Introduction HISTORIQUE

Auteur de l'introduction : Dr. Angel Brucena pour Sciences.ch

La cosmologie se range parmi les plus anciennes disciplines intellectuelles de l'humanité. Bien qu'elle se consacre à l'étude de l'Univers, du cosmosenglobant la totalité de ce qui nous est accessible dans la nature, elle possède une spécificité qui la distingue des autres sciences naturelles : elle ne s'intéresse aux différentes parties qui composent l'Univers que dans la mesure où elles sont en relation et c'est l'ensemble de ces relations, pour autant que l'on puisse les appréhender, qui recouvre le mieux le concept d'Univers.

La cosmologie ne s'intéresse donc pas aux objets en particulier - planètes, étoiles, galaxies... - mais plutôt au cadre dans lequel ils évoluent, aux lois communes auxquelles ils obéissent.

CHRONOLOGIE

Beaucoup de scientifiques et philosophes ont contribué directement ou indirectement au développement de la cossomologie qui n'est bien évidemment pas que le travail d'un seul homme (l'époque où un homme pouvait à lui seul bâtir un immense édifice théorique est depuis longtemps révolue). Par les paragraphes qui vont suivre, nous allons présenter quelques personnages célèbres placés dans le cadre de cette théorie.

COSMOLOGIE AVANT NEWTON

Au temps des philosophes grecs, leurs conceptions du Cosmos restaient très primitives telle celle d'Aristote (384-322 av. JC) qui considérait la Terre comme un lieu des objets lourds et le Ciel le lieu des vapeurs subtiles.

Le Cosmos de Copernic (1473-1543) est encore très aristotélicien. Certes, il n'est plus géocentrique, mais l'ultime sphère céleste (la sphère des étoiles fixes) possède encore singulièrement la consistance des globes cristallins du philosophe grec du 4ème siècle avant JC: Eudoxe de Cnide.

Giordano Bruno (1548-1600) peut être considéré comme un des précurseurs de la cosmologie moderne, en cassant la sphère des fixes, et en transformant le Cosmos en Univers : "Considérant cette surface (la sphère des fixes), je me pose toujours la question : qu'y a-t-il au-delà ? Si la réponse est rien, alors je peux appeler cela le vide ou le néant. Et ce vide n'a ni mesure, ni limite extérieure …Il y a d’innombrables soleils et un nombre incalculable de terres tournant autour d’eux".

Galilée (1564-164), qui observa le mouvement des satellites de Jupiter (confirmation remarquable de la Théorie de Copernic), interprétait déjà la voie lactée comme une collection d'étoiles (1610). En 1638, il écrivait dans ses Dialogues entre Salviati et Simplicio : "Maintenant Simplicio, que faisons-nous avec les étoiles fixes ? En saupoudrons-nous l'abîme infini de l'espace, à des distances variées de n'importe quel point, ou bien les plaçons-nous sur une surface sphérique de centre déterminé ?"

COSMOLOGIE NEWTONIENNE

Lorsque Newton en 1687 fait paraître sa loi d'attraction universelle, la cosmologie cesse d’être une pure spéculation philosophique pour devenir une science.

On ressent cette évolution dans une lettre qu'il adresse à son ami Bentley en 1692 : "Si la matière composant le Soleil et les planètes et toute la matière de l'Univers était éparpillée à travers un Univers fini, chaque particule serait attirée par ses voisines et ainsi de toute particule de l'Univers qui, par sa gravité, se rassemblerait en une masse unique. Si par contre, la matière était éparpillée dans un Univers infini, elle ne pourrait jamais se rassembler en une masse unique, mais plutôt en une infinité de grandes masses réparties à des grandes distances les unes des autres. Ainsi, peut-être le Soleil et les étoiles se sont-il formés !"

En 1720, l'astronome Halley avait déjà pressenti que si le nombre des étoiles fixes était infini, leur contribution totale au rayonnement reçu serait infinie et le ciel apparaîtrait uniformément lumineux. Cette suggestion reprise par De Chéseaux (1744) puis par Olbers (1823), est aujourd’hui connue sous le nom de "paradoxe d'Olbers".

En 1934, les astrophysiciens McCrea et Milne on développé une cosmologie newtonienne de forme résolument moderne (voir plus loin pour les développements). L'hypothèse de base est que la distribution de matière est homogène dans l'Univers ; en d’autres termes, que l'espace a même propriété en tout point.

D'autre part, ils ont postulé que l’Univers était isotrope, c'est-à-dire que ses propriétés sont identiques dans toutes les directions de l'espace.

COSMOLOGIE RELATIVISTE

La cosmologie relativiste naît avec la Relativité de Générale d'Einstein en 1917, dans une publication scientifique.

