Nous nous intéresserons ici à l'étude des propriétés mathématiques des cordes vibrantes que nous pouvons également par extension et dans un souci de généralisation à des cas immatériels assimilier au concept des "ondes". Cette étude est très importante car nous aurons besoin de certains des résultats obtenus ici en thermodynamique, physique quantique, astrophysique, électrodynamique et théorie des cordes (pour ne citer que les plus importants).

Définitions:

D1. Une "onde" est un transport d'énergie sans transport de matière. Elle est concrétisée par la propagation d'une perturbation d'un milieu d'où l'appellation "d'ondes progressives". La vitesse avec laquelle l'onde progresse dépend des propriétés physique du milieu.

D2. Dans le cas où la perturbation du milieu se fait de façon perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde, nous parlons "d'onde transversale" ou de "perturbation transversale" (typique des ondes dans les cordes)

D3. Dans le cas où la perturbation du milieu se fait parallèlement à la direction de propagation de l'onde, nous parlons "d'onde longitudinale" ou de "perturbation longitudinale" (typique des ressorts).

FONCTION D'ONDE

Soit une perturbation  définie dans une région donnée de l'espace. Si nous remplaçons x par x-b, nous définissons dans cette même région, une perturbation f(x-b) identique à f(x) mais translatée d'un distance b dans la direction des X positifs (à droite donc si l'on adopte le système de représentation conventionnel vu en analyse fonctionnelle).

Si t représente un temps et si l'on  pose , alors v peut désigner la vitesse de translation de la perturbation.

Ainsi, nous appelons "fonction d'onde", la relation mathématique : 

  (1)

qui décrit la progression d'une perturbation y(x,t) dans l'espace :

-  décrivant une onde qui progresse vers +X

-  décrivant une onde qui progresse vers -X

v est par définition appelée "vitesse de phase de l'onde". Elle est constante un milieu homogène. "L'amplitude de l'onde" est la valeur maximale de la perturbation :

  (2)

En l'absence d'amortissement, elle conserver la même valeur en chacun des points x où l'onde passe.

EQUATION D'ONDE

Toute fonction f dont l'argument est   jouit de la propriété :

  (3)

Démonstration:

  (4)

Cependant, en dérivant une seconde fois, nous obtenons une autre forme de l'équation d'onde que nous retrouverons aussi fréquemment :

  (5)

Ce qui nous amène à écrire l'une des relations les plus importantes en physique appelée "équation de propagation" ou "équation de d'Alembert" et que nous retrouverons dans de nombreux autres chapitres du site (électrodynamique, physique quantique ondulatoire, relativité générale, musique mathématique):

  (6)

C.Q.F.D.

Remarque: Lorsque deux ou plusieurs ondes se propagent dans un milieu, la fonction d'onde qui en résulte est la somme algébrique des fonctions d'onde de chaque onde. Nous disons alors que les ondes "interfèrent" et nommons cette considération le "principe de superposition des ondes".

Considérons maintenant une corde de longueur L attaché l'une de ses extrémités à une terminaison fixe. Supposons maintenant qu'une perturbation se propage sur cette corde. Lorsque la perturbation arrive à la terminaison, nous observons que celle-ci change de signe en même temps que sa vitesse de propagation s'inverse : l'onde subit ainsi une réflexion avec inversion.

Pour décrire le phénomène, il faut imposer :

  (7)

Une fonction d'onde  quelconque, qui progresse vers la terminaison, ne peut pas vérifier la condition :

  (8)

pour toutes les valeurs du temps !

L'astuce consiste à la remplacer par une autre fonction d'onde y(x,t) dont la forme est semblable à f à grande distance de l'origine de la perturbation, et qui s'annule au point de terminaison pour toutes les valeurs du temps. Pour cela, nous pouvons imaginer au point de la terminaison, un miroir qui donne de la corde une image de même longueur dans laquelle nous inventons une onde virtuelle :

  (9)

symétrique de , mais de signe opposé.

Nous décidons ainsi :

- que les deux ondes progressent l'une vers l'autre pour s'annuler au point de terminaison

- toute partie de l'onde réelle qui dépasse le point de terminaison devient virtuelle

- toute partie de l'onde virtuelle qui pénètre dans le corde devient réelle

A leur intersection, les deux ondes réalisent une interférence destructive au point de terminaison. La somme algébrique de ces deux fonctions d'onde est aussi une fonction d'onde :

  (10)

qui a la propriété voulue en x=L :

  (11)

Si nous considérons maintenant une terminaison libre, sans frottements avec son support d'attache, nous nous retrouvons dans un cas similaire au précédent à la différence que l'interférence est constructive au point de terminaison plutôt que destructive telle que la fonction d'onde s'écrive :

  (12)

Remarques:

R1. Lorsque l'onde arrive sur une terminaison libre ou fixe, l'énergie transportée est intégralement renvoyée en arrière.

R2. Lorsqu'une terminaison n'est pas exactement adaptée, seule une partie de l'énergie est absorbée par le point Q, le reste est réfléchi.

