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  Génie Civil
 

Le Génie Civil représente l'ensemble des techniques concernant les constructions civiles. Les ingénieurs civils s'occupent de la conception, de la réalisation, de l'exploitation et de la réhabilitation d'ouvrages de construction et d'infrastructures urbaines dont ils assurent la gestion afin de répondre aux besoins de la société, tout en assurant la sécurité du public et la protection de l'environnement en théorie. Très variées, leurs réalisations se répartissent principalement dans cinq grands domaines d’intervention: structures, géotechnique, hydraulique, transport, et environnement.

Signalons qu'en génie civil il est parfois fait usage du calcul des surfaces minimales. Ceci est déjà traité par un exemple dans le chapitre de mécanique analytique.

SPIRALE DE CORNU

La clothoïde est une courbe transcendante plane dont la courbure est proportionnelle à l'abscisse curviligne.

Elle est également appelée "spirale de Cornu", en référence à Alfred Cornu, le physicien français qui l'a inventée. Plus rarement, elle peut apparaître sous le nom de radioïde aux arcs, spirale d'Euler ou spirale de Fresnel.

Cette forme est également adaptée aux fins de courbes dans les tracés des chemins de fer parce qu'un véhicule suivant ce tracé à une vitesse constante subit une accélération angulaire constante, ce qui réduit à la fois les efforts sur les rails et l'inconfort des passagers dans les voitures.

Enfin, les sabots montés sur les pylones de téléphériques, et qui supportent le cable porteur, adoptent cette forme. De fait, il est possible de faire circuler la cabine à sa vitesse maximale sur le pylone, sans incommoder les passagers.

De même cette courbe est utilisée pour les boucles verticales ou loopings dans les montagnes russes pour le confort des passagers, afin que l'accélération verticale subie soit continue

 

Lorsqu'un véhicule aborde une courbe circulaire,, il va subir une forme  perpendiculaire à sa direction (force centrifuge) donc de norme (cf. chapitre de Mécanique Classique):

dès le début de son entrée dans la courbe. Cet effet est problématique car pour une voiture de poids moyen sur une autoroute, la force centrifuge peut égaler la force de pesanteur (lorsque sa vitesse est dans les valeurs légales!).

Ainsi, l'accélération passe brutalement de 0 à  aussi, les ingénieurs relèvent les courbes pour améliorer l'adhérence, mais il est aussi possible d'essayer de trouver des courbes pour lesquelles l'accélération sera plus progressive. Par exemple si la courbure C donnée par (cf. chapitre de Géométrie Différentielle):

est proportionnelle au trajet s (abscisse curviligne) parcouru dans la courbe, nous aurons au début de la courbe  donc l'accélération sera nulle

Ce que nous cherchons est alors des courbes telles que :

Pour cela, rappelons que nous pouvons aussi écrire naturellement pour un cercle, la courbure sous la forme:

Effectivement, si nous tournons d'un angle  alors nous nous déplaçons d'une longueur  (cf. chapitre de Trigonométrie).

Nous avons donc la relation:

Soit:

d'où:

De plus rappelons que l'équation paramétrique du cercle est:

Nous avons donc:

Soit:

Nous pouvons donc maintenant écrire:

Soit:

avec un petit changement de variables:

il vient:

en prenant  (nous pouvons toujours faire une translation par la suite).

Les deux intégrales s'appelent des "intégrales de Fresnel" et ne sont pas calculable directement. Nous pouvons cependant les exprimer sous forme de développement de Taylor sous la forme:

Le plot de l'intégral de Fresnel donne dans Maple:

plot([FresnelC(t),FresnelS(t),t=-5..5]);


En zoomant sur la partie qui nous intéresse:


La même chose à une constante facteur près en utilisant la série de Taylor présentée antérieurement:


Les bureaux d'ingénieur utilisent des logiciels spéciaux intégrant des spirales des clothoïdes dans des environnements 2D ou 3D sur la base de relevé topographiques fait par des géomaticiens.

CÂBLES SUSPENDUS

Galilée, fut sans doute le premier à s'intéresser à la chaînette qu'il prit pour un arc de parabole. Jean Bernoulli, Huygens et Leibniz trouvèrent (indépendamment) en réponse au défi lancé par Jakob Bernoulli, sa véritable nature en 1691 : engendrée par un cosinus hyperbolique.


