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  Analyse Fonctionnelle
 

L'analyse fonctionnelle est la branche des mathématiques et plus particulièrement de l'analyse qui est en rapport avec l'étude des espaces de fonctions. Elle prend ses racines historiques dans l'étude des transformations telles que la transformation de Fourier et dans l'étude des équations différentielles et des intégrales. A ce titre elle englobe tellement de domaines qu'il est difficile de justifier qu'elle fasse l'objet d'un chapitre car il s'agit plutôt d'un domaine d'études. Par ailleurs, c'est à cause de cette difficulté de cerner exactement le domaine qu'elle touche que le lecteur trouvera le théorème fondamental de l'analyse dans le chapitre de calcul différentiel et intégral plutôt qu'ici.

Pourquoi ceci dit utilisons nous le terme "analyse" dans le cas particulier des fonctions. La raison vient pour des raisons historiques à l'étude des divers phénomènes de la nature et la résolution de divers problèmes techniques et par conséquent de mathématiques, qui nous amènent souvent à considérer la variation d'une grandeur en corrélation avec la variation d'une autre ou de plusieurs autres grandeurs. Pour étudier ces variations, de nombreux outils sont à la disposition de tout à chacun :

- L'ingénieur physicien a par exemple fréquemment recours à la représentation graphique (système d'axes cartésien, polaire, logarithmique... concepts sur lesquels nous reviendrons plus en détail) pour déterminer la relation (ou "loi") mathématique qui lient les différentes grandeurs entre elles. Certes ce genre de méthode est (parfois...) esthétique mais les étudiants savent bien combien il est pénible en laboratoire de devoir porter des points sur une feuille de papier ou à l'ordinateur. C'est malheureusement une étape nécessaire (mais dont il faudrait éviter de faire une utilisation abusive) pour comprendre comment nos prédécesseurs travaillaient et ont obtenu les résultats qui nous aident aujourd'hui dans nos avancées en physique théorique.

- Le mathématicien et le physicien théoricien ont habituellement horreur d'avoir recours aux méthodes papier-crayon-gribouillage. Quoiqu'il en soit, le rôle du mathématicien ou du physicien est de développer de nouvelles théories à l'aide d'axiomes ou de principes mathématiques ce qui ne devrait nécessiter aucunement le recours à la représentation graphique et à l'accès aux mesures expérimentales qui y sont souvent rattachées.

Remarque: Avant de commencer la lecture de ce qui va suivre, il peut être utile de rappeler au lecteur que la définition du concept de "fonction" (et les propriétés élémentaires y relatives) sont données dans le chapitre de Théorie Des Ensembles.

Représentations

Nous allons voir dans ce qui va suivre, dans un premier temps, comment représenter différentes grandeurs liées de façon tabulaire et graphique (eh oui! il faut bien car cela aide à comprendre) et ensuite comment analyser mathématiquement les propriétés de ces représentations uniquement à l'aide d'outils mathématiques abstraits.

Définition: Une fonction est dite "fonction univalente", si le nombre de ses arguments (paramètres ou variables) est égal à un. Dans le cas d'une fonction à deux arguments, nous parlons de "fonction bivalente", etc.

REPRÉSENTATION TABULAIRE

Parmi le mode de représentation visuel des fonctions, la plus intuitive et la plus ancienne est celle où nous disposons dans la colonne ou la ligne d'un tableau de façon ordonnée les valeurs de la variable indépendante  et les valeurs correspondantes, dites "variables transformées" de la fonction dans une autre colonne ou ligne alignée. 

Telles sont par exemple, les tables des fonctions trigonométriques, les tables logarithmiques, etc. et au cours de l'étude expérimentale de certains phénomènes des tables qui expriment la dépendance fonctionnelle existant entre des grandeurs physiques mesurées tel que les relevés de la température de l'air enregistrés dans une station météorologique durant une journée.

Bien évidemment, ce concept est généralisable à toute fonction multivalente quelque soit son ensemble de définition.

Cependant, cette méthode elle est laborieuse et ne permet pas de voir directement le comportement de la fonction et donc une analyse visuelle simple et intéressante de ses propriétés. Elle a pour avantage quand même de ne pas nécessiter d'outils spéciaux ou de connaissances mathématiques poussées.

REPRÉSENTATIONS graphiqueS

Les nombres naturels, relatifs, réels ou purement complexes (cf. chapitre sur les Nombres) peuvent tous êtres représentés le plus simplement du monde par des points sur un axe numérique (ligne droite) infini. 

Pour ce faire, nous choisissons sur cet axe: 

1. Un point O appelé "origine"

2. Un sens positif, que nous indiquons par une flèche horizontale

3. Une unité de mesure (représenté habituellement par un petit trait vertical : la "graduation")

Tel que :


  
(1)

Le plus souvent nous disposons (par tradition) l'axe horizontalement et choisissons la direction de gauche à droite.

Remarque: Le point (lettre) O, représente très fréquemment le nombre zéro en mathématique mais nous pourrions très bien choisir de mettre l'origine ailleurs. Par exemple, en physique le point O
est souvent positionné à l'emplacement du barycentre d'un système.

Il est évident que le fait que les ensembles de nombres dont nous avons parlé soient ordonnés implique que tout nombre est représenté par un seul point de l'axe numérique. Ainsi, deux nombre réels distincts correspondent deux points différents de l'axe numérique.

