ntroduction HISTORIQUE

Auteur de l'introduction : Dr. Angel Brucena pour Sciences.ch

La relativité générale présente comme nous le verrons dans les détails mathématiques plus loin, un double aspect : D'une part, elle constitue une extension naturelle du principe de relativité restreinte aux systèmes accélérés. D'autre part, elle se propose comme une théorie fondamentale du champ de gravitation.

CHRONOLOGIE

Beaucoup de scientifiques et philosophes ont contribué directement ou indirectement au développement de la relativité générale qui n'est bien évidemment pas que le travail d'un seul homme (l'époque où un homme pouvait à lui seul bâtir un immense édifice théorique est depuis longtemps révolue). Par les paragraphes qui vont suivre, nous allons présenter quelques personnages célèbres placés dans le cadre de cette théorie.

LIMITES DE LA RELATIVITÉ RESTREINTE

Le principe de relativité restreinte se traduit par la covariance des lois de la physique dans une transformation de Lorentz. Il suppose l'impossibilité de déceler le mouvement rectiligne et uniforme d'un système de référence au moyen d'une expérience embarquée quelconque.

Toutefois, il est évident que ce principe de relativité ne s'étend pas aux systèmes accélérés. Le mouvement de tels systèmes (rotations, mouvements accélérés) peut toujours, en principe, être mis en évidence. Des expériences ont été réalisées à cet effet :

- Le pendule de Foucault (cf. chapitre de Mécanique Classique) : Cette expérience révèle la rotation du plan d'oscillation d'un pendule vertical. Celui-ci tournerait de 360° en 24 heures si la pendule était au pôle. Elle a été réalisée pour la première fois en public, par Foucault en 1851.

- Les expériences de Harress (1912), Sagnac (1913) et Pogany (en optique) : Si nous disposons des miroirs sur un pourtour d’un disque, deux faisceaux de lumière, issus d’une même source  et séparés par une lame semi-transparente, peuvent accomplir en sens inverse, le long du disque, deux chemins optiques égaux. Si l'on fait tourner le disque, on constate, par des mesures d’interférence, une différence entre les temps de parcours.

Les mouvements accélérés semblent donc offrir la possibilité de détecter des mouvements absolus, c'est-à-dire un "espace absolu". Une telle conclusion est en contradiction avec les bases de la relativité restreinte et les expériences Michelson-Morley qui vérifient cette théorie.

Il convient alors de remédier à cette situation. Il appartenait à Einstein d'apporter une grande partie de la solution, le chemin va être ardu et il va mettre plusieurs années pour aboutir, avec des étapes successives. Une étape essentielle va être le principe d’équivalence.

énoncé du PRINCIPE D'éQUIVALENCE

Au 17ème siècle, Newton avait admis une distinction profonde entre les "forces réelles" qui produisent des effets mesurables et les "forces fictives" qu'introduisent, par exemple, les mouvements accélérés. D'après lui, ces forces fictives comme la force centrifuge ou la force de Coriolis (cf. chapitres de Mécanique Classique ou d'Astronomie) sont dues au choix du système de référence. Dans un espace absolu, il ne subsisterait que les forces réelles.

Ces conclusions étaient fort discutées à la fin du 19ème siècle, notamment par Hertz et par Mach. Ces physiciens pensaient que tout point matériel qui ne décrit une droite d'un mouvement uniforme peut être victime d'un choix défectueux du système de référence mais peut, tout aussi bien, être soumis à des forces réelles que nous n'avons pas su détecter.

Les critiques de Mach ont influencé de façon considérable la pensée d'Einstein. Mach (1883) rejette l'existence d'un espace absolu, ou la possibilité de mouvements absolus. Selon Mach, il n'existe que des mouvements relatifs (cf. chapitre de Relativité Restreinte). Ce que décèle l’expérience de Foucault, ce n'est pas une accélération absolue mais une accélération par rapport aux autres masses de l'Univers (planètes, étoiles), masses dont on ne peut éliminer l'action. Ce que le pendule de Foucault met en évidence, ce n'est pas la rotation de la Terre par rapport à l'espace absolu (qui n’existe pas) mais par rapport à l'ensemble des masses éloignées. Mach admet implicitement une relation entre les forces de gravitation, dues à la présence des astres éloignés, et les forces d'inertie liées à la rotation de la Terre (dans l'expérience de Foucault).

Ces remarques ont été approfondies par Einstein. Elles l'ont mené, dans un premier temps, à l'énoncé du principe d'équivalence en 1907. Pour établir ce principe, il se base sur deux idées :

- La première, c'est l'identité de la masse grave et la masse inerte (voir les détails après l'introduction historique). Il faut remonter au 18ème siècle pour les premiers tests réalisés par Laplace, à travers des mesures d'attraction entre le Soleil, la Lune et la Terre.

Puis, entre 1889 et 1908, le Baron Eötvos fait un test plus précis à l'aide d'un pendule de torsion (cf. chapitre de Mécanique Classique), la précision atteinte est du nanomètre. Dans les années 1970 des expériences de Dicke et Bradinski à l'aide d'une étude précise du mouvement de la Lune arrivent à une précision de l'ordre du picomètre. Enfin l'expérience française MicroScope, prévue en 2008, qui consistera à étudier la chute libre de deux corps dans un satellite autour de la Terre, avec une précision de l'atto).

- La deuxième, c'est l'équivalence locale entre les forces d'inertie et les forces de gravitation. Einstein imagine une expérience par la pensée ("Gedankenexperiment"), connue sous le nom "d'ascenseur d'Einstein" parce qu’il met en scène un physicien qui se trouve dans un laboratoire qui est dans un ascenseur.

THEORIE NON-EUCLIDIENNE DU CHAMP DE GRAVITATION

Dès 1913, Einstein pensait que l'introduction d'un univers non euclidien était nécessaire pour la formulation mathématique de la nouvelle théorie. Cette conclusion reposait entre autres sur une généralisation des développements de la relativité restreinte qui comme nous l'avons vu, fait apparaître de manière flagrante via l'abscisse curviligne ds la métrique euclidienne dont l'interprétation peut se faire avec les résultats de la géométrie différentielle.

Historiquement, on peut schématiser la démarche d'Einstein comme suit : les forces d'inertie entraînent le caractère non-euclidien de l'univers. D'après le principe d'équivalence, force d'inertie et force de gravitation sont indiscernables. Donc, la présence d'un champ de gravitation va aussi se traduire par une structure non-euclidienne de l'Univers.

ÉQUATION D'EINSTEIN DES CHAMPS

Les phénomènes de gravitation étaient décrits, jusqu'ici de façon à peu près parfaits par la loi de Newton (cf. chapitre d'Astronomie), loi d'action instantanée à distance par une force (alors que dans la Relativité Générale elle n'est plus instantanée et ce n'est plus une force!).

Après les travaux au 19ème siècle de Faraday, de Maxwell et de Hertz en électrodynamique (cf. chapitre d'Electrodynamique), la notion d'action à distance à fait la place à la notion de champ. On substituera la loi de Newton par l’équation de Poisson (cf. chapitre d'Astronomie).

On pourrait, suivant toujours le modèle de l'électromagnétisme, chercher à "relativiser" la gravitation. C'est ce qu'Einstein tenta de faire jusqu'en 1912. Pendant ces années, il cherchait une théorie euclidienne relativiste de la gravitation.

Pour éviter l'inconvénient de la propagation instantanée de la gravitation, une modification simple de la loi de Poisson consiste à remplacer l'opérateur laplacien par son extension à 4 dimensions, le d'Alembertien (cf. chapitre d'Electrodynamique) et on obtient la loi de "Poisson relativiste" (voir plus bas les développements mathématiques).

Une telle équation de d'Alembert admet des solutions dites "aux potentiels retardés", c'est-à-dire une propagation avec une vitesse finie c du champ de gravitation. Mais cette équation n'est encore pas Lorentz invariante (cf. chapitre de Relativité Restreinte). Donc, Einstein va chercher une nouvelle voie qui va le conduire à une "nouvelle théorie", théorie non-euclidienne de la gravitation.

Einstein avait étudié la théorie de Gauss des surfaces et surtout Riemann. Il s'agit donc de transposer, dans l'espace-temps, les résultats obtenus par Riemann pour les surfaces purement spatiales : la géométrie minkowskienne non-euclidienne (modifiée par la gravitation) doit remplacer la géométrie euclidienne.

En 1912, Einstein voit le problème, mais il n'a que de vagues notions dans ce domaine des mathématiques. Il se confie à son ancien camarade du Polytechnicum de Zürich, le mathématicien Marcel Grossmann. Ainsi, Grossmann initie Einstein au calcul tensoriel. Dans une lettre adressée à Sommerfeld par Einstein :

"Je m’occupe exclusivement du problème de la gravitation, et je crois maintenant qu je surmonterai toutes les difficultés avec l’aide d’un ami mathématicien d’ici. Il y a au moins une chose certaine, c’est qu je n’avais jamais travaillé aussi dur de ma vie, et j’ai acquis un grand respect des mathématiques, dont j’avais jusqu’à présent, dans mon innocence, considéré les aspects subtils comme un luxe superflu ! A côté de ce problème, la première théorie de la relativité est un jeu d’enfant".

En 1913, Einstein et Grossmann publient un article un article sur le calcul tensoriel, et plus particulièrement sur les tenseurs de Riemann-Christoffel et de Ricci (cf. chapitre de Calcul Tensoriel), ces instruments mathématiques seront la base mathématique de la nouvelle théorie.

En Octobre 1914, Einstein écrit un article sur l'analyse tensorielle et la géométrie différentielle. Cet article permet un échange des courriers entre Einstein et Levi-Civita, dans lequel Levi –Civita corrige les erreurs d'Einstein.

En Juin 1915, Einstein va à Göttingen pour donner une série de 6 conférences (2 heures chacune). Parmi les auditeurs se trouvent, Hilbert et Klein, ils vont travailler ensemble, ce travail en équipe sera d’une grande utilité bâtir cette “nouvelle théorie ”.

Le 18 Novembre 1915 (donc grosso modo 2 ans pour élaborer la théorie), Einstein publie un article. Il calcule la trajectoire de Mercure à l’aide de la nouvelle théorie. Il trouve que sa théorie permet de calculer l'avance du périhélie de Mercure avec une grande précision. Puis, utilisant sa théorie, il calcule la courbure des rayons lumineux dans le champ de gravitation du Soleil.

Le 25 Novembre 1915, Einstein soumet l'article qui décrit les équations de champ de la gravitation ou équations d'Einstein, ces équations vont être la base de la théorie de la relativité générale.

Puis, Einstein commente cette théorie : "Quiconque a réellement compris cette théorie ne peut pas échapper à sa magie ; elle représente un vrai triomphe de la méthode de calcul différentiel général fondé par Gauss, Riemann, Christoffel, Ricci et Levi-Civita".

Le philosophes ont souligné ce point qui, selon eux, représente un triomphe sur la conception de Kant (ce dernier soutenait que les théories mathématiques se construisaient sur l'intuition pure et étaient donc, par définition, soustraites à l'expérience).

Dans un article, 5 jours avant, Hilbert utilisant le principe de Noether (cf. chapitre sur les Principes De La Mécanique) obtient des équations d'unification de l'électromagnétisme et la gravitation (mais dans la version imprimée fait référence aux équations d'Einstein).

En 1916, Karl Schwarzschild trouve une solution mathématique des équations dEinstein, il l'applique aux étoiles à neutrons, et aux trous noirs. Elles sont la base de l'astronomie actuelle.

Le 29 mai 1919, Eddington et Dyson vérifient la déviation des rayons lumineux stellaires lors de l'éclipse totale du Soleil. Ces mesures se font à Sobral (Brésil) et dans la petite île de Principe au large de la côte atlantique de l'Afrique. Les plaques photographiques confirment, la nouvelle théorie. Le 6 novembre 1919 se tient à Londres une réunion historique. L'annonce des résultats d'Eddington suscite une vive impression, les journaux britanniques présentaient une autre manchette : "Une révolution dans la science ; les idées de Newton ruinées".