Il imagine un Univers fini (mais sans limite) : son Univers a la géométrie d’une hypersphère, s'il n'avait que deux dimensions, il serait analogue à une sphère car de courbure positive, finie et sans limite. Bien qu'Einstein indique dans son article : "Le caractère courbe de l'espace varie dans le temps et dans l'espace en fonction de la distribution de la matière".

Il est amené, à faire l’hypothèse que l'Univers est immuable, statique. Pourtant les équations de la relativité générale ne conduisent pas à ce schéma, Einstein est obligé de les modifier, il ajoute un terme, qui permet d’aboutir à un Univers invariable dans le temps. Ce terme, c'est sa fameuse constante cosmologique (voir plus loin les développements mathématique). Einstein dira plus tard que l'introduction de la constante cosmologique a été la plus grande erreur scientifique de sa vie.

En cette même année 1917, l'astronome Willem De Sitter donne une autre solution cosmologique aux équations de relativité générale. Il suppose que la densité de matière est nulle et que la courbure de l'espace est due à la constante cosmologique.

En 1922, un jeune physicien russe, Alexandre Friedmann, imagine un Univers non statique :"Le type d'Univers variable engendre une famille beaucoup plus générale de modèles : dans certains cas, le rayon de courbure de l'Univers part d’une certaine valeur et augmente constamment au cours du temps ; dans d’autre cas le rayon de courbure varie de façon périodique, l'Univers se contractant en un point puis, à partir de ce point, augmentant de rayon jusqu'à une certaine valeur maximale, puis diminuant à nouveau pour redevenir un point, et ainsi de suite" (c'est le vocabulaire moderne de "Big Bang")

Fort de son modèle, il va calculer l'âge de l'Univers et il trouve quelques milliards d’années. Malheureusement, il meurt brutalement en 1925 et ne connaîtra pas le succès obtenu par sa théorie.

C'est un abbé belge, Georges Lemaître, qui va montrer que les équations de la relativité générale, le conduisent à des solutions non statiques. Au cours d’un séjour, fait à Cambridge chez l’astronome Arthur Eddington, écrivait, des 1922 : "L’un des problèmes les plus mystérieux en cosmologie sont les grandes vitesses de nombreuses nébuleuses. Leurs vitesses radiales sont de l'ordre de 600km/s, et la majorité des nébuleuses s'éloignent du système solaire".

Lemaître va faire un séjour au M.I.T., chez Slipher et Hubble. Hubble comprend en 1925, que les nébuleuses spirales ne sont autres que des galaxies et Slipher met en évidence un décalage vers le rouge des raies émises par ces galaxies. Lemaître voit dans ces observations les indices d'un Univers en expansion, il va calculer la vitesse d’expansion : 625 [km/s] à 1 million de parsec.

Deux ans plus tard, Edwin Hubble énonce la loi qui porte son nom indiquant la proportionnalité entre vitesse de récession des galaxies et leur distance. La constante de proportionnalité (constante de Hubble) est identique à celle qu'avait donné Lemaître (voir plus loin pour les calculs)!

Lemaître, en 1931, publie deux articles dans lesquels, il décrit son hypothèse de "l’atome primitif" et où se trouvent tous les ingrédients de ce que nous appelonsà présent la "théorie du Big Bang". Voici le commentaire de Lemaître, décrivant sa théorie : "Nous pouvons concevoir que l'espace ait commencé avec un atome primitif et que le commencement de l'espace a marqué le commencement du temps. Le rayon de l'espace est parti de zéro ; les premiers stades de l'expansion ont consisté en une expansion rapide déterminée par la masse de l’atome initial, égale à peu près à la masse actuelle de l'Univers… L’expansion s'est donc faite en trois phases : une première période d’expansion rapide où l'atome-univers s’est brisé en atomes-étoiles, une période de ralentissement, suivi d’une troisième d'expansion accélérée. C'est sans doute à cette troisième période que nous nous trouvons maintenant … Il est probable que l'expansion ne sera pas suivie d’une contraction. Dans ce cas nous ne devons plus atteindre à rien de sensationnel : les soleils se refroidiront, cendres et fumées du feu d’artifice origine achèveront de se refroidir et de se disperser".

En 1948, Fred Hoyle, décrit un Univers invariable dans le temps (stationnaire) dans lequel l'effet de dilution, dû à la fuite des galaxies, est compensé par une création spontanée et continue de matière. Ce modèle de création continue est donc opposé à celui de l'atome primitif.

Lors d’une réunion scientifique qui se tient en 1960, Fred Hoyle accueille Georges Lemaître en disant “Tiens voici l’homme du Big Bang ! ". Hoyle utilise ce terme par dérision, mais il sera repris par Georges Gamow, ancien étudiant de Friedmann, et deviendra le symbole de la cosmologie standard. Gamow complète le modèle de Lemaître par un élément très important : à l’origine l’Univers n’étant pas seulement très petit, il était très chaud.

