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  Physique Quantique des Champs
 
Avant la formulation de la physique quantique, les particules et les champs étaient considérés comme des entités distinctes mais liées; les particules possèdent certaines caractéristiques intrinsèques (comme la masse et la charge électrique) et produisent les champs (gravitationnels et électromagnétiques). Chaque champ de force émane des particules et remplit l'espace autour d'elles. Les champs emmagasinent et peuvent transporter de l'énergie; ils sont, en ce sens, des milieux continus réels qui lient les particules et communiquent les interactions entre elles. On considérait que les particules étaient composées de matière et les champs étaient composés d'énergie. La notion de champ de force était l'alternative du 19ème siècle à l'ancienne action à distance assez mystérieuse. Des particules qui ne réagissent à aucun champ de force ne sont pas observables et physiquement n'ont aucun sens. De même, des champs de force qui n'agissent pas sur aucune particule sont également sans signification. Les notions de particules et de champs n'ont donc un sens que lorsqu'elles sont reliées.

La notion de champ a commencé à être modifiée fondamentalement avec l'introduction par Albert Einstein du concept de photon. Selon cette nouvelle conception, le champ électromagnétique n'a pas son énergie distribuée d'une façon continue dans l'espace. Le photon est le "quantum du champ électromagnétique". Il transporte l'énergie et la quantité de mouvement du champ. L'interaction électromagnétique de deux particules chargées et le transfert de l'énergie et de la quantité de mouvement d'une particule à l'autre doivent avoir donc lieu par l'échange des quanta d'énergie électromagnétique, les photons. La théorie de telles interactions (entre particules chargées), appelée "électrodynamique quantique" (Q.E.D.), a été la première application réussite de ces idées (elle permet de démontrer la structure fine du modèle de Sommerfeld, expliquer le spin de l'électron..) et c'est à elle que nous allons nous intéresser ici.

Remarque: La théorie quantique des champs est l'application de la mécanique quantique aux champs. Elle fournit un cadre largement utilisé en physique des particules et en physique de la matière condensée. Les bases de la théorie quantique des champs furent développées entre 1935 et 1955, principalement par Paul Dirac, Wolfgang Pauli, Sin-Itiro Tomonaga, Julian Schwinger, Richard Feynman, et Freeman Dyson.

Avant de nous lancer dans des calculs complexes (voir plus loin), montrons que l'approche proposée précedemment peut-être considérée à l'aide d'un formalisme fort simple comme exploitable. Considérons à ce titre la figure ci-dessous (représentation de la collision élastique de deux électrons) :


  
(1)

Cette figure est appelée un "diagramme de Feynmann" (nous n'allons pas plus dans les détails mathématiques pour l'instant). Supposons que les deux électrons se déplacent initialement à la même vitesse. Ils s'approchent d'abord puis s'éloignent l'un de l'autre le long d'une droite dans l'espace qui est projetée sur l'axe des temps, dans le sens des temps croissants. L'électron à gauche émet un photon (la ligne ondulée), et pendant un certain temps , il y a deux électrons et un photon. L'électron à droite absorbe ensuite le photon et l'interaction est momentanément terminée; d'autres photons feront par la suite l'aller et retour entre les électrons. La force moyenne est proportionnelle au taux de transfert de la quantité de mouvement due à l'échange des photons. La probabilité de l'émission ou de l'absorption de photons par une particule est reliée à sa charge. La force doit donc être proportionnelle au produit des charges en interaction (en accord avec la loi de Coulomb). Pensez à la force de répulsion entre deux astronautes flottant dans l'espace et échangeant une balle dans un sens puis dans l'autre. Cependant, le phénomène inverse d'attraction ne peut être visualisé de cette manière mais uniquement sous forme mathématique formelle.

La collision présentée dans la figure ci-dessus est élastique; l'énergie de chacun des électrons est inchangée dans la collision. Malgré cela, pendant un temps , le système contient une quantité d'énergie supplémentaire hv correspondant au photon. Pendant ce temps , la conservation de l'énergie est apparemment violée! Peut-on tolérer cette situation? La réponse, donnée par la physique moderne, est oui; mais elle ne peut jamais être observée. Autrement dit, il y a toujours une certaine incertitude  sur la valeur mesurée de l'énergie d'un système. Le principe d'incertitude de Heisenberg impliquant (voir démonstration dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) que :

  (2)

Une violation de la loi de conservation de l'énergie jusqu'à une quantité  sera cachée par l'incertitude sur l'énergie toujours présente à condition que le temps disponible pour faire l'observation  soit suffisamment petite, à savoir:

  (3)

évidemment une valeur inférieur à  satisfait également la condition. Nous pouvons donc écrire:

  (4)

L'incertitude sur l'énergie dépasse l'énergie d'un photon d'énergie hv si le photon existe pendant un temps plus court que:

  (5)

Ce photon est alors observable sur une distance maximale de :

  (6)

et comme la fréquence peut être arbitrairement petite, la portée de la force transmise par le photon sans masse est illimitée. Il peut paraître dans cette relation que la portée est limitée pour un photon libre. Mais ce serait oublier (cf. chapique de Physique Quantique Ondulatoire) qu'un photon libre n'existe pas car il aurait une fréquence totalement indéterminée. Donc la distance d'interaction le serait aussi.

