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  Géométrie Analytique
 

La "géométrie analytique" est la branche de la géométrie qui s'occupe de l'étude des formes géométriques et de leurs propriétés en utilisant les outils avancés du calcul algébrique tel que l'analyse fonctionnelle, le calcul vectoriel ou l'algèbre linéaire. Sa frontière se situe au niveau des outils utilisés.

Remarque: Lorsque nous faisons usage pour ces mêmes études du calcul différentiel et intégral, alors nous faisons de la "géométrie différentielle" (voir chapitre du même nom).

La géométrie analytique est un très vaste domaine (comme tout le reste) mais certains sujets étudiés dans les petites écoles sortent sont connus tel que ceux que nous abordons ici (cités dans l'ordre) : les coniques, les équations de la droite, du plan, de la sphère, etc... leurs intersections, leurs plans tangents et encore bien d'autres.

CONIQUES

Il nous a été très difficile de choisir s'il fallait mettre l'étude des coniques dans la section d'algèbre ou de géométrie. Nous avons finalement décidé de mettre cette étude dans le présent chapitre (donc de géométrie...) qui permet de supposer que le lecteur ayant fait une lecteur linéaire du site a déjà parcouru tous les chapitres présentant les outils mathématiques nécessaires à l'étude des coniques. Nous espérons que notre choix s'avérera le meilleur pour le lecteur.

Remarque: L'étude des côniques nous sera très utile dans le chapitre d'Astronomie ainsi que dans le chapitre d'optique géométrique. Il convient donc de s'y attarder dans les détails.

Soit  un repère orthonormé du plan. Les courbes algébriques les plus simples que l'on trouve après les droites dont les équations sont sous forme générale (rappel):

  (1)

sont les courbes du deuxième degré, à savoir par extension :

  (2)

avec  non tous nuls. Ces courbes de second degré sont appelées "coniques" (appelées également "quadriques" de par la présence d'un terme quadratique).

Notre première tâche va consister à obtenir, par translation et rotation du repère dans laquelle cet relation est exprimée, une équation réduite beaucoup plus simple tel en élimiant le terme en xy . En effet, choisissons un nouveau repère se déduisant de l'ancien par une rotation d'angle . Soit  x' et y'  les nouvelles coordonnées des points. Nous avons (cf. chapitre de Géométrique Euclidienne) :

  (3)

D'où:

  (4)

L'équation devient:

  (5)

Nous cherchons donc à ce que termes en x'y' regroupés soient tels que :

  (6)

Puisque (cf. chapitre de Trigonométrie) :

 et   (7)

par substitution, nous obtenons :

  (8)

Pour avoir que les termes en x'y' se simplifient, il suffit donc de choisir l'angle de rotation tel que:

  (9)

Nous considérerons alors désormais l'équation:

  (10)

1. Si nous posons  et . Quitte à diviser par , nous pouvons nous ramener à une équation du type:

  (11)

où:

- Si , nous nous retrouvons avec une équation décrivant la figure d'une "parabole" d'axe parallèle à .

- Si , il s'agit d'un cas dégénéré

2. Si nous posons  et  le cas se traite comme précédemment

3. Si  et , nous pouvons supprimer les termes  et  de la façon suivante:

  (12)

Par un simple changement de repère de translation, nous arrivons donc à une équation du type:

  (13)

- Si  , alors la relation précédente se réduit à un point dans  si  et  sont de même signe, et à une droite si  et  sont de signe contraire.

- Si  et  posons:

  (14)

 signifie: 1 multiplié par le signe de .

Et divisions le tout par  tel que:

  (15)

Posons:

  (16)

Nous obtenons:

  (17)

Nous avons donc plusieurs situations possibles:

  (18)

Deux termes ci-dessus sont impossibles dans , c'est pourquoi nous les avons tracés (la somme de deux nombres positifs ne peut être négatif et inversement).

Il y a plusieurs cas de figures intéressants:

- Pour:

 ou   (19)

et  nous avons un cercle.

- Pour:

  (20)

et  nous avons une ellipse.

- Pour:

  (21)

et , nous avons des hyperboles dont l'axe de symétrie est soit parallèle à OX soit à OY

Remarque: Pour voir les figures, utilisez la fonction implictitplot(…) dans Maple.

Le terme "conique" provient du fait que l'une des premières définitions des conques consistait en l'intersection d'un cône et d'un plan.

