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  Mécanique Classique
 

Avant d'aborder l'étude des corps solides en mouvement, il peut sembler être dans l'ordre logique des choses de définir et d'étudier les propriétés relativement à leur état statique.

Définitions:

D1. Un phénomène est dit "statique" ou "en équilibre" lorsque il ne subit aucune dynamique (accélération ou in extenso : force), du moins apparente. Nous pouvons considérer un équilibre comme un état statique, bien qu’il ne soit qu’apparent car il peut être le résultat de deux dynamiques opposées qui se compensent ! Ainsi, les grandeurs qui décrivent un phénomène statique sont des constantes, les valeurs concrètes de ces grandeurs sont calculables.

De manière plus technique cette définition est érigée au rang de principe appelé le "principe fondamental de la statique" qui énonce que pour qu'un système soit en équilibre, il faut que la résultante générale et le moment résultant des forces extérieures soit équivalent à zéro par rapport à son centre de masse ou de gravité. (la condition est suffisante pour les problèmes de mécanique qui traitent les solides indéformables).

D2. La "statique" est l'étude des conditions d'équilibre d'un point matériel soumis à des forces en équilibre

D3. Toute cause capable d'accélérer (concept défini plus loin) ou de déformer un corps est appelé "force" (concept introduit rigoureusement par Newton et sur lequel nous reviendrons en détail plus loin lors de l'énoncé des trois lois de Newton).

Remarque: En mécanique classique nous ne nous posons naturellement pas la question d’une transformation du temps. Les changements envisagés concernent la grandeur position et ses dérivées. En effet, en mécanique classique, nous postulons le "temps de Newton" : le temps s’écoule de façon identique d’un référentiel à l’autre.

D4. Un système matériel S (ensemble des points matériels ) est dit "solide indéformable" (rigide), ou simplement "solide", si les distances mutuelles des points matériel le constituant ne varient pas au cours du temps :

  (1)

Lois de Newton

Les trois lois de Newton sont à la base de la mécanique classique. Elles sont à posteriori indémontrables et non formalisables car elles énoncent des observations et découlent donc de notre expérience quotidienne.

Cependant, les développements de la physique moderne et qui se basent sur les conséquences de ces trois lois sont en tel accord avec les conditions théoriques qu'impose le principe de moindre action et les expériences y relatives, que leur validité pourrait ne plus être mise en doute (...)

Première loi (LOI d'inertie)

Définition: Tout corps ponctuel ou étendu persévère dans sa forme (géométrie) ou son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme (décrit par le centre de masse), sauf si des "forces imprimées" le contraignent d'en changer.

Corollaire : Tout corps au repos est soit imprimé par un nombre de forces nullesl, soit la somme des forces imprimées est nulle (principe fondamental de la statique).

Remarque: Nous avons démontré ce corollaire lors de notre étude du théorème de Noether dans le chapitre traitant des principes de la physique.

Après la virgule de la première phrase, jaillit en pleine lumière le mot "force". Questionnons donc ce mot : le langage courant regorge de significations différentes: la force du poignet, la force de l'âme… Aussi, la force peut-elle être aveugle ou majeure, selon le cas… Quoi qu'il en soit, elle a le pouvoir de changer le cours (le mouvement) et la forme (géométrie) des choses. Sans ignorer ce halo qui entoure le mot et qui a embarrassé plus d'un physicien avant lui, Newton donne à la force une signification très précise, qui se démarque de l'idée intuitive d'un effort physique.

Propriétés :

P1. La force est un grandeur vectorielle

P2. L'effet d'une force, ne change pas si nous faisons glisser la force sur sa droite d'action.

Une force est donc une grandeur physique qui se manifeste par ses effets :

E1. Effet dynamique : une force est une cause capable de produire ou de modifier le mouvement ou la forme (géométrie) d'un corps

E2. Effet statique : une force est une cause capable de produire une déformation d'un corps.

Toute force peut être représentée par un vecteur dont les quatre propriétés sont :

P1. Direction : droite selon laquelle l'action s'exerce

P2. Sens : sens selon lequel l'action s'exerce sur la droite

P3. Point d'application : point où l'action s'exerce sur le corps

P4. Intensité : la valeur (norme) de la force

Il est possible de ranger la plupart des forces par famille telles que :

F1. Les "forces de réaction" : chaque corps exerce une force sur un autre corps qui est en contact avec lui. Par exemple, si un objet repose sur une table, cette table exerce une force égale et opposée sur l'objet (afin que ce dernier ne s'enfons pas dans la table - ce sont des mécanismes quantiques qui sont à l'origine de cette force de réaction). Cette force est toujours à la verticale du point de contact.

F2. Les "forces de frottement" : la force de frottement existe lorsque deux corps sont en contact. Elle s'oppose toujours au mouvement. La force de frottement qui s'oppose au mouvement n'a pas seulement un effet négatif, elle est indispensable pour assurer le contact entre deux surfaces (par exemple : contact des pneus sur la route, freinage, …).

F3. Les "forces de tension" exercées sur un corps : c'est une force qui tire sur un élément d'un corps comme par exemple, la tension exercée par un fil, par un ressort (cf. chapitre de Génie Mécanique).

F4. Les "forces à distance" : ce sont les forces qui agissent par l'intermédiaire de champs vectoriels comme par exemple le champ électrique, le champ magnétique, le champ gravitationnel. Ce dernier a comme particularité s'il est isotrope (nous le démontrerons lors de notre étude de la statique des forces) de pouvoir se réduire à l'étude du centre de gravité du corps.

Deuxième loi (PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE)

Définition: Le changement de mouvement est proportionnel à la "force motrice imprimée", et s'effectue suivant la droite par laquelle cette force est imprimée.

Une force, nous le savons, est dans le langage de Newton ce qui provoque le "changement du mouvement" et pas autre chose… Mais, supplément au programme, les mots "changement du mouvement" de cette loi cachent une signification mathématique, différente de l'intuition "changement de vitesse". Pour Newton, nous avons vu qu'un corps au repos était caractérisé par sa quantité de matière, sa masse. S'inspirant de certains prédécesseurs, Newton pose qu'un corps en mouvement "transporte une certaine quantité", appelée sans fioritures : la "quantité de mouvement". C'est en fait cette quantité qui, sous le simple mot "mouvement" est contenue dans l'énoncé de la seconde loi. La quantité d'un mouvement est la mesure que nous tirons à la fois de sa vitesse (concept que nous définirons plus loin lors de notre étude de la cinématique) et de sa quantité de matière, autrement dit, par définition, le produit de sa masse par sa vitesse.

  (2)

En utilisant les symboles mathématiques modernes, la première partie de cette deuxième loi peut alors se reformuler :

La force est égale à la variation en fonction du temps de la quantité de mouvement, soit dans un cadre non relativiste :

  (3)

Cette relation est donc valable tant que la vitesse est très inférieure à celle de la lumière comme nous le verrons en lors de notre étude de la mécanique relativiste bien plus tard, car Newton supposa que la masse ne variait pas (ou ne semblait pas varier...) en fonction de la vitesse. Ainsi, la "relation fondamentale de la dynamique" (R.F.D.) est donnée par :

  (4)

et peut s'énoncer ainsi : Soit un corps de masse m constante, l'accélération subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse m.

Rappel : La "masse" est une mesure pour la quantité de matière contenue dans le corps (cf. chapitre sur les Principes De La Mécanique). La masse est une constante indépendante de l'endroit où elle se trouve (unité S.I. kilogramme : [kg]). Le "poids", correspond lui à la force (unité S.I. newton : N) qu'un objet exerce sur une autre par l'intermédiaire d'un champ gravitationnel. Il dépend de l'endroit où nous nous trouvons (voir ci-dessous l'équation de la force gravitationnelle de Newton).

Nous verrons (démontrerons) que dans le cadre d'un corps tombant dans un champ gravitationnel à symétrie sphérique, nous avons :

  (5)

dans le cadre de notre vieille Terre, nous avons pour habitude de poser: 

  (6)

Dans le système Eulérien et en coordonnées cartésiennes, une grandeur donné  d'un milieu continu aura une distribution en fonction des quatre variables indépendantes x, y, z, t. Pour de petites variations dx, dy, dz et dt, la variation totale de  s'exprimant par (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

  (7)

En suivant une particule dans son mouvement, nous observons pendant un temps dt des déplacements dx, dy, dz. Nous pouvons donc exprimer à partir de l'expression précédente la variation totale de  pendant le temps dt. Nous obtenons ainsi l'expression d'une dérivée très importante en physique théorique dite "dérivée particulaire":

  (8)

En mécanique nous allons particulièrement travailler avec le champ gravitationnel Newtonien. Dès lors, la relation reliant la force à l'accélération prend une forme plus générale:

Soit la dérivée particulaire de la vitesse (pour les trois coordonnées spatiales):

  (9)

Ce qui s'écrit aussi :

  (10)

Ce qui peut s'écrire aussi sous forme condensée:

  (11)

La deuxième loi de Newton s'écrit alors:

  (12)

Cette formulation de la deuxième loi de Newton est de la plus haute importance en physique. Elle rend compte  explicitement de la force subie par un point matériel dans un champ vectoriel en fonction de la vitesse et non plus de la position. Nous retrouverons cette formulation en mécanique des milieux continus dans notre étude des fluides et plasmas, en électromagnétisme ainsi qu'en Relativité Générale.

Troisième loi (loi d'action et réaction)

Énoncé : la réaction d'un corps étendu ou ponctuel solide est toujours de sens opposée et d'intensité et de direction égale à la force imprimée. 

Cette troisième loi est plus connue sous le nom de : "principe d'action/réaction" et découle de la première loi de Newton selon la raisonnement mathématique lors de notre étude du théorème de Noether dans le chapitre traitant des principes de la physique.

