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  Optique Géométrique
 

L'optique est l'étude la fraction de l'énergie rayonnante sensible à la rétine, c'est-à-dire la "lumière" ou autrement dit (cf. chapitre d'Electrodynamique) : les "ondes électromagnétiques". 

Nous avons choisi sur ce site de scinder l'étude de l'optique en trois parties : la photométrie, l'optique géométrique et l'optique ondulatoire (voir plus tard l'optique matricielle et quantique?).

1. La "photométrie" s'occupe de la partie des définitions des grandeurs relatives aux propriétés énérgétiques des ondes électromagnétiques relativement à la sensibilité visuelle.

Remarque: Cette partie "photométrie" est incluse dans le présent chapitre.

2. "L'optique ondulatoire" où les phénomènes lumineux sont interprétés en tenant compte de la nature de la lumière. Celle-ci est considérée comme une onde électromagnétique d'une longueur d'onde donnée définissant sa couleur (grandeur subjective comme nous le verrons plus loin).

Dans certaines expériences, nous devons cependant considérer la lumière comme un phénomène corpusculaire (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) nous la supposons alors constituée de particules, les "photons", dont l'énergie est proportionnelle à la fréquence lumineuse selon la loi de Planck (pas celle de la thermodynamique... l'autre).

3. "L'optique géométrique" où nous décrivons la propagation de la lumière dans les milieux transparents sans faire intervenir la nature même de la lumière. Il s'agit d'une partie de la physique présentant l'avantage de ne pas demander d'outils mathématiques compliqués, mais de beaucoup de bon sens géométrique…

Pour des raisons de cohérence, comme nous en avons déjà fait mention, nous avons choisi de mettre la photométrie dans le même chapitre d'optique géométrie (ici même donc...).

Avant de commencer à étudier l'aspect mathématique de l'optique géométrique il nous a semblé bon d'éclaircir certaines zones floues du domaine de l'optique qui sont rarement bien précisées voir même pas traitées du tout dans les ouvrages sur le sujet. Ainsi, nous allons d'abord présenter ce qu'est une source ou un absence de lumière et ensuite comment les couleurs sont vues et traitées par l'être humain.

SOURCES ET OMBRES

L'expérience nous enseigne que dans un milieu homogène et transparent la lumière se propage en ligne droite et que cell-ci provient toujours de "sources lumineuses" :

Certains objets sont lumineux par eux-mêmes (Soleil, flammes). Les autres objets ne sont généralement pas visibles dans l'obscurité (absence de lumière) mais s'ils sont éclairés ils renvoient tout ou partie de la lumière dans toutes les directions (voir le chapitre d'électrodynamique et de physique quantique corpusculaire) et se comportent donc dès lors comme des sources lumineuses.

Nous définissons:

D1. Une "source ponctuelle" comme étant un seul "point lumineux"

D2. Une "source étendue" comme un ensemble de sources ponctuelles

D3. Un "rayon lumineux" comme toute droite suivant laquelle se propage la lumière

D4. Un "faisceau lumineux" comme un ensemble de rayons lumineux

D5. Le "diamètre apparent" comme étant l'angle, généralement petit, sous lequel nous voyons une des dimensions de l'objet (angle exprimé en radians).

La lumière traverse le vide sans subir d'altération; c'est ainsi que la lumière du Soleil, avant d'atteindre la limite de l'atmosphère terrestre, traverse d'immenses espaces vides sans subir de transformations.

Sur Terre, entre un objet lumineux et l'œil qui voit cet objet, la lumière traverse une certaine épaisseur d'air; l'objet demeure visible dans d'autres gaz, ou bien à travers une lame de verre, de mica, de cellophane…, ou bien encore à travers une couche d'eau, d'alcool, de glycérine…; de tels corps constituent des "milieux transparents".

La plupart des corps ne se laissent pas traverser par la lumière; placés entre l'œil et un objet lumineux, ils suppriment la vision de cet objet : nous disons alors qu'ils sont "coprs opaques".

En fait, aucune substance n'est parfaitement transparente et la propagation dans un milieu transparent s'accompagne toujours d'un affaiblissement; ce phénomène d'absorption dépend de la nature du milieu et augmente avec l'épaisseur de substance traversée. C'est ainsi que l'eau, même très pure, est opaque sous une épaisseur d'une centaine de mètres; aussi les grands fonds marins ne reçoivent-ils jamais de lumière solaire.

