La topologie (du grec : discours du lieu) est un domaine extrêmement vaste des mathématiques dont il est difficile de définir avec exactitude l'objet dont elle fait l'étude. Ce que nous pouvons dire dans un premier temps, c'est que la topologie est très intimement liée à la théorie des ensembles, aux probabilités, à l'analyse fonctionnelle, aux suites et séries, au calcul intégral et différentiel, au calcul vectoriel, à la géométrie et encore beaucoup d'autres domaines.

L'origine de la topologie semble provenir des problèmes qu'ont posés les progrès de l'analyse fonctionnelle dans l'étude des fonctions continues, de leur dérivabilité, de leurs limites en un point (fini ou non), de l'existence d'extremums, etc... dans des espaces de dimensions supérieures (au fait, implicitement la topologie a pour objectif de créer des outils qui permettent facilement d'étudier les propriétés des fonctions dans toutes les dimensions). Tout ces concepts, demandaient pour le mathématicien une définition rigoureuse de l'idée intuitive de proximité, tout particulièrement lors d'opérations sur ces fonctions.

Nous allons essayer dégager les structures qui permettent de parler de limite et de continuité. L'exemple fondamental est le cas de et de . La théorie générale englobe bien sûr cet exemple qu'il faut garder en tête mais conduit parfois des situations moins intuitives.

Voici cependant un essai de définition de la topologie que nous pourrons toujours compléter :

Définition : La topologie s'intéresse aux propriétés morphologiques des ensembles, par l'intermédiaire de l'étude des relations entre leurs différents éléments (la distance entre deux objets d'un ensemble est un exemple), indépendamment de leur forme ou de leur taille, c'est-à-dire indépendamment des propriétés quantitatives des ensembles. Intuitivement, (mais ce n'est qu'un cas particulier), deux objets sont topologiquement équivalents s'il est possible de passer de l'un à l'autre par déformation élastique, sans déchirure ni recollement.

Remarques:

R1. Nous pensons que la topologie devrait être introduite dans le cursus scolaire dès le moment où l'étudiant a de solides connaissances en théorie des ensembles, calcul vectoriel, algèbre linéaire, calcul tensoriel et géométrie différentielle. Ce n'est effectivement qu'à ce moment que le niveau de l'étudiant permet à celui-ci de comprendre toute la subtilité, l'utilité et les répercussions majeures des développements et définitions qui vont suivre.

R2. Souvent les personnes qui commencent à étudier la topologie sont frappées par le fait qu'il y ait autant de définitions dans un seul domaine (ce qui gâche, il est vrai, un peu la beauté mathématique de la topologie). Ils prennent alors pleinement conscience de la citation d'Erdös : "les mathématiciens sont des gens qui font des définitions avec du café...".

R3. Certains concepts définis ici deviendront aussi plus clair dès le moment où le lecteur aura étudié le chapitre de Théorie De La Mesure (...)

ESPACE TOPOLOGIQUE

Définition : Soit un ensemble non vide X. Une "topologie" sur X est une famille F de parties de X appelées "ouverts" tel que les axiomes suivants soient vérifiés :

A1. L'ensemble vide et X sont des ouverts : et

A2. Toute intersection finie d'ouverts est un ouvert : implique

A3. Toute réunions d'ouverts est un ouvert : implique

Remarques:

R1. Les mathématiciens notent fréquemment par la lettre O la famille des ouverts et F la famille des fermés. Convention que nous ne suivrons donc pas ici.

R2. Les "fermés" d'une topologie sont les complémentaires des ouverts. Par conséquent, la famille des fermés contient entre autres X et l'ensemble vide...

Définition : Etant donné une telle famille F, nous appelons X, ou plus précisément le couple (X,F) un "espace topologique" et F une "topologie".

Le couple (X,F) forme un "espace de Hausdorff" ou "espace séparé" si de plus la propriété suivante dit "axiome d'Hausdorff" est vérifiée :

A4.

avec

tels que

Remarques:

R1. Un exemple bien connu d'espace topologique est muni de l'ensemble F engendré par les intervalles ouverts (par la loi d'union), c'est-à-dire les intervalles ]a,b[.

R2. Nous verrons une application très concrète des espaces de Hausdorff lors de notre études des fractales en informatique théorique.