En effet, soit  l'équation d'un cône ayant un angle de  au sommet (voir géométrie spatiale)

 l'équation d'un plan de vecteur normal (nous utilisons les cosinus directeurs):

    (22)

Posons: 

  (23)

Explications: nous avons ainsi un vecteur normal de le plan ZOY et un plan qui n'est jamais en intersection avec l'axe X. Si le cosinus directeur , nous avons un plan vertical translaté de h sur l'axe des Y. Si , nous avons un plan horizontal translaté de h sur l'axe des Z

Soit la matrice de rotation dans l'espace par rapport à l'axe Z (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne):

  (24)

avec:

  (25)

Nous avons donc pour expression de rotation du plan:

  (26)

Après simplification:

  (27)

Donc après rotation, nous avons un plan vertical translaté de h selon l'axe des Y.

Identiquement, pour le cône, une rotation correspond selon l'axe des Z (donc il ne se passe pas grand chose):

  (28)

Après développement et simplification:

  (29)

Equation qui donne un cône horizontal si  et un cône vertical si  .

Ainsi, nous avons le système général:

  (30)

Si nous tracons dans Maple la fonction (en s'amusant avec les angles):

implicitplot3d({x^2-(y^2-z^2)*cos(2*)+y*z*2*sin(2*)=0,z=h},x=-20..20,y=-20..20,z=-20..20)

Nous voyons que pour:

-  nous obtenons un intersection entre le plan et le cône donnant une ellipse

-  nous obtenons une parabole

-  nous obtenons une hyperbole

Voici à peu près ce que cela donne:


  
(31)

Nous donnons également à la courbe d'équation  le nom d'hyperbole car, par changement de variable:

  (32)

Ce qui nous ramène à:

  (33)

ce qui comme nous l'avons vu précédemment, est bien l'équation d'une hyperbole.

Cependant, les coniques on aussi une définition géométrique:

Soit F un point du plan, D une droite ne contenant pas F et e un réel strictement positif. Nous nous intéressons à:

  (34)

F s'appelant le "foyer", D la "directrice de la conique" et e l'excentricité.

Nous choisissons F comme origine du repère, de façon que D ait pour équation:

 avec   (35)

Alors:

  (36)

Nous nous retrouvons bien avec l'équation d'une conique. Nous pouvons considérer maintenant plusieurs cas particuliers:

1. Cas où :

L'équation se limite alors à:

  (37)

Il s'agit d'une parabole d'axe orthogonal à D, dont le sommet   est le milieu du segment  , où K est la projection de F sur D.

Relativement à l'origine , l'équation se réduit à:

  (38)

h est appelé "paramètre de la parabole" et relativement à , le foyer sera donné par les coordonnées et la directrice par l'équation


  
(39)

2. Cas où :

Il s'agit d'une ellipse:

  (40)

Le dernier terme donnant après développement : 

  (41)

Posons que  est l'origine de l'ellipse. L'équation précédente se simplifie et devient:

  (42)

Pour connaître le demi-grand axe de l'ellipse il suffit de poser . Ainsi:

  (43)

d'où le demi-grand axe valant:

  (44)

de la même manière, nous obtenons le demi-petit axe:

  (45)

en posant étant le "paramètre de l'ellipse", nous obtenons :

  (46)

Puisque , nous avons :

  (47)

Etant donné que est sur l'axe X, nous pouvons prendre le cas particulier où  tel que :

  (48)

il existe donc deux foyers à l'ellipse à une distance équivalente mais opposée de .

Nous définissons dès lors l'excentricité d'une ellipse par le rapport:

  (49)

Nous pouvons dès lors démontrer une relation que nous retrouvons courrament dans les formulaires :

  (50)

C'est-à-dire :

  (51)

L'égalité est donc démontrée.


  
(52)

Une représentation paramétrique utile et évidente de l'ellipse est:

  (53)

Effectivement si nous considérons l'équation cartésienne de l'ellipse démontrée précédemment :

  (54)

et en posant et alors nous obtenons . Si nous nous souvenons du cercle trigonométrique, cette équation admet les solution et . Il vient alors :

et   (55)

Voilà…

Cependant, il existe une autre forme d'équation de l'ellipse, bien plus importante, que l'on retrouve aussi bien en physiqu classique, astrophysique et physique quantique corpsuculaire.

Rappellons que:

  (56)

En coordonnées polaires, cela donne:

  (57)

Donc:

 ou   (58)

après mise en évidence:

 ou   (59)

Nous obtenons deux équations différentes, mais il s'agit en fait de la même courbe. Nous remarquerons en effet que:

  (60)

Etant donné que  est défini comme le paramètre de la conique, l'équation polaire de l'ellipse s'écrit:

  (61)

Dans le cas général, D peut faire un angle quelconque avec l'axe des angles polaires, et l'équation générale est alors:

  (62)

2. Cas où :

Il s'agit d'un hyperbole (même raisonnement que l'ellipse):

  (63)

Posons que : 

    (64)

est l'origine de l'ellipse. L'équation précédente se simplifie et devient:

  (65)

Mais encore:

  (66)

ce qui s'écrit sous forme condensée:

  (67)

et nous avons pour demi-grand axe et demi-petit axe (raisonnement identique à l'ellipse):

  (68)

et:

  (69)

et la figure correspondante :


  
(70)

PARAMÉTRISATIONS

Pour certaines des formes présentées ci-dessous, il est possible de choisir un autre système de coordonnées que les coordonnées cartésiennes tel que par exemple les coordonnées cylindriques ou sphériques qui sont dans certains cas beaucoup plus simples à mettre en place. Nous tacherons dans la mesure du possible de présentes les plus importantes.

