Nous devons la forme actuelle de la mécanique analytique appelée aussi parfois "mécanique lagrangienne" aux travaux des frères Bernoulli et particulièrement d'Euler et Lagrange. C'est effectivement en 1696 que commence l'histoire de la vraie physique théorique telle que nous la connaissons aujourd'hui.

Au fait, l'événement de départ de la mécanique analytique provient de l'observation suivante (énoncée au 17ème siècle) : Tout système semble évoluer d'une état à un autre toujours en utilisant les moyens les plus simples et en conservant une grandeur constante entre les deux états.

Cet énoncé est appelé dans le cadre de la mécanique "principe de moindre action (de Maupertuis)" ou dans le cadre de la physique générale "principe variationnel" ou encore parfois dans le cadre de l'optique "principe d'économie" ou "principe de Fermat". Dans la cadre mathématiquement faisant purement abstraction des concepts physiques, nous parlons de "principe de Hamilton".

Plus techniquement, il est aussi formulé de la manière suivante : Un système se meut d'une configuration à une autre de telle façon que la première variation de l'action (voir plus loin) entre la trajectoire naturelle effectivement suivie et toute trajectoire virtuelle infiniment voisine ayant les mêmes extrémités dans l'espace et dans le temps soit nulle.

Remarques:

R1. Les moyens précités peuvent êtres : le chemin le plus court, le chemin le plus rapide (les trajectoires spatio-temporelles à plus faibles amplitudes en gros...).

R2. Selon le premier principe fondamental de la physique, la grandeur constante est choisie comme étant l'énergie.

Au fait, bien que cet énoncé puisse paraître comme cohérent, il peut faire douter mais... nous verrons :

1. Qu'en mécanique classique, nous pouvons démontrer la première loi de Newton en admettant ce principe comme vrai et en y superposant le principe de conservation de l'énergie.

2. En électromagnétisme, nous retrouverons toutes les équations de maxwell (in extenso la loi de Biot-Savart, Farady, Force de Lorentz, loi de Laplace, etc. ) à partir à nouveau des propriétés du principe de moindre action et de conservation de l'énergie.

3. En optique, nous démontrerons que le chemin suivi par la lumière est toujours la plus courte et nous permettra donc de démontrer le principe de Fermat à la base de toute l'optique géométrique.

4. En physique atomique, les propriétés du principe de moindre action nous permettront de déterminer certaines propriétés mathématique des atomes et autres particules (les fermions et le bosons en physique quantique des champs).

5. Le principe de moindre action permet également de démontrer que tout corps, avec ou sans masse, est dévié par un champ d'accélération (déterminé par la géométrie de l'espace... tiens ! y'aurait pas du chemin là dedans... ?) et... permet donc de déterminer l'équation d'Einstein des champs qui est à la base de toute la relativité générale.

6. Ce principe s'applique également pour obtenir des résultats puissants en géométrique. Ainsi, les techniques de la mécanique analytique est très intiment liée à la mathématique pure.

Il va donc sans dire par ces six petits exemples les applications phénomènales de ce principe. Au fait, tout peut se résumer en la phrase suivante : Toutes nos connaissances de l'Univers se résument au théorème de Noether et au principe de moindre action.

Historiquement, il est intéressant de savoir que c'est Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (un fervant croyant mais personne n'est parfait...) qui a énoncé le premier le principe de moindre action sous la forme (peu scientifique) suivante :

«Tous les phénomènes naturels s'accordent avec le grand principe que la Nature, dans la production de ses effets, agit toujours par les voies les plus simples. […] On ne peut douter que toutes choses ne soient réglées par un Être suprême qui, pendant qu'il a imprimé à la matière des forces qui dénotent sa puissance, l'a destinée à exécuter des effets qui marquent sa sagesse…»

L'intervention d'Euler et Lagrange dans ce domaine a été de mettre sous forme mathématique ce principe et de démontrer (tenez-vous bien...) qu'il découle d'un simple propriété mathématiques des optima des fonctions continues. Il va sans dire, que sachant que cela a permis de redémontrer toutes les lois de la physique en a dérangé plus d'un...

Ce principe a eu (et a toujours) des répercussions inimaginables et le problème fut d'appliquer l'expression mathématique de ce dernier à tous les phénomènes physiques qui avaient déjà étés démontrés de façon expérimentale et empirique à l'époque. Effectuer cette démonstration revenait ainsi à expliquer pourquoi tel phénomène ou tel loi était ainsi plutôt qu'autrement. Imaginez !

Ainsi, le premier à s'attaquer au problème fût donc le Bâlois (Suisse) Léonhard Euler. Mais nous avons également gardé le nom de Lagrange (d'où l'appelation : "formalisme lagrangien") pour définir toute la méthode et le formalisme mathématique construite autour du principe de moindre action.

formalisme lagrangien

La mécanique classique peut être formalisée de différentes manières. La plus courante est la formulation de Newton, qui utilise la notion de force (cf. chapitre de Mécanique Classique) : elle est de loin la plus simple lorsqu'il s'agit de considérer un problème concret et c'est pourquoi c'est celle qui est enseignée. Mais pour pouvoir traiter des problèmes plus complexes ou plus finement, et pour pouvoir faire des démonstrations rigoureuses, cette formulation n'est pas la plus pratique.