En 1965, Arno Penzias et Robert Wilson réglaient une antenne d’un radiotélescope, découvraient un bruit de fond. L'origine de ce bruit de fond est d'origine extragalactique et sera interprété par Robert Dick et James Peebles, comme étant le rayonnement fossile prédit par Gamow (voir les calculs plus loin).

dates clés

- 1584 : Giordano Bruno casse la "sphère des fixes". Il peut être considéré comme un des précurseurs de la cosmologie moderne.
- 1610 : Galilée interprète déjà la voie lactée comme une collection d'étoiles.
- 1687 : Isaac Newton fait paraître sa loi d'attraction universelle, la cosmologie cesse d’être une pure spéculation philosophique pour devenir une science.
- 1907 : Albert Einstein écrit un article "Considérations cosmologiques sur la Relativité générale".
- 1917 : Willem De Sitter donne une autre solution cosmologique aux équations de la relativité générale.
- 1922 : Alexandre Friedmann imagine un Univers non statique
- 1927 : Edwin Hubble énonce la loi qui porte son nom indiquant la proportionnalité entre vitesse de récession des galaxies et leur distance.
- 1931 : Georges Lemaître publie deux articles dans lesquels, il décrit son hypothèse de "l'atome primitif" et où se trouvent tous les ingrédients de ce qu’on appelle à présent la "théorie du Big Bang".
- 1948 : Fred Hoyle décrit un Univers invariable dans le temps (stationnaire).
- 1965 : Arno Penzias et Robert Wilson ils découvrent un bruit de fond, qui sera interprété comme étant le rayonnement fossile.

PERSPECTIVES /TENDANCES

Les théories cosmologiques sont relativement difficiles à étudier directement et de plus depuis le sol Terrestre. Il a fallu attendre un bon nombre d'année après 1965 avant que des expériences de pointes et de toute première importance aient à nouveau lieu pour tester les modèles :

- COBE : En 1989, la NASA a lancé le satellite COsmic Background Explorer de façon à mesurer avec précision les propriétés du rayonnement fossile. Les résultats obtenus ont montré que le C.M.B. (Cosmic Microwave Background) a un spectre de corps noir parfait (cf. chapitre de Thermodynamique), de température de 2.725 ± 0.002 [°K], de plus il est isotrope!

- BOOMERAG : En 2002, l'expérience Ballon Observations Of Milimetric Extragalatic Radiation ANd Geophysicsa permis d'avoir une résolution 40 fois supérieure à celle de COBE (nous y reviendrons!).

- WMAP : En 2003, la mission Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (du nom de David Wilsinson, un pionnier dans l’étude du CMB), après deux ans d'observations, a affiné les résultats antérieurs, avec une précision de l'ordre du 20 millionième de degré Celsius.

Depuis la mise en service du télescope spatial Hubble en 1990 puis des grands observatoires au sol VLT, Keck, Subaru, l'observation des galaxies à grand redshift cosmologie (attention! le redshift cosmologique n'est pas le redshift relativiste vu en relativité restreinte!) a permis de vérifier les phénomènes d'évolution des populations galactiques prédites par les modèles de formation et d'évolution des galaxies dans le cadre des modèles du Big Bang.

En 2006, John Mather et Georges Smoot reçoivent le Prix de Nobel de Physique pour leurs travaux sur le rayonnement fossile avec le satellite COBE.

SYNTHÈSE

Le Big Bang est maintenant le modèle standard de la cosmologie contemporaine. Trois éléments essentiels viennent en effet le corroborer :

1. Le décalage spectral vers le rouge

2. Le rayonnement fossile

3. L'abondance des éléments légers

Sur ce dernier point, les éléments tels que le deutérium, l'hélium 3 ou le lithium 7 n'ont pas pu être synthétisés dans les étoiles. Leur origine remonte au tout début de l'Univers.

Il faut souligner que l'abondance prédite par la théorie du Big Bang repose sur des résultats très récents obtenus en physique des particules. Ainsi, l’infiniment grand (cosmologie) rejoint l'infiniment petit ( la physique des particules).

Un siècle après l'année miraculeuse de 1905, on peut qu'être admiratif devant les travaux d'Einstein et de ses contemorais qui se trouvent à la fois à l'origine de la cosmologie et à celle des premières théories du monde microscopique (quanta).

La cosmologie s'occupe donc de comprendre la naissance et l'évolution de l'Univers par la méthode scientifique. C'est uniquement par ce jeu entre théorie physique, modélisation et observation que nous aborderons cette question ici. Nous éviterons soigneusement toute digression métaphysique. Les problèmes spécifiques de la cosmologie tiennent dans sa définition même: la statistique qui est une des grandes méthodes scientifiques est apparemment pauvre: nous n'avons qu'un univers à notre disposition. En outre, nous n'observons que le passé de l'Univers. Peut-on parler de prédictions dans ces conditions? Les théories sont cependant falsifiables dans la mesure où elles prédisent des comportements que des observations peuvent tester.

