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  Calcul Spinoriel
 

Comme nous le verrons en premier en physique quantique relativiste, les spineurs jouent un rôle majeur dans la théorique quantique et en conséquence dans toute la physique contemporaine (théorique quantique des champs, modèle standard, théorie des cordes,…).

Ce fut à partir de 1927 que les physicien Pauli, puis Dirac introduisirent les spineurs pour la représentation des fonctions d'onde (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste). Cependant, sous leur forme mathématique, les spineurs avaient été découverts par Élie Cartan dès 1913 lors de ses recherches sur les représentation des groupes en faisant suite à la théorie générale des espaces de Clifford (introduits par le mathématicien W.K. Clifford en 1876). Il montra, comme nous le verrons, que les spineurs fournissent au fait une représentation linéaire du groupe des rotations d'un espace à un nombre quelconque de dimensions. Ainsi, les spineurs sont donc étroitement liés à la géométrie mais leur présentation est souvent faite de manière abstraite sans signification géométrique intuitive. Ainsi, nous allons nous efforcer (comme toujours sur ce site) dans ce chapitre d'introduire de la manière la plus simple et intuitive possible les théorie des spineurs.

Le formalisme spinoriel n'intéresse pas seulement la mécanique quantique et ses travaux, entre autres, de Roger Penrose ont montré que la théorie spinorielle était une approche extrêmement féconde de la théorie de la relativité générale. Bien que le plus couramment utilisée pour le traitement de la relativité générale soit le calcul tensoriel, Penrose a montré que dans le cas spécifique de l'espace à quatre dimensions et la métrique de Lorentz, le formalisme des spineurs à deux composantes est plus approprié.

La théorie des spineurs ou "géométrie spinorielle" est extrêmement vaste mais ce site ayant plus pour objectif de s'adresser aux physiciens, nous nous limiterons aux spineurs utiles en physique quantique ainsi que leurs propriétés y relatives.

Remarque: Nous conseillons vivement au lecteur d'avoir lu au préalable le sous-chapitre sur les quaternions (cf. chapitre Nombres), le sous-chapitre sur le rotations dans l'espace (cf. chapitre Géométrie Euclidienne) et enfin, si possible pour avoir un exemple pratique physique, le chapitre de physique quantique relativiste.

SPINEUR UNITAIRE

Nous allons donner ici un première définition (ou exemple) particulière des spineurs. Ainsi, nous allons montrer qu'il est possible à partir d'un tel outil de représenter un vecteur d'un espace à trois composantes à l'aide d'un spineur à deux composantes. La méthode est extrêmement simple et celui qui a déjà la partie du chapitre de physique quantique ondulatoire traitant de l'équation de Dirac et de la conditions de normalisation de Broglie y verra une analogie grandiose.

Considérons la sphère suivante d'équation :


  
(1)

Considérons-y les coordonnées (x, y, z) d'un point P de la sphère de O et de rayon unité et notons N et S les points d'intersection de l'axe Oz avec la sphère.

Le point S a pour coordonnées . Nous obtenons une projection dite "projection stéréographique" P' du point P en traçant la droite SP qui traverse le plan équatorial complexe xOy au point P' de coordonnées (x', y', z').

Les triangles semblables SP'O et SPQ (avec Q étant la projection orthogonale sur l'axe Oz du point P) nous donnent les relations suivantes en appliquant le théorème de Thalès :

  (2)

Remarque: Les deux dernières relations s'obtiennent par application du théorème de Thalès (cf. chapitre de Géométrie) dans le plan équatorial complexe.

Posons maintenant . Il vient, compte tenu de la relation précédente que :

  (3)

en prenant le module au carré (voir l'étude des nombres complexes dans le chapitres des Nombres) :

  (4)

et comme nous avons finalement :

  (5)

Mettons maintenant le nombre complexe sous la forme sont deux nombres complexes auxquels nous pouvons toujours imposer de vérifier la condition d'unitarité :

  (6)

Remarque: Les nombres complexes suivants satisfont la relation précédente :

  (7)

Rappelons avant de continuer que nous avons démontré lors de notre étude des nombres complexes que :

  (8)

Dès lors il vient :

d'où finalement :

  (9)

Comme nous avons :

  (10)

alors :

  (11)

tenant compte des derniers développements nous avons finalement :

  (12)

Ainsi, à tout point P situé sur la sphère de rayon unité, nous pouvons faire correspondre un couple de nombre complexes vérifiant la relation d'unitarité. Ce couple de nombres complexes constitue par définition un "spineur unitaire". Ainsi, comme nous l'avons vu, un spineur unitaire peut se mettre sous la forme :

  (13)

de même un spineur quelconque peut se mettre sous la forme :

  (14)

La projection stéréographique conduit donc à représenter certains vecteurs l'espace euclidien avec des éléments d'un espace vectoriel complexe de dimension deux qui est l'espace des spineurs.

