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  Electrocinétique
 

Le développement de l'électrodynamique a permis à une grande partie de l'humanité de modifier considérablement sa qualité de vie. Nous savons à peu près tous aujourd'hui ce que nous lui devons (et aux physiciens et mathématiciens qui y ont travaillé) : lumière, frigo, radio, télévision, ordinateurs, voitures, trams, trains, avions, robots, et d'autres choses merveilleuses et parfois moins aussi.

L'application de l'électrocinétique (les ingénieurs parlent "d'électronique" ou "d'électrotechnique") a pris une telle amplitude et une telle importance dans la vie du physicien pour vérifier expérimentalement ses résultats théoriques qu'il nous semble pertinent de présenter.

Avant de commencer à étudier l'électrocinétique nous allons définir les deux lois (le terme est mal choisi puisque la première est démontrée en électrostatique et la seconde en électrodynamique mais bon… conformons-nous à la tradition) fondamentales de l'étude de l'électrocinétique et définir la terminologie de base des circuits ou installations électriques. Même si certains éléments ne seront pas compris de suite par le lecteur, ceux-ci deviendront triviaux a fur et à mesure de l'avancement de sa lecture.

Définitions:

D1. Un circuit électrique est constitué d’un ensemble de dispositifs appelés "dipôles", reliés entre eux par un fil conducteur et formant ainsi une structure fermée.

D2. Un "nœud" d’un circuit est une interconnexion où arrivent 3 fils ou plus.

D3. Une "branche" est un tronçon de circuit situé entre deux noeuds.

D4. Enfin, une "maille" est un ensemble de branches formant une boucle fermée.

Remarque: Un dipôle s’insère dans un circuit par l’intermédiaire de deux pôles, l'un par où s’effectue l’entrée du courant , l’autre la sortie (borne moins) selon la convention des physiciens.

Le dipôle est caractérisé par sa réponse à une différence de potentiel U entre ses bornes : c'est à dire la courbe caractéristique I=f(U).

Nous verrons que dans tout conducteur, la présence d’une résistivité (voir plus loin) entraîne une chute de tension et, en toute rigueur, il en va de même pour les fils. Mais ceux-ci étant mis en série avec d’autres dipôles, nous négligeons en général la résistance des fils devant celle des dipôles présents. Donc, les fils situés entre deux dipôles d’un circuit seront supposés équipotentiels (le potentiel est le même sur les deux bornes).

LOIS DE KIRCHHOFF

Les lois de Kirchhoff en électrocinétique (à ne pas confondre avec celle de la thermodynamique et de l'optique) expriment les propriétés physique de la charge et du champ électrique et sont donc au nombre de deux (une loi pour chaque).

Elles vont nous permettre sans faire appel à l'artillerie mathématique implicitement cachée derrière d'obtenir simplement des résultats fort pertinents pour les ingénieurs.

LOI DES MAILLES

La loi des mailles (implicitement il s'agit simplement de la conservation de l'énergie) exprime le fait que lorsque une charge parcourt un circuit fermé (chemin fermé), l’énergie qu’elle perd en traversant une partie du circuit est égale à l’énergie qu’elle gagne dans l’autre partie. Ainsi, la somme algébrique des potentiel le long d’une maille est nulle telle que :

  (1)

Pour cela, il faut choisir arbitrairement un sens de parcours de la maille et convenir que les tensions dont la flèche pointe dans le sens du parcours sont comptées comme positives et les autres comme négatives.

Remarque: Cette loi exprime tout simplement du fait que le champ électrique (Coulombien) est un champ conservatif comme nous l'avons vu dans le chapitre d'électrostatique.

LOI DES NŒUDS

La loi des noeuds (implicitement il s'agit simplement de la conservation du courant) exprime la conservation de la charge qui signifie que la somme des courants sortant d’un nœud (un nœud peut être vu comme un séparateur de lignes de champs – in extenso des volumes rattachés par une même surface) est égale à la somme des courants entrant. Autrement dit, la somme algébrique des courants est nulle en tout noeud d’un circuit.

  (2)

Pour cela, il faut choisir un signe pour les courants entrant et le signe contraire pour les courants sortant (comme nous le faisons en thermodynamique).

