Introduction HISTORIQUE

Auteur de l'introduction : Dr. Angel Brucena pour Sciences.ch

C'est à partir de 1925,  que la Physique Quantique Ondulatoire ou "Mécanique Quantique" apparaît et son application à des problèmes physiques. Elle est à ce jour le meilleur modèle permettant d'expliquer les phénomènes et observations ayant lieu à l'échelle atomique et un peu au delà.

L'objectif de cette matière est donner un nouvel élan et un nouveau formalisme (parmi tant d'autres...) à la Théorie des Quanta (physique quantique corpusculaire.

Il y a eu deux formalismes presque simultanément équivalents : la Mécanique des Matrices et la Mécanique Ondulatoire (plus pédagogique que la première...et donc utilisée dans ce site)

cHRONOLOGIE

Beaucoup de scientifiques et philosophes ont contribué directement ou indirectement au développement de la physique quantique ondulatoire qui ne c'est bien évidemment pas développée que par le travail d'un seul homme). Par les paragraphes qui vont suivre, nous allons présenter quelques personnages célèbres placés dans le cadre de ce domaine de la physique.

DUALITÉ ONDE CORPUSCULE

Entre 1923-1925, Louis de Broglie établit les bases d'une théorie unifiée de la matière et de la radiation,  pour cela il fait l'hypothèse que la dualité onde-corpuscule est une propriété générale des objets microscopiques et comme la lumière a une double nature ondulatoire et corpusculaire.

En 1924, de Broglie dans sa thèse dit :  "depuis l'introduction par Einstein des photons dans l'onde lumineuse, on savait que la lumière contient des particules qui sont des concentrations d'énergie incorporée dans l'onde, suggère que toute particule, comme l'électron, doit être transportée par une onde dans laquelle elle est incorporée … Mon idée essentielle était d'étendre à toutes les particules la coexistence des ondes et des corpuscules découverte par Einstein en 1905 dans le cas de la lumière et des photons".

Cette théorie posait les bases de la mécanique ondulatoire. Elle fut soutenue par Einstein, confirmée par les expériences de diffraction des électrons de Davisson et Germer, et surtout généralisée par les travaux de Schrödinger.

Dans la seconde partie de sa thèse de 1924, de Broglie a démontré l'équivalence du principe mécanique de moindre action (cf. chapitre de Mécanique Analytique)  avec le principe optique de Fermat (cf. chapitre d'Optique Géométrique) : "Le principe de Fermat appliqué à l'onde de phase est identique au principe de Maupertuis appliqué au mobile : les trajectoires dynamiques possibles du mobile sont identiques aux rayons possibles de l'onde".

Jusqu'à ses derniers travaux, il paraît être le physicien qui a le plus poursuivi cette dimension d'Action dont Max Planck, au début du 20ème siècle, avait montré qu'elle est finalement la seule unité universelle (avec sa dimension d'entropie).

MÉCANIQUE DE MATRICES ET MECANIQUE ONDULATOIRE

Entre 1925 et 1926, la Mécanique de Matrices de Heisenberg, Born et Jordan abandonne la notion d’orbite électronique, car expérimentalement on ne peut pas suivre le mouvement d’un électron.

En partant exclusivement des données physiquement observables telles que les fréquences et les intensités des rayonnements émis par les atomes, la théorie associe à chaque grandeur physique une certaine matrice. Les règles de calcul entre matrices avaient été établies par Cayley au 19ème siècle.

Ces matrices suivent une algèbre non-commutative, ce point est essentiel et la différencie de la mécanique classique.

Les équations du mouvement des variables dynamiques d'un système quantique sont, des équations entre matrices.

La Mécanique ondulatoire de Schrödinger en 1926, apparaît de façon différente. Elle généralise les travaux de Broglie sur les ondes de matière, en proposant une équation de propagation de l'onde qui représente le système quantique.

Une règle de correspondance très simple permet de déduire cette équation fondamentale de la fonction de Hamilton-Jacobi (cf. chapitre de Mécanique Analytique) du système classique correspondant. L'équation de Schrödinger constitue comme nous le verrons l'élément essentiel de la Mécanique Ondulatoire.

L'équation de Schrödinger appliquée à des problèmes simples (oscillateur harmonique, rotateur à deux masses, atome d'hydrogène) admet des solutions rigoureuses, qui font intervenir des fonctions étudiées par les mathématiciens du 19ème siècle et qui conduisent par voie déductive à toutes les conditions de quantification qui semblaient précédemment arbitraires, lors de l'ancienne théorie de quanta (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire).

Ainsi, l'électron d'un atome d'hydrogène possède trois nombres quantiques entiers : n (nombre quantique principal), l (nombre quantique azimutal), m (nombre quantique magnétique) se rapportant respectivement aux trois constantes du mouvement (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire). Un quatrième nombre quantique s se  rapporte au moment cinétique de spin qui, ainsi que le montrèrent Pauli et Dirac entre 1930 et 1940, est une propriété résultant de l'application à l’électron d'une équation analogue à celle de Schrödinger, mais satisfaisant à l'invariance relativiste (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste).

Schrödinger montra en 1926 que la mécanique des matrices et mécanique ondulatoire sont équivalentes. Elles sont désormais unies en une mécanique quantique, qui explique de façon satisfaisante dans le principe, non seulement les faits de la spectroscopie, mais un grand nombre d’autres propriétés atomiques et moléculaires. On donne souvent aujourd’hui à la mécanique quantique une forme axiomatique (Dirac, von Neumann), commode pour l'enseignement mais qui ne doit pas faire oublier ses origines empiriques.

INTERPRÉTATIONS

Une première tentative, en 1925, par Heisenberg, qui travaillait alors à Copenhague sous la direction de Bohr, avait été fortement orientée par les conceptions de l'auteur de la théorie quantique de l'atome ; elle s'inspirait aussi d'idées positivistes ou phénoménologiques qui devaient peu après devenir le credo de l’école  philosophique du Wiener Kreiss (Cercle de Vienne)  et selon lesquelles la théorie physique  doit introduire uniquement des grandeurs dont la valeur peut être directement observée et éviter toute représentation dont certains éléments seraient inaccessibles à l'expérience. Animée de cet "esprit de Copenhague" qui par certains côtés rappelait celui de l’ancienne école énergétiste, la mécanique quantique de Heisenberg se présentait comme un pur formalisme rejetant toute image du monde microphysique, mais susceptible de rendre compte de tous les phénomènes observables de l’échelle atomique à l’aide de simples calculs algébriques.

Dès 1926, l’interprétation probabiliste de la physique quantique est développée par Heisenberg, Born, Pauli et Dirac principalement. Dans cette interprétation, il n'y a plus en physique quantique que des lois de probabilité pure sans aucun mécanisme causal . L'onde de la mécanique ondulatoire n'est plus aucunement une réalité : elle n'est plus qu'une solution d’une équation aux dérivées partielles, correspondant à l'équation d'ondes.

Le corpuscule lui aussi prend un aspect fantomatique : il n'y a plus ni localisation permanente dans l'espace, ni valeur à chaque instant de son énergie et de sa quantité de mouvement, il est en général présent à l'état potentiel dans toute une région étendue de l'espace et réparti statistiquement entre plusieurs états de mouvement. L'expérience peut bien permettre de localiser le corpuscule ou d'attribuer une valeur à sa quantité de mouvement, mais toujours fugitivement et jamais au même instant : c'est ce qu'expriment en termes mathématiques les relations d’incertitude de Heisenberg.

DATES CLÉS

- 1923-1925 : Louis de Broglie établit les bases d'une théorie unifiée de la matière et de la radiation,  pour cela il fait l'hypothèse de la dualité onde-corpuscule.
- 1925 – 1926 : Werner Heisenberg, Max Born et Pascual Jordan établissent  la Mécanique de Matrices en abandonnant la notion d’orbite électronique.
- 1926 : Erwin Schrödinger conçoit la Mécanique ondulatoire. Cette théorie généralise les travaux de Broglie sur les ondes de matière, en proposant une équation de propagation de l’onde qui représente le système quantique.
- 1926 : Schrödinger montra que la mécanique des matrices et mécanique ondulatoire sont équivalentes.
- 1926 : L'interprétation probabiliste de la physique quantique est développée par Heisenberg, Born, Pauli et Dirac principalement.
- 1930 : Paul Adrien Dirac, dans Les principes de la mécanique quantique,  il utilise l'algèbre des opérateurs linéaires comme une généralisation des théories d'Heisenberg et de Schrödinger

PERSPECTIVES /TENDANCES

L'utilisation de la mécanique ondulatoire a permis de comprendre la véritable nature de la notion de valence chimique et a donné naissance à une nouvelle branche, la chimie théorique ou chimie quantique (cf. chapitre Chimie Quantique).

synthèSE

La Physique Quantique Ondulatoire des systèmes de particules sous la forme de Schrödinger, jointe au principe d'exclusion de Pauli, est valable pour toute une catégorie des particules, dont les électrons.

Elle a conduit à distinguer deux genres des particules présentes dans la matière :

- les particules à fonction d'onde antisymétrique, ou fermions, soumises au principe d’exclusion et à la statistique de Fermi-Dirac (cf. chapitre Mécanique Statistique)

- les particules à fonction d'onde symétrique, ou bosons, non soumises au principe d'exclusion et à la statistique de Bose-Einstein (cf. chapitre Mécanique Statistique).

Cette répartition des particules en deux catégories, intimement reliée à la valeur de leur spin, joue un rôle essentiel dans la physique contemporaine.

Fille de l'ancienne théorie des quanta (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire), la physique quantique ondulatoire (P.Q.O.) appelée aussi "mécanique quantique" constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous l'appellation générale de "physique quantique". Cette dénomination s'oppose à celle de la physique classique, celle-ci échouant dans sa description du monde microscopique (atomes et particules) ainsi que dans celle de certaines propriétés du rayonnement électromagnétique (voir typiquement les expériences des fentes de Young dans le chapitre d'Optique Ondulatoire)

Remarque: L'extension relativiste pertinente de la mécanique quantique est la physique quantique relativiste (voir chapitre du même nom).

La mécanique quantique a repris et développé l'idée de dualité onde-corpuscule introduite par de Broglie en 1924 (voir plus loin) consistant à considérer les particules de matière non pas seulement comme des corpuscules ponctuels, mais aussi comme des ondes, possédant une certaine étendue spatiale (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire). Bohr a introduit le concept de complémentarité pour résoudre cet apparent paradoxe : tout objet physique est bien à la fois une onde et un corpuscule, mais ces deux aspects, mutuellement exclusifs, ne peuvent être observés simultanément. Si nous observons une propriété ondulatoire, l'aspect corpusculaire disparaît. Réciproquement, si l'on observe une propriété corpusculaire, l'aspect ondulatoire disparaît.

A ce jour, aucune contradiction n'a pu être décelée entre les prédictions de la mécanique quantique et les tests expérimentaux associés. Ce succès a hélas un prix : la théorie repose sur un formalisme mathématique abstrait, qui rend son abord assez difficile pour le profane. Ceci à pour conséquence que bon nombre d'ouvrages à son sujet (dont le présent texte ne serait être exclu), qu'ils s'adressent à des spécialistes ou non, voient leur explications ou textes soumis à de nombreuses critiques d'interprétations.

Pour en sortir il est favorable de prendre pour base le "principe d'objectivité" du à Heisenberg qui est à la base de la "mécanique quantique standard" : existe ce qui est expérimentalement observable.

Ce principe est admis par la majorité des physiciens, mais non la totalité. Un électron est il présent à plusieurs endroits? Pour que cela soit recevable il faut une expérience qui le trouve à plusieurs endroits,ce qui est impossible donc nous ne sommes pas tenu de répondre à la question! Dire qu'il est à plusieurs endroits avant qu'on l'observe n'est pas recevable en physique : principe d'objectivité. D'une manière générale, nous allons renoncer à la notion de trajectoire et de mouvement, ce qui va permettre, de lever la contradication du freinage par rayonnement (cf. chapitre d'Electrodynamique) : car s'il n'y a plus de mouvement au sens classique les notions de vitesse et d'accélération perdent tout sens.

Une minorité de physiciens nient ce principe et ont fondé une mécanique quantique non standard avec des grandeurs classique ce qui explique que l'on puisse trouver surtout dans les revues de vulgarisation des exposés qui s'écartent de la mécanique quantique standard (celle de la majorité des physiciens). Cette version non standard donne les mêmes prévisions pour tout expérience réalisable, c'est donc un modèle possible.

En conclusion la mécanique quantique est une théorie inachevée beaucoup de points restent obscurs. Il est donc normal qu'il y ait plusieurs interprétations.

POSTULATS

Contrairement à la majorité des ouvrages sur le sujet, nous sommes pédagogiquement (et non pas techniquement!) très peu convaincus quant à l'impact de la présentation des postulats de la mécanique quantique au début de son étude dans les classes. Nous nous permettons d'exposer nos raisons (expérience faite):

1. Ils peuvent se déduire de raisonnements mathématiques simples et logiques (algèbre élémentaire et probabilités) fondées sur les postulats de la physique quantique corpusculaire et du principe de complémentarité et découlent donc d'une évolution de cette dernière.

2. Ces postulats sont indigestes, voir incompréhensibles si la mécanique quantique (son formalisme et son vocabulaire) n'a pas été d'abord appréhendée par un certain nombre d'exercices ou d'usage réguliers (s'aider d'un exemple pratique de cette théorique comme l'informatique quantique).

Nous pouvons alors considérer que les seuls éléments non démontrables théoriquement (à notre connaissance) qui auraient leur place au rang de postulat seraient : le principe de complémentarité de De Broglie (nous en parlerons plus tard) et la loi de Planck (déjà vue au chapitre précédant).

Cependant..., dans l'objectif de respecter la tradition, et de respecter la méthodologie scientifique, nous avons choisi de quand même présenter ces postulats en début de ce chapitre. Nous conseillons cependant vivement au lecteur non averti, de lire ceux-ci sans trop chercher à les comprendre mais simplement de penser à y revenir plus tard, une fois que tout le reste du chapitre aura été lu. Dès lors, tout deviendra très probablement limpide et la lumière sera…

Remarques: Nous verrons des cas pratiques dans ce chapitre même, de la théorie quantique pour un usage utérieur en physique quantique des champs et physique nucléaire. Nous conseillons cependant au lecteur de lire en même temps le chapitre d'Informatique Quantique qui semblerait-il aide plus que grandement la compréhension de certains passages un peu trop théoriques présentés ici.

1ER POSTULAT : ÉTAT QUANTIQUE

L'état d'un système quantique classique est spécifié par les coordonnées généralisées (cf. chapitre de Mécanique Analytique) et est complètement décrite par une fonction , dite "fonction d'état" ou "fonction d'onde", dont le module au carré (multiplication de la fonction par son conjugué) donne la densité de probabilité de trouver instantanément le système dans la configuration au temps t (si le système est dépendant du temps):

  (1)

Remarques:

R1. Le fait que nous parlions "d'onde" au lieu de "particule" vient au postulat génial et ma foi assez logique de De Broglie que nous appelons "postulat de complémentarité" (que nous détaillerons plus loin) et qui associe à tout particule de matière, une onde.

R2. Le fait que nous traitions des probabilités et que celle-ci soit proportionnelle au carré du module de la fonction d'onde vient des principes d'incertitudes de Heisenberg que nous démontrerons plus loin et principalement de l'expérience des fentes de Young avec des électrons (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) sur laquelle nous reviendrons aussi.

En corollaire, la particule étant nécessairement située quelque part dans l'espace entier, nous avons la condition de normalisation :

  (2)

En d'autres termes doit être normée, ce que nous appelons "condition de normalisation de De Broglie".

Remarques:

R1. Notons que même normée, est déterminée à un facteur de phase près. De plus, il est préférable que soit différentiable, car des opérateurs différentiels agissent sur elle pour obtenir des prévisions théoriques sur des propriétés mesurables, et finie pour qu'elle soit normalisable...

R2. Lorsque l'intégrale donnée plus permet d'obtenir une quantité finie, nous disons qu'elle est de "carré sommable".

Rappellons qu'un "facteur de phase" est un facteur complexe constant de module unitaire. Nous pouvons l'écrire selon ce que nous avons étudié dans le chapitre des Nombre lors de notre étude des nombres complexes , où est un angle quelconque, appelé la "phase" (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire).

Nous pouvons formuler ce postulat de manière un peu plus formelle car comme nous le verrons dans plusieurs exemples, la fonction d'onde est souvent un polynôme complexe qui peut dès lors s'exprimer dans l'espace de Hilbert des polynômes.

Cela donne dès lors dans le langage du formalisme bra-ket de Dirac :

Le vecteur d'état ket appartenant à l'espace vectoriel (espace de Hilbert) définit l'état du système quantique à l'instant t. Ce vecteur d'état possède toutes les propriétés mathématiques requises par la physique quantique et en particulier le produit scalaire du vecteur par le vecteur dual (conjugué complexe) doit satisfaire le produit scalaire fonctionnel :

  (3)

Remarque: La notation bra-ket a été introduite par Paul Dirac pour faciliter l'écriture des équations de la mécanique quantique, mais aussi pour souligner l'aspect vectoriel de l'objet représentant un état quantique.

Les deux relations:

et   (4)

sont donc équivalentes!

2ÈME POSTULAT : ÉVOLUTION TEMPORELLE D'UN ÉTAT QUANTIQUE

Si le système n'est par perturbé, l'évolution (non relativiste!) de son état est gouvernée par l'équation de Schrödinger d'évolution (dépendante du temps donc) :

  (5)

Cette relation signifie simplement que c'est l'opérateur "énergie totale" du système ou "hamiltonien" H, qui est responsable de l'évolution du système dans le temps. En effet, la forme de l'équation montre qu'en appliquant l'hamiltonien à la fonction d'onde du système, on obtient sa dérivée par rapport au temps c'est-à-dire comment elle varie dans le temps.

Remarque: Nous démontrerons plus loin cette relation (ce ne sera pas trivial mais c'est possible et donc cela élimine le besoin de la définir en tant que postulat).

Dans cette dernière relation, H est l'opérateur l'hamiltonien (énergie totale) du système que nous démontrerons comme valant dans un cas particulier et simple :

  (6)

Dans le cas où le potentiel est indépendant du temps (correspondant à un système conservatif en mécanique classique), il existe (nous le verrons dans des exemples) un ensemble de solutions particulières indépendantes du temps et satisfaisant (relation dont nous démontrerons la provenance) :

  (7)

où est appelée une "fonction propre" (en analogie avec les vecteurs propres vu en algèbre linéaire) de l'hamiltonien/opérateur H avec valeur propre/observable.

Ces solutions particulières décrivent alors des états spéciaux appelés "états stationnaires" (puisque indépendants du temps...).

Remarque: L'équation aux valeurs propres précédente est souvent appelée "équation de Schrödinger indépendante du temps". Elle définit les états stationnaires et n'a un sens que si le système est conservatif.

C'est surtout l'équation de Schrödinger indépendante du temps qui concerne la chimie quantique (sujet que nous traiterons dans une autre section du site). Nous cherchons en effet à obtenir les fonctions d'onde décrivant les états stationnaires, et surtout l'état de la plus basse énergie, "l'état fondamental", des atomes et des molécules. Les transitions observées en spectroscopie s'effectuant entre ces états stationnaires (nous le démontrerons plus loin)., leur détermination est donc un prérequis pour l'étude de la spectroscopie. Cependant, il faut bien se rappeler que c'est l'équation d'évolution de Schrödinger, qui est l'équation fondamentale de la physique quantique ondulatoire (dans un premier temps…) : elle joue le même rôle que l'équation de Newton en mécanique classique, soit celui d'une équation de mouvement.

R2. Au fait, nous verrons que l'équation d'évolution de Schrödinger n'est qu'un cas particulier de ce que nous appelons "l'équation de Klein-Gordon libre" qui elle-même est un cas particulier de l'équation de "Klein-Gordon généralisée", elle-même étant un modèle limité par rapport à "l'équation de Dirac linéarisée" (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste)...

