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La météorologie est l'étude des phénomènes atmosphériques tels les nuages, les dépressions et les précipitations pour comprendre comment ils se forment et évoluent. C'est une discipline qui traite principalement de la mécanique des fluides appliquée à l'air mais qui fait usage de différentes autres branches de la physique et de la chimie. Elle permet donc d'établir des prévisions météorologiques en s'appuyant sur des modèles mathématiques à court comme à long terme. Elle est également appliquée pour la prévision de la qualité de l'air, pour les changements climatiques et pour l'étude dans plusieurs domaines de l'activité humaine (construction, trafic aérien, etc.)

HORIZON VISUEL

Nous allons étudier ici un petit sujet sympathique faisant souvent débat lors des vacances ou plus sérieusement... à l'armée dans les logiciels de météorologie il est demandé de saisir la distance de l'horizon visuel... or celle-ci est difficile à déterminer par très beau temps lorsque nous sommes en hauteur.

Pour cela, considérons la Terre de rayon R et un point de perspective de hauteur h par rapport au niveau de la mer que nous noterons A. La question est de savoir à qu'elle distance se trouve le point CAC qui est simplement la ligne d'horizon. donné par définition par la tangente


  
(1)

Le lecteur observera déjà que l'étude va principalement faire appel à de la trigonométrie et de la géométrie élémentaire.

L'angle  est un angle droit. En effet, une droite tangente en un point d'un cercle est perpendiculaire au rayon en ce point.

Le triangle OCA est rectangle en C. Nous avons donc :

  (2)

Or, nous avons . D'où nous en déduisons :

  (3)

La distance AC est la distance à vol d'oiseau entre le point de vue (belvédère) et le bateau que nous observons sur l'horizon. La distance qui nous intéresse ici est BC : c'est la distance que nous devrions parcourir à l'altitude 0 pour rejoindre l'autre bateau.

Dans la suite, nous poserons .

Lorsque l'angle αvarie de 0° à 360° (tour complet), noous décrit^vons toute la circonférence de la Terre, c'est-à-dire puisque la Terre est supposée être ronde.

Utilisation de la règle de trois :

Si un angle de 360° correspond à une distance de longueur alors un angle de correspond à une distance:

  (4)

Or, nous avons vu précédemment que:

  (5)

D'où, finalement :

  (6)

Avec , nous trouvons (h doit être exprimé en kilomètres) :

  (7)

Nous avons alors dans le vide, dans un paysage sans obstacles la table suivante:

Altitude h [m]

Distance de l'horizon d [km]

5

8

10

11.3

50

25.3

100

35.7

200

50.5

400

71.4

600

87.5

800

101

1000

113

2000

159.7

3000

195.6

4000

225.8

5000

252.5

10000

357

  (8)

Remarque: Si nous ne tenons donc pas compte de la réfraction atmosphérique, nous constatons qu'il faudrait une altitude de l'ordre de plusieurs kilomètres pour voir au-delà de 200 [km] de distance. Pourtant, sans aller très loin, depuis les hauteurs de Nice (Alpes-Maritimes), il est possible d'observer la pointe du Cap Corse qui se trouve à environ 220 km du continent !!! La réfraction atmosphérique joue donc un rôle dans ce phénomène.

DIRECTION DES VENTS

Nous allons démontrer mathématiquement maintenant quelque chose de tout à fait intuitif : que les vents de déplacent des hautes vers les basses pressions (c'est bête comme ça mais il faut quand même le montrer).

Nous savons (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus) que la force de pression s'exerçant sur une surface S est normale à cette surface et vaut sous forme scalaire .

Pour une parcelle d'air de volume  la force de pression totale selon la direction x vaut alors :

  (9)

De plus, nous avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

  (10)

Donc :

  (11)

La force de pression massique est donc :

  (12)

Nous pouvons faire le même calcul selon y. Finalement la force de pression horizontale massique sera donnée par :

  (13)

Ainsi, la force de pression (massique ou non) est opposée au gradient horizontal.

Elle est donc :

- Dirigée des hautes vers les basses pressions, perpendiculaire aux isobares

- Inversement proportionnelles à l'écartement des isobares.

Si nous relevons les valeurs de la pression atmosphérique en différents points du globe et qu'on nous relions  entre eux les points de pression identique, nous obtenons un série de courbes, appelées "isobares". Le vent est directement déterminé par ce relief atmosphérique, puisque c'est un déplacement d'air entre des hautes vers les basses pressions.

La vitesse du vent est donc fixée par le gradient de pression : autrement dit, si la pression atmosphérique varie rapidement avec la distance, le vent soufflera fort, tandis qu'il sera faible dans un "marais" barométrique où cette pression reste quasiment inchangée sur de grandes distances. En résumé, plus les isobares sont rapprochées, plus le vent soufflera fort.

Les isobares sont traditionnellement indiquées par un pas de 5 millibar sur les cartes météo tel que le montre l'exemple ci-dessous :


  
(14)

Ensuite, les météorologues ont défini empiriquement (c'est sympathique pour la culture générale) une unité de mesure des vents qui n'est qu'une correspondance entre la force du vent et la distance séparant 2 isobares (5 en 5 [mb]) :

Distance entre isobares [km]

Unité [Beaufort]

Vitesse [m/s]

600 (brise légère)

2

1.6-3.3

500 (brise moyenne)

4

3.4-5.4

400 (brise fraîche)

5

8-10.7

300 (vent fort)

6

10.8-13.8

200 (grand vent)

7

13.9-17.1

100 (tempête)

9

20.8-24.4

MODÈLE ATMOSPHÉRIQUE EXPONENTIEL

Considérons que l'atmosphère est un fluide parfait dans un champ de gravité. Alors à partir de la relation du théorème de Bernoulli suivante démontrée dans le chapitre de mécanique des fluides (fluide statique) :

  (15)

Il vient alors :

  (16)

Ainsi, pour connaître la variation de pression avec l'altitude dans l'atmosphère ou la profondeur dans l'océan, nous avons prix comme hypothèse "l'équilibre hydrostatique", soit que la variation de pression avec la hauteur/profondeur est proportionnelle à la gravité et à la densité du fluide.

