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  Formes Géométriques
 

Nous avons déjà défini au début du chapitre de géométrie euclidienne les concepts de dimensions topologiques, ce qu'était un point de dimension nulle et une courbe de dimension unité. Nous ne reviendrons pas sur ces dernières et nous intéresserons au formes de dimensions supérieures.

Le but du présent chapitre est de répertorier avec démonstrations quelques propriétés mathématiques remarquables des formes et corps géométriques connus (surface, volume, centre de masse, moment d'inertie). Effectivement, il existe nombre de formulaires les répertoriant sans démonstration mais peu voire pas, d'ouvrages les démontrant toutes (nous n'en avons jamais vu en tout cas...). La liste ci-dessous est à ce jour loin d'être exhaustive (puisqu'il existe une infinité de formes géométriques) mais elle sera complétée avec le temps.

Les quelques formes que nous avons souhaité présenter permettent assez facilement de trouver les propriétés remarquables d'un très grand nombre de formes non repertiorées sur cette page par assemblage ou décomposition.

Remarque:

R1. Les relations trigonométrique remarquables dans les formes géométriques ci-dessous ne sont pas démontrées dans ce chapitre. Celles-ci se trouvent déjà toutes dans le chapitre traitant spécifiquement de la Trigonométrie.

R2. Nous entendons par "centre de gravité", le "barycentre" tel que vu dans le chapitre de Géométrie Euclidienne.

surfaces CONNUES

Il existe plusieux définitions du concept de surface dont une due à Euclide et une autre moderne due à la topologie (voir chapitre du même nom).

Définitions:

D1. Une "surface" est ce qui a longueur et hauteur.

D2. Une "surface" est une variété topologique de dimension 2

Remarque: Nous nous intéresserons dans un premier temps uniquement aux propriétés (périmètre, surface, centre de gravité,...) de surfaces plongées dans des géométries euclidiennes.

PolygoneS

Définition: Un "polygone" est une figure plane limitée par des segments de droites consécutifs.


  
(1)

Par définition, un "quadrilatère", "pentagone", "hexagone", "heptagone" sont des polygones à respectivement quatre, cinq, six, sept… côtés.

Nous distinguons trois grandes familles (mais elles sont pas les seules!) de polygones : les polygones croisés, les polygons concaves et les polygones convexes (nous retrouverons ces deux familles dans différents chapitres du site).

Définition: Un polygone est dit "polygone croisé" si deux au moins de ses côtés sont sécants, c'est-à-dire si au moins deux de ses côtés se coupent. C'est le cas du pentagone ABCDE ci-dessous :

Pentagone croisé.
  
(2)

Remarque: "L'enveloppe" d'un polygone est le polygone obtenu en suivant le contour extérieur de celui-ci. Par exemple, l'enveloppe du pentagone précédent est un décagone dont les sommets sont les cinq sommets du pentagone et les cinq intersections de ses côtés.

Définition: Un polygone est dit "polygone concave" s'il n'est pas croisé et si une ou plusieurs de ses diagonales ne sont pas entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone.

Par exemple, le pentagone ACDBE ci-dessous est dit concave car les diagonales BC et CE sont respectivement à l'extérieur et partiellement à l'extérieur de la surface délimitée par le polygone.

Polygone concave.
  
(3)

Définition: Un polygone est dit "polygone convexe" s'il n'est pas croisé et si toutes ses diagonales sont entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone. Ainsi, l'hexagone MNOPQR ci-dessous (à droite) est dit convexe :

Polygone convexe.
  
(4)

Relativement aux définitions données précédemment où les diagonales étaient mises en évidence,voyons s'il y a une relation permettant de connaître leur nombre relativement au nombre d'arêtes du polygone.

Partons pou cela d'un polygone de n côtés (notons qu'il a aussi n sommets) :


  
(5)

Nous définissons le total de segments s égale à la quantité de côtés (arêtes) n plus quantité de diagonales d tel que :


  
(6)

Maintenant, prenons le premier point de notre pentagone. Nous voyons que nous pouvons joindre tous les points n, sauf  le  point considéré (-1) soit la formation de n - 1 segments comme le montre la figure ci-dessous :

 
  
(7)

Avec le deuxième point, nous pouvons aussi joindre tous les points n, sauf  le  point considéré (-1) et le premier point déjà vu (-1) soit la formation de n - 2 segments :


  
(8)

Avec le troisième nous pouvons aussi joindre tous les points n, sauf  le  point considéré (-1) et sauf les deux points déjà vu (-2) soit la formation de n - 3 segments


  
(9)

Nous continuons avec les autres points: le 4ème qui donne n - 4 segments, le 5ème  qui donne n - 5 segments… In extenso, nous voyons donc que le (n - 2)ème point donne donc n - (n - 2) segments, etc.

Nous avons donc finalement pour :

  (10)

En simplifiant nous trouvons donc :

  (11)

Nous nous retrouvons donc avec deux relations :

 et   (12)

Dès lors il vient que :

  (13)

Rectangle

Définition: Le "rectangle" est un cas particulier du quadrilatère (forme à quatre côtés délimités par des segments finis tel que : losange, carré, rectangle, trapèze, etc.) dans le sens où ses côtés L et H (notation pour Longeur et Hauteur selon figure ci-dessous) sont égaux deux à deux et à angle droit (en d'autres termes, L n'est pas forcément égal à H).

D'autres définitions possibles consistent à dire qu'un rectangle est un parallélogramme disposant d'un angle ou un quadrilatère ayant quatre angles droits.

Remarque: Le rectangle peut être vu comme la composition de deux (ou plus) triangles rectangles (voir plus loin la définition). Pour construire un rectangle, il suffirait d'avoir un seul et unique triangle rectangle et lui faire subir une double réflexion et une rotation par rapport à une axe bien choisi (voir le chapitre de géométrie euclidienne).


  
(14)

De par les axiomes d'Euclide (cf. chaitre de Géométrie Euclidienne), le périmètre d'un rectangle est donné par :

  (15)

Et par définition, sa surface par :

  (16)

et la longeur de sa diagonale par (application du théorème de Pythagore) :


  
(17)

La position du centre de gravité du rectangle, si nous posons le repère cartésien dans le coin inférieur gauche de la forme, est trivialement donné par :

  (18)

CarrÉ

Définition: Le "carré" est un cas particulier du rectangle dans le sens où ses quatre côtés sont égaux tel que .