3ÈME POSTULAT : OBSERVABLES ET OPÉRATEURS

A chaque propriété physique mesurable (observables) ( étant les coordonnées généralisées et les moments généralisés selon ce qui a été vu au chapitre de Mécanique Analytique) d'un système correspond un opérateur linéaire dit "opérateur hermitique" (voir le traitement des espaces hilbertiens dans le chapitre de Calcul Vectoriel) associé (l'opérateur peut aussi être un matrice!).

Rappel : Un opérateur sur un espace de Hilbert (complexe) H (à ne pas confondre avec la notation de l'hamiltonien) est dit "hermitien" ou encore "hermitique" s'il est égal à la transposée de son conjugué (auto-adjoint) ce qui est noté (nous avons déjà vu cela dans le chapitre d'Algèbre Linéaire avec les matrices hermitiennes).

Exemples (non exhaustifs dont nous verrons les origines plus loin!):

E1. Coordonnées (rien de particulier) :

  (8)

E2. Quantité de mouvement (nous le démontrerons) :

  (9)

E3. Moment cinétique (ce que nous démontrerons aussi) :

  (10)

Remarques:

R1. Cela peut sembler compliqué et abstrait (on pourrait croire que cela tombe du ciel), mais nous verrons que cela vient tout seul lorsque nous ferons les développements plus loin de quelques exemples bien concrets ou lors de la lecteure du chapitre d'informatique quantique.

R2. Dans le cadre de ce site, nous notons indifféremment, les opérateurs et les observables sans circonflexes (c'est au lecteur de savoir sur quoi nous travaillons).

Nous verrons par ailleurs que les opérateurs ne sont pas commutatifs et qu'ils obéissent à ce que nous appelons des "relations d'anti-commutation" (qui sont à l'origine des principes d'incertitudes de Heisenberg).

Exemple (que nous démontrerons plus loin!):

  (11)

Nous verrons par ailleurs trivialement à l'aide d'un cas pratique que deux observables dont les opérateurs commutent tel que :

  (12)

possèdent une base de vecteurs propres commune. Nous disons alors qu'ils sont simultanément mesurables avec précision (dans le cas contraire nous avons une incertitude… de Heisenberg). Les deux grandeurs peuvent alors être appelées "observables compatibles" O.C.

L'ensemble des O.C. compatibles attachées à un système physique constituent un "ensemble complet d'observables compatibles" (ECOC).

4ÈME POSTULAT : MESURE D'UNE PROPRIÉTÉ

Soit , une grandeur physique. La conséquence du postulat précédent est que la mesure de donne donc toujours une valeur propre de l'opérateur hermitique associé, . En d'autres termes, les seules valeurs observables de la propriété sont les valeurs propres de l'opérateur !

Les vecteurs propres et les valeurs propres d'un opérateur ont une signification spéciale: les valeurs propres sont les valeurs pouvant résulter d'une mesure idéale de cette propriété, les vecteurs propres étant l'état quantique du système lors de cette mesure.

C'est à cause de ce postulat qu'il est important de s'assurer que toute propriété physique soit représentée par un opérateur hermitique. En d'autres termes, l'hermiticité de assure que ses valeurs propres sont réelles.

5ÈME POSTULAT : MOYENNE D'UNE PROPRIÉTÉ

Ce postulat est le moins intuitif et le plus difficile à démontrer (la démonstration ne se trouve pas encore sur le site). Son énoncé est le suivant : la valeur moyenne (espérance) d'une propriété physique , quand le système se trouve dans l'état décrit par est donnée par :

  (13)

Une expression équivalente est la suivante : la probabilité de trouver la valeur propre (de l'opérateur hermitique ), lors d'une mesure de la propriété effectuée au temps t sur le système quantique préparé dans l'état décrit par le vecteur ou la fonction , est donnée par le carré du module de la projection de la fonction ou vecteur d'état sur la fonction ou vecteur propre associée à la valeur propre (et son opérateur):

  (14)

où la "projection" ou "représentative" est définie par :

  (15)

l'inidice k étant ici pour indique qu'il peut y avoir pour certains opérateurs plusieurs valeurs et vecteurs propres.

Remarque: Nous reviendrons sur ce formalisme et ces relations plus tard. Cependant un excellent exemple pratique est proposé dans les premières pages du chapitre d'Informatique Quantique.

PRINCIPES D'INCERTITUDES CLASSIQUES

Avant de s'attaquer directement à la physique quantique et à ses outils mathématiques (et démonstration des cinq postulats), nous devons d'abord introduire un exemple classique simple dans lequel apparait un type particulier de phénomènes : la présence intrinsèque de l'incertitude dans toute mesure.

Cette étude sous forme classique et pas très rigoureuse, nous aidera à mieux appréhender l'incertitude quantique (nous l'ésperons) que nous étudierons et déterminerons plus tard et qui elle n'est pas d'origine expérimentale!

Imaginons que nous souhaitions mesurer au moyen d'un microscope l'abscisse x d'une particule et les composantes de sa quantité de mouvement p. Pour cela, un faisceau de lumière monochromatique (pour simplifier) parallèle à éclaire la particule, il faut qu'au moins un photon choque la particule et parvienne à l'œil de l'observateur, pour que la mesure de x soit possible :

  (16)

Une fois x mesuré, nous pouvons imaginer n'importe quel procédé pour mesurer la quantité de mouvement. 

Soit l'angle que fait la direction du photon après le choc, avec . Supposons pour alléger les calculs que la particule ait une masse assez élevée pour que nous puissions négliger le changement d'énergie du photon. Nous voyons qu'après le choc, les composantes de la quantité de mouvement du photon selon et sont:

  (17)

Effectivement, rappelons que les relations entre les ondes électromagnétiques, l'équivalence masse-énergie et la quantité de mouvement (cf. chapitre de Relativité Restreinte) sont les suivantes :

  (18)

Il s'ensuit que la particule peut voir sa quantité de mouvement altérée; les composantes de sa variation sont (ne pas oublier qu'initialement elle était nulle en z):

  (19)

entre sa quantité de mouvement initiale et finale.

La seule information que nous possèdons sur l'angle , c'est que ce dernier est strictement, en module, égal à l'angle d'ouverture u de l'objectif du microscope (restriction technique).

Donc cela implique que :

  (20)

PREMIÈRE RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE

Quand nous aurons mesuré la quantité de mouvement p à la fin de l'expérience, il faudra effectuer les corrections :

  (21)

de la quantité de mouvement du photon pour savoir la vraie valeur de p de particule juste avant le début de la mesure. 

Dans ces corrections, il y a une partie inconnue qui correspond à des erreurs de mesure sur et . Il est possible d'établir avec encore quelques petites finesses… que l'erreur maximale de et sur la quantité de mouvement initiale est donnée trivialement par la composante x de la "première relation d'incertitude classique":

    (22)

puisque nous avons .

Puisque nous avons la relation trigonométrique remarquable suivante (cf. chapitre de Trigonométrie) :

  (23)

et que , nous obtenons dès lors aussi la première relation d'incertitude pour la composante z :

    (24)

Rappelons maintenant que (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) pour une fente rectangulaire nous avons en posant :

  (25)

où (en optique ondulatoire) est l'angle permettant de distinguer clairement deux minimas de diffraction (et donc clairement un objet émettant un rayonnement identique entre deux points). Inversement, du point de vue de la diffraction, l'ouverture e est donc donnée par :

  (26)

La valeur de e peut aussi être vue comme le champ de vision (projection orthogonale de la fente sur l'axe X) de largeur de la particule. Dès lors :

  (27)

Au même titre que l'erreur maximale est donnée par la condition , nous pouvons aussi écrire  , cela nous amène à écrire que :

  (28)

DEUXIÈME RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE

Si nous multiplions: 

 et     (29)

nous obtenons la "deuxième relation  d'incertitude classique" également appelée "l'incertitude spatiale classique" :

  (30)

qui représente donc l'erreur maximale expérimentale d'un microscope à faible ouverture rectangulaire (que de conditions!). 

Remarque: Le lecteur vérifiera sans peine que cette relation apppliquée pour un objet macroscopique (de l'ordre du centimètre) dont la position serait mesurable avec un précision de l'ordre du micromètre donne un incertitude ridiculement faible sur la quantité de mouvement et donc la vitesse. Par contre, la même relation appliquée pour la masse d'une particule telle que l'électron avec une précision de mesure de la position supposée du dixième de nanomètre donnera une incertitude sur la vitesse de l'ordre 1'000 [m/s]...!!

Ainsi, si nous essayons de situer une particule avec de plus en plus grande, sa quantité de mouvement atteint des valeurs extrêmes. À un certain point, la quantité de mouvement peut être si grande que l'énergie correspondante est suffisante pour produire une paire de particule-antiparticule. En d'autres termes, si nous essayons de confiner une particule dans une boîte de plus en plus petite, d'une part, nous connaissons de moins en moins sa quantité de mouvement et par le fait, nous ne savons même pas combien de particules il y a dans la boîte!

Cependant (!) , nous verrons lors de l'étude des commutateurs appliqués à la théorie de la physique quantique, que la vraie relation d'incertitude (dont la valeur diffère de celle ci-dessus) apparaît tout naturellement uniquement à partir de propriétés mathématiques et de la définition de la quantité de mouvement.

Plus généralement, pour une particule dans un volume à dimensions (x, y, z), un état classique est caractérisé par les 6 quantités  dans l'espace de phase (espace de phases qui est donc de dimension 6) et l'état quantique occupe le "cube" de volume:

  (31)

Examinons le produit de :

 avec   (32)

tel que:

  (33)

et supposons que u soit petit et intéressons nous au rapport  quand u tend vers zéro…

Nous avons dès lors:

  (34)

ce qui nous donne finalement (en première approximation) : 

  (35)

Nous voyons qu'il est possible de jouer sur la variable u pour l'indétermination en z mais cela devient par contre impossible lorsqu'il s'agit de l'indétermination en x.

TROISIÈME RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE

En relativité restreinte, nous avons vu que x, y, z, ct constituent les composantes d'un quadri-vecteur d'espace-temps ainsi que un vecteur d'énergie-impulsion. 

Il est donc naturel de compléter les trois relations spatiales  par extension :

  (36)

Nous obtenons ainsi la "quatrième relation d'incertitude classique" appelée également "incertitude temporelle classique" :

  (37)

Cependant (!) , nous verrons lors de l'étude des commutateurs appliqués à la théorie de la physique quantique, que cette relation d'incertitude (dont la valeur diffère de celle ci-dessus) apparaît tout naturellement uniquement à partir de propriétés mathématiques et de la définition de la quantité de mouvement.

Remarque: Nous reviendrons plus tard sur les implications de cette incertitude temporelle dont les implications sont à la base de le cosmologie quantique (et de la création de notre Univers) et de la théorie quantique des champs en particulier en ce qui concerne le potentiel de Yukawa (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs).

Les incertitudes classiques établies vont nous permettre de mieux comprendre les incertitudes sous leur forme quantique réelle. Pour cela, parmi d'autres, il va nous falloir faire usage de l'artillerie mathématique nécessaire. Cependant, dans un souci  de clarté, nous avons souhaité présenter la physique quantique ondulatoire de la manière la plus simple et la moins formelle possible. Cette présentation peut porter le lecteur à de nombreux contre-sens!

ALGÈBRE QUANTIQUE

Sous ce terme peu courant et non officiel "d'algèbre quantique" (donc à ne pas en abuser!) nous souhaitons introduire et rappeler au lecteur des outils ou "êtres" mathématiques qui vont nous êtres très utiles pour résoudre certaines équations de la physique quantique. Il est donc de première importance de comprendre (ou d'avoir compris, en ce qui concernce les rappels) au mieux ce qui va suivre!

Remarque: Les puristes risquent de grimper aux rideaux en lisant ce qui va suivre mais pour plus de précision il peuvent se rendre dans les chapitres traitant dans les détails de la matière qui va suivre.

OPÉRATEURS LINÉAIRES FONCTIONNELS

Définition: Les "opérateurs linéaires" sont des êtres mathématiques agissant sur des fonctions ou vecteurs (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Les fonctions sur lesquelles peuvent opérer ses opérateurs peuvent être des fonctions d'une seule variable x, soit f(x), ou des trois coordonnées d'un point x, y, z soit f(x, y, z) ou écrit encore plus brièvement .

Nous serons amenés à écrire des intégrales de ces fonctions, qui sont le plus souvent étendues à tout l'espace. Dans le cas d'une fonction des trois coordonnées spatiales d'un point, nous adopterons la notation suivante :

  (38)

Ces notations, indispensables pour l'allègement des expressions que nous rencontrerons en physique quantique étant données, nous en revenons à nos opérateurs.

Partant d'une fonction f, si nous savons lui associer une fonction g de même nature, c'est-à-dire dépendant des mêmes variables, nous pouvons dire que g est le résultat de l'action d'un opérateur  sur f et écrire cela symboliquement comme un produit simple :

    (39)

Mais nous introduisons tout de suite une restriction fondamentale: seuls nous intéressent les opérateurs linéaires (comme en algèbre linéaire quoi...), c'est-à-dire tels que:

  (40)

quels que soient les coefficients ₁ et ₂.

Un catégorie très simple d'opérateurs est constituée par les nombres (scalaires). En effet,  étant un nombre:

  (41)

dépend linéairement de f, définissant un opérateur linéaire que nous écrivons . Il y a deux cas particuliers importants:

1. Opérateur zéro:  où  sera une fonction bien évidemment nulle partout

2. Opérateur unité ou identité:  où (ce qui est tout aussi simple...)

Remarque: L'opérateur "Nabla" est également un opérateur linéaire fonctionnel (nous le verrons un peu plus loin).

Nous vérifions sans peine pour les opérateurs fonctionnels que ces derniers sont commutatifs par rapport à l'addition, associatifs par rapport à l'addition et la multiplication et distributif par rapport à l'addition à gauche et à droite (voir les chapitres de Théorie des Ensembles et Algèbre Linéaire au besoin).

Jusqu'à présent, rien ne distingue l'algèbre des opérateurs de celle des nombres. Mais il y a cependant deux propriétés qu'il faut toujours avoir en tête pour ne pas commettre des erreurs quand nous faisons du calcul d'opérateurs:

1. Deux opérateurs ne commutent pas en général par rapport à la multiplication (comme en algèbre linéaire...), c'est-à-dire qu'en général soit deux opérateurs fonctionnels et :

  (42)

Si nous rencontrons une expression telle que , nous n'avons donc pas le droit d'effectuer en général, la mise en facteur (il s'agit donc d'un structure particulière de groupe).

Exemple:

Un exemple simple et important, car utile pour la suite (très proche d'un cas pratique que nous verrons plus loin), de deux opérateurs qui ne commutent pas avec une fonction d'une seule variable est le suivant (où f est quelconque). Considérons l'opérateur d/dx agissant sur xf(x) :

  (43)

en simplifiant par f :

  (44)

Donc nous avons a ci-dessus un exemple de deux opérateurs qui ne commutent pas puisque:

  (45)

Alors que tous les nombres, autres que zéro, ont un inverse, un opérateur  non nul peut ne pas admettre d'inverse (comme en  algèbre linéaire...). L'inverse d'un opérateur, que nous notons , étant tel que (s'il existe):

  (46)

Remarques:

R1. Si un opérateur peut commuter n'importe comment avec un autre opérateur, c'est que ce dernier est un nombre (cela rejoint le concept de mesure dont nous avons fait mention dans les postulats).

R2. Lorsqu'un état (une fonction mathématique au sens formel) est inchangé par un opérateur, l'état est alors appelé "état propre" ou "vecteur propre" du système (nous verrons des exemples pratiques plus loin). L'état est alors parfaitement mesurable et est assimilé à l'observable classique.

Exemple (d'opérateur):

Partons de l'équation de Schrödinger tri-dimensionelle (que nous démontrerons plus loin) à admettre pour l'instant :

  (47)

ou bien écrit autrement (c'est plus esthétique...) avec le laplacien :

  (48)

ou encore:

  (49)

autrement encore...:

  (50)

Alors l'opérateur énergie totale (l'hamiltonien H en d'autres termes...) s'exprime comme :

  (51)

ou en notation lagrangienne :

  (52)

Remarque: Nous retrouvons ici naturellement la deuxième expression donnée dans le deuxième postulat.

D'autre part, nous savons que :

  (53)

Les deux dernières expressions doivent être identiques. La seule possibilité pour satisfaire à ces égalités est de poser :

  (54)

qui sont les "opérateurs hermitiques de la quantité de mouvement" en mécanique quantique et dont il faudra se rappeler tout au long de notre étude!

Remarque: Nous retrouvons ici naturellement un des opérateurs cités dans le troisième postulat.

Nous pouvons vérifier la justesse de ces opérateurs en les réinjectant dans l'expression de l'énergie cinétique :

  (55)

Par ailleurs, il est aisé de vérifier que ce développement reste juste si nous prenons le conjugué complexe de l'opérateur de la quantité de mouvement. Ainsi, l'opérateur est bien hermitique puisque son conjugué complexe est égale à lui-même!

OPÉRATEURS ADJOINTS ET HERMITIQUES

Remarque: La lecture des lignes qui vont suivre pourrait s'avérer assez abstraite. Cependant, si vous ne comprenez pas grand chose ce n'est pas bien grave car souvent tout devient évident pendant l'étude et les développements d'exemples concrets qui seront donnnés plus loin.

Considérons les deux intégrales étendues à tout l'espace (à l'intérieur de l'intégrale il s'agit d'une multiplication de fonctions et d'opérateurs) :

 et   (56)

Rappellons que la notation  est le conjugué complexe de z.

Définition: Il y a entre les opérateurs et une correspondance biunivoque, nous disons que  est "l'adjoint" de  (la transposée de la conjuguée) et nous écrivons :

  (57)

De cette définition, nous déduisons l'identité suivante :

  (58)

Remarque: Nous démontrerons, plus loin, la relation ci-dessus dans un exemple concret mais particulier de la physique quantique des champs (chapitre suivant) et nous y reviendrons de manière plus rigoureuse dans notre présentation du formalisme de Dirac dans le présent chapitre.

L'opérateur adjoint a les propriétés suivantes (ce sont les mêmes que pour la matrice adjointe vue dans le chapitre d'algèbre linéaire) :

P1. qui est inutile à démontrer car cette relation découle de la définition de l'opérateur adjoint et des propriétés des nombres complexes.

P2.  étant envisagé comme un nombre complexe (opérateur particulier) nous avons alors  (suffisamment évident pour que le lecteur puisse faire la vérification)

P3.  (suffisamment évident à vérifier si nous prenons le cas particulier où les deux opérateurs sont des nombres complexes)

P4.  (même remarque que précédemment)

Définition: Une catégorie extrêmement importante d'opérateurs est constituée par les "opérateurs hermitiques self-adjoints", égaux par définition à leurs adjoints:

  (59)

Ils jouent vis-à-vis des opérateurs en général, un rôle assez analogue à celui des nombres réels vis-à-vis des nombres complexes.

Remarque: Le terme "hermitique" ou "hermitien" sont équivalents et rappelez-vous que ces opératures peuvent être aussi des matrices!

Définition: En multipliant un opérateur hermitique par le nombre complexe i, nous obtenons un opérateur dit "anti-hermitique" (la dénommination est assez logique...).

Remarque: Le produit d'un opérateur hermitique par un nombre réel reste bien évidemment un opérateur hermitique.

Un opérateur quelconque, soit , peut se décomposer d'une façon unique en parties hermitique et anti-hermitique, c'est-à-dire que nous pouvons écrire:

  (60)

où  sont hermitiques.

Démonstration:

Si : 

  (61)

donc: 

  (62)

La somme de l'opérateur et de son adjoint est donc un opérateur hermitique.