TYPE D'ONDES

En physique théorique (et dans la pratique), nous restreignons fréquemment l'étude de certains phénomènes à des cas particuliers d'ondes. Principalement, nous en distinguons trois que nous allons brièvement mais soigneusement développer :

ONDES PÉRIODIQUES

Si un événement produit une onde qui ne transporte qu'une seule perturbation produite en un point donné, il existe de nombreuses qui sont capables d'exciter un milieu de manière répétitive.

Le point spatial de la source subit alors périodiquement la même perturbation. La durée d'un cycle complet est appelé identiquement à l'étude des pendules : "la période" T.

Si la perturbation peut se propager sous forme d'onde, à vitesse v, elle est décrite par la fonction d'onde que nous connaissons :

  (13)

En chaque point du milieu perturbé, l'onde périodique impose une "périodicité temporelle" de la perturbation qui nous impose d'écrire :

  (14)

Après plusieurs cycles d'excitations de la source, plusieurs perturbations sont distribuées dans l'espace.  La distance entre deux perturbations successives est appelée "longueur d'onde" .

La "périodicité spatiale" impose ainsi aussi :

  (15)

 est le chemin parcouru par l'onde pendant le temps T :

  (16)

Si une fonction d'onde est périodique dans le temps, elle l'est aussi dans l'espace, pour autant que l'impulsion ne se déforme pas lors de la progression.

Démonstration:

  (17)

En posant , nous avons bien :

  (18)

C.Q.F.D.

ONDES HARMONIQUES

Pour ces ondes, la fonction d'onde est un fonction trigonométrique de type sinus ou cosinus :

   ou     (19)

La présence de k appelé "nombre d'onde" est exigée pour 2 raisons :

- k s'exprime en  pour la cohérence des unités des fonctions trigonométriques

- la valeur de k doit assurer la périodicité de la fonction d'onde :

1. périodicité angulaire de la fonction mathématique :

2. périodicité spatiale de la fonction d'onde :

En égalant ces deux expressions :

  (20)

ce qui implique :

  (21)

Introduisons : 

  (22)

dans l'expression de k :

  (23)

d'où autre relation importante :

  (24)

La fonction d'onde de l'onde harmonique peut alors s'écrire sous la forme :

 ou  progressive selon +X

 ou  progressive selon -X
  (25)

ONDES STATIONNAIRES

Imaginons une corde excitée de manière harmonique. Au lieu d'adapter sa terminaison pour extraire de l'énergie de la corde, imposons que cette terminaison soit fixe. L'onde est alors réfléchie.

Une nouvelle fonction d'onde doit être définie pour décrire la superposition de l'onde incidente :

  (26)

et de l'onde réfléchie :

  (27)

en analogie avec le résultat que nous avions trouvé lors de notre étude des terminaisons :

  (28)

La relation trigonométrique :

  (29)

nous donne :

  (30)

Ce n'est plus une onde progressive car x et t ne se combinent plus comme . Certains points de la corde ne bougent jamais . Ils satisfont :

  (31)

et sont situés en :

  (32)

Pour des raisons évidents, nous ne conservons que les valeurs de n pour lesquelles .

Remarque: Chacun de ces points est appelé "nœud de la vibration".

Nous observons dans un tel système, des fuseaux de vibration, de longueur , dans lesquels la corde vibre transversalement dans une zone de hauteur  (deux vers le haut, deux vers le bas).

Remarque: Les points où l'amplitude de vibration est maximale sont des "ventres de la vibration".

Puisque , les ventres sont distants de  et situés à  des nœuds.

Si nous imposons maintenant une terminaison fixe aux deux extrémités d'une corde en vibration, nous nous retrouvons avec une "mise en résonance".

Le plus souvent, nous n'observons pas grand chose jusqu'à ce que nous trouvions la fréquence d'excitation qui place les nœuds de vibrations sur les deux points de terminaison fixe.

Dès lors pour une corde de longueur L :

  (33)

implique :

  (34)

La corde est alors le siège d'une onde stationnaire dont l'amplitude de vibration est considérablement plus grande que l'amplitude d'excitation (quatre fois).

Nous disons alors que la corde est rentrée en "résonance" avec l'excitateur.

La relation :

  (35)

montre qu'il y a plusieurs longueurs d'onde possible  dont la plus grande correspondant à n=1 est appelée "longueur d'onde fondamentale" et vaut bien évidemment .

MODES DE VIBRATION TRANSVERSAL DANS UN FIL TENDU

Nous avons vu comment une onde peut progresser dans une corde. Montrons maintenant pourquoi c'est possible et établissons la relation y(x,t), donnant la forme de la corde en fonction du temps.

Soit un fil de diamètre , longueur L et masse m, la masse linéique du fil (supposée constante le long de celui-ci) est alors :

  (36)

Par un léger choc, créons une petite perturbation (afin de ne pas déformer le câble et maintenir constant sa masse linéique) transversale. Isolons, dans la zone perturbée, un élément de fil, de longueur .