Nous pouvons également dire encore que deux corps solides ponctuels ou étendus en contact exercent l'un sur l'autre toujours des forces opposées en sens mais égales en intensité et en direction

CONDITIONS D'ÉQUILIBRE

Pour qu'un point matériel, soumis à des forces  soit en équilibre statique, il faut que la résultante de ces forces soit nulle. Soit :

  (13)

Définitions: 

D1. Un solide rigide est un ensemble de points rigidement liés.

D2. Si les lignes d'action de toutes les forces agissant sur un corps sont dans un même plan, le système de forces est dit "système coplanaire".

Une observation plus approfondie fait apparaître la force comme le résultat macroscopique de phénomènes microscopiques complexes, à savoir des interactions à distance entre particules. Ces interactions sont au nombre de quatre et je désire nullement en parler maintenant car elles font appel à des outils mathématiques qui sont hors contexte dans cette section du site.

Remarque: La relation précédente, qui définit donc tout corps à l'équilibre, ouvre l'étude a de très nombreux cas pratiques et constitue à elle seule un immense chapitre d'applications pratiques que nous appelons la "statique des forces" et que nous développerons après avoir introduit le concept de moment de force.

CENTRE DE MASSE ET MASSE RÉDUITE

Il s'agit du cas particulier du barycentre avec toutes ses propriétés que nous avons déjà largement développé dans le chapitre de géométrie euclidienne (donc nous vous conseillons fortement de vous y référer) mais rapporté à la physique :

Soit un solide formé de n points de masse  et repérés par leurs vecteurs de position respectifs. 

Définition: Nous appelons "centre de masse" (ou "centre d'inertie" s'il y a égalité stricte entre masse grave et masse inerte comme nous en avons fait mention dans le chapitre traitant des principes de la mécanique) un point G auquel nous pouvons rattacher tout la masse du système (et donc son analyse!!) et tel que, l'origine étant arbitrairement choisie il soit donné par (nous démontrerons cette relation lors de l'étude de la statique des forces) :

  (14)

De façon identique, nous définissons la masse réduite du système par la relation :

  (15)

Si nous considérons le solide comme continu (vrai seulement à l'échelle macroscopique en première approximation) alors il vient :

  (16)

Intégrales étendues au volume du solide en entier.

De plus, si le solide est homogène (cas particulier), de masse volumique , alors , dV étant l'élément de volume. L'équation peur alors s'écrire (la notation de la triple intégrale est réduite à une seule par souci de condensation d'écriture):

  (17)

Soit en composantes :

  (18)

Propriétés :

P1. Si le solide possède un axe de symétrie, alors G est sur cet axe

P2. Si le solide possède un plan de symétrie, alors G est sur ce plan

P3. Si le solide possède plusieurs axes de symétrie, alors G est à leur intersection

Remarques:

R1. Le centre de masse G peut se trouver hors du solide (exemple: un tabouret, un boomerang, etc.)

R2. Il ne faut pas confondre "centre masse" et "centre de gravité" (dit également "barycentre" - voir le chapitre traint de la géométrie euclidienne) qui se confondent si et seulement si la masse du corps étudié est homogène.

Il n'est pas évident de calculer le centre de masse d'un corps donné relativement simple. Ce n'est pas que les outils mathématiques à manipuler soient complexes loin de là (simple intégrale, Pythagore et quelques multiplications et intégrations par parties) mais il faut aborder le problème d'une façon élégante et si nous n'avons pas tout de suite la bonne approche nous nous casserons très vide les dents. Nous conseillons donc aux professeurs qui abordent ce sujet et les exercices y relatifs, de les faire avec les élèves (donc en classe) mais en laissant ces derniers débattre de la façon dont le professeur doit attaquer le problème au tableau noir (cela marche très bien).

THÉORÈME DU CENTRE DE MASSE

Sous l'action des forces extérieures , agissant en chaque point du solide, chacun de ces points prend l'accélération correspondant à la force appliquée . En utilisant la loi de Newton (voir la définition de cette loi plus loin) pour chaque point et en sommant les effets nous aurons (dans un cas non relativiste) :

  (19)

en vertu de la position du centre de masse donnée par la relation :

     (20)

il vient si le référentiel est posé sur le centre de masse :

 où   (21)

soit:

  (22)

C'est le théorème du centre de masse, que nous pouvons énoncer ainsi:

Le centre de masse d'un solide se meut comme un point matériel de masse égale à celle du solide et auquel serait appliqué la somme des forces extérieures. Un exemple simple est celui d'une projectile explosif décrivant en absence de pesanteur une trajectoire courbe. Si le projectile explose et se fragmente, le centre de masse des éclats continue à décrire la trajectoire courbe qu'il avait entamée.

Remarque: Dans le cas particulier du solide (ensemble de points) soumis au champ de la pesanteur,  est le poids du solide et G s'appelle alors "centre de gravité" (d'où l'origine de cette appelation).

Reprenons l'équation :

    (23)

donnant la position du centre de masse. Sa vitesse vaut:

  (24)

en posant : 

  (25)

 est la quantité de mouvement du système, il vient:

  (26)

Cette relation montre que si la somme des forces extérieures est nulle alors:

  (27)

Donc la quantité de mouvement du système entier est conservée et le mouvement du centre de masse du système est inaltéré. Ceci justifie les remarques faites lors de l'étude de la conservation de la quantité de mouvement.

Dans l'étude des interactions entre particules, il est souvent commode d'utiliser un système de référence lié au centre de masse de l'ensemble des particules. Ce centre de masse étant au repos dans ce référentiel sa vitesse y est nulle ainsi que la quantité de mouvement totale, comme le montrent les équations ci-dessus. Cette propriété constitue le puissant avantage de cette description.

Remarque: En mécanique, l'usage du centre de masse (point matériel) est particulièrement aisé car le système de forces est régi seulement par la loi de Newton. Avec des particules électrisées (charges), il en va tout autrement. Les effets électromagnétiques sont dominants lors de leurs accélérations, ce qui induit des phénomènes ondulatoires interactifs nettement plus complexes. C'est la raison pour laquelle nous ne verrons jamais une étude sur ce site du "centre de charge" lorsque nous aborderons l'électrostatique dans la chapitre d'électrodynamique...

THÉORÈME DE GULDIN

Le théorème de Guldin permet dans certains cas, de simplifier le calcul du centre de masse de certains corps.

Premier théorème : Soit une plaque plane, homogène, d'épaisseur constante e, de masse volumique placé dans un plan cartésien xOy. Nous avons alors par rapport à l'axe y:

  (28)


  
(29)

Envisageons une rotation autour de l'axe x. Le volume décrit par un élément de surface dS lors de cette rotation vaut :

  (30)

et, par conséquent, le volume total décrit par la surface S complète est :

  (31)

Ainsi, en procédant de même pour , nous obtenons finalement :

  (32)

Deuxième théorème :soit une tige courbe, homogène, de longueur l, de section constante, de masse linéique . Nous avons :


  
(33)

Envisageons une rotation autour de l'axe x. La surface décrite par un élément de longueur dl lors de cette rotations vaut :

  (34)

et, par conséquent, la surface totale décrit par la tige de longueur L est :

  (35)

Ainsi, en procédant de même pour , nous obtenons finalement :

  (36)

CINÉMATIQUE

Un phénomène est évolutif si, en l'observant, nous constatons un glissement de la valeur concrète d’une ou plusieurs grandeurs. Ces grandeurs ne sont pas des constantes mais des variables. Une évolution implique qu’il y a un début, une infinité d’états intermédiaires et une fin. Un "état" est la description d’un instantané d’un phénomène évolutif (pas forcément au sens temporel du terme).

La relation fonctionnelle entre grandeurs pour un état donné peut être décrite par une équation. Pour un phénomène évolutif, il peut y avoir une infinité d’états que nous pouvons décrire par autant d’équations. Sous cette forme, cela n’a pas d’intérêt. Nous cherchons alors à trouver une équation unique qui met en relation les différentes grandeurs vérifiant tous les états que le phénomène évolutif considéré peut admettre.Par cette équation, nous pouvons ensuite calculer n’importe quel état du phénomène évolutif étudié : c’est "l’équation d’état" (notion tirée de la thermodynamique).

La "cinématique" est donc la partie de la mécanique qui traite des mouvements.

Position

Définition: La position d'un objet est défini par son vecteur position dans le cas particulier d'un espace tri-dimensionnel :

    (37)

or chaque coordonnée d'un objet en mouvement peut varie fonction du temps comme:

  (38)

Plutôt que cette notation un peu lourde en parenthèses… les physiciens notent fréquemment le vecteur position (ou vecteur d'espace) sous la forme d'un vecteur de 4 dimensions:

- 3 dimensions spatiales

- 1 dimension temporelle

et nous écrivons alors : 

    (39)

et nous appelons alors ce vecteur un "quadri-vecteur d'espace-temps" dont les composantes sont les coordonnées généralisées du système.

Vitesse

Définition: La vitesse, notée v, est par définition la distance parcourue par un objet pendant une certaine quantité de temps :

  (40)

Lorsqu'un corps est en mouvement uniforme rectiligne, c'est-à-dire qu'il parcourt une distance donnée selon une dimension  avec en un temps toujours égal, le rapport précédent est constant dans le temps:

  (41)

La vitesse moyenne arithmétique est définie comme étant le rapport de la distance parcourue entre un point de départ donné  à un instant  et un point d'arrivée  à un instant :

  (42)

Remarque: Il faut prendre garde lors de calculs de vitesses moyennes car il exsite plusieurs types de moyennes en mathématique... (cf. chapitre de Statistiques)!

Ceci représente donc une moyenne (car nous ne nous intéressons pas comment le chemin entre  et  a été parcouru)  mais nullement la vitesse instantanée du véhicule à un moment donné. 

Si nous désirons connaître la vitesse dite "vitesse instantanée" du véhicule en un point de sa trajectoire il faut faire passer le delta du temps  à un différentiel (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) tel que :

    (43)

avec  qui tend vers zéro.