Ces quanta d'échanges, qui sont inobservables, sont appelés des "photons virtuels". Comme les photons ne sont pas chargés nous disons aussi que l'interaction s'effectue par "courant neutre".

Une approche beaucoup plus satisfaisante et celle qui consiste à utiliser la masse comme terme d'énergie:

  (7)

à l'aide de cette relation, il est possible de connaître le temps pendant lequel une particule virtuelle peut parcourir une distance qui correspondrait à :

  (8)

Nous verrons plus loin comment déterminer approximativement la masse des particules virtuelles qui interviennent dans les forces nucléaires ce qui nous permettra d'estimer la durée des interactions comme étant de l'ordre de .

Vers la fin des années 1920, il était devenu clair qu'on pouvait considérer chacune des particules connues (proton, électron, etc.) comme le quantum d'un champ spécifique. Dans cette vision, il y a un champ d'électron, un champ de proton, et ainsi de suite comme nous le démontrerons plus loin (l'Univers serait donc un ensemble de champs unifiés). Un objet quelconque est en réalité un ensemble de manifestations observables des quanta des champs.

Par ailleurs, nous avons vu que l’écriture des équations d’onde pour des particules relativistes (équation de Dirac et équation de Klein-Gordon vue en physique quantique relativiste) amènent des problèmes insolubles classiquement, notamment des énergies négatives. En fait, cette approche n’est pas justifiée car d’après l’équation d’Einstein masse et énergie sont équivalentes et si l’on rajoute à cela le principe d’incertitude d’Heisenberg énergie-temps nous constatons qu’un nombre infini de particules peuvent être créées ou annihilées, d’où la nécessité d’un modèle ne prenant plus en compte les propriétés d’une seule particule mais d’un ensemble de particules, aussi bien réelles que virtuelles.

Remarque: Quand Fermi formula sa théorie des interactions faibles en 1932, il la fonda sur les mêmes principes que l'électrodynamique quantique (c'est une des raisons pour laquelle la QED est appelée "bijou de la physique" - le modèle standard est calqué sur cette théorie par ailleurs). Deux ans plus tard, le physicien japonais H. Yukawa proposa que l'interaction faible était due à l'échange d'un boson virtuel massif.

POTENTIEL DE YUKAWA

Le meilleur pour argumenter l'exemple des quantums reste la "démonstration" de la loi de Coulomb (et de Newton) à partir des résultats que nous avons obtenu en physique quantique ondulatoire (nous devons ces développements à Yukawa).

Soit l'équation de Klein-Gordon libre (cf. chapitre Physique Quantique Ondulatoire):

  (9)

cette équation décrit la dynamique d'amplitude de présence d'une particule sans spin dans le temps dans un potentiel donné.

Considérons une composante de  statique (indépendante du temps) à symétrique sphérique:

  (10)

L'équation de Klein-Gordon se réduit alors à:

  (11)

Si nous divisons des deux côtés de l'égalité par :

  (12)

Rappel (cf. chapitre d'Analyse Vectorielle) de notation du Laplacien du champ scalaire:

  (13)

et soit son expression en coordonnées sphériques où est identifié à l'origine du champ (cf. chapitre d'Analyse Vectorielle) :

  (14)

Comme le champ U(r) est à symétrie sphérique (dépendant de r uniquement) le Laplacien se réduit à:

  (15)

Donc l'équation du champ U(r) s'écrit:

  (16)

Cette équation différentielle à pour solution (on devine assez facilement que l'exponentielle est une solution possible):

  (17)

C est une constante d'intégration.

Dans le cadre de l'utilisation des unités naturelles (ce qui est le plus fréquent à ce niveau dans la littérature scientifique) ce potentiel s'écrit :

  (18)

et se nomme "potentiel de Yukawa".

Le lecteur remarquera que mise à part la distance r, l'autre variable dans l'exponentielle est la masse (les autres termes étant des constantes universelles). Conséquence : le potentiel de Yukawa est aussi bien un "champ scalaire" dans le cas où la masse est nulle (voir l'exemple ci-après) qu'un "champ massique" dans le cas où la masse est non nulle !

Cela nous amène à l'hypothèse suivante : si c'est le champ électrique qui maintient les particules chargées entre elles dans l'atome (voir le traitement du champ non-massique ci-dessous), c'est le champ massique qui maintient les particules non chargées entre elles dans l'atome.

Autrement dit, si des particules interagissent par l'intermédiaire d'un champ massique de masse (au lieu d'intéragir avec des photons de masse nul), leur force mutuelle va décroître exponentiellement (ce qui est très rapide).

