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  Introduction Historique et Cours
 

Introduction HISTORIQUE

Auteur de l'introduction : Dr. Angel Brucena pour Sciences.ch

L'astrophysique a un seul objet : la connaissance et la compréhension de l'Univers dans le cadre des lois de la physique.

Cette science naît à la Renaissance, puis se développe aux 19ème et 20ème siècles, périodes où l'on commence à comprendre les lois de la physique, dans les domaines de la spectroscopie, la photométrie, la thermodynamique, la mécanique quantique, …

CHRONOLOGIE

Beaucoup de scientifiques et philosophes ont contribué directement ou indirectement au développement de l'astrophysique qui ne c'est bien évidemment pas développée que par le travail d'un seul homme). Par les paragraphes qui vont suivre, nous allons présenter quelques personnages célèbres placés dans le cadre de ce domaine de la physique.

NAISSANCE D'UNE SCIENCE

Dès 1610, puis en 1612, Galilée observa les taches du Soleil. La priorité des cette observation à la lunette appartient peut-être, cependant, à Johann Fabricius (brochure éditée à Wittenberg en 1611).

Le professeur Christoph Scheiner, jésuite qui enseignait les mathématiques à Ingolsdadt, et dont les observations datent de mars 1611, contesta à Galilée sa découverte. Quoi qu'il soit, une lettre qui date de 1612, ne laisse aucun doute sur l’interprétation que Galilée donnait de la découverte du phénomène : "Je présume que ces nouveautés seront les funérailles ou plutôt la fin et le jugement dernier de la pseudo-philosophie ; des signes en sont déjà apparus dans la Lune et le Soleil. Et je m'attends à entendre à ce sujet des grandes choses proclamées par les péripatéticiens, pour maintenir l'immutabilité des cieux ; je ne sais comment celle-ci pourrra être sauvée et conservée".

En 1630, dans sa Nova ursina, le Christoph Scheiner complète les premières observations en dressant des cartes du Soleil, de ses tâches et de leurs mouvements, montrant ainsi que le Soleil lui même est soumis à des changements et qu'il tourne sur lui même.

Cette découverte constituait le point de départ de l'astrophysique.

LA CHIMIE DES ÉTOILES

Dans son traité Opticks, Isaac Newton, a utilisé pour la première fois le terme "spectre" dans un texte imprimé en 1671 en décrivant ses expériences en optique.

Puis, l'opticien bavarois Fraunhofer, en 1814, observa les raies sombres dans le spectre solaire.

La spectroscopie naît à partir des travaux  de Kirchhoff et Bunsen au 19ème siècle. Ils réalisent les spectres des éléments comme le sodium, le strontium, le potassium,…. Ils s’aperçoivent  que certains d’entre eux émettaient des raies lumineuses qui se trouvaient coïncider exactement avec certaines raies noires du spectre Soleil.

En 1868, l'astronome Janssen localisa dans les protubérances solaires un nouvel élément, que l'on appela hélium ("hélios" signifie "soleil" en grec) et qui fut repéré sur Terre qu'une trentaine d’années plus tard (dans une roche uranifère).

En 1870, l'anglais Young remarqua dans la couronne solaire une raie verte d'émission très intense, que l'on attribua tout naturellement à un élément nouveau, baptisé coronium, mais qui s'avéra être le Fer fortement ionisé (la température du Soleil dépasse le million de degrés ce qui permet l’arrachage  d’un grand nombre d'électrons et modifie le profil spectral de l'élément).

Toutes les étoiles n'ont pas le même spectre. Celui-ci dépend, entre autres, de leur composition chimique. Selon la nature des raies observées, les scientifiques furent amenés à distinguer classes d’étoiles, qu’ils baptisèrent dans un premier temps A, B, C, D,…,P avant d'adopter, comme nous le verrons par la suite, une classification basée sur la température.

DES GALAXIES QUI VONT VITE

En 1842, Doppler découvrait l'effet acoustique qui porte son nom : un son nous apparaît plus aigu lorsque la source sonore se rapproche de nous et plus grave lorsqu’elle s’en éloigne.

En 1848, Hyppolite Fizeau transposa ces résultats à la lumière qui, comme le son, possède un caractère ondulatoire (cf. chapitre d'Astrophysique), l'effet Doppler-Fizeau. La vitesse d'éloignement d'une source lumineuse devait donc se traduire par un glissement des spectres vers le rouge, baptisé "redshift".

Des mesures variées de vitesse en découlèrent, qui permirent de mieux cerner les mouvements des astres. La découverte la plus spectaculaire fut due à Edwin Hubble, de l'observatoire Wilson. Il avait constaté avec son compatriote Vesto Slipher, un décalage vers le rouge des amas de galaxies lointaines. Il avait interprété ce phénomène comme la preuve que celles-ci s'éloignaient et donc que l’Univers était en expansion (cf. chapitre de Cosmologie).

LES LOIS DU RAYONNEMENT

Il est vrai qu'à première vue les étoiles se ressemblent beaucoup. Seules quelques unes d’entre elles, particulièrement brillantes, apparaissent colorées, comme Antarès dans la constellation du Scorpion, ainsi nommée car sa couleur rouge la pose en rivale de Mars (Arès en grec) ou Rigel d'Orion, à l'éclat bleuté. La couleur dominante donne une indication de la température de surface de l'étoile.

Comme le forgeron estime la température du fer chauffé à sa couleur, en 1896, Wilhelm Carl Werner Wien établit la loi qui porte son nom (cf. chapitre de Thermodynamique).

Elle permet de connaître la température des étoiles. Les plus froides (3'500 [°K] au plus) apparaissent rouges, celles qui sont un peu moins orangées … et les plus chaudes (15'000 à 25'000 [°K]) bleues. La couleur de l'étoile représente le domaine spectral dans lequel elle émet le plus de lumière. Notre Soleil dont la température de surface est moyenne (5'800 [°K]) émet un maximum de lumière dans le vert, mais les autres radiations du spectre sont suffisamment intenses pour qu'il apparaisse blanc quand il est haut dans le ciel.

La puissance rayonnée par une étoile augmente avec sa température de surface et sa taille.

La loi de Stefan (1879) indique que la puissance émise dans l’ensemble du domaine spectral est proportionnelle  à la puissance quatrième de la température absolue de l'étoile et à la surface de celle-ci (cf. chapitre de Thermodynamique). Pour une même température superficielle, une étoile est d'ailleurs plus lumineuse qu'elle est plus grosse.

DIAGRAMME DE HERTZSPRUNG-RUSSEL

Indépendamment  l'un de l’autre, le danois Ejnar Hertzsprung en 1911, et l'américain et Henry Norris Russell en 1913, eurent l’idée de matérialiser la relation entre la luminosité des étoiles et leur température de surface à l'aide d'un diagramme qui porte maintenant leur nom (voir plus loin).

En ordonnées figure la luminosité et en abscisse le type spectral de l'étoile ou, ce qui revient au même, sa température. Les classe d’origine A, B, … P avaient été modifiées après que l'on se fut aperçu que l'aspect du fond continu du spectre et aussi l'intensité des raies, étaient des indicatrices de la température. En regroupant et inversant certains catégories, on avait aboutit à l’ordre  OBAFGKM (Oh ! Be A Fine Girl, Kiss Me…), ordre décroissant des températures de surface. Cette classification dite de "classification Harvard", est issue des travaux (1911-1914) d'Edward Pickering, Antonia Maury et Annie Cannon.

NAISSANCE  ET ESSOR DE LA RADIOASTRONOMIE

En 1887, Heinrich Hertz parvenait à produire et à détecter des ondes radio, lesquelles sont de nature électromagnétique, tout comme la lumière. Le Soleil, si actif dans le domaine du visible, émettait-il également du rayonnement radio ?