La cosmologie utilise principalement l'arsenal des mathématiques, de la physique théorique, de la physique des particules, de la physique nucléaire, de la physique des détecteurs, et de l'astrophysique. Elle est donc interdisciplinaire. La cosmologie traite des échelles supèrieures à la taille d'une galaxie jusqu'aux échelles définies par elle-même comme les horizons. Encore que la limite soit volontairement floue, la cosmologie ne traite pas des détails internes de la naissance et de l'évolution d'objets astrophysiques (tels que les galaxies, les amas globulaires, ou des amas de galaxies) qui relèvent plus de la "cosmogonie".

MODÈLE COSMOLOGIQUE NEWTONIEN

Un modèle cosmologique est une représentation mathématique de l'Univers qui cherche à expliquer les raisons de son aspect actuel, et à décrire son évolution au cours du temps.

Le modèle Newtonien s'applique dans le cadre des hypothèses de la mécanique de Newton (action instantanée). La résultats que nous allons étudier ici ont été découvert avant le développement de la Relativité Générale mais publié après! Mais ce modèle présente l'avantage de la simplicité tout en étant capable de mettre en évidence et de discuter de la dynamique de l'Univers et de se préparer à l'étude des modèles d'Univers faisant usage des résultats de la Relativité Générale. Ses inconvénients, outre le fait qu'il ne correspond pas tout à fait avec les résultats expérimentaux, est de n'être plus valable dans des conditions extrêmes donc de ne pas être extrapolable à l'instant du Big-Bang.

Avant de commencer, nous devons définir le "principe cosmologique" formé des deux assertions suivantes (en gros, il assure que nous ne sommes pas des observateurs privilégiés, et que ce que nous observons est bien représentatif de l'ensemble de l'Univers) :

- L'espace (Univers) est homogène, c'est à dire qu'il présente les mêmes propriétés dans toutes ses régions. Ceci doit s'entendre à très grande échelle, au-delà du millier de Mpc (Mégaparsecs). Il est clair qu'à petite échelle existent des inhomogénéités, nous par exemple.

- L'espace (Univers) est isotrope, c'est à dire qu'il n'existe pas de direction particulière de l'espace, comme une direction d'aplatissement, ou un mouvement d'ensemble à l'échelle Universelle par exemple.

Remarque: Cette hypothèse de l'isotropie de l'Univers et qui marche relativement bien dans les modèles théoriques (voir ci après) impose une constatation intéressante si nous admettons un commencement à l'Univers. Cette constation implique que l'Univers à eu une phase dans son histoire où il n'a pas laissé à la matière le temps s'agglutiner pour former à ses débuts de groupes de matières inhomogènes et anisotropes qui seraient visibles aujourd'hui à nos téléscopes. De ceci, il découle qu'à un moment de son histoire, l'Univers à un taux d'expansion supérieur à celui que l'on pourrait faire correspondre à la vitesse de la lumière (c'est mal dit mais j'espère que c'est quand même acceptable).

Nous allons poser quelques autres hypothèses de travail :

H1. Nous admettons que l'Univers est un milieu gazeux dont les particules sont des galaxies .

H2. Ce milieu gazeux est un fluide non visqueux.

H3. Ce milieu est homogène (ses propriétés sont les mêmes partout) et isotrope (ses propriétés sont les mêmes dans toutes les directions). Ces propriétés sont le résultat d' observations.

H4. C'est un Univers en expansion et homothétique.

H5. Sa masse volumique est uniquement fonction du temps.

H6. Nous acceptons la dynamique newtonienne pour construire le modèle.

H7. Il y a conservation de la masse (et donc de l'énergie- nous rejetons la suggestion de Hoyle d'une création continue).

H8. L'origine du temps est assimilée à l'origine de création de l'Univers

Sous l'hypothèse du principe cosmologique, la distance d'un point origine O à un point M quelconque de l'Univers peut varier en fonction du temps sous la forme :

(1)

où F(t) est le "facteur d'échelle" (souvent noté R(t) dans la littérature aussi...).

En écrivant cette relation, nous considérons que les points O et M sont sur un plan à courbure nulle. Effectivement, si nous imaginons deux points sur une surface courbe cercle (par exemple la surface d'une sphère) voyons ce qui ce passe:

(2)

La distance entre deux points du cercle (in extenso de l'espace sphérique) est donné par:

(3)

Nous voyons très bien dans cette relation que si le rayon (de l'Univers sphérique) change d'un facteur F, alors la variation de distance entre les deux points n'est pas proportionnelle à ce facteur !! Ce qui n'est pas le cas dans un plan à courbure nulle.