Remarque: Cette loi exprime tout simplement l'équation de conservation de la charge (ou de continuité de la charge) que nous avons démontré dans le chapitre d'électrodynamique.

LOI D'OHM

La détermination de la loi d'Ohm, va nous permettre d'introduire les concepts élémentaires de l'électrocinétique. Dans un premier temps, nous allons définir ici le courant, la densité de courant et la résistance. Une fois ce travail effectué, nous définirons l'inductance et déterminerons les propriétés des assemblages des résistances, capacités et inductances.

Un conducteur électrique (nous ne parlons pas de semi-conducteurs ou supra-conducteurs à ce niveau du discours) peut être vu très basiquement comme un tuyau de section  contenant un gaz d'électrons formé de n charges élémentaires q par unité de volume. En absence de champ électrique, chaque électron possède un vitesse moyenne vectorielle nulle car il reste au voisinage de l'atome. Sous l'action d'un champ électrique , certains électrons sont déplacés dans une direction privilégiée, jusqu'à ce qu'ils entrent en collision avec un autre atome (aspect classique) où il reprennent une vitesse moyenne nulle et ainsi de suite.

Remarque: Une telle modélisation de l'aspect microscopique du courant est appelé "modèle de Drude".

La distance  parcourue est appelée "libre parcours moyen de l'électron de conduction" et si  est l'intervalle de temps entre deux collisions successives alors nous avons trivialement:

  (3)

Nous supposons que:

  (4)

la vitesse moyenne, est créée par l'accélération du champ électrique:

  (5)

Donc:

  (6)

La vitesse moyenne est supposée identique pour tous les électrons libres. Elle permet de définir "l'intensité" I du courant électrique dans le conducteur.

Définition: Le "courant" ou "intensitéI mesure la charge qui traverse la section droite  S d'un conducteur par unité de temps dt et est donc donné par :

  (7)

Une tranche de conducteur, de volume  contient donc la charge:

  (8)

Elle traverse la section S en un temps dt, tel que:

  (9)

Le courant s'écrit alors:

  (10)

Si I est vu comme le flux d'une "densité de courant" J à travers la surface S, nous avons alors :

  (11)

la densité de courant étant supposée constante sur chaque point de la surface.

Nous avons donc:

  (12)

Après simplification:

  (13)

qui est donc l'expression de la "densité de courant" dans le conducteur.

Comme nous connaissons l'expression de la vitesse, nous pouvons écrire:

  (14)

En nous définissons la "conductivité" par: 

  (15)

Ainsi:

  (16)

qui est la "loi locale d'Ohm". Nous la retrouverons sous forme différentielle dans le chapitre de Mécanique Statistique et nous verrons qu'elle appartient au fait à la famille des lois de diffusion!

Remarque: Puisque la conductivité est nécessairement un scalaire, l'écriture vectorielle de la loi d'Ohm implique que les lignes de champ électrostatique indiquent également le chemin pris par les charges éelctriques. Par ailleurs, comme la conductivité est un scalaire nécessairement positif dans le modèle classique, ceci implique que le courant à la même direction que le champ électrique.

Si nous multiplions l'égalité sous forme scalaire à droite et à gauche par L nous obtenons:

  (17)

Donc nous avons:

 ou   (18)

Nous définissons l'inverse de la conductivité comme la "résistance électrique" définie par:

  (19)

Remarque: Il est important pour l'ingénieur de remarquer que la résistance électrique est proportionnelle à la longueur de l'élément résistif et inversement proportionnel à sa surface de section. Par exemple dans les câbles hautes tension la résistance est donnée en Ohm par kilomètre ce qui permet ensuite de calculer la puissance perdue par kilomètre et donc aussi l'argent perdu par perte Joule.

Dès lors, nous pouvons écrire la loi d'Ohm sous sa forme la plus communément connue :

  (20)

où donc (attention!!!) le potentiel représente la différence de potentiel sur la longueur de l'élément résistif (appelé également "dipôle résistif") comme nous le voyons dans les développements et non pas le potentiel total extérieur !