Ainsi, il existe une correspondance biunivoque entre tous les nombres et tous les points de l'axe numérique (dans le cas des nombres réels ou complexes, il correspond non pas un nombre à chaque graduation mais un nombre à chaque point de l'axe). Ainsi, à chaque nombre correspond un point ou une graduation unique et inversement à chaque point ou graduation correspond un seul nombre dont il est l'image.

REPRÉSENTATIONS PLANES

Il existe outre les représentations unidimensionnelle d'autres de dimensions supérieurs (ouf!) qui nous permettent de tracer non plus que des simples points sur une droite unidimensionnelle mais des fonctions d'une variable. Voyons de quoi il s'agit :

Nous pouvons à chaque valeur d'une variable x reportée sur un axe horizontal, appelé "axe des abscisses" ou "axe des x", faire correspondre une valeur y au travers d'une fonction f :

    (2)

reportée sur un axe vertical, appelé "axe des ordonnées" ou "axe des y" qui passe par le croisement défini par l'origine O tel que (exemple arbitraire) :


  
(3)

L'ensemble des points du plan noté sous les variantes XOY, XY ou encore xOy, Oxy, xy, dont les abscisses représentent par tradition les valeurs de la variable indépendante et les ordonnées les valeurs correspondantes de la fonction, est appelé "graphique plan" de cette fonction. S'il n'y a pas de confusion possible nous dirons simplement "graphique".

Dans le cas d'une représentation par un système de coordonnées rectangulaires (cartésien, polaire ou logarithmique) comme la figure ci-dessus, nous pouvons observer que l'ensemble du plan des coordonnées est séparé en quatre surfaces que nous avons pour habitude d'appeler "quadrants".

Remarque: Lorsque nous souhaitons mettre en évidence un point particulier de la fonction représentée, nous y dessinons un petit rond tel que présenté ci-dessus.

Un autre cas classique de représentation graphique plane connu par un grand nombre d'étudiants est le tracé des polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique) à coefficients réels.

Effectivement, pour résoudre les équations polynomiales du second degré (cf. chapitre de Calcul Algébrique), il est fréquent dans les petites classes que le professeur demande en plus à ses élèves de donner un expression algébrique des racines de :

  (4)

données par, rappelons-le :

  (5)

une résolution graphique où les deux racines (dans le cas où il y en a deux distinctes réelles) sont données par l'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses (bien évidemment, si l'équation n'a pas de solutions, il n'y a pas d'intersections...) :


  
(6)

La représentation graphique étant généralisable aux équations polynomiales du 3ème, 4ème et 5ème degré (nous démontrerons bien plus loin, à l'aide de la théorie de Galois qu'il n'est pas possible d'obtenir une expression algébrique générale des racines d'une équation polynômiale du 5ème degré et supérieur).

REPRÉSENTATIONS 3D

Bien évidemment, dans le cas d'une fonction trivalente (tri-dimensionnelle), c'est-à-dire dont un paramètre dépend de deux autres, le principe reste le même à la différence que le nombre de quadrants double. Par exemple (c'est toujours joli à regarder... même si cela ne représente rien de concret) :

.
  
(7)

Cette méthode de représentation et d'analyse d'une fonction trivalente était longue à mettre en place il y a une dizaine d'années mais avec l'aide des ordinateurs en ce 21ème siècle ce problème (de temps) est assez bien résolu...

REPRÉSENTATIONS vectorielles

Il est aussi fréquemment fait usage des représentations graphiques dans le cadre de la géométrie analytique pour simplifier les analyses ou faire des démonstration de théorèmes connus sous forme visuelles (il faut cependant pas en abuser!).

Ainsi, nous pouvons introduire par exemple le concept de norme (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) de manière simpliste en représentant graphiquement la distance entre deux points et en appliquant le théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) qui sera supposé connu.

Ainsi, représentons trois points sur un graphique plan dans lequel a été défini un repère tel que présenté dans le graphique ci-dessous :


  
(8)

Si et  (comme sur la figure ci-dessus), les points  sont les sommets d'un triangle rectangle. Par application du théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) :

  (9)

Sur la figure, nous voyons que :

 et     (10)

Puisque , nous pouvons écrire :

  (11)

Si , nous nous retrouvons avec une relation appelée "norme", "module" ou encore "distance" que nous avions déjà défini dans le cadre de note étude de l'analyse vectorielle (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Bien évidemment, si nous considérons deux points , nous pouvons déterminer si un troisième point est sur la médiatrice (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) des deux premiers et qu'il suffit pour cela que bien évidemment (par définition même de la médiatrice) :

  (12)

Comme  sont connus, nous pouvons facilement exprimer une "expression analytique" de la médiatrice du type :

  (13)

a, b sont des constantes et où tout point qui satisfait cette relation, qui est en l'occurrence l'équation d'une droite, se trouve sur la médiatrice.

Par ailleurs, il est aisé de visualiser que le point milieu du segment de droite est donné par :

  (14)

Donc nous voyons qu'avec une simple représentation graphique, nous pouvons obtenir des résultats qui sont parfois (...) plus évident pour les étudiants.

Profitons de cet exemple pour définir quelques concepts sur lesquels nous reviendrons et faire quelques rappels.

Définition: Toute fonction de la forme d'un polynôme (cf. chapitre de Calcul Algébrique) de degré 1 à coefficients réels constants :

  (15)

est l'expression analytique de ce que nous appelons une "droite" de "pente" a et "d'ordonnée à l'origine" b (quand ) .

