La base des mathématiques, mis à part le raisonnement (cf. chapitre Théorie De La Démonstration), est sans nul doute pour le commun des personnes - mathématiciens mis à part - l'arithmétique. Il est donc obligatoire que nous y fassions étape pour étudier sa provenance, quelques unes de ses propriétés et conséquences.

Les nombres, comme les figures géométriques, constituent les bases de l'arithmétique. Ce sont aussi les bases historiques car les mathématiques ont certainement commencé par l'étude de ces objets, mais aussi les bases pédagogiques, car c'est en apprenant à compter que nous entrons dans le mondes des mathématiques.

L'histoire des nombres (ou également appelés "scalaires") est beaucoup trop longue pour être relatée ici, mais nous ne pouvons que vous conseiller un des meilleurs ouvrages sur le sujet : Histoire Universelle des chiffres (~2'000 pages), Georges Ifrah, ISBN: 2 221 05779 1

Cependant voici une petite bride de cette dernière qui nous semble fondamentale:

Notre système décimal actuel, de base 10, utilise les chiffres de 0 à 9, dits "chiffres arabes", mais au fait d'origine indienne (hindous). En fait, les chiffres arabes sont différents :

  (1)

Il faut lire: 0 "zéro", 1 "un", 2 "deux", 3 "trois", 4 "quatre", 5 "cinq", 6 "six", 7 "sept", 8 "huit", 9 "neuf"

Ces chiffres ne furent introduits en Europe que vers l'an 1000. Utilisés en Inde, ils furent transmis par les Arabes au monde occidental par le pape Gerbert d'Aurillac lors de son séjour en Andalousie à la fin du 9ème siècle. 

Remarque: Le mot français "chiffre" est une déformation du mot arabe "sifr" désignant "zéro". En italien, "zéro" se dit "zero", et serait une contraction de "zefiro", on voit là encore la racine arabe. Ainsi nos termes "chiffre" et "zéro" ont la même origine.

L'usage précoce d'un symbole numérique désignant "rien", au sens de "aucune quantité" ou "absence de quantité", c'est à dire notre zéro, provient du fait que les Indiens utilisèrent un système dit "système positionnel". Dans un tel système, la position d'un chiffre dans l'écriture d'un nombre exprime la puissance de 10 et le nombre de fois qu'elle intervient.

L'absence d'une puissance est notée par un petit rond... : c'est le zéro. Notre système actuel est donc le "système décimal et positionnel".

Exemple :

Description système décimale et positionnel :

  (2)

Le nombre 324 s'écrit de gauche à droite comme étant trois centaines : 3 fois 100, deux dizaines : 2 fois 10 et quatre unités : 4 fois 1.

Remarque: Attention!! Nous différencions un chiffre d'un nombre... Le nombre est composé de chiffres et non inversement. 

Nous voyons parfois (et c'est conseillé) un séparateur de milliers représenté par une apostrophe ' en Suisse (posé tous les trois chiffres à partir du premier en partant de la droite pour les nombres entier). Ainsi, nous écrirons 1'034 au lieu de 1034 ou encore 1'344'567'569 au lieu de 1344567569. Les séparateurs de milliers permettent de rapidement quantifier l'ordre de grandeur des nombres lus.

Ainsi:

- Si nous voyons uniquement une apostrophe nous saurons que le nombre est de l'ordre du millier
- Si nous voyons voit deux apostrophes nous saurons que le nombre est de l'ordre du million
- Si nous voyons trois apostrophe nous saurons que le nombre est de l'ordre du milliard

et ainsi de suite... 

Au fait, tout nombre entier, autre que l'unité, peut être pris pour base d'un système de numérotation. Nous avons ainsi les systèmes de numérotation binaire, ternaire, quaternaire,...,décimal, duodécimal qui correspondent respectivement aux bases deux, trois quatre,...,dix, douze.

Une généralisation de ce qui a été vu précédemment, peut s'écrire sous la forme suivante :

Tout nombre entier positif peut être représenté dans une base b sous forme de somme, où les coefficients  sont multipliés chacun par leur poids respectif . Tel que :

  (3)

Plus élégamment écrit :

  (4)

avec  et

Remarques:

R1. Comme très fréquemment en mathématique, nous remplacerons l'écriture des chiffres ou des nombres par des lettres latines ou grecques afin de généraliser leur représentation. Ainsi, lorsque nous parlons d'une base b la valeur b peut prendre n'importe quelle valeur entière 0, 1, 2, ...

R2. Lorsque nous prenons la valeur 2 pour b , N aura pour valeur maximale . Les nombres qui s'écrivent sous cette forme s'appellent les "nombres de Mersenne". Ces nombres ne peuvent être premiers (voir plus bas ce qu'est un nombre premier) que si n premier.

Effectivement, si nous prenons (par exemples) et la plus grand valeur que nous pourrons avoir sera alors :

  (5)

R3. Lorsque qu'un nombre est le même lu de gauche à droite ou de droite à gauche, nous parlons de "nombre palindrome".

BASES NUMÉRIQUES

Pour écrire un nombre dans un système de base b, nous devons commencer par adopter bb premiers nombres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}. Ces caractères sont comme nous les avons déjà défini, les "chiffres" que nous énoncons comme à l'ordinaire. caractères destinés à représenter les

Pour la numérotation écrite, nous faisons cette convention, qu'un chiffre, placé à gauche d'un autre représente des unités de l'ordre immédiatement supérieur, ou b fois plus grandes. Pour tenir la place des unités qui peuvent manquer dans certains ordres, nous nous servons du zéro (0) et par suite, le nombre de chiffres employés est toujours égal à la base du système.

Définition: Pour la numérotation parlée, nous convenons d'appeler "unité simple", "dizaine", "centaine", "mille", etc., les unités du premier ordre, du second, du troisième, du quatrième, etc. Ainsi les nombres 10, 11,…,19 se liront de même dans tous les systèmes de numérotation; les nombres 1a, 1b,a0, b0, … se liront dix-a, dix-bé, a-dix, bé-dix, etc. Ainsi, le nombre 5b6a71c se lira :

cinq millions bé-cent soixant-a mille sept cent dix-cé

Cet exemple est pertinent car il nous montre l'expression générale de la langue parlée que nous utilisons quotidiennement et intuitivement en base dix (faut à notre éducation).

Remarques:

R1. Les règles des opérations définies pour les nombres écrits dans le système décimal sont les mêmes pour les nombres écrits dans un système quelconque de numérotation.

R2. Pour opérer rapidement dans un système quelconque de numérotation, il est indispensable de savoir par cœur toutes les sommes et tous les produits de deux nombres d'un seul chiffre.

R3. Le fait que la base décimale ait été choisie est semblerait t'il due au fait que l'humain a dix doigts.

Voyons comment nous convertissons un système de numérotation dans un ordre:

Exemple :

En base dix nous savons que 142'713 s'écrit:

  (6)

En base deux (base binaire) le nombre 0110 s'écrirait en base 10:

  (7)

en ainsi de suite.

L'inverse (pour l'exemple de la base deux) est toujours un peu plus délicat. Par exemple la conversion du nombre décimal 1'492 en base deux se fait par divisions successives par 2 des restes et donne (le principe est à peu près identique pour toutes les autres bases):

  (8)

Ainsi, pour convertir le nombre 142'713 (base décimale) en base duodécimale (base douze) nous avons (notation : q est le "quotient", et r le "reste") :

  (9)

  (10)

  (11)

  (12)

  (13)

Ainsi nous avons les restes 6, 10, 7, 0, 9 ce qui nous amène à écrire :

    (14)

Nous avons choisi pour ce cas particulier la symbolique que nous avions définie précédemment (a-dix) pour éviter tout confusion.

TYPES DE NOMBRES

Il existe en mathématiques une très grande variété de nombres (naturels, rationnels, réels, irrationnels, complexes, p-adiques, quaternions, transcendants, algébriques, constructibles...) puisque le mathématicien peut à loisirs en créer en ayant uniquement à poser les axiomes (règles) de manipulations de ceux-ci (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

Cependant, il y en a quelqu'uns que nous retrouvons plus souvent que d'autres et certains qui servent de base de construction à d'autres et qu'il conviendrait de définir suffisament rigoureusement (sans aller dans les extrêmes) pour pouvoir savoir de quoi nous parlerons lorsque nous les utiliserons.

Nombres eNTIERS NATURELS

L'idée du "nombre entier" (nombre pour lequel il n'y a pas de chiffres après la virgule). est le concept fondamental de la mathématique et nous vient à la vue d'un groupement d'objets de même espèce (un mouton, un autre mouton, encore un autre, etc.). Lorsque la quantité d'objets d'un groupe est différente de celle d'un autre groupe nous parlons alors de groupe numériquement supérieur ou inférieur quelque soit l'espèce d'objets contenus dans ces groupes. Lorsque la quantité d'objet d'un ou de plusieurs groupes est équivalente, nous parlons alors "d'égalité". A chaque objet correspond le nombre "un" ou "unité" noté "1".

