .
En remplaçant M par A ou par B on reconnaît les formules permettant de calculer les vecteurs ou .
Dans un repère (O, , ), remplacer M par O permet d'obtenir les coordonnées du barycentre.
f) Cas particuliers
Médianes : si les coefficients α et β sont égaux et non nuls l'isobarycentre I des points (A, α) et (B, β) est le milieu du segment [AB].
On choisit souvent α = β = 1.
On a alors + = . On obtient pour tout point M la forme vectorielle du «théorème de la médiane» dans le triangle ABM :
+ = 2 .
En géométrie analytique ou avec le produit scalaire on peut vérifier les formes numériques des «théorèmes de la médiane» :
MA2 + MB2 = 2MI2 + (formule d'Apollonius de Perge, 262/190 avant J.-C.)
et MA2 - MB2 = 2 . ou |MA2 - MB2| = 2 AB × I H ; le point H est la projection du point M sur la droite (AB).
Coefficients opposés : si α + β = 0 alors α + β = α( - ) = α est un vecteur constant indépendant du point M. Il n'y a pas de barycentre si A et B sont distincts.
Soit A, B et C trois points du plan tous distincts et non alignés.
Théorème de Gergonne(Joseph Gergonne 1771-1859) :
Pour tout point M du plan, il existe un triplet unique (α, β, γ) de nombres réels tels que :
• α + β + γ = 1;
• M est le barycentre des points pondérés (A, α) ; (B, β) et (C, γ).
(α, β, γ) sont les coordonnées barycentriques de M relativement à A, B et C.
On perd l'unicité du triplet de réels (α, β, γ), en remplaçant la première condition par α + β + γ ≠ 0.
d) Théorème du barycentre partiel (ou d'associativité)
figure 7
Théorème :
On ne change pas le barycentre de trois points pondérés en remplaçant deux d'entre eux par leur barycentre partiel (s'il existe) affecté de la somme des deux coefficients.
Exemple 1 : Construction du barycentre de (A, -1) ; (B, 2) et (C, 3) ;
Construire le barycentre B’ de (A, -1) et (C, 3) et conclure que G est le milieu de [BB’].
Exemple 2 : Construction du barycentre de
(A, 2) ; (B, -1) et (C, 4) où BC = 6 cm ;
construire les barycentres partiels C’ de (A, 2) ; (B, -1)
et A’ de (B, -1) ; (C, 4)
puis trouver G à l'intersection des droites (CC’) et (AA’).
figure 9
Exemple 3 : pas de barycentre partiel sur la droite (BC)
G barycentre de (A, 2) ; (B, 1) et (C, -1).
Construire les barycentres partiels B’ et C’.
Le choix de A comme origine des vecteurs de la fonction vectorielle de Leibniz permet d'écrire :
2 = - = .
Vérifier que (AG) est parallèle à (BC).
Conclusions
Si β + γ ≠ 0, A’ est le barycentre partiel de (B, β) et (C, γ), alors G est le barycentre de (A, α) et (A’, β + γ).
Si α + γ ≠ 0, B’ est le barycentre partiel de (A, α) et (C, γ), alors G est le barycentre de (B, β) et (B’, α + γ).
Si α + β ≠ 0, C’ est le barycentre partiel de (A, α) et (B, β), alors G est le barycentre de (C, γ) et (C’, α + β).
Lorsqu'elles existent les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes en G.
ngles orientés
Angle orienté de deux vecteurs non nuls Il faut bien comprendre la différence entre angle géométrique et angle orienté (ou angle de vecteur )
A un angle géométrique correspondant deux angles orientés distincts et
On peut définir un angle de vecteur pour deux vecteurs et quelconques de l'espace ou du plan , il suffit de prendre deux représentants de et de même origine. Mesures d'un angle orienté On appelle mesure de l'angle orienté toute mesure de l'arc orienté intercepté par cet angle.
Soient A, B deux points d'un cercle de centre O , on dit que l' arc orienté intercepte l'angle si = .
Réciproquement : à un nombre réel correspond un unique angle orienté
( est positif dans l'exemple ) Rappel sens positif = sens inverse des aiguilles d'une montre jusqu'à présent
Si le nombre est une mesure ( en radian ) de l'angle il existe une infinité de mesure de l'angle, tout nombre réel de la forme + k2 ou k est une mesure de l'angle .
la mesure particulière de l'angle appartenant à l'intervalle ]- ; ] est appelé mesure principale de l'angle . (voir arc orienté )
Propriétés pour tous vecteurs , et non nuls on a :
on note une mesure de l'angle de vecteur ou bien mes
Nombres constructibles
Considèrons une droite D muni d'un repère (O ; ) ou O est un point de la droite D et est un vecteur directeur de D.