En général, il est trivial que le produit de deux opérateurs hermitiques  n'est pas nécessairement un opérateur hermitique, car nous vérifions que la condition pour laquelle le produit de deux opérateurs hermitiques soit lui-même hermitique, est que les deux opérateurs "commutent" (voir ce qui suit).

COMMUTATEURS ET ANTI-COMMUTATEURS

Définitions:

D1. Le "commutateur" de deux opérateurs  et , s'écrit :

  (63)

D2. "L'anti-commutateur" de deux opérateurs  et , s'écrit :

  (64)

Remarques: 

R1. Comme le commutateur est beaucoup plus fréquent dans les développements que l'anti-commutateur, s'il n'y a pas de confusion possible, nous le noterons simplement .

R2. Des exemples concrets et triviaux de ces commutateurs dans le cadre de notre étude la physique quantique ondulatoire seront présentés dans le texte qui suit.

Citons quelques propriétés évidentes des commutateurs (car ce sont ceux que nous utiliserons le plus):

  (65)

où  sont des nombre quelconques (les démonstrations sont faites - au besoin - pendant le développement d'exemples pratiques).

Cherchons l'adjoint de :

  (66)

d'où un résultat très simple: 

  (67)

La relation suivante est très utile dans la pratique (trivial, mais comme d'habitude au besoin nous pouvons rajouter la démonstration):

  (68)

nous avons de même:

  (69)

Nous démontrerons plus loin dans un cas concret de la physique quantique, que si deux opérateurs ne commutent pas, alors il est impossible d'avoir un état ayant une valeur précise et unique pour les deux opérateurs à la fois (en physique quantique il existe une configuration d'expérience ou le premier opérateur représente la quantité de mouvement et le second la coordonnée spatiale). Ce résultat implique que les opérateurs sont souvent nommés des "observables".

Attardons nous un moment sur une exemple concret des commutateurs utiles en physique théorique (particulièrement en physique quantique ondulatoire donc...) et dont un des résultats est fondamental!

Nous avons démontré plus haut les relations:

  (70)

Considérons la relation (simple différentielle mathématique habituelle):

  (71)

Si nous divisons par  des deux côtés de l'égalité et qu'ensuite nous multiplions par , nous obtenons :

  (72)

ce qui nous donne:

  (73)

donc il vient que le commutateur de x et  est égal à et donc que les quantités ne commutent pas. Nous avons donc la "relations d'anti-commutation" suivante :

  (74)
(cycl.)

Ainsi (en nous basant sur le deuxième postulat), les deux observables x et   dont les opérateurs ne commutent pas ne possèdent une base de vecteurs propres commune. Ils ne sont doncpas simultanément mesurables avec précision et constituent donc une incertitude d'Heisenberg.

Remarques:

R1. L'abréviation (cycl.) signifiant que l'on peut permuter circulairement les lettres (x, y, z).

R2. Bien que ce résultat puisse paraître étonnant il n'en est pas moins extrêmement correct puisque découlant d'un raisonnement mathématique nous ne pouvons plus simple et rigoureux.

Considérons donc maintenant aussi la relation :

  (75)

et en procédant de la même manière que précédemment, nous obtenons :

  (76)
(cycl.)

Les deux relations :

 et   (77)

peuvent se résumer à en utilisante les coordonnées et moments généralisés :

  (78)

et sont remarquables sous plusieurs angles:

- Premièrement, parce qu'à partir de considérations purement théoriques et mathématiques nous retrouvons également en physique quantique une incertitude équivalente (mais pas égale!) à celle obtenue lors de notre étude des principes d'incertitudes de Heisenberg (qui rappellons-le avaient été obtenues à partir d'un cas pratique classique). 

Effectivement, si nous prenons le module du commutateur de gauche, nous avons alors la "relation d'incertitude spatiale de Heisenberg" :

  (79)

qui rappellons-le, peut également s'écrire sous la forme:

  (80)

La constante de Planck étant extrêmement petite, cela explique que cet effet est impossible à détecter à notre échelle macroscopique. Par contre, la masse des électrons étant  extrêmement petite aussi, la fraction ci-dessus devient notable pour un électron et l'effet de cette incertitude est importante!

Enfin, par commutation des composantes du quadri-vecteur implusions (cf. chapitre de Relativité Restreinte), nous avons la "relation d'incertitude temporelle de Heisenberg" :

  (81)

Une conséquence fantastique découle de l'incertitude sur le temps et l'énergie et de la relativité. Imaginons-nous le vide le plus total (vide quantique) et supposons que nous regardions ce qui ce passe en un point de l'espace donné pendant un temps très court. Alors le principe d'incertitude temporelle nous dit que l'énergie de cet état (le vide!) est très imprécise. Or la relativité dit que l'énergie c'est aussi de la masse (et aussi un champ), donc des particules. Donc, pendant ce temps très court des particules peuvent apparaître spontanément du vide ! Nous les appelons des "particules virtuelles" car elles disparaissent très vite et sont engendrées par les "fluctuations quantiques du vide".

Cette variation est suffisament faible pour que nous puissions la mesurer aujourd'hui avec nos instruments. Cependant, nous en observons les effets seulement dans les grands collisioneurs de particules de la planète.

Deuxièmement, ces relations sont remarquables parce que l'incertitude est une valeur complexe. Ce qui amène à considérer que le corps des complexes est inhérant à la structure réaliste de notre environnement (espace-temps) au niveau du monde quantique. Le monde quantique est donc un monde d'incertitude complexe. Et cette probabilité ne semble pas être une conséquence de notre imprécision ou de notre ignorance mais semble bien être une propriété intrinsèque de la nature.

Remarque: Ces deux relations nous seront indispensables pour développer la théorie quantifiée du moment cinétique et du spin.

INTERPRÉTATION DE COPENHAGUE

Avant de poursuivre, il faut insister sur cette interprétation car ainsi que nous allons le constater avec d’autres expériences, elle soulève bien des critiques tant de la part des chercheurs que des philosophes.

En 1930, l'interprétation probabiliste de l'amplitude de l'onde d'une particule et le principe d'incertitude d'Heisenberg constituent les éléments de l'interprétation "standard " non déterministe de la mécanique quantique comme nous en avons déjà fait mention au début de ce chapitre. Cette interprétation est souvent appelée "interprétation de Copenhague", car Niels Bohr qui y contribua largement y dirigait un institut de physique renommé à cette époque. Pourtant de nombreux physiciens tels Einstein et Schrödinger, qui acceptaient la formulation mathématique de la mécanique quantique, n'étaient pas à l'aise avec l'interprétation de Copenhague et la critiquaient. Et jusqu'à nos jours, la question de l'interprétation correcte de la formulation mathématique reste un problème.

En effet, nous pouvons nous poser la question suivante : Où se trouve la réalité? Y-a-t-il une réalité? Niels Bohr répond non : il n'y a rien au niveau quantique ; la réalité n'existe ou n'apparaît que lors d'une mesure. Cette vision partagée par la plupart des physiciens (interprétation de Copenhague), implique que la mesure "crée" la position de l'électron (voir le sous-chapitre traitant du principe de superposition linéaire des états)

Einstein pensait que la mécanique quantique, bien que très efficace et très impressionnante, n'est pas complète et ne donne qu'une image imparfaite du monde quantique. Pour lui, il y aurait autre chose, au-delà, qui clarifierait et affinerait notre présente vision.

Ainsi, dans l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique le principe d'incertitude signifie qu'à un niveau élémentaire, l'univers physique n'existe plus de manière déterministe, mais plutôt comme une série de probabilités ou de potentiels. Par exemple le motif produit par des millions de photons passant à travers une fente de diffraction peut être calculé à l'aide de la mécanique quantique, mais le chemin de chaque photon ne peut être prédit par aucune méthode connue. L'interprétation de Copenhague dit qu'il ne pourra être calculé par aucune méthode. C'est cette interprétation qu'Einstein mettait en doute lorsqu'il disait : "je ne peux pas croire que Dieu joue aux dés avec l'Univers". D'un point de vue physique autant que philosophique, le principe d'incertitude implique la réfutation du déterminisme universel défendu par Laplace au début du 19ème siècle.

Une réduction instantanée des états se produit dès l’observation du système. Cette décision aléatoire de l’état observé respecte les probabilités, correspondant au carré des amplitudes des états. De surcroît, l'interprétation de Copenhague stipule que lors d’une mesure, un processus de réduction, originaire de l'objet macroscopique, élimine les superpositions d’états quantiques.

L'interprétation de l’école de Copenhague conduit donc au problème de la mesure, l’expérience de pensée du chat de Schrödinger stipulant que lorsqu'on mesure une quantité, telle que la position ou l’impulsion, nous intervenons dans le processus de mesure en provoquant un changement radical de l’état quantique, de la fonction d’onde. Nous modifions les quantités mesurées de façon imprévisibles et cet état ne peut être décrit par l'équation déterminée de Schrödinger. Les physiciens et les philosophes ont réagit de plusieurs manières à cette interprétation :

- Soit nous considèrons comme Bohr et Heisenberg que ce principe fait loi et qu'il est préférable de ne pas rechercher l’interprétation ultime. C'est une attitude qui est admise par la plupart des physiciens.

- Soit nous considèrons que la physique quantique est une théorie incomplète et certains, tel Einstein, Eugene Wigner ou David Bohm n'ont pas hésité à rechercher d'autres solutions, stériles jusqu’à présent.

- Enfin, Hugh Everett III et bien d'autres prennent l'équation de Schrödinger très au sérieux, la considérant comme une représentation de la réalité. Ils considèrent que l'interprétation de l'école de Copenhague représente réellement l'évolution de la fonction d'onde. Les différents termes de l'équation correspondraient aux différents niveaux d'énergie dans lesquels se trouvent le système. La réduction du paquet d'ondes s’interpréterait comme une division totale de l'objet et de l'instrument de mesure dans des univers parallèles.

Aujourd'hui le débat reste ouvert mais plusieurs expériences réalisées depuis les années 1930 nous permettent, pas à pas, de dissiper l’épais brouillard qui recouvre le fond de la réalité et de répondre à quelques questions. Cela dit, toutes ces expériences confirment néanmoins que l’époque des certitudes est bien révolue.

DIMENSIONS DE PLANCK

Il convient de nous attarder un moment sur la constante de Planck (car beaucoup d'ouvrages font mention de ce que nous allons voir sans les précautions de rigueur). Nous venons de voir que la mesure des objets dépend du principe d'indétermination de Heisenberg. Cette précision joue tant sur les mesures du temps que sur la trajectoire des particules ou la densité d'énergie de l'Univers. Voyons que cela à par extension d'autres implications.

Nous avons démontré précédemment qu'une des relations d'incertitudes est donnée, en prenant le module, par (de l'ordre de la constante de Planck donc à un facteur près) :

  (82)

Grossièrement, nous pouvons donc dire qu'à une fluctuation de l'espace (à ne pas confondre avec la notation de la longueur d'onde), nous pouvons associer la quantité de mouvement :

  (83)

À celle-ci correspond, d'après nos résultats en mécanique relativiste, la relation l'énergie , ou la masse équivalente (en divisant par ) p/c. En désignant par M cette masse associée à la perturbation , nous avons donc :

  (84)

La gravitation due à cette masse est caractérisée par une longueur R que nous déterminerons en ordre de grandeur en écrivant que l'énergie potentielle qui lui est associée (cela suppose que la gravitation classique et quantique sont régies par les mêmes lois...), (cf. chapitre de Mécanique Classique), est égale à la masse-énergie . Cela donne:

  (85)

ou, en remplaçant M par son expression précédente :

  (86)

Pour qu'il n'y ait pas auto-amplification (et donc divergence) du phénomène de fluctuation quantique du vide, nous devons avoir de préférence . En écrivant l'égalité entre ces deux grandeurs, nous aboutissons donc à une quantité qui représente la dimension minimale (en ordre de grandeur) que puisse concevoir la physique. C'est la fameuse "longueur de Planck" :

  (87)

pour laquelle il correspond la période ou "temps de Planck" d'où :

  (88)

Nous pouvons maintenant revenir à une autre expression plus intéressante de la masse fluctuante. Puisque :

et   (89)

nous avons dès lors la "masse de Planck" :

  (90)

L'analyse dimensionnelle nous donne à une constante près et selon lethéorème du Viriel (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus):

  (91)

et donc :

  (92)

d'où la "température de Planck" :

  (93)

et encore "l'énergie de Planck" :

  (94)

Après tout cela, nous obtenons facilement la "densité de Planck" :

  (95)

Nous pouvons nous amuser à obtenir encore d'autres valeurs de Planck encore mais qui ne veulent plus dire grand chose à force (et nous pourrions continuer ainsi longtemps avec énormément d'autres grandeurs) :

La "force de Planck" :

  (96)

La "puissance de Planck" :

  (97)

La "pulsation de Planck" :

  (98)

En procédant avec le même raisonnement intitial fait avec la masse mais en utilisant l'énergie potentielle électrostatique au lieu de l'énergie potentielle gravitationnelle nous pouvons obtenir la "charge de Planck" :

  (99)

Dès lors nous pouvons calculer un "courant de Planck" :

  (100)

ainsi que la "tension de Planck" :

  (101)

et "l'impédance de Planck" (…) :

  (102)

Remarque: Certains physiciens se sont servis (et se servent toujours) des résultats ci-dessus pour des raisonnements farfelus et dangereux qui ne sont que interprétation. Il convient donc de prendre avec des pincettes toutes les informations relatives aux dimensions de Planck que vous pourriez trouver (même si celles-ci sont fort pertinentes). L'exemple le plus connu est donné par la longueur d'onde de Compton (cf. chapitre de Physique Nucléaire) qui dépend de la masse-énergie du photon. Si cette longueur d'onde est égale au rayon de Schwarzschild classique pour la même masse-énergie (voir chapitre d'Astrophysique), alors dans ce cas sa valeur est celle de la longueur de Planck et sa masse est égale à la masse de Planck. Il est alors tentant de dire que la particule forme alors un trou noir. Mais il s'agit d'une analogie car dans ce cas, rien ne nous dit que l'expression du rayon de Schwarzschild s'applique à la physique quantique...

REPRÉSENTATIVES

Introduisons maintenant les notations quantiques contemporaines, que nous considérons pour l'instant comme des abréviations d'intégrales portant sur des fonctions d'ondes, nous écrirons (dans le but futur de calculer des densités de probabilités) :

  (103)

Avec cette notation, la relation que nous avions présentée lors de notre étude des opérateurs :

  (104)

devient (c'est plus léger déjà...) :

  (105)

Cela dit, l'ensemble des fonctions  qui nous intéressent en physique quantique ondulatoire constituent un espace linéaire fonctionnel. Effectivement, en physique quantique, les équations différentielles que nous devons résoudre (équation de Schrödinger) pour décrire le comportement d'une particule, sont telles que la solution générale peut être très souvent décomposée en la somme des solutions particulières. En mathématique, nous disons alors que les états sont linéaires. C'est-à-dire que toute combinaison d'états est encore un état.

Ainsi, l'état d'une particule est comme nous le démontrerons plus tard représenté par un "état quantique" ou un "vecteur d'état" noté (qui correspond à une des fonctions mathématiques décrivant sa dynamique en quelque sorte).

Par exemple, si  et  sont deux états possibles, alors  est également un état possible pour le système (de par la propriété des espaces linéaires fonctionnels).

Revenons maintenant à notre espace linéaire fonctionnel (ou "espace linéaire des états").  Le fait que l'ensemble des fonctions  qui nous intéressent constituent un espace linéaire fonctionnel signifie que si , nous avons aussi  quels que soient les coefficients et (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Si les fonctions  constituent un espace, il est alors naturel de chercher à les rapporter à une base orthonormée. Ainsi, une suite de fonctions (qui sont les fonctions propres) constituera une base orthonormée si nous avons (forme de relation démontrée en calcul tensoriel):

  (106)

où nous le rappelons, est le symbole de kronecker (cf. chapitre de Calcul Tensoriel).

Définition: La base est dite "base complète" si bien évidemment toute fonction peut se développer en série des fonctions propres  tel que:

  (107)

où  est un nombre quelconque (c'est en partie ici qu'il faut revenir aux quatrième et cinquième postulats de la physique quantique ondulatoire).

Calculons maintenant le produite scalaire fonctionnel (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle):

  (108)

Cette dernière relation montre que nous avons identiquement (nous changeons la notation des indices):

    (109)

Ainsi, dans une base orthonormée complète , une fonction  sera bien décrite par la donnée des coefficients . Nous aurons souvent intérêt à les mettre sous le format de la matrice représentative de  dans la base  :

    (110)

Considérons maintenant un opérateur  tel que:

  (111)

Mais nous pouvons également écrire (remarquez l'apostrophe dans la relation!):

    (112)

Multiplions cette dernière relation par  et calculons le produit scalaire fonctionnel:

  (113)

A comparer avec (obtenu plus haut) :

  (114)

En notant , la "matrice représentative" de  dans la base , nous pouvons d'après la relation :

  (115)

écrire finalement :

    (116)

VALEURS ET FONCTIONS PROPRES

Soit un opérateur (hermitique ou non). Le nombre a est dit "valeur propre de l'opérateur" de , s'il existe une fonction  non identiquement nulle telle que (pour un rappel de notions similaires voir le chapitre d'Algèbre Linéaire) :

  (117)

 est alors une "fonction propre" (en analogie avec les "vecteurs propres") de , associée à la valeur propre de a. Notons que a peut très bien être nul (vous comprendrez mieux cela au moment où nous passerons à l'étude de cas concrets).

En des termes plus physiques, cela revient à dire que lorsqu'un état (une fonction mathématique au sens formel tel que ) est inchangée par un opérateur, l'état est alors appelé "état propre" ou "vecteur propre" du système.

Soit l'ensemble  des fonctions propres associées à a et un espace linéaire fonctionnel, que nous nommerons le "sous-espace propre associé" à a. Le nombre de dimensions de  s'appelle "multiplicité" (ou "ordre de dégénérescence") de la valeur propre a, et nous le notons g.

Soit maintenant a une valeur propre simple, ou non dégénérée, . Cela veut dire qu'il y a une seule fonction propre associée à a, à un coefficient multiplicatif non nul près. 

Si  (valeur propre double), nous pouvons trouver deux fonctions propres non proportionnelles (non liées) associées à a, etc.

Deux fonctions propres  et  associées à deux valeurs propres différentes sont orthogonales, c'est-à-dire que:

  (118)

Pour démontrercela supposons par hypothèse:

  (119)

avec .

Nous multiplions respectivement les deux relations précédentes par , et nous intègrons pour obtenir le produti scalaire fonctionnel:

 
  (120)

En retranchant de la dernière relation le complexe conjugué de l'avant dernière; a étant supposé réel (ou un entier...), nous avons :

  (121)

ce qui montre bien que  puisque .

Exemple:

Soit:

  (122)

avec  (opérateur que nous avons déjà vu précédemment) et a une valeur propre.

L'équation devient: 

  (123)

qui se vérifie aisément si :

  (124)

qui est bien une fonction propre de l'opérateur susmentionné et qui nous sera des plus utiles dans ce qui va suivre.

FORMALISME DE DIRAC

Dirac a conçu un formalisme général très pratique, mondialement utilisé par les physiciens, dont nous allons donner les éléments essentiels. Les notations utilisées ont d'ailleurs été déjà partiellement introduites dans ce qui a précèdé.

Nous utiliserons le formalisme de Dirac pour deux points, le premier étant de mieux comprendre ce qui a été vu jusqu'à maintenant lors de l'introduction aux opérateurs fonctionnels, le second étant d'introduire à une notation et une méthode de résolution que l'on retrouve dans certains ouvrages. Par ailleurs, dans ce site par simplification d'écriture nous utiliserons parfois ce formalisme.