Ceci n'est bien évidemment pas valide dans le cas dans les mouvements rapides de convection, comme dans les orages, mais se vérifie assez bien dans les mouvements plus lents et à grande échelle: l'échelle synoptique.

Nous allons alors combiner cette dernière relation avec une équation d'état, par exemple celle du gaz parfait à la température T et de densité  dont les particules constituant ont pour masse m. Nous avons donc l'équation des gaz parfaits :

  (17)

Dans le cas isotherme (par exemple dans la stratosphère Terrestre, au-dessus de 10 km d'altitude où la température est quasi constante autour de -55 degrés Celsius), l'intégration s'effectue facilement :

  (18)

Donc, à une pression donnée, le gradient vertical de pression est inversement proportionnel à la température.

Considérons maintenant la relation suivante :

  (19)

En utilisant l'exponentielle :

  (20)

La pression décroit donc exponentiellement avec l'altitude.  étant la pression au niveau du sol.

Revenons aussi à la relation :

  (21)

Elle peut bien évidemment aussi s'écrire sous la forme :

  (22)

qui nous dit que la distance z entre les surfaces isobares est directement proportionnelle à la température.

Voyons également une autre approche courante. Repartons pour cela de la relation démontrée plus haut mais pour une masse m de 1 kilo:

  (23)

et notons cette relation sous la forme suivante :

  (24)

Rappelons que (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

  (25)

Donc :

  (26)

et supposons maintenant que la variation de température est linéaire dans l'atmosphère (ce qui est pas loin de la vérité pour les 10 à 20 premiers kilomètres de l'atmosphère) tel que :

  (27)

avec  qui est le gradient de température en [°K/m].

Nous avons alors :

  (28)

Soit :

  (29)

Ce qui donne :

  (30)

Après simplification :

  (31)

Soit :

  (32)

Soit écrit de manière plus esthétique :

  (33)

MODÈLE ATMOSPHÈRE ADIABATIQUE

Le gradient thermique adiabatique est, dans l'atmosphère terrestre, la variation de température de l'air avec l'altitude (autrement dit le gradient de la température de l'air), qui ne dépend que de la pression atmosphérique, c'est-à-dire :

- Sans considération d'échange de chaleur avec l'environnement (autres masses d'air, relief)

- Sans considération de condensation (formation de nuages) ni de précipitation.

Ce concept a une grande importance en météorologie, ainsi qu'en navigation aérienne et maritime.

Nous avons démontré dans le chapitre de Thermodynamique la relation de Laplace:

    (34)

avec le coefficient de Laplace:

  (35)

Soit sous forme massique:

  (36)

Nous pouvons en prendre le logarithme:

  (37)

Or en prenant la différentielle logarithmique:

  (38)

Nous avons alors:

  (39)

En prenant aussi la différentielle logarithmique de loi des gaz parfaits ou n est le nombre de moles:

  (40)

Mais sous la forme massique pour une mole:

  (41)

 est donc la masse molaire.

Nous avons:

  (42)

Soit:

  (43)

Nous obtenons alors:

  (44)

Soit:

  (45)

Utilisons la relation démontrée plus haut:

  (46)

Il vient alors:

  (47)

Nous avons donc une atmosphère à gradient thermique constant et négatif (la température diminue avec l'altitude):

  (48)

La dernière forme utilisant la masse molaire étant plus pratique car elle permet de caractériser le milieu étudié.

Nous avons alors,  et le coefficient adiabatique pour l'air , et sa masse molaire .

Soit:

  (49)

ce qui correspond à l'idée courante (un degré pour 100 mètres).

ÉQUATION HYPSOMÉTRIQUE

Nous avons donc pour l'équilibre hydrostatique :

  (50)

Nous pouvons intégrer cette relation si nous connaissons T en fonction de P ou z. La mesure directe de P dans la pratique est plus facile (les altimètres simples sont en fait des baromètres).

Nous pouvons alors séparer les variables :

  (51)

En intégrant entre deux niveaux a et b :

  (52)

Puisque :

  (53)

Ensuite pour continuer nous allons utiliser une astuce. Nous allons définir la température moyenne par la relation :

  (54)

Ce qui nous permet alors d'écrire :

  (55)

Soit :

  (56)

Cette relation est appelée "équation hypsométrique" (du grec "hypso" pour "hauteur").

Remarque: En météorologie,  est posé comme étant égal à 0 au niveau de la mer où la pression  est supposée connue. Ainsi, nous avons trois paramètres libres. En en connaissant deux sur les trois il est facile de déterminer le troisième. A l'armée, par exemple, les ballons sondes donnent la température et la hauteur du ballon et les militaires au sol mesurent  et . Ensuite toutes ces informations sont communiquées aux chars d'assaut qui peuvent calculer la pression  à différentes hauteurs et donc l'influence de celle-ci sur la trajectoire de leurs obus… via la différence de force.