Ils arrive que certains corps, dits "corps translucides", laissent filtrer de la lumière sans permettre à l'œil d'identifier l'objet lumineux qui l'émet; tels sont le verre dépoli, le verre strié, la porcelaine mince, le papier huilé…

Dans un espace sombre, l'œil situé hors du trajet de la lumière, aperçoit ce trajet grâce aux fines particules solides (poussières, fumée de tabac, brouillard,…) en suspension dans l'air; ces particules éclairées diffusent la lumière qu'elles reçoivent, devenant autant de points lumineux qui matérialisent le volume traversé par la lumière. L'observation familière montre que ces volumes lumineux paraissent toujours limités par des lignes droites.

Nous pouvons dès lors appliquer le théorème des rapports de Thalès à certains phénomènes lumineux. Ainsi, imaginons l'expérience suivante:

Nous réalisons des sources de dimensions assez faibles pour que nous puissions les considérer comme des sources ponctuelles (c'est-à-dire des points lumineux).

Soit S une telle source ponctuelle de lumière. Considérons le volume que la source S illumine à travers une ouverture dans un diaphragme se situant dans la trajectoire de la lumière à la distance d. Si nous notons AB le diamètre circulaire de cette ouverture du diaphragme K et que nous coupons la trajectoire lumineuse par un écran E, parallèle à K et à distance D de la source, nous observerions que la partie éclairée se limite à un cercle A'B'.


  
(1)

Si nous pouvions mesurer les diamètres AB et A'B' des deux cercles, ainsi que leurs distances d et D à la source, nous trouverions qu'ils satisfont au théorème des rapports de Thalès et ainsi que :

  (2)

C'est également la preuve que le volume lumineux est effectivement limité par des droites issues de S et s'appuyant sur le bord de l'ouverture du diaphragme.

Ces faits d'observation et d'expérience élémentaires suggèrent l'hypothèse suivante :

Dans un milieu transparent homogène (rappelons qu'un milieu est homogène quand tous ses éléments de volume possèdent les mêmes propriétés), la lumière provenant d'un point lumineux se propage suivant des lignes droites issues de ce point. Ces droites sont appelées des "rayons lumieux".

Si nous reveonons à la figure précédente, l'ensemble des rayons lumineux contenus dans le cône défini par la source S et le diaphragme K constitue un "faisceau lumineux".

1. La lumière se propageant ici à partir de S, nous disons que les rayons "divergent" ou encore que le faisceau est un "faisceau divergent".

2. Quand une source ponctuelle est à l'infini (comme l'est pratiquement une étoile, par exemple), les rayons qui en partent sont parallèles et les faisceaux qu'ils forment sont appelés "faisceaux parallèles", ou encore "faisceaux cylindriques".

3. A l'aide d'une lentille convergente (une loupe, par exemple), nous verrons qu'il est possible de changer les directions de rayons issus d'une source ponctuelle et de les faire concourir en un point S'; un tel ensemble de rayons constitue un "faisceau convergent".

Un faisceau lumineux très étroit prend le nom de "pinceau lumineux". Par exemple, les rayons allant d'un point lumineux à l'œil forment toujours un pinceau lumineux très délié, parce que la distance du point observé à l'œil est nécessairement grande, comparée au diamètre de la pupille.

Si nous revenons à notre expérience avec le diaphragme : si nous diminuons l'ouverture de ce dernier qui limite un pinceau de rayons lumineux, nous observons (lorsque le diamètre est réduit à moins de quelques dixièmes de millimètre) que la trace du pinceau sur un écran E, au lieu de s'amenuiser, s'agrandit au contraire, preuve que la lumière parvient maintenant en des points situés hors du cône SA'B'.

Tout se passe comme si la très petite ouverture AB devenait elle-même une source ponctuelle: nous dit que la lumière se "diffracte". Nous reviendrons plus tard sur cette propriété de la lumière car il s'agit d'un étude mathématique assez élaborée (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) et donc complexe à manipuler mais cependant fort intéressante.

Considérons maintenant une source ponctuelle de lumière. Entre la source et un écran E, interposons un corps opaque de forme quelconque, par exemple une sphère métallique; conformément à l'hypothèse de la propagation rectiligne, nous observons un "cône d'ombre" limité par les rayons qui s'appuient sur le contour du corps interposé.

La région non éclairée du corps opaque est "l'ombre propre"; celle qui correspond sur l'écran est "l'ombre portée".

Si la source de lumière est étendue, l'ombre portée et l'ombre propre n'ont plus leurs contours nettement délimités; leurs bords s'entourent d'une zone intermédiaire que l'on appelle la "pénombre".

COULEUR

Définition: Nous nommons "couleur" la perception par l'œil d'une ou plusieurs fréquences d'ondes lumineuses, avec une (ou des) amplitude(s) donnée(s).