Pour former des groupements d'objets, nous pouvons opérer ainsi : à un objet, ajouter un autre objet, puis encore un et ainsi de suite; chacun des groupements, au point de vue de sa collectivité, est caractérisé par un nombre; il résulte de là qu'un nombre peut être considéré comme représentant un groupement d'unités tel que chacune de ces unités corresponde à un objet de la collection.

Définition: Deux nombres sont dits "égaux" si à chacune des unités de l'un nous pouvons faire correspondre une unité de l'autre et inversement. Si ceci ne se vérifie par alors nous parlons "d'inégalité".

Prenons un objet, puis un autre, puis au groupement formé, ajoutons encore un objet et ainsi de suite. Les groupements ainsi constitués sont caractérisés par des nombres qui, considérés dans le même ordre que les groupements successivement obtenus, constituent la "suite naturelle" notée et notée :

  (15)

Remarque: La présence du 0 (zéro) dans notre définition de est discutable étant donné qu'il n'est ni positif ni négatif. C'est la raison pour laquelle dans certains ouvrages vous pourrez trouver une définition de sans le 0.

Nous pouvons définir cet ensemble de façon générale et non axiomatique :  est l'ensemble le plus commun et intuitif d'abstraits quantitatifs arbitraires qui satisfont à des règles subjectives dépendantes de la complexe logique qui en est à l'origine.

Les constituants de cet ensemble peuvent être définis par (nous devons cette définition au mathématicien Gottlob) les propriétés (avoir lu au préalable le chapitre de théorie des ensembles est recommandé...) suivantes :

P1. 0 (lire "zéro") est le nombre d'éléments (défini comme une relation d'équivalence) de tous les ensembles équivalents à (en bijection avec) l'ensemble vide.

P2. 1 (lire "un") est le nombre d'éléments de tous les ensembles équivalents à l'ensemble dont le seul élément est 1.

P3. 2 (lire "deux") est le nombre d'éléments de tous les ensembles équivalents à l'ensemble dont tous les éléments sont 0 et 1.

P4. En général, un nombre entier est le nombre d'éléments de tous les ensembles équivalents à l'ensemble des nombres entiers le précédent!

La construction de l'ensemble des entiers naturels s'est faite de la manière la plus naturelle et cohérente qui soit. Les naturels doivent leur nom à ce qu'ils avaient pour objet, aux prémices de leur existence, de dénombrer des quantités et des choses de la nature ou qui intervenaient dans la vie de l'homme. L'originalité de l'ensemble réside dans la manière empirique dont il s'est construit car il ne résulte pas réellement d'une définition mathématique, mais davantage d'une prise de conscience par l'homme du concept de quantité dénombrable, de nombre et de lois qui traduisent des relations entre eux.

La question de l'origine de est dès lors la question de l'origine des mathématiques. Et de tout temps des débats confrontant les pensées des plus grands esprits philosophiques ont tenté d'élucider ce profond mystère, à savoir si les mathématiques sont une pure création de l'esprit humain ou si au contraire l'homme n'a fait que redécouvrir une science qui existait déjà dans la nature. Outre les nombreuses questions philosophiques que cet ensemble peut susciter, il n'en est pas moins intéressant d'un point de vue exclusivement mathématique. Du fait de sa structure, il présente des propriétés remarquables qui peuvent se révéler d'une grande utilité lorsque l'on pratique certains raisonnements ou calculs.

Remarquons immédiatement que la suite naturelle des nombres entiers est illimitée (cf. chapitre de Théorie Des Nombres) mais dénombrable (nous verrons cela plus bas), car, à un groupement d'objets qui se trouve représenté par un certain nombre n, il suffira d'ajouter un objet pour obtenir un autre groupement qui sera défini par un nombre entier immédiatement supérieur .

Définition: Deux nombres entiers qui différent d'une unité positive sont dits "consécutifs".

AXIOMES DE PEANO

Lors de la crise des fondements des mathématiques, les mathématiciens ont bien évidemment cherché à axiomatiser l'ensemble et nous devons l'axiomatisation actuelle à Peano et à Dedekind.

Les axiomes de ce système comportent les symboles < et = pour représenter les relations "plus petit" et "égal" (cf. chapitre sur les Opérateurs). Ils comprennent d'autre part les symboles 0 pour le nombre zéro et les symboles s pour représenter le nombre "sucesseur". Dans ce système, 1 est noté . ("successeur de zéro"), 2 est noté

Les axiomes de Peano qui construisent sont les suivants (voir le chapitre de la Théorie de la Démonstration pour certains symboles) :

A1. 0 est un entrier naturel (perment de poser que n'est pas vide)

A2. Tout entier naturel a un successeur, noté s(n).

Donc s est une application injective, c'est- à-dire :

si deux successeurs sont égaux, ils sont les successeurs d'un même nombre (cette propriété est présentée souvent à tort comme un axiome sur un grand nombre de sites internet).

A3. , le successeur d'un entier naturel n'est jamais égal à zéro (ainsi à un premier élément)

A4. , "axoime de récurrence" qui se doit se lire de la manière suivante : si l'on démontre qu'une propriété est vraie pour un x et son successeur, alors cette propriété est vraie pout tout x.

Donc l’ensemble de tous les nombres vérifiant les 4 axiomes sont : 

  (16)

Remarque: Les axiomes de Peano permettent de construire très rigoureusement les deux opérations de base de l'arithmétique que sont l'addition et la multiplication (cf. chapitre sur les Opérateurs) et ainsi tous les autres ensembles que nous verrons par la suite.

NOMBRES PAIRS, IMPAIRS ET PARFAITS

En arithmétique, étudier la parité d'un entier, c'est déterminer si cet entier est ou non un multiple de deux. Un entier multiple de deux est un entier pair, les autres sont les entiers impairs.

Définitions:

D1. Les nombres obtenus en comptant par deux à partir de zéro, (soit 0, 2, 4, 6, 8, …) dans cette suite naturelle sont appelés "nombres pairs".

Le  nombre pair est donné par la relation :

  (17)

D2. Les nombres que nous obtenons en comptant par deux à partir de un (soit 1, 3, 5, 7,... ) dans cette suite naturelle s'appellent "nombres impairs".

Le  nombre impair est donné par :

  (18)

Remarque: Nous appellons "nombres parfaits", les nombres égaux à la somme de leurs diviseurs entiers strictement plus petits qu'eux mêmes (concept que nous verrons en détail plus tard) comme par exemple: 6=1+2+3 et 28=1+2+4+7+14.

NOMBRES PREMIERS

Définition: Un "nombre premier" est un entier possédant exactement 2 diviseurs (ces deux diviseurs sont donc "1" et lui-même).

Remarque: A noter que la définition de nombre premier exclut le chiffre "1" car il a un unique diviseur (lui-même) et pas deux comme le veut la définition.

Nous pouvons nous demander s'il existe une infinité de nombres premiers ? La réponse est positive et en voici une démonstration (parmi tant d'autres) par l'absurde.

Démonstration:

Supposons qu'il en existe qu'un nombre fini de nombres premiers qui seraient :

  (19)

Nous formons un nouveau nombre. Le produit de tous les nombres premiers auquel nous ajoutons "1":

  (20)

Selon notre hypothèse initiale ce nouveau nombre devrait être divisible par l'un des nombres premiers existants (selon le théorème fondamental de l'arithmétique – cf. chapitre de Théorie Des Nombres) selon:

  (21)

Nous pouvons effectuer la division:

  (22)

Le premier terme se simplifie, car  est dans le produit. On note E cet entier:

  (23)

Or, q et E sont deux entiers, donc  doit être un entier. Mais  est par définition supérieur à 1. Donc  n'est pas un entier.

Contradiction : Les nombres premiers ne sont pas en nombre fini, mais infini.

C.Q.F.D.

Remarques:

R1.  (le produit des n premiers nombres premiers) est appelé "primorielle n".

R2. Nous renvoyons le lecteur au chapitre de cryptographie de la section d'informatique théorique pour étudier quelques propriétés remarquables des nombres premiers dont la non moins fameuse fonction phi d'Euler (ou appelé aussi "fonction indicatrice").

R3. L'étude des nombres premiers est un sujet immenésement vaste et certains théorèmes y relatifs sortent largement du cadre d'étude de ce site.

NOMBRES entiers RELATIFS

L'ensemble à quelques défauts que nous n'avons pas énoncés tout à l'heure. Par exemple, la soustraction de deux nombres dans n'a pas toujours un résultat dans (les nombres négatif n'y existent pas). Autre défaut, la division de deux nombres dans n'a également pas toujours un résultant dans (les nombres fractionnaires n'y existent pas).