CHAMPS MASSIQUES

Le physicien H. Yukawa proposa donc en 1935 que la force nucléaire devait sa très courte portée au fait qu'elle était transmise par des particules massives (plus la masse du quanta échangé est grande plus la portée de l'interaction est réduite), décrites par le champ massique ci-haut.

Remarque: Dans le cadre historique de l'époque ces particules hypothétiques étaient les "mésons". Mais nous verrons que cette hypothèse ne tiendra pas la route très longtemps.

Voyons cela de plus près. Notons le potentiel de Yukawa sous la forme suivante :

  (19)

avec :

  (20)

Cette notation n'est pas innocente car comme nous le verrons en détails plus loin, lorsque  (cas de l'interaction électromagnétique et gravitationnelle) alors  et nous retrouvons alors la loi fondamentale de l'électrodynamique ou de la gravitation où la particule d'interaction est le photon (masse nulle) pour la première et respectivement le graviton pour la deuxième.

Ainsi, en supposant que le rayon de l'interaction nucléaire forte (cohésion des nucléons entre eux) est  et celui de l'interaction nucléaire faible (qui serait à l'origine de la désintégration bêta comme nous l'avons précisé dans le chapitre de physique nucléaire) , nous avons alors les énergies de liaisons des interactions ainsi leur masse approximative immédiatement :

- Pour "l'interaction nucléaire forte" :

  (21)

soit environ 220 fois la masse de l'électron et 1/9 de la masse du proton.

Deux ans après cette prédiction de Yukawa, les physiciens découvrirent une particule correspondant à cette masse : le méson . Il s'avérera plus tard que ce n'était pas la bonne particule mais une particule de même type que l'électron, soit un lepton et donc un fermion (ce ne peut donc être une particule messagère). De plus, les expériences de diffusions et de collisions avec des protons, deuterons, etc... à des énergies de plus en plus hautes ont montrées qu'il y avait une modification de l'intensité/forme de l'interaction forte incompatible avec l'hypothèse d'un seul méson. De plus les résonnances hadroniques montraient qu'il existait des états excités des mésons ce qui est difficile à imaginer pour des particules considérées comme fondamentales en analogie avec le photon!!

Les particules détectées dans les laboratoires et qui semblaient être les meilleures candidates à l'époque (car il y en avait plusieurs...) de l'interaction nucléaire forte étaient les "pions" (ou "mésons pi") qui se présentent sous trois formes :

 

et qui sont 270 fois plus massifs que l'électron. Donc cette différence de masse indique bien que le modèle de Yukawa n'est pas tout à fait exacte.

Avant la découverte des quarks (dont sont constitués les mésons), les mésons étaient donc considérés comme les vecteurs de l'interaction forte.

- Pour "l'interaction nucléaire faible" :

  (22)

Il s'agit donc d'une masse colossale, une centaine de fois la masse du proton! Les vecteurs d'interactions ont des candidats qui ont été mis en évidence en 1983 dans les accélérateurs du CERN. Ces particules messagères de l'interaction nucléaire faible se nomment les "bosons intermédiaires" .

Ces observations amenèrent l'hypothèse que la théorie de Yukawa n'était pas une théorie assez fondamentale quoiqu'elle représente bien certaines de ses propriétés...

CHAMPS NON-MASSIQUES

Imaginons maintenant un champ scalaire à symétrique sphérique statique, dont le photon (particule sans spin) est l'hypothétique quantum d'échange.

Comme la masse du photon est nulle, l'expression de U(r) se réduit à:

  (23)

Si nous interprétons U(r) comme le potentiel électrostatique source d'une quantité  de charges élémentaires q alors la constante C dans notre système métrique vaut:

  (24)

Tel que:

  (25)

Comme nous avons:

  (26)

Il en découle:

  (27)

Ce qui nous donne:

  (28)

Conclusion: Si un particule se trouve dans un champ de potentiel à symétrique sphérique U(r) dont le photon est supposé être initialement le quantum d'interaction alors nous avons affaire à un champ électrostatique dont l'expression est identique à la loi Coulomb (ceci valide donc encore une fois de façon magistrale la théorie de la physique quantique ondulatoire).

Remarque: Le photon est donc bien le quantum d'interaction du champ électrique à symétrie sphérique (lorsque les charges ont une vitesse relativiste le champ électrique n'est pas à symétrie sphérique et les équations deviennent un peu plus compliquées – voir le chapitre de Relativité Restreinte) et nous ne devrions plus parler de charge électrique mais de "transparence" aux photons. Effectivement, le neutron étant neutre globalement celui-ci ne devrait pas interagir avec le champ électrique, mais comme il est composé de particules chargées (les quarks) les expériences mettent en évidence une affluence en présence du champ électromagnétique (dont le photon est le quantum d'interaction).