Remarque: Il importe de ne jamais confondre "couleur", notion perceptive, et "longueur d'onde", notion physique. Ainsi, l'œil humain est le plus souvent incapable de distinguer un jaune monochromatique (une seule longueur d'onde) d'une composition correspondante de vert et de rouge. Cette illusion permet d'afficher du jaune sur nos écrans d'ordinateur, et, plus généralement n'importe quelle couleur

De par le fait que la partie sensible de la rétine de l'œil humain est composé d'éléments appelés "cônes" sensibles chacun à un petit intervalle correspondant respectivement au rouge, au vert et au bleu, nous pouvons créer n’importe quelle couleurs en additionnant ces trois couleurs de base appelées "couleurs fondamentales additives" (ou "couleurs primaires additives"). Cela s’appelle la "synthèse additive" des couleurs.

Dans ce qui suite, nous noterons le rouge (R), le vert (V), le bleu (B), le blanc (W), le noir (Æ)

Couleur

Longueur d'onde [nm]

Fréquence [THz]

rouge

 

~ 625-740

~ 480-405

orange

 

~ 590-625

~ 510-480

jaune

 

~ 565-590

~ 530-510

vert

 

~ 520-565

~ 580-530

cyan

 

~ 500-520

~ 600-580

bleu

 

~ 446-500

~ 690-600

violet

 

~ 380-446

~ 790-690

  (3)

Remarque: Les cônes L de la rétine sons sensibles aux ondes longues (580 [nm]), donc les rouges. Les cônes M, sensibles aux ondes moyennes (545 [nm]), donc les verts. Les cônes S, sensibles aux ondes courtes (440 [nm]), donc les bleus. Quand au choix de cette gamme précise du spectre électromagnétique par la Nature, il suffit de regarder le spectre d'absorption de l'eau pour voir que ça tombe pile dans une fenêtre où l'eau absorbe très peu. Du coup, nous pouvons voir loin même par temps humide.

En pointant trois faisceaux lumineux (R, V et B) au même endroit, nous pouvons obtenir (au fait il serait plus rigoureux de dire "percevoir" car ceci est propre seulement à certains mammifères trichrmoates) de la lumière blanche. Nous disons alors que le blanc (dans le sens humain du terme) est la somme des trois couleurs fondamentales additives (rappelons qu'au fait le blanc est rigoureusement la somme des toutes les couleurs du spectre – donc que le blanc est constitué d'un spectre lumineux continu). Toutes les couleurs imaginables sont obtenues en variant l'intensité de chacun des trois faisceaux. Le noir est obtenu quand nous n'envoyons aucune lumière du tout.

Par exemple, si nous additionnons (dans le sens théorique du terme : avec des composants de couleurs infiniments petits et transparents...) juste du rouge et du vert, nous obtenons du jaune (J), si nous additionnons se du rouge et du bleu, nous obtenons du Magenta (M), si nous additionnons du vert et du bleu, on obtient du Cyan (C). Nous pouvons donc résumer cela par les équations suivantes :

  (4)

Ces trois couleurs (J, M, C) obtenues en additionnant deux couleurs fondamentales additives sont appelées "couleurs secondaires additives".

Schéma de la synthèse additive :

  (5)

Définition: Une couleur est dite "couleur complémentaire" d'une autre si elles donnent du blanc quand on les additionne. Par exemple, le jaune est la couleur complémentaire du bleu :

  (6)

A l'opposé de la synthèse additive, il existe la "synthèse soustractive des couleurs" : c'est celle dont nous parlons quand nous enlevons de la couleur à une couleur de base. C’est par exemple le cas de l'encre ou des filtres colorés (dans le sens où il y a un support de base dont il faut traiter la couleur).

Exemple:

Posons un filtre rouge sur le rétroprojecteur. La lumière projetée sera rouge. Nous remarquons donc que le filtre a enlevé de la couleur à la lumière blanche : W est devenu R mais comme W = RVB, cela veut dire que le filtre rouge a enlevé les couleurs VB  à la lumière blanche du rétroprojecteur. Avec le même raisonnement, nous comprenons qu'un filtre V soustrait les couleurs RB et un filtre B soustrait RV.

Si nous empilons deux filtres de couleurs fondamentales différentes : par exemple, un filtre R et un filtre V, nous n'obtiendra rien du tout, autrement dit, du Æ. En effet, le filtre R ne laisse passer que la lumière rouge et le filtre V soustrait cette couleur (ainsi que le B). Il ne reste donc plus aucune couleur, autrement dit du Æ.

Nous remarquons donc que les filtres R, V et B ne permettent pas de synthétiser différentes couleurs par soustraction puisque nous obtenons du noir dès que nous en superposons deux différents. Ce qui est très embêtant lorsque le support concerné est du papier et que l'objectif est d'imprimer quelque chose de coloré.