Remarque: Cette relation n'est valable que pour des conducteurs idéaux dans des conditions normales de températures et de pression et pour lesquels le modèle de Drude s'applique. Donc les semi-conducteurs et supra-conducteurs en sont exclus.

Puisque U est le potentiel de l'élément résistif, nous faisons alors souvent référence dans le domaine de l'électrotechnique à la "chute de potentiel" (effectivement, au delà de l'élément résistif le potentiel n'est plus le même que le point qui précède ce même élément résistif).

Nous pouvons maintenant nous intéresser sur toute la longueur d'une ligne de champ électrique parcourue colinéairement par une courant I supposé constant sur toute la longueur (c'est une approximation donc…), quelle est la résistance totale si n éléments résistifs sont mis les uns à cotés des autres linéairement ?

La réponse est relativement simple puisque si nous notons le potentiel à la première extrémité de l'élément résistif et l'autre extrémité, nous avons alors (le lecteur remarquera que l'usage de la loi des mailles dans la relation suivante se fait logiquement sans même avoir nécessairement connaissance de celle-ci) :

  (21)

c'est-à-dire un résultat analogue à celui obtenu par une résistance unique dont la valeur est donnée approximativement par (si les courant est constant sur toute la ligne) la "résistance équivalente de résistences en série" :

  (22)

Considérons maintenant n résistances en parallèles toutes sous une tension U (de par la loi des mailles) et alimentées par un courant I. Le courant se sépare alors en n courants :

  (23)

Dans chacune des n branches. En vertu de la loi des nœuds, nous avons :

  (24)

c'est-à-dire que l'ensemble des résistances mises en parallèles sont analogues à une "résistance équivalente de resistances en parallèles":

  (25)

Le fait de brancher des appareils en parallèle permet donc d'avoir toujours la même tension aux bornes de ceux-ci. C'est ainsi que sont disposé par ailleurs les prises électriques dans une installation domestique!

Nous pouvons de même, appliquer le même type de raisonnement aux capacités. Rappelons que nous avons démontré dans avons défini dans le chapitre d'électrostatique, la capacité comme étant donnée par :

  (26)

Considérons, au même titre que les résistances, n condensateurs de capacités mis en série les uns derrière les autres. Nous protons aux potentiels et les deux extrémités de la chaîne et nous apportons la charge Q sur l'ensemble du système. Le potentiel (tension) total aux bornes de la chaîne de condensateur s'écrit alors simplement :

  (27)

et correspond donc à celle d'une capacité unique C de "capacité équivalente de capacités en série" :

  (28)

Considérons maintenant n condensateurs de capacités mis en parallèle avec le même potentiel U. La charge électrique de chacun d'entre eux est alors imposée (de par la loi des mailles) par la relation . La charge électrique totale est simplement :

  (29)

ce qui correspond à une "capacité équivalente de capacités en parallèle" :

  (30)

qui est la somme des capacités individuelles.

FORCE ÉLECTROMOTRICE

Soit une portion AB d'un circuit, parcourue par un courant permanent I allant de A vers B. L'existence de ce courant implique que le potentiel en A est supérieur (différent) en valeur absolue à celui en B (en valeur absolue). Cette différence de potentiel se traduit par l'existence du champ électrostatique produisant une force de Coulomb capable d'accélérer une charge q.

Ainsi, soit la puissance nécessaire pour communiquer une vitesse v à une particule de charge q quelconque. Sachant que dans ce conducteur il y a porteurs de charge par unité de volume, la puissance totale P mise en jeu dans le brin AB parcouru par un courant I est :

  (31)

c'est-à-dire :

  (32)

. Cette puissance est donc la "puissance électrique" disponible entre A et B, du simple fait qu'il y circule un courant I.

Si nous considérons dans ce circuit AB une partie résistive pour laquelle nous mesurons une différence de potentielle

alors la puissance disponible à l'intérieur de celui-ci est donné par la "puissance joule":

  (33)

Ainsi, parmi cette puissance disponible, une certaine partie est dissipée sous forme de chaleur (effet Joule) dans un dipôle passif tel que la résistance.