CYCLONGENÈSE ET ANTICYCLOGENÈSE

L'essentiel de la masse atmosphérique est contenu dans les 20 premiers kilomètres d'altitude, si bien que la météorologie à grande échelle se déroule sur une mince coquille sphérique (assimilable à de la mécanique des fluides bidimensionnelle).

Le moteur de la circulation atmosphérique dans les tropiques est le réchauffement solaire. À cause de l'inclinaison de 23.5 degrés de l'axe de rotation de la Terre, le Soleil n'est jamais plus qu'à quelques dixièmes de degré du zénith à midi tout au long de l'année dans les tropiques ce qui donne un maximum de réchauffement autour de l'équateur géographique.

Il faut donc distinguer la circulation au voisinage des tropiques, caractérisée par de forts mouvements verticaux, dus aux convections thermiques, et la circulation des latitudes moyennes, faites quasiment que de mouvements horizontaux :


  
(57)

Supposons un moment que nous arrêtions complètement le mouvement de l'air dans l'atmosphère relativement à la surface de la planète, et que nous le laissions ensuite recommencer à tourner d'Ouest en Est (de gauche à droite sur les images) partir du repos. La force du gradient de pression pousse l'air à se mouvoir des régions de haute pression vers les régions de basse pression (appel du vide). Ces mouvements de convections sont appelés des "cellules de Hadley".

Toutefois, dès que le mouvement s'amorce la force de Coriolis (due à la rotation de la Terre) dévie donc les vents Nord-Sud en direction de l'Ouest et les vents Sud-Nord vers l'Est pour un observateur se situant au Pôle Nord. Nous observons dès lors la formation de cyclones tournants dans le sens contraires des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord et inversement dans l'hémisphère Sud (à cause de la direction du vecteur dans cette partie de l'hémisphère).

Plus la vitesse de l'air augmente, plus la force de Coriolis augmente de concert en accentuant la déviation. Éventuellement la force de Coriolis atteint une valeur égale et opposée à celle de la force du gradient de pression, produisant ainsi un écoulement d'une vitesse constante (sans accélération), parallèle aux isobares définissant ainsi la limite géométrique de la cellule de Hadley. C'est ce que nous appelons"l'équilibre géostrophique". En pratique, l'écoulement en dehors des tropiques est presque toujours en quasi-équilibre géostrophique.

En l'absence d'observations de vent, les météorologues peuvent estimer la force du vent en un point donné en mesurant sur une carte d'analyse météo le gradient de pression et la latitude. L'approximation géostrophique est purement diagnostique. Elle n'a pas de valeur prédictive car son équation ne contient aucun terme de changement.

Dans les tropiques, où la force de Coriolis est de plus en plus faible jusqu'à être nulle à l'équateur, ce sont d'autres forces, comme la force centrifuge, qui viennent équilibrer la force de gradient de pression.

C'est ce que nous allons démontrer ici mathématique à l'aide de la mécanique des milieux continus (fluides) et la mécaniques classique (voir chapitres correspondants).

Nous savons que dans notre système intervient donc les forces de pression (gradient), les forces centrifuges, les forces de pesanteur (gravité). Forces auxquelles il ne faut pas oublier d'ajouter la force (implicitement : l'accélération) de Coriolis interne au système (sous-entendu le cyclone) de pulsation  (cf. chapitre de Mécanique Classique):

  (58)

et la force (implicitement : l'accélération) de Coriolis par unité de masse de fluide (la raison de ce choix d'unité paraîtra évidente quelques paragraphes plus loin) relativement à la pulsation  de la Terre :

  (59)

Ainsi, comme nous le savons (cf. chapitre de Mécanique Classique), la force de Coriolis va tendre à dévier tout mouvement descendant vers la droite (Est) dans l'hémisphère Nord et tout mouvement montant vers la gauche (Ouest) dans l'hémisphère Sud (selon que l'on se place dans la direction du fluide en mouvement selon la figure précédente).

C'est ainsi que l'air à la base des cellules de Hadley, voyageant à basse altitude du tropique vers l'équateur sera dévié vers l'Ouest pour donner les Alizés de vents d'Est.

Nous avons par ailleurs démontré dans le chapitre de mécanique des milieux continus une forme particulière de l'équation d'Euler de 2ème forme qui était :

  (60)

Remaniée, cette relation s'écrit aussi :

  (61)

Or, nous avions aussi démontré que :

  (62)

Il vient dans la référentiel Terrestre :

  (63)

Il s'agit donc de l'équation définissant la pression à l'intérieur du fluide considéré comme isolé. A cette relation, il faut donc encore soustraire les forces de pression de Coriolis dues au référentiel géocentrique pour obtenir la dynamique du système "cyclone" :

  (64)

Ce qui donne finalement :

  (65)

Soit sous forme condensée traditionnelle :

  (66)

Représentons maintenant la Terre dans une tranche Nord-Sud :


  
(67)

Si nous agrandissons la repère lié au cyclone et y translatons le vecteur pulsation de la Terre nous avons :


  
(68)

Soit :

  (69)

Nous avons donc :

  (70)

Comme nous étudions les mouvements (quasi) horizontaux dans l'atmosphère à cette latitude, nous pouvons considérer que les particules de fluide sont assujetties à demeurer dans le plan horizontal . Les composantes de la force de Coriolis pour un mouvement plan sont alors () :

  (71)

f est appelé "paramètre de Coriolis". Donc la force de Coriolis en océanographie et en météorologie est traditionnellement notée :

  (72)

Le nombre f, positif dans l'hémisphère Nord, négatif dans l'hémisphère Sud, varie de 0 à 1.458 aux pôles alors que la force est de l'ordre du millième de Newton pour les masse de fluide (courants océaniques) et du même ordre de grandeur (car la vitesse compense la faible densité) pour les gaz (courants atmosphériques).