Bien évidemment, si :

  (16)

la droite est horizontale si nous la représentons graphiquement puisque y est constant pour tout x et vaut alors b. Inversement, si :

  (17)

la droite est une verticale.

PROPRIÉTÉS DES représentations GRAPHIQUES

Selon le type de graphique que nous visualisons (en particulier les graphiques plans) il est possible d'extraire certaines propriétés de base. Voyons les plus importantes à connaître pour les graphiques plan d'une fonction à une variable :

  (18)

P1. Le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées si le changement de x en -x ne modifie pas l'équation tel que :


  
(19)

P2. Le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'axe des abscisses si le changement de y en -y ne modifie pas l'équation tel que :


  
(20)

P3. Le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'origine si le changement simultané de y en -y et de x en -x ne modifie pas l'équation tel que :


  
(21)

P4. Soit une fonction , si nous ajoutons une constante à cette fonction tel que nous écrivions : 

  (22)

alors le graphique de f est déplacé (ou "translaté") verticalement vers le haut d'une distance et inversement si mais que :

  (23)

alors le graphique est bien évidemment translaté verticalement vers le bas.

Nous pouvons aussi envisager des translations horizontales de graphiques. Précisement, si , alors est translaté horizontalement vers la droite si nous écrivons :

  (24)

et inversement, translaté horizontalement vers la gauche, si nous écrivons :

  (25)

Pour étirer ou comprimer verticalement un graphique, il suffit de multiplier la fonction par une constante et respectivement tel que :

  (26)

et pour étirer ou comprimer horizontalement un graphique, il suffit de même, de multiplier la fonction par une constante et respectivement ou tel que :

  (27)

Remarque: Translater, étirer, comprimer un graphique ou lui faire subit une symétrie c'est le transformer. Le graphique résultant de ces transformations est appelé le "transformé" du graphique de départ.

Définitions: Nous disons qu'une fonction f est :

- Une "fonction croissante" ou "fonction croissante au sens large" sur I si pour tout  couple , d'éléments de I tels que , nous avons . Ce que nous notons de manière condensée:

  (28)

- Une "fonction décroissante" ou "fonction décroissante au sens large" sur I si pour tout couple , d'éléments de I tels que , nous avons . Ce que nous notons de manière condensée:

  (29)

Remarque: Une "fonction monotone" ou "fonction monotone au sens large" sur I si elle est croissante sur I ou décroissante.

-Une "fonction strictement croissante" sur I si pour tout couple , d'éléments de I tels que , nous avons . Ce que nous notons de manière condensée:

  (30)

- Une "fonction strictement décroissante" sur I si pour tout couple , d'éléments de I tels que , nous avons . Ce que nous notons de manière condensée:

  (31)

Remarque: Nous disons qu'une "fonction strictement monotone" sur I si elle est strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I.

REPRÉSENTATIONs analytiques

Le mode de représentation analytique est de loin le plus utilisé et consiste à représenter toute fonction en une "expression analytique" qui est la notation mathématique symbolique et abstraite de l'ensemble des opérations mathématiques connues que l'on doit appliquer dans un certain ordre à des nombres et des lettres exprimant des grandeurs constantes ou variables que nous cherchons à analyser.

Remarquons que par ensemble des opérations mathématiques connues, nous envisageons non seulement les opérations mathématiques vues dans la section arithmétique (addition, soustraction, extraction de la racine, etc.) mais également toutes les opération qui seront définies au fur et à mesure dans le présent site internet.

Si la dépendance fonctionnelle  est telle que f est une expression analytique, nous disons alors que la "fonction y de x" est "donnée analytiquement". Voici quelques exemples d'expressions analytiques simples :

, ,   (32)

Lorsque nous avons déterminé l'équation de la médiatrice, nous avons obtenu une expression analytique de la droite visuelle qui l'a caractérise sous la forme d'une fonction du type :

  (33)

qui rappelons-le, est donc l'expression analytique l'équation d'une droite, appelée également "équation linéaire" ou "fonction affine", sur un plan dont si deux points sont connus, la pente est donnée par le rapport de l'accroissement vertical sur l'accroissement horizontal tel que :

  (34)

Une application sympathique et triviale consiste à démontrer analytiquement que deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente. Ainsi, soit deux droites données par les équations :

  (35)

Les droites se coupent en un point  si et seulement si les valeurs de y sont égales pour un certain x, c'est-à-dire :

  (36)

La dernière équation peut être résolue par rapport à x si et seulement si . Nous avons donc montré que les droites  se coupent si et seulement si . Donc, elles ne se coupent pas (elles sont parallèles) si et seulement si .

De façon assez simple en appliquant le théorème de Pythagore, il n'est pas compliqué de déterminer que l'équation d'un cercle de centre C(h,k) à pour équation (nous avons pour habitude en mathématique de ne pas expliciter y pour l'équation du cercle ainsi, l'équation de ce dernier est visuellement beaucoup plus esthétique et parlante) 

  (37)

Dans ces exemples les fonctions sont exprimées analytiquement par une seule formule (égalité entre deux expressions analytiques) qui définit dans un même temps le "domaine naturel de définition" des fonctions.

Définition: Le "domaine naturel de définition" d'une fonction donnée par une expression analytique est l'ensemble des valeurs x pour lesquelles l'expression du membre droit a une valeur bien déterminée.

Par exemple, la fonction :

  (38)

est définie pour toutes les valeurs de x, excepté la valeur  où nous avons une singularité (division par zéro).