La première mise en évidence d'une émanation d’origine extraterrestre, en 1931-1932, fut fruit du hasard. Un ingénieur de la Belle Telephone Company, Karl Jansky, s'efforçait de déterminer la nature des parasites limitant la sensibilité d’une antenne radio téléphonique. Le signal reçu accusait un maximum d'intensité toutes les 23 heures 56 minutes, durée qui est celle du jour sidéral. La direction du signal capté indiquait une région de la constellation du Sagittaire qui coïncidait avec le centre de notre Galaxie.

Le rayonnement radio du Soleil lui-même fut mis en évidence durant la Deuxième Guerre Mondiale par des opérateurs de la Royal Navy.

La radioastronomie aura permis la découverte des "QuaSaRS" (Quasi Stellar Radio Source) et les "PulsarS" (Pulsating Stars).

Certaines des galaxies abritent en leur centre un noyau anormalement actif, ou quasar. Selon les théories actuelles, ce noyau pourrait héberger un trou noir, lequel attire la matière environnante qui forme autour de lui une spirale aplatie appelée disque d'accrétion. Au rayonnement issu du disque d’accrétion lui même s’ajoute un rayonnement radio émis dans l'axe du quasar (rayonnement synchrotron). C'est ce rayonnement radio qui permit la détection du premier quasar, en 1960.

La découverte des pulsars date de 1967 et revient à une jeune étudiante de l'observatoire de Cambridge (Grande-Bretagne), Jocelyn Bell. Elle avait remarqué dans le bruit de fond terrestre une source radio très localisée dont les variations d’intensité étaient d’une régularité surprenante. Non, il ne s'agissait pas des signaux d’une civilisation extraterrestre mais seulement la manifestation d'étoiles de petite taille, les étoiles à neutrons. Anthony Hewish, le directeur de Jocelyn, recevra le prix Nobel de physique en 1974, pour cette découverte. 

DATES CLÉS

- 1610–1612 : Galilée observa les tâches du Soleil.
- 1671 : Isaac Newton, Dans son traité "Opticks", , a utilisé pour la première fois le terme "spectre".
- 1814 : Joseph von Fraunhofer observe les raies sombres dans le spectre solaire
- 1848 : Hyppolite Fizeau établi que la vitesse d’éloignement d’une source lumineuse devait donc se traduire par un glissement des spectres vers le rouge, baptisé "redshift".
- 1860 : Gustav Kirchhoff et Robert Wilhelm Bunsen s'aperçoivent que certains raies des spectres peuvent coïncider exactement avec certaines raies noires du spectre Soleil.
- 1912 : L'astronome américaine Henrietta Leavitt étudie les étoiles variables à courte période dans le Petit Nuage de Magellan et découvre une relation entre la période et la magnitude qui permet d'évaluer la distance des amas stellaires et des galaxies.
- 1915 : L'astronomie américain Walter Syndney Adams identifie la première naine blanche à la suite d'une étude de Sirius B.
- 1932 : Karl Jansky met en évidence une émanation d’origine extraterrestre.
- 1911-1913 : Ejnar Hertzsprung et Henry Norris Russell ont l'idée de matérialiser la relation entre la luminosité des étoiles et leur température de surface.
- 1920 : L'astronome américain Vesto Slipher met en évidence le phénomène de redshift dans le spectre des galaxies.
- 1938 : Le physicien germano-américain Hans Bethe et le physicien allemand Carl von Weizacker proposent une théorie nucléaire des étoiles (astrophysique nucléaire).
- 1967 : Jocelyn Bell découvre les pulsars.

PERSPECTIVES/TENDANCES

Les recherches solaires, depuis une cinquantaine d’années, ont attiré l'attention sur l'existence de champs magnétiques locaux puissants, d'étoiles magnétiques, par Badcock.

Le premier effort important de synthèse apparaît dans l'ouvrage d'Alfvén : Magnetohydrodynamics (1948), Cette nouvelle science, particulièrement adaptée aux phénomènes astrophysiques, s'attacha d'abord à la théorie des relations entre le Soleil et le Terre, aux effets corpusculaires et à la théorie de l’activité solaire.

Aujourd'hui les recherches sur les phénomènes qui se produisent dans les plasmas ont envahi tous les domaines de l’astrophysique.

Les hypothèses des atmosphères solaires sont les suivantes :

- Phénomènes convectifs : La théorie de Schwarzschild, reprise et complétée par des nombreux auteurs depuis Unsöld

- Intervention des inhomogénéités : L'existence même des phénomènes convectifs, de la granulation qui en est un aspect, conduit à admettre une certaine inhomogénéité (Böhm)

- Ecarts à l’équilibre thermodynamique local (E.T.L.) : Plus important encore sans doute est l'existence, dans les chromosphères et photosphères, comme dans les couronnes, d'importants écarts à E.T.L.(Pecker, 1957). L'analyse théorique de Thomas (depuis 1950) qui résolvant simultanément les équations de transfert et les équations d’équilibre statistique des niveaux atomiques, obtient les coefficients d’écart à E.T.L.

- Phénomènes électromagnétiques et non-thermiques : On peut isoler les processus physiques les uns des autres : la magnétohydrodynamique, la théorie des plasmas, l'étude de réactions mutuelles des ondes qui traversent un milieu ionisé, la théorie des atmosphères, etc.

SYNTHÈSE

L'astrophysique théorique de demain joue pour les physiciens le rôle de guide dans un laboratoire spatial sans rival : ce fut dans le domaine des réactions thermonucléaires, c'est maintenant le cas dans le domaine si vivant des plasmas.

L'astrophysique est une branche interdisciplinaire de l'astronomie qui concerne principalement la physique et l'étude des propriétés des objets de l'univers (étoiles, planètes, galaxies, milieu interstellaire par exemple), comme leur luminosité, leur densité, leur température et leur composition chimique.

Remarque: Actuellement, les astronomes ont une formation en astrophysique et leurs observations sont généralement étudiées dans un contexte astrophysique, de sorte qu'il y a moins de distinction entre ces deux disciplines qu'auparavant.

ÉTOILES

Avant d'aborder la formalisme mathématique relatif à la dynamique des étoiles, nous avons souhaité suite à une demande des lecteurs, écrire une introduction vulgarisée afin de compléter la culture générale relatif à ce domaine.

Les étoiles sont donc des corps célestes gazeux dont la masse va de 0.05 masses solaires à 100 masses solaires. La luminosité d’une étoile (sa puissance) va de 10-6 à 106 fois celle du Soleil. Grossièrement, lorsque la masse double, la luminosité décuple. Bien que la plupart des étoiles visibles à l’oeil nu dans notre ciel sont des géantes bleues de 104 à 105 fois plus lumineuse que le Soleil, les 90% des étoiles qui peuplent notre galaxie sont moins lumineuses que le Soleil.

Les astronomes ont mis plance une méthode de classification des étoiles basée sur la position dans leur spectre, des raies spectrales d'absorption. Autrefois classées de A à Q, l'évolution de la spectrométrie a permis leur regroupement et leur réorganisation. Les classes sont aujourd'hui définies par les lettres OBAFGKM, et chacune est divisée en 10 sous-classes, notées de 0 à 9. La classification spectrale (tirée d'un spectre continu dont il ne résulte seulement certaines raies du spectre après le passage de la lumière dans un milieu donné) peut être croisée avec les classes de luminosité dont nous tirons la température à la surface de l'étoile (nous démontrerons comment obtenir mathématiquement cette information):


  
(1)

La grande courbe au centre indique l'évolution d'une étoile de même masse que le Soleil. Après un passage sur la séquence principale, elle devient une géante rouge, éventuellement une nébuleuse planétaire (éjection du combustible de l'étoile à de grandes distances), puis elle termine sa vie sous la forme d'une naine blanche. Par comparaison nous avons indiqué l'évolution d'étoiles 10 ou 30 fois plus massives que le Soleil : elles quittent la séquence principale pour devenir des supergéantes puis elle finissent en supernovae qui ne peuvent être représentées sur ce diagramme !