Il est donc plus utile d'utiliser les filtres jaunes, magenta et cyan (J, M, et C) des couleurs additives secondaires. En effet, un filtre J laisse passer du jaune, c'est-à-dire RV. Il ne soustrait donc que le B à la lumière blanche d'origine. Selon le même principe, un filtre M soustrait V et un filtre C soustrait R

Nous remarquons alors que la superposition de deux filtres de ces couleurs secondaires donne une nouvelle couleur sur un support existant. Nous pouvons ainsi synthétiser n'importe quelle couleur en variant l'intensité de chacun des trois filtres (J, M et C) que nous superposons (sur le rétroprojecteur ou le papier par exemple). Nous appelons ces trois couleurs les "couleurs fondamentales soustractives".

Schéma de la synthèse soustractive :

  (7)

Exemples:

E1. Un écran de télévision ou d’ordinateur fonctionne sur le principe de la synthèse additive des couleurs. En effet, en regardant l’écran à la loupe, on peut se rendre compte qu’il est rempli de petits groupes de trois luminophores (zone brillant quand on l’excite) R, V et B. Ces luminophores sont tellement proches que quand ils s’allument ensemble, ils donnent l’impression de se confondre et on perçoit uniquement la synthèse additive des trois (pixel). Par exemple, sur un écran de télévision entièrement rouge, seuls les luminophores rouges brillent. Par contre, si l’écran vire au jaune, cela veut dire que les luminophores verts brillent en même temps que les rouges.

E2. A l’opposé de la télévision, nous trouvons les procédés d’imprimerie qui fonctionnent en synthèse soustractive. En effet, la feuille est blanche et il faut lui enlever des couleurs pour obtenir celle que nous désirons. La technique est la même que celle des filtres : les encres contiennent des pigments qui filtrent certaines couleurs. En utilisant des encres J, M et C, nous pouvons obtenir toutes les couleurs du spectre visible. Toutefois, les pigments ne sont pas parfaits et le noir est très difficile à obtenir (surcharge d’encre et teinte plutôt brun foncée). Nous avons donc recours au noir comme quatrième couleur. Ce système s’appelle l’impression en quadrichromie. Il est utilisé par exemple par la plupart des imprimantes couleurs et dans les rotatives de journaux.

Il est intéressant maintenant de s'intéresser aux phénomènes qui superposent les deux concepts (si l'on peut dire…). Ainsi, un système qui projette de la couleur selon le système RVB additif ou soustractif peut lui-même être éclaire par un système équivalent. Il en résulte ainsi une superposition d'effets.

Ainsi, quand nous parlons de la couleur des objets, nous nous référons normalement à l'aspect qu'ils ont quand ils sont éclairés par de la lumière blanche.

Exemple:

Une tomate rouge, absorbe une partie de la lumière blanche W (VB) et diffuse le reste (R). C'est pour cela qu’elle nous apparaît rouge quand on l'éclaire avec de la lumière blanche. Un citron, lui, apparaît jaune car il absorbe le bleu de la lumière blanche W et diffuse le reste (RV)…. Mais qu'en est-il d’une tomate éclairée par une lumière bleue? A quoi ressemble le citron si nous l'éclairons en rouge ?

Nous pouvons répondre en raisonnant comme suit : comme la tomate absorbe VB et donc intrinsèquement le bleu (B), il ne reste donc rien. Elle apparaît alors noire. Quant au citron, comme il absorbe le bleu (B) et diffuse la lumière R+V alors si nous l'éclairons seulement avec du rouge R il ne diffusera que du rouge et apparaîtra donc rouge.

PHOTOMÉTRIE

La matière est capable d'émettre de transmettre et/ou absorber de l'énergie électromagnétique. Plusieurs facteurs caractérisent ce rayonnement telles que sa gamme spectrale, son intensité, sa direction ainsi que certaines propriétés intrinsèques à la matière. La photométrie se propose de rechercher les grandeurs qui lui sont spécifiques ainsi que les lois qui les régissent.

Nous reconnaissons deux types de photométrie : la "photométrie énergétique" et la "photométrie visuelle". De ce qui va suivre, nous nous en tiendrons principalement à la photométrie énergétique.

Au préalable, nous devons  spécifier les conditions dans lesquelles nous allons définir les nouvelles grandeurs. Nous admettrons donc les hypothèses suivantes :

H1. Le rayonnement se propage dans un milieu transparent pour toutes les intensités, les longueurs d'onde et leur polarisation

H2. La propagation s'effectue suivant des angles solides (cf. chapitre de Trigonométrie). Nous écartons ainsi la propagation avec des rayons parallèles

H3. La surface élémentaire dS d'étude est suffisamment petite pour que les rayonnements de ses points soient identiques mais pas trop petites pour éviter des phénomènes comme la diffraction.