L'intuition d’Einstein a réellement été fantastique : le mathématicien Elie Cartan (cf. chapitre de Calcul Spinoriel) montrera plus tard qu’à partir des hypothèses que s'étaient fixées Einstein, la seule solution mathématiquement possible était celle à laquelle il avait aboutit de façon intuitive!

dates clés

- 1851 : Léon Foucault fait une expérience qui révèle la rotation du plan d'oscillation d’une pendule vertical.
- 1883 : Ernst Mach rejette l'existence d’un espace absolu, ou la possibilité de mouvements absolus.
- 1907 : Albert Einstein énonce le Principe d’Equivalence.
- 1889-1908 : Loránd Eötvös fait une série des tests très précis sur l’identité de la masse grave et la masse inerte.
- 1913 : Albert Einstein et Marcel Grossmann publient un article un article sur le calcul tensoriel.
- 1915 : Albert Einstein soumet l’article qui décrit les équations de champ de la gravitation ou équations d'Einstein, ces équations vont être la base de la théorie de la Relativité Générale.
- 1916 : Karl Schwarzschild trouve une solution mathématique des équations d’Einstein, il l’applique aux étoiles des neutrons, et aux trous noirs.
- 1919 : Arthur Stanley Eddington et Frank Watson Dyson vérifient la déviation des rayons lumineux stellaires lors de l’éclipse total du Soleil.
- 1962 : Lev Davidovich Landau dit à propos de la théorie d’Einstein : "Je fus frappé par l'invraisemblable beauté de la relativité généralisée"

PERSPECTIVES/TENDANCES

Alors, qu'à partir de la fin des années 1920, la relativité générale cesse d'être un sujet d'actualité pour physiciens. C'est à partir des 1960, qu’il y a une véritable renaissance. Nous allons voir quelques expériences importantes :

- Ralentissement dans les horloges : L'étude de ce phénomène dans un champ de gravitation a été réalisée par Pound et Rebka de l’Université de Harvard. Ils vont observer les différences de longueur d'onde émises par deux sources à des altitudes différentes de la tour du Jefferson Building de Harvard. Lé décalage prévu par la théorie, est conforme à la mesure. D'autres mesures de décalage des horloges se font en 1971 avec des horloges atomiques, puis en 2007 dans la Station Spatiale Internationale.

Puis son application dans les horloges atomiques du GPS (Global Positioning System), car les horloges subissent des effets relativistes. Le plus important décalage (45.8 microsecondes par jour) est lié, à la différence entre la valeur du champ de gravitation dans des satellites (20'000 [km]) et le champ de gravitation sur la Terre. Si ce décalage n’était pris en compte, il aurait une erreur sur la position, délivrée par les récepteurs GPS de 10 km par jour!

- Lentilles ou mirages gravitationnels : On appelle lentilles gravitationnelles des Masses M (tel le Soleil) dont le champ de gravitation dévie les trajectoires des photons passant en leur entourage. C'est en 1979 que cet effet a été détecté, grâce aux quasars que sont des sources à la fois lointaines et très brillantes.

- Les pulsars, étoiles à neutron (cf. chapitre Astrophysique) : Les étoiles à neutron, prévues théoriquement dés 1939, sont des objets de densités énormes, produisant, par conséquent, une très importante courbure de l’espace-temps. On a découvert à partir 1974, des pulsars, Taylor et ses collaborateurs ont pu déterminer les masses et les dimensions de l’orbite, en utilisant la relativité générale.

SYNTHÈSE

Dans cette théorie de la relativité générale, l'effet d'un corps pesant n'est donc pas de créer des actions spécifiques à distance, mais de courber l'univers en son voisinage. Dans cet univers courbe créé par le corps pesant, un corps n’est soumis à aucune force. il est donc "libre".

Dans la première figure, nous avons le modèle de gravitation de Newton, une particule P est soumise aux forces créées par le corps central S. Dans le deuxième figure, il y a le modèle de gravitation de Einstein, une particule P se meut librement dans l'espace courbé par le corps central S.

Dans ces conditions, ce corps qui se meut librement décrira les lignes "les plus droites" de cet univers, les géodésiques de cet espace (grands cercles d’une sphère par exemple). Dire qu'un point est soumis à des forces de gravitation dans un espace euclidien revient à postuler que ces trajectoires non-euclidiennes sont les géodésiques de cet univers courbe créé par une masses pesante en son voisinage

Comme nous l'avons vu, la relativité restreinte est une réussite remarquable sur le point de vue théorique aussi bien que sur le point de vue pratique. Cependant, celle-ci s'applique aux repères euclidiens seulement et aux référentiels inertiels/galiléens (à vitesse constante pour rappel... ). Il convient donc de généraliser l'ensemble de la mécanique d'abord en exprimant ses principes et ses résultats fondamentaux sous une forme généralisée indépendante du type de systèmes de coordonnées choisi (in extenso : du type d'espace) en faisant usage du calcul tensoriel et de prendre en compte les systèmes non inertiels.

Il convient de prendre en compte aussi que le fait que la relativité restreinte ne s'applique qu'aux référentiels galiléens est restrictif car toute masse crée un champ gravitationnel dont la portée est infinie. Pour pouvoir trouver un vrai référentiel galiléen il est donc nécessaire de se situer infiniment loin de toute masse. La mécanique relativiste bâtie à partir de la relativité restreinte ne constitue donc qu’une approximation des lois de la nature, dans le cas où les champs gravitationnels ou les accélérations sont suffisamment faibles.

C'est ici qu'encore une fois qu''intervient Albert Einstein .

POSTULATs et principes

Effectivement, Einstein croyait à une physique ne devant privilégier aucun référentiel puisque telle était à ses yeux la réalité de l'Univers (nous en avons déjà fait mention). Mais comment se soustraire alors au phénomène d'accélération. L'idée géniale fut d'énoncer le "postulat d'équivalence" suivant (qui encore aujourd'hui au début du 21ème siècle n'est toujours pas mis en défaut par les expériences récentes) en plus du postulat d'invariance et du principe cosmologique que nous avons énoncé dans le chapitre de relativité restreinte :

POSTULAT D'éQUIVALENCE

Dans un premier temps, Albert Einstein va améliore le postulat d'équivalence dont les versions les plus anciennes sont due à Galilée et Newton :

Postulat : L'accélération (uniforme!) d'une masse (hors champ gravitationnel) due à l'application d'une force mécanique et l'accélération de cette même masse soumis à un champ gravitationnel (uniforme!) sont supposées parfaitement équivalentes. Ainsi, les résultats des analyses mathématiques dans un cas, peut s'appliquer dans l'autre (déjà là c'est fort mais cohérent... l'idée est très très bonne encore fallait-il l'avoir...!)

Autrement dit, le champ de gravité possède une propriété fondamentale qui le distingue de tous les autres champs connus dans la nature : le mouvement de chute libre des corps est universel, indépendant de la masse et de la composition des corps.

Corollaire : La masse au repos d'un corps doit alors être la même lorsqu'elle est mesurée dans le référentiel dans un champ gravitationnel ou hors champ gravitationnel (nous parlons alors de masse inertielle et de masse pesante comme nous l'avons vu au tout début de notre étude de la mécanique classique).

Remarque: Il faut bien prendre garde et vérifier que le corollaire du postulat d'équivalence soit vrai sinon toute la relativité générale s'écroulerait (en ce début de 21ème siècle des expériences sont toujours en cours pour essayer de mettre à défaut cette équivalence)!

In extenso, tout champ de graviation statique et uniforme est équivalent à un référentiel accéléré dans le vide. Nous pouvons physiquement considérer que tout champ de gravitation comme statique et uniforme dans une régions assez petite de l'espace et pendant un lapse de temps assez court pour éviter les effets de marée. Nous sommes donc amenés à poser le "principe d'équivalence faible" (PEF) : En tout événement de l'espace-temps dans un champ de gravitation arbitraire, nous pouvons choisir un référentiel dit "localement inertiel" tel que dans un voisinage de l'événement en question le mouvement libre de tous les corps (qui sont donc aussi dans le champ de gravité) soit rectiligne et uniforme.

Si nous mettons expérimentalement en défaut PEF, alours nous mettons en défaut le principe d'équivalence lui-même... ce qui n'a jamais pu être fait en laboratoire à ce jour!

Remarque: Le concept de localité est très important car il n'existe pas naturellement de champ de gravité uniforme. Par exemple, sur Terre, deux corps ponctuels distants d'une certaine longueur lâchés d'une certaine hauteur tomberont au sol avec une distance plus courte que la distance qui les separaient au moment où ils ont été lachés. C'est ce que nous appelons en physique les "effets de marée" : le champ gravitationnel n'est jamais uniforme (dans la nature en tout cas...).

Donc le principe d'équivalence (qui inclut le principe d'équivalence faible) affirme finalement que la force de Newton :

  (1)

et celle de la gravitation selon la forme de la loi de Newton-Poisson (cf. chapitre d'Astronomie) :

  (2)

sont équivalentes telles que la masse inerte égale la masse pesante et l'accélération égale la pesanteur et qu'il n'est pas possible de distinguer les deux :

  (3)

  (4)

En quoi ce postulat permet-t-il de résoudre toutes les difficultés alors ? C'est simple ! L'idée est la suivante :

Lorsque nous allons considérer un corps en accélération, nous allons d'abord toujours assimiler celle-ci à l'accélération due à la chute dans un champ gravitationnel (de par l'application du principe d'équivalence). Ensuite, nous allons supposer, et devrons le vérifier (démonstration plus bas) en retrouvant la loi de Newton, que l'accélération due à ce champ gravitationnel n'est pas due au champ lui même mais à la géométrie de l'espace déformée par la présence de la masse (in extenso l'énergie) qui crée le champ gravitationnel. Ainsi, l'objet n'est plus en "chute libre" mais sera vu comme glissant sur la trame spatiale déformée pour acquérir ainsi son accélération.

Au fait, l'enjeu est double :

1. Si le calcul tensoriel permet d'exprimer les lois de la mécanique classique et relativiste restreinte dans n'importe quel système de coordonnées, il est alors possible de voir comment le système de coordonnées (la métrique) agit sur l'expression des lois de l'Univers (Albert Einstein ne le savait pas tant qu'il n'avait pas terminé ces calculs mais le pressentait) !

2. Si l'expression tensorielle naturelle des lois de la mécanique fait apparaître le glissement (in extenso l'accélération) sur la trame spatiale suivant la métrique (locale) considérée, alors le pari est gagné et alors l'accélération peut être vue comme un effet dont la cause est purement géométrique.

Ainsi, l'extension de la relativité restreinte ne se fait plus en prenant en compte les systèmes non inertiels mais la géométrie du système!! Nous pouvons (et arrivons!) ainsi à contourner le problème initial et le pire... c'est que cela marche!!!!

Exemple:

Supposons que deux fusées, que nous nommerons A et B, se trouvent dans une région de l'espace éloignée de toute masse. Leurs moteurs sont arrêtés ce qui se traduit physiquement par un mouvement rectiligne uniforme. Dans chaque fusée, des physiciens réalisent des expériences de mécanique avec des objets dont ils connaissent la masse inerte. Soudain, le moteur de la fusée AA les lois de la mécanique sont alors les mêmes que celles que l'on observe dans un champ gravitationnel. Ils sont donc logiquement amenés à interpréter la force d’inertie comme la manifestation d’un champ gravitationnel. A l'aide d'une balance, ils peuvent alors peser leurs objets et leur attribuer une masse gravitationnelle. démarre et lui communique une accélération dont l'effet ressenti à l'intérieur du vaisseau spatial est une force d'inertie qui plaque les objets vers le plancher. Pour les physiciens de la fusée

Supposons que les physiciens de la fusée B puissent observer ce qui se passe dans la fusée A. Ils savent que ce que leurs collègues interprètent comme le poids des objets n'est en fait qu'une force d’inertie. La force d'inertie étant proportionnelle à l’accélération et à la masse inerte. Si la masse gravitationnelle était différente de la masse inerte les physiciens de la fusée A pourraient distinguer les effets des forces d'inertie de ceux d’un champ de gravitation car les masses mesurées seraient distinctes. Or, nous savons que la masse inerte et la masse gravitationnelle sont équivalentes (principe d’équivalence galiléen). Il s'ensuit que les physiciens de la fusée A n'ont aucun moyen de faire la différence entre des forces d’inertie résultant d’un mouvement accéléré de leur vaisseau spatial et les forces d’attraction gravitationnelles.