Mathématiquement, nous notons cela correctement de la façon suivante:

    (44)

Ainsi, pendant une différence de temps infiniment petite, la distance parcourue sera également infiniment petite. Nous aurons donc :

  (45)

et finalement :

  (46)

Si le corps étudié n'est pas en mouvement rectiligne dans un repère cartésien à trois dimensions alors sa position sera donnée par le vecteur et nous noterons sa vitesse dès lors par:

  (47)

Remarque: Si toutes les parties d'un corps se déplacent à la même vitesse et dans la même direction, nous avons alors un "mouvement de translation". Par contre, dans un "mouvement de rotation", les vitesses des diverses parties du corps ne sont pas les mêmes, en module et en direction (nous le démontrerons plus loin) et peuvent varier avec le temps.

Attention ! Un mouvement ne peut être décrit que par rapport à un repère fixe : le mouvement absolu n'existe pas. Galilée avait déjà compris que : "Le mouvement est comme rien". Le mouvement n'existe pas en soi, mais relativement à autre chose.

Accélération

Définition: L'accélération, notée a, est par définition, la variation de la vitesse pendant un une certaine quantité de temps tel que (nous passons directement à la limite) :

  (48)

À nouveau, si le corps n'est pas en mouvement uniforme rectiligne nous aurons :

  (49)

Si le corps est en mouvement rectiligne et uniforme (nous pouvons toujours généraliser à un mouvement non rectiligne) nous avons alors:

  (50)

La constante est à déterminer en fonction des conditions initiales. Si la distance initiale parcourue au temps zéro est nulle la constante sera nulle. Dans le cas contraire nous écrivons :

  (51)

ce qui nous donne la distance parcourue par un corps pendant un laps de temps donné.

Si le corps est en mouvement rectiligne et accélère constamment nous avons alors:

  (52)

La constante est à déterminer en fonction des conditions initiales. Si la distance initiale parcourue au temps zéro est nulle la constante sera nulle. Dans le cas contraire nous écrivons :

  (53)

Nous voyons plus fréquemment cette relation sous la forme :

ou   (54)

mais nous avons :

  (55)

si nous intègrons cette relation, nous obtenons :

  (56)

que nous retrouvons dans les écoles le plus fréquemment sous la forme :

  (57)

Cette relation donne la position d'un mobile en mouvement rectiligne et uniformément accéléré. De cette dernière, nous déduisons une énorme quantité de relations qui sont très intéressantes en physique aussi bien en considérant des cas idéaux que des cas réels.

Le premier cas que nous considèrons comme le plus connu, est la vitesse de chute à accélération constante d'un corps dans un milieu exempt de tout frottement.

Comme nous l'avons déjà démontré précédemment, nous avons:

 et   (58)

Les deux relations combinées donnent:

  (59)

Nous pouvons tirer de cette relation la vitesse de libération d'un astre (relation pratique quand nous étudierons le chapitre d'astrophysique et intéressant pour comparaison lorsque nous étudierons la relativité générale ):

Supposons que vous savez déjà que deux corps s'attirent mutuellement avec une accélération selon le modèle classique de Newton (que nous démontrerons plus loin):

  (60)

Mis dans la relation de chute d'un corps , nous obtenons :

  (61)

à la surface du corps attracteur principal nous avons donc la "vitesse de libération" :

  (62)

Nous pouvons répondre à partir de cette équation, pourquoi certaines planètes du système solaire ont un atmoshère et d'autres pas (il faut prendre en compte l'agitation moléculaire) comme nous le verrons dans le chapitre d'astronomie..

Ce qui est aussi intéressant dans cette relation c'est que nous pouvons calculer quelle doit être le rayon R d'un corps de masse m pour que sa vitesse de libération soit égale à celle de la lumière (allusion aux Trous Noirs).

Nous avons dès lors: 

  (63)

Nous verrons lors de notre étude de le relativité générale qu'après de relativement longs calculs dans un champ gravitationnel isotrope (métrique de Schwarschild) nous retomberons sur cette relation.

Plan osculateur

Les vecteurs et liés à un point P en mouvement forment, à chaque instant t un plan appelé "plan osculateur" de la trajectoire (généralement curviligne sinon quoi le plan se réduit à une droite).

Il est souvent utile de décomposer le vecteur accélération dans le plan osculateur suivant respectivement la tangente et la normale à la trajectoire :

  (64)

où le premier terme du membre de droite est un vecteur parallèle à la vitesse et le deuxième un vecteur perpendiculaire à la vitesse et situé du côté concave de la trajectoire.

Exprimons ces deux vecteurs (un exemple plus général est donné dans le chapitre de géométrie différentielle) :

Nous pouvons écrire que :

  (65)

ds est un élément courbe (l'abscisse curviligne) de la trajectoire et un vecteur unité tangent à la trajectoire lié au point P.

L'accélération s'écrit alors: 

  (66)

Le premier terme à droite de l'égalité est l'accélération tangentielle quand au second terme, même si la vitesse est constante ce dernier apparaît dans l'expression de l'accélération pour exprimer le changement de direction de la vitesse.

Décomposons le vecteur dans la base orthonormée euclidienne générée par la famille de vecteur :

  (67)

Ensuite, en dérivant par rapport au temps:

  (68)

En comparant avec l'expression initiale du vecteur , nous voyons  que les termes entre crochets ci-dessus sont les composantes d'un nouveau vecteur unité  perpendiculaire au vecteur , donc perpendiculaire à la trajectoire et dirigé vers le centre de courbure.

De plus par la définition du radian, nous avons : 

  (69)

R est le rayon de courbure de la trajectoire. 

L'expression  devient alors:

  (70)

et le second terme de l'expression générale de l'accélération devient alors:

  (71)

Nous avons donc finalement:

  (72)

où "l'accélération tangentielle" donnée par : 

  (73)

est un terme qui exprime la modification de l'intensité de la vitesse sur la trajectoire du point P et où "l'accélération normale" :

  (74)

est un terme qui exprime le changement de direction du point P sans que nécessairement ce dernier change donc de vitesse!

Nous constatons immédiatement que si le mouvement est forcément rectiligne, accéléré ou non, tandis que si la trajectoire est nécessairement incurvée.

PRINCIPE DE RELATIVITÉ GALILÉEN

Définition: Il est impossible pour un observateur animé d'un mouvement uniforme de savoir s'il se meut par rapport à son environnement ou bien à l'inverse si l'environnement se déplace par raport à lui (nous ne pouvons pas distinguer le repos et le mouvement à vitesse et direction constantes). Dès lors, il ne peut exister de référentiel absolu (ou privilégié) qui puisse être considéré comme fixe vis-à-vis de toutes les autres repères galiléens ce qui signifie clairement que tous les repères galiléens doivent jouir du même statut en mécanique puisqu'ils ne peuvent être distingués les uns des autres. Ce principe est nommé le "principe de relativité galiléen".

Ce principe, (à ne pas confondre avec le principe de relativité restreinte car les hypothèses de départ diffèrent un tant soit peu…) découle directement de l'étude de ce que nous nommons la "transformation de Galilée".

Définition: Une "transformation de Galilée" est une suite d'opérations mathématiques sur une loi physique qui permet de déterminer les propriétés d'un ou plusieurs "observables" (vitesse, force quantité de mouvement, etc.) lorsque nous passons lors de l'étude d'un phénomène physique d'un référentiel à un autre référentiel : l'un supposé au repos, et l'autre en mouvement uniforme.

La question à l'origine historique était de répondre s'il est plus légitime d'étudier un phénomène dans un référentiel ou un autre. Plus exactement, nous souhaitons déterminer si la forme des lois physiques gardent les mêmes formes algébrique quelque soient les référentiels dans lequel nous les étudions.

Voyons cela d'un peu plus près :

Soient deux référentiels en mouvements l'un par rapport à l'autre à une vitesse constante . Pour un certain référentiel cartésien  au repos (ou supposé tel quel) nous allons poser le deuxième référentiel de façon à ce qu'il soit aligné avec l'axe des  afin de simplifier les calculs avec :


  
(75)

Nous allons également mettre dans le deuxième référentiel en mouvement, un point matériel  de cordonnées .

Remarque: Nous supposerons connu le concept de "quantité de mouvement" pdéfini plus loin avec rigueur.  Rappelons donc dès lors que la quantité de mouvement du point P animé d'une vitesse v (norme) dans  est alors donné par :

  (76)

Nous avons alors en appliquant les relations classiques de la cinématique :


  
(77)

d'où  et donc (nous supposons connu le concept de "force" défini plus loin avec rigueur) :

  (78)

Le résultat obtenu est donc fort intéressant puisque la deuxième loi de Newton garde exactement la même forme, et la même valeur dans les deux référentiels. Le fait que nous nous déplacions ou pas à vitesse constante ou pas n'a donc aucune influence sur notre vision du monde qui reste exactement la même.

Conséquence : Puisque les forces sont identiques, aucune expérience de mécanique ne peut déterminer si un référentiel galiléen est le repère absolu (autrement dit deux observateurs, dans deux référentiels galiléens différents, ne peuvent à l’aide d’une expérience de mécanique déterminer lequel se meut par rapport à l’autre).

Donc, en mécanique classique, il n’existe pas de référentiel galiléen absolu!

Toutefois notons bien que ce résultat est obtenu en supposant que :

  (79)

c'est-à-dire que nous imposons que la vitesse relative est uniforme (constante) et la masse constante et surtout, que .

Mais au fait, cette transformation est fondamentalement fausse comme nous le verrons plus en détail lors de notre étude de la relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte). Effectivement, soit un objet se déplacent le long de l'axe avec une vitesse v mesurée dans le repère primé :

  (80)

quel sera alors sa vitesse w dans le repère non primé? Si la transformation de Galilée est fondamentalement vraie, il suffit de remplacer dans la relation précédente x' et  t' par leurs expressions en fonction de t :

 ou   (81)

soit (loi d'addition des vitesses) :

    (82)

Seul petit hic… une expérience simple impliquant des rayons de lumière fut réalisée au début du siècle, et montra que cette loi était fausse. Cette expérience dite de "expérience Michelson-Morley" bouleversa à tout jamais notre vision du monde... et amena Albert Einstein à développer la théorie de la relativité restreinte en imposant que la vitesse de la lumière quelque soit le référentiel est toujours constante : (cf. chapitre de Relativité Restreinte).