  
(19)

De par les axiomes d'Euclide (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne), le périmètre du carré est donné par :

  (20)

Ainsi, il vient pour la surface que :

  (21)

et pour sa diagonale :

  (22)

La position du centre de gravité du carré, si nous posons le repère cartésien dans le coin inférieur gauche de la forme, est trivialement donné par :

  (23)

Triangle

Définition: Le "triangle quelconque" est un polygone à trois côtés et englobe dans les cas particuliers, les triangles : isocèles, équilatéraux et rectangles.


  
(24)

De par les axiomes d'Euclide (cf. chaitre de Géométrie Euclidienne), le périmètre d'un triangle quelconque est donné par :

  (25)

Le triangle quelconque est toujours décomposable en deux triangles rectangles. Ainsi, celui de la figure ci-dessous peut se décomposer en deux triangles rectangles de base respective  et  (définis par la projection orthogonale du sommet opposé au segment a) tels que :

  (26)

La surface de ces deux triangles rectangles sont commes nous l'avons déjà implicitement dit dans notre étude du rectangle, la moitié de la surface d'un rectangle de même longueur et même hauteur. Ainsi :

  (27)

Ainsi la somme de ces surfaces, nous donne la surface du triangle quelconque :

  (28)

Nous pouvons de cette dernière relation, que la surface tout triangle quelconque est assimilable à la moitié de la surface d'un rectangle de longueur  et hauteur .

Remarque: Quelque soit la base a, b, c et la hauteur respective , le raisonnement précédent reste bien évidemment totalement juste.

La détermination du centre de gravité (ou barycentre) G (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) est un peu moins intuitive que dans la cas du rectangle...

Nous pouvons bien sûr nous servir d'un repère et des outils du calcul vectoriel pour très facilement déterminer ce dernier. Nous allons donc démontrer que le centre de gravité d'un triangle quelconque est à l'intersection de toutes les médianes :

Démonstration:

Soit un triangle ABC. Nous appelons A' le milieu du segment BC, B' celui de AC et C' celui de AB:


  
(29)

Nous allons démontrer que le seul point G vérifiant (cf. le chapitre de Géométrie Euclidienne) :

  (30)

est le point de concours des trois médianes du triangle ABC. Cette démonstration s'effectuera en deux étapes, en deux propositions. Au terme, nous pourrons conclure par le théorème.

Propositions :

P1. Si ABC est un triangle alors il existe un et un seul centre de gravité G tel que

P2. Les trois médianes d'un triangles sont concourantes. Leur point d'intersection est ce point G.

Démonstrations:

DM1. Soit G un point du plan tel que . Nous pouvons alors écrire que :

  (31)

d'où :

  (32)

Cette relation vectorielle garantit que le point G est unique et que nous pouvons même le placer!

C.Q.F.D.

DM2. Pour démontrer que les trois médianes sont concourantes, nous allons prouver que G appartient à chacune des trois médianes.

Au point P1., nous avons démontré que G vérifie l'égalité :

  (33)

Comme A' est le milieu du côté BC, nous pouvons alors écrire que :

  (34)

Il vient alors que :

  (35)

Les vecteurs  et  sont donc colinéaires! Donc les points A, G, A' sont alignés. Autrement écrit, le point G fait partie de la médiane AA' du triangle ABC. Nous pouvons même dire qu'il se trouve au deux tiers du segment AA' à partir du sommet A.

Ce que nous venons de montrer avec la médiane AA' est bien évidemment aussi vrai pour les deux autres médianes. Ainsi :

  (36)

En résumé, le point G fait donc partie des trois médianes AA',BB' et CC'. Ces trois droites sont donc concourantes et le point G en est le point d'intersection. Ce résultat nous sera utile plus tard lors de notre étude des polyèdres.

C.Q.F.D.

Triangle isocèle

Définition: Un "triangle isocèle" est un cas particulier du triangle quelconque, dans le sens où il a deux côtés égaux (isométriques).


  
(37)

Le périmètre d'un tel triangle reste :

  (38)

mais comme il a deux côté égaux tel que par exemple :

  (39)

La surface comme nous l'avons démontré dans le cas général reste :

  (40)

Et le centre de gravité reste, comme nous l'avons démontré dans le cas général, à la position :

  (41)

Propriété remarquables d'un triangle isocèle : la médiatrice et la médiane h du troisième côté non égal aux deux autres sont confondus (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne).

Triangle équilatéral

Définition: Un "triangle équilatéral" est un cas particulier du triangle, dans le sens où il a trois côtés égaux :


  
(42)

Le périmètre d'un tel triangle reste :

  (43)

mais comme il a trois côtés tel que :

  (44)

La surface comme nous l'avons démontré dans le cas général reste :

  (45)

Et le centre de gravité reste comme nous l'avons démontré dans le cas général, reste à la position :

  (46)

Propriété remarquables d'un triangle équilatéral : Médiatrices et médianes sont confondues (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne)!

Triangle rectangle

Définition: Un "triangle rectangle" est un cas particulier du triangle, dans le sens que sur un de ses trois angles, il y a au moins un angle droit.


  
(47)

Le périmètre d'un tel triangle reste :

  (48)

La surface comme nous l'avons démontré dans le cas général reste (surface de la moitié d'un rectangle de même base et de même hauteur):

  (49)

Et le centre de gravité reste comme nous l'avons démontré dans le cas général, reste à la position :

  (50)

Propriété remarquable d'un triangle rectangle : le triangle rectangle à ceci de particulier, que nous pouvons directement lui appliquer le théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne).

Trapèze

Définition: Un "trapèze", est un quadrilatère (non croisé) ayant deux côtés (au moins) parallèles..


  
(51)

Lorsque les deux côtés ont même longeur (ou, sont de même longueur), nous obtenons les cas particuliers du carré, du rectangle, du losange, du parallèlogramme (ici, ordre du précis au plus général, nous pourrions mettre le losange en n° 2).

Aussi un usage courant consiste à ne retenir qu'une définition plus restrictive, afin de ne pas prendre en compte ces figures particulières. Nous ajoutons dans ce cas que les longueurs des deux côtés parallèles ne sont pas égales (cela permet aux élèves des petites classes d'éviter les confusions résultant de l'existence de deux noms pour le même objet, par exemple losange et trapèze).