Il faut toutefois tempérer les conclusions de cette expérience : les vrais champs de gravitation se distinguent d’un référentiel accéléré dans la mesure où l'accélération gravitationnelle varie avec la distance qui sépare les corps alors que dans un référentiel accéléré, l'accélération est identique en tout point de l’espace. Cependant, localement, un champ gravitationnel et un référentiel accéléré ne peuvent être différenciés.

Nous sommes donc amenés à énoncer le "principe d'équivalence d'Einstein" (PEE) tel que l'a fait Einstein : localement, toutes les lois de la physique sont les mêmes dans un champ gravitationnel et dans un référentiel uniformément accéléré.

Ceci à une conséquence : Si la masse (qui est équivalent à de l'énergie comme nous l'avons vu en relativité restreinte) d'un objet n'est pas différenciable que nous soyons dans un champ gravitationnel ou dans un référentiel uniformément accéléré c'est que tous les types d'énergie (énergie de cohésien nucléaire, énergie électrostatique, énergie gravifique propre de l'objet, etc.) de cet objet ne sont pas différenciables. Donc les lois de la relativité restreinte sont valables quelque soit le référentiel considéré!

Si les lois ne sont pas les mêmes, alors PEE est mis à défaut, donc in extenso PEF aussi et plus généralement le principe d'équivalence dans sa généralité mais ceci n'est encore jamais arrivé expérimentalement.

Remarque: De par le PEF il est intéressant de constater que le champ gravitationnel agit aussi sur l'énergie potentielle gravitationnelle des autres corps. Nous disons alors que le champ gravitationnel est un "champ couplé".

Etant donné qu'en relativité générale, le champ gravitationnel est censé être décrit par la métrique , nous pouvons voir un référentiel localement inertiel comme un système de coordonnées de l'espace-temps dans lequel la métrique devient plate (pseudo-riemannienne) :

  (5)

de telles coordonnées sont appelées "coordonnées normales de Riemann". Un tel système de coordonnées existe toujours, ce qui traduit l'existence, pour tout champ gravitationnel, de référentiel localement inertiels!

PRINCIPE DE MACH

Si le principe d’équivalence met en évidence l'égalité des masses inerte et gravitationnelle, il ne nous éclaire pas sur la nature de ces deux masses. Finalement, que sont les masses inerte et gravitationnelle ?

La nature profonde de la masse inerte devrait nous renseigner sur celle de l’inertie elle-même. L’inertie se manifeste sous une forme passive - le principe d'inertie - et une forme active - la seconde loi de Newton. D'une manière générale, elle exprime un comportement universel des corps à résister au changement du mouvement. Or nous savons que le mouvement inertiel est relatif c'est-à-dire qu'il n'existe aucun référentiel absolu. En est-il de même du mouvement accéléré ? Considérons, pour illustrer cette interrogation, une fusée dans laquelle se trouve un physicien et réalisons deux expériences :

- Première expérience. La fusée accélère : le physicien est soumis à une force d'inertie orientée dans la direction opposée à celle de l’accélération.

- Deuxième expérience. Maintenant supposons que l'on imprime à l’ensemble de l'Univers - à l’exception de la fusée qui se déplace selon un mouvement inertiel - une accélération exactement opposée à celle de la fusée lors de l’expérience précédente.

Si le mouvement accéléré est relatif alors, pour un observateur, il n'est pas possible de distinguer les deux expériences. Notamment, le physicien situé à l’intérieur de la fusée doit observer l’apparition d’une force d’inertie absolument identique à celle qu’il a notée lors de la première expérience. La masse inerte trouverait alors son origine dans les interactions de la masse gravitationnelle des corps avec l'ensemble des masses gravitationnelles de l'Univers ! Selon Ernst Mach, un physicien et philosophe du 19ème siècle, le mouvement quel qu'il soit, inertiel ou accéléré, serait relatif.

Cette théorie fut baptisée par Einstein "principe de Mach". Jusqu’à ce jour, le principe de Mach n'a pas été confirmé, mais pas davantage infirmé. Il est vrai que sa vérification expérimentale dépasse de beaucoup les capacités humaines !

Tout se passe comme si en déplaçant toutes les masses de l'Univers, celles-ci entraînaient avec elles les objets se trouvant dans la fusée, dont le physicien qui ressent alors une force qui le tire dans le même sens que l’accélération appliquée aux étoiles.

MÉTRIQUES

Einstein supposa donc que la gravitation n'était que la manifestation de déformations de l’espace-temps. Pour tenter d’illustrer de façon simpliste mais très imagée l’idée d’Einstein, considérons une roue dentée roulant à vitesse constante (disons une dent à la seconde) sur une crémaillère. Imaginons que nous ayons le pouvoir de modifier simultanément le pas de la crémaillère et celui de la roue quand et où nous le désirons. Faisons alors en sorte que le pas de la crémaillère augmente légèrement d’une dent à l’autre. Pour des observateurs fixes la roue est alors animée d’un mouvement uniformément accéléré car, en effet, à chaque tour celle-ci parcourt une distance toujours plus grande. En revanche, si l'on choisit la crémaillère comme référentiel et le pas de celle-ci comme étalon de mesure, le mouvement de la roue est alors uniforme (une dent par seconde). L'accélération de la roue est la conséquence de l'augmentation du pas de la crémaillère.

Poursuivons l'analogie : le pas de la crémaillère joue le rôle d'étalon de mesure local dans notre espace à une dimension que constitue la crémaillère. En géométrie, il porte le nom de "métrique". La métrique est ce qui permet de déterminer la distance entre deux points, elle représente en quelque sorte l'étalon infinitésimal d’un espace. En géométrie euclidienne la métrique est une constante ce qui nous permet de créer des étalons de mesure universels. Bernhard Riemann, inventa une géométrie où la métrique peut varier d'un point à un autre de l'espace, ce qui lui permit de décrire des espaces courbes comme la surface d’une sphère par exemple (cf. chapitre de Géométries Non-Euclidiennes).

Lors de notre étude du calcul tensoriel, des géométries non-euclidiennes et de la géométrie différentielle, nous avons vu que la mesure de la distance ds entre deux points positionnés dans un espace à deux ou trois dimensions peut s'effectuer au moyen d'un grand nombre de système de coordonnées par "l'équation métrique" (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :

  (6)

Exemples:

E1. Les coordonnées rectangulaires (dans ) :

  (7)

Si la distance au carré satisfait à cette relation alors nous sommes dans un espace plat (cf. chapitre de Géométries Non-Euclidiennes).

E2. Les coordonnées polaires (dans ) :

  (8)

d'où:

  (9)

d'où:

  (10)

Si la distance au carré satisfait à cette relation alors nous sommes dans un espace plat (cf. chapitre de Géométries Non-Euclidiennes).

E3. Les coordonnées cylindriques pour lesquelles nous avons :

  (11)

à remplacer dans  nous obtenons de façon quasiment identique à précédemment:

  (12)

Si la distance au carré satisfait à cette relation alors nous sommes dans un espace plat (cf. chapitre de Géométries Non-Euclidiennes).

E4. Les coordonnées sphériques (dans ) pour lesquelles nous avons :

  (13)

à remplacer dans  nous obtenons :

  (14)

Petit rappel préalable:

  (15)

Donc:

  (16)

Après un première série de mise en commun et de simplifications élémentaires des termes identiques, nous obtenons:

  (17)

Si la distance au carré satisfait à cette relation alors nous sommes dans un espace courbe (de type sphérique) mais qui localement peut être plat (cf. chapitre de Géométries Non-Euclidiennes).

Jusque là, vous vous demandez peut-être où nous voulons en venir. Au fait, nous cherchons à définir à partir des ces relations, un être mathématique qui en concordance avec l'hypothèse d'Einstein, exprime les propriétés géométriques d'espaces donnés.

Comment allons nous faire? : Nous allons d'abord changer d'écriture tout simplement. Au lieu d'utiliser les symboles  nous allons écrire . Attention! Les chiffres en suffixes ne sont pas des puissances. Ce sont des valeurs muettes qui sont là uniquement pour symboliser la x-ième coordonnée d'un repère donné.

Ecrivons maintenant à nouveau nos équations métrique avec cette nouvelle notation :

- Coordonnées rectangulaires: 

  (18)

- Coordonnées polaires: 

  (19)

- Coordonnées cylindriques: 

  (20)

- Coordonnées sphériques: 

  (21)

Maintenant rappelons encore une fois que le "tenseur métrique" (nommé ainsi car il étalonne l'espace-temps) noté :

  (22)

intervient dans l'équation métrique de la manière suivante :

  (23)

et remarquez que les composantes de la matrice sont sans dimensions aussi.

Cet être mathématique qui est un tenseur contient donc les paramètres de la courbure (nous disons parfois aussi de la "contrainte" ou de la "tension") dans lequel un espace se trouve. Mais alors que contient le tenseur métrique d'espace-temps pour un espace euclidien plat?:

Selon la convention d'écriture de sommation d'Einstein (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) par exemple, pour  nous avons:

  (24)

Donc si nous revenons à notre tenseur pour l'espace euclidien plat nous savons déjà (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) que m et n vont de 1 à 3 et que nous avons dans notre tenseur  pour  et  pour (tenseur symétrique). Donc:

    (25)

Ainsi :

  (26)

Ce résultat est remarquable car le tenseur métrique va nous permettre donc de définir les propriétés d'un espace à partir d'un simple être mathématique facilement manipulable formellement.

En coordonnées polaires le tenseur  s'écrit:

   (27)

Vérification:

  (28)

 En coordonnées cylindriques le tenseur  s'écrit:

  (29)

La vérification ne se fait même plus tellement le résultant est évident.

En coordonnées sphériques le tenseur  est un peu plus complexe et s'écrit:

  (30)

La vérification ne se fait même plus tellement le résultant est évident.

En relativité restreinte, nous avons vu que les notions d'espace et de temps étaient implicitement liées. Ainsi, pour étudier la physique (cela intéresse peu le mathématicien), nous avons besoin d'ajouter à notre tenseur métrique la composante du temps pour obtenir ce que nous appelons le "tenseur métrique d'espace-temps".

Pour déterminer l'écriture de ce tenseur, nous allons nous placer dans un premier temps nous placer dans un espace de Minkowski où nous avions rappellons-le (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

  (31)

Ainsi, en posant:

  (32)

Nous avons:

  (33)

avec la "signature" :

  (34)

Remarque: Pour tous les tenseurs métriques que nous avons déterminé avant, si nous les exprimons dans l'espace-temps (donc en rajoutant le temps), les composantes spatiales ont toutes un signe négatif!

Nous verrons par la suite d'autres métriques beaucoup moins intuitives une fois que nous aurons démontré bien plus loin l'équation d'Einstein des champs.

CRITÈRE DE SCHILD

Nous allons maintenant montrer que pour étudier la gravitation, la géométrie courbe est nécessaire après quoi (il nous faudra démontrer l'équation des géodésiques avant!) nous montrerons qu'elle est également suffisante. Nous verrons que la gravitation telle qu'elle est formulée en mécanique newtonienne est entièrement descriptible à partir d'une formulation de courbure de l'espace-temps.

Imaginons d'abord une tour d'une très grande hauteur h construite à la surface de la Terre. Un homme A se trouve au pied de la tour, et envoie un signal de pulsation à son collègue B situé en haut de la tout. Il se trouve que la pulsation de l'onde reçue par B diffère de :

  (35)

où . Ce décalage des pulsations (respectivement fréquences) dans un champ gravitationnel est ce que nous appelons "l'effet Einstein", ou encore "redshift gravitationnel".

Nous allons démontrer cette relation à l'aide d'argument classiques et connus maintenant.