Conséquence: Notre modèle Newtonien n'est valable que dans un Univers plat alors que la relativité générale peut prendre en compte n'importe quelle type de courbure !

Nous voyons tout de suite que la relation:

(4)

est indépendante de l'origine choisie, en effet, si nous l'appliquons à deux points A, B quelconques, nous avons :

(5)

Soit par différence:

(6)

Remarques:

R1. Au temps il est évident que la relation précédente s'écrit :

(7)

et nous impose . Cette remarque est importante et nous y reviendrons plusieurs fois pendant les développements qui vont suivre.

R2. La loi s'applique donc à un segment quelconque dans l'Univers c'est pourquoi l'Univers ne comporte pas de centre géométrique et que nous pouvons nous donner une image suggestive pour se donner une idée de l'expansion de la trame de l'Univers : soit un ballon mi-gonflé sur la surface de laquelle nous traçons deux repères (par exemple : deux croix tracées à l'encre). En le gonflant davantage, nous constaterons que ces deux croix s'écartent l'une de l'autre et donc la distance qui les séparent s'accroître. C'est ce que nous constatons avec les galaxies (hors mis, leur mouvement propre, il y a en plus un mouvement dû à l'expansion de l'Univers).

Dérivons par rapport au temps l'équation:

(8)

Le premier membre donne alors la vitesse des particules (ou de tout autre objet) au point :

(9)

Soit en éliminant :

(10)

Nous posons pour simplifier l'écriture :

(11)

Nous avons donc :

(12)

Cette relation est connue sous le nom de "loi de Hubble".

Avant d'aller plus loin, il convient de s'arrêter sur cette équation pour l'instant présent :

(13)

Cette équation dit que les objets de l'Univers s'éloignent avec une vitesse proportionnelle à leur éloignement dans tous les points de l'Univers sans référentiel privilégié (aucune galaxie ne semble être fixe !).

Remarque: Cette relation permet d'avoir des vitesses supérieures à celles de la lumière. Mais cela n'est pas une violation de la relativité relativement à la constance de la vitesse de la lumière! Effectivement, il ne faut pas oublier que la loi de Hubble prend en compte l'expansion de la "trame" de l'espace-temps sur laquelle se meut la lumière. Dès lors si la trame s'étend selon un facteur d'expansion F supérieur à l'unité, cela donne l'impression que la lumière va plus vite que c et c'est ce qui donne des RedShift parfois de 4 ou 5!

La constante étant bien sûr identifiable à la "constante de Hubble" telle qu'elle est mesurée actuellement et valant (très approximativement) environ : .

En unités S.I., puisque un mégaparsec vaut alors nous avons :

(14)

Ainsi, une estimation actuelle de l'âge de l'Univers pourrait être interprétée comme l'inverse de la constante de Hubble qui donne le "temps de Hubble" :

(15)

soit environ 13 milliards d'années.

Inversement, nous pouvons nous amuser à calculer la distance à partir de laquelle nous pouvons atteindre la vitesse de la lumière avec la relation :

(16)

et une application numérique donne grosso modo 13 milliards d'années-lumière. Telle est la distance de "l'horizon cosmologique". C'est-à-dire la distance à partir de laquelle le redshift des galaxies devient infini. C'est donc là que se situe le Big Bang, à environ 13 ou 15 milliards d'années-lumière d'ici.

Considérons maintenant une sphère de matière de rayon r de masse m en expansion à la vitesse v dans un Univers déjà existant mais vide, et contenant une boule de matière de masse M, qui, selon le principe cosmologique, est de densité constante (isotropie). Nous pouvons appliquer à ce système la conservation de l'énergie mécanique car ce système est isolé (c'est d'ailleurs le seul vrai système isolé). Nous obtenons l'équation :

(17)

où est une constante. En divisant par m chaque membre et en remplaçant M par son expression en fonction de la densité, nous obtenons :

(18)

Or la loi de Hubble nous donne :

(19)

et :

(20)

Nous obtenons:

(21)

que nous simplifions en:

(22)

Or, sont des constantes. Nous introduisons une nouvelle constante k définie par (afin de simplifier les écritures) :

(23)

Nous obtenons donc l'équation :

(24)

qui est n'estd'autre que "l'équation de Friedmann".

Remarque: Einstein rajouta à cette équation pour des raisons de convictions personnelles et quasi religieuses une fameuse constante cosmologique qui lui permettait de rendre statique le facteur d'échelle de l'Univers. Nous (les auteurs du site) rejetons cette constante arbitraire, même si dans la physique contemporaine elle est revenue à la mode (sa valeur a été cependant définie mathématiquement plutôt que religieusement) car elle permettrait d'expliquer la provenance de la matière sombre, les lois actuelle de notre Univers, la période inflationniste de notre Univers ainsi que sa géométrie. Ainsi, l'équation de Friedmann avec cette constante, qui est un total artifice de travail, moderne s'écrit :

(25)

avec :

(26)

C'est Andreï Sakharov qui a défini la valeur de cette constante cosmologique qui s'apparenterait soit disant à l'énergie quantique du vide (fonction des champs de Higgs).