Ceci dit, en appliquant le même raisonnement nous pouvons de même retrouver le potentiel gravitationnel de Newton :

  (29)

Ce qui impliquerait que le quantum d'interaction du champ gravitationnel est aussi sans masse (dans le cas des petites masses du moins étant donné que nous savons que le potentiel de Newton n'est qu'une approximation de la relativité générale dans le cas des petites masses) et sans spin. Etant donné que le champ gravitationnel ne semble pas interagir avec la présence d'un champ magnétique ou électrostatique, cela nous amène à émettre l'hypothèse que le quantum d'interaction n'est pas le photon et à supposer qu'une autre particule, que nous appelerons "graviton", en est le messager.

ÉQUATION D'EULER-LAGRANGE DES CHAMPS

La façon dont la théorie des champs fut introduite à partir des particules élémentaires par Dirac est connue pour des raisons historiques sous l'appelation de "deuxième quantification".

Il est peut-être utile de mettre en évidence une possible source de confusion : les champs ne sont pas liées à la dualité onde-corpuscule. Ce que nous entendons par "champ" est un concept qui permet la création ou l'annihilation de particules en tout point de l'espace comme nous le verrons dans les développements mathématiques.

Rappellons que nous avons défini en physique quantique ondulatoire lors de l'étude de l'équation d'évolution de Schrödinger l'opérateur d'Heisenberg, nécessaire à la condition de normalisation de De Broglie :

  (30)

En dérivant cet opérateur par rapport au temps, nous avons trivialement :

  (31)

où rappelons-le, le commutateur de deux opérateurs est donné (comme nous l'avons déjà vu lors de notre étude des opérateurs adjoints et hermitiques en physique quantique ondulatoire) par définition par :

  (32)

C'est l'hamiltonien H qui fait interruption en premier dans la relation précédente. Mais nous pouvons tout aussi bien lui substituer un hamiltonien dépendant du temps H(t) tel que:

  (33)

Maintenant, nous pouvons substituer par des observables connus tels que:

  (34)

dites "équations du mouvement de Heisenberg". Ce qui est intéressant dans les deux relations obtenues précédemment, c'est la façon avec laquelle se réalise la jonction entre la physique quantique et la mécanique classique. Effectivement, nous avions démontré au chapitre de mécanique analytique que les relations ci-dessous sont et seront toujours valables quelque soit le domaine étudié :

  (35)

ainsi que :

  (36)

et:

  (37)

La généralisation à plusieur degrés de liberté est immediate et nous donne l'ensemble les relations (nous allègons les écritures en omettant l'écriture de la dépendance à la variable temporelle):

  (38)

Nous avons encore besoin de deux autres relations importantes que nous allons de suite déterminer. D'abord, d'après les définitions des commutateurs, il est inutile de démontrer que (trivial) :

  (39)

Par contre, il est un peu plus subtil de démontrer la valeur de  (nous plaisantons...). Rappellons que nous avions démontré lors de notre étude des opérateurs linéaires fonctionnels que (nous nous restreignons au cas de la coordonnée x ici):

  (40)

et que q représente une coordonnée généralisée (x par exemple...). Nous avons donc (résultat déjà démontré dans le chapitre de physique quantique ondulatoire...):

  (41)

Les deux dernières relations peuvent être généralisées à toutes les composantes voulues telles que:

  (42)

avec rappelons-le (cf. chapitre de Calcul Tensoriel):

  (43)

qui est le symbole de Kronecker.

Pour en arriver enfin à la théorie quantique des champs, il nous faut encore généraliser à une infinité continue de degrés de liberté. En effet, même le plus simple des champs est caractérisé, à un instant t, par une infinité continue de quantités :

  (44)

pout tout .  Nous pourrions donc imaginer représenter la fonction  par ses valeurs  en un ensemble discret de points  que noous rendrons en fin de compte infiniment dense (prenez garde au fait que nous utilisions la notion de densité !). Nous pouvons aussi travailler, pour commencer, non pas dans tout l'espace, mais dans un volume fini que nous finirons par rendre très grand.. En procédant ainsi, nous pouvons trouver comment généraliser le formalisme canonique et le processus de quantification. Au niveau formel, nonobstant de subtiles questions de convergences (voir les parties mathématiques du site), la généralisation aux systèmes continus consiste principalement à remplacer les sommes sur des indices n par des intégrales sur des arguments , et les deltas de Kronecker par des deltas de Dirac (sur l'espace-temps) :

  (45)

En considérant alors le principe variationnel comme nous l'avons étudié en mécanique analytique:

  (46)

et le principe de moindre action nous imposant :

  (47)

où le lagrangien sera maintenant une fonction du champ  et de dérivée par rapport au champ (puisqu'il n'y a pas de notion de quantité de mouvement pour un champ !).

Si nous divisons la relation précédente par  nous obtenons :

  (48)

ce qui nous donne le droit d'écrire:

  (49)

et en imposant une analogie avec un concept de champ :

  (50)

 et  .