Un corps matériel envoyé du sol vers le ciel doit lutter contre la force de gravitation qui l'attire vers le bas. Il perdra donc une certaine quantité d'énergie, équivalent à l'énergie potentielle gravitationnelle gagnée durant le trajet. L'énergie du corps au niveau du sol est donc son énergie de masse à laquelle s'ajoute l'énergie potentielle à la hauteur de la tour :

  (36)

L'énergie de ce corps une fois arrivé en haut de la tour est simplement son énergie de masse :

  (37)

car il a dû dépenser la quantité d'énergie mgh durant le trajet. Le rapport des énergies est alors :

  (38)

Ce rapport étant indépendant de la masse, on peut prendre la limite afin d'avoir la relation pour le photon. Nous obtenons alors :

  (39)

Nous allons maintenant étudier ce phénomène dans le cadre de l'espace-temps de Minkowski. Nous verrons apparaître un contradiction, ce qui motivera le passage vers un espace-temps de courbe : c'est l'argument en faveur d'une géométrie courbe qui a été utilisé par Schild.

Considérons à nouveau le schéma d'expérience de l'homme A qui envoie une onde vers son ami B. Soit le temps mis par A pour émettre exactement 1 cycle de l'onde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) :

  (40)

et le temps mis par B pour recevoir ce cycle :

  (41)

A cause de l'effet Einstein, nous savons que et donc en temps propre !

Mais comme nous sommes en géométrie plate et que le champ gravitationnel est supposé statique, nous en déduisons que les trajectoires d'espace-temps décrites par les signaux doivent être parallèles. Ceci mène à la conclusion que l'intervalle de temps propre serait (selon la relativité restreinte).

Si nous optons pour un espace courbe, nous pouvons préserver la relation , c'est-à-dire le fait que le temps avance plus lentement pour A que pour B. Ceci se traduit simplement par le fait qu'en géométrie courbe, le temps propre (!) d'un observateur dépend de la métrique.

Les mêmes développements peuvent être fait en assimilant l'expérience précédente à un train qui se déplace avec une accélération constante g. L'observateur A se trouve dans le compartiment arrière (équivalent au sol de la Terre dans l'expérience précédente) et envoie une onde à son collègue B situé à l'avant du train (à une distance h).

L'observateur B reçoit l'onde après un temps . Durant ce laps de temps, le train a accéléré, et sa vitesse a augmenté d'une valeur . Par conséquent, l'onde perçue par B sera altérée par l'effet Doppler conventionnel (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) :

  (42)

Nous retrouvons le résultat initial de l'effet Einstein en écrivant simplement :

  (43)

ce qui donne glorieusement :

  (44)

Nous retrouvons plus souvent cette relation sous la forme ci-dessous dans la littérature en utilisant les relations entre pulsation et fréquence et la force de gravitation de Newton pour expliciter g :

  (45)

Le même résultat peut être obtenu en utilisant la métrique de Schwarzschild (voir plus loin) d'où le nom de cet effet qui peut aussi être obtenu à partir des outils de la relativité générale d'Einstein. Nous démontrerons simplement plus tard à l'aide de cette métrique que le temps s'écoule effectivement moins vite dans un champ gravitationnel (hypothèse que nous avons fait quelques paragraphes plus haut).

Nous voyons dans tous les cas que  puisque le terme de droite est positif et non nul. Cela signifie simplement que l'onde électromagnétique en analogie au spectre des couleurs se décale vers le rouge. Ainsi, l'effet Einstein est bien un redshift gravitationnel.

La différence de fréquence est très faible et par conséquent difficilement mesurable même avec les meilleurs spectroscopes. La moindre perturbation peut totalement masquer l'effet Einstein. Il faudra véritablement attendre 1960 pour que l'expérience de Pound et Rebka permette de mesurer un décalage de fréquences avec une précision de 1% ne laissant dès lors plus aucun doute quant à la réalité du phénomène.

ÉQUATIONS DU MOUVEMENT

Nous allons démontrer ici que l'équation du mouvement d'une particule libre est constant le long de sa ligne d'Univers en nous limitant d'abord dans un espace plat (de type Minkowski). Après quoi, nous généraliserons ce résultat à tout type d'espace en utilisant un développement simple, pour montrer de manière évidente que l'équation de mouvement est indépendant de la masse et suit la courbure de l'espace !!! Enfin, nous présenterons une deuxième démonstration dans tout d'espace en utilisant le principe variationnel.

Commencons donc par démontrer l'équation du mouvement d'une particule libre dans un espace plat

Lors de notre étude de la relativité restreinte, nous avons démontré le lagrangien relativiste d'une particule libre donné par (attention! la notation m est celle de la masse au repos de la particule conformément à ce que nous avons montré dans le chapitre de relativité restreinte !!!) :

  (46)

et pour cela nous étions parti de l'action (hypothétique) :

  (47)

et nous étions arrivé à écrire :

  (48)

Maintenant, montrons quelque chose d'intéressant. Rappelons que pour l'espace-temps de Minkowski nous avons obtenu :

  (49)

en nous restreignant à une seule dimension spatiale, nous obtenons comme relation :

  (50)

et alors… eh bien voilà au fait, si nous posons :

  (51)

nous avons finalement :

  (52)

nous retrouvons donc la même action à partir d'une forme plus générale (pure) de l'action qui est (résultat que nous avions aussi démontré dans le chapitre d'électrodynamique).!!

Dans un espace sans champ de potentiel, nous avons vu en mécanique analytique que le lagrangien se réduit à la simple expression de l'énergie cinétique tel que:

  (53)

si nous souhaitons généraliser cette relation pour qu'elle soit valable dans n'import que type d'espace (courbe ou plat), il nous faut introduire les coordonnées curvilignes telles que nous les avons étudiées en calcul tensoriel (cf. chapitre de Calcul Tensoriel).

Dans un premier temps, cela donne:

  (54)

où rappelons-le ds est l'abscisse curviligne de la trajectoire.

Et nous avons démontré en calcul tensoriel que:

  (55)

Cette dernière relation s'écrit dans le contexte de la mécanique relativiste sous manière plus standard :

  (56)

t est une paramètre qui correspond en mécanique au temps propre de la particule et qui dans la littérature relativiste est souvent notée.

Avant de nous intéresser aux espaces courbes décrits par la métrique (ce que nous ferons lors de notre démonstration du lagrangien libre généralisé), restreignons nous à l'espace euclidien avec la métrique (ce sera un bon exercice pour bien comprendre) :

  (57)

que nous noterons pour la différencier des autres (car plus souvent utilisée). Nous avons finalement dans l'espace l'euclidien :

  (58)

maintenant, appliquons le principe variationnel :

  (59)

La variation de ds peut être trouvée plus simplement par la variation de :

  (60)

nous trouvons :

  (61)

Le facteur "2" provient du fait que par symétrie de l'espace euclidien, les variations de et sont égales.

Remarque: Comme nous le verrons après, cette relation de ne sera plus identique lorsque nous traiterons des espaces courbes.

En simplifiant un peu, nous obtenons :

  (62)

Ce qui est équivalent à écrire :

  (63)

Nous pouvons maintenant revenir à l'action :

  (64)

Nous récrivons l'intégrale précédente (ce sera plus simple à traiter) :

  (65)

Effectivement, vérifions que cette forme est bien équivalente :

  (66)

Donc revenons à notre intégrale :

  (67)

Nous avons donc deux intégrales qu'il va être un peu plus simple à analyser. La première intégrale :

  (68)

donne simplement une expression évaluée aux extrémités temporelles . Dès lors, comme la valeur de est parfaitement connues aux extrémités temporelles, le variationnel est nulle aux deux bornes et cette intégrale est nulle.

Il nous reste alors plus que l'intégrale :

  (69)

Donc pour que le principe variationnel soit respecté, il faut que nous ayons :

  (70)

Or, nous pouvons récrire une partie de cette expression. Effectivement, nous avons :

  (71)

Rappelons par ailleurs que nous avons démontré plus haut que :

  (72)

et que nous avons :

  (73)

Donc :

  (74)

Maintenant, rappelons que lors de notre étude de la relativité restreinte nous avons démontré le cheminement qui nous amenait à définir le quadri-vecteur d'énergie impulsion :

  (75)

Donc finalement, ce qui annule le variationnel de l'intégrale d'action peut s'écrire :

  (76)

Nous retrouvons donc l'équation de conservation de la quantité de mouvement (conservation de l'impulsion) que nous appelons dans le cadre de la relativité générale "équation du mouvement". Cette forme de l'équation de mouvement semble dépendante de la masse mais en fouillant un peu, nous verrons qu'il n'en est rien.

En multipliant cette relation par nous pouvons aussi écrire :

  (77)

et de même pour une autre observateur :

  (78)

En d'autres termes, l'impulsion de la particule reste constante sur toute sa ligne d'Univers.

Mais nous pouvons aussi écrire :

  (79)

donc :

  (80)

Une forme plus importante encore de l'équation de mouvement peut-être obtenue. Effectivement :

  (81)

alors :

  (82)

cette relation est donc la forme "sans masse" de l'équation de mouvement dans un espace euclidien ou autrement dit, dans un espace-temps de type Minkowski. Autrement dit, il existe donc un système de coordonnées en chute libre dans lequel le mouvement de la particule est celle d'un déplacement uniforme dans l'espace-temps.

Il sera très intéressant de la comparer avec l'équation de mouvement dans un espace courbe que nous verrons plus loin (appelée "équation des géodésiques").

Remarque: Il est équivalent d'écrire les relation des équations de mouvement par rapport à l'abscisse curviligne propre ds ou au temps propre dt.

Nous pouvons maintenant montrer que l'équation du mouvement, au même titre que l'équation des géodésiques que nous verrons de suite après, est invariante par transformation de Lorentz :

  (83)

Maintenant, voyons une forme plus générale de l'équation du mouvement pour tout type d'espace. L'objectif ici, est de mettre en évidence, et ce en quelques lignes de calculs, que le mouvement suivie par une particule libre est indépendant de sa masse (vous pouvez déjà anticiper sur l'interprétation de la trajectoire d'un photon dans un espace courbe...!).

Nous avons démontré en calcul tensoriel (et précédemment) que:

  (84)

ce qui donne pour le lagrangien généralisé d'une particule libre avec (nous retrouvons bien l'expression générale de l'énergie cinétique) :

  (85)

où t est le temps propre de la particule, c'est un invariant !

Remarque: Cette relation est appelée "lagrangien géodésique" par certains auteurs.

Rappel : Le temps propre est une sorte d'horloge imaginaire qui voyage sur la particule et quelque soient les observateurs qui regardent l'horloge, ils seront mathématiquement d'accord sur la valeur de l'intervalle de temps entre deux "TIC" de l'horloge.

Ce qui nous permet d'écrire (attention il faut bien se rappeler des différentes relations que nous avions déterminées lors de notre étude du formalisme lagrangien dans le chapitre traitant des principes de mécanique analytique):

  (86)

Remarque: L'élimination du facteur 1/2 du Lagrangien provient de la symétrie du tenseur métrique. Si ce dernier n'est pas symétrique, nous pouvons toujours le caractériser par un tenseur qu'il l'est.

Effectivement, soit  un vecteur de coordonnées  et soit :

  (87)

Les  ne sont pas symétriques a priori, mais nous pouvons écrire :

  (88)

Nous posons ensuite :

  (89)

Donc :

  (90)

et les sont symétriques.

La forme quadratique q peut donc toujours s'écrire avec une matrice symétrique, il y a même bijection. La conclusion étant qu'un tenseur métrique doit etre symétrique si l'on veut le cactériser par la forme quadratique qu'il définit.

L'interlude mathématique étant terminé, continuons notre développement physique. Par conséquence de la dernière relation l'expression de l'Hamiltonien devient bien évidemment:

  (91)

puisque nous considérons être dans un espace sans champ de potentiel. Le carré de la vitesse étant dès lors constant sur toute la trajectoire, nous avons:

  (92)

Etablissons maintenant les équations du mouvement de tout corps. Nous avons :

     et      (93)

et comme :

  (94)

alors :

  (95)

d'où :

  (96)

en mettant en commun :

  (97)

que nous pouvons écrire identiquement pour les  en procédant de façon identique à ci-dessus.

La relation précédente donne donc la trajectoire d'un corps en mouvement, dans un espace sans champ de potentiel, en fonction de ses coordonnées curvilignes et de la métrique de l'espace considéré.