Deux idées guident les chercheurs de ce début de 21^ème siècle : en physique quantique les équations du champ associées aux particules élémentaires servent à définir la théorie du Big Bang. La célèbre équation d'équivalence d'Einstein nous dit que l'énergie crée un champ gravitationnel comme l'électron en mouvement provoque un champ électromagnétique. Il découle de ces deux observations qu'en mesurant le champ gravitationnel nous avons un moyen de déterminer l'énergie du vide. Le champ gravitationnel ne concerne plus la matière mais bien la densité d'énergie du vide. Or la constante cosmologique est directement proportionnelle à la constante de la gravitation, G. Sa mesure est un jeu très dangereux car de sa valeur dépend plusieurs lois fondamentales de physique et des propriétés non négligeables quant à la dynamique de notre Univers. Le débat reste donc complètement ouvert et si nous (les auteurs du site) trouvons une démonstration valable et rigoureuse de cette constante, nous mettrons à disposition du lecteur les conséquence de cette constante sur les modèles que nous allons voir ci-après.

Revenons à notre équation de Friedmann sans constante. En sachant que :

(27)

Nous obtenons :

(28)

qui se réarrange avec :

(29)

en :

(30)

L'exposant du terme de gauche impose que le terme de droite soit positif ou nul tel que :

(31)

Rappelons que les conditions initiales nous imposent qu'au temps nous ayons :

et (32)

Effectivement :

(33)

Il vient alors :

(34)

Ce terme devrait être accessible à l'observation, hélas est très mal connu et encore plus. Autrement dit, compte tenu du signe "-" dans l'expression de k, nous ne connaissons aujourd'hui même pas le signe de cette constante.

Cependant, il peut-être important de noter qu'il existe une valeur appelée "densité critique" qui annule k telle que :

(35)

Pour (valeur actuelle) nous trouvons . A titre de comparaison, un atome d'hydrogène pèse , la densité critique correspondrait donc à 3 atomes d'hydrogène par mètre cube.

Les physiciens ont défini une constante notée par la lettre grecque et donnée par :

(36)

Il est intéressant de travailler avec cette constante car dans le cas où :

- :

Nous avons :

(37)

ce qui en remplaçant dans l'équation de Friedmann donne : (un Univers plat comme nous le verrons dans notre étude du modèle relativiste).

- :

En effectuant le même raisonnement, et toujours en inégalités, nous avons alors: (un Univers à courbure positive (fermé) comme nous le verrons dans notre étude du modèle relativiste).

- :

En effectuant le même raisonnement, mais en inégalités, nous avons alors: (un Univers à courbure négative (fermé) comme nous le verrons dans notre étude du modèle relativiste).

(38)

Remarques:

R1. Toutes les mesures qui ont pu être faites jusqu'à présent n'ont pas permis de mettre en évidence une courbure de l'univers. Les mesures du rayonnement fossile par le ballon BOOMERANG et le satellite COBE tendent cependant à accréditer l'hypothèse d'un univers plat relativement aux simulations numériques :

(39)

R2. La notion de topologie de l'Unives et son ouverture sont en fait deux notions distinctes normalement. Quand nous parlons d'Univers fermé ou ouvert nous ne parlons normalement pas de sa topologie mais de son destin. Ainsi, un Univers ouvert s'expant indéfiniment et un Univers fermé se recontracte sur lui-même au bout d'un certain temps. Cela dit, dans les modèles que nous étudions dans ce chapitre (à constante cosmologique nulle), la courbure est directemetn liée à la densité, et donc à son ouveture.

Revenons à l'équation :

(40)

Nous pouvons écrire :

(41)

En adoptant la notation :

(42)

Remarque: Les mesures actuelles donnent :

(43)

D'où :

(44)

Il convient maintenant pour nous de considérer trois situation:

(45)

Remarque: Nous ne pouvons poser

car dans nos hypothèses initiales se trouvait le principe de conservation de l'énergie.

MODÈLE DE FRIEDMANN-LEMAITRE

Le modèle de Friedmann-Lemaître consiste à supposer que . Autrement dit, nous sommes dans un Univers dont la densité est dite "densité critique" ou également simplement "plat" (comme nous le verrons avec le modèle relativiste).