La mécanique analytique, initiée dès le 18ème siècle, regroupe ainsi différentes formulations très mathématisées de la mécanique classique, notamment les mécaniques de Hamilton et de Lagrange.

Remarque: Encore une fois, toutes ces formulations sont équivalentes!

Cette formalisation est assez peu enseignée dans les petites écoles car il faut bien l'avouer le formalisme lagrangien et hamiltonien (contenant donc le principe de moindre action sous forme mathématique) fait appel à un niveau d'abstraction un peu plus élevé que les méthodes normales et malgré qu'il soit souvent d'une aide précieuse dans l'élaboration de théories (physique fondamentale, physique quantique, relativité générale, théorique quantique des champs, théorie des supercordes), il en découle rarement de nouvelles solutions (mais plutôt une réduction et une méthode de validation utile et très puissante).

Commencons donc notre travail :

COORDONNÉES GÉNÉRALisÉes et référentiels

Un réflexe naturel conduit généralement à référer la position d'un point dans l'espace à la seule connaissance de ses trois coordonnées cartésiennes x, y, z . Cette attitude est d'ailleurs le plus souvent justifiée par la simplicité d'un grand nombre de situations rencontrées dans la pratique, où il n'est pas nécessaire de rechercher de méthodes plus élaborées ou de passer dans d'autres systèmes de coordonnées (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Pour repérer la position d'un mobile (ou d'un point matériel) en physique il est nécessaire dans un premier temps d'associer un repère au référentiel. Ainsi, un "repère" est un système (physique concret) de repérage dans l'espace associé au référentiel.

Les repères conventionnels en mécanique classique constituent majoritairement des bases d'espaces pré-euclidiens canoniques (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) orientés et où chaque point, ou vecteur de l'espace, peut-être représenté algébriquement par ses valeurs d'affixes (la valeur à l'ordoonnée (projection sur l'axe vertical) et la valeur à l'abscisse (projection sur l'axe horizontal)).

Voici quelques exemples triviaux:

(ou plan d'Argand-Cauchy)

Remarque: Comme nous l'avons vu dans le chapitre de géométrie différentielle, la distance entre deux points d'une trajectoire courbe en parcourant la courbe est appelée "abscisse curviligne". Sinon, la distance entre deux points d'une trajectoire rectiligne est appelée simplement "abscisse".

Définitions:

D1. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel Galiléen" (c'est rare que nous en fassions explicitement mention en physique par manque de rigueur) si :

- Nous pouvons le considérer comme immobile pendant toute l'étude du mouvement du système ou comme étant en translation rectiligne uniforme par rapport à un autre référentiel lui même immobile.

- Nous pouvons le considérer comme un système où les lois de Newton sont vérifiées (cf. chapitre de Mécanique Classique)

D2. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "barycentrique" (cf. le chapitre de Géométrie Euclidienne) s'il a pour origine le centre de masse (cf. chapitre de Mécanique Classique) du corps étudié.

Ainsi, le "repère de Copernic" est assimilé au centre de gravité (d'inertie) du système solaire et le "repère héliocentrique" ou le "repère de Kepler" au centre d'inertie du Soleil.

D3. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel géocentrique" lorsque nous prenons pour référence un système d'axes placés au centre d'inertie de la Terre les axes, parallèles à ceux du référentiel de Copernic, pointent vers trois étoiles fixes. Dans ce référentiel la Terre tourne sur elle même en 24 [h.].

En bonne approximation nous pouvons considérer le référentiel géocentrique comme galiléen puisque le mouvement de translation de la Terre y est quasi circulaire (mais rigoureusement ce référentiel n'est pas galiléen!). Cela signifie qu'un point matériel soumis à un ensemble de forces qui se compensent y a un mouvement rectiligne uniforme, et qu'à contrario, si sa vitesse change en norme ou direction c'est qu'une résultante de forces non nulle s’applique.

D4. Un repère, assimilé à un référentiel, est dit "référentiel Terrestre" lorsque nous prenons pour référence un système d'axes placés au centre d'inertie de la Terre et qui à un mouvement de rotation uniforme correspondant à la vitesse de rotation de la Terre. Traditionnelement un des axes est dirigé vers l'étoile polaire. Cest le référentiel auquel nous nous référons le plus dans la vie courante.

Le référentiel Terrestre, en rotation par rapport au référentiel géocentrique, n'est pas un référentiel galiléen (du moins pour l'étude de l'atmosphère). Ceci va induire des effets particuliers sur les mouvements dans l'atmosphère tels que nous les ressentons.