Une étoile est dans un premier temps en équilibre hydrostatique. Les forces gravitationnelles dues à sa masse sont compensées par les forces de pression interne due à la température élevée entretenue par des réactions thermonucléaires à basse densité et à la pression de dégénérescence des électrons à densité élevée. Une étoile passe 90% de sa vie à fusionner de l’hydrogène en hélium qui s’accumule en son centre. Durant cette phase, elle évolue dans ce que nous appelons "la séquence principale" du diagramme de Hertzprung-Russel représenté ci-dessous. Ce diagramme met en relation la température de surface (abscisse logarithmique présenté en ordre opposé) à la luminosité (ordonnée logarithmique) de populations d’étoiles. La séquence principale apparaît comme une diagonale. La température de surface et la luminosité étant directement fonction de la masse:


  
(2)

Chacune des étoiles du ciel trouve sa place sur le diagramme introduit par Hertzsprung et Russell (diagramme H-R ci-dessous) dont les diverses régions permettent d'en repérer le stade d'évolution. Il est alors possible d'y tracer une courbe représentative de l'évolution d'une étoile donnée à partir de la connaissance de son état au moment de l'observation.

Ainsi, les étoiles massives évoluent plus vite que les étoiles de faible masse, mais ce résultat est déduit d'autres considérations que celles permettant de construire le diagramme. Le diagramme sert notamment à évaluer l'âge moyen d'un amas d'étoiles à partir de celui de ses composants. De même, il permet de caractériser les étoiles variables et leurs composantes telles les géantes rouges qui deviennent instables et pulsantes en viellissant. Cette famille d'objets instables définit une bande d'instabilité sur le diagramme. Ce diagramme traduit la classification spectrale des étoiles ou leur température de sur face en fonction de leur magnitude absolue ou de leur luminosité.

Ce diagramme, sur lequel toutes les étoiles trouvent leur place dès que nous connaissons leurs caractéristiques, fut développé indépendamment en Europe par Ejnar Hertzsprung et aux Etats-Unis par Henry Norris Russell. L’axe horizontal indique la classification spectrale en partant, à gauche, des étoiles les plus chaudes, les bleues, pour atteindre les moins chaudes, les rouges, à droite. Les étoiles se positionnent en groupes spécifiques sur le diagramme : celles qui évoluent sur leur séquence principale se situent sur une courbe incurvée qui commence en haut, à gauche, et se termine en bas, à droite. C’est sur cette courbe que se regroupent les étoiles stables qui brûlent leur hydrogène et, parmi elles, le Soleil qui se positionne au centre du diagramme. Les géantes et les supergéantes apparaissent dans la partie supérieure droite, tandis que les naines blanches se regroupent dans la partie inférieure gauche. Au fur et à mesure qu’elle évolue, chaque étoile décrit une courbe particulière : elle commence par suivre la trajectoire de Hayashi jusqu’à ce qu’elle atteigne sa séquence principale sur laquelle elle évolue tant que son noyau brûle de l’hydrogène. Lorsque commence la combustion de l’hélium, elle remonte vers le haut où se concentrent les géantes rouges et y reste jusqu’à ce que la fusion nucléaire s’arrête : elle s'effondre alors sur elle-même pour rejoindre les naines blanches ou dans le cas d'une certaine valeur de masses solaire, les étoiles à neutrons, Trou Noirs ou encore, si sa masse est très élevée, explose en supernovae.

Lorsque la masse d’hélium d'une étoile devient suffisante, l’augmentation de pression induit une augmentation de la température amorçant ainsi la fusion de l’hélium ("flash de l’hélium") en carbone, oxygène et néon créant un second front de combustion à l’intérieur du premier. Pour une étoile de masse solaire, les réactions s’arrêtent à ce stade. L’étoile grossit et se refroidit en surface. Elle devient une géante rouge 104 fois plus lumineuse qu’auparavant. Elle passe par des phases d’instabilité et finit par expulser progressivement ses couches externes en formant une "nébuleuse planétaire". Son noyau, dont la densité est de plusieurs tonnes par centimètre cube, se refroidit lentement : c’est la naine blanche (nous aborderons ce processus sous forme mathématique plus loin). L’équilibre y est maintenu par la pression de dégénérescence des électrons.

Pour une étoile plus massive, la température interne devient assez importante pour que le carbone et l’oxygène puissent fusionner en silicium. A son tour, si il est en masse suffisante, le silicium fusionnera en fer. Les fronts de combustion se développent dans un schéma dit en pelures d’oignon. Le fer est le nucléotide le plus stable : il se trouve au fond de la vallée de stabilité (cf. chapitre de Physique Nucléaire). Il ne peut ni fusionner, ni fissionner. Lorsque la densité atteint une valeur critique (cela correspond à une masse totale de l’étoile de plus de 8 masses solaires), la pression de dégénérescence des électrons n’arrive plus à maintenir l’équilibre contre la gravitation. En un dixième de seconde, le noyau de fer s’effondre. Les autres couches du coeur se précipitent vers le noyau effondré sous forme d’une onde dont le maximum de vitesse correspond au rayon sonique.

La densité du noyau devient alors énorme. Il se produit des réactions inverse où les protons capturent les électrons en formant des neutrons et libérant un flot de neutrinos. Lorsque le noyau de l'étoile atteint la densité nucléaire de , la compaction s’arrête brutalement (rayon d’environ 10km !). Les couches externes du noyau rebondissent par un choc superélastique et entrent en expansion. Lorsque cette onde de choc réfléchie rejoint le rayon sonique, la température monte tellement haut que la chiffrer n’a plus de sens. La matière subit une photodésintégration complète (tous les nucléotides sont désagrégés en gaz de nucléons). Finalement par un mécanisme pas clairement établis, toutes les couches externes de l’étoile sont éjectées dans l’espace : c’est une "supernovae de type II".

Le noyau effondré, presque entièrement constitué de neutrons, sera en rotation rapide si l'étoile initiale avait un moment cinétique non nul (conservation du moment cinétique oblige). Le champ magnétique est également conservé et dépasse de loin tout ce qui sera jamais réalisable en laboratoire. Cela provoque un rayonnement synchrotron qui donne l’illusion que l’étoile clignote, c’est pourquoi nous appelons ces jeunes "étoiles à neutron" sous la dénomination de "pulsars".

Les étoiles très massives (plus de 50 masses solaires), la masse totale du coeur qui s’effondre pourrait dépasser 3 masses solaires. Dans ce cas, la gravité devient telle que sa masse s’effondre au delà des dernières forces répulsives et se compacte en une singularité. La courbure de l’espace devient telle qu’aucune matière, rayonnement ou information ne peut plus s’échapper au delà d’un volume appelé horizon ou sphère de Schwarzschild . C’est un "Trou noir". Tout ce qui y tombe perd son identité. Un trou noir ne présente plus que trois propriétés : sa masse, son moment cinétique et sa charge électrique. Nous disons qu’un trou noir n’a pas de chevelure. De plus, une telle singularité devrait toujours être cachée par un horizon, être habillée.

GENÈSE

Nous allons voir maintenant comment des astres nouveaux peuvent naître à partir d'immenses nuages de gaz qui s'étendent entre les étoiles dans les galaxies. Ce milieu interstellaires est une source potentielle d'étoiles nouvelles, qui une fois leur vie terminée (sous forme de géant rouge ou de supernova), peuvent réinjecter une partie de leur matériau dans l'espace intersidéral.