Ainsi, nous pouvons dans un premier temps résoudre le problème de la soustraction en ajoutant à l'ensemble des entiers naturels, les entiers négatifs (concept révolutionnaire pour ceux qui en sont à l'origine) nous obtenons "l'ensemble des entiers relatifs" noté (pour Zahl de l'allemand) :

  (24)

L'ensemble des entiers naturels est donc inclus dans l'ensemble des entiers relatifs. C'est ce que nous notons sous la forme :

    (25)

et nous avons par définition (c'est un notation qu'il faut apprendre) : 

  (26)

Cet ensemble à été crée à l'origine pour faire de l'ensemble des entiers naturels un objet que nous appellons un "groupe" (cf. chapitre Théorie Des Ensembles) par rapport à l'addition.

Définition: Nous disons qu'un ensemble E est un "ensemble dénombrable", s'il est équipotent à . C'est-à-dire s'il existe une bijection de (cf. chapitre Théorie Des Ensembles)  sur E. Ainsi, grosso modo, deux ensembles équipotents ont "autant" d'éléments au sens de leurs cardinaux (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles), ou tout au moins la même infinité.

L'objectif de cette remarque est de faire comprendre que les ensembles  sont dénombrables.

Démontrons que est dénombrable en posant :

et   (27)

pour tout entier . Ceci donne l'énumération suivante 0,-1,1,-2,2,-3,3, ... de tous les entiers relatifs

Nombres RATIONNELS

L'ensemble à aussi un défaut. Ainsi, la division de deux nombres dans n'a également pas toujours un résultat dans (les nombres fractionnaires n'y existent pas). Nous disons alors dans le langage de la théorie des ensembles que la division n'est pas une opération interne dans .

Nous pouvons ainsi définir un nouvel ensemble qui contient tous les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction (rapport d'un dividende et d'un diviseur entiers) ou autrement dit : les nombres fractionnaires. Cet "ensemble des nombres rationnels" est noté :

  (28)

et où p et q sont des entiers sans facteurs commun

Nous supposerons par ailleurs comme évident que :

  (29)

La logique de la création de l'ensemble des nombres rationnels est similaire à celle des entiers relatifs. Effectivement, les mathématiciens ont souhaité faire de l'ensemble des nombre relatifs un "groupe" par rapport à la loi de multiplication et de division (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

De plus, contrairement à l'intuition, l'ensemble des nombres entiers et nombres rationnels sont équipotents. Nous pouvons nous persuader de cette équipotence en rangeant comme le fit Cantor, les rationnels dans un premier temps de la façon suivante:

Ce tableau est construit de telle manière que chaque rationnel n'apparaît qu'une seule fois (au sens de sa valeur décimale) par diagonale d'où le nom de la méthode : "diagonale de Cantor".

Nous définissons ainsi une application  qui est injective (deux rationnels distincts admettent des rangs distincts) et surjective (à tout place sera inscrit un rationnel: on le cherche par son dénominateur, puis en colonne pour son numérateur). 

L'application f est donc bijective:  et  sont donc bien équipotents !

La définition un peu plus rigoureuse (et donc moins sympathique) de se fait à partir de en procédant comme suit (il est intéressant d'observer les notations utilisées) :

Sur l'ensemble , qu'il faut lire comme étant l'ensemble construit à partir de deux éléments entiers relatifs dont on exclut le zéro pour le deuxième, on considère la relation R entre deux couples d'entiers relatifs définie par :

  (30)

Nous vérifions facilement ensuite que R est une relation d'équivalence (cf. chapitre sur les Opérateurs) sur .

L'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation R noté alors est par définition . C'est-à-dire que nous posons alors plus rigoureusement :

  (31)

La classe d'équivalence de est notée :

  (32)

conformément à la notation que tout le monde a l'habitude d'employer.

Nous vérifions facilement que l'addition et la multiplication qui étaient des opérations définies sur en posant : passent sans problème à

  (33)

De plus ces opérations munissent d'une structure de corps (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) avec comme élément neutre additif et comme élément neutre multiplicatif. Ainsi, tout élément non nul de est inversible, en effet :

  (34)

ce qui s'écrit aussi plus techniquement :

  (35)

Remarque: Même si nous aurions envie de définir comme étant l'ensemble où représente les numérateurs et les dénominateurs des rationnels, ceci n'est pas possible car autrement nous aurions par exemple tandis que nous nous attendons à une égalité.

D'où le besoin d'introduire une relation d'équivalence qui nous permet d'identifier, pour revenir à l'exemple précédent, . La relation R que nous avons définie ne tombe pas du ciel, en effet le lecteur qui a manipulé les rationnels jusqu'à présent sans jamais avoir vu leur définition formelle sait que :

  (36)

Il est donc naturel de définir la relation R comme nous l'avons fait. En particulier, en ce qui concerne l'exemple ci-dessus, car et le problème est résolu.

Outre les circonstances historiques de sa mise en place, ce nouvel ensemble se distingue des ensembles d'entiers relatifs car il induit la notion originale et paradoxale de quantité partielle. Cette notion qui a priori n'a pas de sens, trouvera sa place dans l'esprit de l'homme notamment grâce à la géométrie où l'idée de fraction de longueur, de proportion s'illustre plus intuitivement.

Nombres IRRATIONNELS

L'ensemble des rationnels est limité et non suffisant lui aussi. Effectivement, nous pourrions penser que tout calcul mathématique numérique avec les opérations communément connues se réduisent à cet ensemble mais ce n'est pas le cas.

Exemples :

E1. Prenons le calcul de la racine carrée de deux que nous noterons  . Supposons que  soit rationnel. Alors, nous devrions pouvoir l'exprimer comme a/b, où a et b sont des entiers sans facteurs commun . Pour cette raison, a et b ne peuvent tous les deux être pairs. Il y a deux possibilités :

1. a est impair (b est alors pair)

2. a est pair (b est alors impair)

En mettant au carré, nous avons :

     (37)

qui peut s'écrire : 

  (38)

Puisque le carré d'un nombre impair est impair et le carré d'un nombre pair est pair, le cas (1) est impossible, car  serait impair et  serait pair.

Le cas (2) est aussi est aussi impossible, car alors nous pourrions écrire , où c est un entier quelconque, et donc si nous le portons au carré on avons  où nous avons un nombre pair des deux côtés de l'égalité. En remplaçant dans  nous obtenons.  serait impair alors que  serait pair. Il n'y a pas de solution; c'est donc que l'hypothèse de départ est fausse et qu'il n'existe pas deux entiers a et b tels que .

E2. Démontrons, aussi par l'absurde, que le fameux nombre d'Euler e est irrationnel. Pour cela, rappelons que e (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle) est peut aussi être défini par la série de Taylor (cf. chapitre sur les Suites Et Séries):

  (39)

Alors si e est rationnel, il doit pouvoir s'écrire sous la forme p/q (avec , car nous savons que eq! : n'est pas entier). Multiplions les deux côtés de côtés de l'égalité par

  (40)

Le premier membre, q!e, est un entier, car, par définition :

  (41)

d'où :

  (42)

Les premiers termes du seconde membre, jusqu'au terme q!/q!=1 sont aussi des entiers (car q!/m! se simplifie si q>m). Donc, par soustraction, nous trouvons :

  (43)

devrait aussi être un entier.

Après simplification, le second membre de l'égalité devient :

  (44)

le premier terme de cette somme est strictement inférieur à 1/2, le deuxième inférieur à 1/4, le troisième inférieur à 1/8, etc.

Donc, vu que chaque terme est strictement inférieur aux termes de la série harmonique suivant qui converge vers 1:

1/2+1/4+1/8+…=1   (45)

Alors par conséquent, elle n'est pas un entier (étant strictement inférieur à 1), ce qui constitue une contradiction.

Ainis, les nombres rationnels ne satisfont pas à l'expression numérique de comme de e (pour citer seulement deux exemples particuliers).

Il faut donc les compléter par l'ensemble de tous les nombres qui ne peuvent s'écrire sous forme de fraction (rapport d'un dividende et d'un diviseur entiers sans facteurs connum) et que nous appelons des "nombres irrationnels".

NOMBRES RÉELS

Définition: La réunion des nombres rationnels et irrationnels donne "l'ensemble des nombres réels".

Donc nous pouvons écrire que :

  (46)

Remarque: Les mathématiciens dans leur rigueur habituelle ont différentes techniques pour définir les nombres réels. Ils utilisent pour cela des propriétés de la topologie (entre autres) et en particulier les suites de Cauchy mais c'est une autre histoire qui dépasse le cadre formel du présent chapitre.

Nous sommes évidemment amenés à nous poser la question si  est dénombrable ou non. La démonstration est assez simple.

Démonstration:

Par définition, nous avons vu plus haut qu'il doit y avoir une bijection entre   et  pour que dire que  soit dénombrable.

Pour simplifier, nous allons montrer que l'intervalle  n'est alors pas dénombrable; ce qui implique bien sûr par extension que ne l'est pas.