Nommons sur la droite D le point I d'abscisse 1, la distance OI = 1
Points et ensembles constructibles à la régle et au compas :
La définition choisie est une définition par récurrence :
les points O et I sont des points constructibles.
tout point du plan est un point constructible si il est intersection de deux ensembles de points constructibles ( droite ou cercle )
une droite est constructible si et seulement si elle passe par deux points constructibles.
un cercle est constructible si et seulement son centre est un point constructible et son rayon est la distance entre deux points constructibles.
Nombres constructibles :
Un nombre est constructible si et seulement si il est l'abscisse d'un point du plan dans le repère (O ; ).
Propriétés :
la somme de deux nombres constructibles est un nombre constructible.
la différence de deux nombres constructibles est un nombre constructible.
les entiers naturels et relatifs sont constructibles.
les nombres rationnels sont constructibles.
oordonnées polaires
Dans le plan, il existe plusieur façon de repèrer un point. Repérage cartésien :
on muni le plan d'un repère orthonormal ,
à tout point M de ce plan, correspond un couple unique (x ; y )
de réels tels que = x+ y.
Ce couple s'appelle coordonnées
cartésiennes du point M dans le repère.
Repérage polaire : on muni une droite du plan d'un repère (O ; ) ,
à tout point M de ce plan correspond un couple unique ( r ; )
où r est la distance OM ( en unité de longueur )
et une mesure de l'angle orienté ( ; ) .
Ce couple s'appelle coordonnées
polaires du point M relativement au repère (O ; ).
Comment passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires :
Comment passer des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes :
le point M de coordonnées :
cartésiennes ( x = , y = )
polaires ( r = , = )
( 1 carreau = , angle deg rad grad , syntaxe)
roduit scalaire de deux vecteurs
( ces définitions ne sont pas forcément rigoureuses et habituelles mais elles se retiennent plus facilement)
Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires
Le produit scalaire de deux vecteurs et colinéaires et de même sens est le produit des normes de et
Le produit scalaire de deux vecteurs et colinéaires et de sens contraires est l'opposé du produit des normes de et
Le produit scalaire de deux vecteurs et est noté .
Exemple :
soient A, B, C sont trois points alignés dans cet ordre tels que
AB = 2, BC = 3
Produit scalaire de deux vecteurs quelconques
Soient et deux vecteurs quelconques : . = . ou est la projection orthogonale du vecteur sur le vecteur . Remarque , on pourrait définir de la même façon : . = . avec est la projection orthogonale du vecteur sur le vecteur .
Exemple :
ABC est un triangle rectangle en A et H est le projeté orthogonal de H sur la droite (BC) tel que :
AB = 3, AC = 4 et BC = 5, AH = 2,4 ; HB = 1
Propriétés sur le produit scalaire :
quelque soient les vecteurs , , et tout réel a on a :
Les propriétés 7) et sont des définitions possibles du produit scalaire de deux vecteurs et .
Expression analytique du produit scalaire dans le plan muni d'un repère orthonormal
Si (x ; y) et (x' ; y') sont les coordonnées respectives
des vecteurs et dans la base orthonormale (; ) alors : . = x x' + y y'
Expression analytique du produit scalaire dans l'espace plan muni d'un repère orthonormal (O; ; ; )
Si (x ; y ; z ) et (x' ; y'; z') sont les coordonnées respectives
des vecteurs et dans la base orthonormale (; ; ) alors : .= x x' + y y' + zz'
elations métriques dans un triangle quelconque Soit ABC un triangle quelconque on note :
a = BC, b = AC, c = AB les longueurs des trois côtés du triangle.
A, B, C les mesures des angles des trois angles de sommets ( mesures comprises en 0 et p)
p le demi-périmètre du triangle ABC
2p =a + b +c.
S l'aire du triangle ABC
on a les trois formules d'Al-Kashi :
Expression de l'aire S du triangle en fonction du demi-périmètre p et des côtés a , b , c : ( formule de Héron)
Expression de l'aire S du triangle en fonction du rayon R du cercle circonscrit au triangle ABC :
La somme des angles au sommet est 180 ° ou radians
Proportionnalité sinus de l'angle avec côté opposé :
Equation cartésienne d'un cercle dans le plan
Comment déterminer l'équation d'un cercle
Dans le plan muni d'un repère orthonormé , considérons le cercle de centre ( a; b) et de rayon r , le cercle étant l'ensemble des points M situé à une distance de r du centre ( a; b), on a :
Cette équation est appelée équation cartésienne du cercle dans le repère
On peut aussi déterminer l'équation d'un cercle, connaissant un de ces diamètres, si on vous demande de déterminer l'équation du cercle de diamètre [AB] il suffira d'utiliser :
M( x ; y) cercle de diamétre [AB]
AMB est un triangle rectangle
les vecteurs (x - xA; y - yA) et (x - xB; y - yB) sont orthogonaux
(x - xA)(x - xB) + ( y - yA) ( y - yB) = 0
et on arrive après quelques transformations à une équation de la forme
(x - a)² + (y - b)² = r²
Réciproquement : une équation à deux inconnues qui est équivalente à une équation de la forme
(x - a)² + (y - b)² = r² où a et b sont des constantes réelles est l'équation d'un cercle.
