L'encyclopédie des Sciences
  Cayley
 
Cayley, Arthur (1821-1895), né à Richmond (Surrey), manifesta très tôt de vives dispositions pour les mathématiques. Cependant, malgré le grand intérêt de ses premières publications, il ne put s’imposer comme mathématicien ; il décida de faire des études de droit et devint avocat en 1849. Pendant quatorze ans, il exerça ce métier tout en s’adonnant à des recherches scientifiques. En 1863, Cayley est nommé professeur à Cambridge et peut enfin se consacrer entièrement aux mathématiques. Dans l’ensemble de l’œuvre de Cayley, notamment dans ses travaux de jeunesse, est sensible l’influence des fondateurs de l’école algébrique anglaise qui avaient formulé le programme de l’algèbre moderne en accordant une priorité marquée à l’approche formelle des problèmes. Mathématicien lettré et créateur, Cayley, dans le sillage de l’école anglaise, sut élaborer de nouvelles et fructueuses théories. La richesse de l’approche de Cayley apparaît dès ses premiers travaux sur la théorie des groupes (1854). Cayley, abordant les travaux de Galois, Gauss et Cauchy avec les méthodes des algébristes anglais, donne une définition des groupes abstraits ce qui le conduisit à la notion d’isomorphisme. L’étude des systèmes d’équations linéaires conduisit Cayley à celle des déterminants. Dans ses premiers travaux, il établit de nombreuses règles de calcul sur les déterminants, y compris la formule de multiplication des déterminants qui figurait déjà dans les travaux de Cauchy, Binet et Jacobi. À côté d’études originales sur les déterminants, on y rencontre la notion de tableau rectangulaire représentant les coefficients d’un système d’équations linéaires ou les coefficients d’une transformation linéaire. Cayley étudie les matrices rectangulaires à coefficients réels ou complexes ; il introduit les opérations sur les matrices et décrit leurs propriétés, y compris le caractère non commutatif de la multiplication. Il s’agit là sans doute de la première apparition de l’algèbre linéaire. Quelques années plus tard, Cayley étudiera aussi les systèmes non associatifs et publiera des résultats d’algèbre multilinéaire. Cayley a consacré un grand nombre de ses publications aux problèmes de la géométrie et à l’étude des courbes et des surfaces algébriques. À vingt-deux ans, il émettait l’idée de la géométrie à n dimensions, idée qui fut formulée aussi, presque simultanément mais sous une forme un peu différente, par Grassman. Cayley ne revint que beaucoup plus tard (en 1870) sur l’espace à n dimensions, mais sa méthode algébrique contribua aux importantes découvertes qui eurent lieu dans les autres domaines de la géométrie. C’est ainsi que, dans le Sixth Memoir on Quantics de 1859, il introduit la métrique projective, subordonnant ainsi la géométrie métrique à la géométrie projective ; il démontre alors que les notions fondamentales de la géométrie métrique (angles et distances) sont les invariants et les covariants de certaines transformations linéaires de la quadrique absolue.




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