FLUX ÉNERGÉTIQUE

Définition: Le "flux énergétique" d'une source de rayonnement est la puissance qu'elle rayonne. Le flux  se mesure en Watts [W] (soit des joules par seconde [J/s]) et il découle dès lors que pour une source qui rayonne une énergie (non nécessairement constante), nous avons :

  (8)

Exprimé dans certains domaines professionnels, l'unité photométrique est le "Lumen" noté [lm] ou en unité photonique en nombre de photons par seconde :

LOI DE BEER-LAMBERT

Si l'absorption et la diffusion d'un milieu peuvent être considérées comme proportionnelles à l'épaisseur dz de matière traversée, la variation de flux pourra s'écrire:

  (9)

dans cette expression est le flux incident et   est le coefficient d'atténuation linéique qui est fonction de la fréquence du rayonnement.

Nous aurons donc une simple équation différentielle (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

  (10)

qui est la "loi de Beer-Lambert" (qui peut aussi s'exprimer à partir de l'intensité lumineuse que nous définirons de suite après).

Ordres de grandeur : Atmosphère ; , Verre (BK7) , …

Remarque: La variation du coefficient d'absorption atmosphérique avec la longueur d'onde permet notamment d'expliquer la couleur bleue du ciel.

Il existe de nombreuses autres formulations de la loi de Beer-Lambert dont une assez utilisée en physique nucléaire (voir chapitre du même nom) dans le cadre de la radioprotection. Voyons de quoi il s'agit :

Considérons un flux de particules frappant perpendiculairement la surface d'un matériau d'épaisseur dx et de densité atomique N (). Si nous considérons les particules frappant une surface S, ces dernières peuvent théoriquement rencontrer atomes cibles dans cette couche. Le nombre de particules interagissant sera proportionnel à l'intensité fois ce nombre, et nous avons :

  (11)

Remarques:

R1. est la constantes de proportionnalité et est nommée "section efficace microscopique". Ces unités sont souvent exprimées en "barn" ().

R2. La densité atomique N est égale à est la densité en , le nombre d'Avogadro et la masse molaire de la cible exprimée en .

Si nous admettons maintenant que les centres de diffusion sont les électrons et non pas les atomes cibles, alors il faut remplacer par avec Z étant le nombre d'électrons interagissant par atome cible. D'où :

  (12)

En identifiant avec la première formulation de la loi de Beer-Lambert, nous voyons que joue le même rôle que :

et   (13)

et dans l'hypothèse où l'électron constitue une "sphère d'action" présentant une surface frontale , étant le rayon de cette sphère. Alors :

  (14)

et nous avons pour le rayon de la sphère d'action de l'électron :

  (15)

INTENSITÉ LUMINEUSE

Pour décrire le flux énergétique  d'une source, il faut commencer par le mesurer. Le capteur utilisé (thermocouple, bolomètre, cellule photoélectrique, œil ou autre) ne peut recevoir qu'une partie : celle qui arrive dans l'angle solide  défini par sa section.

Définition: "L'intensité lumineuse" ou "intensité énergétique" I d'une source ponctuelle est le flux rayonné  dans l'unité d'angle solide  centré autour d'une direction  d'émission :

  (16)

Exprimée dans certains domaines professionnels, en unité photométrique en "Candela" [Cd] ou en unité photonique en  (rappelons que les stéradians n'ont pas d'unité au même titre que les radians)

Remarques: Une source est dite "source anisotrope" si son intensité varie avec la direction d'observation

Par comparaison (car cela aide), une unité de Candela est équivalent à l'intensité d'une source dans une direction donnée, qui émet un rayonnement monochromatique de fréquence 540.1012 [Hz] (ce qui correspond approximativement à la fréquence à laquelle l'œil est le plus sensible), et dont le flux lumineux (ou intensité) dans cette direction est 1/683 Watt par stéradian.

ÉMITTANCE ÉNERGÉTIQUE

Définition: "L'émittance énergétique", "excitance" ou encore "éclairement" M d'une source est le flux énergétique rayonné par unité de surface dS en [W/m2] dans toutes les directions de l'espace extérieur à la source et dépend des propriétés physico-chimiques de la surface émettrice :

  (17)

Exprimé dans certains domaines professionnels, en unité photométrique en "Lux" [lx] ou en unité photonique en (ou pire encore... [lm/m2]).