Remarque: Dire qu'un repère orthonormé  est un "repère direct" signifie que l'angle orienté  a pour mesure principale  (dans le sens horaire). Dire qu'un repère orthonormé  est un "repère indirect" signifie que l'angle orienté a pour mesure principale . Dans tout ce qui suit, si nous spécifions pas l'orientation, cela sous-entend que  est direct.

Il est bien exact que les trois paramètres x, y, z suffisent parfaitement à repérer un point matériel dans l'espace usuel comme nous en avons déjà fait mention dans notre étude des espaces ponctuels (cf. chapitre sur les Principes De La Mécanique), mais il n'en demeure pas moins qu'il est parfois inévitable, ou même tout simplement plus avantageux, d'utiliser un nombre de paramètres supérieur à trois. Nous pouvons évidemment envisager toutes sortes de paramétrages pour atteindre les coordonnées d'un point dans l'espace, de telle sorte que, d'une façon plus généralisée nous serons amenés à prendre en considération des relations du type (nous ne gardons plus la même écriture que celle que nous avions lors de notre étude des espace ponctuels par cohérence avec les nombreuses références déjà existant sur le sujet):

  (2)

Les paramètres  portent le nom de "coordonnées généralisées", paramètres auxquels un problème sera le plus souvent référé. Connaître leur expression en fonction du temps est le problème fondamental de la dynamique. Cela signifie que nous serons parvenus à une solution quand nous disposerons des relations indépendantes :

  (3)

Il est donc important de retenir que le nombre de paramètres  définissant le repérage d'un point dans l'espace est au moins égal à trois, sans être nécessairement différent de trois. C'est finalement la nature des situations envisagées qui suggèrent le choix du nombre des paramètres à utiliser (coordonnées cartésiennes, cylindriques, sphériques,...).

Dans une vision plus générale, la configuration instantanée d'un système, quelle qu'en soit la nature, sera déterminée par la connaissance, en fonction du temps, de n paramètres, n définissant le nombre de "degrés de liberté" du système (cf. chapitre de Mécanique Classique).

Il est tout naturel, mathématiquement, d'associer la manipulation des n paramètres  au recours à un hyper-espace à n dimensions, dans lequel les  apparaîtraient comme les coordonnées d'un point P représentatif de la configuration d'un système quelconque. Nous donnons à cet espace à n, le nom " dimensions d'espace de configuration".

Mais la rigueur de la mathématique-physique, nous amène à disposer d'une description plus précise des phénomènes en ajoutant cette variable importante qu'est le temps, considérée comme variable indépendante, aux . Nous en arriverons donc fatalement à utiliser un autre hyperespace auquel nous avons donné le nom "d'espace des événements". 

Ce dernier espace de référence revêt un intérêt capital pour un grand nombre de problèmes de la science moderne et se trouve particulièrement bien adapté aux raisonnements de nature relativiste. Les variables indépendantes constituant les coordonnées spatiales et temporelle forment alors ce que nous appelons les "variables d'Euler".

Dans la mesure où les paramètres  sont simplement présentés comme des fonctions explicites du temps, le point P décrit une courbe paramétrée, définie par , avec . Cela revient à exploiter simultanément les équations:

  (4)

Il arrivera fréquemment que, pour des raisons d'opportunité, nous souhaitions changer de système de coordonnées généralisées, et utiliser un autre ensemble plus compatible avec les spécificités du problème envisagé. Nous substituerons alors au jeu des  un nouveau jeu de coordonnées . Il est alors évident que nous devrons, avant toute chose, nous doter des relations de dépendance existant entre les deux ensembles de coordonnées (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

  (5)

Les fonctions  seront maintenant supposées définies, continues, de classe (pour travailler avec l'accélération) par rapport aux  et devront conduire à un jacobien différent de zéro (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). 

Dans ces conditions, à chaque point  de l'espace des configurations des x, noté , correspondra un point  de l'espace de configuration des , noté . Nous avons ainsi effectué une transformation ponctuelle, autrement dit une application de l'espace sur lui-même.

Pour étudier des milieux continus (concept radicalement différent du point matériel), nous aurons cependant deux approches différentes :

1.  Soit nous attribuons aux particules du milieu les lois de la mécanique (dynamique des corps en mouvement) ce qui implique un traitement statistique pour en établir une dynamique pour l'ensemble des particules (cette méthode est pratiquée en théorie cinétique des fluides ou encore en mécanique statistique - c'est également une approche dite "réductionniste").

2. Soit nous examinons le mouvement d'ensemble d'un milieu composé par un très grand nombre de particules et nous le considérons comme un milieu continu. Ce concept de "milieu continu" est acceptable pour autant que le volume infinitésimal pris autour d'un point quelconque du fluide soit suffisant pour encore contenir un très grand nombre de particules.

Remarque: Par "volume infinitésimal", nous sous-entendons plus précisément un volume suffisamment petit par rapport au volume continu étudié mais suffisamment important par rapport aux distances intermoléculaires. Ce sera donc un volume élémentaire contenant un grand nombre de particules bien qu'il soit mécaniquement considéré comme ponctuel.