Au fait, personne ne sait vraiment les détails de la façon dont un nuage interstellaire aboutit à une étoile car il s'agit d'un problème fort difficile, essentiellement à cause de l'apparition de toute un hiérarchie de structures, sous-structures, etc… dans le nuage à mesure qu'il s'effondre sur lui-même. Des mouvements turbulents apparaissent, qui ne peuvent être décrits de manière simples par les équations hydrodynamiques (cf. chapitre de mécanique des milieux continus). D'autres complications apparaissent lorsque nous voulons tenir compte du champ magnétique sur le gaz en contraction, ou d'explosions de supernovae dans le nuage…

Au moins, pouvons nous donner les conditions nécessaires pour qu'un étoile puisse se forme au sein d'un nuage interstellaire. Pour cela, plusieurs barrières doivent en fait être franchies. Une première barrière est thermique. Une deuxième barrière est rotationnelle : une proto étoile qui se contracte tourne de plus en plus vite et peut littéralement exploser si sa vitesse de rotation devient trop importante (conservation du moment cinétique). Examinons ces deux effets.

EFFONDREMENT D'UN NUAGE INTERSTELLAIRE

Deux forces opposées sont présentes dans un nuage de masse M et de rayon R : une force d'auto-gravitation, qui tend à contracter le nuage, et une force de pression thermique, qui tend à le faire exploser.

Nous pouvons quantifier ces deux tendances opposées en terme d'énergie : le nuage possède une énergie potentielle de gravitation (négative) et une énergie cinétique (positive) du à l'agitation thermique de ses molécules.

Nous savons (cf. chapitre de Mécanique Classique) que l'énergie potentielle de gravitation de deux particules de masses m et m' séparées de r  s'écrit . Donc l'énergie potentielle d'un nuage sphérique (…) de masse M et de rayon R est de l'ordre de :

  (3)

Dans un gaz en équilibre thermodynamique, une particule a une énergie cinétique (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus) de  par degré de liberté (translation, rotation, etc…). Donc, si  est la masse moyenne d'une molécule du nuage, l'énergie cinétique totale de ce dernière aura pour expression :

  (4)

Le nuage s'effondre alors si son énergie mécanique totale est négative, soit :

  (5)

L'équation ci-dessus permet de définir la "masse de Jean". C'est la masse minimum, à une température T et une masse volumique  données, pour que le nuage commence son effondrement. En éliminant le rayon par  dans l'équation précédent, nous avons alors :

  (6)

ce que les astrophysiciens notent à la suite de toutes les approximation faites… :

  (7)

C est une constante sans unités. En prenant un nuage composé d'hydrogène uniquement avec n et  où  est la masse du proton. Nous pouvons alors exprimer la masse de Jeans en masses solaires de la manière suivante : atomes par mètre cube (c'est donc une densité!), nous aurons

  (8)

où nous avons la certitude que .

Nous voyons que la masse de Jeans varie comme . Ceci a une conséquence importante : à mesure que le nuage se contracte, n augmente, et donc  diminue. Autrement dit, le nuage peut se fragmenter en sous-nuages une fois la masse de Jeans pour ces sous-nuages atteinte. Ces derniers vont à leur tout se scinder en sous-nuages, etc… Nous avons donc toute une hiérarchie d'effondrements, depuis les grandes masses vers les petites masses.

La chose importante à notes aussi est que la masse de Jeans d'un nuage est beaucoup plus grande par que les masses stellaires individuelles (il suffit de voir les constantes contenues de la relation précédente pour se rendre compote que les facteurs sont relativement conséquents!). Donc, les étoiles naissent en général par ensemble de plusieurs étoiles : nous pouvons pas former en principe un Soleil isolé dans une galaxie, à partir d'un tout petit nuage. Une fois formée, les étoiles se diluent dans la galaxie par les effets de rotations et de marées galactiques. Ainsi, le Soleil a perdu de vue ses sœurs depuis bien longtemps probablement…

RAYON DE JEANS

Nous pouvons également exprimer la condition d'effondrement en terme de "rayon de Jeans", toujours pour une température T et une masse volumique  données. Il suffit en fait d'éliminer M dans la relation :

  (9)

Ainsi nous avons :

  (10)

Soit :

  (11)

Dans l'application numérique, nous pouvons exprimer  en parsecs tel que :

  (12)

Nous voyons alors que les nuages de formation stellaire sont en fait immenses, in extenso ils ont des tailles de dizaines ou centaines de parsecs. Ces véritables pépinières sont ensuite dispersés dans la galaxie par effet de marée galactique, comme nous le soulignions plus haut.

TEMPS DE CHUTE LIBRE

Nous avons vu pour l'instant que la masse d'un nuage doit être grand par rapport à celle du Soleil pour que l'effondrement se produise. Nous allons maintenant estimer le temps que va prendre le nuage pour s'effondrer sur lui-même.

Au début de l'effondrement, rien n'arrête la chute du nuage, la pression interne est encore très faible et l'énergie lumineux provenant de l'échauffement progressif du nuage (lié à la contraction de ce dernier) est immédiatement évacuée car le nuage est encore transparent.

Une parcelle de nuage à la périphérie, in extenso à la distance R du centre du nuage, subit une accélération  de la part de ce dernier. Elle commence donc à tomber vers le centre avec la loi  (cf. chapitre de Mécanique Classique). La parcelle aura atteind le centre quand . Nous obtenons donc :

  (13)

Nous pouvons exprimer ce temps uniquement en terme de masse volumique, puisque  :

  (14)

Noter que le temps de chute ne dépend pas de la taille de l'objet ni de sa masse, mais uniquement de sa masse volumique.

Une application numérique pour un nuage d'hydrogène donne alors:

  (15)

Nous remarquons que ces temps restent petits par rapport à l'âge de l'Univers (13-14 milliards d'années). Ainsi, la genèse stellaire est un phénomène relativement rapide: plusieurs générations d'étoiles ont pu voir le jour depuis la formation des galaxies.

durée de vie nucléaire

L'âge des étoiles est principalement un problème de calcul du carburant nucléaire. La résolution de ce problème a été apportée par la relativité, et en particulier par l'équivalence masse-énergie (cf. chapitre de Relativité Restreinte).

Même si la description détaillée des réactions nucléaires au cœur du Soleil n'a été fait qu'au milieu des années 1930 par Hans Bethe, les astrophysiciens ont soupçonné peu après les travaux d'Einstein que cette équivalence pouvait expliquer l'éclat du Soleil sur des milliards d'années, par exemple via la fusion de l'hydrogène (proton, p) en hélium (deux protons, deux neutrons) via une succession d'étapes (l'énergie indiquée est l'énergie cinétique des différents éléments):

  (16)

Le positron s'annihile immédiatement avec l'un des électrons d'un atome d'hydrogène environnant et leur masse-énergie est évacuées sous forme de deux photons gamma:

  (17)

Après ceci, le deutérium produit lors de la première étape peut fusionner avec un nouveau noyau d'hydrogène pour produire un isotope de l'hélium :

  (18)

Finalement, d'hélium  peuvent fusionner et produire l'isotope normal de l'hélium  ainsi que deux noyaux d'hydrogène qui peuvent commencer à nouveau la réaction de trois façon différentes appelées PP1, PP2 et PP3 :

  (19)

Et encore ces réactions ne se produisent pas toutes selon les mêmes probabilités et les mêmes températures….

La mesure de la masse du proton donne , alors que l'hélium à une masse de , soit une perte en masse atomique de (nous négligeons la masse des positrons qui est 10'000 fois plus petite ainsi que celle du neutrino) :

  (20)

Donc une perte relative de masse par fusion (c'est la part de la réaction qui s'échappe du Soleil sous forme d'énergie cinétique):

  (21)

Nous avons démontré plus haut que le Soleil émettait une puissance de:

  (22)

Donc sa consommation en masse par seconde est de :

  (23)

C'est à dire que sa masse diminue de 4.4 millions de tonnes par seconde…

Or nous savons que ce nombre correspond seulement à 0.72% de la masse mise en réaction dans la fusion. La masse totale mise en réaction est alors (règle de trois):

  (24)

Ainsi, à chaque seconde 627 millions de tonnes d'hydrogène (ionisé) 1 fusionnent en hélium 4 avec une perte de masse de 4.4 millions de tonnes qui est transformée en énergie.