Finalement, comme tous les termes suivants sont nuls, ils sont égaux (nous faisons intervenir l'équation d'Euler-Lagrange démontrée en mécanique analytique) :

  (51)

en analogie avec le champ  nous obtenons:

  (52)

Cette écriture étant peu commode, on prend pour habitude décrire les différentielles partielles (en utilisant les unités naturelles de la physique) aux composantes  sous la forme ce qui nous donne finalement :

  (53)

et qui nous amène aussi à écrire le principe de moindre action sous la forme suivante :

  (54)

Avec l'action des champs notée plus traditionnellement :

  (55)

ou encore pour différencier lagrangien et densité lagrangienne :

  (56)

à comparer à l'action de la particule :

  (57)

En analogie avec  nous écrirons:

  (58)

et en analogie avec   nous écrirons :

  (59)

mais un champ est un milieu continu. La somme sigma n'est donc plus adaptée et il faut passer à une intégration sur tout l'espace-temps telle que:

  (60)

En analogie avec les équations du mouvement de Heisenberg, nous écrivons:

  (61)

Passons maintenant à la théorie quantique en postulant des champs d'opérateurs de Heisenberg correspondants. Rappellons que nous avions obtenu plus haut que:

 et   (62)

ce qui nous donne:

 et   (63)

Si nous résumons un peu le tout et que nous affichons la comparaison avec la physique quantique ondulatoire, nous avons finalement :

1. En physique quantique ondulatoire (c'est joli à regarder non?) :

  (64)

2. Et l'équivalent en physique quantique des champs (alors là... ça devient de l'art!) :

  (65)

Et le tour est joué! Nous venons de passer les paramètres de la physique quantique où les corps ponctuels sont décrits par des fonctions d'onde, à une physique quantique ou les corps ponctuels deviennent des champs continus.

Il ne reste plus qu'à appliquer ce schéma général à des exemples concrets :

Nous allons commencer par un premier exemple en tenant compte de l'aspect relativiste. Ainsi, la densité lagrangienne non triviale que nous puissions construire est de la forme (vous allez de suite voir à quoi elle va mener, ce qui confirmera sa validité - par ailleurs, le développement qui va suivre aurait très bien pu être présenté dans l'autre sens) :

  (66)

que les physiciens appellent "champ scalaire pour une particule libre et sans spin" ou "lagrangien de Klein-Gordon" pour une particule sans spin où nous utilisons les notations condensées habituelles :

  (67)

et les unités naturelles :

  (68)

calculons l'équation d'Euler-Lagrange y relative (trivial):

  (69)

d'où l'équation du mouvement :

  (70)

Rappelons qu'en physique quantique ondulatoire nous avions obtenu pour l'équation de Klein-Gordon libre :

  (71)

En adoptant les unités naturelles, nous avons donc :

et en travaillant dans l'espace de Minkowski comme cela se fait souvent en relativité tel que :

  (72)

L'équation de Klein-Gordon libre s'écrit alors :

  (73)

Nous avons donc finalement à comparer l'équation du mouvement du champ et l'équation de Klein-Gordon libre :

et   (74)

et c'est ici que vous devriez ressentir un frisson dans le dos et entendre dans votre intérieur une musique céleste (….). C'est tellement beau que l'on ne peut que rester admiratif face à la puissance du formalisme mathématique ouvrant de nouvelles perspectives sur la manière de voir les rouages de l'Univers....

Et encore… mieux…vous allez voir, nous allons le faire un peu à l'aveugle et… alors là ! Considérons maintenant le lagrangien suivant (que nous supposerons obtenu par bricolage ssuccessifs… mais à nouveau nous aurions pu faire le développement dans l'autre sens) se voulant exprimer "l'interaction d'un champ électromagnétique avec une densité courant" :

  (75)

où nous y reconnaissons les tenseurs du champ électromagnétique démontrés et déterminés dans le chapitre d'Électrodynamique et pour lesquels, rappelons-le :

  (76)

Dans ce lagrangien, traitons le potentiel vecteur comme le champ tel que :

  (77)

Dès lors en décomposant les développements, nous obtenons très facilement :

et et   (78)

Dans un premier temps, le lecteur vérifier en faisant un peu de calcul tensoriel élémentaire que :

  (79)

Puis :

  (80)

Dès lors, l'équation du champ s'écrit :

  (81)

d'où :

  (82)

Aïe que c'est beau mais que c'est beau!!! Nous retrouvons donc l'équation de Maxwell avec sources avec le même lagrangien du champ (cf. chapitre d'Électrodynamique). Ainsi, ce lagrangien sans masse est assimilé au lagrangien du champ vectoriel de spin 1 assimilé aux bosons.