Ce qui est particulièrement intéressant dans ce résultat, c'est que la masse m (à nouveau) s'élimine identiquement dans cette équation du mouvement :

  (98)

Remarquez, que nous aurions pu utiliser aussi une autre paramètre invariant que le temps propre tel que l'abscisse curvilinge ds. Dès lors l'équation précédent s'écrirait :

  (99)

Nous pouvons encore simplifier cette relation mais nous garderons cette simplification pour la deuxième démonstration de l'équation du mouvement dans un espace quelconque (en faisant usage du principe variationnel cette fois) juste après.

Il est très (très) intéressant d'observer que si nous restreignons la métrique à un espace euclidien :

  (100)

avec :

  (101)

Nous obtenons alors la simplification :

  (102)

Nous retrouvons donc le première équation du mouvement obtenue pour un espace plat! Le résultat est donc remarquable !

Conclusion : Aux mêmes conditions initiales de position et de vitesse curvilignes dans un espace (plat ou courbe) sans champ de potentiel (c'est ce que nous pourrions penser du moins selon nos hypothèse initiales...), correspond la même trajectoire quelle que soit la masse m de la particule (même pour les photons – la lumière – dont la masse est nulle !!).

Nous pouvons maintenant étudier le principe de moindre action dans le but de rechercher le plus court chemin (aussi bien au niveau spatial que temporel) entre deux points dans un espace de géométrie donnée avant de s'attaquer au cas beaucoup plus complexe du lagrangien qui prend en compte le tenseur des champs...

ÉQUATION DES GÉODÉSIQUES

Intéressons-nous maintenant à obtenir le même résultat mais en faisant usage cette fois-ci du principe variationnel. Nous retomberons sur la même équation que précédemment pour tout type d'espace à la différence que cette fois-ci, nous prendrons la peine de la simplifier pour arriver à "l'équation des géodésiques".

En partant de (voir développements précédents) :

  (103)

avec une paramétrisation telle que  et  sont fonction d'une paramètre temporel ou spatial.

Pour une surface donnée paramétriquement, nous cherchons donc à minimiser la longueur d'un arc  ds en appliquant donc le principe variationnel (non dépendant du temps car les photons ne peuvent avoir un chemin plus rapide (au sens temporel du terme entre deux points mais uniquement un chemin plus court - au sens métrique du terme):

  (104)

Or:

  (105)

En développant, et comme les indices ont le même domaine de variation:

  (106)

d'où:

  (107)

En  travaillant sur la seconde intégrale, nous posons:

 et   (108)

Donc par l'intégration par partie (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

  (109)

il vient:

  (110)

Soit finalement:

  (111)

Le terme non intégré ci-dessous est négligeable à cause de la présence du facteur :

  (112)

Donc nous avons:

  (113)

Nous effectuons un changement d'indice:

  (114)

ce qui nous permet de factoriser  :

  (115)

Comme  et  sont différents de zéro, c'est l'intégrant qui doit être nul:

  (116)

En développant le second terme:

  (117)

Qui s'écrit encore:

  (118)

et qui se simplifie en:

  (119)

Nous obtenons (à nouveau!!!) le système d'équations qui définissent les "géodésiques", c'est-à-dire les droites de . Ces dernières constituent donc les extrémales de l'intégrale qui mesure la longueur d'un arc de courbe joignant deux points donnés dans .

Cette dernière équation, est celle qui nous intéresse dans le cas du lagrangien libre. Effectivement, si nous prenons le cas extrême de la lumière (ou des photons si vous préférez), cette dernière ne va pas chercher le chemin le plus rapide (le plus vite) au niveau temporel. Ce serait totalement en contradiction avec le postulat d'invariance de voir la lumière accélérer en fonction du chemin!!! Dans ce contexte, cela signifie que sur la trame spatio-temporelle, la seule chose qui à un sens est le plus court chemin spatial et non le plus court chemin temporel! C'est la raison pour laquelle cette dernière équation est appelée "équation des géodésiques" ou encore "équation d'Euler-Lagrange généralisée".

Cependant, nous pouvons écrire cette dernière équation de façon plus condensée en introduisant les symboles de Christoffel si la métrique est un tenseur symétrique tel que . Effectivement:

  (120)

et comme le symbole de Christoffel de première espèce est (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :

  (121)

Remarque: Il est important de se rappeler que ce symbole contient toute l'information sur la métrique de l'espace-temps. Nous verrons un exemple plus bas comme quoi dans un référentiel localement inertiel ce symbole de Christoffel est nul.

Alors l'équation d'Euler-Lagrange s'écrit:

  (122)

La multiplication contractée (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) de la relation précédente dans la base canonique par nous donne :

  (123)

dans la littérature un changement d'indice est souvent effectué afin d'avoir au final (c'est toujours la même expression étant donné que les indices ont le même domaine de variation!) :

  (124)

avec étant donc le symbole de Christoffel de deuxième espèce (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) donné par :

  (125)

et est appelé dans le cadre de la relativité générale la "connexion affine" et qui permet de trouver le système de coordonnées (via la résolution d'un système d'équation différentielles) en chute libre dans lequel l'équation de la particule est celle d'un déplacement uniforme dans l'espace temps en fonction d'un système de référence (les deux systèmes étant donc reliés par la connexion affine!).

Cette relation, de la plus haute importance, nous permet de déterminer comment un corps en mouvement va naturellement se déplacer dans un espace courbe et peut-être... ce indépendamment de sa masse !!! Elle nous donne donc la métrique dans laquelle nous devons poser un référentiel pour qu'il soit inertiel par rapport au corps considéré.

Selon le principe d'équivalence, nous somme donc en droit d'interpréter cette relation comme l'équation du mouvement dans un champ de graviation quelconque, et donc d'interpréter le deuxième terme supplémentaire de l'équation comme l'opposé d'un terme de force gravitationnelle par unité de masse, c'est-à-dire comme l'opposé d'un champ gravitationnel.

Remarque: Nous pouvons également écrite l'équation des géodésiques et utilisant le temps propre :

  (126)

ou encore en utilisant la quadri-vitesse :

  (127)

Encore, une fois, si nous nous restreignons à un espace-temps plat, nous voyons trivialement que nous retombons sur la première équation du mouvement que nous avions obtenu :

  (128)

Le important dans tout cela, c'est que cette expression permet de constater que la courbure de l'espace détermine les trajectoire des corps qui s'y meuvent quelque soit leur masse, qu'ils soient en mouvement uniforme ou non (observez la dérivée seconde dans l'équation des géodésiques!). Il ne nous reste plus alors qu'à effectuer la fin du travail et de mettre en relation la courbure de l'espace-temps avec l'énergie qui s'y trouve !

LIMITE NEWTONIENNE

Nous avons montré plus haut (argument de Shild) que pour étudier la gravitation (en particulier l'effet Einstein), la géométrie courbe est nécessaire. Nous avions promis de montrer aussi qu'elle était suffisante. Il est temps maintenant de la faire !

Définition: La "limite newtonienne" est un situation physique où les trois conditions ci-dessous sont satisfaites :

C1. Les particules se déplacent lentement par rapport à la vitesse de la lumière. Ce qui s'exprime comme le fait que les composantes spatiales de leur quadrivecteur est très inférieure à la composante temporelle (t étant le temps propre) :

  (129)

C2. Le champ de gravitation est statique. En d'autres termes, toute dérivée temporelle de la métrique est nulle.

C3. Le champ gravitationnel est faible, c'est-à-dire qu'il peut être vu comme une faible perturbation d'un espace plat :

avec   (130)

et où est constant (seul dépend des coordonnées).

Considérons l'équation des géodésiques obtenue précédemment :

  (131)

La première condition nous amène à la simplifier sous la forme :

  (132)

Les deux autres conditions nous offres plusieurs simplifications dans l'expression du symbole de Christoffel de deuxième espèce :

  (133)

L'équation des géodésiques devient alors :

  (134)

la composante temporelle () vaut alors :

  (135)

car (rappel de la métrique de Minkowski) pour et pour nous avons (métrique statique) .

En d'autres termes, est constant. Quant aux composantes spatiales, nous avons que est la matrice identité 3x3 (la partie spatiale!), ce qui donne :

  (136)

Notons maintenant le temps propre comme il est de tradition de le faire :

  (137)

En divisant par et en rétablissant , nous obtenons :

  (138)

A partir d'ici nous posons (car nos illustres prédécesseurs ont tâtonné avant nous):

  (139)

tel que (relation qui nous sera très utile lors de l'étude de la métrique de Schwarzschild plus loin) :

  (140)

où est le potentiel gravitationnel, nous retrouvons l'expression de l'accélération gravitationnelle (équation de Newton-Poisson) de la mécanique newtonienne (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

  (141)

avec .

Ce développement, simple mais néanmoins remarquable par sa interprétation, prouve que la géométrie courbe est suffisante pour décrire la gravitation !!

TENSEUR D'ÉNERGIE-IMPULSION

Le tenseur énergie-impulsion (T.E.I.) est un outil mathématique utilisé (notamment) en relativité générale afin de représenter la répartition de masse et d'énergie dans l'espace-temps.

Prenons pour exemple le T.E.I. qui considère en relativité générale la matière comme pouvant être approximée par un fluide parfait. Dans le chapitre de mécanique des milieux continus nous avons démontré :

  (142)

où  à les unités d'une force et  ceux d'une surface. Ainsi :

  (143)

sous forme variationnelle cela donne :

  (144)

Calculons maintenant :

  (145)

Remarque: Nous ne travaillons exprès pas avec des éléments différentiels afin de ne pas être coincé plus tard. C'est un peu du bricolage à la physicienne mais bon cela marche (confirmé par l'expérience).

En supposant que seuls le volume et le temps font que la force varie (ce qui suppose une densité constant quand même et que le système est inertiel) nous avons alors :

  (146)

Ce qui donne simplement (ch. chapitre de calcul tensoriel) le produit tensoriel des vitesses :

  (147)

Si nous généralisons cette relation aux quadrivecteurs-vitesse de la relativité restreinte, nous avons alors par définition le "tenseur d'énergie-impulsion" :

  (148)

ou sous forme indicielle :

  (149)

soit sous forme contravariante :

  (150)

Cette relation est la justification pour laquelle la relativité générale est aussi indiquée comme étant une théorie des milieux continus par certains spécialistes.

Maintenant démontrons que la dérivée :

  (151)

Remarque: Ce qui comme nous l'avons déjà signalé dans le chapitre de calcul tensoriel s'écrit  dans les vieux livres.

D'abord, rappelons que (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

  (152)

et admettons que nous sommes dans les faibles vitesses telles que . Dès lors dans une métrique de Minkowski :

  (153)

Or, nous reconnaissons dans les parenthèses l'équation de continuité (conservation de la masse) que nous avons démontré en thermodynamique et qui nous le savons est nulle! Ainsi :

  (154)

Regardons par ailleurs ce que contient la composante  du T.E.I. :

  (155)

En termes d'unités, il s'agit d'une densité d'énergie (nous voyons directement que cette grandeur ne peut être que positive).

Regardons maintenant les composantes de la diagonale :

  (156)

où  à les unités d'une densité de quantité de mouvement.

Regardons maintenant les composantes de la diagonale du tenseur lorsque  et pour  (nous omettons donc la première ligne et la première colonne) :

  (157)

Nous retrouvons donc les composantes du tenseur des contraintes d'un fluide parfait.

Donc finalement, le T.E.I. peut s'écrire sous la forme d'une matrice 4x4 réelle symétrique :

  (158)

Dans le cas où les vitesses sont faibles :

  (159)

Nous retrouvons donc dans ce tenseur les interprétations suivantes des grandeurs physiques (bien que rigoureusement toutes les composantes ont des unités qui peuvent être vues comme densité d'énergie soit comme une pression).

-  est la densité volumique d'énergie (elle est positive)

-  sont les densités de moments

-  sont les flux d'énergie

Remarque: La sous-matrice des composantes spatiales :

  (160)

est la matrice dite des "marice des flux de moments" (appellation tout à fait discutable…). En mécanique des milieux continus (cf. chapitre de Mécanique Des Milieux Continus), nous avons démontré que sa diagonale correspond à la pression, et les autres composantes aux efforts tangentiels dus à la viscosité dynamique.