Définition: Si nous notons (X,F) un espace topologique, F désignant les ouverts de X, une "base", au sens topologique, de (X,F) est une partie B de F telle que tout ouvert de F soit réunion d'ouverts de B (c'est la même idée que les espace vectoriels au fait mais appliqué à des ensembles... rien de bien méchant).

espace mÉtrique et Distance

Définition : Un "espace métrique" noté (X,d) ou encore

est par définition un ensemble X muni d'une application

, appelée "distance" ou "métrique", qui satisfait les axiomes suivants:

A1. (positivité)

A2. (axiome de séparation)

A3. (inégalité triangulaire)

A4.

(axiome de symétrie)

Remarques:

R1. Certains lecteurs verront de suite que certaines de ces propriétés ont déjà été vues dans d'autres chapitres du site lors de l'étude des distances entre points fonctionnels et lors de l'étude des normes (inégalité triangulaire démontrée dans le chapitre de Calcul Vectoriel - la symétrie, la nullité, la positivité, la séparation dans le chapitre d'Analyse Fonctionelle).

R2. Certains auteurs omettent l'axiome A1 ce qui est rigoureusement juste car découle trivialement de A3.

R3. Un espace métrique sera en général noté (X,d) ou bien encore . Nous pouvons également le noter simplement X si la distance d ne peut être confondue.

La "fonction distance" de est donc notée habituellement dans le plus général qui soit en mathématique :

(1)

Remarques:

R1. Si nous n'imposons pas l'axiome A2, nous disons que d est une "semi-distance" sur X.

R2. Si nous autorisons une semi-distance d à prendre la valeur , nous préférons dire que d est un "écart"

R3. Si une distance d vérifie la propriété :

(2)

propriété plus contraignante que l'inégalité triangulaire dans certains espaces, nous disons que d est "ultra-métrique".

Un exemple de distance ultra-métrique est l'arbre généalogique:

(3)

Nous avons les distances suivantes:

(4)

Nous remarquons que les distances ne s'ajoutent pas mais que nous avons par contre:

(5)

Ainsi:

(6)

R4. Soit (E,d) un espace métrique et soit

une partie de l'ensemble E. L'espace métrique

où

désigne la restriction

de d à

est appelé "sous-espace métrique" de (E,d) (il convient de vérifier que la distance d est équivalente à la distance

). Dans ce cas, nous disons aussi que F est muni de la distance induite par celle de E. Nous notons simplement d la distance induite.

Exemples :

E1. Si nous prenons pour X le plan, ou bien l'espace à trois dimensions de la géométrie euclidienne et une unité de longueur, la "distance" au sens usuel du terme est bien une distance au sens des 5 axiomes précédemment cités. Dans ces espaces, les trois points A, B, C satisfont comme nous l'avons démontré en Calcul Vectoriel et comme il l'est intuitivement que :

(7)

avec les autres inégalités obtenues par permutation circulaire de A, B, C. Ces inégalités sont bien connues par exemple entre les longueurs des côtés d'un triangle.

E2. Si nous prenons , et que nous dotons d'une structure d'espace vectoriel euclidienne (et non pas non-euclidienne) et que nous prenons deux points :

(8)

dans

La distance est donnée nous le savons par (nous avons déjà démontré cela en Analyse Fonctionnelle et Calcul Vectoriel) :

(9)

qui satisfait aux 5 axiomes de la distance et que nous appelons la "distance euclidienne". Nous pouvons prendre (c'est une propriété intéressante pour la culture générale), que toute relation de la forme :

(10)

est aussi une distance dans (sans démonstration). Les mathématiciens font encore plus fort en généralisant encore plus (la démonstration à peu d'intérêt pour l'instant) cette dernière relation (en prenant en compte la définition même de la distance) sous la forme :

(11)

qui est appelée "distance hölderienne".

Remarque: Suite à l'intervention d'un internaute nous précisons qu'en toute rigueur l'inclusion ci-dessus devrait être notée où est la droite achevée (précision également valable pour l'inégalité de Minkowski ci-dessous).

Au même titre pour l'inégalité triangulaire, donnée alors par (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

(12)

La généralisation, de par la vérification de l'existence de la distance de hölderienne, nous donne la vraie "inégalité de Minkowski" :

(13)

Dans le cas particulier avec , nous avons bien évidemment :

(14)

qui est la distance usuelle sur .

E3. Si nous prenons , nous considérerons la distance :

(15)

Ainsi, si et nous avons le module qui de même manière que la norme dans , forme une distance :

(16)

E4. Considérons aussi un ensemble arbitraire. Posons :

si et si (17)

Il est très facile de vérifier que cette distance vérifie les 5 axiomes et qu'elle est de plus ultra-métrique. Cette distance est appelée "distance discrète" et le lecteur remarquera que nous avons par analogie opté pour cette distance le symbole de la fonction Dirac

(ce n'est pas innocent !!) plutôt que la traditionnel d.