Remarque: Si nous mesurons les vitesses et autres grandeurs vectorielles, nous trouvons que les résultats de mesures des composantes x', y', z', t' ne sont pas identiques à celle obtenues sur x, y, z, t. Elles sont varié avec le système d'axe. Connaissant ces valeurs dans un repère, nous pouvons passer aux valeurs dans l'autre repère : il s'agit de la "covariance" (co-variance : variance avec les coordonnées), ici pour les expressions vectorielles.

Les lois sont des relations entre des observables, relations déduites d’observations nombreuses.
La recherche des lois est régie par ce que nous pourrions appeler un "
principe de simplicité" : lois en nombre le plus petit possible, d’expressions les plus simples possibles entre grandeurs en nombre minimal.

Mais la caractéristique d’une bonne loi est la covariance lors d’un changement de repère.Cette invariance lors d’un changement de repère, cette invariance de la forme (de l’expression littérale) de la loi va permettre d’objectiviser au maximum et, en principe totalement, la physique.

La physique (dans le sens de la théorie qui décrit la réalité) ne sera plus liée à l’observateur ni à son espace-temps galiléen associé. Bien sûr cette covariance sera recherchée pour les transformations de référentiels en mouvement les uns par rapport aux autres.

Un contre-exemple simple cependant : la force entre deux charges électriques immobiles dans un référentiel ne fait appel dans ce référentiel qu'à la seule théorie de l’électrostatique. Si ce même système est observé d’un référentiel en mouvement par rapport au premier, il faudra décrire l’ensemble à l’aide de la théorie de l’électromagnétisme.

Par construction même la mécanique classique se trouve être covariante par transformation de Galilée (changement de repères galiléens) : le postulat de la dynamique (force) prend en effet la même forme dans les différents référentiels galiléens comme nous venons de le voir.

MOMENT CINÉTIQUE

Définition: Le "moment cinétique" ou "moment angulaire"  par rapport à un point O d'une particule de masse m se déplaçant à la vitesse en est défini par :

  (83)

avec étant la quantité de mouvement (voir la définition plus loin) donnée par :

  (84)

Par sa définition, le moment cinétique est un vecteur perpendiculaire au plan contenant les vecteurs  et et si la particule se déplace dans un plan, la direction de  est constante mais pas nécessairement de même direction.

Un cas particulier du calcul du moment cinétique est le mouvement circulaire (plan) de rayon r, le "rayon-vecteur" est alors toujours perpendiculaire à la direction du vecteur-vitesse et donc:

  (85)

Nous voyons apparaître ici la définition du "vecteur rotation"  également noté parfois (à tort) .

Pour un mouvement plan mais non circulaire (comme une conique par exemple), nous introduisons les composantes normale et tangentielle de la vitesse:

  (86)

pour obtenir (de par les propriétés du produit vectoriel):

  (87)

et sous forme scalaire:

  (88)

r est dès lors appelé le "rayon de courbure" de la trajectoire.

Etudions la dérivée du moment cinétique:

  (89)

Dans le membre de droite, nous avons de par la définition du produit vectoriel:

  (90)

et d'autre part:

  (91)

Ce qui nous donne finalement:

  (92)

La dérivée par rapport au temps du moment cinétique d'un mobile ponctuel est donc égal à ce que nous définissons par le "moment de force" sur lequel nous reviendrons plus loin et qui a comme unités celle de l'énergie.

Remarques:

R1. Cette dernière relation fait que nous appelons parfois le moment cinétique aussi "moment de la quantité de mouvement".

R2. Il faut bien sûr prendre garde au fait que (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) que :

  (93)

R3. Ce qui est fortement impressionant dans ce résultat (variation instantanée du moment cinétique), c'est que tout corps ayant un moment cinétique non nul et soumis à aucun moment de force, conserve l'orientation de dans l'espace et le temps. Ce résultat nous permet de comprendre la dynamique du du gyroscope et tous les autres corps ayant des propriétés similaires. Nous étudierons plus loin le gyroscope et ses propriétés, car son comportement est fascinant et les résultats théoriques en découlant trouvent des applications en astrophysique et physique atomique.

Nous avons également :

    (94)

La quantité :

    (95)

s'appelle "l'impulsion de rotation" et l'équation précédente porte quelquefois le nom de "théorème du moment cinétique" (nous verrons une généralisation de ce théorème lors de la démonstration du théorème de König). Il s'énonce ainsi :

L'impulsion de rotation fournie par un moment de force entre les instant  et  est égale à la variation du moment cinétique durant cet intervalle de temps.

En dynamique du solide ce théorème joue un rôle fondamental, analogue à l'équation de Newton  en dynamique du point.

L'utilisation du moment cinétique permet de montrer facilement la loi des aires (deuxième loi de Kepler), qui joue un rôle important dans le mouvement des planètes (cf. chapitre d'Astronomie).

Voyons cela:

Imaginons une particule en mouvement sous l'action d'une force  constamment parallèle à . Nous dirons que cette force est une "force centrale" si sa direction passe constamment par un même point fixe, appelé le "centre de force". La grandeur de la force ne peut donc plus dépendre que de la distance au centre de la force (dans le cas d'un champ de force).

Dès lors:

  (96)

Donc le moment cinétique par rapport au centre de force est constant si la force est centrale. La réciproque est aussi vraie: si le moment cinétique est constant, sa dérivée par rapport au temps est nulle et la direction de la force est toujours colinéaire à donc la force est centrale.

Par exemple, dans le cadre du mouvement d'une planète autour du Soleil ou d'un électron autour du noyau de l'atome (dans le cadre du modèle de Bohr) le moment de cette force par rapport au centre est évidemment nul, c'est-à-dire en se basant sur le schéma ci-dessous :


  
(97)

nous avons donc :

  (98)

donc:

    (99)

D'autre part, l'élément de surface  décrit par le mouvement du rayon  vaut (selon la figure ci-dessus et la propriété du produit vectoriel):

    (100)

donc:

    (101)

En utilisant la relation  nous obtenons:

  (102)

Conséquences:

1. La vitesse aréolaire est constante, c'est-à-dire que les aires balayées en des temps égaux sont égales. C'est la loi des aires de Kepler (cf. chapitre d'Astronomie)!

2. Le plan  est fixe car . Donc la trajectoire, d'une planète dans une cadre idéal par exemple, est plane.

MOMENT DE FORCE

Nous venons de voir que le "moment de force" se définissait par la relation (variation temporelle du moment cinétique) :

  (103)

 est donc le moment de la force  par rapport au point  d'rigine du vecteur . Il est important de remarque que le moment de force à les unités d'une énergie.

Si nous exprimons le module de , de part la définition du produit vectoriel, nous obtenons :

  (104)

Il apparaît un grandeur :

  (105)

qui est par définition le "bras de levier" de la force et dont l'emplacement est donné par l'axe de rotation du corps du au moment de forc résultant. 

Exemples:


  
(106)

Pour qu'un point matériel, soumis à des forces  soit en équilibre, il faut ainsi que la résultante de ces forces soit nulle (pas de translation) et que la résultante des moments soit nul aussi (pas de rotation). Soit :

et    (107)

Par définition, un "couple" est défini comme un ensemble de deux forces de grandeur égale mais de direction opposée, agissant suivant deux droites parallèles sur un même corps étendu. La résultante des forces est bien évidemmet nulle, indique que le couple ne produit aucun effet de translation. Mais la somme des moments étant non nulle, le corps subit une rotation tel que :

  (108)

Maintenant que nous avons convaneblement défini ce qu'était une force et un moment de force, nous pouvons aborder l'étude de la statique des forces de suite :

STATIQUE DES FORCES

La statique des forces est un domaine difficile à généraliser. La plupart des ouvrages se servent de nombreux exemples (comme les systèmes de poulies, les leviers, les équilibres, les frottements, etc.) afin d'amener le lecteur à assimilier la méthode d'analyse qu'il faut pour résoudre les problèmes relatifs à ce domaine de la mécanique classique. Loin d'être contre cette méthode, nous n'avons pas souhaité nous restreindre ou nous étendre (suivant les points de vue) à des exemples particuliers, mais à proposer une méthode d'analyse qui fonctionnerait à coup sûr.

Définitions:

D1. La "statique des forces" est le domaine de la physique qui étudie l'effet de la résultante de forces (ou moments de force) constantes au cours du temps, appliquées sur un corps ponctuel ou étendu.

D2. Quand la somme vectorielle de toutes les forces et moments de force est nul, il n’y a aucun mouvement.  Nous parlons alors d’un "équilibre statique" (mais les forces existent tout de même à l’intérieur du système) tel que les forces et moments de forces se compensent mutuellement :

ou/et   (109)

Remarque: Les relations précédentes, nous montrent bien que ce n'est pas parce qu'un système est à l'équilibre statique qu'il n'est soumis à aucune force (la somme vectorielle des forces peut s'annuler mais les forces sont non nulles).

Corollaires : 

C1. Lors de l'analyse d'un système de statique des forces, il faut toujours (!!!) travailler avec les composantes vectorielles des forces et moments de forces (de par la première loi de Newton). 

C2. Il faut donc s'imposer un repère par rapport auquel seront exprimé toutes les composantes de forces :

- Dans le cas d'un corps ponctuel sur lequel est appliqué des forces, il faut assimiler l'origine du repère à la position du point.