Exemple :
on considère l'équation x ² - 4x + y² - 6y - 12 = 0
on met sous la forme canonique les deux polynômes x² - 4x et y² - 6y x ² - 4x + 4 - 4 + y² - 6y + 9 - 9 -12 = 0
(x - 2)² - 4 + (y - 3)² - 9 - 12 = 0
(x -2)² + (y -3)² = 25
qui est l'équation du cercle de centre de coordonnée (2 ; 3) et de rayon 5.
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)
est un polynôme 
par p(x) = 
[X] 
) aussi d'une fonction f : ou une partie I de
connaissance de son terme initial.
un+1
un+1
Dg 
( 
Dg , on dit que (g o f ) (x) = g(f(x))
Dg , x n'a pas d'image par g o f 
alors g o f est définie sur ]-
[1 ; +
. 
.
.
. 
.
.
.
ou en 0. Si on n'a aucune idée de la limite à trouver, on peut s'aider de la représentation graphique ou d'une calculatrice
par une fonction connue de limite nulle. Dans ce cas, il ne faut jamais oublier la valeur absolue et il ne faut la retirer que lorsque le signe de f(x)-l est connu.
B, on dit aussi que A est un sous ensemble de B. 
, le nombre des éléments d'un ensemble E fini est appelé cardinal de E et note card E
( que l'on lit A inter B) est ici l'ensemble des individus appartenant à la fois à 
1, 
) + P(A) = 1
) = 1
tel que 
.
, et la série statistique S' de modalités 
de la série statistique S' est telle que : 
un vecteur du plan, la translation T de vecteur 
associe à tout point M du plan le point 
tel que 
. La composition de deux translations de vecteurs 
et 
est la translation de vecteur 
, elle ne dépend pas de l'ordre dans lequel on effectue les deux translations. Une translation envoie une droite sur une droite parallèle.
tel que 
. Il s'agit également d'une rotation d'angle 
.
une symétrie de centre 
, alors la tranformation 
est une translation de vecteur 
.
associe à tout point M du plan un point 
tel que 
et 
(angle orienté). Attention, si on remplace 
par 
on applique la rotation inverse de la rotation voulue. Si 
, la rotation est l'identité. Si 
, c'est une symétrie centrale.
tel que 
soit perpendiculaire à D et que le milieu de ![$[MM']$](http://www.animath.fr/cours/deho_geo/deho_geo025.gif)
appartiennent à la droite D.
est l'angle entre les axes D et 
des réflexions s et 
, alors la composée 
est une rotation d'angle 
et dont le centre est le point d'intersection des droites D et 
.
associe à tout point M du plan le point 
tel que 
. Si 
on retrouve la symétrie centrale. Une homothétie envoie une droite sur une droite qui lui est parallèle. Les seules droites invariantes sont celles qui passent par le centre de l'homothétie. Une homothétie conserve les angles et multiplie les longueurs par 
. Si 
est un vecteur du plan, son image 
vérifie 
. Une homothétie conserve donc les rapports de longueurs.
.
+ β 
= 
;
,
= 
Télécharger la 
,
= 
.
,
+ β 
)
= α 
= β 
= 
+ 
.
, 
), remplacer M par O permet d'obtenir les coordonnées du barycentre.
+ 
= 
.
(formule d'Apollonius de Perge, 262/190 avant J.-C.)
ou |MA2 - MB2| = 2 AB × I H ; le point H est la projection du point M sur la droite (AB).
est un vecteur constant indépendant du point M. Il n'y a pas de barycentre si A et B sont distincts.
= 
Sur la figure 4 ci-contre :
= β 
= γ 
= 
+ 
Télécharger la 
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, à partir de A, de cette médiane.
où I est le milieu de [BC].
= 
correspondant deux angles orientés distincts 
et 
et 
quelconques de l'espace ou du plan , il suffit de prendre deux représentants de 
toute mesure de l'
correspond un unique angle orienté 
ou k 
est une mesure de l'angle 
non nuls on a : 
une mesure de l'angle de vecteur 
) ou O est un point de la droite D et 
, 
= x
. 
.
avec 
sont des définitions possibles du produit scalaire de deux vecteurs 
)
( mesures comprises en 0 et p)
(x - xA; y - yA) et 
(x - xB; y - yB) sont orthogonaux 