Approximations :

A1. Chaque élément de la corde peut être découpé de façon infinitésimale de façon a être presque parallèle à l'axe . Les angles sont donc considérés comme petits

A2. La corde est considérée comme déformable mais non allongeable donc la norme des forces dans la corde est constante en tout point quelque soit la déformation.

Pour la suite du raisonnement, nous nous servons de la figure ci-dessous :

  (37)

Si les angles sont petits, le bilan des forces donne :

  (38)

ce qui signifie qu'il n'y pas de déplacements selon x :

  (39)

Si les angles sont vraiment petits, nous avons le premier terme du développement qui donne :

  (40)

Donc :

  (41)

accélération selon y.

La loi de Newton appliquée à la masse donne (nous considérons que chaque point de masse se déplace seulement selon y car il n'y a pas allongement) :

  (42)

Les tangentes sont données par les dérivées partielles de la fonction y(x) :

  (43)

Qui s'égalise avec l'avant-dernière relation :

  (44)

et donc :

  (45)

Si , les deux tangentes tendent vers la même valeur, mais la fraction du membre de droite tend vers une valeur finie :

  (46)

Il en résulte l'équation différentielle :

  (47)

Cette dernière relation s'écrit plus souvent sous la forme suivante :

  (48)

et se nomme "équation des cordes vibrantes".

Remarque: Dans certains ouvrages, la densité linéique est notée et la force de tension dans la corde ce qui donne :

  (49)

Si nous vérifions les unités de sont celles du carré d'une vitesse , comme l'exige l'analyse dimensionnelle. Pour simplifier l'écriture, nous posons :

  (50)

Nous allons maintenant considérer un cas particulier très intéressant dans le cadre de la musicologie qui est celui de la corde tendue (la plupart des instruments à corde fonctionnant ainsi).

CONDITIONS DE DIRICHLET

L'objectif est dans le cadre de l'équation différentielle obtenue précédemment (petites déformations dans les cadres des instruments de musique) de trouver un fonction solution de cette dernière avec les conditions initiales suivantes, typiques à un instrument de musique :

C.I.1. (les extrémités A et B sont fixes - il s'agit des "conditions de dirichlet")

C.I.2. (forme initiale du fil à l'excitation)

C.I.3. (vitesse initiale nulle en tout point)

Les deux dernières conditions sont appelées "conditions de Cauchy".

Pour résoudre cette équation différentielle linéaire, nous allons faire usage de la méthode de séparation de variables en posant :

  (51)

L'équation différentielle devient dès lors :

  (52)

Le membre de gauche de la dernière relation ne contient pas la variable t et celui de droite ne contient pas la variable x. La seule et unique façon d'égaler ces deux expressions est de les considérer chacune comme constante, que nous noterons :

  (53)

Ainsi, nous avons deux équations différentielles :

et   (54)

Ces deux équations étant similaires, résolvons-les de manière générale (cf. la chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

avec   (55)

L'équation caractéristique est donc :

  (56)

d'où :

  (57)

Nous savons que la solution générale si les racines de l'équation caractéristique sont complexes, est de la forme :

  (58)

Pour nos deux équations différentielles, nous avons donc par similitude :

et   (59)

Cela donne pour la solution de notre équation d'onde :

  (60)

Déterminons les constantes en tenant compte des conditions initiales.

  (61)

Il ne reste que :

  (62)

Posons :

  (63)

La condition initiale impose :

  (64)

Pour tenir compte de la vitesse initiale nulle, dérivons par rapport au temps :

  (65)

Il ne reste :

  (66)

La constante b représente donc l'amplitude du déplacement transversal du fil. Cette amplitude ne pouvant être la même partout en un temps donné et un position donné pour tout type d'excitation satisfaisant les conditions initiales, il doit existe autant de valeur que nous choisissons de valeurs n dans .

Le principe de superposition des solutions des équations différentielles linéaires (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) permet d'écrire que la combinaison linéaire de toutes les solutions pour la corde est finalement :

  (67)

Les doivent être choisis de manière à satisfaire la condition initiale qui donne la forme de la perturbation :

  (68)

Cette expression pour f(x) suggère de la comparer au développement en série de Fourier (cf. chapitre des Suites Et Séries):

  (69)

Dans laquelle et . Le théorème de Fourier impose alors que les sont donnés par :

  (70)

Imaginons maintenant une corde de longueur L fixée en ses extrémités et tendue. Choisissons la perturbation la plus simple possible : nous grattons la corde en son milieu de manière très sec, pour l'écarter d'une petite distance H de sa positions d'équilibre.

La perturbation initiale y(x,0) est alors :

pour et pour   (71)

Calculons les coefficients de Fourier :

  (72)

L'intégration par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) donne :

  (73)

La fonction d'onde devient :

  (74)

À cause du , les termes pour lesquels n est pair sont tous nuls. Il reste :

  (75)

Si nous retenons que le terme en n=1, nous aurions :

  (76)

Nous avons :

  (77)

qui est le nombre d'onde correspondant à un longueur d'onde :

  (78)

et :

  (79)

qui serait la fréquence de vibration du fil de la première harmonique.