Remarque: Cette représentation n'est pas unique car les arguments de nombres complexes sont (sous forme trigonométrique) déterminés qu'à une constante près.

Le lecteur qui aura déjà étudié un peu la physique quantique ondulatoire aura certainement remarqué l'étrange similarité de la condition et des relations :

  (15)

par rapport à la condition de normalisation de Broglie (l'intégrale sur tout l'espace de la somme des produits des fonctions d'ondes complexes conjuguées sont égales à l'unité) et des développements déterminant l'équation de continuité en physique quantique ondulatoire (voir chapitre du même nom).

Voyons maintenant pour les besoins ultérieurs, que nous pouvons trouver deux nouveaux vecteurs de l'espace euclidien , associés à un spineur unitaire déterminé sur la sphère unité. Ces vecteurs seront cherchés orthogonaux entre eux et de norme unité, chacun étant orthogonal au vecteur .

Notons et , les composantes respectives des vecteurs sont bien sûr liées par le produit vectoriel :

  (16)

d'où tenant compte de l'expression des composantes en fonction de celles du spineur associé, ainsi que du fait , nous obtenons :

  (17)

Ecrivant l'orthogonalité des vecteurs entre eux nous obtenons bien évidemment six équations supplémentaires. Cependant l'orientation des vecteurs n'étant pas fixée, il existe une certaine indéterminée sur les valeurs de leurs composantes. Choisissons des valeurs telles que :

  (18)

Prenant les quantités complexes conjuguées des relations précédentes, nous obtenons par addition les composantes de :

  (19)

Par soustraction, nous obtenons de même les composantes du vecteur :

  (20)

Nous vérifions aisément que ces valeurs redonnent bien les relations du produit vectoriel. A tout spineur unitaire nous pouvons donc associer trois vecteur . Nous pouvons vérifier directement que les vecteurs ainsi calculés sont bien orthogonaux entre eux et de norme unité.

PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES

Nous allons étudier les transformations des vecteurs de associés à un spineur afin d'en déduire les propriétés correspondantes de transformation du spineur. Les rotations dans l'espace pouvant toujours s'exprimer sous forme du produit de deux symétries planes (faire dans la tête l'expérience imaginaire), nous commençons par l'étude de ces dernières.

SYMÉTRIES PLANES

Considérons dans un premier temps la symétrie plane d'un vecteur :

Lors d'une symétrie par rapport à un plan P, un vecteur quelconque se transforme en un vecteur . Déterminons une matrice S qui représente cette symétrie par rapport à ce plan. Soit un vecteur unitaire normal au plan P et soit H le pied de la perpendiculaire abaissée d'un point M de l'espace sur la plan P.


  
(21)

Soit M' le point symétrique de M par rapport à P, nous avons :

  (22)

Soient les composantes cartésiennes de et les composantes respectives des vecteurs , la relation précédente nous donne les relations linéaires :

  (23)

La matrice S qui fait passer du vecteur au vecteur a donc pour expression :

  (24)

Gardons en mémoire ce résultat et considérons à présent deux vecteurs , orthogonaux entre eux et unitaires, définissant comme nous l'avons vu un spineur unitaire . Une symétrie par rapport à un plan P transforme les vecteurs en vecteurs auxquel est associé le spineur . Nous allons maintenant montrer que la transformation suivante du spineur est : en spineur

  (25)

et transforme précisément les vecteurs en vecteurs , ces vecteurs se déduisant respectivement – comme nous allons le montrer – les uns des autres par une simple symétrie plane et que la matrice représente bien la transformation cherchée.

La relation précédente nous donne donc :

  (26)

En tout nous avons :

  (27)

Nous en déduisons :

  (28)

Par suite du fait que , nous obtenons :

  (29)

Nous retombons donc bien sur la matrice de symétrie :

  (30)

Ainsi, la matrice que nous retrouverons dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste:

  (31)

engendre donc la transformation d'un spineur en un spineur telle que les vecteurs associées se déduisent respectivement de par une symétrie plane.

ROTATIONS

Comme nous l'avons vu dans le chapitre de géométrie euclidienne, il est possible faire une rotation d'un vecteur dans le plan ou dans l'espace à l'aide de matrices. De même, par extension, il est évident que la multiplication de deux rotations est une rotation (c'est de l'algèbre linéaire élémentaire – du moins nous le considérons tel quel).