Pour décrire le mouvement d'un milieu continu, il y a deux méthodes :

1. Méthode de Lagrange :

Le mouvement du milieu est décrit par une formulation Lagrangienne consistant donc à le caractériser en se donnant un système d'équations au sens newtonien :

  (6)

C'est un système d'équations dans lequel  sont les coordonnées cartésiennes d'une particule du milieu continu à l'instant initial . En éliminant le temps, nous obtenons l'équation de la trajectoire de la particule. Par dérivations, nous avons alors la vitesse et l'accélération de la particule.

2. Méthode d' Euler :

Au lieu de suivre le parcours d'un point P, nous portons notre attention sur l'évolution des caractéristiques physiques en un point donné du fluide. Si  (une propriété parmi tant d'autres) est la vitesse en un point P au temps t, nous avons:

    (7)

Dans un référentiel cartésien orthonormé, les composantes sont:

  (8)

où nous avons bien évidemment:

  et    (9)

Lorsque nous effectuons un modèle basé sur la méthode d'Euler, nous parlons fréquemment de "système Eulérien". Nous en verrons un premier exemple en mécanique classique lorsque nous formulerons la première loi de Newton pour un point matériel et pour un milieu continu.

PRINCIPE VARIATIONNEL

Le "principe variationnel" n'est donc que la forme mathématique contemporaine du principe de moindre action qui est, comme nous en avons déjà fait mention, à la base du formalisme lagrangien (qui est donc un cadre théorique de la plus haute importance dans les recherches actuelles en physique théorique, et contient la totalité de nos connaissances actuelles en physique).

Rappelons que selon l'énoncé du principe variationnel nous devons trouver dans tout phénomène physique, une certaine quantité qui est naturellement optimisée (minimisée ou maximisée) et qui décrit toutes les variables du système étudié et ainsi son issue.

Remarque: Si aucune action extérieure n'intervient dans l'évolution du système, nous parlons alors de "système libre".

Voici la démarche que nous allons suivre, une fois cette démarche présentée, nous nous attquerons à sa formalisation mathématique. Les propositions (les idées) sont les suivante :

P1. Nous supposons donc le principe variationnel et le principe de conservation de l'énergie comme justes.

P2. L'énergie totale d'un système fermé est constante et constituée de la sommation de l'énergie cinétique et l'énergie potentielle (si nous ne considérons que l'énergie cinétique, alors le système est dit "système libre", si les deux énergies sont considérées, nous disons alors que le système est un "système généralisé").

P3. Nous définissons une fonction mathématique (dont les variables sont les coordonnées généralisées) appelée "Lagrangien" qui est donnée par la différence entre les deux énergies précitées.

P4. Sur l'évolution d'un système entre deux états, nous cherchons les propriétés de la fonction (du langrangien) qui donne la minimisation de la variation de la différence des deux énergies (rappelez-vous que le principe variationnel s'appelle aussi principe d'économie et ce n'est pas pour rien) sur l'évolution temporelle ou métrique du système.

Enfin, une fois la propriété de cette fonction déterminée (propriété mise sous la forme que nous appelons "équation d'Euler-Lagrange") nous chercherons toutes les propriétés possibles autres qu'elle a afin d'avoir les outils nécessaires pour la physique théorique et vous allez voir cela marche terriblement bien...

Donc, pour mettre cela sous forme mathématique, nous commencons par poser qu'il existe une fonction réelle de 2n variables:

  (10)

que nous appellerons "Lagrangien généralisé" du système, dont l'intégrale satisfait à l'énonce suivant :

Dans un mouvement naturel partant d'un point  à l'instant , arrivant au point  à l'instant , l'intégrale suivante appelée "intégrale d'action" ou simplement "action":

  (11)

qui peut aussi être notée dans une écriture plus abrégée :

  (12)

doit être un extrêmum (en fait, "un minimum" ou "un maximum", puisque nous aurions pu tout aussi bien prendre -L au lieu de +L dans le choix de la définition du Lagrangien généralisé).

L'action S est ce que nous appelons communément en physique une "fonctionnelle". Quand une fonction a une variable prend un nombre - l'argument - en entrée et retourne un nombre, une fonctionnelle prend une fonction en entrée et retourne un nombre (scalaire). Alors qu'une fonction est usuellement définie par ses valeurs en un nombre infini de points, nous pouvons imaginer une fonctionnelle comme une fonction avec une infinité de variables.

ÉQUATION D'EULER-LAGRANGE

Le principe de moindre action énonce que (l'intégrale) S est extrêmale si:

    (13)

est la trajectoire naturelle effectivement suivie par le système physique. 

Considérons alors une trajectoire très voisine à la précédente, que nous noterons:

  (14)

Remarque: Nous avons omis maintenant l'écriture des arguments t des fonctions du temps afin d'alléger les écritures.

Si est bien l'évolution d'un système évoluant selon le principe de moindre action, alors l'action donné par la variation :

  (15)

est nulle pour et  tendant vers zéro (sous-entendu que tout système physique revient à son état initial).