Ainsi, pour une valeur n quelconque, il est facile de démontrer que le n-ième "mode propre" est donnée par :

  (80)

avec :

  (81)

relations appelées "lois de Mersenne" (1644-1648).

où le mode de plus basse fréquence avec n valant 1 est appelé le "mode fondamental" associée à sa "fréquence fondamentale".

Ainsi, après avoir été gratté sec au milieu de sa longueur L, un fil maintenu rigidement à ses deux extrémités peut osciller suivant plusieurs modes. Le mode fondamental (harmonique fondamentale) correspond à la plus petite fréquence possible. Il lui correspond la longueur d'onde .

Les fréquences d'ordre n supérieures sont appelées "fréquences harmoniques". Pour un même déplacement initial H, l'amplitude maximale de la vibration diminue selon comme nous le voyons dans l'expression de notre fonction.

Une autre manière d'exciter la corde est de la faire osciller de manière sinusoïdale, ce qui signifie dès lors que y(x,t) est de la forme :

  (82)

En substituant cette relation dans l'équation d'onde de la corde, nous obtenons :

  (83)

La solution se réduit alors à :

ou   (84)

La valeur n=0 ne peut pas être incluse car elle donne une corde sans excitation. En mettant cette fonction dans l'équation d'onde précédente et en simplifiant, nous obtenons trivialement :

  (85)

Ce sont la fréquences d'oscillations de Dirichlet pour une corde. Les cordes d'un violon par exemple sont des cordes de Dirichlet.

  (86)

Les mêmes analogies, raisonnements et développements pourront être faits avec les conditions de Neumann ci-dessous .

Remarques:

R1. La théorie prédit que la vibration peut être une combinaison linéaire de plusieurs modes. Ce phénomène porte le nom de "vibration simultanée". Il se produit abondamment dans un piano.

R2. Les instruments de musique sont conçus pour émettre des sons à des fréquences conventionnelles, étant admis que la hauteur d'une note perçue par l'oreille est définie par la fréquence fondamental, par exemple le : Do (264 Hertz), La (440 Hertz)

R3. Lors de la construction de l'instrument, nous décidons de la valeur de (en choisissant le diamètre et de la nature de la corde) et nous déterminons la longueur L en cherchant le compromis entre l'intensité sonore que nous voulons émettre et la résistance mécanique de l'instrument qui doit supporter les forces F de tension.

CONDITIONS DE NEUMANN

Alternativement au conditions de Dirichlet où les extrémités sont fixes et à hauteur égales, les conditions de Neumann supposent que les extrémités sont de petites boucles autorisées à glisser le long de deux barres sans frottements.

Pour notre corde, les conditions de Neumann spécifient les valeurs aux extrémités. Mais tant que les boucles sont supposées sans masse et sans frottements, la dérivée doit s'annuler aux extrémités . Si tel n'était pas le cas, alors de par la nullité de la masse de l'extrémité, le changement de vitesse sera du à une accélération infinie, ce qui ne peut être autorisé ! C'est ainsi que nous imposons au lieu de la condition de Dirichlet, la condition de Neumann définie par :

C.I.1.

les conditions C.I.2. et C.I.3. restant identiques.

Ce changement de condition n'empêche pas que la méthode de résolution par séparation de variables est la même que précédemment et que nous tomberons identiquement sur la relation suivant auquel il faudra appliquer la nouvelle condition initiale :

  (87)

sur laquelle nous appliquons donc la condition de Neumann :

  (88)

Il reste donc :

  (89)

en posant la fonction se simplifie en :

  (90)

La condition initiale, impose :

  (91)

Les mêmes développements pour la C.I.2. que nous avions fait avec la C.I.1. de Dirichlet s'appliquent ensuite de manière identique :

  (92)

ensuite, l'analogie avec les séries de Fourier s'applique de manière similaire mais avec les cosinus au lieu des sinus.

Les fréquences de Neumann d'une corde sont les mêmes que pour celle de Dirichlet soit :

  (93)

La particularité réside cependant dans la valeur de la fonction spatiale qui vaut cette fois trivialement :

ou   (94)

Effectivement, pour n=0 nous avons cette fois une amplitude identique qui est transmise tout le long de la corde sans que celle-ci ne vibre cependant !

Par ailleurs, faisons remarquer, que la fonction satisfait aussi pleinement les trois conditions initiales incluant celle de Neumann.

Effectivement, nous avons bien :

  (95)

et de plus, vérifie aussi l'équation d'onde :

  (96)

LAGRANGIEN D'UNE CORDE

Nous allons maintenant déterminer le lagrangien d'une corde, calcul qui nous sera en partie utile lors de l'étude de la théorie des cordes.

Nous gardons donc notre corde ayant une densité linéique et tension constante dont les extrémités sont situées en et dont la vitesse de la perturbation transversale est non relativiste.