KETS ET BRAS

Nous considérons un espace vectoriel  à dimensions où peut très bien être infini (espace de Hilbert). Un vecteur est défini par n composantes  que nous pouvons ranger en colonne pour former une matrice colonne :

  (125)

Nous dirons que cette matrice décrit le "vecteur droit" ou le "ket" (cela doit vous rappeler les "représentatives"). Il est possible d'associer à la matrice colonne la matrice adjointe (transposée conjugée) :

    (126)

où les  sont les complexes-conjugués des . Nous dirons que la matrice ligne adjointe décrit le "vecteur gauche" ou le "bra" (cela doit également vous rappeler les "représentatives").

L'addition et la multiplication par un nombre  vont de soi. Notons que si , nous avons trivialement .

Avec deux vecteurs de composantes  et , nous pouvons former la quantité suivante, dite "produit scalaire hermitique" :

  (127)

nous convenons de l'écrire . Notons que:

  (128)

le produit scalaire hermitique n'est donc pas simplement commutatif!

Le produit  dépend linéairement de  et de . Réciproquement si un nombre dépend linéairement d'un ket , il existe un bra  tel que .

En mécanique quantique, est appelé "l'amplitude" d'être dans l'état x si le système est dans l'état . Ce produit scalaire hermitique sera interprété comme la probabilité que le système physique soit dans l'état x s'il est dans l'état y.

Une base orthonormée de l'espace étudié est constituée par n vecteurs  tels que :

  (129)

où rappelons-le,  est le symbole de Kronecker (cf. chapitre de Calcul Tensoriel).

Tout vecteur  de  peut se développer sur cette base selon (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

  (130)

où les  sont les composantes de  dans la base choisie. Nous vérifions vraiment aisément que (déjà vu maintes fois dans le chpaitre de calcul vectoriel):

  (131)

Si un ket  dépend linéairement d'un ket , nous écrivons symboliquement:

  (132)

où  est un opérateur linéaire. Soit donc un opérateur linéaire défini par la relation précédente et un bra ; le produit scalaire hermitique:

  (133)

est un nombre qui dépend linéairement de . D'après ce qui a été vu plus haut, il existe un bra  tel que .  dépend visiblement de  de manière linéaire. Nous convenons de poser:

  (134)

A l'aide de cette convention, nous pouvons écrire:

  (135)

Si ,  dépend linéairement de . Par définition, nous écrirons:

  (136)

où  est l'opérateur adjoint de . 

Formons avec un bra  le produit scalaire hermitique:

  (137)

et nous pouvons écrire (nous l'avons démontré précédemment):

  (138)

d'où la relation de première importance que nous avons déjà rencontré plusieurs fois sans en avoir expliqué vraiment l'origine :

  (139)

Nous rappelons simplement avec cette relation qu'un opérateur hermitique est un opérateur égal à son adjoint.

Grâce au formalisme de Dirac, ce qui était avant définitions abstraites sont devenus maintenant des évidences démontrées.

Remarque: A nouveau, un excellent exemple pratique d'application du formalisme de Dirac est proposé dans le chapitre d'Informatique Quantique (voir section d'Informatique Théorique).

modÈle DE SCHRÖDINGER

Des expériences (effet Compton, effet photoélectrique, fentes de young, optique géométrique/ondulatoire, etc.) ont montré que les ondes pouvaient, dans certains situations êtres traitées comme des corpuscules (et inversement). Ce sont ces observations qui amenèrent Niels Borh à énoncer sont "principe de complémentarité" qui dit que suivant les expériences effectuées, il faut considérer la matière soit comme une onde, soit comme des corpuscules. Ces deux aspect se complètant l'un et l'autre.

ONDE ASSOCIÉE DE DE BROGLIE

Le physicien français Louis Victor de Broglie suggère, en 1924, que réciproquement, les particules (photons, électrons, protons, et autres) pourraient aussi, dans certains cas, montrer des propriétés d'ondes ! De Broglie émit alors l'idée qu'il existait entre la longueur d'onde d'une particule de matière et sa quantité de mouvement, une relation similaire à celle d'un photon, soit :

    (140)

où le rapport :

  (141)

De Broglie émit dès lors l'hypothèse suivante : pour un corpuscule de masse et de vitesse nous avons :

  (142)

est appelé "longueur d'onde associée de de Broglie".

La matière en mouvement aurait donc une longueur d'onde associée. C'est une longueur d'onde extrêmement petite pour des masses de l'ordre du kilogramme. Même si la vitesse est alors . Comme nous l'avons vu, les phénomène d'interférence et de diffraction sont important seulement lorsque la taille des objets ou fentes n'est pas beaucoup plus grande que la longueur d'onde. Il est donc impossible de détecter les propriétés ondulatoire des objets de tous les jours. Il n'en est pas de même pour les particules élémentaires, les électrons en particulier.

Les électrons peuvent donc avoir des longueurs d'onde de l'ordre de ce qui correspond à l'espacement des atomes d'un cristal. C.J. Davisson et L.H. Germer exécutèrent une expérience cruciale : ils diffusèrent des électrons sur la surface d'un cristal et au début 1927 observèrent que les électrons éjectés étaient distribués en pics réguliers. Lorsqu'ils interprétèrent ces pics comme des pics de diffraction, ils trouvèrent que la longueur d'onde de l'électron diffracté était exactement celle prédit par de Broglie.

Mais alors qu'est-ce qu'un électron ?? Les illustration squi montrent un électron comme une minuscule sphère chargée négativement ne sont que des images commodes, mais inexactes. En fait, nous devons utiliser le modèle corpusculaire ou ondulatoire, celui qui fonctionne le mieux selon la situation de façon à pouvoir comprendre ce qui se produit. Mais il ne faut pas en conclure qu'un électron est une onde ou une particule. Nous devrions plutôt dire qu'un électron est "l'ensemble de ses propriétés mesurables". Certains phyisiciens emploient encore l’expression "quanton" pour décrire tout système se comportant soit comme une onde soit comme une particule.

De Broglie put alors suggérer que chaque orbite quantifiée (selon le postulat de quantification de Bohr) d'une orbite électronique est alors une onde stationnaire. Comme pour les modes résonnants d'une corde, seules les ondes dont la circonférence de l'orbite circulaire contient un nombre entier de existent, soit :

avec

  (143)

En remplaçant par , nous obtenons :

  (144)

Ce qui est bien la condition quantique proposée par Bohr. Les orbites et les états d'énergie quantifiés du modèle de Bohr, sont dus à la nature ondulatoire de l'électron et au fait que seules des ondes stationnaire résonantes persistent. Ceci suppose que la dualité onde-corpuscule est à la base de la structure de l'atome.

La notion ondulatoire de la particule permit ensuite au physicien Erwin Schrödinger de développer une équation dite "équation d'onde" pour décrire les propriétés ondulatoires des particules.

Petit interlude sympathique… puisque connue l'onde associée de De Broglie et étant donné le résultat vu lors de notre étude du théorème du Viriel en mécanique des milieux continus, nous pouvons mettre en relation :

  (145)

Ainsi, nous pouvons pour une fluide (liquide), obtenir la valeur de "l'onde thermique associée de De Broglie". Ce qui nous donne :

  (146)

Nous reviendrons sur cette relation lors de notre étude des superfluides en mécanique des milieux continus.

ÉQUATION CLASSIQUE DE SCHRÖDINGER

Rappelons la forme unidemensionelle de l'équation d'onde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) :

(1)     (147)

Pour simplifier, cherchons une solution particulière de la forme (voir le chapitre de Mécanique Ondulatoire ou le chapitre d'Électrodnyamique pour l'analogie) :

(2)    (148)

est l'amplitude du champ associé à la particule. Il est important de remarqueque la partie périodique ne contient pas de paramètre déplacement (comme c'est le cas en électrodynamiquepar exemple) car la fonction se doit de décrirer des solutions "statiques" (attention à ne pas prendre ce terme à la lettre).

Pour des raisons historiques cette amplitude est couramment appelée "fonction d'onde" bien que cette appellation soit trompeuse. Il serait peut-être meilleur de l'appeler simplement "amplitude du champ associé à la matière".

C'est la recherche de l'expression de cette fonction qui va nous amenera lors de l'étude d'un cas particulier (bien plus loin dans le texte) à l'expression bien connue de l'énergie d'ionisation d'un électron de nombre quantique n donné et pour son atome de numéro atomique N donné.

Si nous introduisons (2) dans (1), nous obtenons :

(3)   (149)

Nous avons aussi : 

  (150)

d'où : 

(4)   (151)

si nous  introduisons (4) dans (3) nous obtenons alors "l'équation de Schrödinger unidimensionelle classique" (en l'absence de champ magnétique...) :

  (152)

Remarque: L'énergie potentielle pourrait aussi bien être gravitationnelle, qu'électrique ou les deux combinées (donc de nature quelconque). Mais la gravitation est tellement faible à cette échelle par rapport aux forces électrostatiques qu'elle est négligée.

Nous pouvons récrire l'équation précédente en la généralisant à un système à trois dimensions. Ce qui nous donne finalement:

  (153)

où  n'est autre que le Laplacien scalaire :

    (154)

Remarques:

R1. Cette équation n'est pas un invariant de Lorentz étant donné qu'elle a été établie à partir de l'expression classique de l'énergie (et non relativiste).

R2. La fonction d'onde plane que nous avons pris au départ n'a pas une signification physique étant donné qu'elle transporte une énergie infinie. Une meilleure solution est de considérer un paquet d'ondes. Toutefois, parmi les paquets d'onde généralement employés, elles sont constituées d'une superposition d'ondes planes. Dès lors, en étudiant ses effets sur une des ondes planes, nous pouvons accepter les conclusions physiques que nous pouvons en déduire.

Hamiltonien de schrödinger

L'équation de Schrödinger peut également s'écrire sous la forme (après quelques petites mises en facteurs élémentaires) suivante:

  (155)

Nous écrivons cela en mécanique quantique sous la forme:

  (156)

où H est donc donc l'hamiltonien du système (ou énergie totale) et constitue une opérateur fonctionnel et l'énergie totale, la valeur propre.

L'équation de Schrödinger est donc une équation aux dérivées partielles du second ordre, linéaire homogène. Quelle que soit l'énergie totale, elle admet des solutions, mais nous montrons qu'en général ces solutions croissent très rapidement (croissance de type exponentiel) quand nous nous éloignons à l'infini dans certaines directions et sont donc physiquement inacceptables. Il n'y a que des valeurs particulières de l'énergie totale qui donnent lieu à des solutions physiquement acceptables et en général, l'ensemble de ces valeurs comprend des valeurs discrètes (fonctions trigonométrique à la source) qui sont les "niveaux liés" du système (parce que leur fonction propre décroît rapidement à l'infini) et un continuum de valeurs qui sont les "niveaux non liés" (leur fonction propre restant finie à l'infini). Plus précisément, si W est la borne inférieure des valeurs de l'énergie potentielle à l'infini, les niveaux liés se situent au-dessous de W, alors que les valeurs supérieures à W constituent le continuum des niveaux non liés. 

Par exemple, dans l'étude de l'oscillateur harmonique que nous ferons plus loin , ; il existe donc que des niveaux liés. Dans l'atome d'hydrogène , ; les niveaux liés seront négatifs, et toutes les valeurs positives de l'énergie seront des niveaux non liés.

Ceci ayant été dit, voyons également comme exemple (très important) la manière de déterminer l'hamiltonien H de l'équation de Schrödinger d'une particule chargée non relativiste dans un champ électromagnétique.

Nous avons vu en mécanique analytique que le lagrangien était défini par la soustraction de l'énergie cinétique et potentielle selon la relation:

  (157)

Nous avons dans le chapitre d'Électrodynamique que le lagrangien de l'interaction champ-courant relativiste était donné par :

  (158)

Si nous rajoutons un champ électrique (et donc un potentiel électrostatique U) en plus du champ électromagnétique  le lagrangien s'écrit alors (puisque le potentiel se soustrait selon la définition du lagrangien!) :

  (159)

Dans l'approximation classique (non relativiste) nous savons que nous avons (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

  (160)

Comme nous nous restreignons au cas non relativiste nous pouvons éliminer le terme constant d'énergie de la masse au repos tel que :

  (161)

Toujours dans le chapitre de Mécanique Analytique, nous avons démontré que l'hamiltonien était donné par :

  (162)

Nous avons donc :

  (163)

De plus, nous avons vu en mécanique analytique que :

  (164)

Il vient donc que :

  (165)

Finalement :

  (166)

Soit après simplification :

  (167)

H contient donc l'énergie cinétique et l'énergie potentielle totale. Il n'y a pas de terme magnétique car la force de Laplace, comme nous l'avons démontré dans le chapitre de Magnétostatique, ne travaille pas. H est bien l'énergie totale du système classique, cependant la relation précédente n'est pas vraiment adaptée au formalisme de Hamilton car les moments conjugués n'apparaissent pas. Mais il est très simple des les introduire à partir du résultat obtenu précédemment qui était :

  (168)

donc :

  (169)

Si nous passons en mécanique quantique, nous devons remplacer les  par leurs opérateurs respectifs  dont nous avons démontré l'origine plus haut. Ainsi, nous avons :

  (170)

qui doit s'écrire dans le cas général (le potentiel vecteur anti-commute avec la quantité de mouvement) :

  (171)

Ce que l'on notre traditionnellement sous la forme (sic!):

  (172)

Remarque: Dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste nous démontrerons la forme relativiste de ce hamiltonien associée à l'équation de Klein-Gordon généralisée ou encore celui de Dirac qui inclut le spin.

CONDITION DE NORMALISATION DE DE BROGLIE

En général, dans un état dynamique donné, la particule (s'il s'agit d'un système à une particule) décrite par la résolution de l'équation de Schrödinger pour des paramètres bien définis est mal localisée, car x, y, z sont mal déterminés de par même le principe d'incertitude de Heisenberg. Il y donc lieu de définir une probabilité dP de trouver la particule dans l'élément de volume dxdydz entourant un point (x, y, z), d'où l'existence d'une fonction de distribution des coordonnées telle que:

  (173)

, est une quantité essentiellement positive ou nulle doit s'exprimer à l'aide de la fonction de Schrödinger . 

Des analogies avec la physique ondulatoire classique (densité de volume d'énergie d'une onde électromagnétique) ont conduit à admettre que (nous utilisons le module de la fonction de Schrödinger) comme l'intensité d'une onde est proportionnelle au carré de l'amplitude (cf. chapitre d'Electrodynamique), la densité de probabilité était proportionelle au carré de l'intensité du champ associé :

  (174)

Il est évident et sans démonstration que nous devons alors avoir sur tout l'espace:

  (175)

Nous pouvons maintenant considérer la signification physique qui peut-être attachée à l'intensité du champ associé à la matière. Comme ce champ décrit le mouvement d'une particule, nous pouvons dire que les régions de l'espace dans lesquelles la particule a le plus de chance de se trouver sont celles dans lesquelles est maximum. Nous verrons des exemples de cette normalisation plus loin.

ÉTATS LIÉS ET NON LIÉS

Supposons que  décroisse assez rapidement à l'infini, de telle sorte que l'intégrale:

  (176)

converge. Il est alors possible de profiter de l'arbitraire régnant sur la fonction d'onde (le fait que  et  décrivent le même état) pour rendre cette intégrale égale à l'unité. Nous disons alors que  est une "fonction d'état de champ normée":

  (177)

Notons qu'il règne encore un arbitraire sur  par un nombre complexe de module 1, , sans que la condition de normalisation soit altérée. Nous appelons cela "l'arbitraire de phase" et en verrons un exemple plus tard.

Un tel état dynamique est dit "état lié" ou "niveau lié", parce que la particule se manifeste dans une région limitée de l'espace à cause d'un potoentiel typiquement. Lorsque, par exemple, l'atome d'hydrogène est situé sur un niveau fondamental, il est dans un état lié. Nous savons qu'il n'y a aucune chance de trouver l'électron à plus de quelques angströms du proton, traité comme infiniment lourd et placé à l'origine comme nous l'avons vu lors de l'étude du modèle de Bohr.

Un exemple d'état par défaut non lié est la particule libre qui peut se propage indéfiniment dans toutes les directions de l'espace (au fait pour ce dernier exemple c'est plus compliqué mais nous le traiterons plus loin).

Remarque: Il est bon de noter que ces concepts d'états liés ont des analogues classiques. Ainsi, les niveaux liés de l'atome d'hydrogène correspondent aux orbites elliptiques, les niveaux non liés (énergie positive) correspondent aux orbites hyperboliques.

ÉQUATION D'Évolution classique de schrödinger

Nous savons qu'en mécanique classique l'état dynamique d'un système évolue, en général, dans le temps. Cela veut dire que la position et la quantité de mouvement (par exemple) sont fonctions du temps. Pour un système d'Hamiltonien donné, la connaissance de l'état dynamique initial permet de prévoir exactement l'évolution ultérieure de ce système du fait des propriétés bien connues des équations de Hamilton.

En physique quantique, les états dynamiques évolueront dans le temps, en général. La fonction d'onde décrivant un état dynamique ne sera pas seulement fonction des coordonnées des particules constituant le système, mais elle dépendra aussi du temps et s'écrira:

  (178)

Il est tout naturel d'admettre, ne serait-ce que par analogie avec la mécanique classique, que pour un système donné, d'Hamiltonien connu, la connaissance de l'état dynamique initial à l'instant , permet de prévoir quel sera l'état dynamique du système à un instant ultérieur . 

Notons en passant que cela revient à dire qu'un ensemble initialement "pur" reste un ensemble pur au cours de l'évolution ultérieure des systèmes qui le constituent. Cela cesserait d'être vrai si tous les systèmes de l'ensemble n'avaient pas exactement le même Hamiltonien.

Soit  la fonction d'onde normée décrivant l'état dynamique du système à l'instant t (nous n'écrivons pas les autres variables dont dépend par souci de simplification, à savoir les coordonnées spatiales des particules du système). D'après ce qui précède, si  est connue,  l'est aussi. Nous avons une correspondance  et nous admettons qu'elle est linéaire! Il existe donc un opérateur , appelé "opérateur d'évolution", tel que:

  (179)

La fonction  dépend linéairement de ; il en est de même de:

  (180)

Il existe donc un opérateur linéaire K, tel que:

  (181)

Ce qui a amené les physiciens à poser l'égalité ainsi, étaient les résultats connus de l'équation d'onde décrivant un état dynamique d'après l'idée de de Broglie. Nous allons tout de suite montrer que poser l'égalité ainsi est justifiée.

Nous devons déterminer K puisque la connaissance de l'Hamiltonien H commande l'évolution du système, K doit donc dépendre de H. Pour préciser la loi qui lie K à H, nous examinerons un cas particulier, celui de la particule libre (dont nous ferons une étude détaillée plus tard); dans ce cas, H s'identifie à l'énergie cinétique uniquement. 

D'après les idées de L. De Broglie, il est naturel d'admettre que la fonction d'onde décrivant un état dynamique dans lequel la quantité de mouvement est bien déterminée, soit  (relation démontrée pendant l'étude de la particule libre ), et où l'énergie est donc également bien déterminée, soit , est une onde plane :

  (182)

où k est le vecteur d'onde de l'onde et  ses coordonnées spatiales.

Nous voyons très bien à l'arbitraire de phase près (pris comme étant négatif) que:

  (183)

Mais évidemment:

  (184)

Les deux équations précédentes conduisent à écrire:

  (185)

En comparant avec , nous sommes amenés à poser:

  (186)

Les physiciens supposent que cette relation entre K et H est générale. Alors, l'équation  dans laquelle K est remplacé par son expression  devient alors:

  (187)

Cette équation constitue "l'équation d'évolution classique de Schrödinger".

En particulier, pour une particule sans spin soumise à une énergie potentielle , en maintenant toujours que la relation entre et est générale, l'équation d'évolution s'écrit:

  (188)

Il convient maintenant de résoudre l'équation différentielle d'évolution de Schrödinger. Pour cela, nous avons nous servir de la condition de normalisation de De Broglie.