Remarque: Il existe un cas particulier de trapèze, le "trapèze isocèle", dont les deux côtés non parallèles sont de même longueur. (nous pouvons ajouter : Comme ces deux côtés ne sont pas parallèles, il ne s'agit pas d'un parallélogramme).

ParallÉlogramme

Définition: Le "parallélogramme" est un cas particulier du quadrilatère (et du losange aussi), où les côtés sont parallèles deux à deux :


  
(52)

Remarque: Tous les parallélogrammes sont donc dans la famille des trapèzes.

Losange

Définition: Le "losange" est un cas particulier du parallélogramme dans le sens où ses quatre côtés sont égaux.


  
(53)

Cercle

Il existe plusieurs définitions possibles du cercle. Voyons au moins deux.

Définitions:

D1. Un "cercle" est un cas particulier d'un polygone avec une infinité de côtés. 

D2. Un "cercle" est une courbe plane dont tous les points sont à égale distance d'un point fixe appelé "centre".


  
(54)

Nous démontrons dans la section d'informatique théorique (cf. chapitre de Méthodes Numériques), que le périmètre d'un cercle de rayon R et donc de diamètre est donné par :

  (55)

La relation de surface peut être obtenue de deux manières :

1. Par recherche de la primitive du périmètre P ce qui nous donne :

  (56)

2. La seconde méthode est plus esthétique et fait appel à l'équation paramétrique du cercle, trivialement donnée par les projections orthogonales des coordonnées cartésiennes :

  (57)

Nous savons que l'aire décrite par une fonction f(x) est donnée par :

  (58)

Il nous suffit alors de substituer dans cette intégrale les variables paramétrées :

  (59)

Ainsi :

  (60)

Les bornes d'intégration étant bien évidemment  nous avons :

    (61)

Nous avons donc aussi par cette méthode :

  (62)

La longueur l d'une tranche d'angle d'ouverture  d'un cercle de rayon R est bien évidemment donné par :

  (63)

et la surface S d'une tranche d'angle d'ouverture  d'un cercle de rayon R de manière identique par :

  (64)

Soit connue la relation de calcul de la surface d'un triangle. Nous avons selon la figure ci-dessous (la démonstration tient seulement dans le résultat lui-même) :


  
(65)

Remarque: Par définition du cercle, il est évident que le centre de gravité du cercle se confond avec le centre de celui-ci.

ELLIPSE

Définition: Une "ellipse" est une courbe fermée dont chaque point est tel que la somme de ses distances à deux points fixes appelés "foyers" est constante (comme nous l'avons vu dans le chapitre d'Algèbre Ensembliste, l'ellipse peut aussi être vue comme une transformation affine du cercle).


  
(66)

Introduisons pour commencer un petit texte relativement au calcul du périmètre de l'ellipse. Soit l'équation paramétrique en coordonnées cartésiennes d'une ellipse :

  (67)

La distance entre le centre du foyer et l'ellipse est alors donné par le théorème de Pythagore :

    (68)

Un élément d'arc est alors donné par :

  (69)

Le périmètre de l'ellipse est alors donné par l'intégrale :

  (70)

et là sa commence à se corser… Ce genre d'intégrale n'est pas facilement calculable à l'aide des primitives connues, intégration par parties, changements de variable ou autre. Il s'agit de ce que nous appelons une "intégrale elliptique du second ordre en J" pour   (cf. chapitre de Calcul différentiel et intégral) :

  (71)

De longs développements que nous présenterons dans quelques années dans le chapitre de calcul différentiel et intégral donne pour le périmètre après un calcul en série limitée :

  (72)

La relation de surface de l'ellipse peut être obtenu de manière très similaire à celle du cercle et les calculs sont curieusement beaucoup plus simple que ceux du périmètre. Rappelons que l'équation paramétrique l'ellipse est :

  (73)

Nous savons que l'aire décrite par une fonction f(x) est donnée par :

  (74)

Il nous suffit alors de substituer dans cette intégrale les variables paramétrées :

  (75)

Ainsi :

  (76)

Les bornes d'intégration étant bien évidemment  nous avons :

  (77)

Remarque: Il faut faire attention dans ce genre de calculs à l'ordre des bornes d'intégration. Effectivement, si nous avions pris les bornes allant de  (au lieu de ) il faut imaginer que la fonction intégrée parcoure le périmètre dans le sens négatif de l'axe des abscisses. Donc l'intégrale serait alors forcément négative.

Nous avons donc aussi par cette méthode :

  (78)

Remarques:

R1. Nous supposons comme évident que le centre de gravité de l'ellipse se confond avec le centre de celle-ci.

R2. Nous renvoyons le lecteur à l'étude des coniques (chapitre de géométrie euclidienne) pour le caclul de la surface d'une ellipse à partir de son "paramètre d'ellipse" et son "excentricité" (tout y est démontré).

VOLUMES connus

Il existe plusieurs définitions du concept de volume. Une définition due à Euclide et une autre due au domaine de la topologie (voir le chapitre du même nom).

Définitions:

D1. Un "volume" est ce qui a longueur, largeur et hauteur.

D2. Un "volume" est une variété topologique de dimension 3

Remarque: Nous nous intéresserons dans un premier temps uniquement aux propriétés (surface, volume, centre de gravité, moment d'inertie...) de volumes plongés dans des géométries euclidiennes.

Polyèdres

L'étude des polyèdres (particulièrement les polyèdres platoniciens) est très importante en physique (pour la cristallographie par exemple) et en mathématique car il permet d'avoir une application sympathique des groupes finis (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste). Il convient donc de porter une lecture relativement attentive à ce qui va suivra.

Par ailleurs, l'étude des polyèdres est aussi un moyen très pédagogique et esthétique pour voir la mise en œuvre de plusieurs théorèmes géométriques, de trigonométrie et d'algèbre vectoriel.

Précisons avant toute chose que les différents polyèdres ne seront délibérément pas présentés sur un pied d'égalité. Ainsi, nous nous concentrerons sur certaines propriétés pour certains et pas pour d'autres.

Définitions:

D1. Un "polyèdre" est un solide dont la frontière est formée de plans ou de portions de plan. Les portions de plan qui comprennent ainsi entre elles le polyèdre, sont les faces, chaque face, étant limité par intersections avec les faces voisines, est un polygone.  Les côtés de ce polygone sont les arêtes du polyèdre. Nous appelons "sommet" d'un polyèdre tout sommet d'une quelconque de ses faces.