Nous appliquons maintenant l'approximation de l'équilibre géostrophique, c'est-à-dire que nous considérons que l'air est animé d'un mouvement rectiligne uniforme (vent géostrophique), en d'autres termes, nous négligeons l'action de la force centrifuge due à la rotation du tourbillon devant celle da la force de Coriolis due à la rotation de la Terre, ce qui revient à supposer que :

  (73)

avec R étant le rayon du tourbillon et  sa pulsation. Puisque (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

  (74)

cette dernière inégalité devient :

  (75)

où :

  (76)

est appelé le "nombre de Rossby" et n'a pas de dimensions.

Remarque: Pour les moyennes latitudes (), l'expérience et les mesures donnent  et . La valeur limite pour laquelle  est . Pour une échelle supérieure, comme c'est le cas pour les cyclones où , nous sommes donc proche de l'équilibre géostrophique. Pour une échelle inférieure, Coriolis est négligeable et le vent est accéléré des hautes vers les basses pressions.

Le nombre de Rossby représente donc le rapport entre les forces d'inerties et les forces dues à la rotation qui caractérisent le mouvement d'un fluide dans un repère tournant.

Ainsi, nous pouvons faire la différence entre un écoulement géophysique à fort nombre de Rossby ou à faible nombre de Rossby. Si le nombre de Rossby est très supérieur à l'unité, alors les forces de Coriolis dues par exemple à la rotation terrestre sont négligeables devant l'inertie de l'écoulement. Dans le cas contraire d'un nombre de Rossby très inférieur à l'unité, les forces de Coriolis dominent le mouvement du fluide.

Ainsi, si on se rapproche de l'équateur f tendant vers 0 le nombre de Rossby devient très grand et aux pôles il devient très faible.

Dans le cadre de cette approximation, notre équation d'Euler peut alors s'écrire sous la forme :

  (77)

et puisque nous nous intéressons qu'au plan horizontal de l'atmosphère cela ce simplifie encore plus sous la forme :

  (78)

Soit totalement sous forme vectorielle développée et en reprenant la majuscule P pour la pression comme il est d'usage en météorologie :

  (79)

Il vient ainsi que :

  (80)

soit :

  (81)

Donc sous forme conventionnelle :

  (82)

La norme étant donnée par :

  (83)

Soit :

  (84)

relation qui est appelée "équation des vents (géostrophiques)"

Quatre scénarios sont à considérer :

1. Nous sommes dans l'hémisphère Nord et donc f est positif. Supposons que dP/dR soit positif, la pression augmente alors en s'éloignant du centre du tourbillon (qui lui est donc un minimum de basse pression). Dès lors v est positif et nous avons un tourbillon appelé "dépression" dans l'hémisphère Nord. Ainsi, le fluide (le vent) souffle autour de la dépression dans le sens antihoraire (vers l'Ouest) dans l'hémisphère Nord.

Définitions:

D1. Une "dépression" (ou "basse pression") est une zone où la pression atmosphérique diminue horizontalement vers un centre de basse pression, c'est-à-dire un minimum local de pression.

D2. Les systèmes atmosphériques intenses à circulation autour d'un centre fermé de basse pression (comme un aspirateur cela attire les nuages d'où le fait que les cyclones sont visibles sur des photos satellites) reçoivent systématiquement le terme plus général de "cyclone" ou de "cyclone tropical"

Remarque: Nous associons les dépressions au mauvais temps, car la dynamique qui entoure une dépression présuppose l'existence de courants ascendants (peuvent difficilement entrer dans le sol donc la seule voie d'échappement est le haut!) qui provoquent des nuages et de la précipitation. De plus, le gradient de pression autour d'une dépression peut engendrer de forts vents.

2. Nous sommes toujours dans l'hémisphère Nord et donc f est positif. Supposons que dP/dR soit cette fois négatif, la pression diminue alors en s'éloignant du centre du tourbillon (qui lui est donc un maximum de haute pression). Dès lors v est négatif et nous avons un tourbillon appelé "haute-pression" dans l'hémisphère Nord. Ainsi, le fluide (le vent) souffle autour de la haute-pression dans le sens horaire (vers l'Est) dans l'hémisphère Nord.

Définitions:

D1. Une "haute-pression" est une zone où la pression atmosphérique augmente horizontalement vers un centre de haute pression, c'est-à-dire un maximum local de pression.

D2. Les systèmes atmosphériques intenses à circulation autour d'un centre fermé de haute pression (comme un ventilateur cela rejette et disperse les nuages d'où le fait que les anti-cyclones ne sont pas visibles de manière simple sur les photos satellites) reçoivent systématiquement le terme plus général de "anticyclone".

Remarque: Les anticyclones généralement apportent du beau temps et des ciels clairs. La dynamique atmosphérique fait en sorte que l'air aux altitudes moyennes y est relativement chaud et sec, et donc sans nuages.

3. Nous sommes toujours dans l'hémisphère Sud et donc f est négatif. Supposons que dP/dR soit positif, la pression augmente alors en s'éloignant du centre du tourbillon. Dès lors v est négatif et nous avons un tourbillon appelé "haute-pression" (ou "anticyclone") dans l'hémisphère Sud. Ainsi, le fluide (le vent) souffle autour de la haute-pression mais dans le sens antihoraire (vers l'Ouest) dans l'hémisphère Sud.