Rappellons que cette condition s'écrit:

  (189)

et généralisons à une étude multidimensionelle et temporelle de cette condition telle que (selon les propriétés des complexes) :

  (190)

Cette intégrale n'est certainement pas égale à l'unité si nous n'introduisons pas une fonction de normalisation assimilé à un observable que nous noterons X et telle que nous ayons bien:

  (191)

D'après cette condition, cette intégrale doit nécessairement rester constante en fonction du temps et de fait égale à l'unité.

Calculons la dérivée par rapport au temps de l'intégrale de normalisation et X. Nous avons donc nécessairement:

  (192)

et utilisons l'équation d'évolution de Schrödinger:

  (193)

ce qui nous donne pour notre intégrale après substitution:

  (194)

Démontrons maintenant que nous pouvons écrire:

  (195)

Cela revient à démontrer que H peut agir identiquement "en arrière" tel que :

  (196)

H pouvant être (ou contenir si vous préférez) un opérateur (différentiel par exemple).

Cette relation est démontrable si et seulement si est une fonction décroissante vers l'infini. Démontrons cela sur un cas particulier (mais fréquent en physique) et pour voir comment cela peut se faire, considérons dans H, un terme de la forme (ce qui est le cas comme nous l'avons vu plus haut):

  (197)

ce qui nous amène à écrire:

  (198)

Par intégration par partie (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) sur le terme de gauche de l'égalité nous avons:

  (199)

Donc cela ne fait aucune différence de considérer que l'opérateur différencie tout ce qui est à droite ou tout ce qui est à gauche, dans la mesure où il est bien entendu que ce dernier cas implique un changement de signe.

Donc nous pouvons bien nous permettre d'écrire :

  (200)

ce qui nous amène également à écrire :

  (201)

Ceci ne peut être satisfait uniquement si et dans le domaine mathématique traitant des opérateurs nous avons vu que nous devions noter cette égalité :

  (202)

Ce qui nous amène à:

  (203)

soit en utilisant la notation es représentatives:

  (204)

Pour revenir à la résolution de:

  (205)

il est évident qu'une solution possible est dès lors:

  (206)

vérifions :

  (207)

C'est ce qu'il fallait démontrer (…).

De même, grâce à la relation que nous avons démontrée avant, nous pouvons écrire écrire :

  (208)

Finalement, la relation :

  (209)

devient:

  (210)

avec "l'opérateur d'Heisenberg" défini par :

  (211)

Remarque: Il se peut très bien que X soit parfois une simple constante (nous en verrons un exemple plus bas).

SÉPARATION DES VARIABLES

Voyons également une manipulation mathématique intéressante et un peu similaire à la précédente de l'équation d'évolution de Schrödinger. Cette manipulation va nous permettre de voir que la séparation des variables fonctionne très bien avec l'équation d'évolution et qu'elle va nous permettre de retomber sur un résultat obtenu précédemment (c'est toujours bien pédagogiquement de voir plusieurs approches).

Nous avons donc dans un cas particulier :

  (212)

Récrite sous forme traditionnelle (selon la littérature) et à une dimension, pour un potentiel constant dans le temps, cette relation s'écrit alors :

  (213)

Supposons maintenant que la fonction d'onde puisse se séparer en deux fonctions dont elle est le produit telle que :

  (214)

Nous aurions alors :

 et   (215)

Ce qui injecté dans l'équation d'évolution unidimensionnelle donne :

  (216)

ce qui donne après simplification :

  (217)

Le terme de gauche ne dépend que de t, celui de droite que de x. Puisqu'ils sont égaux, ils sont nécessairement égaux aussi à une constante qui a la dimension d'une énergie (U(x) est une énergie potentielle).

  (218)

donc :

  (219)

et pour la partie de droite :

  (220)

qui peut s'écrire :

  (221)

après factorisation :

  (222)

Soit avec les notations du site :

  (223)

nous retrouvons donc l'équation de Schrödinger classique ce qui est pas mal du tout comme résultat!

Maintenant, puisque nous avions posé :

  (224)

Alors nous avons finalement :

  (225)

ce que nous pouvons écrire sous les notations des paragraphes précédents :

  (226)

ÉQUATION De continuitÉ

Considérons maintenant l'exemple important de l'équation d'évolution pour une particule libre :

  (227)

La probabilité de trouver la particule dans un volume V est comme nous l'avons vu, donnée par :

  (228)

d'où :

  (229)

En tenant compte de l'équation d'évolution de la particule libre, le second terme de l'égalité s'écrit :

  (230)

où nous avons posé :

  (231)

D'après le théorème d'Ostrogradsky (cf. chapitre de Calcul Vectoriel), il vient donc :

  (232)

où l'intégrale de droite est effectuée sur la surface S qui limite le volume V. La relation précédente exprime donc bien que la variation par unité de temps de la probabilité de trouver la particule dans V est égale au flux traversant la surface S et le vecteur peut être interprété comme une densité de courant de probabilité qui satisfait l'équation de continuité telle que nous l'avons déterminée en thermodynamique :

  (233)

d'où :

  (234)

En mécanique quantique, il y aurait donc conservation du flux de particules :  Il n'y a ni création ni disparition de particule, alors que dans la nature (les observations expérimentales) nous observons pourtant de tels phénomènes... il y donc contradiction entre l'expèrience et la théorie ce qui invalide nos développements.

Par contre, cette équation exprime la conservation de la probabilité aussi! Donc de la propriété d'existence de la particule et des caractéristiques qu'elle transporte. Par exemple, si nous multiplions cette dernière relation par la cher de la paritucle, nous exprimons alors la continuité du courant.

IMPLICATIONS ET APPLICATIONS

Les différentes définitions et outils qui ont été vus précédemment, vont nous permettre d'étudier certains cas fondamentaux qui débouchent sur des résultats splendides. 

Dans un première temps, nous allons voir comment traiter le cas de la particule libre (état non lié) et quels sont les probèmes que pose cette configuration simple.

Ensuite, nous allonrs résoudre l'équation de Schrödinger avec une particule sans spin dans un puits de potentiel à parois rectilignes et montrer que nous retrouverons avec la formalisme de la physique quantique les mêmes résultats que le modèle de Bohr (plus généralisé même !).

Après quoi, nous allons introduire l'étude de l'oscillateur harmonique en repassant au préalable brièvement sur la résolution de l'équation de Schrödinger d'une particule libre. Cet exemple constitue une forme d'introduction quantique à l'étude théorique de systèmes atomiques. C'est dans cet exemple, que nous utiliserons toute la puissance des opérateurs linéaires fonctionnels. Il sera donc important de ne pas brûler les étapes lors de sa lecture.

Il nous faudra également étudier un autre phénomène fameux, l'effet tunnel! Evidemment, nous avons décidé de faire une introduction d'un cas particulier afin que le lecteur puisse voir le raisonnement qui a amené à la découverte de ce phénomène épatant (mais logique). Encore une fois, cet exemple appuiera la validité de la théorie quantique et démontrant la valeur des constantes de désintégration des isotopes nucléaires!

En ce qui concerne les cas relativistes, avec ou sans spin nous renvoyons le lecteur au chapitre de Physique Quantique Relativiste et en ce qui concerne le modèle atomatique simple, nous le renvoyons au chapitre de Chimie Quantique.

Enjoy!

PARTICULE LIBRE

Curieusement la résolution de l'équation de Schrödinger pour une particule libre (où le potentiel est nul) est le cas simple le plus complexe… mathématiquement parlant car les bornes d'intégration de la normalisation sont infinies.

Voyons cela:

Rappelons d'abord que nous avons démontré de manière simplifiée dans le chapitre de Suites et Séries que la transformée de Fourier d'une fonction f et son inverse étaient données par:

Soit sous forme uni-dimensionnelle:

Procédons maintenant au changement de variable qui relie le nombre d'onde k à la quantité de mouvement (relation introduite au début de ce chapitre):

Ce qui nous donne:

Revenons maintenant à l'équation de Schrödinger d'évolution:

Si la particule est libre il n'y pas de potentiel et à une dimension nous avons alors:

Cette équation différentielle admet des solutions en ondes planes monochromatiques du type (cf. chapitre d'Électrodynamique):

avec bien évidemment la petite nuance que nous avons à utiliser la relation (sinon ça joue pas par contre!):

Sans oublier que (cela nous sera utile par la suite):

Bien évidemment la densité de probabilité de cette solution vaut:

mais cela ne peut pas correspondre à la réalité car nous ne pouvons pas normaliser la probabilité sur des distances infinies! Une onde plane monochromatique de module constant dans tout l'espace n'étant pas de carré sommable : elle ne peut donc pas représenter un état physique d'une particule libre.

Au fait la solution vient du fait que la vraie solution utilise le principe de superposition des toutes les ondes monochromatiques de toutes les fréquences tel que:

et nous retrouvons donc ici une relation très similaire une transformée de Fourier inverse. Une telle superposition d'ondes planes est appelée : "paquet d'ondes unidimensionnel".

Ce que nous pouvons récrire:

Or, nous voyons de suite que nous ne pourrons pas non plus normaliser suivant:

Dès lors, il n'y a plus de solution générale. Il faut donner une enveloppe porteuse aux ondes imposant une normalisation possible. Cette enveloppe porteuse peut être un Dirac ou une Gaussienne ou d'autres fonctions de distributions plus ou moins complexes. Ensuite les physiciens doivent utiliser une propriété des transformées de Fourier qui font naturellement apparaître les incertitudes de Heisenberg. Ainsi, ces dernières sont une condition à la normalisation des particules libres utilisant les transformées de Fourier.

A ce jour, nous n'avosn pas de démonstration pédagogique et simple à proposer sur ce dernier point. Cela viendra peut-être plus tard.

Par contre, nous pouvons prendre comme solution triviale les modes propres de la particule tel que:

Effectivement:

C'est ce que nous utiliserons comme situation dans lors de notre étude plus bas de l'oscillateur harmonique.

Avant d'étudier le cas particulier du paquet d'ondes quasimonochromatiques, nous allons rappeler quelques résultats concernant la somme de deux ondes planes.

Commençons par sommer deux ondes planes monochromatiques de fréquences voisines:

 et   (235)

avec:

 et   (236)

et:

 et   (237)

A noter que nous imposons donc:

  et    (238)

L'onde résultante a pour expression :

  (239)

Soit en utilisant les relations trigonométriques remarquables (f. chapitre de Trigonométrie):

  (240)

qui est une onde plane se propageant selon x  avec la pulsation et le vecteur d'onde moyens  et , et à la vitesse de phase:

  (241)

Le terme en cosinus s'interprète alors comme l'amplitude lentement variable de cette onde plane.

Cette enveloppe se déplace à la vitesse de groupe :

  (242)

Ce que nous pouvons représenter aisément avec Maple:

>restart:with(plots):
>lambda[0]:=1; T[0]:=1; k[0]:=2*Pi/lambda[0]; w[0]:=2*Pi/T[0];
>delta_k:=k[0]/8: k[1]:=k[0]-delta_k; k[2]:=k[0]+delta_k;
delta_w:=w[0]/10: w[1]:=w[0]-delta_w; w[2]:=w[0]+delta_w;
> P1:=animate(cos(k[1]*x-w[1]*t)+cos(k[2]*x-w[2]*t), x=0..1*2*Pi/delta_k, t=0..2*Pi/delta_w, numpoints=200, frames=15, color=red):
> P2:=animate({2*cos(-1/2*k[1]*x+1/2*w[1]*t+1/2*k[2]*x-1/2*w[2]*t), -2*cos(-1/2*k[1]*x+1/2*w[1]*t+1/2*k[2]*x-1/2*w[2]*t)}, x=0..1*2*Pi/delta_k, t=0..2*Pi/delta_w, numpoints=100, frames=15, color=blue):
> display(P1,P2);

Ce qui donne:

  (243)

A la différence de l'onde plane harmonique, cette onde n'a pas un module constant : son module est nul dans certaines zones. Par contre, elle s'étend toujours sur une distance infinie, donc a une norme (somme de la probabilité sur tout l'espace) infinie. Elle ne possède donc pas de sens physique.

L'étude précédente peut être étendue en sommant un nombre N de plus en plus grand d'ondes planes au voisinage de  et . Une telle superposition conduit à une fonction de plus en plus localisée dans certaines zones de l'espace (en particulier vers  par exemple pour ), la distance entre ces zones augmentant proportionnellement avec N. A la limite , alors seule la zone vers  demeure, les autres étant rejetées à l'infini. Le passage à cette limite  s'effectue en remplaçant la somme discrète sur les ondes planes par une sommation continue c'est-à-dire par une intégrale de la forme :

  (244)

avec:

  (245)

avec donc :

  et      (246)

Un tel paquet est appelé "paquet d'ondes quasimonochromatiques".

Cette expression peut se réécrire :

  (247)

Il importe de comprendre que  est une fonction de k, donnée par l'équation de dispersion. Nous allons faire le calcul de cette expression en utilisant le fait que .

 implique que  . Il est possible d'effectuer un développement limité au voisinage de  :

  (248)

où  est la vitesse de groupe. Alors :

  (249)

Posons  :

  (250)

Calculons l'intégrale:

  (251)

avec:

  (252)

Soit:

  (253)

Le dernier terme s'interprète à nouveau comme une onde plane se déplaçant à la vitesse de phase:

  (254)

L'amplitude de cette onde plane est donnée par une fonction type sinus cardinal. A , cette fonction sinc n'a des valeurs importantes que dans la zone:

  (255)

Il s'agit donc d'une fonction bien localisée. En conséquence,  est une fonction de carré sommable. Le calcul donne:

  (256)

La fonction peut donc être normalisée en posant donc:

  (257)

Nous avons donc réussi à obtenir une fonction satisfaisant à la fois l'équation de Schrödinger et la condition de normalisation, grâce à l'emploi d'une somme infinie d'ondes harmoniques. L'exemple que nous avons traité n'est qu'un cas particulier. D'autres types de paquets d'ondes peuvent être obtenus en prenant d'autres distributions pour les amplitudes des ondes planes qui composent le paquet (nous avons supposé ici qu'elles avaient toutes la même amplitude). Dès lors, la vitesse de groupe est associée classiquement à la vitesse de la particule de masse m et d'impulsion p.

Ainsi, Le paquet d'ondes se déplace globalement à la vitesse de groupe, qui s'identifie à la vitesse donnée par la mécanique classique.

Les relations d'incertitude ont déjà été introduites au début de ce chapitre de deux manières différentes. Mais dans l'exemple du paquet d'ondes étudié au paragraphe précédent, nous avons vu que la fonction est localisée dans une zone d'extension (largeur à mi-hauteur) :

  (258)

Nous avons donc la relation :

  (259)

Nous retrouvons ici une expression de type incertitude. Le coefficient numérique pourrait être légèrement différent suivant la définition choisie pour  et , ou le type de paquet . Il pourrait en particulier être nettement plus grand dans certains cas. Nous avons donc en fait une inégalité du type:

  (260)

En physique quantique, ces inégalités s'expriment en fonction de l'impulsion p, reliée à k par . Nous avons donc :

  (261)

Il ne s'agit donc pas d'incertitudes au sens de la mesure, et qui serait limitées par les appareils de mesure, mais d'une propriété fondamentale intrinsèque, liée à la représentation quantique d'une particule selon le modèle mathématique proposé. Le modèle de l'atome de Bohr est donc à rejeter pour les niveaux d'énergie qui sont proche de cette égalité.

PUITS DE POTENTIEL A PAROIS RECTILIGNES

Prenons pour premier exemple, très important pour le chapitre de Physique Nucléaire, la résolution sous forme classique du puits de potentiel à parois rectilignes, également appelé "puits rectangulaire" (cet exemple est vraiment très important, prenez vraiment votre temps afin de le comprendre et de la maîtriser au mieux).

C'est l'exemple le plus simple d'une fonction , nulle à l'intérieur du puis et infiniment grande sur les parois, distantes d'une longueur L.

Remarque: Lorsque nous disons que les parois sont parfaitement réfléchissantes.

Nous supposons une particule piégée dans ce puits. Elle ne peut s'en échapper puisque les parois (c'est-à-dire le potentiel U) ont une hauteur infinie. Mais à l'intérieur, elle est libre de se déplacer sans faire d'interaction avec les parois.

Cette configuration se traduit par les conditions aux limites où l'énergie potentielle électrostatique est notée U :

 si

 si  ou

  (262)

Il existe deux manière d'aborder problème. Voyons les deux types de traitements car le premier permet d'avoir une approche simpliste alors que le deuxième permet d'avoir une approche avec une plus générale qui nous sera utile par la suite lors de notre étude de l'effet Tunnel :

1ère approche

L'équation de Schrödinger (classique) :

    (263)

a donc une solution simple respectant les conditions initiales en une dimension du type :

    (264)

dont la dérivée seconde est :

    (265)

Introduits dans l'équation de Schrödinger nous obtenons après quelques simplifications d'algèbre élémentaire:

  (266)

Donc finalement la solution s'écrit:

  (267)

à propos de laquelle il faut appliquer les conditions aux limites (la solution en cosinus est en tout point similaire).

Si nous voulons pouvoir, par la suite, faire un parallèle avec un (ou des) électron(s) piégé(s) dans le puits du potentiel du noyau de l'atome (qui n'est par rectangulaire lui!), nous sommes amenés aux considérations suivantes:

La stabilité des atomes suggère l'existence d'une onde stationnaire électronique dans le puits. De plus, l'observation montre que seuls certains niveaux d'énergie semblent autorisés dans ce dernier.

Si nous faisons une similitude avec les cordes vibrantes, la fonction d'onde de l'électron doit être telle que:

1. Pour  et il doit y avoir un nœud de vibration. Donc:

2. öa fonction d'onde doit présenter un nombre entier de demi-longueur d'onde sur la longueur L

3. Dans la boîte donc

4. Si aux extrémités ( et )  alors l'argument du sinus vaut

Donc nous devons avoir :

  (268)

d'où puisque l'énergie potentielle est nulle :

  (269)

L'énergie totale de la particule présente donc une suite discrète de valeurs, les seules permises. La valeur de L est quant à elle déterminée à l'aide du modèle de Bohr ou de Sommerfeld en fonction des cas (cf. chapitre Physique Quantique Corpusculaire).

L'énergie totale de la particule ci-dessus sont les "valeurs propres" de l'énergie dans le puits de potentiel.

Donc l'équation de Schrödinger permet de faire abstraction du 3ème postulat de Bohr dans le sens où elle explicite directement la notion de quantification des niveaux par des valeurs entières (discrètes) solution des conditions aux limites d'un puits de potentiel considéré comme parfait.

Les fonctions d'onde correspondantes dans le puits où  sont donc:

  (270)

Soit après simplification :

  (271)

C'est l'expression d'une des solutions de l'équation pour le puits de potentiel rectangulaire idéal. Ainsi, il existe une suite discrète de fonctions d'onde solutions. Ce sont les "fonctions propres" de la particule.

La constante  dans cette expression est déterminée par la normalisation de De Broglie (dont nous avions parlé au début de ce chapitre), c'est-à-dire par la condition:

  (272)

Nous trouvons alors (calcul d'intégration noramelement élémentaire):

  (273)

et l'expression finale de la fonction d'onde associée à la valeur propre  se lit donc:

  (274)

Certains physiciens ont pour habitude de noter cela sous forme complexe en ne prenant que la partie réelle de l'expression (nous utilisons la "formule d'Euler" vue lors de l'introduction aux complexes dans le chapitre des Nombres):

 avec   (275)

Cette notation est parfois utile et nous l'utiliserons lors de l'étude de l'effet tunnel dans le chapitre de Physique Nucléaire.