Remarque: Il existe une infinité de fonction et nous ne pouvons toutes les exposer ici, cependant nous en rencontrerons plus d'un millier sur l'ensemble du site et cela devrait amplement suffire à se faire une idée de leur étude.

FONCTIONS

Définitions:

D1. Nous disons que y est une fonction de x et nous écrirons , etc., si à chaque valeur de la variable x appartenant à un certain domaine de définition (ensemble) D, correspond une valeur de la variable y dans un autre domaine de définition (ensemble) E. Ce que nous notons :

  (39)

La variable x est appelée "variable indépendante" ou "variable d'entrée" et y "variable dépendante". 

La dépendance entre les variables x et y s'appelle une "dépendance fonctionnelle". La lettre f, qui entre dans la notation symbolique de la dépendance fonctionnelle, indique qu'il faut appliquer certaines opérations à x pour obtenir la valeur correspondant y. Nous écrivons parfois  au lieu de ; dans ce cas la lettre y exprime en même temps la valeur de la fonction et le symbole des opérations appliquées à x.

Remarque: Comme nous l'avons vu lors de notre étude de la théorie des ensembles, une application (ou fonction) peut-être injective, bijective ou surjective. Il convient donc que le lecteur dont ces notions ne sont pas connues aille en priorité lire ces définitions.

D2. L'ensemble des valeurs x pour lesquelles la valeur de la fonction y est donnée par la fonction f(x) est appelé "domaine d'existence" de la fonction (ou domaine de définition de la fonction).

D3. La fonction  est dite "fonctions croissante" si à une plus grande valeur de la variable indépendante correspond une plus grande valeur de la fonction (de l'image). Nous définissons de manière analogue mais inverse la "fonction décroissante". Une "fonction constante" est une fonction pour laquelle à toute valeur de la variable indépendante correspond toujours une même image constante.

D4. La fonction  est dit "fonction périodique" s'il existe un nombre constant  tel que la valeur de la fonction ne change pas quand nous ajoutons (ou que retranchons) le nombre à la variable indépendante tel que:

  (40)

Ce qui correspondant à une translation selon x. La plus petite constante satisfaisant à cette condition est appelée "période" de la fonction. Elle est fréquemment notée T en physique.

D5. En calcul différentiel et intégral, l'expression :

  (41)

avec est d'un intérêt particulier. Nous l'appellons un "quotient d'accroissement" (nous reviendrons beaucoup plus en détail sur ce sujet lors de notre étude du calcul différentiel et intégral).

D6.  Nous utilisons certaines propriétés des fonctions pour faciliter leur représentation graphique et leur analyse. En particulier, une fonction f(x) est dite "fonction paire" si :

  (42)

pour tout x dans son domaine de définition. Une fonction est dite "fonction impaire" si :

  (43)

pour tout x dans son domaine de définition.

Ainsi, pour résumer une fonction paire est une fonction qui ne dépend pas du signe de la variable et une fonction impaire change de signe quand nous changeons le signe de la variable (la spirale de Cornus dans le chapitre de Génie Civil est un bon exemple pratique de fonction impaire). Ce concept nous sera très utile pour simplifier certaines expressions très utiles en physique (comme les transformées de Fourier des fonctions paires ou impaires par exemple!).

Montrons maintenant que toute fonction f(x) est la somme d'une fonction paire g(x) et d'une fonction impaire h(x).

Remarque: Ce type de théorème qui consiste à relier un concept général par un cas particulier et son opposé se retrouve souvent en mathématiques. Nous retrouverons de tels exemples en calcul tensoriel avec les tenseurs symétriques et anti-symétriques (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) ou encore en physique quantique avec les opérateur hermitique et anti-hermitiques (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire).

Démonstration:

Posons :

  (44)

alors :

  (45)

Si nous sommons, nous avons dès lors :

  (46)

et en soustrayant :

  (47)

Il existe donc bien une décomposition paire et impaire de toute fonction.

C.Q.F.D.

D7. De façon générale, si f(x) et g(x) sont des fonctions quelconques, nous utilisons la terminologie et les notations données dans le tableau suivant suivant :

Terminologie Valeur de la fonction
Somme
Différence
Produit
Quotient
  (48)

Les domaines de définition de , , sont l'intersection I des domaines de définition de f(x) et de g(x), c'est-à-dire les nombres qui sont communs aux deux domaines de définition. Le domaine de définition de est quant à lui le sous-ensemble de I comprenant tous les x de I tels que .

D8. Soit y une fonction de u et u une fonction de la variable x, alors y dépend alors de x et nous avons ce que nous appelle une "fonction composée" et que nous notons:

ou   (49)

Pour la dernière notation, il faut lire "f rond g" et ne pas confondre le "rond" avec la notation du produit scalaire que nous verrons lors de notre étude du calcul vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Le domaine de définition de la fonction composée est soit identique au domaine tout entier de définition de la fonction , soit à la partie de ce domaine dans laquelle les valeurs de u sont telles que les valeurs correspondantes f(u) appartiennent au domaine de définition de cette fonction.

Le principe de fonction composée peut être appliquée non seulement une fois, mais un nombre arbitraire de fois.

Si x ne dépend pas d'une autre variable (ou qu'elle n'est pas elle même une fonction composée), nous disons alors que est une "fonction élémentaire".

Les principales fonctions élémentaires sont des fonctions dont l'expression analytique est l'une des suivantes:

1. La "fonction puissance" : 

  (50)

m est un nombre positif différent de 1 (sinon il s'agit d'une fonction linéaire).