4. Nous sommes toujours dans l'hémisphère Sud et donc f est négatif. Supposons que dP/dR soit négatif, la pression diminue alors en s'éloignant du centre du tourbillon. Dès lors v est positif et nous avons un tourbillon appelé "basse-pression" (ou "cyclone") dans l'hémisphère Sud. Ainsi, le fluide (le vent) souffle autour de la basse-pression dans le sens horaire (vers l'Est) dans l'hémisphère Sud.

Remarque: Il est donc possible de dire de manière générale sur les grandes dimensions que le vent arrive des hautes pressions (Anticyclone) pour se diriger vers les basses pressions (Dépression).

Voici un exemple d'une image de dépression (anticyclone) et haute-pression (cyclone) dans l'hémisphère Nord tel que le représentent les professionnels de la météorologie :


  
(85)

Nous pouvons effectivement observer que la dépression (D) tourne dans le sens antihoraire et la haute-pression (A) dans le sens horaire (et inversement dans l'hémisphère Sud).

Remarque: L'air au centre d'un anticyclone (A) descend vers la surface, subissant une compression et par conséquent un échauffement. Pour une dépression (D), c'est le phénomène inverse qui se produit.

MARÉES

Parmi les phénomènes de la nature, la marée est l'un des plus majestueux par son ampleur et par sa puissance; l'un des plus surprenants par sa régularité et par la discrétion de ses causes. On comprend sans peine non seulement qu'il se soit imposé à l'attention des navigateurs mais encore qu'il ait, depuis la plus lointaine antiquité, suscité les recherches des savants les plus émérites.

Pour aborder le sujet des marées de manière simple, nous pouvons partir d'un constat logique : Si l'attraction lunaire était identique en chaque point de la Terre, il n'y aurait pas de marées. Il faut donc aborder l'étude des marées sur les différences de forces.

Considérons pour l'étude du phénomène une masse d'eau m à l'équateur et aux pôles. Nous allons calculer la force d'attraction sur cette masse par rapport au centre de la Terre et en prenant en compte l'influence de la Lune de masse .


  
(86)

Commençons par calculer la force  à l'équateur au point le plus proche de la Lune relativement à la figure ci-dessus.

Nous avons :

  (87)

en considérant que  et en notant la "force de marée statique" :

  (88)

Une application numérique pour une masse m de 1 [Kg] donne :

  (89)

Sous forme vetorielle nous avons bien évidemment :

  (90)

Comme la distance Terre-Lune atteint environ 60 rayons terrestres, l'intensité de l'accélération varie à peu près linéairement (…) le long de la portion terrestre d'une droite passant par le centre de la Lune. C'est notamment le cas pour le segment qui relie les deux points antipodaux A et C de la figure ci-dessus. Nous pouvons donc écrire, O désignant le centre de la Terre :

  (91)

Nous devons maintenant séparer les deux contributions de la Lune.

- La force  qui s'applique sur le centre de masse G  est donc uniforme à la planète par construction. C'est cette force qui est responsable de la révolution de notre planète autour du centre de masse commun aux astres.

- Le terme résiduel  se superpose et prend des valeurs opposées aux antipodes. Elle est responsable des marées (en première approximation dans ce modèle simpliste).

Ainsi, la force due à la Lune est de signes opposés sur l'horizontale. Nous avons alors deux marées (lunaires) par jour à des lieux antipodaux :

- Celle de la Lune qui attire (de ce côté-ci de la Terre)

- Celle de la Lune qui repousse (du côté opposé de la Terre)


  
(92)

Si l'on considérait la surface de la Terre comme parfaitement sphérique et recouverte d'eau, elle prendrait alors la forme d'une ellipsoïde dont l'axe serait dirigé vers l'astre générant la marée. Nous observerions alors des marées dont les pleines et basses mers auraient lieu deux fois par jour et toujours à la même heure. Nous appelons cette situation la "marée statique" et le modèle correspondant "modèle statistique des marées".

En réalité, les marées sont beaucoup plus complexes que le modèle ci-dessus. Voici une superbe animation de l'élévation de la surface des océans en mètre, sur 1 cycle de marée, calculée à partir d'un modèle plus élaboré :


  
(93) Source: Wikipédia

Remarque: Le phénomène est donc dû à la déformation de la surface des océans par suite des attractions combinées des corps célestes. Ce mouvement peut même détruire l'astre qui le subit : si la force de marée l'emporte sur la force de gravitation de ses constituants, l'astre se désagrège. Cette limite où les forces de marées l'emportent sur la force gravitationnelle s'appelle "limite de Roche" (cf. chapitre d'Astronomie).

ÉQUATION DE LORENZ

La "convection libre" ou "convection naturelle" est le régime d'écoulement obtenu lorsque nous chauffons un fluide sans qu'il n'y ait d'écoulement extérieur imposé. C'est le cas des mouvements de convections de l'atmosphère (gaz chauds dans gaz froids), des mouvements de convections de la roche en fusion responsable de la tectonique des plaques, des mouvements du l'eau chaude sous pression dans les geysers et de bien d'autres phénomènes…

Ces écoulements sont inexplicables si nous ne couplons pas les équations de la dynamique et de la thermodynamique!

Nous allons dans ce contexte établir le fameux système des équations de Lorenz au prix cependant de nombreuses approximations et hypothèses afin de simplifier au maximum les calculs et les outils mathématiques utilisés (car à l'époque du développement du modèle les ordinateurs n'étaient pas ce qu'ils sont aujourd'hui).