Montrons que la dérivée covariante du tenseur d'énergie-impulsion est nulle tel que :

  (161)

Donc :

  (162)

Commençons par développer le premier terme :

  (163)

Or, nous avons :

  (164)

d'où :

  (165)

Nous retrouvons entre les crochets l'équation de continuité qui est nulle. Par contre le premier terme entre parenthèses non nul comme nous l'avons vu lors de notre étude du quadrivecteur accélération dans le chapitre de relativité restreinte :

  (166)

Mais selon le principe d'équivalence faible (PEF), nous pouvons toujours nous placer dans un référentiel tel que localement l'accélération soit nulle tel que :

  (167)

et il vient alors :

  (168)

Donc nous avons maintenant :

  (169)

Regardons ce que donne ce dernier terme mais en rappelant d'abord que dans le chapitre de relativité restreinte nous avions démontré que la quadri-accélération s'exprimait selon :

  (170)

Soit (nous ne prenons que les deux premières composantes comme exemples) :

  (171)

Nous allons maintenant au fait montrer que :

  (172)

Commençons par montrer que  :

  (173)

Or :

 et   (174)

d'où :

  (175)

Maintenant montrons que  (les autres composantes se vérifiant alors automatiquement) :

  (176)

et donc nous avons bien :

  (177)

mais selon le PEF  alors :

  (178)

et nous avons donc bien finalement :

  (179)

Qui est l'expression de la conservation de l'énergie en relativité générale!

En abaissant les indices il vient :

  (180)

ÉQUATIOn d'einstein des champs

Il est temps maintenant de nous attaquer au plus beau, à l'une des équations les plus fameuses de notre époque et qui fait briller les yeux de beaucoup de jeunes étudiants : l'équation d'Einstein des champs. Celle qui explique pourquoi la matière (l'énergie) courbe l'espace.

Rappelons quelques résultats que nous avons obtenu jusqu'ici. Premièrement, nous avons réussi à démontrer avec brio que toute particule (supposée libre mais cela est laissé à l'interprétation... dans un espace courbe...) suit l'équation du mouvement des géodésiques :

  (181)

Dans le chapitre de calcul tensoriel, nous avons démontré (non sans peine) que ce que nous appelons le "tenseur d'Einstein" (qui est une constante dans un espace Riemannien donné) est donné par :

  (182)

Puisque la dérivée covariante du tenseur d'Einstein est nulle et que nous avons démontré que la dérivée covariant de T.E.I. l'est aussi, il est tentant de poser :

  (183)

où  est un constant de normalisation et devant satisfaire la relation pour qu'elle soit homogène au niveau des unités. Ainsi, il vient :

  (184)

Pour trouver l'expression de la constante, nous allons nous placer en limite newtonienne et exiger que la relation précédente reproduise l'équation de Poisson pour le potentiel gravitationnel  (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

  (185)

Remarque: Cette relation montre que le potentiel de gravitation est relié à la matière de façon linéaire par l'intermédiaire de ses dérivées secondes. Einstein pensa donc que le premier membre des équations du champ en relativité générale, membre supposé décrire la géométrie de l'espace-temps, devait donc inclure d'une manière ou d'une autre les dérivées secondes, non pas du potentiel de gravitation, mais des potentiels de la métrique. En fait, Einstein essaya de généraliser le membre de droite de l'équation de Poisson : la grandeur recherchée devait inclure non seulement la densité de matière mais aussi l'impulsion (dès que le corps est en mouvement, son énergie augmente et donc sa masse. Pour évaluer l'effet gravitationnel d'un corps il fallait donc combiner sa masse au repos avec son impulsion. Il s'agissait finalement du T.E.I. de rang 2 qui est la généralisation du quadrivecteur impulsion de la relativité restreinte.

Nous avons montré plus haut que dans la limite newtonienne (approximation du champ faible) :

  (186)

et dans notre définition du T.E.I., pour une distribution de matière au repos seule la composante suivante est non nulle :

  (187)

Il vient dès que l'équation de Poisson peut s'écrire :

  (188)

Maintenant revenons sur la relation :

  (189)

En contractant les deux membres de la relation précédente, il vient :

  (190)

Or, le scalaire de Ricci (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) est donné par . Il vient donc :

  (191)

Or dans la métrique lorentzienne (-,+,+,+) :

  (192)

Donc :

  (193)

En utilisant cette dernière relation, l'équation :

  (194)

qui peut s'écrire aussi :

  (195)

peut finalement s'écrire :

  (196)

Intéressons-nous à la composante  telle que la relation précédente s'écrive :

  (197)

Explicitons selon la tenseur de Ricci (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) selon sa définition :

  (198)

Il vient alors :

  (199)

Or, le tenseur de Riemann-Christoffel sous forme développée dans ce cas particulier est donnée par (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :

  (200)

Remarque: En absence de champ gravitationnel et en coordonnées cartésiennes, il est logique que tous les symboles de Christoffel soient nuls en effet, les Christoffel traduisent rien de plus que les forces d'inertie. Mais quand nous avons un champ de gravitation, les trajectoires suivies ne sont plus des droites, même dans le cas newtonien. Donc non, dans le cas newtonien avec gravitation, les Christoffel sont non nuls...

A l'approximation du champ faible lentement variable dans le temps, les symboles de Christoffel sont d'ordre O et leurs produits sont d'ordre  et les dérivées temporelles sont négligeables devant les dérivées spatiales. Il reste donc seulement les termes d'ordre O tel que :

  (201)

Or, nous avons vu dans le chapitre de calcul tensoriel que :

  (202)

Dès lors :

  (203)

Or dans l'approximation du champ faible la variation de la métrique par rapport au temps étant négligeable par rapport à la variation spatiale (l'approximation est un peu tirée par les cheveux il faut dire…) :

  (204)

Par conséquent, la relation :

  (205)

devient :

  (206)

et nous constatons immédiatement qu'il s'agit de l'équation de Poisson si et seulement si :

  (207)

constante qui est parfois appelée "constante d'Einstein".

L'équation d'Einstein des champs est donc sous forme définitive :

  (208)

ou de manière plus conventionnelle :

  (209)

La partie de gauche représente la courbure de l'espace-temps telle qu'elle est déterminée par la métrique et l'expression de droite représente une modélisation du contenu masse/énergie de l'espace-temps. Cette équation peut alors être interprétée comme un ensemble d'équations décrivant comment la courbure de l'espace-temps est reliée au contenu masse/énergie de l'univers. Ces équations, ainsi que l'équation de la géodésique, forment le coeur de la formulation mathématique de la relativité générale.

L'équation d'Einstein est donc une équation dynamique qui décrit comment la matière et l'énergie modifie la géométrie de l'espace-temps. Cette courbure de la géométrie autour d'une source de matière est alors interprétée comme le champ gravitationnel de cette source. Le mouvement des objets dans ce champ étant décrit très précisément par l'équation de sa géodésique.

Par ailleurs, nous venons aussi de voir que l'équation d'Einstein se réduit aux lois de la gravité de Newton en utilisant l'approximation du champs faible et des mouvements lents.

Puisque le tenseur d'énergie-impulsion comporte 16 composantes dont au fait 10 sont réellement uniques (indépendantes) puisque le tenseur est symétrique, nous pouvons voir l'équation d'Einstein des champs comme dix équations différentielles du second ordre sur tenseur de champ métrique .

Ces équations différentielles sont en général cauchmemardesques à résoudre, les scalairs et tenseurs de Ricci sont des contractions du tenseur de Riemann, qui incluent les dérivées et les produits des symbles de Christoffel, qui eux mêmes sont construits sur le tenseur métrique inverse et sur les dérivées de celui-ci. Pour corser le tout, il est possible de construire des tenseur d'énergie-impulsion qui peuvent invoquer la métrique aussi. Il est donc très difficiel de résoudre les équation d'Einstein des champs dans le cas général et nous devonsdonc souvent nous appyuer sur des hypotèses simplificatrices.

SOLUTION DE SCHWARZSCHILD

La "métrique de Schwarzschild" (1916) est une solution de l’équation d’Einstein dans le cas d'un champ gravitationnel isotrope. Elle fournit les trois preuves principales de la Relativité Générale: le décalage des horloges, la déviation de la lumière par le Soleil et l’avance du périhélie de Mercure. Ces trois preuves sont très importantes car l’équation d’Einstein n’est pas démontrée.

Pour introduire cette métrique imaginons une source (par exemple le Soleil) qui produit un champ de gravitation à l'aide de sa masse M. Nous cherchons, pour comparer par rapport à l'expérience, les solutions de l'équation d'Einstein (en d'autres termes : la métrique) en dehors de la source (du Soleil donc…) de masse M.

En d'autres termes, cela revient à avoir dans la région de l'espace qui nous intéresse (en considérant qu'il n'y que l'astre en question et rien d'autre autour n'y même l'énergie/masse propre au champ gravitationnel) la propriété suivante :

  (210)

Donc l'équation d'Einstein des champs :

  (211)

devient alors :

  (212)

Mais nous avions montré plus haut que cette dernière relation peut aussi s'écrire l'aide de la définition du scalaire de  :

  (213)

et comme il est peu vraisemblable que la parenthèse soit nulle il reste :

  (214)

Nous devons donc trouver la métrique qui satisfait cette relation. Comme il y en à plusieurs intéressons-nous à un cas particulièrement élégant avec comme l'aime les physiciens… plein de symétries.

L'idée est donc de prendre trouver métrique si possible indépendante du temps (donc le champ gravitationnel aussi) et… à symétrie sphérique (l'astre étant lui-même de cette forme), prenant en compte la masse de l'astre central (c'est l'objectif majeur!) et telle qu'assez loin de la source (…) de la source ou lorsque la masse est nulle nous retrouvions la métrique classique connue vue plus haut :

  (215)

Mais ceci n'est pas totalement exact.

Effectivement, nous travaillons dans l'espace-temps. Or, nous avons vu que l'équation de la métrique curviligne était donnée par :

  (216)

en passant en coordonnées sphériques nous avons alors :

  (217)

Et c'est sur cette équation de la métrique que nous devons retomber lorsque nous sommes éloignés de la source ou que la masse de celle-ci est extrêmement faible.

Donc mettons nous à la tâche. D'abord nous partons de ce que nous savons (vaut mieux!). C'est-à-dire que :

  (218)

et en coordonnées sphérique avec le temps nous avons pour composantes . Donc il vient un total de 16  termes dont outre les diagonales au nombre (4 termes) les autres s'additionnent (6 termes) soit finalement 10 termes qui sont les suivantes:

  (219)

où A, B, C, …sont des coefficient à déterminer.

Avant de s'attaquer à ce travail, nous savons que selon une de nos contraintes de départ, lorsque la masse est faible ou que nous sommes éloignés de la source, nous devons retomber sur :

  (220)

dès lors intuitivement nous pouvons déjà écrire :

  (221)

ce qui admettons-le… est un net progrès…!

Si comme nous nous le sommes imposés au début l'équation de la métrique est indépendante du temps. Nous pouvons par symétrie du temps (hypothèse…) faire le changement de variable suivante  sans que cela change quoi que ce soit dans notre . Or, nous nous rendons tout de suit compte que cela ne sera pas le cas. Immédiatement, pour que cela soit satisfait il faut :

  (222)

ce qui nous amène (c'est déjà mieux!) à :

  (223)

Maintenant si le système est bien sphérique. L'équation de la métrique doit être invariante par la transformation  (le contraire se saurait depuis longtemps si ce n'était pas le cas expérimentalement) et/ou également par la transformation .

Donc pour que cela soit juste, nous voyons immédiatement que dans la relation précédente, nous devons imposer :

  (224)

Donc finalement nous n'avons plus que :

  (225)

où A, B, C, D seront bien évidemment indépendant du temps (le contraire contredirait notre contrainte initiale) mais peuvent par symétrie de la sphère être dépendant de r tel que :

  (226)

Maintenant, imaginons-nous sur la sphère (rigoureusement  c'est une hyper-sphère mais cela aide quand même…) à une distance r fixe du centre de la source du champ à un instant donné. Nous n'avons alors plus que :

  (227)

Maintenant, imaginons-nous au pôle nord de la sphère  nous n'avons alors plus que :

  (228)

et à l'équateur  :

  (229)

Par symétrie du champ, un déplacement angulaire infinitésimal en chacun des ces deux zones particulières doit pourtant être égal. Dès lors, nous ne pouvons que poser :

  (230)

Dès lors, l'équation de la métrique se réduit à :

  (231)

Montrons maintenant que nous pouvons choisir un système de coordonnées pour lequel .