DISTANCES ÉQUIVALENTES

Parfois, deux distances différentes d et sur un même ensemble E sont assez ressemblantes pour que les espaces métriques liés possèdent les mêmes propriétés pour certains objets mathématiques définis par d d'une part, par . Il existe plusieurs notions de ressemblances dont voici une première (avant les autres qui nécessitent des outils mathématiques que nous n'avons pas encore définis) :

Définition : Soient d et deux distances sur un même ensemble E, d et sont dites "distances équivalentes" s'il existe deux constantes réelles telles que

(18)

soit :

(19)

avec . Nous noterons par ailleurs cette équivalence .

L'intérêt de cette définition est le suivant : si nous avons convergence pour l'une des métriques, alors nous aurons la convergence pour l'autre aussi. Plus clairement :

(20)

in extenso :

(21)

FonctionS LipschitziennES

Relativement aux définitions précédentes, nous pouvons maintenant définir quelques propriétés supplémentaires aux fonctions telles que nous les avions énoncées dans le chapitre de Théorie Des Ensembles :

Soient (E,d) et des espaces métriques, et soit une fonction. Nous définissons les propriétés suivantes :

P1. Nous disons que f est une "isométrie" si (c'est plutôt intuitif...!):

(22)

Si nous prenons la distance usuelle, la fonction k-lipschitzienne s'écrit alors:

(23)

ou ce que nous pouvons écrire également:

(24)

Ou ce qui revient au même: toutes les cordes tracées entre 2 points quelconques du graphe ont un coefficient directeur (dérivée) compris entre -k et k.

Par exemple, la fonction sin(x) est 1-lipschitzienne (car la dérivée du cosinus est en valeur absolue compris entre 0 et 1).

P2. Nous disons que deux espaces métriques sont "isométriques" s'il existe une isométrie surjective de l'un sur l'autre (ce qui est assez rassurant en géométrie...).

P3. f est dite "L-lipschitzienne" de constante (ou "de rapport") L s'il existe tel que :

(25)

Si , nous disons que f est "contractante" (ou une "contraction"), et si , nous disons que f est strictement contractante.

P4. Toute fonction f lipchitzienne est uniformément continue (voir plus loin voir plus loin le concept "d'uniforme continue") si elle vérifie :

(26)

avec et (la réciproque n'est pas vraie : toute fonction uniformément continue n'est pas nécessairement continue). En d'autres termes, si nous pouvons rapprocher deux points aussi près que nous voulons dans un espace, nous le pouvons aussi dans l'autre (ce qui assure en quelque sorte la dérivation).

Remarques:

R1. Une isométrie est toujours injective car:

(27)

mais elle n'est pas en général surjective.

R2. Si (E,d) et

sont isométriques, du point de vue de la théorie des espaces métriques ils sont indiscernables, puisque toutes leurs propriétés sont les mêmes, mais leurs éléments peuvent être de nature très différente (suites dans l'un et fonctions dans l'autre par exemple).

Ensembles ouverts et fermés

Définition : Considérons un ensemble E muni d'une distance d. Un sous-ensemble U de E est dit "sous-ensemble ouvert" si, pour chaque élément de U, il existe une distance r non nulle pour laquelle tous les éléments de E dont la distance à cet élément est inférieure ou égale à r, appartiennent à U, ce qui ce traduit en langage mathématique :

U ouvert de (28)

Remarque: Le symbole / signifie dans ce contexte "satisfait le propriété"

Cette définition peut sembler complexe mais en fait, sa signification concrète est plus simple qu'il n'y paraît. En fait, selon cette définition, un ensemble ouvert dans un espace topologique n'est rien d'autre qu'un ensemble de points contiguës et sans bords.

L'absence de bord découle de la condition . En effet, en raisonnant par l'absurde, si un ensemble ouvert U avait un bord, alors pour chaque point situé sur celui-ci (le bord) il serait toujours possible de trouver un point n'appartenant pas à U aussi proche que l'on veut de lui. Il s'ensuit que la distance r nécessaire devient donc nulle.

Définitions :

D1. Un "sous-ensemble fermé" est un "ouvert avec bord".

D2. Un "voisinage" d'un point de E est une partie de E contenant un ouvert contenant ce point.