Attention à ne pas confondre l'émittance énergétique avec le flux énergétique!!!

Si la source est ponctuelle et son rayonnement isotrope, sa direction n'est pas à prendre en considération. Dans le cas de ladite sphère de rayon r, l'émittance a alors pour expression :

  (18)

Dans le cas précédent de la sphère, un élément dS de la surface sphérique reçoit perpendiculairement le rayonnement. En toute généralité, une surface élémentaire peut être inclinée par rapport à la direction du rayonnement avec un angle . Ainsi, nous devons projeter la surface sur la perpendiculaire du rayonnement en utilisant les raisonnements élémentaires de la trigonométrie:

  (19)

C'est cette projection qui explique les saisons sur la Terre : la surface balayée par l'émittance a peu près constante et isotrope du soleil (considéré comme une source ponctuelle) est maximale à l'équateur (surface perpendiculaire) et donc implique un flux supérieur par rapport à ce que reçoit une latitude supérieure ou inférieure pour laquelle la projection perpendiculaire de la surface concernée est plus petite que celle à l'équateur pour une émittance identique.

Remarques:

R1. L'émittance énergétique n'est calculée que dans le demi-espace extérieur avant (celui d'où nous regardons la source), car seule la moitié de l'énergie échangée par les points de la surface dS est émise sous forme de rayonnement. L'autre moitié est échangée avec les atomes situés dans le corps.

R2. L'émittance est habituellement aussi parfois notée F ou encore E. Il faudra prendre garde cependant à ne pas confondre l'émittance M avec la magnitude (noté de la même manière) que nous définissons en astrophysique.

LUMINANCE ÉNERGÉTIQUE

Soit une source non ponctuelle dont l'émittance énergétique M est connue en tout point. Un élément dS de la surface de ce genre de source sera par définition de l'intensité pas nécessairement isotrope et donc plus lumineux (puissant) lorsque l'on l'observe colinéairement au vecteur .

L'intensité énergétique I qu'il rayonne dans une direction, formant un angle , avec la normale à la surface d'émission est toujours inférieure à celle rayonnée dans la direction du vecteur . Ainsi par simple application des règles trigonométriques nous obtenons la définition de la "luminance" (ou "radiance") :

  (20)

exprimée dans certains domaines, en unité photométrique en "Nits"  ou en unité photonique en

Remarque: Lorsque nous nous préoccupons que de la lumière visible, la luminance d'une source est quelque fois appelée "brillance" ou "éclat" (attention ceci n'est pas le cas lorsque l'on traite de l'éclat comme il est vu en astrophysique).

Nous pouvons aussi écrire :

  (21)

qui nous donne l'intensité énergétique que rayonne une source de luminance L dans une direction donnée.

Jean-Henri Lambert (1728-1777) a observé que l'intensité énergétique de certaines sources (parmi toutes les types de sources imaginables…) anisotropes diminue comme le cosinus de l'angle , autour de la direction perpendiculaire à la surface de la source :

  (22)

Cette variation de l'intensité est observée lorsque nous mesurons l'énergie thermique rayonnée par un orifice percé dans un four (ce qui nous ramène au corps noir), isolé thermiquement et dont la température interne est supérieure à la température externe. Dans ce contexte, l'orifice est appelé un "émetteur Lambert" et ne balaye un espace que de  stéradian.

Remarque: Une source qui obéit à cette loi est dite "source orthotrope".

LOI DE LAMBERT

Une source obéit à la loi de Lambert si sa luminance énergétique est la même dans toutes les directions, c’est-à-dire que son intensité est isotrope et donc indépendante de l'angle .

Nous avons alors :

  (23)

Calculons l'émittance d'un émetteur Lambert :

Nous avons donc par définition même de la propriété d'un émetteur Lambert :

  (24)

et nous avons :

  (25)

Or nous avons démontré dans le chapitre de trigonométrie, qu'un angle solide élémentaire était donné par :

  (26)

Ce qui nous amène à écrire :

  (27)

En appliquant une intégration par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

  (28)

L'émittance valant :

  (29)

Ce résultat est important pour l'étude du rayonnement du corps noir, puisque la valeur de la luminance mesurée par un capteur permet de déduire l'émittance M, donc le flux énergétique de la source :

  (30)

Remarque: Nous parlons de la "luminance" d'une source et de "l'éclairement" d'un objet (par une source).

LOI DE KIRCHHOFF

Tout corps irradié par une source énergétique voit le flux énergétique incident se répartir selon trois termes intuitifs :

  (31)

où :

-  est le flux énergétique géométrique réfléchi ou diffusé

-  est le flux énergétique qui traverse le corps sans interactions (transparence intégrale)

-  est absorbé et transformé sous d'autres formes d'énergie

Les trois coefficients appelés respectivement "facteur de réflexion" , "facteur de transmission" et "facteur d'absorption" , dépendent de la longueur d'onde  de la lumière incidente et de la température du corps récepteur.