Ce qui nous amène à écrire :

  (16)

Ce qui nous permet de justifier la dénomination de "principe variationnel" :

  (17)

Ce principe stipule donc que la trajectoire d'une particule (ou d'un système plus général) s'obtient en demandant qu'une certaine fonctionnelle S appelée "action" soit stationnaire par rapport à une variation de la trajectoire. En d'autres termes, si nous effectuons une variation infiniment petite de la trajectoire , la variation doit être nulle. Pour un système mécanique simple, l'action est alors évidemment par le principe de conservation de l'énergie égale à l'intégrale sur la trajectoire de (par définition du lagrangien) de la différence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.

Dès lors, dans une théorie pour laquelle les forces dérivent d'un potentiel V, nous sommes naturellement amenés à définir le "Lagrangien" par la relation (il faudra s'en souvenir !) :

  (18)

où T et V sont la notation traditionnelle dans le formalisme Lagrangien de l'énergie cinétique et de l'énergie potentiel données par :

 et    (19)

Remarque: Pour l'étude de la relativité générale, nous ne chercherons pas à ce que la variation de de la différence des énergies soit minimale tel que c'est le cas pour les systèmes mécaniques, mais la variation de la longueur d'un arc ds (non dépendant du temps contrairement à l'exemple précédent) dans un espace quelconque lors d'une trajectoire d'un système libre. Ce qui nous aménera à écrire simplement (rappelez-vous en aussi car ce sera très important) :

  (20)

Pour revenir à notre application du principe variationnel dans le cas du lagrangien généralisé, nous pouvons alors écrire la différentielle totale exacte (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) de dL et nous obtenons alors la relation :

  (21)

Intégrons par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) le deuxième terme de la somme de l'intégrale précédente :

  (22)

La premier terme de la dernière égalité est nul puisque 

  (23)

Effectivement, par définition, les ont exactement le même ordre de grandeur.

L'expression de l'intégrale de moindre action peut finalement s'écrire :

  (24)

Mais les et tendent vers 0 d'une infinité de manières différentes et nous devons cependant avoir néanmoins . Cela veut dire alors que chaque terme sommé de l'intégrale peut être pris indépendamment et doit satisfaire :

  (25)

Mais comme les fonctions et  peuvent toujours tendre vers zéro de multiple façon, et que cette intégrale doit être quand même nulle, nous en déduisons que ce sont les intégrandes qui sont nuls :

  (26)

Ces n équations, satisfaites par le lagrangien généralisé du système pour le mouvement effectivement suivi, sont appelées "équations d'Euler-Lagrange", ou plus brièvement (mais plus rarement) "équations de Lagrange". Ce sont, comme nous allons le voir, les équations du mouvement du système: résolues, elles donnent l'évolution effective du système dans le temps.

    (27)

Remarque: C'est en étudiant la physique (les chapitres suivants du site) que l'on comprend mieux les applications de cette équation (obtenue quasiment que par des développement purement mathéamtique !!!) et qu'il devient alors possible de comprendre sa signification. A notre niveau du discours, il est inutile de dire quoi que ce soit. Il faut faire de la physique, et encore de la physique pour la comprendre et la voir apparaître.

Donc dans l'approche lagrangienne, nous apprenons à raisonner à partir des concepts d'énergie potentielle et cinétique, au lieu des concepts de force. Les deux approches sont évidemment équivalentes physiquement, mais les énergies n'étant pas des quantités vectorielles, elles sont conceptuellement plus faciles à utiliser dans une vaste gamme de problèmes. En physique quantique par exemple, la notion de force n'a aucune signification mais les notions d'énergie demeurent valables. C'est une raison de plus pour se familiariser avec leur utilisation. De plus, la force au sens de Newton est une action instantanée à distance. En relativité, une telle chose est impossible. La notion de force est donc une création purement classique et macroscopique contrairement à notre intuition, son intérêt est limité.

Exemple d'application (les autres exemples seront vus pendant notre étude des lois de Newton, de l'électrodynamique, de la relativité restreinte, de la relativit générale, de la physique quantique des champs, etc..):

Dans un premier temps, posons sous une forme mathématique conventionnelle l'équation d'Euler-Lagrange (la notation des coordonnées généralisées n'est pas identique en mathématiques à celle de la physique...):

  (28)

Prenons un exemple mathématique pratique simple mondialement connu et très important (nous réutiliserons les développements effectués ici pour l'étude du pendule de Huygens).

L'énoncé du problème est le suivant : déterminer quel est le plus court chemin entre deux points d'un plan (nous devinons que c'est la droite mais il faut le démontrer!).

Ce problème consiste à trouver la courbe paramétrée la plus courte  qui relie deux points :

  (29)

Ainsi la longeur infinitésimale par application de pythagore est :

  (30)

Ainsi, la longueur de la courbe paramétrée est donnée par :

  (31)

Il s'agit d'une relation que nous retrouverons souvent en physique et en mathématiques!!