Rappelons maintenant que nous avions obtenu dans le chapitre d'Électrodynamique l'action suivante pour une particule chargée dans un champ électromagnétique (avant un long développement qui nous avait amené au tenseur du champ électromagnétique) :

  (83)

et en se rappelant que (cf. chapitre d'Électrodynamique) :

  (84)

il vient :

  (85)

Donc la densité lagrangienne correspondante est donc :

  (86)

Nous avons donc finalement :

1. Le lagrangien (densité lagrangienne) d'une particule chargée dans un champ électromagnétique (que nous venons d'obtenir) :

  (87)

2. Le lagrangien (densité lagrangienne) de tout à l'heure (qui nous a permis de retomber sur les équations de Maxwell sans source) :

  (88)

Remarque: Attention, par construction, ce n'est pas un problème de retomber seulement sur les équations de Maxwell sans sources avec ce lagrangien car implicitement, le tenseur sous-tend toutes les équations de Maxwell comme nous l'avons vu en électrodynamique et sa présence dans le lagrangien suffit donc à ce que toutes les propriétés du champ électromagnétique soient pris en compte.

Dès lors, il est naturel d'écrire le "lagrangien (densité lagrangienne) total du champ électromagnétique" :

  (89)

Continuons maintenant notre bonhomme de chemin avec l'équation de Dirac libre! Rappelons que nous avions obtenu dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste l'équation de Dirac libre sous la forme (fondamentalement rappelons qu'il s'agit d'une équation relativiste) :

  (90)

Maintenant rappelons (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) que . Dès lors, il vient :

  (91)

Or, et il est super facile de vérifier (ne pas oublier que nous utilisons la forme représentative de Dirac des matrices de Pauli !!!) ce qui nous amène à écrire :

  (92)

Il est alors commode d'introduire"l'adjoint de Dirac" :

  (93)

Remarque: Rappelons que est une matrice colonne et une matrice ligne. Il vient donc que est aussi une matrice ligne!

Utilisant le fait que dans la représentation de Dirac nous pouvons écrire :

  (94)

en simplifiant les il vient l'équation de Dirac libre adjointe :

  (95)

Ce que nous notons traditionnellement:

  (96)

La notation signifiant que l'opérateur opère sur vers la gauche tel que :

  (97)

Remarque: Certains auteurs écrivent mais ceci est faux car est une matrice ligne comme nous l'avons fait remarquer plus haut!!!

Finalement nous avons pour les équations de Dirac libres:

  (98)

Supposons maintenant que le "lagrangien du champ spinoriel de Dirac libre" soit de la forme (parce que finalement c'est le langrangien qui nous intéresse) :

  (99)

où nous avons posé . Il s'agit donc du lagrangien du champ spinoriel pour les particules de spin 1/2 qui sont donc des fermions.

En considérant les quantités comme indépendantes (c'est ce qu'elles sont de toute façon puisque orthogonales) et choisissant le champ spinoriel comme , nous avons :

  (100)

Le deuxième terme est nul puisque le lagrangien de Dirac ne contient pas de termes en . De fait il reste :

  (101)

Nous retombons donc bien sur l'équation de Dirac libre (le même développement pouvant être fait pour l'équation de Dirac libre adjointe)! Ainsi, dans ce cadre, la seule manière d'expliquer les propriétés quantiques de la matière comportant des particules avec spin est de faire intervenir des champs représentant des particules chargées électriquement, les électrons et positrons comme nous le savons. Nous appelons alors ces entités des "champs (spinoriels) de Dirac".

THÉORIES DE JAUGE

Nous allons voir maintenant une approche simple d'un outil qui a révolutionné l'approche de la physique moderne des particules au milieu du 20ème siècle et qui a valu plusieurs prix Nobel a ceux qui y ont contribué.

Nous conseillons très fortement avant de lire ce qui va suivre que le lecteur aille jeter aussi un coup d'œil préalable sur le sous-chapitre de théorie des Jauges du chapitre d'électrodynamique car c'est un premier exemple d'une invariance de jauge faisant apparaître un champ (le potentiel vecteur) indispensable pour expliquer certains phénomènes à l'échelle quantique comme l'explicite clairement l'équation de Pauli (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste).

Depuis le début des années 80, les magazines de vulgarisation parlent beaucoup en physique quantique des théories de jauge. Les interactions électromagnétiques et les interactions faibles sont décrites conjointement par une théorie de jauge élaborée par Glashow, Weinberg et Salam. Les interactions fortes semblent aussi correctement décrites par une théorie de jauge. C'est dans le cadre de ces théories de jauge que les physiciens théoriciens tentent d'unifier les diverses interactions fondamentales de la nature. Il convient donc, même dans un site qui traite de manière élémentaire de physique quantique, de parler de théorie de jauge dans le cadre de ce domaine.

Pour ce faire, nous considérerons déjà comme connu le contexte qui mena à la découverte de l'invariance de jauge dans le cadre de l'électrodynamique (voir chapitre du même nom pour les détails) et ferons un rapprochement avec certains développements vus dans le chapitre de Relativité Générale et le rôle qu'a joué Weyl dans la mise en évidence des principes fondamentaux d'une théorie de jauge.