En estimant que seulement le centre du Soleil a les conditions thermiques pour la fusion. Ceci nous amène à déterminer son temps de vie nucléaire:

  (25)

En transformant cela en années nous avons:

  (26)

TEMPÉRATURE INTERNE

Les étoiles sont supposées être des amas sphériques d'hydrogène gazeux où les interactions entre molécules sont régies par l'attraction gravitationnelle.

Une étoile n'a pas de paroi qui la délimite, c'est-à-dire qu'il n'y a pas de forces extérieures donc :

  (27)

En utilisant le théorème de viriel vu dans le chapitre de mécanique des milieux continus :

  (28)

Nous avons pour un masse sphérique gazeuse de rayon R de masse M composée de N corps :

 et   (29)

Remarque: Pour le calcul de l'énergie potentielle nous renvoyons le lecteur au chapitre de Mécanique Classique du site.

Donc:

  (30)

où rappelons-le, k est la constante de Boltzmann.

Ce qui nous donne:

  (31)

Avec pour une étoile donnée N étant le rapport de la masse totale de l'étoile sur la masse moyenne d'une molécule.

Pour le Soleil, il vient que .

C'est la température centrale du Soleil. Les mesures optiques mesurées depuis la Terre ne donnent que la température en surface (chromosphère), soit 6'000 [°K]. La température interne calculée est donc environ 1'600 fois plus élevée qu'à la surface. Des méthodes indépendantes basées sur les réactions nucléaires au centre du Soleil (mesure du flux de neutrinos solaires) donnent le même ordre de grandeur, mais les valeurs précises diffèrent d'un facteur 2 à 3.

TEMPÉRATURE EXTERNE

Nous avons démontré dans le chapitre de thermodynamique que la loi de Stefan-Boltzmann, permet de calculer la température d’un corps chauffé à partir de son émittance ou de son énergie interne en termes de densité tel que :

  (32)

avec :

  (33)

étant la constante de Stefan-Boltzmann.

Prenons une exemple intéressant qui nous concerne directement :

L'émittance moyenne dite aussi "émittance moyenne bolométrique" reçu par la Terre hors atmosphère appelé "constante solaire" (qui n'est au fait pas constante... sur une échelle de plusieurs milliards d'années) est directement mesurable en orbite et vaut .

Connaissant la distance moyenne au Soleil comme étant d'environ  (Unité Astronomique), nous pouvons calculer la surface de la sphère S à  et donc la puissance solaire P. Ainsi :

 et   (34)

Supposant connu le rayon du Soleil comme valant , nous pouvons calculer sa surface S puis l'émittance radiative solaire M(T). Ainsi :

 et   (35)

Remarque: La surface rayonnante d'une étoile est appelée "photosphère".

A l'aide de la loi de Stephan-Boltzmann, nous pouvons maintenant calculer la température thermodynamique de la photosphère :

  (36)

La loi de Planck (cf. chapitre de Thermodynamique) appliqué à cette température nous permettrait de calculer la distribution spectrale du rayonnement solaire et nous voyons alors que le maximum de l’intensité est dans le domaine visible (notre visibilité…) du spectre qui va de 400 [nm] à 700 [nm].

LUMINOSITÉ

La "luminosité bolométrique intrinsèque" d'une étoile correspond à sa puissance totale rayonnée dans tout le spectre électromagnétique dans la direction de l'observateur exprimée de façon relative à la puissance totale rayonnée par le Soleil. En supposant toutes les étoiles sphériques et isotropes, nous pouvons l'exprimer en unités solaires :

  (37)

La puissance rayonnée se calcule elle, en multipliant bien évidemment l'émittance radiative (loi de Stefan-Boltzman) par la surface de l'étoile :

  (38)

La luminosité bolométrique intrinsèque d'une étoile est donc proportionnelle au carré de son rayon et à la quatrième puissance de sa température de surface. En prenant le Soleil comme référence, les constantes s'annulent. Nous pouvons alors écrire :

  (39)

avec  et  d'où

En astrophysique, nous utilisons également une échelle logarithmique pour exprimer la luminosité bolométrique d'une étoile : la magnitude absolue M. Cette unité a une origine empirique qui sera expliquée plus bas.

ÉCLAT

"L'éclat" e d'une étoile est sa "luminosité apparente". L'éclat (luminosité apparente) d'une étoile correspond à la densité de rayonnement reçu par l'observateur c'est-à-dire au flux et vaut le rapport entre la puissance de l'étoile et la surface de la sphère dont le rayon est égal à la distance d qui sépare l'observateur de l'étoile :

  (40)

L'éclat diminue ainsi avec le carré de la distance. Il est important de remarquer que cette grandeur n'a aucune relation directe avec les propriétés intrinsèques physique de l'étoile concernée (contrairement à la luminosité bologométrique!).

En astrophysique, nous utilisons également une autre échelle où la luminosité apparente est donnée par une autre grandeur d'origine empirique : la magnitude apparente, qui sera expliquée de suite ci-dessous.

MAGNITUDE APPARENTE

Ptolémée en 137 après J.-C. avait défini une échelle de six grandeurs pour exprimer l'éclat des étoiles, la première pour les plus brillantes et la sixième pour les étoiles tout juste visibles à l'œil nu (6 grandeurs et donc 5 écarts).

Au cours du 19ème siècle, avec l'arrivée de nouvelles techniques d'observations photométriques (photographiques puis photoélectriques), l'échelle de grandeurs a été remplacée par celle de "magnitude apparente" qui a été définie de telle sorte à ce que cette nouvelle échelle soit proche de l'ancienne.

La définition est la suivante :

- L'échelle est logarithmique en base 10 (par commodité des grandeurs manipulées)

- Il y a 5 écarts de magnitude correspondant à un rapport de luminosité apparent de 1 pour 100 (1:100)

- L'échelle est inverse (une magnitude élevée correspond à un faible éclat/luminosité apparente).

A l'aide de ces définitions, nous pouvons construire une règle liant de façon relative les éclats de deux étoiles à leur magnitude apparente m.

Pour une étoile 2, cent fois plus brillante ou éclatante qu'une étoile 1, l'étoile 1 est 5 unités de magnitude au-dessus de l'étoile 2 (n'oublions par que l'échelle est inverse). Donc :

   (41)

correspond à :

  (42)

Nous pouvons alors poser les relations :

 et    (43)

Par application de la règle de trois, nous construisons :

  (44)

En simplifiant, nous trouvons la "loi de Pogson" qui exprime la relation entre magnitudes visuelles apparentes et éclats de deux étoiles :

  (45)

Ainsi définie, l'échelle de magnitudes visuelles n'est que relative. La référence est photométrique est similaire à l'éclat de Véga .

Pous se faire une idée des magnitudes visuelles voici quelques exemples : Soleil –26.5, Pleine Lune –15, Vénus au maximum –4.8, Sirius la plus brillante des étoiles –1.5 (type spectral A1 et distante de 8.6 années lumière), limite de la perception à l'œil nu 6, limite de perception à travers un télescope amateur de 15 cm à ce jour (2003) 13, limite de perception du télescope spatial Hubble 30.

Il faut préciser que la magnitude apparente visuelle ne correspond pas exactement à la magnitude apparente réelle, car l'œil n'a pas la même sensibilité pour toutes les longueurs d'onde. Les étoiles bleues ou rouge nous paraissent moins lumineuses à l'œil qu'elle ne le sont en réalité car une partie du rayonnement se trouve dans les ultraviolets, respectivement dans l'infrarouge.

Il convient donc de préciser qu'il s'agit d'une magnitude apparente visuelle ou bolométrique. En général, les astrophysiciens utilisent les grandeurs bolométriques dans leurs communiqués.