L'énergie cinétique est alors simplement la somme des énergies cinétiques de chaque élément infinitésimal de la corde. Nous pouvons alors écrire en notation Lagrangienne :

  (97)

L'énergie potentielle intervient dans l'élongation de la corde dont une portion infinitésimale peut être vue comme variant de (x,0) à quand la corde est à l'équilibre. Quand une corde est momentanément mise sous tension de (x, y) à alors le variation de la longueur dl d'un élément infinitésimal de la corde est donnée trivialement par :

  (98)

Nous avons utilisé ci-dessus pour approximation le développement limité au deuxième terme en série de Taylor (cf. chapitre sur les Suites Et Séries), qui nous donne :

  (99)

Le travail effectué pour étirer chaque élément infinitésimal étant , l'énergie pontentielle totale est alors exprimée par :

  (100)

La langragien étant défini par (cf. chapitre de Mécanique Analytique), nous avons alors :

  (101)

où est défini, très justement, comme étant la "densité lagrangienne" :

  (102)

L'action pour notre corde est alors :

  (103)

Dans cette action, le chemin d'action est la fonction y(x,t). Pour trouver les équations du mouvement, nous devons examiner la variation de l'action quand nous varions :

  (104)

Ce qui donne :

  (105)

Car :

  (106)

et ce identiquement pour le second terme.

Nous ne devons pas avoir de dérivées temporelles agissant sur les variations. Alors en utilisant la relation triviale suivante sur le premier terme :

  (107)

et identiquement sur le deuxième, nous pouvons récrire l'action :

  (108)

Comme nous l'avons vu en mécanique analytique, le bon chemin est donné par . Dès lors, nous devons avoir :

  (109)

Ainsi, notre expression contient trois termes. Chacun de ces trois termes doit s'annuler indépendamment comme nous allons le voir :

1. L'annulation du troisième terme se fait selon une condition triviale qui nous est déjà bien connue (heureusement…) :

  (110)

et donc :

  (111)

nous retrouvons donc l'équation différentielle d'une onde transversale telle que nous l'avions démontré plus haut. Notre hypothèse sur le troisième terme ne peut donc être que juste ainsi que l'expression de notre action.

2. Le premier terme est déterminé par la configuration de la corde aux temps :

  (112)

Or, si nous imposons la connaissance de ces configurations dans le temps, nous aurons par définition : (connaissance totale du chemin d'action car connaissance des conditions initiales, donc pas de variation). Cela valide encore une fois l'expression de notre action et la valeur nulle du terme comme attendu.

3. Le second terme est un peu plus intéressant :

  (113)

D'abord, ce n'est parce que nous connaissons les positions des extrémités de la corde que nous pouvons connaître ces modes de vibrations. Nous le savons bien, donc ! Il nous faut savoir comment se comportement les extrémités. Pour cela nous allons revenir sur des choses qui nous sont connues : les conditions de Dirichlet et de Neumann d'une corde.

Supposons que nous imposions les condition de Dirichlet (voir plus haut), les extrémités sont alors fixes et nous aurons forcément à ces mêmes extrémités : et donc le deuxième terme disparaît bien (ouf!).

Si, dans à l'opposé, nous choisissons que les extrémités se meuvent librement, alors les variations sont non contraintes et dès lors, seulement les conditions de Neumann (voir plus haut pour plus de détails) nous permettront d'avoir le deuxième terme de l'action nul.

Pour prendre pleinement conscience de l'importance des ces conditions initiales, considérons la quantité de mouvement portée par la corde (il n'y pas d'autres composantes du mouvement car nous avons supposé implicitement une excitation transversale dès le début seulement dans cette direction).

La quantité de mouvement est simplement la somme des quantités de mouvement de chaque élément infinitésimal le long de la corde :

  (114)

Vérifions juste par curiosité (c'est une curiosité anticipée…) si la quantité de mouvement est bien conservée :

  (115)

où nous avons utilisé l'équation d'onde transversale pour la substitution.

Nous voyons par le résultat de ce petit calcul que la quantité de mouvement est trivialement conservée si nous imposons les conditions de Neumann, alors que pour les conditions de Dirichlet, la plupart du temps la conservation n'est pas respectée ! Effectivement, c'est trivial (il n'y pas besoin de calculs pour s'en rendre compte), lorsque les extrémités sont attachées au mur, le mur exerce constamment une force sur la corde. Par exemple, pour l'ensemble des solutions de Dirichlet que nous avions obtenu plus haut la plus simple (harmonique ) une amplitude qui varie au plus de .

MODES DE VIBRATION DANS UNE MEMBRANE TENDUE

Nous dérivons le phénomène de la même manière que la vibration transversale de la corde. Toutefois, la masse linéique du fil doit être remplacée par la masse surfacique de la membrane.

De plus, nous remplaçons la force F de tension unidirectionnelle du fil par une force de tension appliquée sur le pourtour de la membrane. Cette force s'exerce dans toutes les directions du plan et se décrit par unité de longueur :

  (116)

Nous avons (analyse dimensionnelle) :

  (117)

Il est d'abord évident que :

  (118)

et comme :

  (119)

L'analyse dimensionnelle (eh oui … à nouveau…) donne :

  (120)

Nous avons donc :

  (121)

L'analyse dimensionnelle donne :

  (122)

Donc finalement nous obtenons pour équation d'onde en coordonnées cartésiennes (exprimé avec le laplacien) :

  (123)

Nous cherchons la solution particulière de cette équation qui vérifie les conditions suivantes :

C.I.1. La membrane est fixée sur son pourtour R (conditions aux limites)

C.I.2. La position et la vitesse initiales sont données (conditions initiales)

La symétrie du problème suggère d'utiliser le laplacien en coordonnées polaires (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

  (124)

Remarque: Nous avons changé de notation en posant

Et les conditions fixées :

C1. (conditions aux limites)

C2. (conditions initiales)

où les fonctions sont données.