D2. Un "polygone régulier" est un polygone dont les côtés, et tous les angles sont égaux (cette définition nous sera utile pour les polyèdres réguliers).

Parallélépipède

Définition: Le "parallélépipède" est un volume à six faces parallèles deux à deux (donc il n'est pas un polyèdre régulier!).


  
(79)

Son volume est simplement donné par la définition même du volume... :

  (80)

Quand à sa surface, il s'agit simplement de la somme des surface des rectangles sans rien de particulier.

Calculons maintenant le moment d'inertie d'une plaque (parallélépipède) d'épaisseur e et de surface transversale S dont l'axe de rotation est y :


  
(81)

Un élément de volume du rectangle (en gris) est donné par :

  (82)

et :

  (83)

et occupons nous maintenant du moment d'inertie de ce rectangle par rapport à l'axe z (perpendiculaire à x et à y donc) et disposons les axes de façon à :

  (84)

Nous avons :

  (85)

Avec :

  (86)

d'où :

  (87)

Soit le moment d'inertie d'une plaque rectangulaire :

  (88)

si la plaque est carrée de côté L :

  (89)

Nous allons montrer qu'il est dès lors possible de calculer le moment d'inertie du triangle équilatéral et rectangle.

Le moment d'inertie toujours par rapport au même axe mais pour la moitié du carré est donnée par :

  (90)

Si le centre de gravité est posé sur le tiers de la médiane partant du centre de gravité du carré et que nous faisons usage du théorème de Steiner (cf. chapitre de Mécanique Classique), il vient :

  (91)

Qui est donc le moment d'inertie d'un triangle équilatéral.

En procédant exactement de même pour un triangle rectangle de côtés a, b dont l'axe de rotation passe par le centre de masse G, il vient :

  (92)

Pyramide

Définition: La "pyramide" est un polyèdre qui a pour base un polygone et pour faces latérales des triangles réunis en un point appelé "sommet". La pyramide n'est donc pas dans le cas général un polyèdre régulier!


  
(93)

Considérons une surface S(t) de la section de la pyramide avec le plan d'équation , alors le volume V cherché est égal à :

  (94)

Nous parlons d'équation de plan alors qu'il n'y a pas de repères défini pour l'instant. Au fait, dans l'intégrale, t varie entre 0 et h. Cela sous-entend que nous prenons un repère centré en H (le pied de la hauteur de la pyramide), d'axe de la droite (la hauteur de la pyramide) orientée de O vers H (du pied de la hauteur vers le sommet). Les deux autres axes sont choisis quelconques dans le plan de la base de la pyramide.

Il nous faut préciser maintenant ce que vaut S(t) en fonction de t :

Soit S l'aire de la base de la pyramide. La section de la pyramide par le plan d'équation se déduit par l'homothétie de centre O et de rapport t/h. Donc l'intégrale s'écrit :

  (95)

Le fait d'avoir pris le carré de t/h provient du fait que chaque terme intérieur de S est le produit de deux termes (selon le calcul de la surface d'un triangle) chacun de rapport d'homotétie t/h.

Ainsi, nous avons :

  (96)

Prisme DROIT

Défintion : Le "prisme droit" est un polyèdre dont les bases sont deux polygones égaux à côtés parallèles, les faces latérales étant des parallélogrammes. Donc le prisme droite n'est pas un polyèdre régulier!


  
(97)

Pour calculer le volume V d'un prisme droit, nous devons tout simplement multiplier l'aire de sa base B par sa hauteur h :

  (98)

Sa base est un polygone, c'est-à-dire qu'elle peut être un triangle, un quadrilatère, ou un pentagone… Il faut donc savoir calculer ces aires pour calculer le volume du prisme droit.

Polyèdres réguliers

Définitions:

D1. Un "polyèdre régulier" est constitué de faces toutes identiques et régulières.

D2. Un "polyèdre convexe" est tel que chaque point d'un segment de droite qui joint deux points quelconques appartient au polyèdre.

Les polyèdres réguliers sont au nombre de neuf, dont cinq sont convexes et étaient connus de Platon. Nous appelons parfois polyèdres réguliers uniquement les solides de Platon et ce sont ceux-ci qui vont nous intéresser ici.

Démontrons d'abord n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes qui sont donc appelés les "les cinq solides platoniciens" (les autres colonnes du tableau ci-dessous seront démontrées et expliquées un peu plus loin) :

Nom (m,n)

Image

S

A

F

F - A + S

Tétraèdre (3,3)

4

6

4

2

Hexaèdre ou cube (4,3)

8

12

6

2

Octaèdre (3,4)

6

12

8

2

Dodécaèdre  (5,3)

20

30

12

2

Icosaèdre (3,5)

12

30

20

2

  (99)

Démonstration:

Soient m le nombre de côtés de chaque face d'un polyèdre régulier, n le nombre des arêtes qui se rencontrent en chaque sommet. Nous avons alors que chaque angle d'une face quelconque est donné par :

  (100)

Attention c'est l'angle  qui définit donc l'angle d'une face et non pas !

Ce qui découle de la figure suivante :


  
(101)  

où nous avons :

  (102)

et :

  (103)

Mais, la somme des n angles groupés autour d'un sommet est plus petit que les n angles qui coupent un plan en partie égales (nous supposerons cela intuitif par découpage)! Chacun d'eux est donc inférieur à :

  (104)

donc :

  (105)

d'où :

  (106)

Les nombres m et n sont tous deux au moins égaux à 3 (le plus petit polygone étant le triangle). Il en résulte que les seuls cas possible sont :

  (107)

C.Q.F.D.

Notons maintenant F le nombre de faces, A le nombre d'arêtes et S le nombre de sommets. Alors, rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de théorie des graphes la "formule d'Euler" (ou "théorème de Descartes-Euler") que :

  (108)

et celle-ci est bien évidemment valable aussi pour l'aplatissement d'un polyèdre dans la plan (et donc in extenso d'un polyèdre).

Remarque: La représentation sous forme d'un graphe de l'aplatissement d'un polyèdre est appelé "diagramme de Shlegel".