MAGNITUDE ABSOLUE

La magnitude absolue M (ne pas confondre avec la notation de l'émittance..) d'une étoile est une grandeur logarithmique aussi, qui exprime cette fois la luminosité L bolométrique. C'est la grandeur présentée en ordonnée du diagramme de Hertzprung-Russel. L'échelle de cette grandeur est basée sur la magnitude visuelle.

La magnitude apparente et la magnitude absolue sont liées par la distance qui nous sépare de l'étoile. A luminosité apparente intrinsèque constante, la luminosité apparente décroît donc évidemment avec le carré de la distance comme nous l'avons déjà vu. Afin d'établir une relation, nous avons dû choisir une distance de référence par une nouvelle définition.

Définition: La "magnitude absolue" d'une étoile est égale à sa magnitude apparente si elle est à une distance de 10 parsecs (32.6 années lumières).

Soit une étoile placée à une distance quelconque d. Son éclat  est fonction de la distance et de son éclat  si elle était située à  selon :

  (46)

Par application de la règle de trois, nous construisons :

  (47)

En reprenant la loi de Pogson et en assimilant  à la magnitude apparente m de l'étoile à la distance d quelconque,  à la magnitude apparente de l'étoileà (par définition de sa magnitude absolue M) ainsi que  son éclat à  et  sont éclat à la distance quelconque, nous trouvons :

  (48)

qui peut bien sûr aussi s'écrire :

  (49)

En partant de cette définition, la magnitude absolue du Soleil est de 4.7. Sa magnitude apparente vue depuis la Terre est de –26.5. Elle est de 4.7 à 10 [pc] donc faiblement visible à l'œil nu.

Cette dernière relation de comparaison de la magnitude absolue avec la magnitude apparente (qui est la magnitude observée effectivement sur Terre) permet une estimation de la distance d de l'objet en astrophysique.

Remarque: Pour avoir la magnitude absolue, il faut des modèles stellaires, et connaître la température de l'étoile comme nous allons de suite le voir. Dans la pratique, la seule quantité aisément accessible est évidemment la magnitude observée, qui est en fait la combinaison de la magnitude apparente et de l'absorption interstellaire.

La loi de Pogson exprime de même la relation entre magnitudes absolues M et luminosité bolométrique L de deux étoiles :

  (50)

Ainsi, Déneb étant 300'000 fois plus lumineux que le Soleil, la magnitude absolue est de –9.

En reprenant la loi de Pogson, la magnitude absolue peut s'écrire relativement à la luminosité bolométrique absolue du Soleil :

  (51)

Avec  et   , la magnitude absolue bolométrique se calcule ainsi à partir de sa luminosité bolométrique :

  (52)

En reprenant l'expression de la luminosité bolométrique :

  (53)

La magnitude (bolométrique) absolue d'une étoile étant directement fonction de sa température et de son rayon :

  (54)

C'est le résulat que nous voulions montrer depuis le début : la magnitude absolue est directement liée à la luminosité bolométrique de l'étoile, raison pour laquelle c'est celle qui intéresse le plus les astrophysiciens.

Remarque: La distance d'étoiles proches a pu être déterminée grâce au satellite Hipparcos. Par mesure du parallaxe (mesure de la position de l'étoile à six mois d'intervalles et pas application des règles trigonométriques élémentaires). Mais, au delà de quelque dizaines de parsec, la mesure de la distance d'étoiles par parallaxe devient très imprécise. En étudiant le spectre de l'étoile, nous pouvons déterminer sa classe spectrale, sa température de surface et la placer dans le diagramme de Hertzprung-Russel. Il est donc possible d'estimer sa magnitude absolue et de calculer approximativement sa distance.

Cet artifice de mesure est fondamental pour la cosmologie. C'est ainsi que l'on détermine la distance des galaxies proches en mesurant la période de certaines étoiles variables (nous y consacrons un petit chapitre ci-dessous).

La distance des galaxies lointaines se calcule en mesurant la magnitude apparente de supernovae qui s'y produisent fortuitement. En effet, la magnitude absolue des supernovae du type Ia (nous les reconnaissons par l'absence de rayes d'hydrogène et par la décroissance de leur luminosité) sont bien calibrées car l'énergie dégagée par ces explosions stellaires est relativement constante.

ÉTOILES VARIABLES

Les étoiles de la séquence principale du diagramme de Hertzprung-Russel sont des objets très stables. La force de gravitation, qui tend à contracter l'astre, est exactement compensée par les forces de pression interne, qui tendent à le dilater. C'est au moment où l'étoile devient une géante rouge que parfois l'équilibre est rompu. Commence alors une phase d'instabilité qui se traduit par de fortes variations de la luminosité de l'étoile.

La rupture de l'équilibre est provoquée par un phénomène complexe qui met en jeu des variations de transparence des couches d'hélium près de la surface de l'étoile. A partir de là, l'astre se met à connaître une succession de dilatations et de contractions contrôlées par les forces qui assuraient auparavant l'équilibre. Lorsque la force de pression l'emporte, le volume de l'astre augmente. Mais la gravité freine le mouvement et finit par provoquer la contraction. Le volume de l'étoile passe alors sous sa valeur moyenne, jusqu'à ce que la pression interne s'oppose à la contraction et réussit à provoquer une nouvelle dilatation.

Ce ne sont pas les changements de taille qui provoquent les variations de luminosité, mais ceux de la température. Effectivement, comme nous l'avons vu précédemment, la luminosité d'un étoile varie avec la quatrième puissance de la température, alors qu'elle ne varie qu'avec le carré du rayon. Lorsque le volume de l'étoile est cependant plus faible qu'en moyenne, sa température est légèrement plus forte et la luminosité maximale. Dans le cas contraire, la température est légèrement plus basse qu'en moyenne et la luminosité minimale. L'éclat de l'étoile change donc de façon périodique, d'où le nom d'étoile variable.

Il existe dans le diagramme de Hertzprung-Russel une bande d'instabilité qui traverse ce diagramme presque verticalement dans laquelle se produit justement les phénomènes thermiques en question.

Les deux principaux types de variables pulsantes sont les céphéides et les étoiles RR Lyrae. Ces astres jouent un rôle central en astrophysique. Les céphéides sont des étoiles de quelque masses solaires. Elles sont dans la phase de combustion de l'hélium après avoir atteint le stade de géante rouge. Les étoiles de masse solaire arrivées à ce stade deviennent des RR-Lyrae. Leur luminosité varie avec une période comprise entre un jour et plusieurs semaines. La propriété remarquable des céphéides est l'existence d'une relation entre leur luminosité moyenne et la période de leurs oscillations. Par exemple, leur luminosité moyenne est de 1000 fois celle du Soleil pour une période de quelques jours et de 10000 fois cette valeur pour une période de plusieurs semaines. C'est cette relation qui fait des céphéides l'un des outils de base de l'astrophysique.

Si nous connaissons cette relation pour une étoile variable, il est relativement aisé, par la détermination de sa période d'en tirer la magnitude absolue M. En mesurant alors sa magnitude apparente m nous pouvons ensuite calculer sa distance d en parsec à l'aide de la relation (démontrée précédemment):

  (55)

La figure ci-dessous représente la courbe période-luminosité des Céphéides.

Bild 14
  
(56)

L'étalonnage de cette courbe ne peut se faire que par des mesures de parallaxe sur des Céphéides proches. Il n'en existe malheureusement pas d'assez rapprochées pour qu'il soit possible d'utiliser la parallaxe annuelle. Il faut avoir recours à la parallaxe secondaire qui est basée sur le mouvement du Soleil dans la galaxie.

Exemple:

Nous repèrons une Céphéides grâce à son type de classe spectrale. Sa période est de 50 jours et sa magnitude apparente  . La figure précédente donne, pour cette étoile, une magnitude absolue .

En appliquant ensuite la formule donnée précédemment, nous trouvons :

  (57)

Cette céphéide est donc éloignée de 630 [pc].