Les éléments de cet intervalle sont représentés par des suites infinies entre 0 et 9 (dans le système décimal) :

- Certaines de ces suites sont nulles à partir d'un certain rang, d'autres non

- Nous pouvons donc identifier [0,1[ à l'ensemble de toutes les suites (finies ou infinies) d'entiers compris entre 0 et 9

n°1					…		…
n°2					…		…
n°3					…		…
n°4					...		…
n°5					…		…
n°6					…		…
	…
		…
			…
n°k					…		…
						…

Si cet ensemble était dénombrable, nous pourrions les classer (avec une première, une deuxième, etc.). Ainsi, la serait classée première et ainsi de suite…

On pourrait alors modifier cette matrice infinie de la manière suivant : a chaque élément de la diagonale, rajouter 1, selon la règle : 0+1=1, 1+1=2, 8+1=9 et 9+1=0

n°1	+1				…		…
n°2		+1			…		…
n°3			+1		…		…
n°4				+1	...		…
n°5					…		…
n°6					…		…
	…
		…
			…
n°k					…		…
						…

Alors considérons la suite infinie qui se trouve sur la diagonale :

- Elle ne peut être égale à la première car elle s'en distingue au moins par le premier élément

- Elle ne peut être égale à la deuxième car elle s'en distingue au moins par le deuxième élément

- Elle ne peut être égale à la troisième car elle s'en distingue au moins par le troisième élément

- et ainsi de suite…

- Elle ne peut donc être égale à aucune des suites contenues dans ce tableau.

Donc, quel que soit le classement choisi des suites infinies de 0…9, il y en a toujours une qui échappe à ce classement! C'est donc qu'il est impossible de les numéroter… tout simplement parce qu'elles ne forment pas un ensemble dénombrable.

C.Q.F.D.

La technique qui nous a permis d'arriver à ce résultat est connue sous le nom de "procédé diagonal de Cantor" (car similaire à celle utilisée pour l'équipotence entre ensemble naturel et rationnel) et l'ensemble des nombres réels est dit avoir "la puissance du continu" de par le fait qu'il est indénombrable.

Remarque: Nous supposerons intuitif pour le lecteur que tout nombre réel peut être approché infiniment près par un nombre rationnel (pour les nombres irrationnels il suffit de s'arrêter à un nombre de décimales données et d'en trouver la rationnel correspondant). Les mathématiciens disent alors que  est "dense" dans  et notent cela :

  (49)

NOMBRES TRANSFINIS

Nous nous retrouvons donc avec un "infini" des nombres réels qui est différent de celui des nombres naturels. Cantor osa alors ce que personne n'avait osé depuis Aristote : la suite des entiers positifs est infinie, l'ensemble  , est donc un ensemble qui  a une infinité d'éléments, alors il affirma que le cardinal (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) de cet ensemble était un nombre qui existait comme tel sans que l'on utilise le symbole fourre tout , il le nota:

  (50)

Ce symbole est la première lettre de l'alphabet hébreu, qui se prononce "aleph zéro". Canton allait appeler ce nombre étrange, un nombre "transfini".

L'acte décisif est d'affirmer qu'il y a, après le fini, un transfini, c'est-à-dire une échelle illimitée de modes déterminés qui par nature sont infinis, et qui cependant peuvent êtres précisés, tout comme le fini, par des nombres déterminés, bien définis et distinguables les uns des autres !!

Après ce premier coup d'audace allant à l'encontre de la plupart des idées reçues depuis plus de deux mille ans, Cantor allait poursuivre sa lancée et établir des règles de calcul, paradoxales à première vue, sur les nombres transfinis. Ces règles se basaient, comme nous l'avons défini tout à l'heure, sur le fait que deux ensembles infinis sont équivalent s'il existe une bijection entre les deux ensembles.

Ainsi, nous pouvons facilement montrer que l'infini des nombres pairs est équivalent à l'infini des nombres entiers : pour cela, il suffit de montrer qu'à chaque nombre entier, nous pouvons associer un nombre pair, son double, et inversement.

Ainsi, même si les nombres paires sont inclus dans l'ensemble des nombres entiers, il y en a une infinité  égale, les deux ensembles sont équipotents. En affirmant qu'un ensemble peut être égale à une de ses parties, Cantor va à l'encontre ce qui semblait être une évidence pour Aristote et Euclide: l'ensemble de tous les ensembles est infini ! Cela va ébranler la totalité des mathématiques et va amener à l'axiomatisation de Zermelo-Frankel que nous verrons en théorie des ensembles.

A partir de ce qui précède, Cantor établit les règles de calculs suivants sur les cardinaux:

  (51)

Nous pouvons remarquer que ces règles ne sont pas nécessairement intuitives.

A première vue ces règles semblent non intuitives mais en fait elles le sont bien. En effet, Cantor définit l'addition de deux nombres transfinis (comme le cardinal de l'union disjointe des ensembles correspondants.

Exemples:

E1. En notant donc le cardinal de nous avons qui est équivalent à dire que nous sommons le cardinal de union disjointe . Or union disjointe est équipotent à donc (il suffit pour s'en convaincre de prendre l'ensembles des entiers pairs et impairs tout deux dénombrables dont l'union disjointe est dénombrable).

E2. Autre exemple trivial : correspond au cardinal de l'ensemble union un point. Ce dernier ensemble est encore équipotent à donc .

Nous verrons également lors de notre étude de la théorie des ensembles que le concept de produit cartésien de deux ensembles dénombrable est tel que nous ayons :

  (52)

et donc :

  (53)

De même (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles), puisque et en identifiant à (rapport d'un numérateur sur un dénominateur), nous pouvons aussi écrire :

et   (54)

Nous pouvons d'ailleurs démontrer un énoncé intéressant : si nous considérons le cardinal de l'ensemble de tous les cardinaux, il est nécessairement plus grand que tous les cardinaux, y compris lui-même (il vaut mieux avoir lu le chapitre de théorie des ensembles au préalable) !

A l'énoncé : soit A un ensemble non vide. Alors où est l'ensemble des parties de A .

C'est-à-dire par définition de la relation d'ordre < (strictement inférieur), qu'il faut montrer qu'il n'existe pas d'application surjective, en d'autres termes qu'à chaque élément de l'ensemble des parties de A il ne correspond pas au moins une pré-image dans A.

Remarque: est par exemple constitué de l'ensemble des nombres impairs, pairs, premiers, et l'ensemble des naturels, ainsi que l'ensemble vide lui-même, etc. est d'onc l'ensemble de toutes les "patates" possibles qui forment (pour emprunter le vocabulaire à la petite école).

Démonstration (par l'absurde):

L'idée maintenant est de supposer que nous pouvons numéroter chacune des patates avec au moins un élément de A (imaginez cela avec ). En d'autres termes que est surjective et considérons un sous-ensemble de A tel :

  (55)

c'est-à-dire l'ensemble d'éléments x de A qui n'appartiennent pas à l'ensemble numéro x (l'élément x n'appartient pas à la patate qu'il numérote… en d'autres termes).

Or, si f est surjective il existe alors un tel que :

  (56)

Mais si alors et de par la définition de E nous avons alors et nous avons donc une absurdité de par l'hypothèse de la surjectivité!

C.Q.F.D.

nOMBRES COMPLEXES

Inventés au 18ème siècle entre autres par Jérôme Cardan et Rafaello Bombelle, ces nombres permettent de résoudre des problèmes n'ayant pas de solutions dans ainsi que de formaliser mathématiquement certaines transformations dans le plan tel que la rotation, la similitude, la translation, etc. Pour les physiciens, les nombres complexes constituent surtout un moyen très commode de simplifier les notations. Il est ainsi très difficile d'étudier les phénomènes ondulatoires, la relativité générale ou la mécanique quantique sans recourir aux nombres et expressions complexes.

Il existe plusieurs manière de constuire les nombres complexes. La première est typique de la construction telle que les mathématiciens en ont l'habitude dans le cadre de la théorie des ensembles. Ils définissent un couple de nombres réels et définissent des opérations entre ces couples pour arriver enfin à une signification du concept de nombre complexe. La deuxième est moins rigoureuse mais son approche est plus simple et consiste à définir le nombre imaginaire pur unitaire i et ensuite de construire les opérations arithmétique à partir de sa définition. Nous allons opter pour cette deuxième méthode.

Définitions:

D1. Nous définissons le nombre imaginaire unitaire pur que nous notons i par la propriété suivante :

  (57)

D2. Un "nombre complexe" est un couple d'un nombre réel a et d'un nombre imaginaire ib et s'écrit généralement sous la forme suivante : 

z = a+ib    (58)

a et b étant des nombres appartenant à .

Nous notons l'ensemble des nombres complexes  et avons donc par construction :

  (59)

Remarque: L'ensemble est identifié au plan affine euclidien orienté E (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) grâce au choix d'une base orthonormée directe (nous obtenons ainsi le "plan d'Argand-Cauchy" ou plus communément "plan de Gauss" que nous verrons un peu plus loin).