Pour chaque objet, nous avons bien évidemment :

  (32)

qui est l'expression de la "loi de Kirchhoff simple" (contrairement à la version différentielle) en photométrie.

Remarque: En physique, nous retrouvons souvent des énoncés de conservation sous la dénomination "loi de Kirchoff" comme en électrocinétique par exemple.

DÉCOMPOSITION SPECTRALE

De ce qui vient d'être dit, il découle que toutes les grandeurs définies précédemment peuvent êtres rapportées à leur décomposition spectrale en longueur d'onde. Ceci résulte du principe de superposition : tout rayonnement est la superposition de rayonnements monochromatiques.

Ainsi, nous définissons :

  (33)

et de même :

  (34)

Remarque: Les unités du flux spectral (ou "décomposé"), intensité spectrale (ou "décomposée"), luminance spectrale (ou "décomposée") ou émittance spectrale (ou "décomposée") ainsi que les facteurs d'absorption spectrale (ou "décomposée"), de réflexion spectrale (ou "décomposée") et de transmission spectrale ne sont bien sûr pas équivalents à leur expression intégrée au niveau dimensionnel.

Nous aurons un grand besoin de la densité de l'émittance lors de l'étude du corps noir dans le chapitre de thermodynamique de la section de mécanique. Rappelez-vous uniquement que nous avons en unités S.I. sur le principe de décomposition (et inversement superposition) spectrale : 

  (35)

Remarque: Nous avons vu en thermodynamique que les paramètres définis ci-dessus, étant dépendants de la longueur d'onde sont également dépendants de la température qui émet ces mêmes ondes.

Loi de rÉfraction

Pierre de Fermat proposa que les rayons lumineux répondaient à un principe très général selon lequel le chemin emprunté par la lumière pour se rendre d’un point donné à un autre était celui pour lequel le temps de parcours était minimum (en fait un extremum qui peut être un minimum ou un maximum). Cette proposition, appelée "principe de fermat", à la base de l'optique géométrique s'appuise sur le principe de moindre action (principe que nous avons déjà introduit dans le chapitre de mécanique analytique) ce que nous démontrerons plus loin.

Considérons (voir figure ci-dessous) deux milieux et d’indices de réfraction respectifs n et mA et B situés respectivement dans le milieu d’indice n (le point A) et dans le milieu d’indice m (le point B). et dont la surface de contact est plane. Prenons deux points

Considérons le chemin de la lumière allant de A à B. Le principe de Fermat nous enseigne que le chemin emprunté par la lumière est tel que le temps mis pour le parcourir est minimum. Nous nous proposons dans un premier temps d’appliquer une méthode classique pour calculer le chemin du rayon lumineux et dans un second temps, nous montrerons que le principe de Fermat peut être énoncé comme un principe variationnel.

Choisissons un repère qui simplifie le problème: faisons passer l’axe des abscisses par le plan de contact des deux milieux et l’axe des ordonnées par le point B. Dans un tel repère, les points A et B ont les coordonnées suivantes: .

Appelons , le point où le rayon lumineux traverse la surface de contact entre les deux milieux. Le temps mis pas la lumière pour aller de A à B est alors:


  
(36)

où :

 et     (37)

sont les vitesses de la lumière dans les milieux et

L'écriture des deux relations :

 et   (38)

se justifie par le fait que l'on peut se permettre de faire l'hypothèse que la vitesse de la lumière ne croît pas en traversant un corps dense mais se voit diviser par un facteur donné dépendant du milieu qu'elle traverse. Pour s'en convaincre, il suffit d'imaginer un cas absurde où la lumière traverserait sans perte de vitesse un corps de densité infinie!

En développant les valeurs de AM et MB nous obtenons la dépendance suivante de T en fonction de la position x de M :

  (39)

Selon le principe de Fermat, le chemin emprunté par la lumière est celui pour lequel T est minimum. L’extremum de T(x) est atteint lorsque sa dérivée par rapport à x est nulle.

  (40)

Notons que:

 et   (41)

r est "l'angle de réfraction" (à ne pas confondre avec "l'angle de refléxion"!) et i "l'angle d'incidence" de la lumière. 

La condition d’un temps extremum mis par la lumière s’exprime alors:

  (42)

D’où nous tirons la relation, connue sous le nom de "loi de Snell-Descartes" (qui n'est plus une loi puisque démontrée):

  (43)

Il suffit que les angles d’incidence et de réfraction remplissent cette condition pour que le chemin parcouru par la lumière soit effectivement celui qui prend le moins de temps.