Cependant, quelque chose cloche dans nos développements précédents si nous y regardons de plus près. Effectivement, si nous appliquons le raisonnement précédent à un circuit fermé, c'est-à-dire si nous regardons la puissance totale fournie entre A et A par la force de Coulomb, nous obtenons (bien évidemment puisque le champ électrostatique coulombien est conservatif) :

  (34)

c'est-à-dire une puissance nulle?! Eh oui! Cela signifie qu'il ne peut y avoir de courant en régime permanent et lorsque qu'il y a un courant, alors cela implique que la force de Coulomb n'est pas responsable du mouvement global des porteurs de charge dans un conducteur !

Dès lors, le courant dans un conducteur peut être compris alors avec l'analogie de la rivière circulant dans son lit (…). Pour qu'il y ait un écoulement, il faut que l'eau s'écoule d'une région plus élevée vers une région plus basse (d'un potentiel gravitationnel plus haut vers un autre plus bas). Ainsi, le mouvement de l'eau d'un point élevé vers un point plus bas est bien dû à la simple force de gravitation. Mais si nous voulons constituer un circuit fermé, alors il faut fournir de l'énergie (grâce à une pompe) pour amener l'eau à une plus grand hauteur et le cycle peut alors recommencer.

C'est exactement ce qui se passe dans un circuit électrique. Si nous voulons qu'un courant permanent circule il faut qu'une autre force que la force électrostatique permette aux charges de fermer le chemin (c'est un raisonnement purement mathématique) ! C'est à ce titre que nous devons faire intervenir une source d'énergie "artificielle" externe tel que le "générateur électrique" qui est alors l'équivalent de la pompe hydraulique pour l'eau.

Le générateur doit alors nous imposer comme propriété physique que lorsque son circuit est ouvert () une "différence de potentiel" (abrégée D.D.P.) se maintienne entre ses bornes impliquant nécessairement la présence d'une autre force compensant l'attraction coulombienne du conducteur. Ainsi, la force total s'exerçant sur une charge q s'écrit dès lors :

  (35)

avec étant le champ électrostatique et le "champ électromoteur". À l'équilibre et en l'absence de courant, nous devons avoir :

  (36)

Cela signifie que la D.D.P. aux bornes d'un générateur ouvert vaut alors :

  (37)

Nous appelons et notons :

  (38)

(un peu maladroitement) la "force électromotrice" FEM propre du générateur.

Puisque, à l'intérieur du générateur, nous avons :

  (39)

à circuit ouvert, cela signifie qu'un générateur est un conducteur non-équipotentiel (ou à "champ non conservatif"). À l'équilibre, mais en présence d'un courant I (générateur branché dans un circuit fermé), les porteurs de charge responsables de ce courant subissent une force supplémentaire, due aux collisions se produisant à l'intérieur du conducteur. Pour un générateur idéal, ces collisions sont négligeable et nous obtenons :

  (40)

En revanche, pour un générateur non idéal, de telles collisions se produisent et se traduisent par l'existence d'une résistance interne r.

Ainsi, la vraie force électromotrice est donnée par :

  (41)

La résistance interne du générateur introduit donc une chute de tension proportionnelle au courant fourni, ce qui fait qu'il délivre un potentiel inférieur à celle donnée par sa FEM.

Les générateurs diffèrent selon la source d'énergie utilisée et la méthode de conversion de celle-ci en énergie électrique (autrement dit, selon la nature de ). Nous pouvons ainsi produire de l'énergie électrique à partie d'une pile (énergie chimique), d'un générateur électrostatique (énergie mécanique, ex. : machine de Van der Graaf), d'une dynamo (énergie mécanique), d'une pile solaire (énergie du rayonnement) ou d'un thermocouple (chaleur, c'est-à-dire énergie cinétique désordonnée).