  
(109)

Dans le cas des polyèdres réguliers, chaque face possède m arêtes de sorte que est l'ensemble des arêtes des faces et comme chaque arête rencontre exactement deux faces, nous avons l'égalité (prendre un exemple pour s'en convaincre au cas où!) :

  (110)

et comme n est le nombre des arêtes qui se rencontrent en chaque sommet, et que chaque arête relie deux sommets, nous avons également :

  (111)

Soit :

  (112)

En injectant dans la formule d'Euler, nous avons alors :

  (113)

et nous retrouvons l'inégalité du théorème précédente. Reprenons notre calcul :

  (114)

d'où nous tirons :

  (115)

Nous pouvons maintenant entreprendre la classification des polyèdres réguliers.

Le tétraèdre  :

  (116)

L'octaèdre  :

  (117)

L'hexaèdre  ou cube :

  (118)

L'icosaèdre :

  (119)

Le dodécaèdre :

  (120)

ce qui termine notre classification.

TÉTRAÈDRE RÉGULIER

Nous avons montré que pour le tétraèdre  et il est relativement aisé de deviner qu'un tel polyèdre est formé de 3 triangles équilatéraux identiques comme le montre la figure ci-dessous :

 
  
(121)

Pour cela, commençons par étudier le triangle équilatéral suivant :

 
  
(122)

Dans ce triangle équilatéral, a est la côté, h la hauteur. Les médiatrices sont h, h', h'' des côtés respectifs BC, AB, AC.

h et h' se coupent en un point P (barycentre). Par construction du triangle équilatéral, nous avons  (il suffit d'appliquer Pythagore pour le démontrer).

Nous avons par ailleurs démontré lors de notre étude du triangle, que le barycentre de celui-ci se situe toujours à 2/3 de la hauteur de la médiane. Comme médiane et médiatrices sont confondues dans le cas du triangle équilatéral, nous avons alors .

Maintenant, nous tirons une droite passant par le point P et perpendiculaire au plan dans lequel se trouve le triangle. Soit D un point sur cette droite, comme  nous aurons bien sûr  (il suffit d'appliquer Pythagore à nouveau!).

Il ne nous reste donc plus qu'à nous arranger pour que  et nous aurons le tétraèdre régulier que nous voulions. Nous calculons alors :

  (123)

et donc :

  (124)

donc :

  (125)

 
  
(126)

La médatrice de BC passant par M coupe H en un point O, qui n'est rien d'autre que le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre. En effet, par construction, nous avons  et la médiatrice nous donne .

Thalès nous donne également :

  (127)

et pour les développements qui suivront nous poserons .

Calculons maintenant la surface totale. Elle sera nécessairement donnée par la surface d'une seule face multipliée par le nombre de faces, et comme nous avons démontré comment calcul la surface d'un triangle plus haut il vient immédiatement :

  (128)

Pour le volume c'est tout aussi simple puisque nous avons démontré plus haut quel était celui d'une pyramide. Il vient alors immédiatement :

  (129)

HEXAÈDRE RÉGULIER (Cube)

Le cube est le polyèdre régulier qui nous est le plus familier, il compte 6 faces et sa construction ne nécessite probablement pas d'être présentée.

 
  
(130)

Puisque tous les côtés sont de longueur a, la surface est simplement donné par la multiplication de la surface des 6 faces. Ainsi :

  (131)

et le volume :

  (132)

OCTAÈDRE RÉGULIER

Nous avons montré que pour l'octaèdre et il est relativement aisé de deviner que l'octaèdre régulier est formé (par définition) de 6 triangles équilatéraux identiques.

Pour construire, et montrer qu'il est possible de construire, un tel polyèdre nous posons comme précédemment que son côté vaut a.

 
  
(133)

Ensuite, nous notons O le point d'intersection des deux diagonales. Nous avons alors :

  (134)

et :

  (135)

Sur la droite perpendiculaire au plan qui contient notre carré, et passant par O, nous ajoutons deux sommets E, F à une distance que nous calculons comme suit :

  (136)

d'où nous tirons :

  (137)

Donc :

  (138)

Notre polyèdre est bien composé de huit triangles équilatéraux tous identiques. Chaque sommet compte quatre arêtes et quatre faces, ce qui nous permet d'affirmer qu'il est bien réguler et termine ainsi notre construction.

La surface de l'octaèdre réguler est :

  (139)

avec h étant la hauteur du triangle équilatéral de côté a que nous avons déjà calculé plus haut. Pour le volume, c'est encore basé sur celui de la pyramide. Ainsi :

  (140)

Et nous supposerons qu'il est évident pour le lecteur que notre octaèdre est inscrit dans une sphère de rayon R dont le centre est le point O. Pour R, nous avons :

  (141)

Montrons déjà maintenant que nous pouvons construire l'icosaèdre régulier à partir de l'octaèdre et que ce premier existe est bien constructible.

Pour cela, nous allons d'abord considérer un repérage vectoriel des points suivantS de l'octaèdre avec l'origine O placée au barycentre:

 
  
(142)

Nous avons alors :

  (143)

Une fois ceci posé, considérons la figure suivante :

 
  
(144)

Sur la figure ci-dessus, A' est un point qui part de A et qui arrive en B, et soit B' un point qui part de C et qui arrive en B, et pour finir E' un point qui part de B et arrive en E. Ces trois points partent en même temps et avancent à la même vitesse. Si nous suivons ces trois points, qui forment un triangle A'B'E', nous sentons bien intuitivement qu'il existe un lieu tel que A'B'E' soit un triangle équilatéral.

Déterminons ce lieu :

  (145)

et donc :

  (146)

et nous voulons :

  (147)

Alors :

  (148)

Soit :

  (149)

Ce qui se simplifie en :

  (150)

et comme , nous obtenons pour la résolution de ce polynôme du deuxième degré (cf. chapitre de Calcul Algébrique) la seule solution acceptable  :

  (151)

le lecteur remarquera peut-être qu'il s'agit de l'inverse du nombre d'or.

Selon la figure ci-dessous, si nous posons  alors nous retrouvons à nouveau la même valeur pour  (soit le lecteur le vérifiera lui-même, soit nous sur demande nous pouvons faire le détail des calculs) et idem pour tous les autres points :

 
  
(152)

Notre nouveau polyèdre comporte donc une face par face de l'octaèdre et une face par arête de l'octaèdre. Nous avons ainsi vingt faces composées de triangles équilatéraux identiques. De plus, cinq arêtes et cinq faces se rencontrent en chaque sommet. Nous obtenons alors un icosaèdre régulier.