Introduisons pour cela une distance définie par :

  (232)

d'où :

  (233)

Il vient dès lors :

  (234)

d'où :

  (235)

Ce qui se simplifie encore en :

  (236)

Mettons le tout au carré et divisons à gauche et à droite par  :

  (237)

d'où :

  (238)

Dès lors, l'équation de la métrique s'écrit :

  (239)

C'est donc comme si  :

  (240)

Donc :

  (241)

Soit :

  (242)

et le tenseur métrique contravariant correspondant (dont nous allons avoir besoin plus loin):

  (243)

tel que (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :

  (244)

Maintenant, pour déterminer les coefficients restants (soit A et B) nous allons nous aider de la relation que doit satisfaire la métrique :

  (245)

Soit sous forme développée (cf. chapitre de Calcul Tensoriel):

  (246)

avec bien évidemment (cf. chapitre de Calcul Tensoriel):

  (247)

C'est dire que l'on a du travail sur la planche… Bon d'abord puisque la métrique est simple les seules dérivées non nulles sont :

  (248)

Nous en déduisons simplement les 9 éléments de la connexion (nous pouvons détailler sur demande…) non nuls :

  (249)

Maintenant que nous avons ces termes de la connexion il nous faut calculer leur dérivée conformément aux deux premiers termes de :

  (250)

il y a alors 10 termes non nuls qui sont :

  (251)

Nous avons finalement pour chaque composante du tenseur de Ricci :

  (252)

Soit les seuls éléments non nuls sont :

  (253)

Soit sous forme plus conventionnelle (conforme à la littérature) nous pouvons simplifier un peu et par ailleurs garder que les trois premières équations :

  (254)

Si nous additionnons les deux premières équations il nous reste :

  (255)

ce qui équivaut à :

  (256)

Nous avons donc :

  (257)

qui devient :

  (258)

Le lecteur pour vérifier qu'une solution de l'équation différentielle est :

  (259)

où S est une constant réelle non nulle. En conséquence, la métrique pour une solution statique, symétriquement sphérique et dans le vide (…), s'écrit :

  (260)

Il nous reste à déterminer un coefficient. Mais comme :

  (261)

il vient :

  (262)

Donc :

  (263)

Donc finalement :

  (264)

Notons que l'espace-temps représenté par cette métrique est asymptotiquement plat, ou, en d'autres termes lorsque , la métrique s'approche de celle de Minkowski, et la variété de l'espace-temps ressemble à celle de l'espace de Minkowski.

Pour calculer les constantes K et S, nous utilisons l'approximation du champ faible. En d'autres termes, nous nous plaçons loin du centre, là où le champ de gravitation est faible. Dans ce cas, la composante de la métrique peut être calculée.

Effectivement, nous avions étudié plus haut la limite newtonienne et avions obtenu la relation suivante :

  (265)

avec (cf. chapitre d'Astronomie) . Donc in extenso nous pouvons poser sans trop de craintes :

  (266)

soit :

 et   (267)

Finalement nous avons pour la métrique de Schwarschild :

  (268)

soit en unités naturelles :

  (269)

Une singularité toute (physiquement) apparente apparaît lorsque :

  (270)

ou en d'autres termes, lorsque la coordonnée du rayon r vaut :

  (271)

Ce rayon, que nous avions déjà déterminé lors de notre étude la mécanique classique, est appelé "rayon de Schwarzschild".

Le rayon de Schwarzschild est défini comme le rayon critique prévu par la géométrie de Schwarzschild, en deçà duquel rien ne peut s'échapper : si une étoile ou tout autre objet atteint un rayon égal ou inférieur à son rayon de Schwarzschild (qui dépend de sa masse, cf ci-dessous), alors elle devient un trou noir, et tout objet s'approchant à une distance de celui-ci inférieure au rayon de Schwarzschild ne pourra s'en échapper. Le terme est utilisé en physique et en astronomie pour donner un ordre de grandeur de la taille caractéristique à laquelle des effets de relativité générale deviennent nécessaires pour la description d'objets d'une masse donnée. Les seuls objets qui ne sont pas des trous noirs et dont la taille est du même ordre que leur rayon de Schwarzschild sont les étoiles à neutrons (ou pulsars), ainsi, curieusement, que l'univers observable en son entier.

Remarques:

R1. La singularité dans la métrique lorsqu'on atteint le rayon de Schwarzschild est apparente car il ne s'agit que d'un effet du système de coordonnées utilisées.

R2. Un théorème remarquable affirme que la métrique de Schwarzschild est l'unique solution aux équations d'Einstein dans le vide possédant la symétrie sphérique. Comme la métrique de Schwarzschild est également statique, ceci montre qu'en fait dans le vide toute solution sphérique est automatiquement statique. Une des conséquences intéressantes de ce théorème est que n'importe quelle étoile pulsante qui reste à symétrie sphérique ne peut pas générer d'ondes gravitationnelles (puisque la région de l'espace-temps extérieure à l'étoile doit rester statique).

Maintenant que nous avons la métrique de Schwarzschild revenons sur le critère de Schild que nous avions vu lors de notre étude classique de l'effet Einstein.

Si nous récrivons la métrique de Schwarzschild pour un corps immobile nous avons la métrique qui se simplifie en :

  (272)

En faisant intervenir le potentiel gravitationnel (cf. chapitre d'Astronomie) :

  (273)

la métrique s'écrit :

  (274)

d'où en introduisant le temps propre :

  (275)

d'où :

  (276)

soit :

  (277)

Le développement au deuxième ordre en série de MacLaurin (cf. chapitre de Suite Et Séries) de la racine négative donne :

  (278)

Ainsi, nous avons :

  (279)

Donc cela démontre que la courbure (la gravitation) engendre une dilatation du temps d'autant plus importante que le champ de gravité est intense.

vérificationS expérimentales

Nous allons maintenant passer en revue les quatres vérifications expérimentales classiques du 20ème siècle de la théorie de la relativité générale qui sont :

1. La précession du périhélie qui au niveau des résultats numériques nous posait problème avec les outils de la mécanique classique (cf. chapitre d'Astronomie).

2. La déflexion des ondes électromagnétiques (lumière) passant proche d'un corps stellaire massif qui au niveau des résultats numériques nous posait aussi problème avec les outils de la mécanique classique (cf. chapitre d'Astronomie).

3. La démonstration du critère de Schild (déjà fait dans les paragraphes précédents) comme seul moyen d'expliquer rigoureusement le redshift gravitationnel et l'hypothèse de ralentissement du temps dans un champ gravitationnel.

4. Le retard des signaux électromagnétiques se propageant près de corps massif. Retard désigné sous le nom "d'effet Shapiro" dont les applications numériques sont utilisées pour le fonctionnement du G.P.S et que nous verrons plus loin.

précession du PÉRIHÉLIE DE MERCURE

Traitons donc maintenant un des plusfameux exemples de le relativité générale : la précession du périhélie de Mercure. Nous avions déjà traité dans le chapitre d'astronomie ce cas mais nous avions mentionné que le résultat théorique numérique ne correspondait pas à l'expérience. Nous allons voir en l'équivalent d'un dizaine de pages A4 de développements détaillés comment la relativité générale permet de réconcilier théorie et expérience.

Pour étudier cas, nous allons utiliser le formalise lagrangien vu dans le chapitre de mécanique analytique.

D'abord, rappelons que nous avons obtenu pour la métrique de Schwarzschild :

  (280)

D'où en divisant par :

  (281)

et pour abréger les notations, nous poser  tel que :

  (282)

Maintenant rappelons que (cf. chapitre de Mécanique Analytique) :

  (283)

Donc (c'est très grossier mais cela fonctionne… c'est aussi ça parfois la physique…) :

  (284)

Enfin cela signifie que le lagrangien est :

  (285)

Les équations de Lagrange nous donnent pour la  :

  (286)

avec donc :

  (287)

d'où :

  (288)

et :

  (289)

d'où finalement pour la coordonnée  :

  (290)

Faisons de même pour  :

  (291)

et il vient immédiatement :

  (292)

Faisons de même pour t :

  (293)

et il vient ici aussi immédiatement :

  (294)

Dès lors :

  (295)

Maintenant nous allons supposer que le mouvement de Mercure est dans le plan équatorial tel que . Dès lors, la relation :

  (296)

se simplifie en :

  (297)

d'où :

  (298)

Nous avons aussi dès lors l'expression de la ligne d'univers qui se simplifie en :

  (299)

Remplaçons alors  dans l'élément de ligne d'Univers :

  (300)

Considérons aussi r comme fonction  alors :

  (301)

d'où :

  (302)

Ainsi, nous pouvons récrire la ligne d'univers sous la forme :

  (303)

Faisons un changement de variable en posant :

  (304)

d'où :

  (305)

Ce qui donne pour notre ligne d'univers :

  (306)

ou :

  (307)

en différenciant :

  (308)

ou écrit autrement :

  (309)

ce qui se simplifie et factorise en :

  (310)

Le première solution possible est bien évidemment :

  (311)

d'où comme r=1/u :

  (312)

Le mouvement circulaire est donc aussi une solution du problème de Kepler en relativité générale dans un champ de Schwarzschild.

L'autre solution sera :

  (313)

Soit écrit autrement :

  (314)

elle correspond à l'orbite du problème de Kepler.

Faisons la comparaison en considérant en mécanique de Newton le mouvement d'une particule de masse m dans un potentiel U. Le lagrangien (cf. chapitre de Mécanique Analytique) est alors :

  (315)

En coordonnées polaires nous avons déjà vu dans différents chapitre (de calcul vectoriel et d'astronomie) que la vitesse s'écrit alors :

  (316)

En utilisant l'équation d'Euler-Lagrange nous avons l'équation du mouvement :

  (317)

ce qui donne :

 et   (318)

d'où :

  (319)

et comme nous l'avons vu dans le chapitre d'astronomie :

  (320)

est la constante des aires. Introduisons :

  (321)

d'où :

  (322)

et donc :

  (323)

Ainsi :

  (324)

L'équation :

  (325)

devient alors :

  (326)

Or :

  (327)

d'où :

  (328)

soit :

  (329)

ou :

  (330)

Il s'agit simplement de la "formule de Binet non relativiste" qui donne donc la relation entre u=1/r et  pour une force centrale. Dans le cas d'un potentiel newtonien :

  (331)

d'où :

  (332)

avec pour rappel :

  (333)

Or, rappelons la forme de celle que nous avions obtenue avec la relativité générale :

  (334)

Ainsi, nous voyons que le terme analogue en relativité est :

  (335)

et que la relativité générale ajouter le terme . Or, comme en relativité générale :

  (336)

Alors :

  (337)

Or, dans le cas de l'approximation des champs faibles :

  (338)

d'où :

  (339)

donc finalement :

  (340)

Ceci dit, il est vraiment intéressant de remarquer que l'équation pour la relativité générale :

  (341)

peut être interprétée comme l'équation de Binet pour la mécanique classique :

  (342)

avec le potentiel :

  (343)

avec .

Revenons maintenant à notre équation :

  (344)

Nous aimerions savoir si le deuxième terme à gauche de l'égalité est négligeable ou non par rapport au premier terme de gauche de l'égalité et ce afin de pouvoir appliquer la théorie des perturbations.

Nous allons d'abord poser à l'aide de l'approximation des champs faibles faite plus haut :

  (345)

Maintenant calculons le rapport :

  (346)

Rappelons qu'en coordonnées polaires :

  (347)

en approximation nous pouvons grossièrement poser que :

  (348)

Dès lors pour Mercure… :

  (349)

Ainsi nous voyons de suite que nous pourrons appliquer les théories variationnelles sur le terme . Ainis, posons :

  (350)

L'équation :

  (351)

prend alors la forme :

  (352)

Pour résoudre cette équation différentielle, nous allons utiliser l'approche de la théorie des perturbations (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral). Nous allons donc nous intéresser à une solution de la forme de Taylor en deuxième ordre seulement en  :

  (353)

où  sont bien évidemment dépendants de  et devront être déterminés! Pour cela, nous savons qu'il faut remplacer l'expression précédente dans l'équation différentielle telle que :

  (354)

Ce qui donne :

  (355)

et se simplifie en :

  (356)

où rappelons que :

  (357)

est l'équation classique obtenue plus haut :

  (358)

considérons la solution du type :

  (359)

où D est un constante arbitraire. Or, comme nous l'avons vu dans le chapitre d'astronomie dans le cas de la précession du périhélie :

  (360)

est au fait une ellipse. Ce qui signifie que toute solution de la forme :

  (361)

est aussi une ellipse!