- Si la ligne de prolongement de toutes les forces sur un corps étendu sont toutes concurrentes en un point donné, le système peut être considéré comme un corps ponctuel ramené à ce point

- Si le corps est étendu et plongé dans un champ de forces (gravitationnel, électrostatique, magnétique...) isotrope, coplanaire et constant dans le temps, l'ensemble des forces imprimées peut se rapporter au centre de gravité

Démonstration:

Nous avons vu lors de l'étude du calcul vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) que la somme des vecteurs d'un même ensemble, mis bout à bout (au niveau de la représentation imagée) ou additionnés  algébriquement constitue ce que nous appelons la "résultante" du système de forces ou de moments de force :

 ou/et    (110)

Il est clair qu'un point matériel est donc par définition à l'état statique si la résultante des forces concourants est nul. Ainsi, un corps ponctuel est au repos (vitesse constante nulle) si la grandeur  est nulle (voir les lois de Newton plus loin).

Cet condition ne suffit cependant pas pour un corps étendu (non ponctuel) : celui-ci peut ne pas se déplacer (pas de mouvement par translation), mais tourner sur lui même par application de forces en dehors de son centre de gravité (les forces sont alors des moments de forces agissant sur des points du corps en question).

Imaginons maintenant un ensemble de forces , chacune d'elles appliquée en un point de vecteur-position  d'un mobile étendu et toutes parallèles à une direction commune donnée, repérée par un vecteur unitaire . La résultante des ces forces est alors :

  (111)

Remarque: La norme de la résultante est donc :

  (112)

De manière analogue, la somme vectorielle des moments parallèles s'écrit :

  (113)

Recherchons maintenant, la position  d'un point fictif C, appelé le "centre des forces" tel que le moment de la résultante  appliquée au point C soit égal au moment total . En d'autres termes,  doit être la solution de l'équation vectorielle :

  (114)

S'il est possible de trouver un tel point C, nous ne devons donc plus, en principe, calculer le moment individuel de chaque force et en faire la somme vectorielle. Il suffit plutôt, de déterminer la résultant  et d'évaluer son moment résultant appliqué au point fictif C.

En combinant les relations précédentes, nous avons :

  (115)

À son tour, le vecteur  peut être substitué tel que :

  (116)

d'où nous tirons finalement :

  (117)

comme  (deuxième loi de newton) supposons maintenant (car particulier) que  nous pouvons alors écrire ce résultat très important :

  (118)

C.Q.F.D.

C3. De par la troisième loi de Newton, tout corps solide rigide en équilibre stable, en contact avec un ensemble de corps solides rigides en équilibre stable eux aussi, subissent tous une force égale identique en chaque point de contact (identiquement répartie) mais opposée par ces derniers (assimilable et passant par leur centre de gravité lorsque c'est un champ de vecteurs isotrope et constant qui est à l'origine du contact). Ainsi :

-  les repères des forces d'action/réaction doivent être placés sur les différents point de contact lorsque ce sont une quantité dénombrable de forces qui en sont à l'origine.

- les repères des forces d'action/réaction doivent être placés le centre de masse ou de gravité si les forces à l'origine du contact (in extenso : de l'accélération) sont à l'origine d'un champ vectoriel gravifique, respectivement électrostique/magnétique. 

balistique

Le mouvement parabolique est le mouvement d'un mobile animé, dans le champ de la pesanteur, d'une vitesse de translation  non parallèle à l'accélération de la pesanteur . Par  exemple un projectile possédant au départ une vitesse  inclinée d'un angle  par rapport à l'horizontale.


  
(119)

En l'absence de pesanteur et de frottement le mobile P suivrait la ligne de visée  indéfiniment. L'action de la pesanteur est de le redescendre, au temps t, de la valeur connue

Nous posons la projection sur les axes :

  (120)

combinaison d'un déplacement régulier selon x et d'un mouvement de chute avec vitesse initiale  selon y. Ce qui correspond aux équations suivantes:

et   (121)

en éliminant le temps entre ces deux équations nous obtenons la trajectoire

  (122)

Nous calculons ainsi la portée  du projectile en posant  dans l'équation ci-dessus et nous obtenons facilement:

  (123)

la solution  n'a aucun intérêt.

L'hauteur maximale  peut être calculée en annulant la dérivée de l'équation de la trajectoire. Ainsi nous obtenons facilement :

  (124)

Nous remarquons pour la portée maximale que pour une vitesse initiale donnée, nous obtient pour :

A) aucune valeur si . Nous nous sommes donnés une portée inaccessible.

B) Deux valeurs  et  complémentaires pour atteindre la même portée.

C) Une seule valeur  donnant la portée maximale possible

La courbe enveloppant toutes les paraboles, tracée pour une vitesse  donnée dans toutes les directions possibles, est encore une parabole, appelée "parabole de sûreté". Sa rotation autour de l'axe y engendre un paraboloïde qui circonscrit (contient) la région de l'espace seule accessible aux projectiles.


  
(125)

Ainsi, il n'est pas trop difficile de trouver l'équation de cette parabole de sûreté:

Le tir à la verticale nous est connu et est donné par

  (126)

La portée maximale est quant à elle donnée par:

  (127)

Donc quant  tel que:

  (128)

qui est l'équation de la parabole de sûreté.

MOUVEMENTS CIRCULAIRES

De tels mouvements décrivent la rotation d'un objet autour d'un axe. L'usage veut qu'on le définisse par les données suivantes:

- la direction de l'axe dans l'espace

- le sens de rotation autour de cet axe

- la vitesse de rotation

Nous résumons ces trois indication par la donnée d'un vecteur "vitesse angulaire" instantaée:

  (129)

Le sens de rotation est dit positif lorsque, le pouce dressé dans la direction de , nous saisissons l'axe de la main droit et voit tourner l'objet dans le sens des quatre autres doigts.

La norme de la vitesse angulaire instantanée, représente l'angle parcouru par unité de temps, par l'objet qui se déplace dans le plan perpendiculaire à :

  (130)

Remarques:

R1 Dans le cas général du mouvement circulaire, la vitesse angulaire de l'objet étudié varie au cours du temps:

R2. Lorsque la direction de l'axe change, les composantes du vecteur unitaire  sont également des fonction du temps. C'est le cas d'une roue de moto dans un virage.

En tournant d'un angle , un point de l'objet situé à une distance R de l'axe de rotation décrit un arc de cercle de longueur:

  (131)

Donc dans le cas des petits angles:

  (132)

Si dt est le temps nécessaire à ce mouvement, la vitesse curviligne du point est:

  (133)

Si nous nous donnons un repère euclidien orthonormé tel que:

  (134)

Nous voyons bien sur cette figure que : 

  (135)

Donc finalement nous avons :

  (136)

Nous voyons alors que nous avons affaire à un produit vectoriel et tel que:

  (137)

Nous avons donc: 

  (138)

que nous écrivons également:

  (139)

L'accélération du mouvement circulaire est formée dans le cas général, de deux termes, le premier étant "l'accélération tangentielle" exprimant toujours la variation de la vitesse sur la trajectoire et le deuxième l'accélération perpendiculaire le long du rayon appelée également "accélération centripète" (centripète signifiant: "qui tend à rapprocher du centre").

Remarque: Si nous exprimons le mouvement circulaire du point P  à partir d'un système d'axes situés dans le plan de la trajectoire, pour simplifier, alors, la position du point P est donnée par:

  (140)

Ce qui montre que le mouvement circulaire peut être considéré comme la superposition de deux mouvements sinusoïdaux déphasés de .

Si l'on écrit:   (141)

ce qui est tout à fait envisageable pour une trajectoire imparfaitement circulaire et que l'on regarde les différentes caractéristiques paramétriques:

  (142)

en faisant varier le déphasage  et le rapport  nous obtienons des courbes que nous appelons des "figures de Lissajous" :


  
(143)

TRAVAIL ET ÉNERGIE

Si un point de masse m subit un déplacement élémentaire  sous l'effet d'une force , cette force effectue un travail élémentaire valant par définition:

  (144)

Remarque: Le lecteur constatera qu'une force constamment perpendiculaire au déplacement ne travaille donc pas! Ainsi, si le jardinier poussant sa tondeur pense travailler c'est juste à cause des frottements de la tondeuse avec le sol, rien d'autre!

Si cette masse m est déplacée d'un endroit A à un endroit B, le travail total est:

  (145)

Pour les unités, nous avons :  (Joules)

Remarques:

R1. Si W est positif le travail est dit "travail moteur". Dans le cas contraire il est dit "travail résistant" (exemple: le freinage).

R2. Si la force  est constante en grandeur et en direction (cas de la pesanteur au voisinage de la surface terrestre), l'intégrale du calcul de W prend une forme plus simple:

  (146)

Ce résultat montre que le travail ne dépend alors que des positions initiale et finale et pas du chemin parcouru. Le travail de la pesanteur est un cas particulier de ce type.

ÉNERGIE CINÉTIQUE

La loi de Newton  est applicable le long du chemin A-B. En l'utilisant dans l'expression du travail il vient:

  (147)

et, en développant le produit scalaire au moyen des composantes, nous aurons :


  
(148)

Lorsqu'un corps se déplace sous l'action d'une force résultante  quelconque, le travail de cette force d'accélération sur un chemin quelconque A, B est égal à la variation d'énergie cinétique du corps:

Par définition, la relation :

  (149)

est appelée "l'énergie cinétique" et elle se mesure en "Joules" (ou d'autres unités dérivées exotiques dont les phyisiciens théoriciens abusent parfois un petit peu trop...)

L'équation :

  (150)

porte quelquefois le nom de "théorème de l'énergie cinétique".

MOMENT D'INERTIE

Pour un solide rigide tournant autour d'un axe à la vitesse angulaire . L'énergie cinétique élémentaire d'un point quelconque de masse dm, situé hors de l'axe, vaut:

  (151)

puisque  et  sont perpendiculaires.

L'énergie cinétique totale est alors :

  (152)

Nous avons pris l'habitude en physique de noter cette dernière relation:

  (153)

Par définition, le "moment d'inertie" est:

  (154)

Remarque: Dans un solide, la répartition de la matière autour d'un axe sera évidemment différente selon l'axe choisi. Le moment d'inertie correspondant sera aussi différent. Il est donc indispensable de préciser l'axe par rapport auquel nous souhaitons déterminer ce moment d'inerte. Nous observons dans la pratique ques les ingénieurs placent souvent l'axe de façon à ce qu'il passe par le centre de masse. Dans les tables, nous trouvons fréquemment les expressions des moments d'inerties de formes courantes (selon un axe donné) telles que le cylindre, le cône, la sphère, la barre, le tube (cf. chapitre sur les Formes Géométriques).