Nous pouvons déduire de l'expression obtenue, les propriétés principales des fonctions d'onde décrivant les états stationnaires de la particule dans une boîte:

1. La figure ci-dessous représente des fonctions et des densités de probabilités  pour les premiers niveaux d'énergie :

  (276)

Nous remarquons que (évidemment nous pourrions analyser ceci de façon analytique et non graphique si nous le désirions), en plus des points  et , a (n-1) zéros situés en:

 avec   (277)

Ces points, où la fonction d'onde et la densité de probabilité sont nulles, sont appelés "points nodaux" ou simplement "nœuds" de la fonction d'onde. Le nombre de nœuds augment quand n augmente, c'est-à-dire quand l'on passe à des états de plus en plus excités. La fonction d'onde  de l'état fondamental à:

 et donc   (278)

n'a pas de nœuds, celle du premier état excité  d'énergie:

  (279)

a un point nodal, celle du deuxième état excité  a deux points nodaux, etc… La variation des propriétés nodales des fonctions d'onde quand n varie traduit l'orthogonalité des états stationnaires d'énergie différente. En effet, nous vérifiions aisément que  est nul quand :

  (280)

2. Comme nous pouvons le voir sur la figure précédente, la densité de probabilité associée à tout état stationnaire de la particule est symétrique par rapport au point médian

Nous anticipons donc que la valeur moyenne de x sera exactement égale à L/2 dans un tel état. En effet nous avons vu en statistique que l'espérance (moyenne) d'un événement de probabilité P(x) est définie par:

  (281)

où x, E(x) et P(x) n'ont pas d'unités (attention nous allons faire une analyse dimensionnelle).

Or, en physique quantique E(x) et x sont des grandeurs dimensionnelles identiques. Ce qui signifie que les dimensions de P(x) doivent annuler celles de dx. Ainsi, nous devinons suite aux à l'étude des conditions de normalisation de De Broglie que:

  (282)

qui est une probabilité linéique de présence de la particule.

Le domaine d'intégration étant [0; L] nous avons finalement:

  (283)

Egalement sans démonstration car ce résultat est trop évident (si jamais il ne l'est pas pour vous dites-le nous et nous ajouterons le développement comme pour tout autre chose dans ce site d'ailleurs), la quantité de mouvement le long x est nulle:

Nous pouvons par ailleurs vérifier sans trop de peine que ce nous avons vu lors de l'énoncé du 2ème postulat se vérifie bien dans cet exemple. C'est-à-dire que les fonctions propre de l'onde sont reliées à l'opérateur hamiltonien via les valeurs propres de l'énergie :

  (284)

Effectivement, dans notre exemple, cela donne:

  (285)

voilà… pour la première approche du problème. Voyons maintenant la deuxième :

2ème approche

Nous avons donc l'équation de Schrödinger dans le cas undimensionnel :

  (286)

Dans les régions situées en dehors de la boîte où le potentiel est infini, nous avons :

  (287)

Soit :

  (288)

ce qui donne :

  (289)

Ainsi, les fonctions d'onde sont nulle dans les régions où le potentiel est infini.

Considérons maintenant le cas du puits où puisque le potentiel électrostatique est nul l'équation de Schrödinger se réduit à:

  (290)

C'est donc une équation différentielle linéaire d'ordre 2 avec des coefficients constants, équation qu'il est relativement aisé de résoudre dans le cas général (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). Soit l'équation :

  (291)

En nous aidant des résultats obtenus lors du traitement de la solution particulière, supposons que la fonction y qui satisfait cette équation différentielle soit de la forme . Nous avons alors :

 ou   (292)

pourvu, bien sûr, que . Cette dernière relation est donc l'équation quadratique auxiliaire de l'équation différentielle (polynôme caractéristique). Elle a deux solutions/racines (c'est une simple résolution d'un polynôme du deuxième degré) que nous noterons dans le cas général . Ce qui signifie que :

 et   (293)

est satisfait pour les deux racines. Si nous faisons la somme puisque les deux sont égales à la même constante :

  (294)

Ainsi, il est immédiat que la solution générale de y est du type  :

  (295)

où le lecteur devrait normalement sans peine pouvoir vérifier que l'ajout des constantes A et B ne changent en rien les développements des paragraphes précédents.

Dans le cas qui nous occupe :

  (296)

L'équation quadratique est :

  (297)

soit :

  (298)

Donc finalement la solution générale est de la forme :

  (299)

Posons maintenant :

  (300)

Nous avons alors :

  (301)

avec :

 et   (302)

Il faut maintenant déterminer A' et B' en utilisant les conditions aux limites. Ainsi, en x=0 et x=L nous devrions avoir  et nous avons pour x=0 :

  (303)

Le coefficient A' doit donc être nul. Et en x=L nous devrions avoir :

  (304)

Mais dans ce cas, B' doit être différent de zéro. En effet, s'il était nul, la fonction d'onde serait nulle dans tout le puits ce qui est contraire à la réalité physique du problème. Il faut donc que ce soit le sinus qui soit nul, ou encore que son argument soit égal à un multiple d'un nombre entier non nul d'angle  tel que :

  (305)

Donc :

  (306)

Nous retrouvons donc exactement le même résultat que la méthode précédente.

Il reste à déterminer B et la méthode est exactement identique à la première méthode de résolution que nous avons vu plus haut. Ainsi, nous avons bien :

  (307)

Ce qui est important surtout dans cette méthode c'est de se souvenir pour plus tard de la forme générale de la solution :

  (308)

OSCILLATEUR HARMONIQUE

L'étude de l'oscillateur harmonique correspondant à celle d'une foction d'onde coincée dans un puit de potentiel parabolique. Ce qui est assimilable grosso modo aux atomes où les parois du puits de pontentiel ne sont naturellement pas rectangulaires et infinies... L'étude qui va suivre est donc ce qui est le plus proche de ce qui est disponible dans la Nature au atomique.

Dans le cas d'une particule libre en déplacement rectiligne, nous avons vue que l'énergie potentielle est nulle et l'équation de Schrödinger devient:

  (309)

Cependant pour une particule libre (en l'absence de champ de potentiel) l'énergie totale est donc égale à l'énergie cinétique : 

  (310)

Mais nous avons :

    (311)

Le rapport :

  (312)

étant la longueur d'onde associée de de Broglie. En introduisant le nombre d'onde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire), nous avons :

     (313)

appelée "relation de de Broglie". Finalement :

  (314)

Dès lors, l'équation de Schrödinger peut s'écrire:

  (315)

Nous voyons par substitution directe que cette équation différentielle admet pour solutions les fonctions d'onde:

 et   (316)

Ces deux différentes solutions représentent le déplacement d'un même particule une fois dans la direction +x et l'autre dans –x. Si  nous avons :

  (317)

Le fait que ce résultat soit égal à l'unité, signifie que la probabilité de trouver la particule est la même en tout point. En d'autres termes,  décrit une situation dans laquelle l'incertitude sur la position est totale. Ce résultat est en accord avec le principe d'incertitude puisque  décrit une particule dont nous connaissons avec précision la quantité mouvement : c'est-à-dire que , ce qui implique .

En analyse nous avons montré que la solution la plus générale d'une équation différentielle est la somme de ces solutions. Autrement dit dans notre exemple :

  (318)

avec:

  (319)

Au fait, nous pouvons remarquer que si  alors le résultat est le même à la différence que nous aurons :

    (320)

Lorsque la particule qui nous intéresse se trouve dans un puits de potentiel décrit par la fonction (parabole): 

  (321)

nous parlons alors "d'oscillateur harmonique".

Ce système est très important car l'Hamiltonien de l'équation intervient dans tous les problèmes mettant en jeu des oscillations telles que vibrations moléculaires et cristallines (cf. chapitre de Chimie Quantique).

Prenons d'abord comme exemple l'oscillateur harmonique classique qui consiste en un corps assujetti à se déplacer le long d'un axe et soumis à une force de rappel proportionnelle à la distance à un point situé sur cet axe.

L'équation de ce corps est régi par l'équation de la dynamique: 

  (322)

Nous avons vu en mécanique classique que la solution générale de cette équation est:

    (323)

avec comme pulsation:

  (324)

L'énergie totale du système étant l'Hamiltonien classique nous écrivons :

  (325)

Maintenant revenons à notre cadre quantique. De ce point de vue nous avons pour Hamiltonien (ou énergie totale):

  (326)

En utilisant ce que nous définissons comme une "écriture réduite", nous écrivons :

  (327)

où les opérateurs réduits sont :

et   (328)

et où nous avons remplacé la constante par  identiquement à l'oscillateur harmonique classique (cf. chapitre de Mécanique Classique).

Il est plus ou moins facile d'obtenir la relation de commutation:

  (329)

Démonstration:

Rappelez-vous de la relation ci-dessous que nous avons vue lors de notre étude des opérateurs linéaires fonctionnels au début de ce chapitre :

  (330)

Etudions les propriétés des commutateurs avec la quantité de mouvement. Nous avons démontré également plus haut la relation ci-dessous:

  (331)

En multipliant cette dernière par , il vient:

  (332)

que nous pouvons également écrire:

  (333)

Si vous vous rappelez de la définition des commutateurs , nous avons :

  (334)

Nous avons donc pour notre oscillateur:

 et   (335)

écrivons la définition le commutateur : 

  (336)

Donc:

  (337)

c'est ce qu'il fallait démontrer...

Nous avons maintenant intérêt pour résoudre l'équation différentielle d'utiliser les opérateurs non hermitiques  définis (c'est une définition donc ne cherchez pas trop loin):

  (338)

Ce qui nous définit donc les opérateurs (en posant temporairement ) :

  (339)

Nous retrouvons ces deux opérateurs très fréquemment en mécanique quantique et les physiciens parlent alors de "l'opérateur de destruction" et de "l'opérateur de création" a.

Compte tenu de la relation de commutation, nous vérifions :

et   (340)

Démonstration:

  (341)

et :

  (342)

et d'autre part:

  (343)

Démonstration:

  (344)

et donc en divisant pas 2 des deux côtés de l'égalité nous avons : 

  (345)

Revenons à la relation:

  (346)

Utilisons :

  (347)

Donc:

  (348)

Nous faisons maintenant l'hypothèse que  est une fonction propre de N associée à la valeur propre n, telle que :

  (349)

Cette hypothèse est très importante car nous allons nous en servir comme principe d'induction pour trouver toutes les fonctions propres à partir de la fondamentale!

Etablissons maintenant des relations de commutation entre N et les opérateurs a ou . Pour cela multiplions d'abord  le tout par  , nous obtenons:

  (350)

De même en multipliant  par a, nous obtenons:

  (351)

Puisque selon notre hypothèse  et n sont respectivement fonction et valeur propre de N, nous pouvons écrire:

  (352)

Or, nous avons :

  (353)

qui multipliée àdroite par la fonction d'onde donne la relation :

Cette équation entraîne les conséquences suivantes:

- Ou bien tel que

- Ou bien  est fonction propre de N pour la valeur propre n-1 !!

Le même raisonnement établirait que  est fonction propre de N pour la valeur propre n+1, si elle n'est pas nulle (nous verrons plus loin que  n'est jamais nulle):

  (355)

Cette relation est importante car si  n'est pas nulle pour une fonction propre donnée elle ne le sera pas non plus pour les autres fonctions propres de valeur propre n+1 !!

Nous savons qu'il existe une valeur propre  plus petite que toutes les autres correspondant au niveau fondamental (d'après le modèle de Bohr-Sommerfeld cette valeur propre existe toujours).

Nécessairement, sa fonction propre  obéit à la relation (le lecteur pourra vérifer avec les résultats plus loins) :

  (356)

sinon quoi  serait valeur propre et il y aurait contradiction.

En multipliant cette dernière relation par  nous obtenons:

  (357)

ce qui montre que la valeur propre minimale  est nulle. Nous connaissons donc le niveau fondamental de l'oscillateur:

  (358)

Remarque: Il faut noter que l'oscillateur n'est jamais dans un état de repos (mettre n = 0 dans l'expression de l'énergie plus haut) ce qui veut aussi dire que le zéro absolu ne peut pas être accessible puisque la température "chiffre" l'agitation atomique, or le repos n'existe pas!

Pour obtenir la fonction propre correspondante, nous avons besoin de l'expression explicite de a. D'après:

 et   (359)

nous avons :

 et   (360)

ce qui nous donne:

  (361)

car rappelons-le:

d'où:

  (362)

Mais d'après :

  (363)

d'où:

  (364)

soit (résolution d'une simple équation différentielle):

  (365)

Nous devons envisager, en réalité,  comme fonction de x par le biais de la coordonnée réduite Q. 

D'après:

  (366)

en introduisant la longueur :

  (367)

avec :

  (368)

Nous allons fixer maintenant la constante en utilisant la condition de normalisation de De Broglie:

  (369)

et donc :

  (370)

Il est loisible de choisir la constante réelle et positive, nous avons finalement:

  (371)

Corollaire... : D'après ce que  nous avons vu précédemment, en faisant agir  sur  (explicitement nous faisions référence au résultat ), nous obtenons les fonctions propres de N pour les valeurs propres entières 1, 2, etc. Nous vérifierons plus loin que nous épuisons ainsi toutes les valeurs propres de N.

Il reste à construire les autres fonctions propres et à les normer; en effet, si  est fonction propre normée associée au niveau , nous avons vu plus haut que  est fonction propre associée au niveau n+1, mais il n'y a pas de raison de la normer à nouveau puisqu'elle est justement associée à une fonction propre déjà normée. 

Nous pouvons écrire:

  (372)

 étant un coefficient à déterminer. Exprimons le fait que  est déjà normée:

  (373)

Soit en tenant compte de la relation  nous avons:

  (374)

Rappelons que  donc:

  (375)

Nous venons de vérifier au passage que  n'est jamais nul (fait que nous avions supposé plus haut).

Toutes les fonctions  (sauf  déjà fixée) ont un facteur de phase arbitraire (notion que nous avons vu lors de la définition des états liés et non liés), indépendamment les unes des autres; l'argument de reste donc à notre disposition et nous choisirons  réel positif. Cela fixe toutes les :

  (376)

En itérant cette relation sur la fonction d'ondenous obtenons aisément (algèbre élémentaire):

  (377)

soit en tenant compte des relations suivantes (que nous avons déjà démontrées précédemment):

 et    (378)

Nous avons :

  (379)

Cette équation prend une forme plus simple, en s'appuyant sur la relation:

  (380)

Vérification:

  (381)

soit, en langage d'opérateurs:

  (382)

Ainsi:

  (383)

Nous obtenons ainsi l'expression de :

  (384)

Par ailleurs, dans la théorie mathématique des famille de polynômes orthogonaux, nous rencontrons les "polynômes d'Hermite"  définis par:

  (385)

Ce sont des polynômes de degrés n, pair ou impairs (). En les employant, nous allégeons la relation précédente qui devient:

  (386)

Finalement nous avons :

Avec la non moins fameuse représentation graphique avec à gauche les fonctions propres associées et à droite la probabilité de présence :

  (388)

En analysant ces fonctions d'ondes, nous retrouvons de nombreux résultats classiques : la particule dans le puits de potentiel a une probabilité de présence plus élargie si elle a une énergie plus haute (une bille au fond d'un puits va monter plus haut sur les bords si elle a plus d'énergie),  la particule a plus de chance se retrouver sur ces positions éloignées du centre du puits (la bille a une vitesse d'autant plus petite qu'elle est haut dans le puits : elle va donc passer beaucoup plus de temps en hauteur qu'au fond du puits).

Pour tous les calculs où des particules sont dans un puits de potentiel, l'approximation harmonique est très intéressante. Par exemple, si nous souhaitons étudier un "piège harmonique" à deux dimensions, soit condensat de Bose-Einstein 2D (cf. chapitre de Mécanique Statistique) nous pourrons poser pour l'hamiltonien suivant pour débuter l'étude (en analogie avec celui à une dimension utilisé plus haut) :

EFFET TUNNEL

L'effet tunnel désigne la propriété que possède un objet quantique de franchir une barrière de potentiel, franchissement impossible selon la mécanique classique. Généralement, la fonction d'onde d'une particule, dont le carré du module représente l'amplitude de sa probabilité de présence, ne s'annule pas au niveau de la barrière, mais s'atténue à l'intérieur de la barrière, pratiquement exponentiellement pour une barrière assez large comme nous le démontrerons. Si, à la sortie de la barrière de potentiel, la particule possède une probabilité de présence non nulle, elle peut donc traverser cette barrière.

La barrière quantique sépare l'espace en trois, dont les parties gauche et droite sont considérées comme ayant des potentiels constants jusqu'à l'infini. La partie intermédiaire constitue la barrière, qui peut être compliquée, révélant un profil doux, ou au contraire formé de barrières rectangulaires, ou autres éventuellement en séries.

Etudions maintenant le cas de systèmes où l'énergie potentielle   (implicitement le potentiel y relatif) tend vers des limites finies, non forcément égales quand . Il s'agit donc d'un problème d'états non liés.

Nous définissons une région I loin à gauche où  sera assimilée à :

    (390)

une région III loin à droite où  sera assimilée à :

  (391)

En se bornant aux situations les plus simples, il y a trois possibilités relativement aux relations données précédemment : puits de potentiel (a), marche de potentiel (b), barrière de potentiel (c) comme représentés dans l'ordre énoncé sur la figure ci-dessous:

  (392)

Maintenant, écrivons l'équation de Schrödinger :

  (393)

Soit en une dimension et écrit un peu différement :

  (394)

dans les régions I et III, nous voyons que  est constant et positif (car l'énergie potentielle y est constante) nous obtenons ainsi très simplement l'expression analytique de dans ces régions sous forme générale :

  (395)

Nous trouvons ces deux expressions de façon identique que lors de notre étude du puits de potentiel à parois rectangulaires, à la différence que nous avons écrit ci-dessus les solutions générales de l'équation différientielle (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) sans déterminer les coefficients (car nous nous intéressons ici à une généralisation).

Ainsi, dans l'étude du puits à parois rectangulaires nous avions déjà déterminé que:

  et   (396)

Remarque: Nous voyons que les nombres d'ondes k sont donc proportionnels à la racine de l'énergie cinétique. Et comme l'énergie cinétique est proportionnelle à la vitesse au carré des particules il vient alors que la vitesse est proportionnelle au nombre d'onde (et réciproquement)!

Supposons maintenant que nous ayons à (régation I), une source de particules (qui les envoie vers la droite), avec une énergie cinétique valant évidemment .

Ainsi, ces particules ont une énergie  et la fonction d'onde qui les décrit obéit à l'équation de Schrödinger. Dans la région III, il sera supposé qu'il ne peut exister que des particules allant vers la droite (pas de source à ,par hypothèse).

La région III, comme du reste la région I, est d'étendue infinie, donc le principe d'incertitude nous permet de parler en théorie d'une quantité de mouvement parfaitement déterminée que nous noterons p'.

Nous savons que (c'est de la mécanique classique!) dans la région III nous avons alors :

  (397)

p' est positif, donc grâce à la relation précédente et à la relation de De Brolgile nous avons :

  (398)

La solution III s'écrit alors maintenant :

  (399)

L'hypothèse comme quoi les particules viennent de la gauche nous impose  pour que la solution décrive uniquement des particules qui vont vers la droite. Ensuite, il est loisible, pour celles venant de la gauche, de prendre  . La région III est donc relativement simple d'analyse...

Remarque: Les conditions et hypothèses utilisées précédemment sont souvent appelées "conditions de scattering".

Les constantes A et B de la région I vont être elles complètement déterminées en effectuant le raccord des solutions d'une région à l'autre.

Intéressons-nous donc maintenant à l'interprétation de l'équation dans la région I:

  (400)

Il est évident que  décrit des particules qui, dans la région I, se dirigent vers la droite alors décrit des particules qui, dans cette même région, se dirigent vers la gauche. Comme nous le savons, les premières sont les particules incidentes, les secondes sont les particules réfléchies.

Ce que nous demandons à la physique quantique apparaît maintenant d'une façon claire: une particule arrivant de la gauche (incidente) peut soit :

1. Continuer vers la droite, c'est-à-dire franchir la région II et devenir une particule transmise

2. Retourner vers la gauche et devenir une particule réfléchie.

Nous sommes amenés à définir un "coefficient de transmission" T assimilé à à la probabilité qu'à la particule incidente de franchir la région II et un "coefficient de réflexion" R, probabilité qu'à la particule incidente d'être réfléchie. Nous devons avoir:

  (401)

Dans le cas d'une barrière de potentiel, T est également appelé la "transparence de la barrière".