La définition d'un ensemble ouvert peut être simplifiée en introduisant une notion supplémentaire, celle de "boule ouverte" :

BOULES

Soit x un élément de E:

Définition : Une "boule ouverte de centre x et de rayon r>0" ou "boule métrique de rayon r centrée en x" est le sous-ensemble de tous les points de E dont la distance à x est inférieure à r, ce que nous écrivons :

(29)

Un ensemble ouvert peut également être défini comme un ensemble pour lequel il est possible de définir une boule ouverte en chaque point.

Remarque:

R1. Les ouverts ainsi définis, forment ce que nous appelons une "topologie induite" par la distance d ou aussi "topologie métrique".

R2. Nous appelons une "couverture ouverte" U de E, un ensemble d'ouverts de E dont la réunion est E.

Définition : Une "boule fermée" est similaire à une boule ouverte mais diffère dans le sens que nous y incluons les éléments situés à la distance r du centre :

(30)

Remarque: Pour les inclusions sont des conséquences directes de la définition de boule ouvert et fermée.

Exemple:

La distance usuelle dans est donnée par . Les boules sont des intervalles. Pour et , nous avons:

et (31)

Définition : Une "sphère" est donnée par :

(32)

Remarque: Puisque par définition, , les boules ouvertes et fermées ne sont pas vides car elle contiennent au moins leur centre. Par contre, une sphère peut être vide.

Exemple:

Avec nous avons vu dans les exemples précédents que nous pouvions définir différentes distances. Pour les distinguer, nous les notons :

(33)

Alors, dans les boules fermées de centre O et de rayon unité équivalentes aux trois formulations précédentes, ont la forme suivante (rappel : dans cet exemple) :

(34)

PARTIES

Maintenant que nous avons défini les concepts de boules, nous pouvons enfin définir rigoureusement les concepts d'intervalles ouverts et fermées (qui dans un espace à plus d'une dimension sont nommées "parties") dont nous avons fait si souvent usage en Analyse Fonctionnelle et Calcul Intégral Et Différentiel.

Définition : Soit (X,d) un espace métrique. Nous disons qu'une partie A de X est "bornée" s'il existe une boule fermée telle que :

(35)

Compte tenu de la remarque précédente sur les inclusions des boules, il est clair que nous pouvons remplacer l'adjectif "fermée" par "ouverte". De plus l'inégalité triangulaire entraîne que le caractère borné de A ne dépend pas du choix de (avec un il suffit de remplacer r par ).

Définitions :

D1. Soit X un ensemble et (Y,d) un espace métrique. Si X est un ensemble, nous disons qu'une fonction est "bornée" si son image f(X) est bornée (cas de la fonction sinus ou cosinus par exemple).

D2. Soit (E,d) un espace métrique, et soit A une partie non vide de E. Pour tout nous notons d(u,A) et nous appelons "distance de u à A", le nombre réel positif non nul :

(36)

Nous prolongeons la notion en posant :

(37)

Si A et B sont deux parties de E nous avons respectivement (c'est peut-être plus compréhensible ainsi...):

(38)

Exemple:

Si nous prenons et nous avons quand tandis que . Ainsi, la distance entre les parties ne définit pas vraiment une distance sur dans cet exemple. Il s'agit donc d'un abus de notation et il faut bien interpréter comme l'infinimum de la distance entre A et B

Remarques:

R1. Si le lecteur à bien compris la définition du concept de "parties" il remarquera qu'il n'existe pas nécessairement toujours un tel que . En conséquence, nous écrivons trivialement :

(39)

De plus, si un tel existe, il n'est bien évidemment pas nécessairement unique.

R2. Il convient peut être de rappeler que cette distance satisfait également les 5 axiomes des distances.

D3. Soit (E,d) un espace métrique, et soit A une partie de E. Nous appelons "adhérence" de A et notons adh(A) le sous-ensemble de E défini par :

(40)

En particulier, puisque , nous avons , et puisque , nous avons .

Remarques:

R1. Tout élément de l'ensemble adh(A) est dit "point adhérent" à A

R2. Nous disons qu'une partie A de E est une "partie fermée" si elle est égale à son adhérence

R3. Nous disons qu'une partie A de E est une "partie ouverte" si elle est son complémentaire par rapport à E :

(41)

est fermé.

Il s'ensuite que (de par les définitions) :

(42)

A est ouverte (43)

avec quelques propriétés :

P1. (triviale) Si et vérifient , nous avons :

P2. (triviale) Pour tout , tout :

Dernière propriété qui a pour corroloaire (trivial) :

Si pour tout nous avons , , nous avons :

BOULES GÉNÉRALISÉES

La notion de distance d'un point à un ensemble permet d'étendre les notions de boule et de sphère.