Pour l'équation en  :

  (362)

qui se simplifie en :

  (363)

Puisque (cf. chapitre de Trigonométrie) :

  (364)

Il vient :

  (365)

Pour déterminer , décomposons la relation précédente en trois termes :

  (366)

Ce qui nous donne immédiatement :

  (367)

Finalement :

  (368)

La solution cherchée est finalement :

  (369)

C'est donc avec :

  (370)

qu'il faut calculer le déplacement du périhélie (on y arrive…).

Nous voyons relativement vite en observant la relation précédente que le seule terme dont l'amplitude n'est pas constante est .

Rappelons alors que (cf. chapitre de Trigonométrie) :

  (371)

Ce qui peut grossièrement s'écrire aussi en première approximation :

  (372)

d'où :

  (373)

Nous savons que l'orbite d'ordre zéro est :

  (374)

L'effet du dernier terme :

  (375)

est donc d'introduire une petite variation périodique dans la distance radiale. Ce terme n'affecte pas la déplacement du périhélie. C'est le terme  dans :

  (376)

qui introduit une non périodicité qui peut être non négligeable dans le cas où  est grand.

Le périhélie (point le plus proche du Soleil) se présente donc quand r est minimum soit  maximum. Or, u est maximum quand le terme qui nous intéresse est maximum, c'est-à-dire :

  (377)

Nous avons approximativement :

  (378)

Pour deux périhélies successifs, nous avons un intervalle :

  (379)

au lieu de . Ainsi, le déplacement pour une révolution est :

  (380)

où K est donc la constante des aires et M la masse de l'astre central et pusique :

  (381)

 Relation à comparer avec celle que nous avons vue dans le chapitre d'astronomie :

  (382)

Pour Mercure une application numérique donne :

  (383)

et l'expérience donne .

DÉFLÉXION DE LA LUMIERE

Nous avons donc montré que :

  (384)

en remplaçant les facteurs par leurs valeurs respectives nous avons :

  (385)

Mais nous avons vu plus haut que  :

  (386)

et comme K est la constante des aires donnée par la conservation du moment cinétique lui-même constant (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

  (387)

Nous avons alors pour un photon .

Finalement l'équation du mouvement d'un photon se résume à :

  (388)

Posons maintenant pour simplifier les notations :

  (389)

alors :

  (390)

Le terme à droite de l'égalité est petit (vu les constantes qui y interviennent…) si bien qu'une forme approchée de l'équation différentielle est :

  (391)

Dont une solution particulière est qui ne le savons d'avance est intéressante :

  (392)

Nous portons cette solution approximée dans l'équation différentielle initiale et nous obtenons :

  (393)

Soit :

  (394)

Soit :

  (395)

La suite va être très subtile (comment deviner quelque chose comme cela…?). D'abord nous allons créer une nouvelle équation différentielle:

  (396)

L'astuce consiste à multiplier cette équation par i et la sommer à l'équation différentielle d'origine :

  (397)

Ce que nous noterons :

  (398)

L'astuce est de chercher une solution particulière de la relation précédente sous la forme :

  (399)

Nous avons alors :

  (400)

Ceci injecté dans notre nouvelle équation différentielle donne :

  (401)

Nous en déduisons immédiatement :

  (402)

Une solution particulière de l'équation différentielle d'origine est donc :

  (403)

Soit en utilisant les relations trigonométriques remarquables :

  (404)

Il vient :

  (405)

La solution générale est finalement :

  (406)

Si nous admettons que la lumière est très faiblement déviée par le Soleil, le rayon de courbure (1/r) de sa trajectoire sera très faible.

Ainsi :

    (407)

tel que :

  (408)

Le premier terme est prédominant par rapport au deuxième à cause du facteur  qui est très petit sur le deuxième. Pour la suite, nous procédons comme dans le chapitre d'astronomie (justent les notations changent) pour lors de l'étude de l'angle de déflexion (si vous n'y revenez pas vous ne pourrez comprendre la justification de ce qui va être fait!). Nous posons sans perdre en généralité que :

  (409)

Soit :

  (410)

et comme :

  (411)

il vient :

  (412)

En utilisant les relations trigonométriques à nouveau :

  (413)

Il vient :

  (414)

 étant supposé très petit nous faisons un développement de MacLaurin  (cf. chapitre de Suites Et Séries) au premier ordre des fonctions trigonométriques :

  (415)

Ce qui donne :

  (416)

Donc après une série d'approximations… et d'hypothèses limites acceptables nous arrivons à :

  (417)

Nous trouvons donc le facteur 2 qui nous manquait via le traitement classique que nous avons vu dans le chapitre d'astronomie.

  (418)

EFFET SHAPIRO

En 1964, Shapiro démontra qu'un rayon lumineux n'était pas seulement dévié en passant près d'une masse, mais également que la durée de son trajet était allongée par rapport à une géométrie euclidienne. Il calcula que le retard devait atteindre environ 200 microsecondes, donc parfaitement mesurable, pour une ligne de visée rasant le Soleil. Il suggéra alors de mesurer systématiquement la durée mise par un signal radar pour effectuer le trajet aller-retour entre la Terre et une planète passant derrière le Soleil (pour que l'effet soit maximal). Cela fut d'abord accompli avec des échos radar sur Mars, Vénus ou Mercure, avec une précision de l'ordre de 20%. Le résultat est très net : la durée nécessaire à un signal radar pour faire l'aller-retour Terre-Planète augmente brutalement juste avant que la planète passe derrière le Soleil et diminue tout aussi brutalement quand celle-ci réapparaît.

Remarque: Nous parlons parfois de ralentissement de la lumière près du Soleil pour décrire l'effet Shapiro mais c'est une expression maladroite et erronée. Comme cela a déjà été mentionné, la vitesse de la lumière est constante en relativité générale aussi bien qu'en relativité restreinte. Dans le cas de l'effet Shapiro (et dans d'autres cas similaires), ce qui change c'est l'écoulement du temps là où passe la lumière, par rapport à ce qu'il est là où se situe l'observateur.

Bien qu'il s'agisse d'un effet faible, on a pu le vérifier très précisément depuis l'arrivée des sondes Viking sur Mars en 1976, à l'aide de signaux envoyés depuis la Terre vers Mars et réfléchis sur cette dernière par les sondes (voir le principe de l'expérience sur la figure suivante). En outre, il existe même désormais un objet de plus en plus courant pour le fonctionnement duquel l'effet Shapiro doit être pris en compte : le "G.P.S." (Global Positioning System). En effet, malgré la faiblesse du champ de gravitation terrestre, une précision géographique de quelques mètres nécessite de tels détails dans les calculs. Toutefois, un satellite a été lancé récemment dont le but est de vérifier, dans le champ de gravitation terrestre, un effet encore plus faible prédit par la relativité générale et qui n'intervient même pas dans le GPS : l'entraînement de l'espace-temps, aussi nommé "effet Lense-Thirring".

Signalons pour le GPS que deux phénomènes d'erreur sont connus dans le cadre de la relativité:

1. Les satellites tournent autour de la Terre à une vitesse approximative de 20'000 kilomètres par heure retardent alors de 7 millionièmes de seconde par jour (relativité restreinte).

2. A l'altitude de 20'200 kilomètres, celle de l'orbite des satellites, le champ gravitationnel plus faible fait avancer les horloges satellitaires de 45 millionièmes de seconde par jour.

La somme des deux corrections donne une dérive de 38 millionièmes de seconde par jour, un chiffre ahurissant pour un système GPS dont la précision se doit d'être de 50 milliardièmes de seconde par jour.

Faisons le calcul pour un rayon frôlant la surface du Soleil. Pour cela, nous reprenons notre métrique de Schwarschild :

  (419)

avec :

  (420)

Pour un photon, nous savons que  et donc l'équation de la métrique de Schwarzschild s'écrit alors :

  (421)

La trajectoire du photon ayant lieu dans le plan équatorial du Soleil, nous posons :

  (422)

ce qui simplifie encore l'équation de la métrique en :

  (423)

Pour simplifier encore plus nous faisons l'hypothèse (surprenante!) que la trajectoire (en coordonnées polaires) du photon rasant le Soleil est rectiligne telle que (pour une des composantes polaires du plan) :

  (424)

où  est le rayon du Soleil. Nous allons utiliser cette hypothèse pour simplifier l'équation de la métrique. Pour cela nous posons :

  (425)

Nous dérivons (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

  (426)

Si nous mettons le tout au carré :

  (427)

d'où :

  (428)

Nous pouvons maintenant récrire l'équation de la métrique :

  (429)

En prenant la racine :

  (430)

Etant donné que  et que  alors :

  (431)

Dès lors nous avons en utilisant les développements de MacLaurin (cf. chapitre suites et séries) au premier ordre :

  (432)

Nous avons alors :

  (433)

Nous avons finalement une fois condensé :

  (434)

Ce que qu'il est de tradition de noter (nous sortons le 1/c des différents termes) :

  (435)

S'il n'y pas de masse alors l'espace-temps est plat est . Dès lors :

  (436)

Nous pouvons ainsi distinguer le temps classique du temps supplémentaire engendré par l'espace courbe.

Le "retard" sera donc donnée par :

  (437)

Ensuite, pour intégrer les quatre fonctions de r il faut se placer dans un référentiel placé si possible au centre de l'astre principal (le Soleil typiquement) puisque la métrique de Schwarzschild est basée sur cette hypothèse pour rappel… Ainsi, pour connaître le retard d'un rayon lumineux partant du Soleil jusqu'à la Terre, nous choisirons logiquement comme rayon de départ celui du Soleil  lui-même () et comme rayon d'arrivée, la distance Soleil-Terre ().

  (438)

Remarque: Nous n'avons pas souhaité calculer les primitives car à partir de ce point, n'importe quel logiciel forme fait l'affaire. A moins qu'il y a ait une demande soutenue de la part des internautes!!!

Le lecteur aura peut-être remarqué que la relativité générale est donc une théorie relativiste de la gravitation et non une théorie des lois de la physique dans les référentiels non inertiels.

Signalons encore un point très important. Avant Einstein, la géométrie était considérée comme partie intégrante des lois. Einstein a montré que la géométrie de l'espace évolue dans le temps selon d'autres lois, encore plus profondes. Il est important de bien comprendre ce point. La géométrie de l'espace ne fait pas partie des lois de la nature. Par conséquent, rien que nous puissions trouver dans ces lois ne douit dit ce qu'est la géométrie de l'espace. Ainsi, avant de commencer à résoudre les équations de la théorie générale de la relativité d'Einstein, nous n'avons strictement aucune idée de ce qu'est la géométrie. Nous la découvrons seulement une fois les équations résolues.

Cela signifie que les lois de la nature doivent s'exprimer sous une forme qui ne présuppose pas que l'espace ait une géométrie fixe. C'est le coeur de la leçon einsteinienne. Cette forme se traduit en un principe appelée "indépendance par rapport au fond". Ce principe énonce dont que les lois de la nature peuvent être décrites dans leur totalité sans présupposer la géométrie de l'espace.

In extenso, le choix des quatre dimensions, est une fait partie du fond. Serait-il possible qu'une autre théorie plus profonde ne nécessite pas présupposer le nombre de dimensions?

En résumé, l'idée de l'indépendance par rapport au fond, dans sa formulation la plus générale est une façon sage de faire de la physique: faite de meilleures théories, dans lesquelles les choses qui, avant, étaient postulées, seront expliquées en permettant à de telles choses d'évoluer dans le temps en fonction de lois nouvelles.

C'est là aussi une difficulté de la théorique quantique. Elle est dépendant de fond contrairement à la relativité générale.