Considérons dès lors, deux plans P, Q dont l'intersection engendre une droite (ligne) L et notons et des vecteurs unitaires portés par les normales respectives à ces deux plans sécantes en L :


  
(32)

Notons l'angle des vecteurs entre eux (la raison de cette notation provient de notre étude des quaternions (cf. chapitre Nombres). Soit le vecteur unitaire porté par la droite L résultant de l'intersection des plans P, Q et tel que :

  (33)

Explications : sont unitaires mais pas nécessairement perpendiculaires et nous devons quand même nous assurer que soit un vecteur unitaire (sa norme soit égale à l'unité donc). Dès lors, la relation ci-dessus nous assure que :

  (34)

Le produit vectoriel précédent nous donne pour les composantes de :

  (35)

D'autre part, le produit scalaire s'écrit :

  (36)

Remarque: Nous allons nous servir des ces deux plans comme plans de symétrie pour nos rotations

Comme nous l'avons fait remarquer précédemment, une rotation dans peut toujours se faire avec au plus deux symétries planes. Ainsi, une rotation se noter par l'application (multiplication) de deux matrices de symétrie selon les résultats obtenus plus haut :

  (37)

Développant le produit de ces deux matrices et tenant compte de relations découlant du produit vectoriel et scalaire nous obtenons :

    (38)

Ainsi, nous pouvons écrire la transformation d'un spineur et un spineur à l'aide d'une matrice de la forme :

  (39)

dont les paramètres sont appelés sont appelés "paramètres de Cayley-Klein".

La matrice peut être écrite sous une autre forme si nous faisons un développement limité pour des rotations infiniment petites (eh voilà la physique qui revient….). Ainsi, les développement de MacLaurin nous donnent :

  (40)

En utilisant seuls les termes du premier ordre, la matrice de rotation s'écrit finalement :

  (41)

Cette matrice constitue le développement limité de la matrice de rotation au voisinage de la matrice identité, cette dernière correspondant évidemment à la rotation nulle. Nous notons cette dernière également sous la forme :

  (42)

où la matrice est la matrice unité d'ordre deux et s'appelle la "matrice infinitésimale de rotation". Maintenant, si nous posons dans nous obtenons :

  (43)

Comment interpréter ce résultat ? Eh bien c'est assez simple, choisir , nous donne un vecteur colinéaire à l'axe de . Dès lors, nous pouvons très bien nous imaginer les plans générant l'axe qui porte . Comme (in extenso ) est généré par les vecteurs perpendiculaires à et donc à , alors l'angle (ou sa variation) représente une variation de la direction des plans normaux à qui par symétrie servent à construire la rotation (rappelons que ne sont pas nécessairement orthogonaux entre eux). Donc par extension, avoir ne permet plus que de faire des rotations (symétries) autour de .

De même, une rotation autour de l'axe correspond à , ce qui donne :

  (44)

et de même avec nous avons enfin :

  (45)

Les trois matrices :


  
(46)

sont donc les matrices de rotation dans l'espace des spineurs à deux composantes. Les physiciens et mathématiciens disent que ces matrices constituent une représentation irréductible de dimension deux du groupe "SU(2)" ou encore appelé "groupe spécial des rotations spatiales SU(2)" (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste).

Les matrices infinitésimales précédentes font donc apparaître de manière habile les matrices suivantes :

  (47)

Ces matrices sont appelées "matrices de Pauli" et nous les retrouverons en physique quantique ondulatoire (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) dans le cadre de notre étude de l'équation de Dirac et de la détermination de ses solutions explicites (utilisant les spineurs).

En utilisant ces matrices de Pauli, la matrice de rotation infinitésimale peut finalement s'écrire :

  (48)

Définissons un vecteur ayant pour composantes les matrices de Pauli :

  (49)

L'expression peut alors s'écrire sous forme d'une sorte de produit scalaire qui représente une somme de matrices (la flèche au-dessus du sigma est parfois omise si aucune confusion n'est possible):

  (50)

Le développement limité s'écrit alors :

  (51)

La matrice de rotation :

  (52)

peut à l'aide des matrices de Pauli s'écrire sous la forme remarquable :

  (53)

Ce qui s'écrit parfois:

  (54)

Ce qui peut s'écrire aussi :

  (55)

qui a donc la forme d'un quaternion de rotation d'angle et d'axe . D'où la raison d'avoir depuis le début choisi la notation de .

Il est clair, pour que l'analogie avec les quaternions soit plus forte, que les matrices de Pauli forment un ensemble de quatre matrices linéairement indépendantes ! Tel que la base canonique pour les quaternions !

Si nous notons alors le "produit spinoriel" est défini finalement par:

  (56)

Cette matrice constitue comme nous en avons déjà fait mention, au développement limité de la matrice de rotation au voisinage de la matrice identité, les composantes de étant associées à un spineur dont la rotation se fait par la double symétrie définie par deux plans dont l'intersection est définie par le vecteur .

Nous pouvons par ailleurs remarquer la conséquence intéressante qu'une rotation de 360° ne restore par l'objet dans sa position initiale.

Effectivement:

  (57)

Il faut donc une rotation de 720° pour faire un tour complet! Cela correspond au spin de ½. Il faut faire deux tours pour retrouver pour que l'objet réapparaisse de manière équivalente. Nous disons alors que la représentation des rotations est "bivaluée".