Ainsi, ce problème, dont la solution géométrique est très simple, se formule sous forme de problème de calcul variationnel de la manière suivante :

  (32)

Ecrivons l'équation d'Euler-Lagrange que la solution de ce problème, si elle existe, doit vérifier.

Nous avons :

  (33)

L'équation d'Euler-Lagrange dans ce cas particulier devient alors :

  (34)

Donc :

  (35)

où C est une constante d'intégration (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). Cette dernière égalité implique que :

  (36)

En revenant aux notations utilisées au début :

  (37)

donc nous avons par intégration :

  (38)

ce qui est bien l'équation d'une droite. Autrement écrite :

  (39)

THÉORÈME DU CALCUL VARIATIONNEL

Le théorème du calcul variationnel consiste à montrer qu'en considérant f une fonction continue sur  à valeurs réelles et H l'ensemble des fonctions continues sur  indéfiniment dérivables sur et qui s'annulent en a et b alors pour toute fonction  :

  (40)

f est nulle sur .

Pourquoi s'intéresser à ce théorème se demanderont certains? Parce que nous le rencontrerons très souvent lors de l'application du principe variationnel ayant une configuration de ce type. Effectivement, rappelons que le principe variationnel amène à avoir :

  (41)

et l'expression intégrée est rarement une fonction simple comme le lecteur s'en apercevera au cours de sa lecture des différentes chapitres du site. Il est donc important de connaître une propriété qui simplifie parfois l'analyse du problème.

Remarque: Certains penseront que le cas avec  avec  et  contredit l'énoncé du théorème! Au fait ce n'est pas vraiment ça… le théorème se doit d'être valable pour  et non juste pour l'exemple cité. D'où le fait que f devra bien être nul comme nous allons le démontrer.

Démonstration:

Pour simplifier nous prendrons le cas , . A quelques détails techniques près la preuve par l'absurde ci-dessous peut être adaptée au cas a, b quelconques.

Supposons que f ne soit pas nulle sur . Alors il existe  tel que . Nous pouvons supposer  (même raisonnement si ).

Par l'hypothèse initiale de continuité et de non nullité de f il existe alors un petit intervalle autour de  sur lequel f  est strictement positive. C'est-à-dire, qu'il existe  tel que  et .

Considérons à présent la fonction  définie par

  (42)

Nous vérifions assez facilement que  est continue (positive) sur  et indéfiniment dérivable sur  (cf. chapitres d'Analyse fonctionnelle et de Calcul Différentiel Et Intégral).

De plus, . Et donc, . Voici une représentation graphique de  :

  (43)

A partir de  nous voulons obtenir une fonction continue sur , indéfiniment dérivable sur  positive sur et nulle en dehors de  afin de montrer l'absurde de l'hypothèse de non nullité de f pour que le théorème soit vérifié (rappelons que nous sommes en train de faire un démonstration par l'absurde!) .

Pour ceci, il suffit de centrer  en  et de la contracter.

La fonction  définie par :

  (44)

répond aux critères exigés. De plus,  et donc, .

Ainsi, la fonction  sera continue sur  positive sur  et nulle ailleurs.

Nous avons :

  (45)

Or, si une fonction  est continue et positive et :

  (46)

cela entraîne forcément (nous supposerons cela comme trop intuitif pour avoir besoin d'être démontré)  sur .

Par conséquent  sur  or  selon notre hypothèse absurde initiale, ce qui est contradictoire.

L'hypothèse de départ est donc bien fausse et f doit être nulle sur

C.Q.F.D.

FORMALISME CANONIQUE

Le formalisme canonique n'introduit pas une nouvelle physique mais propose une nouvelle gamme d'outils pour étudier les phénomènes physiques. Son élément central, le "Hamiltonien", joue un grand rôle en physique quantique. 

Comme dans le formalisme de Lagrange nous travaillerons avec des quantités comme l'énergie, T et V plutôt qu'avec des quantités vectorielles comme la force de Newton.

Dans le formalisme de Lagrange, la description d'un système mécanique à n degrés de liberté décrits par les coordonnées générales  indépendantes (non contraintes) nous mêne à n équations d'Euler-Lagrange:

  (47)

qui sont des équations différentielles du 2ème ordre.

Dans le formalisme canonique (ou de Hamilton), un système mécanique à n degrés de liberté toujours décrits par des  indépendants nous ménera à 2n équations du premier ordre (plus simple à résoudre).

Chez Lagrange nous comparons principalement des trajectoires et par conséquent les  et les  sont tous indépendants. Chez Hamilton nous devrons d'abord apprendre à définir les "moments généralisés", notés  , pour remplacer les coordonnées généralisées  et qui sont aussi tous indépendants.

Remarque: L'origine des moments conjugués sera triviale dès que nous aurons vu un premier exemple concret.

TRANSFORMATION DE LEGENDRE

Cette transformation est souvent utilisée en thermodynamique où elle permet de relier entre eux les différents potentiels thermodynamiques. En mécanique ou en géométrie elle permet de définir le hamiltonien à partir du lagrangien et inversement. Nous en donnons une description simplifiée et suffisante.