  
(51)

2. La "fonction exponentielle" : 

    (52)

a est un nombre positif différent de 1.

3. La "fonction logarithmique" : 

  (53)

où la base du logarithme est un nombre positif a différent de l'unité (cette fonction sera définie rigoureusement un peu plus loin).

Remarque: Les fonctions exponentielles et logarithmiques sont appelées parfois des "fonctions transcendantes".

4. Les "fonctions trigonométriques" (cf. chapitre de Trigonométrie) :

...   (54)

5. Les "fonctions polynomiales" : 

  (55)

sont des nombres constants appelés coefficients et n est un entier positif que nous appellons "degré du polynôme" (cf. chapitre de Calcul Algébrique). Il est évident que cette fonction est définie pour toutes les valeurs de x, c'est-à-dire qu'elle est définie dans un intervalle infini.

6. Les "fractions rationnelles" qui sont des divisions de polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique): 

  (56)

7. Les "fonctions algébriques" sont définies par le fait que la fonction est le résultat d'opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, de division, de variables élevées à une puissance rationnelle non entière.

Remarque: Il existe cependant un très grand nombre de fonction que nous rencontrerons dans les différents chapitre du site. Citons par exemple les "fonctions de Bessel" (cf. chapitre des Suites Et Séries), les "fonctions lipschitziennes" (cf. chapitre de Topologie), les "fonctions de Dirac" (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral), les "fonctions de répartition et de distribution" (cf. chapitre de Statistiques), la "fonction gamma d'Euler" (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral), etc.

LIMITE ET CONTINUITÉ DES FONCTIONS

Nous allons considérer maintenant des variables ordonnées d'un type spécial, que nous définissons par la relation "la variable tend vers une limite". Dans la suite de ce cours, la notion de limite d'une variable va jouer un rôle fondamental, étant intimement liée aux notions de base de l'analyse mathématique, la dérivée, l'intégrale, etc.

Définition: Le nombre a est appelé la "limite" de la grandeur variable x, si, pour tout nombre arbitrairement petit avons :

  (57)

Si le nombre a est la limite de la variable x, nous disons que "x tend vers la limite a".

Nous pouvons définir également la notion de limite en partant de considérations géométriques (cela peut aider à mieux comprendre... quoique pas toujours...) :

Le nombre constant a est la limite de la variable x, si pour tout voisinage donné, aussi petit qu'il soit, de centre a et de rayon , nous pouvons trouver un valeur x telle que tous les points correspondant aux valeurs suivantes de la variable appartiennent à ce voisinage (notions que nous avons défini précédemment). Géométriquement nous représentons cela ainsi:


  
(58)

Remarque: Il devrait être trivial que la limite d'une grandeur constante est égale à cette constante, puisque l'inégalité  est toujours satisfaite pour  arbitraire.

Il découle également de la définition de la limite qu'une grandeur variable ne peut pas avoir n'importe comment deux limites. En effet, si  et  avec , x doit satisfaire simultanément aux deux inégalités suivantes :

 et   (59)

pour  arbitrairement choisi. Mais si nous faisons une représentation géométrique identique à la précédente, nous voyons assez aisément que cela est impossible si :

  (60)

Il ne faut également pas s'imaginer que chaque variable doit nécessairement avoir une limite.

Définition: La variable x tend vers l'infini, si pour chaque nombre positif donné M nous indiquons une valeur de x à partir de laquelle toutes les valeurs conséquentes de la variable (valeurs de la variable appartenant dans le voisinage défini à partir de valeur indiquée précédemment) x vérifient l'inégalité .

Nous pouvons vérifier ce genre de cas dans les suites arithmétiques, géométriques, ou harmoniques où chaque terme de la progression est une valeur que prend la variable x.

La variable x "tend vers plus l'infini", ou  si pour  arbitraire, à partir d'une certaine valeur, toutes les valeurs conséquentes de la variable vérifient l'inégalité . C'est typiquement le genre de considération que nous avons pour des progressions divergentes vers l'infini ou à partir d'un certain terme de valeur égale à M tous les termes suivant sont supérieurs à M.

La variable x "tend vers moins l'infini" ou  si pour  arbitraire, à partir d'une certaine valeur, toutes les valeurs suivantes de la variable vérifient l'inégalité .

Définition: Soit  une fonction définie dans un voisinage du point a ou en certains points de ce voisinage. La fonction  tend vers la limite b   lorsque x tendant vers a , si pour chaque nombre positif  , aussi petit qu'il soit, nous pouvons indiquer un nombre positif  tel que tous les x différents de a et vérifiant l'inégalité  satisfont également :

  (61)

L'inégalité  permet d'exprimer le côté (ou le sens) depuis lequel nous venons avec notre x. Car sur le système d'axe représentant des valeurs ordonnées, nous pouvons, pour une valeur donnée, venir de sa gauche ou de sa droite pour se rapprocher d'elle (imaginez-vous au besoin, un bus qui peut venir depuis un côté ou un autre de la route tant que la distance qui le sépare à l'arrêt qui nous intéresse est inférieur à ).

Si b est la limite de la fonction f(x) quand , nous écrivons alors sur ce site en tout les cas:

  (62)

Pour définir le côté depuis lequel nous venons en appliquant la limite, nous utilisons une notation particulière (rappelons que cela permet de connaître de quel côté de la route vient notre bus).