Rappelons que la relativité restreinte et générale reposent sur le postulant qu'il n'existe dans l'univers aucun référentiel absolu. Nous avons vu dans le chapitre de Relativité Restreinte en long et en large que les relations qui permettent de passer les lois de la physique d'un repère à l'autre ne dépendent que da la vitesse relative entre les référentiels. Ainsi, la relativité restreinte est une théorie à symétrie globale. Nous avons également vu en long et en large dans le chapitre de Relativité Générale que la connexion affine est le lien entre les référentiels de la théorie locale (approximation des champs faibles) qu'est la relativité générale.

En 1919 eut lieu la première observation expérimentale de la déviation de la lumière d'une étoile par le champ gravitationnel du Soleil. Cette confirmation spectaculaire de la théorie de la relativité générale inspira Hermann Weyl, qui proposa la même année une conception révolutionnaire de l'invariance de jauge: Si les effets d'un champ gravitationnel peuvent être décrits par une connexion exprimant l'orientation relative entre des référentiels locaux de l'espace-temps, d'autres forces de la nature telles-que l'électromagnétisme peuvent-elles être associées aussi à des connexions similaires?

Nous considérons deux types de symétrie de jauge: l'une dite "jauge globale" et l'autre dite "jauge locale". Elles se distinguent par le paramètre caractérisant le changement de phase de la fonction d'onde (nous verrons cela en détails un peu plus loin).

INVARIANCE DE JAUGE GLOBALE

Nous allons donc étudier l'invariance de jauge à partir de l'équation de Schrödinger et montrer que même si les résultats peuvent paraître déroutants (dans le cadre d'applications complexes) il n'en restent pas moins mathématiquement corrects.

Remarque: L'invariance de jauge globale est rigoureusement nommée "symétrie globale".

Considérons donc l'équation de Schrödinger:

  (102)

avec comme nous l'avons montré:

  (103)

avec . Soit dans le cas d'une particule libre:

  (104)

Cette équation est manifestement invariante dans la transformation qui fait passer de  à  avec:

  (105)

g est une constante de couplage (pour assurer l'homogénéité des unités et l'amplitude) étant considérée comme un nombre réel et  un paramètre réel indépendant des coordonnées (dans un premier temps…) d'espace et de temps.

  (106)

devient:

  (107)

et comme  ne dépend ni de  alors:

  (108)

Soit après simplification:

  (109)

La forme de l'équation est restée la même lorsque nous avons fait le changement de  en .

Ainsi, la description d'un système libre n'est pas affectée par le changement de phase globale. En langage de la théorie des groupes (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste), nous parlons d'invariance sous le groupe U(1) des phases.

En d'autres termes pour parler comme les phyisicens…:

  (110)

définit une transformation de jauge par la rotation  (le paramètre au sens des groupes de Lie).

L'ensemble des rotations forment un groupe nommé U(1) que l'usage appelle le groupe de jauge (isomorphe de SO(2)).

L'ensemble des  forment une représentation monodimensionnelle du groupe U(1) que nous appelons  la représentation g. Il y a bien entendu une infinité de representation g (autant qu'il y a de valeurs de g!).

Comme le paramètre  ne dépend pas de la position et du temps, nous disons que le le système est invariant par transformation de jauge globale (partout en même temps) ou simplement un invariant de U(1) dans le temps et l'espace.

INVARIANCE DE JAUGE LOCALE

Mais mais… soit l'invariance de jauge globale montre que nous avons une équation qui reste valable dans le cadre d'un changement de phase fixe. Mais maintenant dans un laboratoire cette équation de Schrödinger doit être valable même si la phase dépend de la position et de du temps. Cette contrainte s'appelle une "invariance locale".

Nous considérons ainsi que  est une fonction  et l'idée bien évidemment est de vérifier si l'équation de Schrödinger reste invariante dans la transformation:

  (111)

Il est dès lors évident que l'équation de Shrödinger:

  (112)

n'est plus invariante. Effectivement nous voyons rapidement que rien que l'opérateur  dans l'hamiltonien va poser problème en faisant apparaître des termes gênants qui ne s'annuleront pas:


  
(113)

Pour contourner ce problème nous introduisons le champ de force associé au potentiel vecteur et au potentiel électrique et nous verrons qu'il garantit l'invariance locale (dons il est impossible de différencier un changement de phase de la présence d'un champ de force de ce type). Donc l'invariance locale impose que la particule ne soit plus libre (il n'existe donc pas de particules chargées libres!).

Pour cela reprenons l'hamiltonien de l'équation de Pauli (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste):

  (114)

et négligeons l'interaction entre le spin et le champ magnétique tel que l'hamiltonien devienne:

  (115)

Soit:

  (116)

Nous avons donc l'équation de Schrödinger suivante:

  (117)

Ce qui par rapport à l'équation de Schrödinger libre:

  (118)

fait intervenir les correspondances suivantes:

  (119)

Considérons la transformation de jauge (cf. chapitre d'Électrodynamique) en notant dorénavant le potentiel électrique par la lettre V :

  (120)

.