L'ensemble des nombres complexes qui constitue un corps (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles), et noté , est défini (de manière simple pour commencer) par dans la notation de la théorie des ensembles par :

  (60)

En d'autres termes nous disons que le corps  est le corps  auquel nous avons "adjoint" le nombre imaginaire i. Ce qui se note formellement :

L'addition et la multiplication de nombres complexes sont des opérations internes à l'ensemble des complexes (nous reviendrons beaucoup plus en détail sur certaines propriétés des nombres complexes dans le chapitre traitant de la théorie des ensembles) et définies par:

  (61)

La "partie réelle" de z est traditionnellement notée: 

  (62)

La "partie imaginaire" de z est notée: 

  (63)

Le "conjugué" ou "conjugaison" de z est défini par:

    (64)

et est aussi parfois noté (en particulier en physique quantique!).

A partir d'un complexe et de son conjugué, il est possible de trouver ses parties réelles et imaginaires. Ce sont les relations évidentes suivantes :

 et   (65)

Le "module" de z (ou "norme") représente la longueur par rapport au centre du plan de Gauss (voir un peu plus bas ce qu'est le plan de Gauss) et est simplement calculé avec l'aide du théorème de Pythagore: 

  (66)

Remarque: La notation  pour le module n'est pas innocente puisque  coïncide avec la valeur absolue de z lorsque z est réel.

La division entres deux complexes se calcule comme:

  (67)

L'inverse d'un complexe se calculant de façon similaire :

  (68)

Nous pouvons aussi énumérer 8 importantes propriétés du module et du conjugué complexe:

P1. Nous affirmons que :

  (69)

Démonstration:

Par définition du module  , pour que la somme  soit nulle, la condition nécessaire est que

C.Q.F.D.

P2. Nous affirmons que :

  (70)

Démonstration:

  (71)

C.Q.F.D.

P3. Nous affirmons que :

  (72)

Démonstration:

Les deux inégalités ci-dessus peuvent s'écrire:

  (73)

donc équivalent respectivement à:

  (74)

qui sont triviales. Bien entendu  si et seulement si  avec le même type de raisonnement pour la partie imaginaire.

C.Q.F.D.

P4. Nous affirmons que :

 et si   (75)

Démonstrations:

  (76)

et:

  (77)

C.Q.F.D.

P5. Nous affirmons que :

  (78)

Démonstration:

  (79)

C.Q.F.D.

P6. Nous affirmons que :

  (80)

Démonstrations:

  (81)

et :

  (82)

et :

  (83)

C.Q.F.D.

Remarques:

R1. En des termes mathématiques, la première démonstration permet de montrer que la conjugaison complexe est ce que l'on appelle "involutive" (dans le sens qu'elle ne fait rien évoluer...)

R2. En des termes tout aussi mathématiques (ce n'est que du vocabulaire!), la deuxième démonstration montre que la conjugaison de la somme de deux nombres complexes est ce que nous appelons un "automorphisme du groupe" (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

R3. Encore une fois, pour le vocabulaire..., la troisième démonstration montre que la conjugaison du produit de deux nombres complexes est ce que nous appelons un "automorphisme du corps" (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

P7. Nous affirmons que :

  (84)

Nous nous restreindrons à la démonstration de la seconde relation qui est un cas général de la première (pour ).

Démonstration:

  (85)

C.Q.F.D.

P8. Nous avons :

    (86)

pour tous complexes . De plus l'égalité a lieu si et seulement si  et  sont colinéaires (les vecteurs sont "sur la même droite") et de même sens, autrement dit .... s'il existe  tel que  ou .

Démonstration:

  (87)

A priori cette inégalité peut ne pas paraître évident à tout le monde alors développons un peu et supposons-la vraie:

    (88)

Après simplification:

  (89)

et encore après simplification:

  (90)

Cette dernière relation démontre donc que l'inégalité est vraie.

C.Q.F.D.

Remarque: Il existe une forme plus générale de cette inégalité appelée "inagélité de Minkowski" présentée dans le chapitre de calcul vectoriel (les nombres complexes peuvent effectivement s'écrire sous la forme de vecteus comme nous allons le voir de suite.

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

Nous pouvons aussi représenter un nombre complexe  ou  dans un plan délimité par deux axes (deux dimensions) de longueur infinie et orthogonaux entres eux. L'axe vertical représentant la partie imaginaire d'un nombre complexe et l'axe horizontal la partie réelle (voir figure ci-après). 

On nomme parfois ce type de représentation "plan de Gauss".

Nous voyons sur ce diagramme qu'un nombre complexe a donc une interprétation vectorielle (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) donnée par :

  (91)

où est le vecteur de la base unitaire réelle porté par l'axe et est le vecteur de la base unitaire réelle porté par l'axe .

Ceci est comparé avec le un vecteur du plan habituel :

  (92)

Par ailleurs, la définition du cosinus et sinus (cf. chapitre de Trigonométrie) nous donne :

  (93)

Finalement :

  (94)

Ainsi :

  (95)

complexe qui est toujours égal à la lui-même modulo de par les propriétés des fonctions trigonométriques :

  (96)

avec et où  est appelé "l'argument de z" et est noté traditionnellement :

Les propriétés du cosinus et du sinus (cf. chapitre de Trigonométrie) nous amènement directement à écrire pour l'argument :

 et   (97)

Nous démontrons entre autres avec les séries de Taylor (cf. chapitre des Suites Et Séries) que :

  (98)

et:

  (99)

dont la somme est semblable à:

  (100)

mais par contre parfaitement identique au développement de Taylor de :

  (101)

Donc finalement, nous pouvons écrire :

  (102)

relation nommée "formule d'Euler".

Grâce à la forme exponentielle d'un nombre complexe (très fréquemment utilisée en physique et électrotechnique) nous pouvons très facilement tirer des relations telles que :

  (103)

et en supposant connues les relations trigonométriques de bases (cf. chapitre de Trigonométrie) nous avons les relations suivantes pour la multiplication de deux nombres complexes :

  (104)

dès lors :

  (105)

et donc :

  (106)

Pour le module de la multiplication : 

  (107)

d'où :

  (108)

Pour la division de deux nombres complexes :

  (109)

Le module de leur division vient alors immédiatement :

  (110)

dès lors nous avons pour l'argument :

  (111)

ains il vient immédiatement :

  (112)

Pour la mise en puissance d'un nombre complexe (ou la racine):

  (113)

ce qui nous donne imédiatement : 

  (114)

et pour l'argument :

  (115)

Dans le cas où nous avons un module unité tel que  nous avons alors la relation :

  (116)

apelée "formule de Moivre".

Pour le logarithme népérien:

  (117)

Toutes les relations obtenues précédemment pourraient bien sûr être obtenus avec la forme trigonométrique des nombres complexes mais nécessiteraient alors quelques lignes supplémentaires.

Remarque: Une variation sinusoïdale peut être représentée comme la projection (cf. chapitre de Trigonométrie) sur l'axe vertical (axe des imaginaires de l'ensemble ) d'un vecteur tournant à vitesse angulaire autour de l'origine dans le plan :

Un tel vecteur tournant s'appelle "vecteur de Fresnel" et peut très bien être interprété comme la partie imaginaire d'un nombre complexe donné par :

  (118)

Nous retrouverons les vecteurs tournants de façon explicite lors de notre étude de la mécanique ondulatoire et optique géométrique (dans le cadre de la diffraction).

TRANSFORMATIONS DANS LE PLAN

Il est habituel de représenter les nombres réels comme points d'une droite graduée. Les opérations algébriques y ont leur interprétation géométrique: l'addition est une translation, la multiplication une homothétie centrée à l'origine.

En particulier nous pouvons parler de la "racine carrée d'une transformation". Une translation d'amplitude a peut être obtenue comme l'itération d'une translation d'amplitude a/2. De même une homothétie de rapport a peut être obtenue comme l'itérée d'une homothétie de rapport . En particulier une homothétie de rapport 9 est la composée de deux homothéties de rapport 3 ( ou -3).

La racine carrée prend alors un sens géométrique. Mais qu'en est-il de la racine carrée de nombres négatifs?  En particulier la racine carrée de -1?

Une homothétie de rapport -1 peut être vue comme une symétrie par rapport à l'origine; toutefois si nous voulons voir cette transformation d'une manière continue, force nous est de placer la droite dans un plan. Dès lors une homothétie de rapport -1 peut être vue comme une rotation de  radians autour de l'origine.

Du coup, le problème de la racine carrée se simplifie. En effet il n'est guère difficile de décomposer une rotation de  radians en deux transformations: nous pouvons répéter soit une rotation de  soit une rotation de . L'image de 1 sera la racine carrée de -1 et i est située sur une perpendiculaire à l'origine à une distance 1 soit vers le haut soit vers le bas.

Ayant réussi à positionner le nombre i il n'est plus guère difficile de disposer les autres nombres complexes dans un plan de Gauss. Nous pouvons ainsi associer à  le produit de l'homothétie (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) de rapport 2 par la rotation de centre O et d'angle , soit une similitude centrée à l'origine. C'est ce que nous allons nous efforcer à montrer maintenant.

Soient :

  (119)

et .