Ainsi, si f(x) tend vers la limite  quand x tend vers un nombre a en ne prenant que des valeurs plus petites que a, nous écrirons alors:

  (63)

(remarquez le petit – en indice) et nous appellerons  la "limite à gauche" de la fonction f(x) au point a à , donc les petites valeurs par rapport à une valeur donnée, se trouvent à gauche). Si x prend des valeurs plus grande que a, nous écrirons alors: (car rappelez vous que l'axe des ordonnées va de

  (64)

(remarquez le petit + en indice) et nous appellerons  la "limite à droite" de la fonction au point a.

Définition: La fonction f(x) tend vers la limite b quand  si pour chaque nombre positif   aussi petit qu'il soit nous pouvons indiquer un nombre positif N tel que pour toutes les valeurs de x vérifiant l'inégalité , l'inégalité

Exemple:

Montrons que (nous supposons le résultat connu pour l'instant): 

  (65)

Il faut démontrer que, quel que soit , l'inégalité  sera satisfaite dès que , où N est défini par le choix de . L'inégalité précédente est évidemment équivalente à , qui est satisfait si nous avons x:

  (66)

Nous admettons que l'exemple et la méthode sont discutables mais nous verrons plus tard les outils mathématiques adéquats pour arriver rigoureusement, sans magouilles et hypothèses de départ, au résultat obtenu précédemment.

La signification des symboles  et , rend évidente celle des expressions :

f(x) tend vers b quand

et :

f(x) tend vers b quand

que nous notons symboliquement par:

et   (67)

Nous avons étudié le cas où la fonction f(x) tend vers une certaine limite b quand  ou . Considérons maintenant le cas où la fonction  tend vers l'infini quand la variable x varie d'une certaine manière.

Définition: La fonction f(x) tend vers l'infini quand , autrement dit f(x) est infiniment grande quand , si pour chaque nombre positif M, aussi grand qu'il soit, nous pouvons trouver un nombre  tel que pour toutes les valeurs de x différentes de a et vérifiant la condition , l'inégalité  est satisfaite.

Si f(x) tend vers l'infini quand , nous écrivons:

  (68)

Si f(x) tend vers l'infini quand , en ne prenant que des valeur positives ou que des valeurs négatives, nous écrivons respectivement :

et    (69)

Si la fonction f(x) tend vers l'infini quand  on écrit:

  (70)

et en particulier, nous pouvons avoir:

, , ,   (71)

Il peut arriver que la fonction f(x) ne tende ni vers une limite finie, ni vers l'infini quand  (par exemple ), la fonction est alors bornée (cf. chapitre de Théorie des Ensembles).

Maintenant que nous avons grosso modo eu un aperçu du concept de limite, nous allons donner une définition extrêmement importante qui est un des piliers de beaucoup de domaines de la mathématique et de la physique.

Définition: Soit f une fonction définie sur . Soit , nous disons que nous avons une "fonction continue" en  si et seulement si:

  (72)

c'est-à-dire si (il faut pouvoir arriver à y lire le fait qu'on s'approche de manière infiniment petite d'une limite ce qui permet d'assurer le continuité) que  tel que  alors:

  (73)

Remarque: f est "continue à droite" (resp. à gauche) si nous rajoutons la condition  (resp. ).

Nous avons les corollaires triviaux suivants:

C1. f est continue en  si et seulement si f est continue à droite et à gauche en

C2. f est continue sur I si et seulement si f est continue en tout point de I.

ASYMPtOTES

Le terme d'asymptote est utilisé en mathématiques pour préciser des propriétés éventuelles d'une branche infinie de courbe à accroissement tendant vers l'infinitésimal.

L'étude du comportement asymptotique est particulièrement développé dans les études de fonctions. Dans le domaine scientifique, il arrive fréquemment d'étudier des fonctions dépendant du temps (évolution de populations, réaction chimique ou nucléaire, graphique de température, oscillation d'un amortisseur). Un des objectifs du chercheur est alors de connaitre l'état à la fin de l'expérience, c'est à dire lorsqu'un grand intervalle de temps s'est écoulé. L'objectif n'est alors pas de connaitre les variations intermédiaires mais de déterminer le comportement stable, à l'infini du phénomène mesuré. Le chercheur étudie donc le comportement asymptotique de sa fonction avec les outils que les mathématiques lui offrent.

Définitions :

D1. Lorsque la limite d'une fonction f(x) tends vers une constante quand , alors la représentation graphique de cette fonction nous amène à dessiner une droite horizontale que nous appelons "asymptote horizontale" et dont l'équation est :

  (74)

D2. Lorsque la limite d'une fonction f(x) tends vers quand , alors la représentation graphique de cette fonction nous amène à dessiner une droite verticale que nous appelons "asymptote verticale" et dont l'équation est :

  (75)

Exemple: La courbe représentative de la fonction f(x)=1/(x-1) admet la droite d'équation  comme asymptote verticale et  comme asymptote horizontale.


  
(76)

D3. La droite d'équation  est une "asymptote oblique" à la courbe de la fonction f(x) si :

  (77)

les valeurs de a et de b peuvent se retrouver facilement à l'aide des relations suivantes :

  (78)

Remarque: Attention une courbe peut admettre deux asymptotes obliques distinctes en + et en -

Pour rechercher une asymptote oblique éventuelle, il faut déjà être sur que la fonction f admet une limite infinie en + ou en - ensuite nous cherchons la limite en + ou en de f(x)/x .