Soit une fonction f(u,v) où u,v sont les deux variables indépendantes dont dépend f. 

Définissons:

  (48)

La transformation de legendre permet de définir une fonction  qui peut remplacer :

  (49)

Soit maintenant la différentielle totale de f (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

  (50)

De la définition de g nous calculons:

  (51)

et nous avons donc:

  (52)

HAMILTONIEN

Soit un langrangien  que nous traiterons comme la fonction f ci-dessus avec les  jouant le rôle de u et les  le rôle de v. A la place de w, nous définissons les moments généralisés également appelés "moments canoniques":

  (53)

avec .

Avant de continuer voyons ce que nous permet de faire cette définition :

Nous définissons donc, en analogie avec g, une fonction des  et des  que nous noterons :

  (54)

Attention! La relation obtenue :

  (55)

appelée "fonction de Hamilton" ou "Hamiltonien" est plus qu'importante (comme tout le reste d'ailleurs). Nous la retrouverons, entre autres, en physique quantique relativiste ou encore en physique quantique des champs. Par ailleurs, un très joli exemple de tout ce que nous avons vu maintenant est donné dans le chapitre de Mécanique Relativiste ou nous calculons le lagrangien et hamiltonien d'une particule libre. Les résultats sont assez pertinents et leur utilité et justesse en électrodynamique plus que étonnante.

Exemple:

Une autre application importante et très connue de la mécanique analytique est le calcul des surfaces minimales (physique et architecture). Si nous nous intéressons à la détermination d'une telle surface en imposant qu'elle soit une surface de révolution, nous allons voir que nous trouvons une caténoïde (soit la forme prend un film de savon ente deux anneaux).

Nous nous donnons les rayons  et  de deux cercles et l'écartement l entre les deux cercles. Nous cherchons une fonction y de classe  telle que:

 et   (56)

et que la surface de révolution sous forme paramétrique:

  (57)

possède une surface minimale.

Nous savons que la surface d'un volume de révolution peut s'écrire (cf. chapitre Formes Géométriques):

  (58)

Soit en faisant varier la fonction:

  (59)

Puisque  l'intégration par parties du deuxième terme donne:

  (60)

Comme les bornes d'intégration sont fixes, le premier terme sera nul. Il reste alors:

  (61)

et donc:

  (62)

Le minimum cherché correspond à  quelque soit  ce qui impose la condition:

  (63)

nous retrouvons l'équation d'Euler-Lagrange.

Cette équation peut aussi s'écrire sous une autre forme. En introduisant le moment canonique pour simplifier:

  (64)

Nous avons alors immédiatement:

  (65)

Nous obtenons alors:

  (66)

Ainsi, en posant l'analogie vue plus haut (méthode de Hamilton):

  (67)

nous aboutissons à:

  (68)

Ainsi en se rappelant qu'au début nous avions:

  (69)

Nous aboutissons à:

  (70)

Ce que nous pouvons aussi noter (car la constante a un signe indéterminé):

  (71)

Nous avons alors:

  (72)

Nous avons déjà intégré ce type d'équation différentielle en détails dans le chapitre de Génie Civil dans l'étude de la chainette. Le résultat est:

  (73)

la surface de révolution de cette courbe étant une caténoïde:

  (74) Source: Wikipédia

Ce qui est un exemple remarquable qui montre l'intime relation entre la mathématique et la physique!

Cette figure peut-être obtenue avec Maple comme suit:

y:=cosh(x);
plot3d([x,y*cos(phi),y*sin(phi)],x=0..2,phi=0..2*Pi)

Maintenant, si L dépend du temps (ce qui est quand même assez souvent le cas..) nous avons comme différentielle totale :

  (75)

nous calculons aussi la différentielle totale de et y substituons le résultat obtenu précédemment :

  (76)

ce qui montre bien que est fonction des  (et du temps). 

Nous pouvons donc aussi écrire pour sa différentielle totale :

  (77)

et comme les  et  sont indépendants nous identifions, en comparant nos deux expressions que:

  (78)

Ces relations sont elles extrêmement importantes car nous les retrouverons en magnétostatique, en physique quantique relativiste et aussi en physique quantique des champs sous une forme un peu plus barbare (mais magnifique aussi...).

Considérons maintenant le deuxième terme du premier membre de l'équation d'Euler-Lagrange. Nous avons : 

  (79)

et ainsi, nous obtenons les 2n équations ci-dessous :

  (80)

Ces 2n équations sont appelées "équations canoniques du mouvement" et sont des équations différentielles du premier ordre.

Remarque: L'apparition du signe moins " - " entre les équations pour les  et celles pour leurs moments conjugés, s'appelle une "symétrie symplectique".

De :

  (81)

nous pouvons, sur une trajectoire qui obéit aux équations canoniques, calculer:

  (82)

Remarque: Si H ne dépend pas du temps nous avons alors , alors H (ainsi que L), sont une "constante du mouvement".