Reprenons le calcul fait précédemment mais appliquons-le cette fois-ci à l'ensemble du circuit. Soit alors V le volume total occupé par le conducteur formant le circuit et la force s'exerçant sur les charges mobiles q et donc responsable de leur mouvement. La puissance totale P qui doit être fournie en régime permanent est alors :

  (42)

où :

  (43)

est la FEM totale du circuit. L'intégrale portant sur l'ensemble du circuit, la FEM totale est donc la somme des FEM présentes le long du circuit (s'il y en a). Si celles-ci sont localisées dans des dipôles, l'expression devient :

  (44)

où les sont les valeurs algébriques des différentes F.E.M. :

1. correspond à un "générateur" (production d'énergie électrique)

2. correspond à un "récepteur" (consommation d'énergie électrique)

Un moteur convertit de l'énergie électrique en énergie mécanique et correspond donc à un récepteur de FEM : nous disons également, qu'il possède une "force contre-électromotrice" ou F.CEM

LOI DE FARADAY

Maintenant que nous avons démontré la nécessité de la force électromotrice nous allons pouvoir démontrer la provenance de la "loi de Faraday" ainsi que la "loi de Lenz" dont nous avions fait usage en électrodynamique pour démontrer la troisième équation de Maxwell. La détermination de la loi de Faraday va également nous permettre de définir le concept d'inductance et d'étudier ses propriétés.

Faisons la même démarche que Faraday et posons-nous la question suivante : Comment crée-t-on un courant ?

Un courant est un déplacement de charges dans un matériau conducteur. Ces charges sont mises en mouvement grâce à une D.D.P. qui est maintenue par une FEM. Ainsi, une pile, en convertissant son énergie chimique pendant un instant dt fournit donc une puissance P modifiant l'énergie cinétique des dQ porteurs de charge et produisant ainsi un courant I.

Soit la puissance nécessaire pour communiquer une vitesse à une particule de charge q. Sachant que dans un conducteur il y a n porteurs de charge par unité de volume, la puissance totale P que doit fournir le générateur (idéal) est alors (voir plus haut) :

  (45)

Nous posons donc que la FEM idéale d'un circuit est :

  (46)

Or, la force de Coulomb est incapable de produire une F.E.M. comme nous l'avons démontré. Pour créer un courant continu dans un circuit fermé, il faut donc un champ électromoteur dont la circulation le long du circuit ne soit pas nulle. L'expérience de Faraday montre donc que c'est l'existence du champ magnétique qui permet l'apparition du courant (!!!!). Cela signifie que la force de Lorentz doit être responsable de l'apparition d'une F.E.M., c'est-à-dire :

  (47)

Donc :

  (48)

Les propriétés du produit vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) nous donnant , nous pouvons écrire :

  (49)

Une petite remarque s'impose à ce niveau du discours. Si est bien le vecteur vitesse des charges q il ne peut être celui qui est colinéaire à car sinon nous aurions et donc et ceci n'est pas possible car contredirait tous les développements faits jusqu'à présent ! Au fait, est la vitesse de l'ensemble du circuit qui entraîne avec lui l'ensemble des charges à la même vitesse !

Ainsi, pendant un temps dt, le circuit se déplace d'une distance , vecteur qui est perpendiculaire à . Dès lors, est la surface (voir les propriétés du produit vectoriel dans le chapitre de calcul vectoriel) décrite par le déplacement de l'élément sur la distance tel que . Nous avons alors :

  (50)

Nous reconnaissons l'expression du flux (dit "flux coupé") à travers la surface élémentaire . Ce qui nous amène à écrire (il y a un petit peu d'intuition - bon sens - avec la manipulation des différentiels mais bon c'est aussi ça la physique…) :

  (51)

Nous venons de démontrer la "loi de Faraday" dans le cas d'un circuit rigide, déplacé dans un champ magnétique statique. Nous avons vu apparaître naturellement l'expression du flux coupé. En fait, la seule chose qui compte, c'est l'existence d'un mouvement d'ensemble du tout ou d'une partie du circuit (revoir la démonstration pour s'en convaincre). Ainsi, l'expression de la FEM. induite :

  (52)

reste valable pour un circuit déformé et/ou déplace dans un champ magnétique statique. Cette démonstration s'est fait à partir de la force de Lorentz et est donc à priori indépendant du référentiel choisi !

LOI DE LENZ

L'énoncé de la loi de Lenz est le suivant : L'induction produit des effets qui s'opposent aux causes qui lui ont donné naissance.