Trois cas sont à considérer :

C1. La courbe représentative de f a pour direction asymptotique la droite d'équation :

  (79)

Exemple: La fonction  possède une asymptote d'équation

  (80)

C2. La courbe représentative de f admet une branche infinie (cette branche infinie n'admet pas d'asymptote) et l'axe des abscisses en est la  direction asymptotique (fonction racine carrée par exemple)

  (81)

Exemple: La fonction  ou  ont une limite f(x)/x nulle et possèdent donc toutes deux une "branche parabolique" de direction Ox.


  
(82)

C3. La courbe représentative de f admet une branche infinie (cette branche infinie n'admet pas d'asymptote) et l'axe des ordonnées en est la direction asymptotique. (nous parlons aussi de "branche parabolique" voir de "fonction carrée")

  (83)

Exemple: La fonction  à une limite f(x)/x infinie et possède donc une "branche parabolique" de direction Oy.


  
(84)

Logarithmes

Nous avons longuement hésité à mettre la définition des logarithmes dans le chapitre traitant du calcul algébrique. Après un moment de réflexion, nous avons décidé qu'il valait mieux la mettre ici car pour bien la comprendre, il faut avoir connaissance des concepts de limite, domaine de définition et fonction exponentielle. Nous espérons que notre choix vous conviendra au mieux.

Soit la fonction exponentielle (bijective) de base quelconque a, où notée :

  (85)

pour laquelle il correspond à  chaque nombre réel x, exactement un nombre positif (l'ensemble image de la fonction est dans ) tel que les règles de calcul des puissances soient applicables (cf. chapitre de Calcul Algébrique).

Nous savons que pour une telle fonction, que si , alors f(x) est croissante et positive dans , et si , alors f(x) est décroissante et positive dans

Remarques: 

R1. Si , lorsque x décroît vers des valeurs négatives, le graphique de f(x) tend vers l'axe des x. Ainsi, l'axe des x est une asymptote horizontale. Lorsque x croît par valeurs positives, le graphique monte rapidement. Ce type de variation est caractéristique de la "loi de croissance exponentielle" et f(x) est quelque fois appelée "fonction de croissance". Si , lorsque x croît, le graphique tend asymptotiquement vers l'axe des x. Ce type de variation est connue sous le nom de "décroissance exponentielle".

R2. En étudiant , nous excluons le cas et . Notons que si , alors n'est pas un nombre réel pour de nombreuses valeurs de x (nous rappelons que l'ensemble image est contraint à ). Si , n'est pas défini. Enfin, si , alors pour tout x et le graphique de f(x) est une droite horizontale.

Puisque la fonction exponentielle f(x) est bijective alors il existe une fonction réciproque et appelée "fonction logarithme" de base a notée :

  (86)

Et donc :

  (87)

si et seulement si .

En considérant  comme un exposant, nous avons les propriétés suivantes :

Propriétés Jusitification

  (88)

Remarque:

R1. Le mot "logarithme" signifie "nombre du logos", "logos" signifiant "raison" ou "rapport".

R2. Les fonctions logarithme et exponentielle sont définies par leur base (le nombre a). Lorsqu'on utilise un base de puissance de 10 (10, 100, 1000,…) nous parlons alors de "système vulgaire" car ils ont pour logarithme des nombres entiers successifs. 

R3. La partie entière du logarithme s'appelle la "caractéristique".

Il existe deux types de logarithmes que nous retrouvons presque exclusivement en mathématique et en physique : le logarithme en base dix et le logarithme en base e (ce dernier étant fréquemment appelé "logarithme naturel" ou plus exactement pour des raisons historiques justifiées "logarithme népérien").

D'abord celui en base 10: 

  (89)

abusivement noté :

  (90)

et celui en base (eulérienne) e

  (91)

historiquement noté:

    (92)

le "n" signifiant "népérien".

Remarque: Historiquement, c'est à John Napier (1550-1617) dont le nom latinisé est "Neper" que l'on doit l'étude des logarithmes et le nom aux "logarithmes néperien".

En français pour la fonction logarithmique en base 10 il faut pour calculer se poser la question suivante : à quelle puissance  devons nous élever 10 pour obtenir x ?

Formellement, cela consiste à résoudre l'équation:  ou sinon avec x étant connu et donc  .

Pour la fonction logarithmique en base eulérienne e (ou dite appelée "base nepérienne") il faut pour calculer se poser aussi la question suivante : à quelle puissance  devons nous élever le nombre e pour obtenir x ?

Formellement, cela consiste à résoudre l'équation :  ou sinon avec x étant connu et donc . Techniquement, nous disons alors que le fonction exponentielle (voir plus bas les détails):

  (93)

est la bijection réciproque de la fonction ln(x).


  
(94)

Mais quel est donc ce nombre "eulérien" appelé également "nombre d'Euler" ? Pourquoi le retrouve-t-on si souvent en physique et en mathématiques? D'abord déterminons l'origine de sa valeur :

Pour cela, il nous faut déterminer la limite de :

  (95)

avec et quand .

L'intérêt que nous avons à poser le problème ainsi c'est que si nous faisons tendre la fonction écrite précédemment tend vers e et cette fonction a pour propriété particulière de pouvoir se calculer plus ou moins facilement pour des raisons historiques à l'aide du binôme de Newton.