Nous avons vu lors de notre étude du moment cinétique que:

  (155)

et le moment d'inertie étant donné par:

  (156)

Nous avons donc:

  (157)

d'où:

  (158)

Nous obtenons finalement:

  (159)

c'est l'expression donnant le moment cinétique d'un corps tournant sur lui-même (sur un de ses axes possibles de rotation).

Etant donné que nous avons démontré lors de notre étude du moment cinétique que:

  (160)

Il vient (dans l'hypothèse que la masse et la géométrie du solide reste constante...) que:

  (161)

Donc sous forme scalaire (plus répandue):

  (162)

Si nous étudions un système dans lequel le moment cinétique est conservatif, il va de soi que:

  (163)

Cette conservation du moment cinétique trouve une application dans un multitude d'expérience tel que celle connue qui consiste à se faire tourner sur un chaise et à écarter les mains ou les jambes ce qui fera diminuer sa vitesse de rotation (et inversement).

Une autre expérience curieuse (mais mathématiquement correcte) consiste à se poser sur un plateau tournant avec une roue en rotation  tenue à l'horizontale (le moment cinétique vertical est donc nul) et de mettre celle-ci ensuite à la verticale. Comme le moment cinétique vertical doit rester nul, pour contrecarrer cela, le plateau sur lequel est posé l'expérimentateur se mettra à tourner dans le sens inverse de rotation de la roue.

Les déplacement de masses importantes à la surface de la Terre (icebergs, crues des fleuves, plaques tectoniques, etc.) provoquement des variations du moment d'inertie de la Terre. Il s'ensuit des fluctuations de la vitesse angulaire donc une imperfection de l'étalon astronomique de temps (quelques millièmes par jour).

Revenons maintenant au méthodes de calcul des moments d'inertie. L'énergie cinétique d'un corps étant la somme de l'énergie cinétique de chaque élément de ce corps, nous avons :

  (164)

Dans le cadre d'un corps solide rigide en rotation autour d'un axe, nous avons :

  (165)

Ainsi, pour un corps composé d'un ensemble de corps de géométrie différentes, le moment d'inertie total est la somme des moments d'inertie par rapport à l'axe de rotation tel que :

  (166)

Lorsque nous calculons le moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe donné, il peut être intéressant de savoir qu'elle est la distance à l'axe où nous pouvons placer fictivement toute la masse de ce corps pour avoir le même moment d'inertie. Par définition, cette distance notée k et appelée le "rayon de giration" est trivialement donnée par :

  (167)

est le moment d'inertie connu du corps de masse M par rapport à une axe .

Par définition, le "moment d'inertie polaire" (ou également "moment d'inertie quadratique") est le moment d'inertie défini par rapport à un point (le pôle) et non plus par rapport à un axe et noté :

  (168)

Cette grandeur n'intervient en fait que pour les rotations libres et n'a d'intérêt, pour les rotations autour d'un axe fixe, que parce qu'elle facilite quelquefois le calcul des moments d'inertie axiaux en vertu de la relation suivante (en coordonnées cartésiennes) :

  (169)

Démonstration:

Lemme 1 : Le moment d'inertie par rapport à un plan xOy est donné trivialement par :


  
(170)

Lemme 2 : Le moment d'inertie par rapport à un axe est donné par :


  
(171)

En sommant ces relations, nous en déduisons :

  (172)

Le moment d'inertie polaire est alors donnée par :


  
(173)

En comparant avec le lemme 2 il vient :

  (174)

C.Q.F.D.

Si le corps en question à une symétrie sphérique, il vient de suite puisque que :

  (175)

Un exemple est donné avec le boule (sphère pleine) dans le chapitre traitant des formes géométriques dans la section de géométrie.

Supposons maintenant connaître le moment d'inertie d'un corps solide rigide quelconque par rapport à un axe (cet axe n'étant pas nécessairement uniquement assimilé à l'axe zG. Calculons ensuite le moment d'inertie , par rapport à un autre axe z ', parallèle à z et distant de a , et faisons apparaître la liaison existant entre ces deux moment d'inertie différents : commun) passant par le centre de masse

Dans un référentiel cartésien, nous avons pour tout point (x,y) :

et   (176)

Nous avons alors :

  (177)

Le terme :

  (178)

est nul car si le moment d'inertie est calculé par rapport au centre de masse G comme nous l'avons imposé dès le début, alors :

  (179)

En définitive, nous obtenons finalement le théorème d'Huygens-Steiner :

  (180)

Comme nous le verrons dans le chapitre des formes géométriques dans la section de géométrie du site, il devient alors facile de pouvoir calculer le moment d'inertie d'un triangle équilatéral en connaissant celui d'un plaque carrée et en déplaçant l'axe d'inertie au point où se situe le centre de gravité du triangle (soit au tiers de la médiane située entre le centre du rectangle et un des sommets du rectangle).

Comme il existe autant de moment d'inertie que d'axe de rotation et que ces derniers sont souvent dans les cas d'études assimilés aux axes principaux d'inertie (axe assimilés aux axes de révolutions ou aux plans de symétrie – voir plus loin), il peut être utile d'introduire un être mathématique utile dans le cadre de représentation des moments d'inertie qui n'est autre que la "matrice d'inertie" ou appelé encore (formulation plus moderne) "tenseur d'inertie".

La démarche pour déterminer rigoureusement l'expression de ce tenseur est la suivante : soit un point donné d'un solide dont nous cherchons à calculer le moment d'inertie et l'axe d'origine O et de vecteur unité par rapport auquel nous souhaitons calculer le moment d'inertie. Tout point du solide peut être projeté (projection orthogonale) sur un point à partir de la connaissance de l'angle entre et tel que :

  (181)

Dès lors :

  (182)

D'après les propriétés du produit mixte (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) et du produit scalaire :

et   (183)

nous avons :


  
(184)

et donc :

  (185)

Comme est un vecteur de direction constante quelque soit le point d'intégration, nous pouvons le sortir de l'intégrale tel que :

  (186)

Nous pouvons vérifier que si nous remplaçons par , nous obtiendrons un résultat de par la propriété de linéarité du produit vectoriel (cf. le chapitre de Calcul Vectoriel). Ainsi, l'application qui à associe est donc une application linéaire qui peut être représentée, dans une base B donne, par une matrice :

  (187)

La matrice est le donc "tenseur d'inertie" du système par rapport au point O, dans la base B.

Le moment d'inertie d'un système par rapport à un axe quelconque de vecteur unitaire est donné par :

  (188)

Le problème est donc maintenant de pouvoir calculer les éléments du tenseur , pour une base Btel que . Nous posons : donnée. Soit un repère

et   (189)

En utilisant le fait qu'un produit vectoriel puisse être représente par une matrice anti-symétrique (vérifiez c'est facile) :

  (190)

nous avons :


  
(191)

et donc :

  (192)

Dans l'expression ci-dessus de la matrice d'inertie, nous reconnaissons les éléments diagonaux : il s'agit tout simplement des moments d'inertie du système par rapport aux différentes axes de la base. Nous appelons "produit d'inertie" les éléments non-diagonaux de la matrice et nous les notons :

  (193)

Nous avons donc :

  (194)

Si O est assimilé au centre de masse du solide considéré, nous notons simplement :

  (195)

Nous pouvons également généraliser le théorème d'Huygens en faisant usage de ce tenseur de symétrie. Pour ce faire, appelons les coordonnées d'un point A quelconque dans R' et ses coordonnées dans R. Nous appelons (a,b,c) les coordonnes de l'origine O' de R' dans R:

  (196)

puisque .

Nous avons alors :

  (197)

Or, si O' coïncide avec le centre de masse G, alors selon la définition du centre de masse :

  (198)

Nous en déduisons alors :

  (199)

et de même :

,   (200)

avec :

  (201)

Nous retombons sur le théorème d'Huyghens classique puisque n'est d'autre que la distance au carré entre l'axe Oz et Gz et de même pour qui est la distance au carré entre OxGx et qui est la distance entre Oy et Gy. et

Si nous nous intéressons maintenant aux produits d'inertie, il vient :

  (202)

d'où, si O' coïncide avec G :

  (203)

En résumé, le théorème d'Huygens généralisé, s'écrit :

  (204)

Le tenseur d'inertie étant réel et symétrique, nous avons dans le chapitre d'algèbre linéaire (théorème spectral) qu'il est toujours possible de trouver trois directions perpendiculaires de vecteurs telles que le tenseur (matrice) symétrique soit diagonalisable :

  (205)

Le trièdre formée par les vecteurs est appelé "trièdre principal d'inertie" et ses axes sont appelés "axes principaux d'inertie". Dans ce repère prend le nom de "tenseur principal d'inertie". Si de plus O est assimilé à G, nous parlons de "tenseur central d'inertie".

En fait, pour trouver les moments d'inertie relativement aux axes principaux il n'est pratiquement jamais nécessaire de diagonaliser le tenseur d'inertie, car il suffit souvent de se laisser guider par la symétrie du système. Nous allons voir avec les théorèmes suivants que s'il existe des axes ou des plans de symétrie pour la distribution de masse, les axes d'inertie sont faciles à trouver. De plus, le système est en général suffisamment simple (ou décomposable en éléments suffisamment simples…) pour que ces axes soient évident.

Premier théorème : Si le système possède un plan de symétrie matérielle (in extenso : si A symétrique de A' par rapport au plan) alors tout axe perpendiculaire à ce plan est axe principal d'inertie.

