L'encyclopédie des Sciences
  Les nombres naturels le sont-ils vraiment ?
 
Samedi 12 janvier 2008

Un pavé [un clin d'oeil au pavage de Penrose - ] de 800 pages pour ceux qui font de la vulgarisation en mathématiques ou en physique, c'est LE Penrose "A la découverte des lois de l'univers", qui vient d'être traduit en français. Pas à la portée de tous, mais un outil de base, ou quelques friandises à déguster de temps à autre, c'est selon.
Sir-Roger-Penrose-m86804.jpg
Dans le chapitre 3, Penrose nous montre en termes simples comment l'on peut construire la suite des nombres dits "naturels" comme une abstraction mathématique totalement indépendante d'une quelconque réalité, simplement en utilisant la théorie des ensembles.

On commence par l'ensemble le plus simple (mais l'est-il réellement ?), l'"ensemble vide", qui ne contient aucun élément.
On le note ainsi :
 Ø ou { }. Les accolades désignent un "ensemble" : l'ensemble ci-avant ne contient aucun élément entre les accolades, c'est un ensemble "vide", on lui attribue le nombre 0. Nous enfonçons peut-être des portes ouvertes, mais c'est de la définition précise que jaillit l'abstraction...

On définit ensuite l'ensemble suivant : {
Ø} ou {{ }}. C'est un ensemble composé d'un élément, et cet élément est l'ensemble précédent. On lui attribue le chiffre 1. [*]

On définit ensuite l'ensemble suivant : {
Ø, {Ø}} ou {{ }, {{ }}}. C'est un ensemble composé de deux éléments, l'esemble vide et l'ensemble précédent. On lui attribue le chiffre 2. [**]

On définit ensuite l'ensemble constitué par l'ensemble vide, l'ensemble défini dans le paragraphe [*], et l'ensemble défini dans le paragraphe [**]. On lui attribue le chiffre 3.

Et ainsi de suite, on a compris.

Ce qui permet à Roger Penrose de conclure : " Cette méthode a le mérite de nous montrer que des notions telles que les nombres naturels peuvent, littéralement, êtres construites à partir de rien, en utilisant simplement la notion abstraite d'ensemble ".
(dans cette phrase j'aime bien le "littéralement" : il se rapporte à "à partir de rien". Car c'est en effet à partir de l'ensemble vide - rien - que l'on construit là la suite des nombres naturels)






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