Donc d'après le développement du binôme de Newton (cf. chapitre de Calcul Algébrique) nous pouvons écrire :


  
(96)

Ce développement, est similaire au développement de Taylor de certaines fonctions pour des cas particuliers de valeurs de développement (d'où la raison pour laquelle nous retrouvons ce nombre eulérien dans beaucoup d'endroits que nous découvrirons au fur et à mesure).

En effectuant certaines transformations algébriques évidentes, nous trouvons:


  
(97)

Nous voyons de cette dernière égalité que la fonction est croissante quand  croît. En effet, quand nous passons de la valeur  à la valeur  chaque terme de cette somme augmente:

, etc.   (98)

Montrons que la grandeur variable  est bornée. En remarquant que :

, , etc.   (99)

Nous obtenons donc :

  (100)

D'autre part:

  (101)

Nous pouvons donc écrire l'inégalité :

  (102)

Les termes soulignés constituent une progression géométrique de raison  et dont le premier terme est 1. Par suite:

  (103)

Par conséquent nous avons :

    (104)

Nous avons donc prouvé que la fonction est bornée.

La limite:

  (105)

tend donc vers le nombre e dont la valeur est :

  (106)

Remarque: Comme nous l'avons démontré dans le chapitre traitant des Nombres ce nombre est irrationnel.

Nous pouvons alors définir la "fonction exponentielle naturelle" (réciproque de la fonction logarithme néperien) par :

  (107)

ou également parfois notée:

  (108)

Le nombre e et la fonction qui permet de le déterminer sont très utiles. Nous les retrouvons dans tous les domaines de la mathématique et de la physique et donc dans la quasi totalité des chapitres de ce site.

Les logarithmes ont plusieurs propriétés. Les voici (nous nous référons à une base X donnée):

  (109)

Si nous posons  et  nous avons donc :

  (110)

Si nous avons le cas particulier alors:

  (111)

Cherchons à exprimer  sous une forme différente. Posons ce qui nous amène au développement:

  (112)

Cherchons à exprimer maintenant  avec sous un forme différente. Posons :

  (113)

ce qui nous amène à:

  (114)

Il y a une relation assez utilisée en physique relativement aux changements de bases logarithmiques. La première relation est triviale et découle des propriétés algébriques des logarithmes:

  (115)

La seconde relation:

  (116)

est un peu moins triviale et nécessite peut-être une démonstration.

Démonstration:

Nous avons d'abord les équations équivalentes (de la première relation ci-dessus):

et   (117)

et nous procédons comme suit:

  (118)

Ce qui nous amène finalement à:

  (119)

C.Q.F.D.

PRODUIT SCALAIRE FONCTIONNEL

Le produit scalaire fonctionnel (analogie très forte avec le produit scalaire vectoriel vu dans le chapitre de calcul vectoriel) peut paraître inutile lorsqu'il est étudié pour la première fois hors d'un contexte appliqué mais il connaît au fait de nombreuses application pratiques. Nous en ferons par exemple directement usage dans le chapitre de physique quantique ondulatoire et de chimie quantique ou encore dans le cadre plus important encore des polynômes trigonométriques via les séries et transformées de Fourier (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) que nous retrouvons partout dans la physique contemporaine.

Cependant, si le lecteur n'a pas encore parcouru le chapitre de calcul vectoriel et la partie y traitant du produit scalaire vectoriel, nous ne serions que trop recommander sa lecteur sans quoi de ce qui va suivre risque d'être un peu incompréhensible.

Nous nous plaçons dans l'espace des fonctions continues de l'intervalle [a,b] dans muni du produit scalaire définit par (nous retrouvons la notation spécifique du produit scalaire à sa version fonctionnelle comme nous en avions fait mention lors de notre définition du produit scalaire vectoriel):

  (120)

Une famille de polynômes orthogonale, comme nous pouvons en faire l'analogie avec le produit scalaire vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel, est donc une famille de polynômes tels que :

si   (121)

Nous rappelons qu'une famille orthogonale est libre (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Le développement suivant va nous rappeller le procédé de Gram-Schmidt (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) pour construire une famille orthogonale :

Soit une famille de polynômes linéairement indépendants définis sur [a,b] et V définie par récurrence de la manière suivante : l'espace vectoriel engendré par cette famille. La famille

  (122)

et est orthogonale et engendre V.

Démonstration:

Montrons par récurrence sur n que est une famille orthogonale qui engendre le même espace que . L'assertion est vérifiée pour . Supposons l'assertion vérifiée pour , pour nous avons :

  (123)

est donc orthogonale. Pour finir, l'égalité :

  (124)

montre que et engendrent le même espace. est donc bien une famille orthogonale qui engendre V.

C.Q.F.D.

Exemple:

Considérons l'exemple très important en physique moderne qui est  l'ensemble des fonctions continues -périodiques qui forme un espace vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Nous définissons donc le produit scalaire de deux fonctions de cet ensemble par :

Le but de cette étude est de construire une base de  sur laquelle nous pouvons décomposer tout fonction -périodique.

L'idée la plus simple est alors de se servir des fonctions trigonométriques sinus et cosinus :

Les relations ci-dessous montrent que les bases choisies ci-dessus sont orthogonaux et forment donc une famille libre, de plus c'est une famille génératrice de l'espace vectoriel  car comme nous le démontrerons le démontrerons lors de notre étude des séries de Fourier (cf. chapitre sur les Suites Et Séries), nous avons les valeurs suivantes :

 est le symbole de Kronecker (cf. chapitre de Calcul Tensoriel)






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