PROPRIÉTÉS DES MATRICES DE PAULI

Le lecteur vérifiera aisément (si ce n'est pas le cas il pourra toujours nous contacter pour que nous en rédigions les détails) les propriétés suivantes des matrices de Pauli dont certaines seront utilisées dans le chapitre de physique quantique relativiste:

P1. Unitarité:

  (58)

P2. Anticommutativité:

  (59)

pour et

Les deux dernières propriétés nous donnent :

  (60)

avec

P3. Cyclicité:

  (61)

P4. Commutation:

  (62)

P4. Produit vectoriel:

Soit le carré des composantes de en notant abusivement par "1" la matrice unitaire:

  (63)

Ce qui conduit à écrire que :

  (64)

Considérons maintenant les produits suivants :

  (65)

Toutes ces relations peuvent se résumer sous la forme:

  (66)

où pour rappel (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) le symbole de Kronecker est défini par:

  (67)

et le tenseur d'antisymétrie par:

Nous avons aussi :

  (68)

Nous retrouvons donc ici les composantes du produit vectoriel:

  (69)

Maintenant voyons une identité spinorielle qui nous sera utile dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste:

  (70)

Or:

  (71)

Donc finalement:

  (72)

P5. Nous noterons que ces matrices sont aussi hermitiennes (rappelons qu'une matrice hermitienne est une matrice transposée suivie de sa conjuguée complexe selon ce que nous avons vus dans le chapitre d'Algèbre Linéaire) tel que :

  (73)

Il s'agit donc dans le langage de la physique quantique, d'opérateur hermitiques!

Voyons maintenant quelles sont les vecteurs et valeurs propres des matrices de Pauli car ce résultat est très utile en physique quantique ainsi qu'en informatique quantique!

Rappelons que lorsqu'une transformation (application d'une matrice) agit sur un vecteur, elle modifie la direction de ce vecteur excepté pour certaines matrices particulières qui ont des valeurs propres. Dans ce cas, la direction est conservée mais pas leur longueur. Cette propriété est exploitée en mécanique quantique.

Déterminons dans un premier temps, les vecteurs et valeurs propres (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) associées à  en utilisant la méthode la plus courante :

L'équation aux valeurs propres (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) s'écrit donc:

  (74)

Ce qui nous donne comme équation de caractéristique :

  (75)

d'où les valeurs propres . Ce qui nous permet de déterminer les vecteurs propres comme suit :

  (76)

Donc pour :

  (77)

Ce qui impose que . Le vecteur propre est donc :

  (78)

quelle que soit la valeur de x.

Conclusion : La direction propre du vecteur est conservée mais pas sa longueur car elle dépend de la valeur de x.

Pour :

  (79) 

Ce qui impose que  et donc que le vecteur propre est :

  (80)

Les vecteurs propres précédents écrits avec le formalisme de Dirac (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) donnent pour  :

  (81)

avec une norme de (1 puisque nous normalisons à l'unité):

  (82)   

Remarque: Dans le formalisme de Dirac,  est la Bra et  est le Ket.

Ceci n'étant valable que pour des composantes qui sont des nombres réels. Le vecteur propre normé a donc pour expression :

  (83)

et pour  :

  (84)  

et:

  (85)

et le vecteur propre normé a donc pour expression:

  (86)

Déterminons maintenant, les vecteurs et valeurs propres associées à  en procédant de même :

Nous avons donc pour les valeurs propres :

  (87)

Les vecteurs propres se déterminant comme suit :

  (88)

et donc pour:

  (89)

Le vecteur propre est dès lors :

  (90)

La norme associée :

  (91)

Le vecteur propre normé a donc pour expression:

  (92)

Pour  :

  (93)  

Le vecteur propre est dès lors :

  (94)

la norme associée :

  (95) .

Le vecteur normé a donc pour expression:

  (96)

Déterminons maintenant, les vecteurs et valeurs propres associées à  en procédant de même.

Nous avons alors :

  (97)

Les vecteurs propres sont alors pour  :

  (98)

ce qui nous pose légèrement problème pour dire quoi que ce soit… la seule possibilité est de choisir  et ainsi :

  (99)

et la norme associée :

  (100)  

Le vecteur propre normé a alors pour expression:

  (101)

et pour  nous aurons le même choix à faire en posant cette fois-ci  donc :

  (102)

d'où la norme associée :

  (103)

Le vecteur propre normé a donc finalement pour expression:

  (104)

Donc les vecteurs propres normés de se trouvent sur les directions des axes de coordonnées cartésiennes. C'est pour cette raison particulière que les vecteurs propres de  sont notés en informatique quantique:

  (105)

et il faut savoir que l'on note alors aussi:

  (106)






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