Á nouveau, pour chercher la solution, nous allons utiliser la méthode de séparation des variables tel que :

  (125)

et de même que pour la corde :

  (126)

et identiquement que pour la corde, nous obtenons pour T une solution du type :

  (127)

Pour la méthode change car nous avons maintenant une équation différentielle à deux variables tel que :

  (128)

Pour intégrer cette équation, nous cherchons les solutions de la forme , nous obtenons en reportant :

  (129)

En se rappelant qu'en coordonnes polaires :

  (130)

D'où, en séparant les variables :

  (131)

Le membre de gauche de la dernière relation ne contient pas la variable r et celui de droite ne contient pas la variable . La seule et unique façon d'égaler ces deux expressions est de les considérer chacune comme constante, que nous noterons . Les équations différentielles vérifiées par R et sont alors :

  (132)

La fonction est périodique de période , il existe donc un entier naturel n tel que et donc manière identique à la corde, nous obtenons :

  (133)

Dans la première équation différentielle :

  (134)

Pour simplifier, nous effectuons le changement de variable . L'équation différentielle devient :

  (135)

Nous reconnaissons ici l'équation différentielle de Bessel d'ordre n telle que nous l'avons avec sa solution présentée dans le chapitre des suites et séries. Dès lors, la solution générale est du type :

  (136)

Ce qui nous donne finalement :

  (137)

Parmi les solutions à cette équation, cherchons celles qui vérifient les conditions aux limites en posant :

  (138)

À moins que ou T soit la fonction nulle, ce qui donne pour solution la position d'équilibre… (qui ne vérifie sans doute pas les conditions initiales), nous devons avoir , c'est-à-dire :

  (139)

La fonction Bessel d'ordre a une infinité de zéros positifs (il suffit de tracer cette fonction avec un ordinateur pour le voir tel qu'avec Maple en mettant la commande : plot(BesselJ(2,x),x=0...100) où vous pouvez changer la valeur 2 par une autre valeure) qui fournissent une infinité de valeurs convenables de b telle que :

  (140)

Ce qui correspond finalement à une infinité de solutions de l'équation différentielle initiale que nous pouvons écrire :

  (141)

En ayant modifié le nom des constantes d'intégration en ayant posé (ce qui vérifie l'analyse dimensionnelle). Maintenant que cette solution satisfait les conditions aux limites, nous devons nous attaquer aux conditions initiales.

D'abord pour les mêmes raisons que la corde, la solution finale est la superposition linéaire des solutions telle que :

  (142)

Nous allons déterminer les coefficients de façon à ce que la solution y donné précédemment vérifie également les conditions initiales, à savoir :

  (143)

Ces deux relations sont similaires, étudions la première. Elle peut s'écrire :

  (144)

qui est le développement en série de Fourier de la fonction . Nous avons donc (cf. chapitre sur les Suites Et Séries) :

  (145)

En utilisant l'orthogonalité des fonctions de Bessel nous pouvons déduire de ces relations les coefficients (et de même pour les autres).

Pour cela, supposons n fixé et posons . Montrons où le produit scalaire est défini par :

  (146)

Puisque vérifient l'équation différentielle en , nous avons :

  (147)

En combinant ces deux relations nous obtenons :

  (148)

En intégrant membre à membre entre 0 et L et en tenant compte de :

et   (149)

Nous obtenons :

  (150)

D'où le résultat énoncé puisque .

La relation :

  (151)

Peut donc s'écrire :

  (152)

Utilisant l'orthogonalité de pour nous en déduisons :

  (153)

Les coefficients sont donc donnés par :

  (154)

Ce qui n'est pas aisé à calculer à la main….

Nous procédons de la même façon pour les autres coefficients.

PHASEURS

Il existe plusieurs façons d'exprimer les fonctions d'ondes que nous avons vues précédemment. Les physiciens (ainsi que les électrotechniciens) utilisent une formulation, appelée "phaseur" ou "représentation de Fresnel", permettant d'économiser avantageusement le poids des écritures et ainsi de simplifier considéralement l'étude des problèmes complexes (ou simples). Les phaseurs font usage des propriétés des nombres complexes pour exprimer les fonctions d'onde trigonométriques sous une forme simplifiée dans tous les phénomènes ou apparaissent des oscillations.

Ce que nous appellons phaseur, est une fonction f dont la valeur est complexe et qui, dans un espace à 1 dimension, s'écrit:

  (155)

Dans toutes les applications en physique, t est la variable du temps.