D'abord, nous voyons alors immédiatement que les opérateurs sont invariants. Effectivement:

  (121)

Or, si g est posé comme étant   et f comme étant  alors nous avons:

  (122)

Soit tout simplement:

  (123)

De même en sachant maintenant que f est :

  (124)

Nous avons donc:

  (125)

Soit:

  (126)

La relation:

  (127)

devient alors avec les nouvelles correspondances:

  (128)

et avec les développements antérieurs nous avons donc:

  (129)

Soit:

  (130)

Ce qui donne après simplification:

  (131)

Ainsi, en demandant l'invariance de jauge nous avons fait apparaître une interaction… et nous savons bien qu'elle est cette interaction!

L'équation de Schrödinger d'une particule se déplaçant dans un champ électromagnétique est donc invariante sous la transformation locale de phase. La phase d'une fonction d'onde est bel et bien une nouvelle variable locale au sens de Weyl et le potentiel électromagnétique peut être interprété, suivant Weyl, comme une connexion reliant les phases en différents points.

Nous en concluons que le champ électromagnétique est une conséquence de l'invariance de jauge locale fondée sur le groupe U(1), groupe des matrices unitaires à une dimension (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste). L'intérêt qui existe est de construire des théories de jauge sur des groupes plus compliqués (non-abéliens): ces théories sont appelées "théories de Yang-Mills".

Maintenant allons un tout petit peu plus loin mais sans trop approfondir… Nous avons montré plus haut que le lagrangien de l'équation de Dirac libre était:

  (132)

Or, cette équation ne faisant pas apparaître le champ électromagnétique on se doute très fortement qu'elle n'est pas invariante à une jauge locale…

Or, l'équivalent de l'opérateur divergence  dans l'équation de Schrödinger libre est la dérivée covariante  . Donc au même titre que nous avons associé pour l'invariance locale de jauge de l'équation de Schrödinger libre:

  (133)

Il est tentant de combiner le tout en un nouvel opérateur:

  (134)

avec :

Le langrangien de l'équation de Dirac libre s'écrirait alors:

  (135)

Soit:

  (136)

avec:

  (137)

Il ne reste plus qu'à rajouter le terme du champ pour et nous avons le lagrangien total de l'équation de Dirac (cela aurait été relativement dur de le trouver d'une autre manière…):

  (138)

qui correspond aux équations de Dirac-Maxwell et qui es le "lagrangien de l'électrodynamique quantique des champs" ou à gauche nous avons le terme des fermions et à la droite la partie d'interaction des bosons de masse nulle (photons).

L'électrodynamique a fait défaut cependant dans les années 1940 pour décrire bon nombre de particules mises en évidence par les accélérateurs. Certes, d'une certaine manière elle a été étendue pour décrire de nouvelles particules. Mais beaucoup d'entre elles semblaient jouir de propriétés donc l'électrodynamique quantique ne pouvrait rendre compte.

Au fait la raison est simple... c'est une théorie dans laquelle aucune solution exacte n'est connue, une situation qui perdure jusqu'à nos jours (2008). La seule méthode de calcul disponible est appelée développement perturbatif. L'idée est essentiellement la même que celle du développement limité que l'on pratique dans le domaine de calcul différentiel. En l'occurrence, si nous ne savons pas calculer la valeur d'une fonction, nous la décomposons en une séquences de polynômes et l'approximation s'affine au fur et à mesure que nous prenons en compte des termes de degrés de plus en plus élevés. Un tel développement en série commence par un terme d'ordre zéro, qui est juste la valeur de la fonction inconnue en un certait point où l'on sait calculer cette fonction.

Dans le cas du développement perturbatif de l'électrodynamique quantique, le terme d'ordre zéro représente la propagation pure, sans interaction (l'intensité de l'interaction entre l'électron et le champ magnétique est mise à zéro). Dans cette approximation, l'électrodynamique quantique est une théorie des particules libres et elle est exactement calculable. Nous avons des électrons, des positons et des photons mais ils se croisent sans s'influencer. Le terme suivant dans le développement en sérire, celui du premier ordre, est aussi exactement calculable. Dans cette approximation, la théorie semble refléter assez fidélement le monde réel. Des phénomènes physiques très intéressants apparaissent dans cette approximation de premier odre de la théorie réelle de l'interaction photon-électron et la théorie s'accorde bien avec les résultats expérimentaux.

Malheureusement on eu tôt fait de découvrir que le calcul des termes de second ordre et des termes plus élevés semblait dénué de sens jusqu'à donner des valeurs infinies... aujourd'hui il n'existe encore que des méthode de résolution approximatives et non totalement satisfaisantes dès lors il a été obligé de chercher une autre technique d'approximation se basant sur une renormalisation des équations... et les résultats sont extraordinairements bons mais au fond cels sent un peu le bricolage sur mesure.






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