Pour calculer R et T, nous définirons les flux courants des diverses catégories de particules (incidentes, transmises, réfléchies). Par exemple, puisque les particules incidentes sont décrites par , le nombre moyen de ces particules, par unité de longueur dans la région I, doit certainement être proportionnel à un facteur près à .

Soit  leur vitesse, nous voyons que le courant des particules incidentes , est alors proportionnel à un facteur près à  (analyse dimensionnelle). Ainsi, le coefficient de proportionnalité étant le même pour les trois catégories de particules (incidentes i, réfléchies j, transmises t) et du fait que  et  sont proportionnels à  et , il s'ensuit que   (courants incidents et réfléchi) et  (courant transmis) sont respectivement proportionnels (donc toujour à un facteur dimensionnel près!) à ,  et (puisque rappelons que pour la région III nous avons trouvé A'=1 et B'=1).

Nous déduisons de là très simplement, par un simple rapport, les expressions des coefficients de réflexion R et de transmission T :

  (402)

Attention! Notons bien la différence entre les résultats des traitements classiques et quantiques. Dans le traitement classique, si  est partout positif, la vitesse ne peut jamais s'annuler et, par suite, changer de signe, ce qui fait que .

Si  est négatif dans un certaine région (barrière de potentiel par exemple), celle-ci est interdite et nous avons . Dans toutes ces situations, la théorie quantique conduit, en général, à des valeurs de R et T peut-être petites, mais pas nulles !

L'exemple le plus célèbre d'effet tunnel pouvant être traité est celui de l'émission de particules  par des noyaux lourds radioactifs dont l'explication a été donnée par le physicien russe G. Gamov en 1928.

La démonstration est relativement simple mais comme elle constitue un cas pratique particulier que nous ne souhaitons pas exposer dans ce chapitre mais dans celui de Physique Nucléaire. Cependant, pour résoudre ce problème il faut utiliser un méthode d'approximation connue sous le nom de méthode W.K.B. du nom des physiciens Wentzel, Kramers et Brillouin.

Les résultats donnent dès lors un facteur de transmission pour la particule  de  pour l'atome d'Uranium . Par ailleurs, dans l'approximation semi-classique, la particule  a, dans le puits, une vitesse de l'ordre de et elle effectue des aller-retours dans un noyau dont le rayon est de l'ordre de . Elle effectue donc environ  oscillations par seconde où chaque fois elle a une probabilité T de franchir la barrière de potentiel. Cette probabilité par unité de temps est ainsi déterminée par . Expérimentalement, on trouve . Le modèle présenté donne donc des résultat très satisfaisants.

PRINCIPE DE SUPERPOSITION

La notion d'état dynamique d'un système classique joue un rôle capital dans la dynamique analytique classique; est-il possible de retrouver cette notion lorsque nous avons affaire à un système quantique, c'est-à-dire un système tel qu'un atome, un noyau ou un molécule, bref un système de la microphysique? A première vue non, car nous savons que l'on définit l'état dynamique d'un système classique par la donnée des coordonnées généralisées  et des moments conjugués  à un instant donné (voir chapitre de Mécanique Analytique). Or, le principe d'incertitude s'oppose à cette procédure dès que nous sommes dans le domaine de la microphysique, vu l'impossibilité de mesurer avec précision les  et ; cela est particulièrement clair lorsque le système se réduit à une seule particule que nous décrivons par ses coordonnées cartésiennes   et les composantes de sa quantité de mouvement .

Fort heureusement, il existe une autre définition de l'état dynamique d'un système qui s'applique indifféremment aux systèmes classiques et quantiques et qui, dans le cas des premiers, s'identifie avec la définition habituelle. Nous allons donner cette définition en nous appuyant sur une brève théorie des ensembles de systèmes identiques.

Si nous avons un ensemble (E) d'un très grand nombre de systèmes identiques, nous ferons une enquête statistique pour caractériser cet ensemble de la façon suivante : on prend un système de l'ensemble, on mesure une variable dynamique (coordonnée, composante de quantité de mouvement, énergie cinétique, etc.) et on rejette le système (qui perturbé par le mesure, ne doit pas être réincorporé à l'ensemble). On dresse ainsi un bilan qui se traduit par des fonctions de distribution de toutes les variables dynamiques possibles. Cela permet de définir sans ambiguïté la notion d'identité :

Définition: Deux ensembles sont identiques, si les bilans des résultats de mesure sont les mêmes pour les deux.

Considérons maintenant un ensemble unique (E); est-il possible de le réaliser par juxtaposition de deux ensembles (non identiques)  et , ce qui permettrait d'écrire:

  (403)

Si oui, nous dirons que (E) est un mélange; inversement, au moyen d'un tri convenable, un mélange peut être décomposé en deux sous-ensembles différents. Si non, nous dirons que (E) est un ensemble pur; tout tri décomposera l'ensemble pur en deux sous-ensemble identiques entre eux et nécessairement avec (E) ! Nous convenons alors de dire que tous les systèmes d'un ensemble pur sont dans le même état dynamique; deux ensembles purs différents donnent lieu à des états dynamiques différents. Il va de soi que les systèmes constituant un mélange seront eux dans des états dynamiques différents.

Supposons maintenant que les systèmes étudiés obéissent aux lois de la mécanique classique. Si les systèmes d'un ensemble présentent des jeux différents, nous les trions en groupant par systèmes ayant tous un même jeu . Nous vérifions bien que la nouvelle définition de l'état dynamique coïncide avec la définition habituelle. Notons ce fait évident, mais important (par opposition avec les systèmes quantiques) : dans un ensemble pur de systèmes classiques, c'est-à-dire pour un état dynamique donné, toute variable dynamique est bien déterminée; en effet, en mécanique analytique classique, une telle variable est une fonction des  et  et, de ce fait, présente une valeur unique.

Passons aux systèmes quantiques; il est maintenant possible de définir pour ceux-ci un état dynamique; mais tout de suite nous voyons une distinction fondamentale avec la mécanique classique. En effet, dans un ensemble pur de systèmes quantiques, c'est-à-dire pour un état dynamique donné, un variable dynamique n'est pas, en général, bien déterminée; quand nous la mesurons sur des systèmes extraits de l'ensemble pur, on ne trouve généralement pas comme résultat, une valeur unique, mais une distribution de valeurs.

L'indétermination qui règne sur la valeur d'une variable dynamique dans un état dynamique donné est donc de nature purement quantique et il convient de bien la distinguer de l'indétermination d'origine statistique qui se manifeste dans un mélange, qu'ils s'agisse de systèmes classiques ou quantiques.

Le formalisme de la physique quantique ne peut s'édifier que si nous savons décrire mathématiquement les états dynamiques et les variables dynamiques; nous avons vu que nous ne pouvons attendre de ce formalisme un prédiction précise comme en mécanique classique, mais, simplement les probabilités d'obtenir telle ou telle valeur, lorsque nous mesurons une variable dynamique sur un système dont l'état dynamique est donné.

Tout la théorie que nous avons vu jusqu'ici nous permet de conclure jusqu'ici que les états dynamiques d'un système d'une particule sans spin sont décrites par des fonctions d'onde complexes, non nulles partout.

Si nous appliquons cette condition aux systèmes dynamiques:

Postulat: Soient deux états dynamiques différents, décrits par des fonctions d'onde  et , nécessairement non proportionnelles; étant des nombres complexes non simultanément nuls, nous construisons la combinaison linéaire:

  (404)

 est alors une fonction d'onde décrivant un état dynamique possible du système.

Ce postulat paraît assez naturel du fait de l'aspect ondulatoire que présente la physique des microsystèmes. En effet, dans les phénomènes ondulatoires de la physique classique les équations d'onde sont, le plus souvent, linéaires homogènes et il s'ensuit que l'on peut superposer les ondes. Or, le grand intérêt de ce postulat est qu'il contient en germe l'explication de ce fait capital qu'est l'indétermination quantique (appelée aussi parfois "cohérence quantique").

Voyons-le sur un cas très simple où nous supposons  qu'une variable dynamique A, a une valeur bien définie  dans l'état dynamique , et une valeur bien définie  dans l'état dynamique  avec . Cela signifie que si nous répètons la mesure de A sur des systèmes tous dans l'état dynamique décrit par , nous trouvons chaque fois comme résultat ; de même pour et . Une question vient naturellement à l'esprit : si nous mesurons A sur des systèmes tous dans l'état dynamique  qu'allons nous ? Une idée naïve serait de croire que A prendra une valeur bien définie intermédiaire entre  et .

Ces deux hypothèses sont fausses et nous le savons bien. Premièrement, A n'est pas bien déterminée en physique quantique (incertitude) et n'est mathématiquement pas nécessairement située entre  et . L'interprétation correcte est la suivante:

Si nous mesurons A sur le système dans l'état dynamique , nous trouvons comme résultat de mesure, tantôt , avec une probabilité , tantôt , avec une probabilité . Bien entendu,  et  devront pouvoir être calculés en fonction de  et .

Remarque: Il ne faut surtout pas confondre l'ensemble pur des systèmes décrits par , avec le mélange que nous obtientdrions en juxtaposant deux ensembles purs de systèmes respectivement  et .

Il convient donc de mettre en garde le lecteur contre cette confusion, d'autant que dans la littérature courante utilisant la physique quantique, on dit souvent que la fonction d'onde  est un mélange de  et ; c'est par exemple dans ce sens que l'on parle de "mélange de configurations" pour traduire le fait que la fonction d'onde d'un atome à plusieurs électrons est une combinaison linéaire de fonctions d'onde appartenant à diverses configurations. Cette terminologie ne doit pas cacher le fait que les systèmes décrits par  constituent un ensemble pur et non un mélange.

En fait, l'interprétation que donne la théorie de Broglie (associer une fonction d'onde à un particule) aux principes d'incertitudes est l'exemple le plus frappant et le plus connu de la physique quantique au niveau des superpositions d'états (chat de Schrödinger mis à part):

Considérons une onde de Broglie se propageant dans le sens de l'axe X, mais limitée à un intervalle  à un instant donné ( si nous voulons). Donc à  l'onde s'écrit, en laissant tomber la constant multiplicative :

Si nous mesurons la coordonnée de la particule, nous devons la trouver là nécessairement où  n'est pas nulle (sinon nous ne pourrions rien mesurer). Nous pouvons dire que  avec une incertitude (l'intervalle où nous sommes sûr de trouver la particule par rapport à l'ordonnée à l'origine divisé par deux)

Si nous mesurons , que trouvons-nous ? Nous ne devons pas trouver  (relation que nous avons déjà démontrée plus haut), car ceci serait vrai pour une onde plane indéfinie, ce qui n'est pas le cas ici. Alors, nous allons décomposer l'onde en ondes planes au moyen de la transformation de Fourier (voir chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

Comment interpréter cette relation ? Une des ondes planes élémentaires (que nous pouvons aussi interpréter comme un état), , dont la somme redonne , conduit à une valeur  de la quantité de mouvement. Or, les valeurs de k forment un continuum. Nous sommes conduits à dire que les valeurs possibles de p forment dès lors aussi un continuum et qu'il y a donc une incertitude sur la valeur de p. Pour aller plus loin, il faut évaluer  (qui doit être considéré comme variable de la probabilité de présence de chaque onde plane provenant de la décomposition de ) au moyen de la relation (selon les propriétés des transformations de Fourier) :

  (405)

qui donne ici: 

  (406)

Posons , l'intégrale devient alors :

  (407)

Le graphique de la fonction  montre que  prend des valeurs qui peuvent êtres considérées comme négligeables pour .

  (408)

Il s'ensuit que dans l'intégrale :

  (409)

ce sont les voisins de  qui sont effectifs, et plus précisément les k tels que:

  (410)

puisque :

    (411)

Il s'ensuit que les valeurs à retenir de p sont celles voisines de  aussi; plus précisément nous avons :

  (412)

Cette relation montre que les incertitudes et obéissent à la relation:

  (413)

De manière similaire, si nous nous proposons de déterminer la coordonnée x d'un électron en le faisant passer à travers une fente de largeur 2b percée dans un écran:

La précision avec laquelle nous connaissons la position de cet électron est limitée par la taille de la fente, soit . D'autre part, la fente perturbe l'onde associée. Il en résulte une modification du mouvement de l'électron qui se traduit par le diagramme de diffraction de l'onde (qui est en fait un représentation de la superposition linéaire de ses états intrinsèques).

L'incertitude sur la composante dynamique  de la quantité mouvement de l'électron est déterminée par l'angle  correspondant au maximum central de la figure de diffraction. D'après la théorie de la diffraction (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) produite par une fente rectangulaire, nous avons  puisque l'intensité  s'écrit:

  (414)

Donc  est compris entre  et , p étant l'impulsion de l'électron incident. Ainsi l'incertitude  est de:

  (415)

Ce résultat simple est assez extraordinaire si nous le mettons en relation, en ordre de grandeur, avec le résultat que nous avions obtenu juste plus haut :

  (416)

Nous pouvons en tirer plusieurs conclusions de la première importance:

1. L'onde associée de De Broglie est étroitement liée au principe d'incertitude et la physique quantique doit tenir compte simultanément de ces deux propriétés.

2. Si nous tenons compte que la répartition de l'intensité est obtenue à partir du comptage des électrons (ou particulesen fonction de l'angle et que nous obtenons la même répartition quelle que soit l'intensité du faisceau d'électrons monocinétiques qui arrive sur la fente et ce, même si les électrons sont envoyés un par un. Nous observons alors que le mouvement des particules n'est plus déterministe mais probabiliste. Ainsi, la fonction d'onde  de l'électron peut être considérée comme un superposition linéaire des états définis chacun comme nous l'avons fait précédemment, par sa décomposition possible par la transformée de Fourier.

Que pouvons nous conclure de tout ce que nous avons vu jusqu'ici:

1. Les équations de la physique quantique nous donnent une densité de probabilité de trouver une particule dans un certain volume de l'espace-temps.

2. La superposition linéaire des états peut s'interpréter comme le fait qu'il est possible de trouver une particule en plusieurs points de l'espace-temps à un instant donné, et avec pour chacun de ces points une certaine probabilité de l'y trouver (par décomposition possible de l'équation d'onde).

Si le point (1) a été largement étudié jusqu'à maintenant sur ce site, le point (2) est quant à lui nouveau et découle d'une simple opération mathématique de décomposition ou de superposition.

Mais dès lors, que se passe-t-il si nous cherchons à mesurer l'énergie d'un atome qui se trouve dans une superposition d'états d'énergie? Nous ne détecterons jamais cette superposition, mais seulement l'une des énergies qui la constituent, l'action de mesurer fait disparaître la superposition des états au profit d'un seul – nous parlons alors de "décohérence quantique" (il s'agite de l'interprétation de Copenhague dont nous avons fait mention au tout début de ce chapitre). Mais lequel? La physique quantique ne peut tout bonnement répondre à cette question. Le choix s'effectue au hasard! En revanche, à défaut de prédire l'état précis qui sera mesuré parmi tous ceux qui constituaient la superposition, la théorie quantique peut donner la probabilité qu'on a de mesurer chaque état (ce que l'on a déjà fait maintes fois jusqu'ici). Si l'on effectue de nombreuses mesures, on trouve finalement les proportions prédites par la théorie (même si chaque mesure est imprévisible).

Erwin Schrödinger, avait souligné l'absurdité (selon lui) de ces superpositions en ayant recours à une expérience de pensée devenue célèbre : Imaginez un chat enfermé dans une boîte hermétique. Dans la boîte se trouve aussi un atome radioactif et un dispositif capable de répandre du poison. Quand l'atome radioactif se désintègre, il déclenche le dispositif mortel: le poison se répand dans la boîte et le chat meurt.

Mais la désintégration radioactive est un phénomène quantique: tant que nous ne l'avons pas détecté, l'atome est dans une superposition d'états "désintégré et pas désintégré". Dans la boîte, le système chat-dispositif à poison-atome doit donc lui aussi, se trouver dans une superposition des deux états "atome désintégré-chat mort" et "atome intact-chat vivant". Bref, si nous prenons la physique quantique au pied de la lettre, le chat est à la fois mort et vivant tant que la mesure n'a pas été effectuée.

L'absurdité de cette expérience est manifeste… mais difficile à démontrer, du moins tant que nous n'avons pas compris ce qui distingue un chat d'une particule. Toujours le problème de la frontière quantique-classique…

Il faudra attendre les années 80 pour que la situation progresse enfin, à la fois sur le front de l'expérience et sur celui de la théorie. En 1982, Wojciech Zurek, chercheur au laboratoire national de Los Alamos (Nouveau-Mexique), reprend une idée fort simple mais géniale : dans une mesure, ce qui produit la décohérence, c'est l'interaction  du système avec son environnement. Plus généralement, les objets quantiques ne sont jamais complètement isolés de leur environnement – on entend par là tout ce qui interagit avec le système: un appareil, des molécules d'air, des photons lumineux. Si bien qu'en réalité les lois quantiques doivent s'appliquer à l'ensemble constitué de l'objet et de tout ce qui l'entoure. Or, Zurek démontre que les multiples interactions avec l'environnement entraînent une destruction très rapide des de la cohérence quantique des superpositions d'états (appelée également "interférence quantique" puisque mathématiquement l'on traite des fonctions d'onde). En détruisant les interférences, l'environnement supprime les superpositions d'états et le comportement quantique du système, de sorte qu'il ne reste plus que des états simples et qu'on retrouve le comportement classique.

Dans un objet macroscopique – un chat par exemple – chacun des atomes est environné de nombreux autres atomes qui interagissent avec lui. Toutes ces interactions provoquent spontanément un brouillage des interférences quantiques qui disparaissent très vite. Voilà donc pourquoi la physique quantique ne s'applique pas à notre échelle: les systèmes ne sont jamais isolés!

La vitesse de la décohérence augmente avec la taille du système: un chat qui compte 10²⁷ particules, "décohère" en 10^-23 secondes, ce qui explique pourquoi on n'a jamais vu de chats morts-vivants jusqu'à aujourd'hui!

La physique quantique est donc une théorie:

- non-déterministe (probabiliste) d'où le fait qu'elle soit considérée comme une théorie de l'information

- non-locale: les objets quantiques peuvent avoir simultanément plusieurs positions

- non-séparable: plusieurs objets quantiques peuvent êtes superposés au point de ne pouvoir être considérés séparément.

Un autre excellent exemple de la superposition linéaire des états est une application remarquable au principe de moindre action.

Considérons une particule quantique allant d’un point à l'instant au point à l'instant . Nous savons que la probabilité de trouver une particule en un point et en un instant donnés est reliée au carré du module de la fonction d’onde qui lui est associée. Plaçons-nous dans le cas le plus simple où la fonction d’onde de la particule est une onde plane  donnée par la fonction solution de l'équation d'évolution de Schrödinger: 

  (417)

où  et  sont respectivement la longueur d'onde et la fréquence de l'onde associée à la particule.

La particule peut emprunter une infinité de chemins pour se rendre de . Choisissons l'un quelconque de ces chemins que nous appellerons C. Nous pouvons découper le chemin C en un nombre entier de tronçons de durée dt.

  (418)

Après le parcours du premier tronçon, la fonction d'onde a la valeur suivante:

  (419)

D'où nous tirons que:

  (420)

Or, Planck et de Broglie ont établi (postulés) les relations suivantes comme nous l'avons montré :

 et   (421)

d'où, en remplaçant  et  dans la relation précédente nous obtenons :

  (422)

En appliquant la même technique pour le tronçon suivant nous obtenons:

  (423)

Procédant ainsi de tronçon en tronçon, tout le long du chemin C nous obtenons alors la valeur de la fonction d’onde en   pour la particule venant de en suivant le chemin C:

  (424)

Maintenant, faisons tendre la durée dt de chaque tronçon de trajectoire vers zéro. La quantité  tend alors vers la vitesse instantanée de la particule que nous noterons . La relation précédente devient alors:

  (425)

Dans le chapitre de Mécanique Analytique, nous avons montré que la quantité  est égale au lagrangien. En substituant le lagrangien dans la relation précédente, nous obtenons :

  (426)

où est l’action de la particule ayant parcouru le chemin C.