Nous montrerons ainsi dans le cadre de la convection (un des dynamiques importante de notre atmosphère) que les équations qui déterminent certains paramètres du mouvement sont très sensibles aux conditions initiales ce qui a pour but de montrer la difficulté de la prévision à plus ou moins long termes avec des modèles théoriques déterministes (raison pour laquelle en météorologie il est fait usage de nos jours de la méthode des éléments finis).

A priori, la densité  est fonction de la température et de la pression par la loi d'état des gaz parfaits (cf. chapitre de Mécanique des Fluides). Il est donc naturel de penser que si nous chauffons une paroi, la température du fluide environnant augmente par diffusion. La stratification de pression s'en trouve changée, le gradient de pression crée le mouvement.

Dans tous les chapitres du site, nous avons jusqu'à présent négligé toute variation de . Mais le découplage n'est plus valable ici puisque c'est le chauffage qui provoque le mouvement. Nous allons donc permettre une variation de la densité avec le chauffage en supposant cependant que cette perturbation est petite. Il faut donc réintroduire une variation de  autour d'une position d'équilibre: le repos. En revanche la viscosité sera supposée constante.

Soit donc un fluide au repos et à la température  au loin, il est en présence d'une paroi chauffée à la température. Pour obtenir la dépendance de , rappelons les coefficients thermo-élastiques classiques (cf. chapitre de Thermodynamique):

- Coefficient de compressibilité (ou de dilatation suivant l'écriture en termes de densité) isobare:

  (94)

- Coefficient de compressibilité isotherme:

  (95)

En admettant maintenant que la densité est principalement reliée à la température (pour faire simple) nous pouvons écrire (cette hypothèse marche bien pour les fluides mais pas trop… pour les gaz!!):

  (96)

En utilisant la forme générale du développement de Taylor (cf. chapitre de Suites et Séries):

  (97)

Nous avons alors c'est une approche à la façon ingénieur…:

  (98)

Soit:

  (99)

 est donc un coefficient sans dimensions (comme …) plus facilement mesurable expérimentalement.

L'équation de continuité (cf. chapitre de Thermodynamique) ou de bilan de masse:

  (100)

devient alors:

  (101)

au premier ordre en . De plus, nous avons montré dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus que si le fluide est incompressible:

  (102)

Retenons qu'en première approximation le fluide est incompressible. Il ne reste alors que:

  (103)

Comme nous souhaitons étudier un écoulement en présence de gravité, il serait judicieux de poser:

  (104)

et donc de ne s'intéresser qu'aux variations autour de la position d'équilibre hydrostatique ( est sans dimensions!). Nous avons démontré toujours dans le même chapitre de Mécanique des Milieux continus que dans le cas du fluide incompressible avec viscosité, l'équation d'Euler de 1ère forme (équation du mouvement):

  (105)

Intéressons nous dans un premier temps aux deux termes:

  (106)

qui s'écrivent selon l'axe Z :

  (107)

Lorsqu'il y a mouvement, la projection suivant Z fait donc apparaître:

  (108)

que nous récrivons alors:

  (109)

Soit:

  (110)

puisque:

  (111)

Il vient:

  (112)

Il reste donc une force de flottabilité dirigée vers le haut.

La variation de la densité en fonction de la température dans le produit  de la relation:

  (113)

sera négligée  car nous nous restreindrons au cas où la vitesse est petite. Nous avons alors en réintroduisant la viscosité… :

  (114)

et nous avons la dérivée particulaire (cf. chapitre de Mécanique des Milieux Continus):

  (115)

soit aussi une autre relation utile:

  (116)

Nous avons alors comme expression de la densité de force:

  (117)

Pour continuer, nous allons chercher à déterminer la loi d'énergie de l'équation de comportement démontrée dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus :

  (118)

pour qu'elle rende également compte de la relation entre les contraintes et les caractéristiques thermodynamiques du fluide, comme le flux de chaleur et la température. Nous allons le faire en caractérisant la diffusion de l'énergie dans le milieu due aux effets (supposés découplés) de la viscosité du fluide et de la conduction thermique du fluide.

Nous réécrivons cette relation avec de nouvelles constantes et une autre notation pour la divergence:

  (119)

 sont dans ce contexte appelés les "coefficients de Lamé".

Nous avons aussi démontré dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus la relation:

  (120)

Soit:

  (121)

Ce qui donne:

  (122)

Notons l'énergie totale comme:

  (123)

e est l'énergie interne massique du fluide (rapportée donc à une unité de masse de fluide). Or la variation instantanée d'énergie interne du fluide est égale à l'apport d'une puissance mécanique et de l'apport de chaleur (selon ce qui a été vu dans le chapitre de Thermodynamique):

  (124)

P donne la puissance des efforts extérieurs au système donnée forcément par la force du champ de potentiel environnant et des forces mécaniques données par le tenseur des contraintes uniquement (nous somme toujours dans la situation d'un fluide parfait…). Soit:

  (125)

et en utilisant le théorème d'Ostrogradsky (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

  (126)

ce qui a bien les unités d'une puissance et nous avons bien:

  (127)

Pour la puissance chaleur  c'est très facile aussi grâce aux développements que nous avions fait dans le chapitre de Thermodynamique où nous avons obtenu l'équation de la chaleur:

  (128)

Soit:

  (129)

Nous avons finalement:

  (130)

Donc tout cela nous donne alors l'équation de l'énergie d'un fluide:

  (131)

Soit:

  (132)

et comme (cf. chapitre de Thermodynamique) le flux de chaleur suit la loi de Fourier:

  (133)

Nous avons alors:

  (134)

Soit en utilisant le Laplacien:

  [1]
  
(135)

Maintenant, en faisant le produit scalaire de:

  (136)

avec la vitesse  nous obtenons le bilan de l'énergie cinétique:

 [2]
  
(137)

En soustrayant [2] de [1], nous obtenons une relation locale de l'énergie interne spécifique e:

  (138)

Or, nous avons aussi (dérivation d'un produit):

  (139)

Soit:

  (140)

Effectivement:


  
(141)

Nous avons donc:

  (142)

et comme le tenseur  est symétrique:

  (143)

Nous avons donc:

  (144)

Ce qui est parfois noté:

  (145)

 est appelé "tenseur des taux de déformation" et  représente le produite doublement contracté du tenseur des contraintes et du tenseur des taux de déformation.