Source Chronomaths

Considérons (source: ChronoMath) pour l'étude un câble homogène, flexible, attaché en deux points AB. Dans sa position d'équilibre, le câble pend dans un plan vertical et semble prendre une forme parabolique. En fait, pas vraiment... et


Créons dans ce plan un repère orthonormé , où O désigne le point le plus bas du câble et notons  le champ de pesanteur à son endroit.

Appelons  la tension au point O faisant échec à la tension en M de sorte que la portion de câble [OM] de longueur L, soumise à son poids linéique au point G, soit en équilibre au sens statique:

Projetons sur les axes de coordonnées en notant  l'angle .

Nous avons alors les décompositions suivantes:

Nous pouvons alors écrire le système:

Soit après simplification:

Soit:

En calculant le rapport:

Pour obtenir une équation différentielle différentions… (là c'est subtil…):

Ensuite:

Mais la tangente c'est aussi la dérivée de la fonction décrivant la chaînette. Donc:

Il vient alors:

Posons  et cherchons la primitive du membre de gauche dans un premier temps (celle du membre droite étant évidente). Les calculs faits dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral dans la détermination des primitives et intégrales usuelles nous donne:

Nous avons donc:

en passant à l'exponentielle:

en remarquant que dans notre problème en  nous avons bien.

Pour trouver y' nous utilisons une astuce: Nous savons que la fonction est symétrique. Donc si nous remplaçons x par –x la tangente change aussi de signe et passe de y' a –y':

En soustrayant:

 et

il vient:

Donc après intégration:

Soit:

Nous voyons bien avec Maple la différence entre une parabole et la chainette:

> plot([x^2,cosh(x)],x=-4...4);


Considérons maintenant deux points dans le plan ,  et déterminons l'équation de la chaînette de longueur L ayant ces deux points comme extrémités.

Nous avons les deux équations :

Nous obtenons une troisième équation à l'aide de la longueur L qui est connue. En effet  (cf. chapitre de Mécanique Analytique):

où nous avons toujours:

Ainsi nous obtenons un système non linéaire de trois équations à trois inconnues ():

Déterminons à titre d’exemple la chaînette de longueur 38 cm passant par les points, .

Il faut alors résoudre le système suivant :

Voici les commandes Maple qui nous permettent d'obtenir le résultat.

e1:=0=k*cosh(-9/k+c1)+c2;
e2:=10=k*cosh(9/k+c1)+c2;
e3:=38=k*(sinh(9/k+c1)-sinh(-9/k+c1));
fsolve({e1,e2,e3},{k,c1,c2},{k=0..infinity});
Maple donne : k = 4.073758798, c1 = .2694982504, c2 = -14.46356329.

Graphiquement nous avons alors:


Dans le cas des lignes de chemins de fer électrifiées, nous pallions à la flèche (cf. chapitre de Génie Mécanique) rédhibitoire par un câble porteur principal de la caténaire : le câble supérieur (ci-dessous à droite) subit une flèche acceptée, ce qui diminue les tensions entre les pylônes. La caténaire reste ainsi bien linéaire grâce aux accroches auxiliaires multiples à un câble auxiliaire.


Source Chronomaths

Sinon signalons que nous retrouvons aussi les chaînettes dans tous les endroits de la vie de tous les jours où un câble est suspendu entre deux points sur une même horizontale.

BARRAGES

Considérons le barrage de hauteur z, de longueur L et stockant de l'eau de densité  ci-dessous:


Nous avons vu dans le chapitre de Mécanique des Milieux Continus que la pression hydrostatique était donnée par:

mais dans cette situation nous avons évidemment:

Ainsi lorsque nous nous plaçons à la surface de l'eau en :

soit la pression de l'air à la surface du lac de barrage.

Sur un élément de surface d'aire dS il s'exerce une force élémentaire:

Or:

Ainsi:

d’où après intégration

Il s'agit donc de la force exercée sur la face immergée. La force sur la face émergée (à gauche sur l'illustration) est simplement donnée en posant . Nous avons donc:

Remarque: En moyenne à vide et à plein un barrage se déplacerait de 80 cm.




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