Grâce aux propriétés des Céphéides, nous disposons d'un instrument de mesure qui porte jusqu'à quelques dizaines de millions d'années-lumière. Il est donc applicable au delà de notre Voie lactée jusqu'aux galaxies proches comme les membres du groupe local. Au-delà, il devient difficile de détecter des Céphéides aux caractéristiques connues.

Les étoiles RR Lyrae sont quant à elles des étoiles peu massives et vieilles. Leur période d'oscillation est inférieure à un jour. Contrairement aux céphéides, elles ont toutes la même luminosité moyenne (magnitude absolue de 0.5), environ 100 fois celle du Soleil.

Il existe encore une certainte quantité d'étoiles variables différentes (variables à éclipses, des variables explosives, variables binaires,...) dont nous peuvons trouver un source abondante d'information sur l'Internet.

Il existe d'autres méthodes plus connues de mesure des distantes que celle des céphéides ou de l'effet Doppler :

PARALLAXE TRIGONOMÉTRIQUE

La méthode de parallaxe trigonométrique est très simple (mais délicate à mettre en œuvre à la surface de notre planète pour les étoiles très distantes). Tout astronome amateur constate la fuite de l'étoile qu'il observe dans son oculaire. Ce mouvement se nomme "mouvement diurne". Il est dû à la rotation de la Terre sur elle même. L'étoile est également animée d'un mouvement elliptique beaucoup mois facilement détectable : le "mouvement parallactique".

Il est dû, comme le suggère le schéma ci-contre, à la rotation de la Terre autour du Soleil. Nous mesurons dont l'angle :

  (58)

si l'angle est faible (ce qui est très fréquemment le cas étant donné la distance des étoiles), nous pouvons prendre le premier terme du développement de Taylor de la fonction tangente :

  (59)

Ce qui nous permet d'écrire :

  (60)

d est la distance du Soleil à l'étoile et a celle de la Terre au Soleil comme représenté ci-dessous :

l'effet Doppler-Fizeau relativiste

L'effet Doppler-Fizeau est le décalage entre la fréquence de l'onde émise et de l'onde reçue lorsque l'émetteur et le récepteur sont en mouvement l'un par rapport à l'autre. C'est une technique utilisée en astrophysique pour calculer la distance d'un astre en supposant sa longeur d'onde d'émission connue (ou estimée) et en mesurant sa logneur d'onde reçue.

L'effet Doppler des ondes électromagnétiques doit être discuté indépendamment de l'effet Doppler acoustique (appelé également "effet Doppler-Fizeau galiléen"). Premièrement parce que les ondes électromagnétiques ne consistent pas en un mouvement de matière et que par conséquent la vitesse de la source par rapport au milieu n'entre pas dans la discussion, ensuite parce que leur vitesse de propagation est c (la vitesse de la lumière) et reste la même pour tous les observateurs indépendamment de leurs mouvements relatifs. L'effet Doppler pour les ondes électromagnétiques se calcule donc nécessairement au moyen du principe de relativité.

Pour un observateur dans un repère d'inertie, une onde électromagnétique plane et harmonique peut être décrite par une fonction de la forme :

  (61)

multipliée par un facteur d'amplitude approprié. Pour un observateur attaché à un autre repère  d'inertie, les coordonnées x et t doivent être remplacées par k' et t', obtenues par la transformation de Lorentz (cf chapitre de relativité restreinte), et celui-ci écrira par conséquent pour sa description la fonction :

  (62)

k'et ne sont pas nécessairement les mêmes que pour l'autre observateur. Par ailleurs, le principe de relativité demande que l'expression reste invariante quand nous passons d'un observateur d'inertie à un autre. 

Nous aurons alors: 

  (63)

En utilisant les relations de transformation de Lorentz, nous avons:

  (64)

Par suite:

  (65)

Si nous tenons compte que dans le cas des ondes électromagnétiques, nous pouvons écrire chacune de ces équations sous la forme:

  (66)

Le rapport:

  (67)

donne le "décalage spectral" noté Z pour un mouvement de l'observateur par rapport à la source suivant la direction de propagation.

Par ailleurs la dernière relation avec les pulsation est plus souvent donnée dans la littérature sous la forme suivante :

  (68)

Ce qui se notre plus couramment encore :

  (69)

Il faut bien se rappeler que le décalage de pulsation (et donc fréquence) qui a lieu ici est dû à un mouvement relatif par rapport à la source et non autre chose. Effectivement, lors de notre étude la relativité générale (cf. chapitre de Relativité Générale), nous verrons qu'il y a également superposition d'un décalage à cause du champ gravitationnel environnant l'émetteur qui sera étudié comme étant causé par la courbure de l'espace-temps.

Un très bon exemple de l'application de l'effet Doppler consiste à étudier les limites données par la mesure de la vitesse apparente. Voyons de quoi il s'agit :

VITESSE APPARENTE

En mesurant la vitesse apparente de déplacement d'objets très rapides dans le ciel (jets de plasma, etc...), les astrophysiciens ont obtenu des vitesses apparentes de déplacement supérieures à la vitesse de la lumière dans le vide!

Au fait, il s'agit d'une illusion qui peut se produire si la vitesse de l'objet est très proche de celle de la lumière qu'il émet, donc assez proche de c


  
(70)

L'objet émet de la lumière à l'instant , celle-ci ne nous atteint pas instantanément mais doit parcourir une distance d pour arriver à nous. Nous recevons après le temps :

  (71)

L'objet lui, se déplace à la vitesse v suivant un angle noté θ avec la direction d'observation, donc à l'instant t, l'objet s'est déplacé d'une distance . La lumière émise par l'objet à l'instant t doit parcourir la distance (application de pythagore) :

  (72)

pour nous arriver (l'objet s'est avancé de  dans la direction d'observation mais s'est éloigné de l'axe d'observation de la distance ), nous recevons donc la lumière qui a été émise par l'objet à l'instant t après un temps  :

  (73)

Entre les deux positions de l'objet, il s'est écoulé la durée t mais, vu de l'observateur, l'intervalle de temps entre la réception des images de ces deux positions est :

  (74)

différent de t.

Pour un intervalle de temps t petit, nous avons, en développement limité de Taylor :

  (75)

Pendant cet intervalle de temps, toujours vu de l'observateur, l'objet semble s'être déplacé sur le plan du ciel de .

Ainsi, la vitesse apparente de l'objet est :

  (76)

Cherchons le maximum de cette fonction pour comprendre comme une telle observation est possible en dérivant par rapport à  et en cherchant pour quelle valeur la dérivée s'annule:

  (77)

et cela s'annule après simplification du dénominateur pour :

  (78)

d'où :

  (79)

La vitesse apparente est alors est alors :

  (80)

et elle est égale ou supérieure c si déjà :

  (81)

donc :

  (82)

Nous voyons ainsi qu'il est possible d'observer des mouvements apparents plus rapides que la lumière, alors même que l'objet est très rapide, certes, mais plus lent que c. Comme il ne s'agit que d'une illusion, il n'y a pas de contradiction avec la théorie de la relativité.

En connaissant la vitesse de déplacement d'une astre obtenue à l'aide de l'effet Doppler et la vitesse apparente à l'aide des observations, il est alors facile pour les astrophysiciens de déterminer l'angle en faisant un peu d'algèbre élémentaire à partir de la relation ci-dessous :

  (83)

LIMITE DE CHANDRASEKHAR

Nous avons déjà déterminé dans le chapitre de mécanique classique le rayon de Schwarzschild (sous sa forme classique) qui exprime le rayon critique d'un corps pour que la vitesse de libération à sa surface soit égale à la vitesse de la lumière. Nous avions obtenu la relation ci-dessous qui exprimait typiquement le rayon que devrait avoir un astre donné pour avoir une vitesse de libération égale à celle de la lumière :

  (84)

Dans ce cas particulier l'astre est ce que nous avions appellé un "Trou Noir". Cependant, avant le trou noir, une étoile passe comme nous en avons parlé par plusieurs étapes intermédiaires par lesquelles elle peut d'ailleurs se stabiliser. Ainsi, vous avez du souvent lire dans la littérature que pour une naine blanche s'effondre en étoile à neutrons, que sa masse devait être supérieur à 1.4 masses solaire. C'est ce que nous allons démontrer maintenant.