Nous avons montré dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus:

  (146)

où:

  (147)

Ainsi, il est simple de différencier forces normales et forces tangentielles. Bref pour en revenir à l'équation de l'énergie:

  (148)

Nous avons donc:

  (149)

Mais dans notre cas:

  (150)

Soit:

  (151)

Mais nous avons:

  (152)

Nous avons donc:

  (153)

Soit sous forme technique et condensée:

  (154)

Il est clair qu'au niveau de l'entropie, nous avons:

  (155)

Nous avons aussi:

  (156)

Soit réduit au rapport massique:

  (157)

La variation temporelle donnant:

  (158)

Or, nous avons l'équation de continuité (cf. chapitre de Thermodynamique):

  (159)

Ce qui nous donne finalement:

  (160)

ou autrement écrit:

  (161)

Injectée dans:

  (162)

Cela donne:

  (163)

Si nous considérons le gradient de vitesse comme étant très faible (quasi-statique) nous pouvons alors écrire l'approximation:

  (164)

Maintenant donnons l'expression de l'entropie (différentielle totale exacte) en fonction des paramètres de température et de pression seuls:

  (165)

soit sous forme massique:

  (166)

Or nous avons démontré dans le chapitre de Thermodynamique la relation suivante:

  (167)

soit sous forme massique:

  (168)

Ce qui nous donne:

  (169)

Or, nous avons démontré avec dans le chapitre de Thermodynamique une des relations de Maxwell:

  (170)

soit sous forme massique:

  (171)

d'où:

  (172)

Soit:

  (173)

Soit notre relation:

  (174)

peut alors s'écrire:

  (175)

Si nous admettons que la variation de la densité avec la température est faible nous avons alors dans un échelle atmosphérique alors:

  (176)

et en se rappelant que:

  (177)

Il vient finalement:

  (178)

Nous avons maintenant deux équations importantes:

  (179)

Soit: 

  (180)

Examinons maintenant rapidement le problème de Rayleigh Bénard qui consiste en deux plaques limitant un fluide une étant plus chauffée que l'autre.

Nous pouvons alors observer des rouleaux longitudinaux parallèles dans un film de fluide visqueux (huile de silicone) maintenu entre deux plaques à une température chaude en bas et froide en haut. Voici une photo de ces rouleaux vus de côtés:


  
(181)

vue de dessus:


  
(182)

Il s'agit d'un problème de convection naturelle: le fluide chauffé en bas se dilate et remonte entraînée par la force d'Archimède, arrivé en haut il se refroidit et retombe. C'est ce mouvement qu'il faut expliquer qui est similaire à celui de l'atmosphère terrestre

Nous remarquons également que les mouvements de convection se font approximativement selon un tore (voir la photo vue de côté). Nous pouvons tirer parti de cette symétrie pour simplifier l'analyse.

Considérons donc une boucle verticale de fluide circulant à vitesse constante (donc sans trop de turbulences…) :


  
(183)

La configuration sera imposée comme étant la suivante:


  
(184)

 est la température moyenne du fluide (attention: ne pas oublier que ce n'est pas une grandeur extensive!) et où nous avons indiqué respectivement les températures à l'intérieur du tore et à l'extérieur (soit de l'environnement) qui peuvent toutes varier en fonction du temps.

Nous voyons que la différence de température est de  entre le haut et le bas et de  entre la droite et la gauche.

Nous posons que la température varie linéairement avec la hauteur (ce qui bien évidemment est faux dans un modèle atmosphérique…):

  (185)

Nous remarquons qu'il possible de paramétrer la température le long de l'intérieur du tore avec la relations suivante (équation paramétrique du cercle):

  (186)

Nous avons alors conformément au schéma:

  (187)

Ceci étant posé, revenons à:

  (188)

Nous allons passer ce système en coordonnées polaire correspondant le mieux à la géométrie de notre problème. Rappelons d'abord que dans terme:

  (189)

l'opérateur différentiel  est la divergence. Or, nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Vectoriel celui-ci s'écrivait alors en coordonnées polaires:

  (190)

Or, si nous nous basons sur l'hypothèse que dans le volume du tore, la vitesse ne varie ni en fonction de l'angle, ni à l'intérieur du tore (donc ne varie pas selon le rayon r) alors en coordonnées polaires:

  (191)

Nous avons alors:

  (192)

Nous allons réduire l'analyse à une seule dimension qui sera celle comme quoi le phénomène ne dépend que de l'angle. Nous avons alors en coordonnées polaires:

  (193)

où nous avons remplacé le coefficient de Grashof par son expression explicite et où nous avons remplacé dans celui-ci le terme:

  (194)

par la projection de la différence de température selon l'axe z tel que:

  (195)

Le coefficient différentiel du dernier terme va nous embête. Nous le remplaçons par un coefficient que nous supposerons constant et qui s'oppose au mouvement tel que nous ayons:

  (196)

Ou plus explicitement:

  (197)

Nous intégrons maintenant l'ensemble sur l'entier de la boucle en fonction de . Nous avons alors:

  (198)

Nous avons alors le terme pression qui disparaît car il n'y a pas de gradient de pression au long de la boucle. Ainsi:

  (199)

Nous avons ensuite (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

  (200)

et:

  (201)

Il nous reste donc:

  (202)

Soit:

  (203)

Nous voyons dans cette équation que le mouvement est piloté par la différence de température horizontale .