Nous avons alors l'équation :

(46)

En disposant les termes de manière adéquate :

(47)

et en intégrant, il vient :

(48)

Qui se simplifie en (nous élevons au carré d'où la suppression du double signe ±):

(49)

Nous avons donc dans ce modèle la relation :

(50)

à laquelle il nous faut rajouter une constante pour avoir la condition qui reste satisfaite :

(51)

Ce qui nous donne sur un tracé (nous avons représenté une échelle arbitraire du temps sur l'axe vertical) une fonction à l'allure suivante (ne pas se fier aux valeurs indiquées elles sont arbitraires) :

(52)

Nous avons mise la zone où en évidence pour bien rappeler que cette partie de la solution est à rejeter.

Nous avons donc un modèle d'Univers dont le facteur d'échelle croit de façon exponentielle et et ce indéfiniment.

Remarque: Plus est grand, plus la croissance du facteur d'échelle est grand (sous-entendu que la pente est bien évidemment plus grande).

MODÈLE HYPERBOLIQUE

Dans ce modèle, nous considérons . Donc l'équation à traiter reste :

(53)

Ce qui s'écrit aussi :

(54)

Rappelons que nous avions supposé pour que si nous effectuons le changement de variable , nous obtenons l'intégrale suivante :

(55)

Nous recherchons donc une primitive de :

(56)

et nous discuterons du signe ± après avoir trouvé la primitive.

Nous effectuons encore un changement de variable en posant donc ce qui nous donne la primitive suivante à calculer :

(57)

en refaisant un changement de variable :

(58)

d'où à une constante multiplicative près :

(59)

nous avons :

(60)

Dans le chapitre de calcul différentiel et intégral nous avons vu que cette forme de primitive se résout par la relation (nous rajoutons la constante d'intégration à la fin car nous faisons de la physique et il faut satisfaire des conditions initiales auxquelles nous ne nous intéressions pas nécessairement en mathématique) :

(61)

avec :

(62)

d'où :

(63)

Il nous faut encore calculer :

(64)

Enfin :

(65)

en remettant en place tous les changements de variables et en introduisant à nouveau la constante multiplicative, nous avons dans le cas où :

(66)

Entre les deux bornes d'intégration nous avons donc (la constante d'intégration s'annule et nous reprenons le ± qui se trouvait initialement dans l'intégrale) :

(67)

Rappel : La théorie nous impose

Si nous traçons cette fonction pour une valeur fixe. Nous avons le tracé suivant dans Maple (nous ne considérerons que le cas avec le signe "-" ci-dessous pour l'instant car le signe "+" nous donnerait un tracé dans les différentiels de temps négatifs : ) :

(68)

Remarque: Le temps est toujours représenté sur l'axe vertical ainsi que pour tous les diagrammes suivants (il vous faut tourner un peu la tête si habituellement vous mettez le temps sur l'axe des abscisses…).

Nous voyons que plus la constante A est petite, plus l'Univers arrive rapidement à un valeur finale. De plus pour une valeur de k fixée, certaines valeurs de A sont interdites (c'est à cause de la condition d'intégration).

En fixant une valeur de A, nous obtenons la représentation bi-dimensionnelle suivante :

(69)

Si nous effectuons un zoom au niveau , nous avons :

(70)

Nous voyons que le critère est parfaitement et naturellement respecté sans introduction d'une quelconque constante. Il suffit par ailleurs de remplacer F par 1 dans l'équation que nous avons obtenue pour voir que nous trouvons .

Remarque: Comme nous l'avons déjà précisé, toutes les valeurs de inférieures à 1 sont à rejeter!

Analysons l'avant-dernier tracé en rappelant que :

(71)

Une condition limite (condition d'intégration) pour que le terme de droite de l'égalité soit positif est que :

ou (72)

Donc, si est plus petit que , nous ne somme plus dans un domaine valable (réel) du modèle.

Il faut donc que :

ou (73)

Cette limite a été présentée par une ligne verticale bleue sur l'avant-dernier diagramme. Nous y avons également représenté par une ligne horizontale verte la limite temporelle temps correspondante .

Au fait, au-delà de cette limite temporelle, ce que ne sait pas l'ordinateur qui a tracé notre fonction qu'il devrait basculer sur la fonction d'échelle avec le signe "+". Ainsi, lorsque nous exécutons le tracé des deux fonctions avec les bornes adéquations :

(74)

nous obtenons alors (le temps est représenté sur l'axe vertical) :

(75)

Nous voyons que alors que pour l'Univers entre dans un phase de contraction que nous appelons communément "Big Crunch". Après cette phase de rétraction, il est possible soit que l'Univers disparaisse totalement, soit qu'il entre à nouveau dans un phase dynamique cyclique (mathématiquement les deux issues sont possibles).