Nous avons pour les coordonnées de chaque sommet (il faut bien observer que les sommets sont opposés par paire en une composante sur la figure) :

  (153)

ICOSAÈDRE RÉGULIER

Nous avons vu précédemment comment construire l'icosaèdre régulier. Il existe donc bien.


  
(154)

Connaissant les coordonnées des différentes sommets, calculons maintenant la surface et le volume de l'icosaèdre régulier.

Le calcul de la surface est simple puisqu'il s'agit de 20 triangles équilatéraux. Nous avons doc :

  (155)

donc :

  (156)

Donc :

  (157)

Donc :

  (158)

Le calcul du volume est lui un peu plus subtil…

L'icosaèdre est construit autour du pentagone et de la section d'or comme nous avons pu nous en apercevoir lors de notre étude de l'octaèdre.

Si jamais le lecteur n'est pas convaincu voici une figue supplémentaire où nous voyons bien que chaque arête de l'icosaèdre est une arête d'un pentagone (AFECB, LGHJK, DAJKC, DEGHA, BJILC, FELIH…) :


  
(159)

 

Utilisant la méthode des pyramides, nous avons 20 triangles équilatéraux qui servent de base à une pyramide dont la hauteur va jusqu'à l'origine O de l'icosaèdre (où l'origine confondue de la sphère inscrite ou circonscrite).

Prenons pour exemple la base ABD avec l'intersection des médiatrices se trouvant au point M comme représenté ci-dessous.


  
(160)

Comme nous le savons, le volume de chaque pyramide est :

  (161)

La surface b est dans notre situation celle du triangle équilatéral ADB et la hauteur h est le segment OM.

Si nous notons a le côté de triangle, alors la surface est donnée par :

  (162)

Pour trouver h, nous savons par construction du point M que les triangles OMA, OMB, OMD sont des triangles rectangles.

Travaillions arbitrairement avec le triangle OMD. D'abord, déterminons la longueur DM. Nous avons démontré lors de notre étude des médiatrices de longueur H du triangle équilatéral (cf. chapitre de Géométrique Euclidienne) que DM vaut alors :

  (163)

Or :

  (164)

Donc finalement :

  (165)

Pour trouver h nous devons trouver la longueur  en termes de longueur des arêtes a de l'icosaèdre. Pour cela, nous devons reconnaître une des propriétés géométrique élémentaires de l'icosaèdre.

Avant d'aller plus loin, montrons une propriété du pentagone ci-dessous avec ses diagonales d et ces cotés c :


  
(166)

BSEA est  un parallélogramme. Effectivement, la diagonale BD est parallèle au côté AE (par exemple, parce que tout deux sont perpendiculaire à l'axe de symétrie passant par OC). Comme S est sur BD, cela prouve que BS et AE sont parallèles. Nous montrons de la même manière que AB et SE sont parallèles.

Nous en déduisons que :

  (167)

et de même pour CS :

  (168)

Continuons…, nous avons l'égalité. Comme de plus CD et BE sont parallèles, les triangles SCD et ABE sont semblables. Par conséquent, les rapports de distances entre leurs côtés sont conservés (Thalès) :

  (169)

d'où la relation :

  (170)

Si  désigne maintenant le rapport d/c, la relation précédente devient :

  (171)

et  étant strictement positif, nous avons déjà vu lors de notre étude de l'octaèdre que l'unique racine positive est le nombre d'or :

  (172)

Nous venons donc de montrer qu'une diagonale d'un pentagone est égale au nombre d'or multiplié par la longueur d'une arête de ce même pentagone.

Ainsi, nous avons dans les pentagones AFECB et LGHJK de notre icosaèdre :

  (173)

Remarquons également le rectangle FBGK dont le barycentre est confondu avec celui de l'icosaèdre. Par ailleurs, FK et BG représentent par construction le diamètre de la sphère circonscrite à l'icosaèdre et donc  en sont le rayon r que nous allons cherchons.

Nous avons :

  (174)

Donc :

  (175)

d'où :

  (176)

Maintenant, nous pouvons calculer h :

  (177)

Or :

  (178)

puisque le nombre d'or est racine de l'équation .

Soit :

  (179)

Donc finalement :

  (180)

et :

  (181)

Ainsi, le volume d'une pyramide de l'icosaèdre est :

  (182)

Comme il y a 20 pyramides :

  (183)

DODÉCAÈDRE RÉGULIER

Faut d'avoir trouvé dans la littérature une manière esthétiquement et simple de faisabilité de construction du dodécaèdre, nous nous en passerons pour l'instant (il est possible de vivra sans).

Remarquons simplement que le dodécaèdre est composé de 12 pentagones réguliers et son volume est assimilable à un parallélépipède sur lequel nous avons posé sur chacune des faces une sorte de petit toit qui au final donner les pentagones :


  
(184)

Pour notre étude du dodécaèdre, nous nous intéresserons uniquement à déterminer sa surface et son volume.

Pour cela, considérons dans un premier temps le pentagone régulier ci-dessous :


  
(185)

Nous allons d'abord devoir déterminer la longueur de h et de b.

Rappelons d'abord que nous avons lors de notre étude l'icosaèdre déjà démontré que la diagonale d'un pentagone est reliée à la longueur de ses côtés par la relation :

  (186)

 est donc le nombre d'Or. Il nous reste alors à déterminer h.

Il est d'abord évident que  et que :

  (187)

Or, deux informations nous manquent ici : l'angle et c. Commençons par déterminer combien vaut le cosinus sans utiliser la calculatrice (vous comprendrez pourquoi…).

Nous avons d'abord selon la relation (ch. chapitre de Trigonométrie)  :

  (188)

Ce qui s'écrit aussi :

  (189)

Mais cela s'écrit également en utilisant toujours la même relation trigonométrique remarquable :

  (190)

Soit après simplification :

  (191)

En faisant un changement de variable et en réarrangeant les différents termes :

  (192)

Nous avons -1 et 1/2 qui sont deux racines évidentes et nous obtenons donc (cf. chapitre de Calcul Algébrique) :

  (193)

Nous n'avons plus qu'à résoudre une simple équation du deuxième degré dont la solution est triviale en appliquant les méthodes vues dans le chapitre de calcul algébrique, et nous obtenons :

  (194)

Soit en ne prenant que la seule solution admissible nous avons alors :

  (195)

nous retrouvons donc nombre d'Or là aussi! et ceci nous amène directement à écrire que :

  (196)

Il nous reste à déterminer c. Nous avons :

  (197)

et comme  nous avons :

  (198)

et donc :

  (199)

d'où :

  (200)

Nous avons donc pour le calcul de la surface du pentagone, une surface composée de 12 pentagones dont chacun est composé d'un triangle de base a et de hauteur h.