Comme cette fonction est complexe, elle a une partie réelle que nous appelons ici g et une partie imaginaire que nous appelons h. Leur identification est facile puisque comme nous l'avons déjà démontré lors de notre étude des nombres complexes (cf. chapitre sur les Nombres) :

  (156)

Ainsi, les parties réelles et imaginaires sont simplement:

  (157)

Le module de f se calcule aisément en calculant:

  (158)

Les parties réelles et imaginaires varient lorsque la position ou le temps varient. Le module ne change donc pas, il est toujours égal à 1. Le changement se manifeste simplement par la simple variation d'angle que fait le vecteur représentant f dans son plan complexe. C'est là une raison suffisante pour parler de phaseur, puisque la variation de f peut être visualisée comme un simple changement d'angle ou de phase.

Si nous sommes dans un espace physique à plus d'une dimension, disons 3, alors l'expression pour f devient:

  (159)

La situation est un peu plus difficile à visualiser (…). Elle est la même qu'en une dimension, mais là tout se passe le long d'une direction définie dans l'espace 3D par le vecteur . Plus précisément, nous aurons:

  (160)

La variation dans le temps reste la même qu'en une dimension spatiale mais un déplacement dans l'espace est un peu plus compliqué qu'en une dimension. Ici tout déplacement spatial dans une direction qui n'est pas orthonormale à  fera que le produit scalaire changera de telle sorte que l'argument f variera. Ici ce n'est pas seulement la grandeur ou la norme du vecteur  qui donne le taux de variation de f sous un déplacement spatial mais aussi l'angle que fait ce déplacement par rapport à la direction de  puisque nous avons un argument qui varie comme  et donc qui dépend de cet angle noté ici . En effet, nous avons:

  (161)

La quantité est souvent appelée le "vecteur d'onde". Physiquement il est relié le plus souvent à l'équivalent du moment (linéaire) de l'onde pour laquelle  il est évident que la définition usuelle de la quantité de mouvement () n'a plus de sens.

Un partie importante des systèmes étudiés en physique ne peuvent êtres caractérisés par un point et donc décrits par une trajectoire. Une vague, une onde, une bande élastique qui oscillent n'ont pas une unique position définie, ce sont des "milieux continus" sur un certain intervalle. La question que nous nous posons dans notre tentative de les décrire est plutôt la suivante: comment décrire le déplacement de ce milieu dans l'espace et dans le temps. Par exemple, pour une vague, si nous figeons le temps, comment l'amplitude A, de cette vague varie-t-elle d'un endroit à l'autre de l'espace? Nous pouvons aussi figer l'espace en regardant un seul endroit et demander comment l'amplitude varie avec le temps?

Les coordonnées et le temps jouent maintenant un rôle similaire de paramètres indépendants. Nous mesurons l'amplitude du phénomène en tout temps et en tout lieu. Nous chercherons donc à obtenir une expression du type:

 ou   (162)

en une ou trois dimensions.

Le point important est que nous cherchons à exprimer A, dont le nom correct est un "champ", comme une fonction des coordonnées du temps. Par exemple, si la vague est très régulière peut-être est-elle décrite adéquatement par  si je regarde à un seul endroit et par lors d'une fixation imaginaire du temps ?

La quantité  va caractériser la fréquence de la variation du même phénomène.

Le nom de "fréquence angulaire" est facile à comprendre puisque la fonction cosinus ou sinus fait un cycle si son argument change de  sur une de temps d'un période . 

Rappelons que :

  (163)

Dans la description des systèmes harmoniques, la notation phaseur peut être très utile comme nous l'avons déjà dit. L'équation la plus souvent rencontrée est est l'équation d'onde (que nous avons démontré au début de ce chapitre). En une dimension, elle s'écrit :

  (164)

Nous vérifions par simple substitution que la solution est du type:

 ou   (165)

ou une combinaison linéaire dont la forme la plus générale est:

  (166)

Un manière rapide et efficace d'écrire toutes ces relations de façon condensée et utilement imagée, est d'écrire:

  (167)

Dans les trois cas, la substitution permet de le vérifier. Prenons, par exemple, la solution sinus. Alors:

  (168)

Le remplacement dans l'équation donne:

  (169)

qui sera satisfait si et seulement si:

  (170)

La substitution du phaseur comme solution de l'équation d'onde transforme cette dernière équation différentielle à une simple équation algébrique: "la relation de dispersion".

En effet, cette expression qui donne  s'appelle une relation de dispersion. Elle est évidemment caractéristique de l'équation qui la génère. Celle qui apparaît ci-dessus est particulièrement simple et caractérise une onde libre dans un milieu non-dispersif, tel que décrit par l'équation d'onde que nous avons écrit.

La solution phaseur  satisfait donc aussi l'équation, avec la même relation de dispersion. Elle est donc aussi la description d'une onde ? La réponse est oui, et même duex fois plutôt qu'une, comme nous allons le voir ci-dessous.