Un exemple s'avère indispensable à ce niveau d'avancement de l'étude du formalisme Lagrangien. Nous allons nous restreindre à un cas particulier d'une particule soumis à une force en une dimension. Mais bien que cet exemple et les développements qui y sont liés soient simples nous retrouverons les résultats obtenus ici dans bien d'autres parties du site. Il est donc important de bien l'étudier et de bien le comprendre (ce qui nécessite malheureusement aussi que le contenu du chapitre de mécanique classique soit connu par le lecteur).

Exemple:

Soit une particule de masse m se déplaçant en une dimension (disons x) et soumise à une force dérivant d'un potentiel tel que:

  (83)

Nous savons que son lagrangien est:

  (84)

Nous n'aurons qu'un seul moment (la quantité de mouvement), noté p, conjugué à x et défini par:

  (85)

équation que nous pouvons (que nous devons !) inverser (de la définition de la quantité de mouvement) :

  (86)

Nous pouvons noter en ce point le moment p correspond (ô hasard !!) à la composante x de la définition élémentaire (ce qui ne sera pas toujours aussi trivialement le cas). 

Selon la définition de l'Hamiltonien il vient alors :

  (87)

que nous écrivons souvent sous la forme :

  (88)

où T est donc l'énergie cinétique exprimée en fonction des moments.

CROCHETS DE POISSON

Le crochet de Poisson  est la façon standard de noter une certaine opération qui implique les quantités  et  ainsi que l'ensemble des variables canoniques définie par :

  (89)

qui exprime la manière de parcourir un champ (le crochet étant nul si les deux types de parcours sont égaux).

de cette définition nous pouvons déduire certaines propriétés relativement triviales :

P1.

Démonstration:

  (90)

C.Q.F.D.

P2.

Démonstration:

  (91)

C.Q.F.D.

P3.

Démonstration:

  (92)

C.Q.F.D.

P4.

Démonstration (nous allons simplifier la notation pour condenser…):

  (93)

Bon et ici, histoire de pas avoir un truc illisible, long et ennuyeux on va démontrer la propriété pour  et nous supposerons (bien évidemment) qu'elle est valable pour tout n :

  (94)

Nous avons en plus (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) sous certaines conditions la propriété . Dès lors l'ensemble des termes s'annulent (c'est de l'algèbre élémentaire) pour avoir finalement :

  (95)

où la dernière expression est appelée "identité de Jacobi".

C.Q.F.D.

Au delà d'une simple notation, le calcul des crochets de Poisson est assez facile et permet d'obtenir nombre de résultats intéressants. D'autre part, ils sont intimement reliés aux "commutateurs" de la physique quantique que nous étudierons dans le détail dans le chapitre concerné.

Considérons maintenant une fonction quelconque dont la dérivée totale par rapport au temps le long d'une trajectoire s'écrit (vous y reconnaîtrez quelque chose que vous connaissez déjà... ) :

  (96)

Si cette trajectoire est une trajectoire physique, elle obéit aux équations canoniques de l'hamiltonien H du système:

  (97)

et alors:

  (98)

En particulier, cette équation permet un calcul facile des constantes du mouvement, . En effet, le calcul de  est immédiat et le calcul de  un assez simple exercice.

Il existe une famille de résultats intéressants des crochets de Poisson. Parmi les plus importants, calculons certains de ces crochets entre des variables canoniques, coordonnées et moments :

  (99)

puisque par définition, les coordonnées et moments ne sont pas directement dépendants :

  (100)

d'où :

  (101)

et de manière identique :

  (102)

Mais :

  (103)

où rappelons-le,  est le symbole de Kronecker défini par :

  (104)

Attention !  n'est pas commutatif. Effectivement, le lecteur contrôlera facilement que :

  (105)

Ce qui implique un résultat assez général que nous retrouverons en physique quantique  :

  (106)

TRANSFORMATIONS CANONIQUES

Nous disons des  que ce sont des "variables canoniques généralisées". Ce n'est pas un euphémisme puisqu'il n'y a pratiquement aucune limite à ce qu'elle peuvent représenter physiquement.

Puisque tel est le cas, il doit exister des transformations entre ces différents choix. Nous noterons  les nouvelles variables canoniques obtenues suite à une telle transformation.

Nous ne sommes pas surpris par contre de constater que ces transformations sont soumises à des conditions assez sévères. En effet, les  sont généralisés et obéissent à :

  (107)

et les équations canoniques :

  (108)

sont invariantes de forme. Ainsi, à la suite d'une transformation des  vers les  et définissant un nouvel hamiltonien que nous noterons  nous devrons avoir :

  (109)

et les équations canoniques :

  (110)

Strictement, les équations de transformation peuvent s'écrire :

  (111)

avec et doivent pouvoir s'inverser puisque la physique reste indépendante des variables que nous employons pour la décrire, donc nous pouvons écrire les transformations inverses :

  (112)

avec . Les  forment 4n variables mais il est évident que seules 2n d'entre elles sont indépendantes.

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