ÉQUATION DU PLAN

Soit un plan P dont nous connaissons un vecteur normal et unitaire  mais pas l'équation et  un point de P

Pour qu'un point M de coordonnée  appartienne au plan P il faut et il suffit que les vecteurs et  soient orthogonaux. Donc soit le point  étant de coordonnées:

  (71)

Si  est perpendiculaire à  alors le produit scalaire doit être nul tel que:

  (72)

Ce qui s'écrit aussi :

  (73)

tel que nous obtenions l'équation cartésienne générale du plan:

  (74)

Cette équation où qui vérifie que les coordonnées d'un point  quelconque du plan P appartienne à ce plan est donc appelée "équation cartésienne du plan P".

Si nous écrivons l'équation avec les cosinus directeurs de (cf. chapitre de Calcul Vectoriel), nous avons dès lors aussi :

  (75)

Remarque: Pour obtenir un cube dans l'espace, il suffit d'avoir six plans délimités par des conditions telles que

ÉQUATION D'UNE DROITE

Comme nous l'avons vu en analyse fonctionnelle, une droite dans le plan peut-être décrite par la fonction :

  (76)

L'équation cartésienne de la droite est alors simplement donnée par :

  (77)

Effectivement, en simplifiant nous retrouvons "l'équation cartésienne réduite" :

  (78)

Définition: Nous appelons "vecteur directeur" d'une droite D , tout vecteur non nul de même direction que la droite.

Montrons maintenant les deux petits théorèmes sympathiques suivants :

T1. Si une droite à pour équation alors le vecteur est directeur de cette droite

T2. Si une droite à pour équation alors le vecteur est directeur de cette droite.

Démonstrations:

DM1. Soit et deux points de cette droite pris tel que . Comme sont deux points de alors est un vecteur directeur de alors :

  (79)

DM2. Soit donc alors le vecteur est un vecteur directeur de ainsi que tout vecteur . Ainsi, il existe une infinité de manières de définir la même droite, puisque la droite est composée d'une infinité de points (qui peuvent tous servir de point d'ancrage) et qu'il existe une infinité de multiples du vecteur directeur.

C.Q.F.D.

Souvent, nous recherchons la distance entre une droite et un point externe à celle-ci. Ainsi, considérons la figure suivante :


  
(80)

avec H la projection orthogonale de A sur la droite d, P un point arbitraire de d et un vecteur orthogonal (normal) à d.

Nous avons (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

  (81)

car ou . Ainsi :

  (82)

Nous obtenons donc la relation :

  (83)

Considérons maintenant le point et la droite .

Choisissons un point ainsi qu'un vecteur , normal à (rappelons que est vecteur directeur). Ainsi, en appliquant la relation précédente nous avons :

  (84)

Si nous considérons maintenant deux plans non parallèles de l'espace, leur intersection est une droite. Soit deux plans d'équations respective:

  (85)

et D leur droite d'intersection.

Un point  de l'espace appartient à la droite D si et seulement si le point M satisfait le système d'équations:

  (86)

Remarque: Alors que dans le plan une droite est caractérisée par une équation du type (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle). Dans l'espace, une seule équation de la forme  caractérise un plan. Pour caractériser une droite en dehors des plans des axes, il est nécessaire (équation paramétrique mis à part) d'avoir deux équations.

Il est trivial (mais nous allons quand même le démontrer) que l'équation paramétrique d'une droite est un système d'équations du type :

  (87)

Ainsi, chaque composante croit linéairement par rapport à la même variable à une constante et un facteur près. Ceci s'écrit aussi sous forme vectorielle (plus traditionnelle) :

  (88)

Le vecteur est appelé "vecteur directeur".

Démonstration: Nous avons donc le système d'équations (deux équations à trois inconnues, ainsi une inconnue sera indéterminée) :

  (89)

Eliminons une des variables (commençons arbitrairement par z) :

  (90)

donc d'où :

  (91)

donc (c'est un peu bête à écrire mais bon…) :

  (92)

De manière similaire avec tel :

  (93)

Finalement nous avons :

  (94)

Le vecteur directeur et le vecteur d'ordonnée sont des constantes. Ce qui nous permet d'écrire de manière plus générale :

  (95)

C.Q.F.D.