MODÈLE SPHÉRIQUE

Dans ce modèle, nous considérons . Donc l'équation a traiter peut s'écrire :

(76)

Ce qui s'écrit aussi :

(77)

Rappelons que nous avions supposé pour que si nous effectuons le changement de variable , nous obtenons l'intégrale suivante :

(78)

Nous recherchons donc une primitive de :

(79)

et nous discuterons du signe ± après avoir trouvé la primitive.

Nous effectuons encore un changement de variable en posant donc ce qui nous donne la primitive suivante à calculer:

(80)

en refaisant un changement de variable :

(81)

d'où à une constante multiplicative près :

(82)

nous avons :

(83)

(84)

avec :

(85)

d'où :

(86)

Il nous faut encore calculer :

(87)

Enfin :

(88)

en remettant en place tous les changements de variables et en introduisant à nouveau la constante multiplicative, nous avons dans le cas où :

(89)

Entre les deux bornes d'intégration nous avons donc (la constante d'intégration s'annule) :

(90)

Nous devons évidemment avoir (nous reprenons le ± qui se trouvait initialement dans l'intégrale) :

(91)

Si nous traçons cette fonction pour une valeur fixe. Nous avons le tracé suivant dans Maple (nous ne considérerons que le cas avec le signe "-" car celui avec le signe "+" n'a pas de sens physique même translaté) :

(92)

Nous voyons que plus la constante A est petite, plus l'Univers croit indéfiniment rapidement. De plus pour une valeur de k fixée, certaines valeurs de A sont interdites (il s'agit au toujours fait de la condition d'intégration).

En fixant un valeur de A selon donne la représentation bi-dimensionnelle suivante :

Nous voyons à nouveau que le critère est naturellement parfaitement respecté. Toutes les valeurs de inférieures à 1 sont à rejeter !

Nous avons donc ce modèle sphérique un Univers qui croit indéfiniment de façon exponentielle (comme le modèle plat de Friedmann-Lemaître) car étant donné que , il n'y a plus de condition limite d'intégration (contrairement au modèle hyperbolique précédent).

UNIVERS OBSERVABLE

Nous avons déterminé plus haute une estimation actuelle de l'âge de l'Univers comme pouvant être interprétée comme l'inverse de la constante de Hubble ce qui nous a donné :

(93)

soit environ 13 milliards d'années.

Remarques:

R1. Nous noterons que les articles populaires et professionnels de recherche en cosmologie emploient souvent le terme "Univers" dans le sens de "Univers observable".

R2. Il faudrait au fait être plus rigoureux lorsque nous parlons d'âge de l'Univers. Au fait, nous devrions plutôt parler d'âge de l'Univers pour un observateur comobile depuis les époques les plus reculées est de 14 milliards d'années. En clair, c'est l'âge que mesurerait quelqu'un qui serait resté observateur inertiel (en chute libre : ne subissant aucune autre force que la gravitation) tout au long de l'évolution de l'Univers et dans un référentiel tel qu'il aurait toujours perçu cet Univers comme homogène et isotrope.

A ce jour, nous ne savons pas si l'Univers est fini ou infini, bien que la majorité des théoriciens favorisent actuellement un Univers infini.

L'Univers observable se compose ainsi de tous les endroits qui pourraient nous avoir affectés depuis le Big Bang (attention! malgré son non, cette théorie du Big Ban n'a rien à dire sur le début! Elle se contente de décrire l'évolution et l'expansion de l'$univers), en tenant compte que la vitesse de la lumière est certainement finie. L'horizon cosmique se trouve quant à lui à une distances de 14 à 15 milliards d'années lumière selon les observations expérimentales les plus récentes.

La taille actuelle (la "distance comobile") de l'Univers observable est plus grande, puisque l'Univers a continué de s'étendre pendant le temps que la lumière met à nous parvenir; nous estimons qu'elle est d'environ 50 milliards d'années lumière (). Celui-ci contiendrait d'après des estimations toutes heuristiques environ étoiles, répandues dans environ galaxies, elles-mêmes organisées en amas et super-amas de galaxies (le nombre de galaxies pourrait être encore plus grand, selon le "champ profond de Hubble" observé avec le télescope spatial Hubble.)

Cependant il est difficile de s'imaginer ce que cela représente. A ce titre, nous avons trouvé sur Internet une magnifique série d'illustrations (si l'auteur reconnaît ses créations qu'il se manifeste afin que nous puissions en donner la source) que nous vous proposons :

1. L'univers jusqu'à 13 milliards d'années lumière (l'Univers visible) :

(94)

Cette carte essaie de montrer l'ensemble de l'Univers visible. Les galaxies dans l'Univers ont tendance à se rassembler en vastes feuilles et "superamas" de galaxies, entourant de grands vides, ce qui confère à l'univers une apparence cellulaire. Parce que la lumière dans l'univers ne voyage qu'à une vitesse finie, nous voyons les objets sur le bord de l'univers quand celui-ci était très jeune, il y a 13 milliards d'années.