Nous avons les propriétés de transformations géométriques suivantes pour les nombres complexes (voir le chapitre de Trigonométrie pour les propriétés du sinus et cosinus) que nous pouvons joyeusement combiner selon notre bon vouloir :

P1. La multiplication de par un réel dans le plan de Gauss correspond (trivial) à une homothétie (agrandissement) de centre O (l'intersection des axes imaginaires et réels), de rapport .

Démonstration :

  (120)

C.Q.F.D.

P2. La multiplication de par un nombre complexe de module unitaire :

  (121)

correspond à une rotation de centre O et d'angle du complexe .

Démonstration:

  (122)

C.Q.F.D.

Remarque: Nous voyons alors immédiatement, par exemple, que multiplier un nombre complexe par i (c'est-à-dire ) correspond à une rotation de .

Il est intéressant d'observer que sous forme vectorielle la rotation de centre O de par peut s'écrire à l'aide de la matrice suivante :

  (123)

Démonstration:

Nous savons que est une rotation de centre O et d'angle . Il suffit de l'écrire à l'ancienne :

  (124)

ce qui donne sous forme vectorielle :

  (125)

donc l'application linéaire est :

  (126)

ou encore (nous retombons sur la matrice de rotation dans le plan que nous avons dans le chapitre de géométrie euclidienne ce qui est un résultat remarquable!) :

  (127)

Remarquons que la matrice de rotation peut aussi s'écrire sous la forme :

  (128)

de même :

  (129)

C.Q.F.D.

Ainsi nous remarquons que ces matrices de rotation ne sont pas que des application mais sont des nombres complexes aussi (bon c'était évident dès le début mais fallait le montrer de manière esthétique et simple).

Ainsi, nous avons pour habitude de poser en analyse complexe que :

  (130)

Le corps des nombres complexes est donc isomorphe au corps des matrices réelles carrées de dimension 2. C'est un résultat que nous réutiliserons de nombreuses fois dans divers chapitres de ce site pour des études particulières en algèbre, géométrie et en physique quantique relativiste.

P3. La multiplication de deux complexes correspond à une homothétie ajoutée d'une rotation. En d'autres termes, d'une "similitude directe".

Démonstration:

  (131)

il s'agit donc bien d'une similitude de rapport a et d'angle .

C.Q.F.D.

Au contrait, l'opération suivante :

  (132)

sera appelée une "similitude linéaire rétrograde".

Par ailleurs, il en retourne trivialement que :

  (133)

Remarques:

R1. La somme de deux nombres complexes ne pouvant avoir une écriture mathématique simplifiée sous quelque forme que ce soit, nous disons alors que la somme équivaut à une "translation d'amplitude".

R2. La combinaison d'une similitude linéaire (multiplication de deux nombres complexes) directe et d'une translation d'amplitude (sommation par un troisième nombre complexe) correspond à ce que nous appelons une "similitude linéaire directe".

P4. Le conjugué d'un nombre complexe est géométriquement son symétrique par rapport à l'axe tel que :

  (134)

sans oublier que . Ce qui nous donne :

  (135)

D'où nous pouvons tirer la propriété suivante :

  (136)

P5. La négation du conjugué d'un nombre complexe est géométriquement son symétrique par rapport à l'axe des imaginaires tel que :

  (137)

Remarques:

R1. La combinaison de P4, P5 est appelée une "similitude rétrograde".

R2. L'opération géométrique qui consiste à prendre l'inverse du conjugué d'un nombre complexe (soit est appelé une "inversion de pôle".

P6. La rotation de centre c et d'angle est donnée par :

  (138)

Explication : le complexe c donne un point dans le plan de Gauss. La différence , choisie pour que la rotation se fasse dans le sens des aiguilles d'une montre lorsque (sinon on prend ), donne le rayon du cercle. La multiplication par , la rotation du rayon par rapport à l'origine du plan de Gauss. Finalement, l'addition par c la translation nécessaire pour ramener le rayon r tourné à l'origine du centre c.

Sur la même idée, nous obtenons une homothétie de centre c, de rapport par l'opération :

  (139)

Explication : La différence donne toujours le rayon r et c un point dans le centre de Gauss. donne l'homothétie du rayon par rapport à l'origine du plan de Gauss et finalement l'addition par c la translation nécessaire pour que l'homothétie soit vue comme étant faite de centre c.

NOMBRES QUATERNIONS

Appelés aussi "hypercomplexes", ces nombres ont été inventés en 1843 par William Rowan Hamilton pour généraliser les nombres complexes.

Définition: Un quaternion est un élément et dont nous notons l'ensemble qui le contient et que nous appelons "ensemble des quaternions".

Un "quaternion" peut aussi bien être représenté en ligne ou en colonne tel que :

  (140)

Nous définissons la somme de deux quaternions (a,b,c,d) et (a',b',c',d') par :

  (141)

Il est évident (du moins nous l'espérons pour le lecteur) que est un groupe commutatif (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles), d'élément neutre (0,0,0,0), l'opposé d'un élément (a,b,c,d) étant (-a,-b,-c,-d)

Remarque: C'est l'addition naturelle dans vu comme -espace vectoriel (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

L'associativité se vérifie en appliquant les propriétés correspondantes des opérations sur .

Nous définissons également la multiplication de deux quaternions (a,b,c,d) et (a',b',c',d') par l'expression :

  (142)

Nous pouvons remarquer que la loi de multiplication n'est pas commutative. Effectivement :

  (143)

Mais nous pouvons remarquer que :

  (144)

Remarque: La loi de multiplication est distributive avec la loi d'addition mais c'est un excellent exemple où il faut quand même prendre garde à démontrer la distributivité à gauche et à droite, puisque le produit n'est pas commutatif !

La multiplication à pour élément neutre (1,0,0,0). Effectivement :

  (145)

Tout élément est inversible. En effet, si (a,b,c,d) est un quaternion non nul, nous avons alors nécessairement (sinon les quatre nombres a,b,c,d sont de carré nul, donc tous nuls). Soit alors le quaternion défini par :

  (146)

En appliquant machinalement la définition de la multiplication des quaternions, nous vérifions que :

  (147)

Montrons (pour la culture générale), même si c'est un travail très facile à faire soi-même, que le corps des complexes est un sous-corps de .

Remarque: Nous aurions pu mettre cette démonstration dans le chapitre de théorie des ensembles car nous faisons usage de beaucoup de concepts qui y sont vus mais il nous a semblé un peu plus pertinent de la mettre ici.

Soit l'ensemble des quaternions de la forme (a,b,0,0). est non vide, et si (a,b,0,0), (a',b',0,0) sont des éléments de . Effectivement :

P1. Pour la soustraction :

  (148)

P2. La multiplication :

  (149)

P3. L'élément neutre :

  (150)

P4. Et finalement l'inverse :

  (151)

de (a,b,0,0) est encore dans

Donc est un sous-corps de . Soit alors l'application :

  (152)

f est bijective, et nous vérifions aisément que pour tous complexes , nous avons :

  (153)

Donc f est un isomorphisme de sur .

Cet isomorphisme a pour intérêt (provoqué) d'identifier à et d'écrire , les lois d'addition et de soustraction sur prolongeant les opérations déjà connues sur .

Ainsi, par convention, nous écrirons tout élément de (a,b,0,0) de sour la forme complexe a+ib. En particulier 0 est l'élément (0,0,0,0), 1 l'élément (1,0,0,0) et i l'élément (0,1,0,0).

Nous notons par analogie et extension j l'élément (0,0,1,0) et k l'élément (0,0,0,1). La famille forme une base de l'ensemble des quaternions vu comme un espace vectoriel sur ., et nous écrirons ainsi le quaternion (a,b,c,d).

La notation des quaternions sous forme définie avant est parfaitement adaptée à l'opération de multiplication. Pour le produit de deux quaternions nous obtenons en développant l'expression :

  (154)

16 termes que nous devons identifier à la définition d'origine de la multiplication des quaternions pour obtenir les relations suivantes :

  (155)

Ce qui peut se résumer dans un tableau :

·	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	-1	k	-j
j	j	-k	-1	i
k	k	j	-i	-1

Nous pouvons constater que l'expression de la multiplication de deux quaternions ressemble en partie beaucoup à un produit vectoriel (noté sur ce site) et scalaire (noté sur ce site) :

  (157)

Si ce n'est pas évident (ce qui serait tout à fait compréhensible), faisons un exemple concret.

Exemple :

Soient deux quaternions sans partie réelle :

  (158)

et les vecteurs de de coordonnées respectives (x,y,z) et (x',y',z'). Alors le produit :

  (159)

est :

Nous pouvons aussi par curiosité nous intéresser au cas général. Soient deux quaternions :

  (160)

Nous avons alors :

  (161)

Définition: Le centre du corps non-commutatif est l'ensemble des éléments de . commutant pour la loi de multiplication avec tous les éléments de

Nous allons montrer que le centre de est l'ensemble des réels : soit le centre de , et (x,y,z,t) un quaternion. Nous devons avoir les conditions suivantes qui soient satisfaites :

Soit alors pour tout nous cherchons :

  (162)

en développant :

  (163)

après simplification (la première du système précédent est nulle des deux côtés de l'égalité) :

  (164)

la résolution de ce système, nous donne .