Remarques:

R1. L'équation d'une droite est presque ce qu'il y a de plus important en synthèse d'images 3D car à partir de ces dernières nous pouvons construire des polygones et assembler ces derniers pour construire des formes tridimensionnelles plus complexes.

R2. Pour savoir si une droite est perpendiculaire à un plan il faut déterminer au moins deux droites sécantes dans ce même plan et effectuer le produit vectoriel de leur vecteur directeur et ensuite calculer le produit scalaire entre le résultat du produit vectoriel et la première droite dont nous cherchons l'orthogonalité. Effectivement, une seule droite du plan ne permet pas de déterminer l'orientation de ce dernier il en faut au moins deux.

ÉQUATION D'UN CÔNE

Soit la figure ci-dessous:


  
(96)

Nous remarquons tout d'abord que , d'où (l'origine du repère est notée par la lettre ) :

  (97)

Or ici,  d'où:

  (98)

étant donné que:

  (99)

donc :

  (100)

c'est l'équation cartésienne d'un cône dans l'espace que nous retrouverons en relativité restreinte lors de notre étude des cônes de lumière.

ÉQUATION D'UNE SPHÈRE

Considérons le repère orthonormé , soit S la sphère de centre  et de rayon r :


  
(101)

appartient à la sphère S de centre et de rayon r si et seulement si  c'est à dire :

  (102)

D'où l'équation cartésienne de la sphère dans le repère :

  (103)

Il existe une autre manière de décrire la sphère en utilisation l'équation paramétrée. Effectivement, nous avons vu dans le chapitre de calcul vectoriel que le passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques sont données par els coordonnées curvilignes :

  (104)

Ainsi, nous avons bien :

  (105)

Nous retrouvons donc bien l'équation cartésienne d'une sphère à une constante de translation près.

ÉQUATION D'UN ELLÏPSOÏDE

Nous avons lors de notre étude des coniques que l'équation d'un ellipse dans le plan était donnée par :

  (106)

avec a, b étant les deux axes deux l'ellipse (le petit et le grand).

Ainsi, sans démonstration rigoureuse, nous pouvons vérifier à la main ou à l'aide des ordinateurs que l'équation cartésienne :


  
(107)

est une ellipsoïde :


  
(108)

Cependant, il existe une autre manière de décrire l'ellipsoïde en utilisant les coordonnées curvilignes :

  (109)

Nous avons donc :

  (110)

d'où :


  
(111)

Finalement :

  (112)

ÉQUATION D'UN CYLINDRE

Il va sans dire que l'équation d'un cylindre de rayon r est donné par l'équation paramétrique :

  (113)

Nous voyons bien que les composantes x, y satisfont l'équation cartésienne d'un cercle puisque :

  (114)

Au même titre l'équation paramétrique d'un cylindre à base elliptique est donnée par :

  (115)

qui vérifie aussi l'équation paramétrique d'une ellipse dans le plan :

  (116)

SURFACES DE RÉVOLUTION

De manière plus générale de nombreuses surfaces (dont certaines que nous avons vues précédemment) peuvent être décrites par révolution d'une forme primaire de dimension inférieure et ensuite par rotation.

Définition: Une "surface de révolution" est une surface obtenue en faisant tourner une courbe plane (par exemple autour de l'axe Oz. Ainsi, nous passons alors d'un plan de a un repère de , l'axe Ox engendre dès lors un plan devenu yOz.

Prenons deux exemples classique (parmi l'infini) :

E1. Soit la parabole d'équation (rappelons que ) qui tourne autour de l'axe Oz. Nous avons bien évidemment (en coupant la paraboloïde par un plan ce qui donne un cercle de rayon ) la relation (dite "équation cylindrique") . Or, nous avons aussi d'où l'équation du paraboloïde de révolution :

  (117)

E2. La droite tourne autour de Oz. Donc ce qui nous donne :

  (118)

Définition: Toute surface engendrée par une droite est une "surface réglée".

Prenons l' exemple important (cheminée de centrales nucléaire, engrenages, etc.) qu'est l'hyperboloïde à une nappe d'équation :

  (119)

Pour simplifier l'exemple prenons . Nous avons donc :

  (120)

ce qui s'écrit aussi comme le produit de l'équation de deux droites tel que :

  (121)

Ainsi, ses deux droites (de pente opposées) appartiennent à la nappe et tout point appartenant à une de ses deux droites y est contenu. Les figures ci-dessous montrent bien qu'au fait, tout point appartient à ses deux droites.


  
(122)

On pourrait ceci dit très bien décrire par des cercles tel que :

  (123)

.






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