Maintenant, revenons sur:

  (204)

Si nous négligeons les forces tangentielles à l'intérieur de fluide nous avons alors:

  (205)

D est le coefficient de diffusion thermique (cf. chapitre de Thermodynamique).

En coordonnées polaires cela se réduit à:

  (206)

et nous allons aussi faire une autre approximation:

  (207)

Et nous avons les deux relations:

  (208)

En soustrayant:

  (209)

Soit:

  (210)

et encore:

  (211)

Soit:

  (212)

Après dérivation:

  (213)

Nous regroupons les termes:

  (214)

Nous avons alors les trois équations différentielles suivantes qui gouvernent la dynamique du système:

  (215)

Nous terminons les multiples simplifications en posant:

Ce qui nous donne:

En remettant cela au propre:

Maintenant, introduisons les variables sans dimensions suivantes:

  (216)

où nous pouvons assimiler:

- X à la vitesse adimensionnelle

- Y à la différence adimensionnelle de température entre courants ascendants et descendants

- Z à la déviation adimensionnelle de l'équilibre de convection.

Nous avons alors effectivement:

  (217)

Soit:

De manière encore plus condensée et traditionnelle:

  (218)

où nous avons:

  (219)

ce qui correspond au "nombre de Prandtl" et:

  (220)

ce qui est assimilé au "nombre de Rayleigh".

Ce système de trois équations sont essentiellement les mêmes que celles du célèbre système de Lorenz. A une différence près, le système de Lorenz (réel) contient un facteur b dans la dernière équation (ce qui change peu de toute façon le résultat puisque l'on obtient quand même un attracteur étrange au bout du compte comme nous allons de suite le voir):

  (221)

Pr, Re et b sont strictement positifs, et on pose souvent  où le nombre de Prandtl correspond à la valeur de l'eau.

Les équations de Lorenz décrivent les phénomènes de convection d'un fluide idéal à deux dimensions, dans un réservoir chauffé par le bas.

Nous voyons par cette démonstration que contrairement aux dires non démontrés sur Internet que:

1. Le système n'est de loin pas simple mathématiquement et est très approximatif

2. Qu'il existe des systèmes vraiment plus simples et eux aussi chaotique (cf. chapitre de Dynamique des Populations).

L'intérêt des équations de Lorenz réside cependant dans la sensibilité aux conditions initiales et au convergence des variables adimensionnelles. Voyons un exemple avec Maple

with(DEtools):
lorenz :=diff(x(t),t) = 10*(y(t)-x(t)),diff(y(t),t) = 28*x(t)-y(t)-x(t)*z(t),diff(z(t),t) = x(t)*y(t)-8/3*z(t);
DEplot3d({lorenz}, [x(t),y(t),z(t)], t=0..100, stepsize=0.01, [[x(0)=10, y(0)=10, z(0)=10]], orientation=[-35,75], linecolor = t, thickness = 1);

Ce qui donne:


  
(222)

Ou pour :


  
(223)

Bon jusque là on s'en rend compte que les paramètres adimensionnels tournent autour de deux points que nous appelons les "attracteurs étranges".

Définition: Dans l'étude des systèmes dynamiques, un attracteur (ou ensemble-limite) est un ensemble, une courbe ou un espace vers lequel un système évolue de façon irréversible en l'absence de perturbations.

Maintenant toujours pour les mêmes valeurs du temps adimensionnel, nous prenons , soit un changement relativement faible des conditions initiales. Nous avons alors:


  
(224)

Nous remarquons donc que le phénomène n'est plus vraiment semblable.

Considérons par exemple la variable x en prenant comme condition initiale   puis  soit une légère variation de 0.01 sur la valeur de .

Soit dans Maple:

DEplot({lorenz}, [x(t), y(t), z(t)], t=0..15, stepsize = 0.01, [[x(0)=10, y(0)=10, z(0)=10],[x(0)=10, y(0)=10.01, z(0)=10]], scene = [t,x], linecolor = [blue,green], thickness = 1);


  
(225)

Nous voyons que le système se décale assez rapidement du modèle initial alors qu'au début il reste identique mais la forme globale reste.

Autre chose… suivant les paramètres le système peut converger. Effectivement, en changeant le facteur 28 par la valeur 22 nous avons par exemple (convergence à gauche):


  
(226)

ou avec la valeur 19 le résultat est encore plus trivial:


  
(227)

ou encore avec la valeur avec une valeur proche de 1:


  
(228)

On remarque un dernier cas intéressant, c'est que si le nombre de Prandtl vaut 1 alors le système est stable:


  
(229)

Cette sensibilité aux conditions initiales, ainsi que la forme de l'attracteur étrange de Lorenz a amené les météorologues a faire une métaphore avec la phrase suivante: le battement d'ailes d'un papillon au Brésil peut-il provoquer une tornade au Texas ? (en taisant la dissipation de l'erreur du aux échelles considérées….).

D'où la dénomination par la suite de "effet Papillon" pour l'étude de l'attracteur de Lorenz appelé aussi dans le domaine le "papillon de Lorenz".






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