Notons (sans démonstration) que le module de prend la même valeur pour (pour tout n). La constante de Planck trouve alors une signification physique directement liée à l’action de la particule !

Rappelons la condition de normalisation de de Broglie:

   (427)

qui donne donc la probabilité pour que la particule, partant de à l’instant , se trouve en à l’instant en ayant emprunté le chemin C.

La probabilité totale est donc :

   (428)

pour trouver la particule partie de à l’instant en à l'instant nécessite de calculer la somme des contributions de chaque chemin soit (en appliquant le principe de superposition linéaire puisque nous effectuons un somme des fonctions d'onde) :

  (429)

Cette intégrale fut découverte par Richard Feynman. En première analyse elle semble diverger dans la mesure où il existe une infinité de chemins possibles entre deux points. Regardons de plus près ce qui se passe. Plaçons-nous dans le cas où la trajectoire est macroscopique. La valeur de l’action est alors beaucoup plus grande que  et varie beaucoup d’un chemin à un autre, sauf pour les chemins proches du chemin physique classique pour lesquels la variation est quasiment nulle (application de l’énoncé variationnel du principe de moindre action).

Comme les actions des chemins interviennent comme une phase dans l'intégrale de chemin, leurs contributions sont destructives et donc tendent à s’annuler, sauf dans le cas des chemins proches du chemin physique classique où les contributions s’ajoutent. Il s’ensuit que l'intégrale de chemin prend la valeur de l’action classique, indiquant que la physique quantique permet de retrouver les lois de la mécanique classique à l’échelle macroscopique.

  (430)

La situation devient très différente à l'échelle quantique, c'est-à-dire pour des valeurs de l'action dont l’ordre de grandeur est celui de la constante . Une infinité de chemins apporte alors des contributions non destructives. Feynman a pu montrer que l’intégrale de chemin convergeait mais d’un autre côté, il n'est plus possible de prédire quel chemin la particule va emprunter au point que la notion même de chemin s’évanouit. Ainsi à l’échelle quantique la particule semble chercher son chemin parmi tous ceux qui sont possibles mais à l'échelle macroscopique, ce tâtonnement quantique semble avoir permis à la particule de trouver le "bon chemin".

Le formalisme de l'intégrale de chemin constitue une façon très originale d'aborder et d’interpréter la physique quantique qui s’est ajouté à ceux qui avaient été développés par Schrödinger.

moment cinÉtique et spin

Tout comme l'oscillateur harmonique, la notion de moment cinétique (ou moment angulaire) est d'une importance capitale en théorie quantique et possède des applications nombreuses dans tous les domaines de la physique : physique atomique et moléculaire, physique nucléaire et sub-nucléaire, physique de l'état condensé, etc. Ainsi, il joue un rôle essentiel dans l'étude du mouvement d'une particule dans un potentiel à symétrie sphérique, comme nous le verrons en chimie quantique (qui en est un excellent exemple pratique). Le moment cinétique est également à la base du groupe des rotations qui satisfait à l'algèbre des opérateurs de moment cinétique (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste). De ce fait, il permet non seulement de construire la fonction d'onde d'un système quantique de symétrie donnée, mais aussi de prédire si une transition optique est permise et d'en déterminer son intensité (par exemple, lors de l'étude des transitions optiques entre états d'impureté (en état solide), états moléculaires (chimie quantique), en physique nucléaire, etc.).

Enfin, nous verrons que la méthode algébrique appliquée à l'étude du moment cinétique nous permettra d'introduire tout naturellement la notion de moment cinétique instrinsèque d'une particule, le "spin", qui n'a pas d'équivalent classique.

Les développements qui vont suivre peuvent paraître assez déconcertent dans le sens qu'il ne faut plus du tout se fier à l'intuition mais uniquement aux propriétés et résultats des mathématiques. Comme d'habitude, si vous avez besoin de compléments d'informations n'hésitez pas à nous contacter.

Ainsi, rappelons que le moment cinétique d'une particule par rapport à l'origine est donné par (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

  (1)

La quantité de mouvement étant quantifiée (c'est une valeur propre rattachée à la l'énergie d'une façon ou d'une autre), le moment cinétique l'est nécessairement aussi (le moment cinétique est donc aussi une valeur propre) et l'expérience a appuyé ce résultat (Stern-Gerlach).

Soit la composante en z du produit vectoriel résultant:

  (2)
(cycl.)

Cette relation étant cyclique, nous pouvons changer les indices pour obtenir les autres coordonnées.

Comme x et y commutent (dans le sens que leur commutateur est nul) et que nous avons démontré :

   (3)

nous avons alors :

  (4)

Ce qui donne :

  (5)
(cycl.)

En utilisant le gradient (nous retrouverons cette relation dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste lors de notre étude de l'équation de Pauli!!):

  (6)

et en posant pour "l'opérateur du moment cinétique" :

  (7)

Ce qui nous amène à écrire:

  (8)

Avec :

  (9)

Remarque: Le plus souvent dans la littérature le moment cinétique est noté (nous avions déjà fait cette remarque dans le chapitre de Mécanique Classique) mais nous avons évité cette notation ici afin de différencier le moment cinétique orbital et le moment cintéique orbital total.

Nous allons établir certaines relations de commutation concernant  qui joueront un rôle essentiel dans l'étude du spin. En faisant usage des relations (démontrées lors de notre étude des principes d'incertitudes) :

   (cycl.) et   (10)
(cycl.)

Nous avons la relation (il est de tradition de faire l'analyse sur la composante la projection de en z):

  (11)

Donc :

  (12)
(cycl.)

et en procédant de la même manière:

(cycl.) et (cycl.)   (13)

Remarque: Nous trouvons des relations analogues avec la quantité de mouvement:

  (14)

Évaluons maintenant la quantité:

  (15)

soit après simplification (c'est assez embêtant pour l'expérience que cela ne commute pas) :

  (16)
(cycl.)

par ailleurs, à ce stade, si le lecteur à déjà parcouru au préalable le chapitre de Calcul Spinoriel il remarquera que les matrices de Pauli satisfont aux relations précédentes si nous nous mettons en unités naturelles (la constante de Planck réduite valant alors 1) :

Ce constat sera utile pour notre étude de la physique quantique relativiste. Effectivement, nous savons de par notre étude du calcul spinoriel (cf. chapitre de Calcul Spinoriel) que le groupe des matrices 2 par 2 complexes unitaires de déterminant 1 dont les matrices Pauli sont les générateurs forme un groupe des rotations dans l'espace SU(2). Fondamentalement, l'origine du spin vient du lien qui existe entre SU(2) et le groupe des rotations de notre espace ordinaire, SO(3) (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste).

Maintenant, considérons la norme :

  (17)

Etudions son commutateur avec une composante:

  (18)

en utilisant la relation cyclique :

  (19)

Donc nous avons enfin quelque chose d'intéressant qui commute :

  (20)
(cycl.)

Conclusions des résultats obtenus jusqu'à maintenant : comme le commutateur est nul (les quantités commutent) il est donc possible de mesurer simultanément avec précision une composante ainsi que le carré du moment cinétique (sa norme au carré), mais il est impossible de faire la même chose pour deux composantes !

Notons enfin que la relation que  peut s'écrire d'une façon curieuse:

  (21)

et donc:

  (22)

Si nous avons un système de particules numérotées par l'indice k, chacune a un moment cinétique individuel  et le moment cinétique orbital total du système   (ne pas confondre la notation avec le Lagrangien !!!), est défini par :

  (23)

Mais  n'est pas encore le moment cinétique total du système; un particule peut posséder un moment cinétique intrinsèque, ou "spin". Nous pouvons donner une image simple du spin en disant qu'il traduit une rotation de la particule sur elle-même (attention !!! ce n'est qu'une image car au fait la particule ne tourne pas sur elle-même !). Nous noterons  le moment cinétique de spin de la k-ième particule (en unité ) et la relation :

  (24)

sera le spin total et enfin :

  (25)

sera le moment cinétique total du système (ne pas confondre la notation avec le moment cinétique orbital ou la densité de courant !!!) et nous démontrerons lors de notre étude du couplage spin-orbite que ce moment cinétique est une constante du mouvement en présence de ce couplage.

Nous allons supposer (mais c'est facile à démontrer une fois, entre autre, les spineurs connus) que chaque  et obéit aussi aux lois de commutation vues précédemment :

(cycl.) et  (cycl.)   (26)

Ce qui s'écrit sous forme tensorielle en utilisant le symbole de Levi-Civita (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :

 et   (27)

Ce qui entraîne (aussi) :

    (28)
(cycl.)

avec bien évidemment : (un simple développement parfaitement similiare à celui obtenu plus haut suffit à la démontrer).

Définissons maintenant de façon purement formelle l'opérateur non hermitique :

  (29)

 commutent avec , puisque celui-ci commute avec  et  . Ce qui nous permet d'écrire le produit :

  (30)

Par ailleurs:

  (31)

Donc:

  (32)

De même:

  (33)

Enfin, évaluons les produits  et :

  (34)

De même:

  (35)

Puisque les deux opérateurs hermitiques  et  commutent ils ont donc des états et valeurs propres communes et, plus précisément, ils ont une base propre complète commune. Lorsque des observables commutent et ont une base propre commune, rappelons que nous avons pour habitude de parler d'un "ECOC" (Ensemble Complet d'Opérateurs qui Commutent).

Pour étudier leur état propre posons:

  (36)

Les valeurs propres K et M (appartenant à , la valeur nulle y comprise donc comme nous allons le voir un peu plus loin !) ne sont pas indépendantes puisque nous avons:

  (37)

La moyenne étant notée par les crochets , nous avons:

  (38)

Ce qui peut s'écrire:

  (39)

Nous voyons que le membre de gauche de la relation ci-dessus est égal à:

  (40)

Par ailleurs nous avons vu lors de l'étude des représentatives avec le formalisme de Dirac que:

  (41)

Cette dernière relation implique donc que:

  (42)

Ce qui apporte les informations suivantes:

  (43)

C'est de la relation ci-dessus que nous voyons que:

  (44)

La valeur nulle y compris donc! Ce dernier point fait exception avec les nombres quantiques radials et azimutal que nous avions par exemple en physique quantique corpusculaire (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire).

A partir de  , nous bâtissons l'état , nous allons montrer que si cet état n'est pas identiquement nul, il est état propre de  et de . De la relation:

  (45)

déjà démontrée précédemment, nous posons:

  (46)

 commutent avec , puisque celui-ci commute avec  et . Ce qui nous donne que la relation précédente est nulle telle que:

  (47)

De la relation  nous posons de façon identique:

  (48)

Toujours avec:

  (49)

Nous avons finalement le paquet de relations:

  (50)

Donc  et  sont identiquement nuls ou  et  sont des états propre de   pour la valeur propre K, et de  pour la valeur propre .

Puisque le moment cinétique est quantifié, ses valeurs propres doivent donc avoir un minimum et un maximum avec pour chacune la fonction propre associée.

Posons que M ' et  sont la valeur et fonction propre associée minimale et m'' et  la valeur et fonction propre maximale.

Etant donné les trois relations:

 ,  ,   (51)

Nous écrivons:

  (52)

Ce qui intuitivement n'est pas évident à poser mais qui mathématiquement est tout à fait justifiable.

A partir des deux dernières relations ci-dessus, nous pouvons écrire:

  (53)

soit:

  (54)

M ' étant le maximum, M '' le minimum d'un même ensemble, nous avons:

  (55)

Ce qui nous donne:

  (56)

Appelons J la valeur m' (qui correspond à la valeur propre de la quantité ) puisque  nous avons:

  (57)

donc:

  (58)

qui est un nombre entier positif ou nul.

Conclusion : Comme 2J est un nombre entier positif ou nul, cela implique que J ne peut être qu'un nombre entier, demi-entier ou nul tel que :

  (59)

Enfin, comme:

 et   (60)

Donc:

 et   (61)

Donc finalement:

  (62)

Ce qui nous donne puisque et  (les notations se mélangent un peu...):

  (63)

Sous forme plus explicite et moins confuse:

  (64)

et définitive, en multipliant à gauche et à droit par , nous avons pour la composante verticale du moment cinétique, la valeur :

  (65)

Comme et si la particule n'a pas de spin () alors nous avons :

  (66)

Si nous avons qu'une seule particule alors :

  (67)

Donc le moment cinétique s'écrit en se rappelant (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire) que l est quantifié :

  (68)

Si nous avons , alors dans ce cas :

  (69)

Nous retrouvons donc le résultat obtenu au début de notre étude du moment cinétique. 

Grossièrement, si nous posons maintenant , nous retrouvons à partir du modèle ondulatoire l'hypothèse de quantification du moment cinétique postulée par Bohr vue dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire.

Remarque: Rappelons que réellement

Cette constatation justifie maintenant physiquement l'utilisation du nombre quantique l dans l'utilisation du tableau périodique des éléments tel que nous l'avions vu et défini (sans aucune justification réelle) dans le chapitre précédent.

Le moment cinétique total vaut donc approximativement :

  (70)

Par analogie (c'est vraiment un analogie douteuse…), nous pouvons écrire :

  (71)

Mais comme le spin peut avoir que deux orientations possibles, les valeurs de j seront :

  (72)

D'où une classification possible des électrons atomiques tenant compte de leur spin :

Type d'orbitale	s	p	d	f
l	0	1	2	3
j
notation

  (73)

etc… Soit sous forme schématique avec les niveaux d'énergie correspondants:

  (74)

Ce tableau nous amène à constater que nous pouvons finalement écrire :

  (75)

Pour revenir à des considérations plus pratiques... nous avons finalement obtenu pour la norme du moment cinétique total (dans le cas d'une particule seule et sans spin):

  (76)

où l est une entier. Nous savons également du chapitre de Physique Quantique Corpusculaire que le moment magnétique est lui donné par:

  (77)

et que le nombre quantique secondaire l et le nombre quantique magnétique  sont d'une certaine manière indissociables.

De la même manière nous obtenons:

  (78)

où nous avons vu dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste que s ne peut prendre que les valeurs  pour une particule de type proton, neutron ou électron.

Maintenant, ce que nous savons de nos résultats obtenus dans le chapitre de Physique Quantique Corpusculaire c'est que lorsque l vaut 1 nous avons le moment magnétique qui peut prendre trois valeur différents suivant si un champ magnétique est appliqué ou non .

A ce moment, bien que la norme du moment cinétique total reste constante (car conservative). Ses composantes doivent forcément changer. Comme nous ne pouvons connaître qu'une seule des composantes du moment cinétique en connaissant sa norme (opérateurs commutant) nous choisissons de nous intéresser par convention à .

Nous choisissons un référentiel tel qu'un des composantes soit nulle (c'est toujours possible). Il suffit ensuite dans ce référentiel X,Z plan d'avoir la norme de J qui vaut pour :

  (79)

et idem avec S:

  (80)

Il y a alors trois possibilités si une des composantes est toujours nulle c'est que nous ayons:

  (81)

Ce que nous pouvons aussi écrire:

  (82)

Ce que les physiciens aiment bien représenter de manière très simplifée par le schéma suivant:

  (83)

De la même façon avec le spin nous pouvons écrire:

  (84)

Ce que les physiciens aiment aussi bien représenter de manière très simplifée par le schéma suivant:

  (85)

Nous avons donc les seuls éléments variables mesurables expérimentalement qui sont:

  et     (86)

Donc en appliquant un champ magnétique, l'hamiltonien de Pauli (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste) prendra des sauts équivalents à la relation :

  (87)

Ce résultat signifie que les niveaux d'énergie pour une énergie donnée (couche n) sont séparés en plusieurs niveaux distants de  quand l'atome est placé dans un champ magnétique. Ce résultat et l'effet Zeeman dont nous avons parlé plusieurs fois.

Tout cela permet de mieux comprendre l'origine mathématique des 4 nombres quantiques (nombre quantique principal, nombre quantique secondaire ou azimutal, nombre quantique magnétique, spin):

  (88)

notés aussi (puisque dans le cas particulier des particules étudiées sur ce site le nombre quantique magnétique de spin à la même valeur que le spin):

  (89)

COUPLAGE SPIN-ORBITE

Nous avions fait remarquer dans le chapitre de physique quantique corpusculaire que quand nous analysons à haute résolution les raies spectrales de l’hydrogène en l'absence d'un quelconque champ extérieur, nous voyons voit qu’elles sont en fait constituées de doublets très serrés, séparés de . Ce phénomène étant du à un soit disant couplage spin-orbite. Il est temps maintenant de voir d'où cela vient. Rappelons que nous avons obtenu précédemment :

  (90)

Dès lors, la norme (ce qui est mesuré) nous amène à écrire :

  (91)

ce qui nous donne après regroupement :

Le terme est appelé "couplage spin-orbite". C'est lui qui lors des mesures très précises fait apparaître un dédoublement des raies du au couplage entre le spin de l'électron et le moment cinétique orbital (ce n'est pas car ce terme est toujours positif).

Remarque: Lorsque nous avons deux corps en interaction le moment cinétique total est une constante du mouvement. Il peut donc y avoir un transfert de moment cinétique entre ces deux corps (c'est le couplage spin-orbite). L'un perd du moment l'autre en gagne. A noter qu'un corps étendu possède un moment cinétique de rotation autour d'un point et un moment cinétique de rotation sur soi-même. C'est ce dernier que nnous appelons par une analogie abusive : le spin.

L'écart mesuré est donc attribué à l’interaction du spin de l’électron avec son moment orbital. L’électron tourne autour du noyau, mais si nous nous plaçons sur l’électron nous voyons le noyau tourner (sur la Terre le soleil tourne autour de la Terre !). Tout se passe comme si le noyau créait un champ magnétique au niveau de l’électron, et ce champ interagit avec le moment magnétique de l’électron, le spin, et ceci différemment selon que le spin est dans le sens du champ ou opposé, c’est cette différence qui ajoute ou retranche un peu d’énergie au niveau.

Voici un schéma qui résume le tout :

  (92)

Montrons de fait que tel que défini, est une constante du mouvement. Nous avons (inutile de préciser qu'en mettant au carré, il s'agit des composantes du vecteur que nous mettons au carré et non le vecteur lui-même!) :

  (93)

d'où :

  (94)

Faisons le développement pour une composante :

  (95)

Or, par définition (de notation) donc :

  (96)

Or, nous savons que (car un opérateur commute toujours avec lui-même) et en ce qui concerne , nous en avons fait mention dans le chapitre de calcul spinoriel (cf. chapitre de Calcul Spinoriel) et nous le démontrerons dans le cadre de l'étude de l'équation de Dirac libre classique (cf. chapitre de Physique Quantique Relativiste), que le spin est totalement décrit par les matrices de Pauli qui sont des opérateurs linéaires. Ecrivons alors à un facteur constant près (dont nous devrons encore déterminer l'expression) :

  (97)

et nous verrons que cela est bien conforme à l'équation de Pauli que nous verrons dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste (et inversement)!!!

Donc en faisant abstraction de la constante multiplicative :

ce qui était de toute façon 100% prévisible puisque de toute façon, encore une fois, un même opérateur commute toujours avec lui-même.

Donc finalement :

  (98)

Dès lors :

  (99)

d'où finalement :

  (100)

est bien le moment cinétique total qui, même en présence d'interaction spin-orbite, est une constante du mouvement (une obligation pour un système isolé).

Remarque: Une autre manière de lire la chose consiste à dire que la mesure sur un des éléments du commutateur précédent adapte l'autre immédiatement pour que leur commutation soit nulle donc par extension le moment cinétique total est un constante du mouvement.