Une onde physique n'est évidemment pas complexe. La solution phaseur est complexe et a donc une partie réelle et une partie imaginaire. Nous montrons ici que chacune des deux parties peut représenter une onde réelle générale. Utilisons même un point de départ un peu plus général. Imaginons que l'amplitude  est elle-même complexe. Nous pouvons donc l'écrire:

  (171)

Nous avons donc:

  (172)

Nous étudions d'abord la partie réelle de cette expression:

  (173)

Cette partie réellle est donc de la forme la plus générale (et réelle) de la solution monochromatique pour l'équation d'onde, soit:

  (174)

Clairement, il suffit d'identifier:

  (175)

qui relient deux paramètres à deux autres. La partie réelle du phaseur est donc suffisante pour décrire entièrement l'onde monochromatique.

Nous pouvons refaire exactement la même chose avec la partie imaginaire du phaseur et démontrer de façon identique qu'elle est suffisante pour décrire entièrement l'onde monochromatique.

Conclusion: il est donc possible d'utiliser le phaseur pour faire toutes les manipulations mathématiques demandées apr le problème physique et à la fin, ne garder que la partie réelle ou imaginaire, selon ce qui a été convenu dès le début.

Comme nous l'avons déjà dit, la forme réelle la plus générale de la solution est:

  (176)

Cette fonction a le comportement d'un sinus (ou d'un cosinus) dont l'amplitude est donnée par:

  (177)

De plus les conditions initiales ajustent  de telle sorte qu'à  et  (initialement), le champ  a la valeur  donc. Ces deux conditions fixent ces deux paramètres. Nous aurions pu utiliser la forme toute aussi générale:

  (178)

Ici l'amplitude connu est est  et les conditions initales sont telles qu'à  et , le champ a la valeur . Encore une fois, deux conditions fixent deux paramètres.

L'amplitude est une chose évidente, la phase un peu moins. Pour qu'une fonction du type ait n'importe quelle valeur que l'on veut lorsque son arg (argument) est, disons nul, il suffit d'ajuster la valeur de la phase . C'est comme faire glisser la fonction sinusoïdale le long de l'axe, de façon à satisfaire des conditions initiales physiques imposées par le système étudié.

De deux fonctions de typs sinus ou cosinus qui ne commencent par au même point de leur cycle, nous disons qu'elles sont "déphasées". Ceci dvient vital lorsqu'il y a plus d'une onde en présence. Imaginons le cas le plus simple de deux ondes de même amplitude:

  (179)

Ici l'argument est une variable et les phases des paramètres constants. Nous considérons le résultat physique de l'onde résultant de l'addition de ces deux ondes.

Si  l'onde résultante sera une onde sinusoïdale d'amplitude 2 fois . Cependant, si , l'onde résultante sera identiquement nulle partout. La différence est donc considérable et nous trouvons toutes les situations intermédiaires. Il est donc important de garder en tête la phase à l'origine de l'onde ou mieux, sa phase relative par rapport à d'autres ondes de notre système physique.

Dans le phaseur, soit la partie réelle, soit la partie imaginaire, est suffisante pour donner une description générale de l'onde (toujours monochromatique jusqu'à maintenant). Elles sont respectivement composées d'un cosinus et d'un sinus et donc déphasées de  l'une par rapport à l'autre !

Il est souhaitable de revenir la "relation de dispersion" que nous avions obtenu. Nous avons vu que, pour l'onde monochromatique libre, celle qui est solution de l'équation homogène, cette relation s'écrit pour que la phase de la solution corresponde à cette réalité (attention il s'agit de ne pas confondre le symbole de la vitesse et de la fréquence!):

  (180)

Toujours dans le cas libre, nous pouvons avoir une situation physique qui correspond à l'addition de plusieurs ondes monchromatiques libres. Le résultat n'est pas monochromatique et s'écrit évidemment comme une somme:

  (181)

Nous lui donnons souvent le nom de "paquet d'onde" pour des raison évidentes. Puisque tout est libre, chaque composantes satisfera:

  (182)

Nous noterons ici deux choses pour des ondes libres:

- D'abord, même pour des ondes libres, elle est quadratique, nous pouvons donc changer le signe du vecteur d'onde et/ou de la pulsations sans affecter l'équation. Nous observons trivialement que pour une ou plusieurs composantes du vecteur d'onde positives l'onde se propage vers les x croissants pour ces composantes positives et qu'inversement, pour une ou plusieurs composantes négatives l'onde se propage vers les x décroissants. De même, pour une pulsation négative ou positive signifie que le temps varie vers le passé, respectivement le futur.

- D'autres part, certains types d'ondes n'obéissent pas à une équation aussi simple que l'équation homogène. C'est le cas des vagues, par exemple, tant du fait de la nature du liquide dans lequel elles se propagent que de la force de rappel gravitationnel. Parfois aussi, une onde qui serait totalement libre, ou à peu près, cherche à se propager dans un milieu où les conditions de propagation sont sérieusement affectées. Par exemple une onde sonore qui tente de se propager dans le mastic ou une onde électromagnétique qui cherche à se propager dans un conducteur (un métal). Dans ce cas, une partie importante de la différence entre onde libre et onde modifiée par le mileu peut se décrire par un changement de la dispersion.
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