L'encyclopédie des Sciences
  Une nouvelle démonstration du théorème de Fermat-Wiles
 

Chandrashekhar Khare, mathématicien de la Utah University, a annoncé la résolution d'une conjecture due à Jean-Pierre Serre en 1972.

Cette conjecture difficile et technique, mêlant arithmétique et géométrie algébrique, a pour corollaire un célèbre résultat énoncé par Pierre de Fermat (1601-1665), et récemment démontré par Andrew Wiles.

Fermat annotait en effet abondamment la marge de son exemplaire de l'Arithmetica de Diophante, et y annonçait des théorèmes pour la plupart sans preuve. En 1840, tous étaient résolus sauf un: le dernier théorème de Fermat.

Datant des années 1630, il s'énonce ainsi : l'équation xn+yn=zn n'admet pas de solution en nombres entiers positifs si l'exposant n est strictement supérieur à 2. Ce problème devait tenir en haleine des générations de mathématiciens : parmi les plus grands, Euler, Legendre, Dirichlet ou Kummer n'ont réussi à résoudre que des cas particuliers.

En 1983, Gérard Faltings (médaille Fields 1986) prouva que l'équation de Fermat n'admet qu'un nombre fini de solution si x, y et z sont des entiers premiers entre eux (i.e ils n'ont pas de diviseur commun). Mais la solution générale conserva son mystère jusqu'à ce que Gerhard Frey relie le problème de Fermat en 1986 à une conjecture très technique formulée par Yutaka Taniyama en 1955 et complétée par la suite par Goro Shimura et André Weil : si la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil était vraie, le théorème de Fermat serait vrai lui aussi.

Le dernier pas fut franchi par Andrew Wiles en 1994, après plus de 350 ans d'effort.

Or C. Khare, J.P. Wintenberger, et indépendamment L. Dieulefait ont démontré en 2004 un cas particulier de la conjecture de Serre (niveau 2, poids 2) dont une conséquence est le dernier théorème de Fermat, ce qui en fournit une nouvelle preuve.

Le nouveau résultat dû à C. Khare consiste en la résolution complète de la conjecture pour le niveau 1. La portée de ces travaux s'étend donc bien au-delà du problème de Fermat, dans le cadre du programme de Langlands destiné à relier entre elles géométrie, algèbre et arithmétique (voir le dossier sur Langlands et Lafforgue).






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