Définitions :

D1. Soit et soit un . Nous appelons "boule ouverte généralisée" de centre A et de rayon r, l'ensemble suivant :

(44)

Respectivement "boule fermée généralisée":

(45)

Respectivement "sphère généralisée" :

(46)

D2. Soit (E,d) un espace métrique et soient A, B deux parties non vides de E. Nous notons g(A,B) et appelons "gap" (qui signifie "écartement" ou "espacement" en français) de A à B, le nombre réel supérieur ou égal à zéro :

(47)

Remarque: L'inégalité triangulaire n'est pas valide dans le cadre des gap (ceci étant également valable). Il suffit pour le démontrer, d'un seul et unique exemple qui contredirait l'inégalité.

Exemple:

Dans prenons nous avons alors :

(48)

Il y a donc bien contradiction.

DIAMÈTRE

Définition : Soit (E,d) un espace métrique et soit A une partie non vide de E. Nous notons diam(A) et nous appelons "diamètre" de A, le nombre réel positif non nul :

(49)

Tout partie non vide A d'un espace métrique vérifiant sera aussi dite "bornée".

Remarque: Nous considérons la partie vide comme un borné de diamètre A

Si l'espace métrique (E,d) tout entier est borné, nous disons que la distance d est bornée. Par exemple, la distance discrète est bornée, la distance usuelle sur ne l'est pas.

Nous avons aussi les propriétés suivantes :

P1. (triviale) ou

P2. (triviale)

P3. De par la définition du diamètre :

Exemple:

Pour il suffit pour se convaincre de prendre la distance discrète. Ainsi, dans un espace métrique où nous prenons avec , nous avons (c'est un cas intéressant car complètement contre-intuitif).

P4. Nous avons

Exemple:

Dans prenons , nous avons alors (infériorité stricte triviale):

(50)

P5. A est borné si et seulement si

Définition : Nous appelons "excès de Hausdorff" de A sur B :

(51)

Remarque: Nous avons en général et ces quantités peuvent ne pas être finies.

VARIÉTÉS

Nous introduisons maintenant les "variétés". Ce sont des espaces topologiques qui sont "localement comme " (notre espace par exemple..).

Définitions :

D1. Une "variété topologique de dimension n" est un espace de Hausdorff M tel que pour tout il existe un voisinage ouvert avec , un voisinage ouvert et un homéomorphisme :

(52)

D2. Un "homéomorphisme" entre deux espaces est une bijection continue dont l'inverse est également continu.

D3. Les couples sont appelés des "cartes", U étant le "domaine de la carte" et "l'application de coordonnées". Au lieu de "carte nous disons parfois aussi "système de coordonnées".

Remarque: Nous noterons par dim M la dimension d'une variété topologique. Ainsi :

(53)

D4. Soit M une variété topologique de dimension n. Une famille A de cartes de M est appelée un "atlas" si pour tout , il existe une carte telle que .

Remarque: Notons que si sont deux cartes de M telles que (ne vérifiant pas l'axiome de Hausdorff) , alors l'application de changement de cartes :

(54)

(55)

est un homéomorphisme.

VARIÉTÉS diffÉrentiables

Définitions :

D1. Une "variété différentiable" est un espace topologique M où les applications sont des fonctions de classe .

D2. Un "difféomorphisme" est une application où sont des domaines ouverts de et si f est un homéomorphisme et en plus si sont différentiables.

Remarque: "différentiable" dans ce contexte signifiera toujours différentiable de classe

D3. Soit une variété topologique (pour simplifier l'écriture), deux cartes de M sont des "cartes compatibles" (plus précisément, compatibles de classe ), si l'une des deux propriétés suivantes est vérifiée :

P1. et l'application de changement de cartes est un difféomorphisme

P2.

Un atlas A de M est différentiable si toutes les cartes de A sont compatibles entre elles.

D4. Une "variété différentiable" est un couple (M , A) où M est une variété topologique et A un atlas différentiable de M.

Remarque: Etant donné un atlas différentiable, il est parfois nécessaire de le compléter : nous disons qu'une carte de M est compatible avec un atlas différentiable si elle est compatible avec chaque carte de A. Un atlas de A est une "atlas maximal" si toute carte compatible avec A appartient déjà à A. Un atlas maximal est appelé une "structure différentiable".