Cette loi est, comme la règle du flux maximum, déjà contenu dans les équations et n'apporte rien de plus, hormis une intuition des phénomènes physiques. En l'occurrence, la loi de Lenz n'est que l'expression du signe "-" contenu dans la loi de Faraday.

Exemple:

Si nous approchons un circuit du pôle nord d'un aimant, le flux augmente et donc la F.E.M. induite est négative. Le courant induit sera alors négatif et produira lui-même un champ magnétique induit opposé à celui de l'aimant. Deux conséquences :

1. L'augmentation du flux à travers le circuit est amoindrie

2. Il apparaît une force de Laplace (cf. chapitre de Magnétostatique) négative, s'opposant à l'approche de l'aimant.

Ce signe "-" dans la loi de Faraday (la loi de Lenz) décrit le fait que dans des conditions normales, il n'y a pas d'emballement possible (ex. : courant ne faisant qu'augmenter).

C'est la raison pour laquelle la loi de Lorenz est souvent appelée "loi de Lenz-Faraday".

INDUCTANCE

Nous avons donc :

  (53)

Or la loi de Biot-Savart nous donne (cf. chapitre de Magnétostatique) :

  (54)

Dès lors :

  (55)

que nous simplifions simplement par :

  (56)

est le "coefficient d'auto-induction" ou "auto-inductance" (ou "self"), exprimé en "Henry" [H]. Il ne dépend que des propriétés géométriques du circuit et est nécessairement positif.

Avec les lois que nous avons énoncé jusqu'à présent, nous sommes en mesure d'étudier certains régimes variables. En effet, tous les raisonnements basés sur la notion d'un champ (électrique ou magnétique) constant au cours du temps peuvent aisément être appliqués à des systèmes physiques variables (champs dépendant du temps), pourvu que cette variabilité s'effectue sur des échelles de temps longues par rapport au temps caractéristique d'ajustement du champ. Voici tout de suite un exemple concret.

La plupart des lois de la magnétostatique supposent un courant permanent, c'est-à-dire le même dans tout le circuit. Lorsque nous fermons un interrupteur, un signal électromagnétique se propage dans tout le circuit et c'est ainsi que peut s'établir un courant permanent : cela prend un temps de l'ordre de l/cl est la taille du circuit et c la vitesse de la lumière. Si nous avons maintenant un générateur de tension sinusoïdale de période T (c'est juste un exemple… pris au hasard…), alors nous pourrons malgré tout utiliser les relations déduites de la magnétostatique si :

  (57)

Ainsi, bien que le courant soit variable, la création d'un champ magnétique obéira à la loi de Biot-Savart tant que le critère ci-dessus reste satisfait. Ce type de régime variable est également appelé "régime quasi-statique".

Donc, puisque nous avons :

et   (58)

Nous avons alors si et seulement si le courant est variable dans le circuit :

  (59)

L étant constant pour un circuit rigide. La self ("inductance" en français) crée donc une force électromotrice inverse de celle générée par le courant à ses bornes. Cette force électromotrice a donc un sens inverse à celle du générateur électrique.

Remarque: Nous voyons bien dans la relation obtenue, qu'en régime stationnaire, si le courant est constant, alors la force électromotrice est nulle et la self se comporte alors comme une simple équipotentielle.

Il convient de donner maintenant un exemple important et simple à la fois de la loi de Lenz en l'appliquant au calcul l'inductance d'un solénoïde de rayon r (l'inductance d'un solénoïde torique à section circulaire ayant déjà été fait dans le chapitre de magnétostatique). Nous avons vu dans le chapitre de magnétostatique que le champ magnétique dans un solénoïde était donné par :

  (60)

De plus, nous avons  (où l est la longueur du solénoïde) nous avons vu plus haut que le flux du champ magnétique était donné par (si le champ est perpendiculaire à la surface traversée) :

  (61)

Donc le flux à travers N spires s'écrit :

  (62)

Dès lors, dans le cas d'un solénoïde avec N spires il vient immédiatement :

  (63)

Le taux de variation du flux magnétique se trouve par dérivation, soit :


  
(64)

La force électromotrice engendrée est ainsi :

  (65)

Avec :

  (66)


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