  (201)

Pour calculer le volume nous allons faire usage de l'astuce mentionnée au début. C'est-à-dire de découper dans un premier temps le dodécaèdre en un parallélépipède de côté :

  (202)

puisque le côté du parallélépipède est une diagonale du pentagone de côté s et de 6 petits toits (qui sont bien visibles sur la figure du dodécaèdre donnée précédemment).

Chaque petit toit selon deux vues différentes aura les longueurs suivantes (où nous retrouvons bien évidemment pour certaines arêtes celles des pentagones s ou encore les diagonales c de ceux-ci) :


  
(203)

Pour chaque petit toit nous traitons à part les extrémités en les séparant et en les réunissant. Finalement nous avons deux morceaux à traiter : la partie majeure du toit visible à gauche sur la figure ci-dessous et la partie secondaire du toit à droite sur la figure qui n'est d'autre que la réunion des extrémités du toit :


  
(204)

Il nous faut donc déterminer x et l  et h puisque c et s nous sont déjà connus.

D'abord nous voyons trivialement que :

  (205)

Du théorème de Pythagore, nous avons alors :

  (206)

En combinant ces deux relations, nous avons :

  (207)

Il vient alors :

  (208)

Donc :

  (209)

Nous pouvons maintenant calculer le volume  de chacune des 6 petits toits :

  (210)

Donc le volume total du dodécaèdre est finalement le volume des 6 petits toits sommé au volume du parallélépipède central :

  (211)

corps DE RÉVOLUTIONS

Définition: Un "corps de révolution" est un volume que nous obtenons en faisant tourner une
courbe 2D autour d'un axe.

Il existe donc autant de corps de révolution que de type de courbe fermée ou non que nous pouvons faire tourner autour d'un axe.

Cylindre

Définition: Un  "cylindre" est une surface engendrée par une droite qui se déplace parallèlement à une direction fixe en rencontrant une courbe plane fixe, dont le plan coupe la direction donnée.


  
(212)

Le volume d’un cylindre de révolution de rayon  et de hauteur égale à h se calcule par la méthode des disques en sachant que la surface d'un cercle (disque) vaut :

  (213)

La surface d'un disque étant simplement la somme de la surface des deux disque de base et du sommet et de la surface du rectangle plié de hauteur h et de longueur :

  (214)

Calculons maintenant le moment d'inertie d'un cylindre plein par rapport à son axe de symétrie vertical (axe de révolution) :


  
(215)

Nous avons :

  (216)

Donc :

  (217)

Soit maintenant G le centre de gravité du cylindre, coïncide avec l'axe de révolution du cônes. Les axes et jouent des rôles identiques. Les moments d'inertie et par rapport à ces axes sont donc égaux et s'écrivent :

  (218)

d'où :

  (219)

d'où :

  (220)

La première intégrale est en fait le moment d'inertie du cylindre par rapport à l'axe et nous savons quelle vaut :

  (221)

La deuxième intégrale se calcule facilement en découpant le cylindre en tranches d'épaisseur dz. La masse de la tranche élémentaire est soit : perpendiculaires à l'axe

  (222)

Le moment d'inertie d'un cylindre par rapport à un axe perpendiculaire à son axe de révolution s'écrit donc :

  (223)

Calculons maintenant le moment d'inertie d'une tube ou d'un cylindre creux d'épaisseur non nulle (toujours donné dans les formulaires techniques) : le moment d'inertie d'un tube par rapport à son axe de révolution est un grand classique du traitement du moment d'inertie du cylindre. Ainsi, considérons un tube de rayon extérieur et de rayon intérieur . Comme (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

  (224)

Il vient dès lors que le moment d'inertie d'un tube peut-être vu comme le moment d'inertie du cylindre de rayon égal au rayon externe du tube diminué du moment d'inertie du cylindre de rayon égal au rayon interne du tube. Ainsi :

  (225)

et si , il vient dès lors la relation classique disponible dans nombre de formulaires de physique :

  (226)

Cône

Définition: Un "cône" est une surface engendrée par une droite mobile, passant par un point fixe et s'appuyant sur une courbe fixe; solide déterminé par cette surface.

Le volume d’un cône de révolution de rayon à la base r et de hauteur égale à h se calcule également par la méthode des disques.

La droite passant par les points (extrémité de la base du cône) et (sommet du cône) est :

  (227)

La rotation de cette droite par rapport à l’axe des y donne le volume du cône :

  (228)


  
(229)

Calculons maintenant d'inertie d'un cône par rapport à son axe de révolution :

Pour ce calcul, nous allons utiliser la valeur du moment d'inertie du cylindre et considérer le cône comme un empilement de cylindre infinitésimaux.

Donc :

  (230)

SPhÈre

Définition: La "sphère" est le volume engendré par la rotation d'un disque (ou cercle) de rayon r autour de son centre de gravité.


  
(231)

Nous pouvons voir une sphère de rayon R, comme une surface qui est formée par la rotation d'un demi-cercle autour de son grand axe. La fonction décrivant un demi-cercle étant :

  (232)

La sphère peut être disséquée donc comme un somme de disques d'épaisseur . Les demi-disques étant tangents à l'axe des abscisses et de largueur  à la position (voir figure ci-dessous).


  
(233)

Nous avons ainsi :

  (234)

Le volume d'un disque (cylindre) étant donné par (en passant à la limite) :

  (235)

et le e rayon  étant donné par la fonction :

  (236)

nous avons alors :

  (237)

En intégrant entre , nous avons alors le volume de la sphère :

  (238)

Nous pouvons également prendre les bornes entre  cela revenant au même à un facteur 2 près :

  (239)

Après simplification, nous obtenons pour le volume :

  (240)

L'expression de la surface étant donnée par dérivant par  rapport à l'élément générant la surface, nous obtenons ainsi :

  (241)

Il existe une autre manière d'aborder ces calculs un peu plus rigoureuse. Effectivement, dans le chapitre de calcul différentiel et intégral nous avons introduit le concept de Jacobien qui permet de changer les variables d'intégration en fonction du système de coordonnées sur lequel nous travaillons.