Donc pour que le quaternion (x,y,z,t) soit le centre de il doit être réel (sans parties imaginaires). Au même titre que pour les nombres complexes, nous pouvons définir un conjugué des quaternions :

Définition: Le conjugué d'un quaternion est le quaternion

Au même titre que pour les complexes, nous remarquons que :

1. D'abord de manière évidente que si alors cela signifie que .

2. Que

3. Qu'en développant le produit nous avons :

  (165)

que nous adopterons, par analogie avec les nombres complexes, comme une définition de la norme (ou module) des quaternions tel que :

  (166)

Remarque: Dès lors

Comme pour les nombres complexes (voir plus loin), il est aisé de montrer que la conjugaison est un automorphisme du groupe . C'est-à-dire que :

P1. Soient et alors :

  (167)

Ainsi qu'elle est involutive :

P2. Soient alors :

  (168)

La conjugaison n'est par contre pas un automorphisme multiplicatif du corps . En effet, si nous considérons la multiplication de et en prenons le conjugué :

  (169)

nous voyons immédiatement que cela ne correspond pas à :

  (170)

Revenons maintenant sur notre norme (ou module). Calculons le carré de la norme de :

  (171)

Nous savons (par définition) que :

  (172)

notons ce produit de manière telle que . Nous avons alors :

  (173)

en substituant il vient :

  (174)

après un développement algébrique élémentaire (honnêtement ennuyeux), nous trouvons :

  (175)

Donc :

  (176)

Remarque: La norme est donc un homomorphisme de dans . Par la suite, nous noterons G l'ensemble des quaternions de norme 1.

INTERPRETATION MATRICIELLE

Soit q un quaternion donné, soit l'application . La multiplication (à gauche) peut être faite avec une application linéaire (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) sur . Si q s'écrit , cette application a pour matrice, dans la base :

  (177)

Ainsi :

  (178)

En fait, nous pouvons alors définir les quaternions comme l'ensemble des matrices de cette forme si nous le voulions. Cela les réduirait alors à un sous espace vectoriel de .

En particulier, la matrice de 1 (la partie réelle du quaternion) n'est alors rien d'autre que la matrice de l'identité :

  (179)

de même :

  (180)

A la matrice définie avant, les mathématiciens lui préfèrent cependant la suivante (car quelques petits changements que nous allons voir de suite permettent d'obtenir un résultat remarquable) :

  (181)

Remarque: Pour cette matrice aussi nous pouvons associer des matrices
propres selon le même principe que précédemment.

Ainsi deux quaternions q et q' peuvent être sommés, respectivement multipliés par leur matrice représentative (d'ailleurs cela fonctionne aussi avec celle définie précédemment)!

Avec cette équivalence, la somme et le produit de deux quaternions correspondent respectivement à la somme et au produit des matrices qui leur correspondent.

En nous rappelant lors de notre étude des nombres complexes que :

  (182)

La matrice précédente peut s'écrire :

  (183)

La matrice complexe précédente peut alors s'écrire sous la forme :

  (184)

où les 4 matrices :

  (185)

sont les matrices complexes qui correspondent aux quatre quaternions-unités 1, i, j et k évoquées dans la première définition des quaternions et nous vérifions avec ces matrices aisément que le table suivante est toujours vérifiée ! :

·	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	-1	k	-j
j	j	-k	-1	i
k	k	j	-i	-1

ROTATIONS

Nous allons maintenant voir que la conjugaison par un élément du groupe G (quaternion de norme 1) peut s'interpréter comme une rotation dans l'espace !

Définition: La "conjugaison" par un quaternion q non nul et de norme unité est l'application définie sur par :

  (187)

et nous affirmons que ce cette application est une rotation.

Remarques:

R1. Comme q est de norme 1, nous avons bien évidemment donc . Ce quaternion peut être vu comme la valeur propre (unitaire) de l'application (matricielle) p sur le vecteur (on se retrouve avec un concept en tout point similaire aux matrices orthogonales de rotation vues en algèbre linéaire).

R2. est une application linéaire (donc si c'est bien une rotation, la rotation peut être décomposée en plusieurs rotations). Effectivement, prenons deux quaternions et des réels, alors nous avons :

  (188)

Vérifions maintenant que l'application est bien une rotation. Comme nous l'avons vu lors de notre étude de l'algèbre linéaires et en particulier les matrices orthogonales (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire), une condition est que l'application conserve la norme.

Vérifions :

  (189)

Par ailleurs, nous pouvons vérifier qu'une rotation d'un quaternion purement complexe (tel qu'alors nous nous restreignons à ) et la même rotation inverse sommées est nul (le vecteur sommé à son opposé s'annulent) :

  (190)

nous vérifions trivialement que si nous avons deux quaternions q,p alors dès lors :

  (191)

pour que cette opération soit nulle, nous voyons immédiatement que nous devons restreindre p aux quaternions purement complexes. Dès lors :

  (192)

Nous en déduisons alors que p doit être purement complexe pour que l'application soit une rotation et que est un quaternion pur. En d'autres termes, cette application est stable (en d'autres termes : un quaternion pur par cette application reste une quaternion pur).

restreint à l'ensemble des quaternions est donc une isométrie vectorielle, c'est-à-dire une symétrie ou une rotation.

Nous avons vu également lors de notre étude des matrices de rotation dans le chapitre d'algèbre linéaires que l'application A devait être de déterminant 1 pour que nous ayons une rotation. Voyons si c'est le cas de :

Pour cela, nous calculons explicitement en fonction de la matrice (dans la base canonique ) de et nous en calculons le déterminant. Ainsi, nous obtenons les coefficients des colonnes de A en se rappelant que :

  (193)

et ensuite en calculant :

  (194)

Il faut alors calculer le déterminant de la matrice (pfff…) :

  (195)

en se souvenant que et nous trouvons que le déterminant vaut bien 1.

Montrons maintenant que cette rotation est un demi-tour d'axe (l'exemple qui peut sembler particulier est général!) :

D'abord, si nous avons :

  (196)

ce qui signifie que l'axe de rotation (x, y, z) est fixé par l'application elle-même !

D'autre part, nous avons vu que si q est un quaternion purement complexe de norme 1 alors . Ce qui nous donne la relation . Ce résultat nous amène à calculer la rotation d'une rotation : et aussi

  (197)

Conclusion : Puisque la rotation d'une rotation est un tour complet, alors est nécessairement un demi-tour par rapport (!) à l'axe (x, y, z).

A ce stade, nous pouvons affirmer que toute rotation de l'espace peut se représenter par (la conjugaison par un quaternion q de norme 1). En effet, les demi-tours engendrent le groupe des rotations, c'est-à-dire que toute rotation peut s'exprimer comme le produit d'un nombre fini de demi-tours, et donc comme la conjugaison par un produit de quaternions de norme 1 (produit qui est lui-même un quaternion de norme 1, …)

Nous allons tout de même donner une forme explicite reliant une rotation et le quaternion qui la représente, au même titre que nous l'avons fait pour les nombres complexes.

Soit un vecteur unitaire et un angle. Alors nous affirmons que la rotation d'axe et d'angle correspondant à l'application , où q est le quaternion :

  (198)

Pour que cette affirmation soit vérifiée, nous savons qu'il faut que : la norme de q soit unitaire, le déterminant de l'application soit égal à l'unité, que l'application conserve la norme, que l'application renvoie tout vecteur colinéaire à l'axe de rotation sur l'axe de rotation.

1. La norme du quaternion proposé précédemment vaut effectivement 1 :

  (199)

2. Le fait que q soit un quaternion de norme 1 amène immédiatement à ce que le déterminant de l'application soit unitaire. Nous l'avons déjà montré plus haut dans le cas général de n'importe que quaternion de norme 1 (condition nécessaire et suffisante.

3. Il en est de même pour la conservation de la norme. Nous avons déjà montré plus haut que c'était de toute façon le cas dès que le quaternion q était de norme 1 (condition nécessaire et suffisante).

4. Voyons maintenant que tout vecteur colinéaire à l'axe de rotation est projeté sur l'axe de rotation. Notons q' le quaternion purement imaginaire et unitaire. Nous avons alors :

  (200)

Alors mais comme q' est la restriction de q à ces éléments purs qui le constituent, cela revient à écrire .

Montrons maintenant le choix de l'écriture . Si désigne un vecteur unitaire orthogonal à (perpendiculaire à l'axe de rotation donc), et p le quaternion alors nous avons :

  (201)

Nous avons montré lors de la définition de la multiplication de deux quaternions que . Nous obtenons alors :

  (202)

Nous avons également montré que (le demi-tour d'axe (x, y, z)). Donc :

  (203)

Remarque: Nous commençons à entrevoir ici déjà l'utilité d'avoir écrit dès le début pour l'angle.