Démonstration:

Choisissons un repère xOy dans le plan par rapport auquel le système a une distribution de masse symétrique et un axe Oz perpendiculaire à ce plan. Pour calculer ou , groupons les points par deux, symétriques par rapport à xOy. c'est-à-dire tels que . Nous aurons alors:

  (206)

et de même :

  (207)

c'est-à-dire, puis (symétrie matérielle!) :

  (208)

que toutes les contributions de paires de points symétriques sont nulles, ce qui implique : , c'est-à-dire que l'axe des z est direction principale d'inertie.

C.Q.F.D.

Deuxième théorème : Choisissons comme axe Oz l'axe de symétrie. De même que ci-dessus, nous avons :

  (209)

Démonstration:

Effectivement, car si nous groupons les points par paire A' et A' symétriques par rapport à Oz, nous avons :

  (210)

mais donc toujours :

  (211)

et de même :

  (212)

C.Q.F.D.

Remarque: Lorsque nous avons déterminé deux axes principaux d'inertie grâce aux symétries précédentes, les troisième est tout simplement celui qu'il faut pour compléter un trièdre orthogonal.

Troisième théorème : Si un système admet un axe de révolution pour sa distribution de masse, alors tout trièdre orthogonal incluant l'axe de révolution, est trièdre principal d'inertie. Le système matériel est alors dit "système cylindrique" et dans la trièdre principal d'inertie son tenseur prend la forme (en supposant que l'axe de révolution est le 3ème axe du trièdre) :

  (213)

Démonstration:

Si Oz est un axe de révolution, tout plan comprenant Oz est plan de symétrie et tout droite perpendiculaire à Oz est donc axe principal d'inertie (premier théorème). De plus, toutes ces droites perpendiculaires à Oz sont équivalentes.

C.Q.F.D.

Définition: Si la matrice d'inertie en O d'un système matériel est du type :

  (214)

nous disons alors que le système est un "système sphérique" (ou un "système à symétrie sphérique").

Remarque: Le choix systématique d'un trièdre principal d'inertie permet de ramener le tenseur d'inertie de 6 à 3 composantes, calculées une fois pour tout. Cependant, ce choix implique l'utilisation d'une base qui sera le plus souvent en mouvement par rapport au référentiel utilisé, ce qui pourra poser des problèmes de dérivations par rapport au temps des vecteurs de la base. Nous pouvons alors, si c'est plus faciles, obtenir les composantes du tenseur de symétrie dans une base quelconque à l'aide d'une matrice de passage entre la base principale et le base utilisée pour le calcul du trièdre principal d'inertie.

Lorsque les moments d'inertie d'un solide sont connus dans les directions des axes principaux d'inertie, nous pouvons facilement déterminer le moment d'inertie J par rapport à n'importe quel autre axe passant par le centre de gravité en utilisant que ce nous nommons un "ellipsoïde d'inertie" (à ne pas confondre avec le moment d'inertie d'une ellispoïde - démontré dans le chapitre traitant des formes géométriques).

Démonstration:

Soient trois axes, centrés sur G, parallèles aux axes principaux. Dans leurs directions, portons des longueurs proportionnelles à :


  
(215)

Dans cet espace des phases des moments d'inertie, tout point désigne un moment d'inertie J tel que :

  (216)

Pour déterminer J en fonction des , sans devoir calculer x, y, z, nous identifions les cosinus directeurs (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) de l'axe de rotation à ceux de la droite .

Ainsi, nous avons :

  (217)

Soit :

  (218)

Nous pouvons maintenant calculer les conditions de normalisation de cette relation. Ainsi, si , nous avons : et

  (219)

Respectivement nous aurons :

  (220)

Puisque :

et   (221)

Ce qui nous amène à écrire :

  (222)

Par substitution, nous obtenons :

  (223)

Donc finalement :

  (224)

Ainsi, en connaissant les moment d'inertie d'un corps par rapport à ses axes principaux nous pouvons connaître son moment d'inertie par rapport à n'importe quel axe ayant un angle par rapport aux axes principaux.

C.Q.F.D.

ÉNERGIE POTENTIELLE GRAVIFIQUE

Si le travail de la force  entre les points A et B ne dépend pas du chemin suivi, nous disons que cette force dérive d'une énergie potentielle ou bien que le champ de force est un "champ conservatif" (contre-exemple: dans un mouvement avec frottement le travail dépend nécessairement de la voie choisie). Cette indépendance par rapport au chemin suivi implique que:

Soit deux points A et B de l'espace. Il y a plusieurs chemins possibles pour joindre ces deux points. Si l'on en choisit deux au hasard nous avons :

Sur le 1er chemin :

Sur le 2ème chemin :

  (225)

Si le champ est conservatif nous avons : 

  (226)

ou encore que le travail total sur un chemin fermé (aller et retour) est nul. Nous notons cela (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) : 

  (227)

Le travail en jeu est donc une fonction du lieu seul () c'est-à-dire dépendant uniquement du point de départ et du point d'arrivée. En effet, si le travail dépendait du chemin, il serait possible de choisir la voie la plus généreuse quand le système fournit du travail et la voie la plus économique quand nous la ramenons à l'état initial. Ce serait donc un mouvement perpétuel et le principe de conservation de l'énergie l'interdit (cf. chapitre de Thermodynamique).

Attachons alors à chaque point du champ de force une valeur de la fonction  (un nombre réel) correspondant au travail effectué par le champ de force lorsque le mobile passe d'un point P à 0, 0 étant un point de référence choisi arbitrairement. Donc par définition:

 avec


  
(228)

En généralisant cette définition, nous dirons que le travail effectué par une force conservative lorsque le mobile passe de A à B est égal à la diminution d'énergie potentielle entre A et B :


  
(229)

Par définition est l'énergie potentielle et se mesure en Joules.

L'équation précédente s'utilise très souvent sous forme différentielle soit :

  (230)

Remarque: Il existe aussi rappelons-le une relation entre l'énergie est le gradient de la force donnée qui découle simplement de la définition du travail :

  (231)

Application: Travail de la pesanteur et énergie potentielle gravifique au voisinage de la surface de la Terre. C'est donc un cas particulier où la force est constante…


  
(232)

Soit un point de masse m se déplaçant selon une trajectoire quelconque AB. Le poids  effectue le travail:

  (233)

En exprimant les différents vecteurs en composantes :

 , ,   (234)

et en calculant le produit scalaire au moyen de ces composantes nous obtenons :

  (235)

La différence  représente la différence d'altitude entre les points A et B. Nous constatons bien que le travail ne dépend pas du chemin suivi mais seulement des points de départ et d'arrivée. Si, en sens inverse, nous voulons faire passer le point de B à A, le travail, fourni alors par un agent extérieur vaut:

  (236)

ce qui montre bien que le travail total sur un chemin fermé est nul: 

  (237)

En comparant les relation :

 et     (238)

et en identifiant, nous obtenons ainsi :

  (239)

qui est l'énergie potentielle gravifique, z étant l'altitude de la masse m. Nous notons plus simplement la plupart du temps cette relation sous la forme :

  (240)

Remarque: Le choix de zéro de l'énergie potentielle est souvent arbitraire; nous le fixons par commodité. Seules les différences d'énergie potentielle sont généralement intéressantes comme nous allons le voir de suite.

La relation précédente est au fait une expression utile à proximité de la surface terrestre. A distance est le rayon de la terre, la force de gravitation faiblit et l'approximation n'est plus valable (si aussi, d'ailleurs…).

Pour déterminer la relation correcte, considérons deux masses . La première est supposée au repos et fixe la deuxième est amenée de l'infinie à une distance donnée de (le même raisonnement est applicable pour le champ électrique). Le travail dW de la force gravitationnelle en un point quelconque étant donc :

  (241)

et l'énergie potentielle du système :

  (242)

Alors :

  (243)

d'où simplement (l'énergie potentielle en un point) :

  (244)

Voyons si cela est cohérent avec

A hauteur nulle de la surface terrestre, , nous avons :

  (245)

Nous élevons l'objet de :

  (246)

Nous utilisons l'approximation grossière :

  (247)

valable quand d'où :

  (248)

Comme à la surface de la terre nous avons l'habitude de poser en laboratoire , nous obtenons bien finalement :

  (249)

et nous voyons qu'il s'agit effectivement d'une grossière approximation.

Remarque: Nous pourrions appliquer la même développement dans l'étude de la force de Coulomb et du champ électrique mais jusqu'à maintenant nous n'avons jamais mis de laboratoire à la surface d'une charge... (sic!)

Énergie potentielle d'une sphère de matière

Nous allons calculer ici l'énergie potentielle d'une sphère de matière. Cet exercice de style va nous être très utile en astrophysique pour déterminer la température interne des étoiles

L'expression d'une énergie potentielle d'un système de deux masses mises en présence est donnée par:

  (250)

Soit une sphère de masse M,de densité massique  et de rayon r et entourée d'un anneau sphérique de rayon intérieur r, de même densité massique et d'épaisseur dr

L'énergie potentielle de l'anneau sphérique de rayon interne r et d'épaisseur dr se calcule comme suit:

La masse de la sphère de rayon r et de densité massique est:

  (251)

La masse de l'anneau entourant la sphère de rayon r, d'épaisseur dr et de densité massique  est:

  (252)

En introduisant les deux dernières expression dans celle de l'énergie potentielle:

  (253)

En intégrant l'expression précédente entre 0 et R, cela revient à ajouter successivement une suite d'anneaux d'épaisseur dr pour obtenir la sphère entière de rayon R et donc l'énergie potentielle de la sphère entière.

  (254)

Ce qui s'écrit encore:

  (255)

Soit finalement:

  (256)

CONSERVATION DE L'ÉNERGIE MÉCANIQUE TOTALE

Comparons maintenant les équations:

  (257)

puisqu'il s'agit du même travail.

Ce qui entraîne:

  (258)

somme des deux formes d'énergie en chaque point ou encore, les lieux A et B. étant quelconques, en écrivant l'équation sous une forme générale:

  (259)

Remarque: Nous nommons souvent l'énergie totale d'un système "l'hamiltonien du système" comme nous l'avons déjà mentionné dans le chapitre de mécanique analytique.