  (242)

et nous avons démontré que le jacobien en coordonnées sphériques est :

  (243)

Dès lors, nous avons :

  (244)

et pour la surface (pour laquelle le rayon est constant) :

  (245)

Calculons maintenant le moment d'inertie d'une boule pleine homogène de masse M et de masse volumique . Pour cela, la boule présentant une symétrie maximum, il est plus commode de calculer d'abord le moment d'inertie polaire (voir chapitre de mécanique classique), puis de déterminer le moment d'inertie axial à partir de ce premier :

  (246)

Comme sont égaux par symétrie de la boule, il vient :

  (247)

Tore

Définition: Un "tore" est la surface engendrée par la rotation d'un cercle c de rayon r autour d'une droite située dans son plan, mais ne passant pas par son centre.

Soit l'équation d'un demi cercle de centre :

  (248)

Afin d'écrire y sous la forme d'une fonction de x, isolons y dans cette équation:

    (249)

Le cercle est constitué des graphes des deux fonctions :

- Demi-cercle supérieur :

  (250)

- Demi-cercle inférieure :

  (251)

Le volume demandé est la différence entre les volumes engendrés par la rotation des surfaces (surfaces définies par l'aire comprise entre la fonction du cercle concerné et l'axe des abscisses compris entre )  dans l'espace autour de l'axe des abscisses.

En appliquant la relation d'intégration des corps de révolution :



  
(252)

Calculons cette dernière intégrale par la substitution classique donc :

  (253)

si :

  (254)

si :

  (255)

donc :

  (256)

Linéarisons cette expression en utilisant à nouveau les relations trigonométriques :


  
(257)

Donc le volume d'un tore de "rayon mineur" r et de "rayon majeur" c est donné par :

  (258)

Adapté à la figure ci-dessous (prise de la littérature) :

  (259)

et la surface (par dérivation de l'élément génération de surface) :

  (260)

Le moment d'inertie du tore relativement à son de révolution se calcule de la manière suivante :

Soit le volume du tore (démontré précédemment) noté :

  (261)

La densité volumique du tore est donnée par (masse sur volume):

  (262)

En coordonnées cylindriques, nous avons :

  (263)

d'où :

  (264)

Le moment d'inertie est alors donné par :

  (265)

Posons , dès lors :

1. Les bornes d'intégration deviennent dès lors puisque nous ramenons tous les points d'intégration à l'origine en posant

2. Trivialement, puisque nous avons donc

Ce qui nous donne :

  (266)

Comme l'intégrale entre deux bornes égales d'une fonction ou produit de fonction impaires est nul (voir chapitre de calcul différentiel et intégral), les intégrales de :

  (267)

sont nulles.

Nous avons donc à calculer :

  (268)

Posons maintenant et donc . Il vient donc :

  (269)

Or, comme :

  (270)

Donc :


  
(271)

Soit (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :


  
(272)

Donc finalement :

  (273)

Ellipsoïde

Définition: Un "ellipsoïde" est un solide engendré par la révolution d'une ellipse autour de l'un de ses axes.


  
(274)

Pour calculer le volume délimité par l'ellipsoïde, prenons l'équation que nous avons déterminée lors de notre étude des coniques (cf. chapitre de Géométrie Analytique) :

  (275)

La section par un plan parallèle au plan Oyz et se trouvant à la distance x de ce dernier, donne l'ellipse :

  (276)

ou :

  (277)

avec pour demi-axes :

  (278)

Mais comme nous l'avons démontré, la surface d'une ellipse vaut . Par conséquent :

  (279)

Le volume de l'ellipsoïde est alors égal à :

  (280)

Donc :

  (281)

et si , nous retrouvons l'expression du volume d'une sphère :

  (282)

Remarque: Le calcul du moment d'inertie d'un ellipsoïde est très important en astrophysique puisque une grand nombre d'étoiles ou de planètes en rotation sur elles-mêmes de par leur déformation à l'équateur à cause de la force centrifuge se voient déformés en première approximation en tel volume.

Pour un ellipsoïde, définissons C comme étant le moment d'inertie le long de l'axe c, A le moment d'inertie le long de l'axe a et B le moment d'inertie le long de l'axe b.

Pour commencer, considérons le moment d'inertie le long de l'axe c que nous assimilerons à l'axe z. Dès lors, en coordonnées cartésiennes, nous avons :

  (283)

En faisant la substitution suivante, nous sous-entendons que l'intégrale précédent est une normalisation d'un ellipsoïde :

  (284)

ce qui nous donne pour notre intégrale (nous transformons donc ainsi le volume V de l'ellipsoïde en le volume V' d'une sphère) :

  (285)

Nous pouvons maintenant passer les coordonnées cartésiennes en coordonnées sphériques (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) sans oublier d'utiliser le Jacobien (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) que nous avions démontré comme valant en coordonnées sphériques :

  (286)

Donc (nous utilisons les primitives usuelles démontrées dans le chapitre de calcul différentiel et intégral) :

  (287)

en y insérant pour l'ellipsoïde :

  (288)

nous obtenons alors :

  (289)

et par symétrie, nous avons les résultats triviaux suivants :

  (290)

La matrice d'inertie (voir chapitre de mécanique classique) est alors :

  (291)

 

Paraboloïde

Définition: Un "paraboloïde" est un solide engendré par la révolution d'une parabole autour de son foyer :


  
(292)

La méthode de calcul du volume du paraboloïde à base elliptique est exactement la même que celle pour la pyramide à la différence que l'équation d'une parable est du type et que nous avons aussi . Dès lors, nous avons évidemment . Le carré de la fonction nous amène à écrire :

  (293)

et idem pour . Dès lors :

  (294)

TONNEAU A SECTION CIRCULAIRE

Maintenant regardons pour la plaisir un volume très connu par les viticulteurs (et pas seulement!):


  
(295)

Considérons que la courbe latérale du tonneau est une parabole d'équation:

  (296)

Posons:

 et   (297)

étant donné la manière dont nous avons disposé les axes x, y il est relativement aisé de déterminer les coefficient du polynôme. Déterminer le coefficient c est le plus simple:

  (298)

Nous avons aussi:

  (299)

De même que:

  (300)

Ainsi, nous avons:

  (301)

Le rayons d'une section horizontale d'ordonnée x est  et sa surface est donc:

  (302)

ou:

  (303)

Développons:

  (304)

Le volume de liquide pour une hauteur h sera donc:

  (305)






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