Nous savons que p est le quaternion pur assimilé à un vecteur unitaire orthogonal à l'axe de rotation , lui-même assimilé à la partie purement imaginaire de q'. Nous remarquons alors de suite que la partie imaginaire du produit (défini!) des quaternions est alors égal au produit vectoriel . Ce produit vectoriel engendre donc un vecteur perpendiculaire à et donc .

Le couple forme donc un plan perpendiculaire à l'axe de rotation (c'est comme pour les nombres complexes simples dans lequel nous avons le plan de Gauss et perpendiculairement à celui-ci un axe de rotation!).

Alors finalement :

  (204)

Nous nous retrouvons avec une rotation dans le plan identique à celle présentée plus haut avec les nombres complexes normaux dans le plan de Gauss.

Nous savons donc maintenant comment faire n'importe quel type de rotation dans l'espace en une seule opération mathématique et ce en plus par rapport à un libre choix de l'axe !

Nous pouvons aussi maintenant mieux comprendre pourquoi l'algèbre des quaternions n'est pas commutative. Effectivement, les rotations vectorielles du plan sont commutatives mais celles de l'espace ne le sont pas comme nous le montre l'exemple ci-dessous :

Soit le configuration initiale :

  (205)

Alors une rotation autour de l'axe X suivie d'une rotation autour de l'axe Y :

  (206)

n'est pas égale à une rotation autour de l'axe Y suivie d'une rotation autour de l'axe X :

  (207)

Les résultats obtenus seront fondamentaux pour notre compréhension des spineurs (voir chapitre du même nom) !

NOMBRES ALGÉBRIQUES ET TRANSCENDANTS

Définition: Nous appelons "nombre algébrique", tout nombre qui est solution d'une équation algébrique, à savoir un polynôme (concept que nous aborderons dans la seciont d'algèbre) dont les coefficients sont des entiers relatifs et non nuls.

Un résultat intéressant (curiosité de mathématique) est qu'un nombre rationnel est un nombre algébrique si et seulement si c'est un entier relatif (lisez plusieurs fois au besoin…).

Remarque: En termes savants, nous disons que l'anneau est "intégralement clos".

Démonstration:

Nous supposons que le nombre p/q, où p et q sont deux entiers premiers entre eux (c'est-à-dire dont le rapport ne donne pas un entier), est une racine du polynôme (cf. chapitre de Calcul Algèbrique):

  (208)

où l'égalité avec zéro du polynôme est implicite.

Dans ce cas:

  (209)

Puisque les coefficients sont tous entiers et leurs multiples aussi dans la paranthèse, alors la paranthèse à une valeur dans .

Ainsi, q (à droite de la paranthèse) divise une puissance de p (à gauche de l'égalité), ce qui n'est possible, dans l'ensemble   (car notre paranthèse a une valeur dans cet ensemble), que si q vaut  (puisqu'ils étaient premiers entre eux).

Réciproquement, tout entier relatif est évidemment un entier algébrique.

C.Q.F.D.

Par extension (si nous pouvons parler ainsi...), tout nombre rationnel est algébrique, car le quotient p/q de 2 entiers est racine de l'équation :

Les nombres qui ne sont pas algébriques sont transcendants. Les transcendants sont donc beaucoup plus nombreux que les algébriques.

Nous avons aussi nombre réel (et irrationnel)  qui est algébrique, car il est racine de:

et le nombre complexe i est algébrique, car il est racine de l'équation:

etc...

Remarque: Les transcendants les plus connus sont et . Les démonstrations de leur transcendance est en cours de rédaction. Nous devrions pouvoir vous les fournir fin 2010. 

NOMBRES ABSTRAITS

Le nombre peut être envisagé en faisant abstraction de la nature des objets qui constituent le groupement qu'il caractérise; et ainsi qu'à la façon de codifier (chiffre arabe, romain, ou autre système universel) on dit alors que le nombre est "abstrait".

Remarque: Arbitrairement, l'être humain a adopté un système numérique majoritairement utilisé de par le monde et représenté par les symboles 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 du système déciamle et qui seront supposés connus aussi bien en écriture qu'oralement par le lecteur (apprentissage du langage).

Pour les mathématiciens, il n'est pas avantageux de travailler avec ces symboles car ils représentent uniquement des cas particuliers. Ce que cherchent les physiciens théoriciens ainsi que les mathématiciens, se sont des relations applicables universellement dans un cas général et que les ingénieurs puissent en fonction de leurs besoins changer ces nombres abstraits par les valeurs numériques qui correspondent au problème qu'ils ont besoin de résoudre. 

Ces nombres abstraits appelés aujourd'hui communément "variables" ou "inconnues" sont très souvent représentés par:

1. L'alphabet latin :

a, b, c, d, e...x, y, z ; A, B, C, D, E...   (210)

Remarque: Les lettres minuscules du début l'alphabet latin (a, b, c, d, e...) sont souvent utilisées pour représenter de manière abstraite des constantes, alors que les lettres minuscules de la fin de l'alphabet latin (...x, y, z) sont utilisées pour représenter des entités (variables ou inconnues) dont nous recherchons la valeur.

2. L'alphabet grec :

	Alpha		Lambda
	Beta		Mu
	Gamma		Nu
	Delta		Xi
	Epsilon		Omicron
	Zeta		Pi
	Eta		Rho
	Theta		Sigma
	Iota		Tau
	Kappa		Upsilon
	Phi		Chi
	Psi		Omega

Remarque: Cet alphabet est particulièrement utilisé pour représenter soit des opérateurs mathématiques plus ou moins complexes (comme la somme indexée, le variationnel , l'élément infinitésimal , le différentiel partiel , etc.) soit des variables dans le domaine de la physique (comme pour la pulsation, la fréquence v, la densité , etc.).

3. L'alphabet hébraïque (à moindre mesure)

Remarque: Comme nous l'avons vu, les nombres transfinis sont par exemples donnés par la lettre "aleph".

Bien que ces symboles puissent représenter n'importe quel nombre il en existe quelques uns qui peuvent représenter en physique des valeurs dites "constantes Universelles" comme la vitesse de la lumière c, la constante gravitationnelle G, la constante de Planck h etc.

Nous utilisons très souvent encore d'autres symboles que nous introduirons et définirons au fur et à mesure.

Remarque: Les lettres pour représenter les nombres ont été employées pour la première fois par Viète.

DOMAINES dE DÉFINITION

Une variable est un nombre abstrait susceptible de prendre des valeurs numériques différentes. L'ensemble de ces valeurs peut varier suivant le caractère du problème considéré.

Définitions:

D1. Nous appelons "domaine de définition" d'une variable, l'ensemble des valeurs numériques qu'elle est susceptible de prendre entre deux valeurs finies ou infinies appelées "bornes".

Soit  a et b deux nombres tel que . Alors :

D2. Nous appelons "intervalle fermé d'extrémité a et b", l'ensemble de tous les nombres x compris entre ces deux valeurs comprises et nous le désignons de la façon suivante : 

  (212)

D3. Nous appelons "intervalle ouvert d'extrémité a et b", l'ensemble de tous les nombres x compris entre ces deux valeurs non comprises et nous le désignons de la façon suivante: 

  (213)

D4. Nous appelons "intervalle fermé à gauche, ouvert à droite" la relation suivante :

  (214)

D5. Nous appelons "intervalle ouvert à gauche, fermé à droite" la relation suivante :

  (215)

Soit sous forme résumée et imagée:

Remarques:

R1. La notation {x tels que  } désigne l'ensemble des réels x tels que  (sous-entendu qui sont strictement plus grand que a et strictement inférieur à b).

R2. Le fait de dire qu'un intervalle est par exemple ouvert en b signifie que le réel b ne fait pas partie de celui-ci. Par contre, s'il y avait été fermé alors il en aurait fait partie.

R3. Si la variable peut prendre toutes les valeurs négatives et positives possibles nous écrivons dès lors: où le symbole "" signifie une "infinité". Evidemment il peut y avoir des combinaisons d'intervalles ouverts et infinis à droite, fermé et limité gauche et réciproquement.

R4. Nous rappelerons ces concepts avec une autre approche lorsque nous étudierons l'algèbre (calcul littéral).

Nous disons que la variable x est "ordonnée" si en représentant son domaine de définition par un axe horizontal où chaque point de l'axe représente une valeur de x, alors que pour chaque couple de  de valeurs, nous pouvons indiquer celle qui est "antécédente" (qui précède) et celle qui est "conséquente" (qui suit). Ici la notion d'antécédente ou de conséquente n'est pas liée au temps, elle exprime juste la façon d'ordonner les valeurs de la variable.

Définitions:

D1. Une variable est dite "croissante" si chaque valeur conséquente est plus grande que chaque valeur antécédente.

D2. Une variable est dite "décroissante" si chaque valeur conséquente est plus petite que chaque valeur antécédente. 

D3. Les variables croissantes et les variables décroissantes sont appelées "variables à variations monotones" ou simplement "variables monotones".