En l'absence de frottement s'il s'agit d'énergie mécanique, nous écrivons aussi la variation tel que :

  (260)

Une augmentation d'énergie cinétique entraîne donc une diminution d'énergie potentielle (et réciproquement) puisque la somme des deux reste constante.

Contre-exemple: S'il y a frottement, donc dégagement de chaleur, l'énergie mécanique totale n'est plus constante! (l'énergie mécanique seulement).

Par ailleurs reprenons la relation :

  (261)

et donc:

  (262)

D'autre part,  étant une fonction scalaire dépendant des coordonnées d'espace formons sa différentielle totale:

  (263)

en comparant avec l'équation précédente et en identifiant terme à terme, nous avons :

  (264)

d'où l'expression affirmant que la force dérive d'une énergie potentielle si le travail en jeu est indépendant du chemin suivi. Si nous exprimons la force  en termes de vecteurs-unités, nous obtenons :

  (265)

En définitive, l'affirmation que la force dérive d'une énergie potentielle  peut se résumer ainsi:

  (266)

Dans le cas de la gravitation :

  (267)

Le champ de gravitation est donc caractérisé par l'ensemble des vecteurs .

CONSERVATION DE LA QUANTITÉ DE MOUVEMENT

Un mobile, lors d'une interaction avec un autre point matériel, peut transmettre tout ou partie de son mouvement (énergie cinétique ou/et potentielle). C'est le cas lors d'un choc, par exemple. La grandeur ainsi échangée est la quantité de mouvement . Elle vaut par définition (nous l'avons déjà vu lorsque nous avons parlé de la deuxième loi de Newton):

  (268)

Evidemment, nous avons : 

  (269)

La quantité : 

 

est parfois appelée "impulsion", et l'équation précédente porte quelque fois le nom de "théorème de la quantité de mouvement". Il s'énonce ainsi:

L'impulsion fournie par une force entre les instants  et  est égale à la variation de la quantité de mouvement durant cet intervalle de temps.

Mais revenons en à notre conservation de la quantité de mouvement (et donc de l'énergie et réciproquement…). L'intérêt de la grandeur de quantité de mouvement résulte du fait qu'elle est conservée dans les interactions (en première approximation..). En effet, soient deux mobiles en collision, en vertu de l'égalité de l'action et de la réaction (3ème loi de Newton) nous avons :

  (270)

et en utilisant le théorème de la quantité de mouvement nous pouvons écrire:

  (271)

En additionnant membre à membre ces deux équations, nous déduisons :

 car   (272)

et donc:

  (273)

La quantité de mouvement totale est constante, elle se conserve donc.

LOI DE NEWTON GENERALISÉE

Revenons maintenant un petit peu à notre principe de moindre action dont nous avons parlé au tout début de cette section:

Prenons le cas d’un objet lancé en l’air et repérons deux points de sa trajectoire en deux instants quelconques. Une infinité de courbes passent entre ces deux points et pourtant la nature n’en choisit qu’une seule. Qu’est-ce qui distingue cette courbe - la trajectoire physique - de toutes les autres? A cette question nous pourrions, très justement, répondre que cette courbe se distingue des autres par le fait qu’elle est solution de l’équation différentielle de la trajectoire ... avec les conditions initiales appropriées. Mais dans le cas où nous ignorons les conditions initiales ou lorsque le problème ne peut être ramené à une équation différentielle, par quel moyen pouvons-nous alors distinguer la trajectoire physique de tous les chemins possibles?

Le principe de moindre action s'exprime dans ce contexte par un minimum de vitesse pour un minimum de chemin parcouru.

En fait de vitesse, il convient mieux en mécanique de considérer la quantité de mouvement car cette dernière grandeur est directement liée aux propriétés inertielles des corps. Mathématiquement Maupertuis traduisit le principe de moindre action comme suit.

Si nous considèrons le mouvement d’un corps entre deux points A en  et B en , pour une énergie totale E donnée, la trajectoire sélectionnée par la nature est celle pour laquelle la grandeur  suivante est minimale:


  
(274)

La trajectoire physique entre deux points A et B aux instants et est celle pour laquelle l’action est minimale.

En sachant que nous obtenons alors:

    (275)

T est l’énergie cinétique du corps.

Nous le voyons, l’action prend une forme étonnamment simple et s’exprime directement en fonction de l’énergie cinétique. Quelques années plus tard, à partir d’une intuition semblable à celle de Maupertuis, Euler parvint à un énoncé très similaire de l’action mais en partant du constat que les corps tendent à adopter un état où l’énergie potentielle est minimale. L’action d’Euler s’exprimait en fonction de l’énergie potentielle au lieu de l’énergie cinétique. Qui de Maupertuis ou d’Euler avait tort et raison?

En fait, leurs énoncés respectifs de l’action étaient équivalents. Nous savons que dans un champ conservatif, si nous appelons U l’énergie potentielle alors l’énergie totale E vaut T + U et cette énergie est une constante. Nous en tirons que T = E U et que donc :

2T = T + E - U   (276)

D’où:

  (277)

Cette relation est vraie quel que soit le chemin d’énergie totale initiale E. Nous en concluons que la valeur de la constante E ne permet pas de discriminer les différentes trajectoires et peut donc être éliminée de la formulation de l’action. L’action de Maupertuis peut alors se réduire à une nouvelle grandeur notée S:

  (278)

Cette nouvelle formulation de l’action fut donnée par Lagrange en 1788. S s'appelle "l’action lagrangienne" ou "action hamiltonienne" et la fonction : 

  (279)

porte le nom de "lagrangien mécanique". Ainsi formulé, le principe de moindre action devint l’un des outils les plus puissants de la mécanique.

Nous avons déjà vu comment nous exprimons le principe de moindre action mathématiquement. Dans le cas qui nous intéresse, l’action n’est pas une fonction de variables analytiques mais de trajectoires!

Considérons le cas très simple d’un corps de masse m se mouvant sur une seule dimension (que nous représenterons par un axe Ox) d’un point d’abscisse à l’instant  à un point de coordonnée  à l’instant . Supposons qu’il est soumis à un potentiel U qui ne varie pas avec le temps c'est-à-dire . L’action de ce corps sur un chemin C quelconque menant de  à  est alors:

  (280)

Soit le chemin physique et l’action sur ce chemin. Notons par  les valeurs de la position x sur le chemin physique. Considérons maintenant un chemin C très proche de tel que les positions le long de C aient les valeurs  que nous écrirons, pour alléger les écritures .

Calculons l’action pour ce chemin:

  (281)

Comme  est infiniment petit, il est possible de développer le potentiel en développement limité:

  (282)

Quant au premier terme, il se ramène à:

  (283)

Comme nous ne considérons que les variations du premier ordre, le dernier terme peut être négligé, ce qui donne pour l’action sur le chemin C :

  (284)

Posons maintenant que la variation  de l’action entre le chemin physique et C est nulle :

  (285)

et ainsi:

  (286)

Le premier terme dans l’intégrale peut s’intégrer par parties comme suit:

  (287)

Or, tous les chemins partent de  à l’instant  et arrivent à  à l’instant . Ceci implique qu’en  et  la variation  est nulle ce que nous écrivons . Donc le premier terme de l’intégration par parties est nul. La variation de l’action prend alors la forme:

  (288)

Cette intégrale doit être nulle pour tous les chemins très proches du chemin physique , donc quelle que soit la valeur de . Pour qu’une telle condition soit remplie il faut que le terme devant  soit nul, c'est-à-dire:

  (289)

Or nous connaissons au fait cette équation: le premier terme n’est rien d’autre que  où a est l’accélération du corps, et le second - l’opposé du gradient du potentiel - est l'intensité de la force en un point donné. Celle-ci se réduit donc à l’équation:

  (290)

qui n’est autre que la seconde loi de Newton généralisée! Le principe de moindre action contient donc implicitement la mécanique newtonienne. Ainsi, il est possible de reconstruire toute la mécanique de Newton avec le seul principe de moindre action!!!

Cet échafaudage de calculs peut paraître bien compliqué pour aboutir à un résultat que nous connaissions déjà mais tout l’intérêt du principe de moindre action réside dans le fait qu’il permet de tirer des lois fondamentales à partir de la seule connaissance du lagrangien d’un système.

Les théories les plus récentes comme la théorie quantique des champs, les théories de jauge ou la théorie des supercordes ont toutes pour point de départ l’expression de l’action du système. Les physiciens en dégagent ensuite des lois fondamentales qui régissent le comportement des particules élémentaires.

PUISSANCE

Définition: La puissance est le taux instantané de variation du travail (énergie sous forme quelconque). Nous avons donc la "puissance instantanée" donnée par :

  (291)

Si le travail est fourni de façon régulière, constant, nous avons alors la "puissance moyenne", constante :

  (292)

Remarques:

R1. L'unité de la puissance est le "Watt" et se note [W] mais en technique, certains utilisent encore souvent le "cheval" [ch] défini comme suite :

R2. En exprimant le travail (énergie) à partir de l'équation , où la puissance est donné en [kW] et le temps en heures, il apparaît alors l'unité d'énergie [kWh] (kilowattheure), très utilisée en pratique.

PUISSANCE D'UNE MACHINE TOURNANTE

Le travail élémentaire effectué par la force faisant tourner le solide (un cylindre dans la cea présenté de suite) autour de son axe d'une angle vaut :

  (293)

La puissance instantanée est alors :

  (294)

Or, moment de la force (supposée dans ce cas particulier perpendiculaire à ), donc "moment de rotation". La puissance est alors donnée par :

  (295)

RENDEMENT

A cause des frottements, la puissance restituée par une machine appelée aussi "puissance utile", est toujours inférieure à la puissance absorbée. Nous tenons compte de cet effet au moyen du rendement défini par :

  (296)

Nous y reviendrons beaucoup plus en détail lors de notre étude de la thermodynamique.


Asian





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