Nous allons introduire le sujet sur l'étude de l'influence du principe d'incertitude sur la taille d'un système atomique (il en limite la dimension minimale). Cet exemple est fort puissant car il montre que le principe d'incertitude ne régit pas seulement le processus de la mesure mais aussi le comportement global des systèmes quantiques.

Le premier exemple que nous pouvons donner est celui de l'atome d'hydrogène, non que nous attendions un résultat nouveau de cette méthode d'analyse, mais plutôt parce que nous pouvons exposer l'usage du principe d'incertitude et insister sur sa signification.

Nous admettons que le proton, dont la masse l'emporte de beaucoup sur celle de l'électron, peut être considérée comme fixe. L'énergie de l'électron s'écrit :

  (85)

En physique classique, un système dont l'énergie est donnée par la relation précédente ne possède pas de minimum : si nous faisons tendre r vers zéro en conservant la forme circulaire de l'orbite, il est facile de voir que tend vers . En revanche, en physique quantique, cette limite n'a pas de sens : le principe d'incertitude s'y oppose.

Dans ce cas, la recherche du minimum  de  prend un sens, car une contrainte apparaît qui maintient ce minimum à une valeur finie. Elle se détermine en physique quantique (voir le modèle de Bohr de l'atome dans le chapitre de physique quantique corpusculaire) et impose:

 où   (86)

Cependant, cette relation mis à part, si le rayon de l'atome devient trop faible sous des contraintes extérieures (attention! nous nous affranchissons des orbites quantifiées du modèle de Bohr de l'atome qui impose une contrainte à p) la quantité de mouvement p de l'électron ne peut être inférieure à l'incertitude  qu'impose le principe d'incertitude de Heisenberg, dès lors que est de l'ordre du rayon de l'atome. La forme même de la relation précédente limite la portée de la méthode : nous ne pouvons espérer déterminer mieux qu'un ordre de grandeur du minimum de .

Afin d'évaluer le minimum de l'énergie totale, que nous interprètons comme l'état fondamental de l'atome d'hydrogène, nous calculons le minimum de  en éliminant p de l'expression:

 par   (87)

Nous obtenons :

  (88)

Le rayon  de l'atome dans l'état fondamental est la valeur de r qui donne à E(r) sa valeur minimale:

  (89)

si bien que:

  (90)

qui est l'expression bien connue du rayon de Bohr vue en physique quantique corpusculaire lors de l'étude du modèle de Bohr de l'atome. L'énergie  de l'état fondamental est donc maintenant facilement calculable.

Le but de cet exemple est de montrer qu'avec le principe d'incertitude de Heisenberg nous pouvons par un raisonnement très simple retrouver l'état fondamental d'un système. C'est exactement de cette façon que nous allons procéder pour déterminer les conditions qui font qu'un astre se retrouve dans son état fondamental.

Attaquons maintenant à l'étude d'une étoile. Schématiquement celle-ci se compose d'un mélange de deux gaz: celui que est formé de noyaux d'une part, le gaz électronique de l'autre.

Au cours de la vie de l'étoile, de nombreux processus de fusion ont eu lieu. Ils ont accru à chaque fois la taille et la masse des noyaux; FE (le fer) qui est abondant à la fin de la vie d'une étoile, contient en moyenne 56 nucléons (voir la partie physique atomique du site).

Ces noyaux sont de nature chimique ou isotopique variée. Comme ils sont peu nombreux en comparaison des électrons, leur pression est celle d'un gaz classique chargé, neutralisé par la présence des électrons: elle peut être ignorée, et ce d'autant plus que la température est nulle.

La charge électronique seule ne permettrait pas aux électrons de résister à l'effondrement d'une étoile puisque la matière stellaire est neutre. A très basse température, quand le carburant est épuisé, la seule pression que le gaz électronique puisse opposer à la pression hydrostatique due à la pesanteur est d'origine quantique.

En première approximation, les électrons exercent donc l'un sur l'autre une répulsion apparente qui n'est pas d'origine coulombienne (principe d'exclusion de Pauli). En première approximation, ils obéissent à une relation analogue à celle de l'électron atomique et qui s'écrit dans le cas minimal (ou maximal de pression) :

  (91)

est la distance moyenne qui sépare deux électrons voisins.

A température , l'équilibre est atteint quand l'énergie (la matière de l'astre) totale du système est minimale.

Que se passe-t-il si nous essaions d'évaluer la variation du rayon  de la Naine Blanche en fonction de sa masse ?

L'énergie potentielle gravifique d'une étoile est donnée en bonne approximation par (voir chapitre de mécanique classique) :

  (92)

 étant approximativement donnée par:

  (93)

est la masse du proton et N le nombre de nucléons que contient l'étoile: la contribution des électrons à la masse de l'astre est négligeable et il n'y pas lieu de distinguer entre la masse du neutron et celle du proton, presque identiques.

La seconde contribution à l'énergie est essentiellement celle du gaz électronique dégénéré (la dégénérescence correspond à l'existence de plusieurs états ayant la même énergie), d'origine cinétique. Nous pourrions être tenté d'écrire simplement:

  (94)

Cette manière de faire conduit à une impasse. Si nous exigons que la somme  atteigne une valeur minimale, nous aboutissons à une valeur du rayon de l'étoile tellement faible que, par application de la relation  la vitesse moyenne des électrons dépasserait celle de la lumière!

Pour éviter cette contradiction, nous devons recourir à la mécanique relativiste qui nous a montré que, dans ce cas (voir chapite de mécanique relativiste), nous pouvons exprimer l'énergie totale comme:

  (95)

si la valeur numérique de l'énergie cinétique l'emporte considérablement sur l'énergie de repos nous avons :

  (96)

et donc:

  (97)

La distance moyenne d entre électrons s'évalue en supposant que l'étoile est homogène, approximation suffisante dès lors que nous cherchons l'ordre de grandeur d'une moyenne. Nous simplifions encore la géométrie en admettant que chaque électron est entouré d'un domaine sphérique de rayon d dans lequel il n'y a pas d'autre électron de même spin et où nous ne pouvons compter qu'un électron de spin opposé. Dès lors:

  (98)

Il reste à évaluer le minimum de la somme:

  (99)

compte tenu de la condition . Il vient encore:

  (100)

puis:

  (101)

que nous évrivons finalement:

  (102)

Face à ce résultat, nous sommes confrontés à une situation inattendue :

Si le facteur  est positif, alors l'énergie totale de la naine blanche l'est aussi, ce qui signifie que le système n'est pas lié: l'étoile est totalement instable (elle n'a pas atteint son seuil d'énergie minimal). Elle ne peut réduire son énergie qu'en augmentant sans limite son rayon r.

Nous voyons que la facteur K est négatif si :

  (103)

Si la Naine Blanche dépasse cette masse alors nous ne pouvons plus traiter le problème avec les équations précédentes. Elle satisfait alors aux équations régissant un astre composé de neutrons uniquement (étoile à neutrons) et ceci constitue alors un autre problème que nous n'aborderons pas ici pour l'instant.

La masse (approximative) de la fameuse "limite de Chandrasekhar" est donc donnée par :

  (104)

Elle constitue la masse au-delà de laquelle une naine blanche s'effondre en étoile à neutrons.

Conventionnellement, les astrophysiciens associent cette valeur limite à un facteur multiplicateur de la masse du Soleil . Nous avons effectivement (numériquement) .


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