Nous notons plus fréquemment cette loi en physique de la manière suivante :

  (44)

 est "l'indice de réfraction relatif" du milieu 2 par rapport au milieu 1 qui ont respectivement leur propre "indice de réfraction absolu" .

Remarques:

R1. Nous verrons lors de notre étude de l'optique ondulatoire que nous pouvons retrouver (démontrer) cette même relation mais sans les hypothèses de bases de l'optique géométrique. Dès lors, cette cette dernière relation est appelée "relation de Descartes-Snellius" ou plus simpelemnt "loi de Snell".

R2. Quand nous parlons de l'indice de réfraction d'un milieu m sans faire référence à un autre milieu, le milieu implicite est le vide.

Etudions maintenant la relation entre l'indice de réfraction relatif et la vitesse la la lumière dans les différents milieux qu'elle traverse:

Un rayon lumineux relie deux point  et situés de part et d'autre de S; ce rayon n'est pas représenté dans la figure. Ne sont tracés que trajets situés de part et d'autre du rayon qui réalise l'extremum (nous nous basons sur l'étude du trajet maximum maintenant). Par hypothèse, ils sont extrêmement proches, si bien que la distance  est très faible:

  (45)

Nous admettons qu'ils correspondent au même temps de parcours.


  
(46)

Puisque les deux trajets sont très proches, nous pouvons admettre l'égalité des distances  et  d'une part,  et  de l'autre. Ainsi, par hypothèse:

  (47)

Mais, sous la même hypothèse:



  
(48)

si bien que:

  (49)

La "loi de la réfraction" s'énonce finalement en général:

  (50)

Quant à "l'angle de réflexion", ce dernier est égal à l'angle d'incidence si la surface de réflexion est parfaitement régulière et plate.

Le principe de Fermat présente donc d’évidentes similitudes avec le principe de moindre action en cela qu’il consiste en un principe du minimum. Bien qu’une description rigoureuse de la lumière nécessite l’introduction de la physique quantique il est toutefois possible de l’appréhender par le biais de la mécanique analytique et de lui appliquer, sous certaines conditions, le principe de moindre action. Nous allons montrer que nous retrouvons ainsi le principe de Fermat. 

Les calculs que nous allons présenter introduisent de nombreuses hypothèses hasardeuses mais en tout état de cause, ce procédé doit être considéré comme une approximation. A noter que le principe de Fermat procède lui aussi d’une même approximation que nous pouvons qualifier de "limite classique".

Imaginons que la lumière est composée de "grains" matériels. Il faut alors admettre que ces grains obéissent à des propriétés physiques plutôt singulières: leur masse est nulle puisque selon la description classique, les rayons lumineux ne sont pas déviés par le champ gravitationnel. Cette absence de masse les rend donc insensibles au champ gravitationnel terrestre (attention ! nous sommes dans un description "classique").

Ecrivons l’action pour l’un de ces grains de lumière :

  (51)

Or, en supposant que le seul champ de potentiel V présent est celui quiérive du champ gravitationnel et que nous ademmetons que la lumière comme y étant insensible (nous savons en relativité général que cela est faux mais nous avons préciser tout à l'heure que nous ferions des approximations), il s’ensuit que l’action de la lumière peut s’écrire:

  (52)

Or, aucune force ne s’applique sur la lumière, par conséquent l’énergie cinétique T est une constante du mouvement. Appliquons le principe variationnel de moindre action:

  (53)

D’où nous tirons:

  (54)

Cette équation signifie que le temps mis par la lumière le long de sa trajectoire est minimum (ou plus généralement, est un extremum). Nous retrouvons le principe de Fermat. Nous avons donc montré, qu’à la limite classique et sous certaines hypothèses, le principe de Fermat découle directement du principe de moindre action.

EFFET TCHERENKOV (CERENKOV)

Nous avons vu dans les paragraphes précédents l'hypothèse (relativement intuitive) que la vitesse de propagation de la lumière dans un milieu d'indice de réfraction n n'était pas égal à c mais toujours inférieur en écrivant cela :

  (55)

L'effet Tcherenkov est (basiquement) un phénomène similaire à une onde de choc (en acoustique), produisant un flash de lumière, et qui a lieu sur le trajet d'une particule chargée se déplaçant dans un milieu avec une vitesse supérieure à la vitesse de la lumière du milieu (l'explication rigoureuse sort du cadre d'étude de ce site de par sa complexité de traitement!).

Effectivement, rappelons d'abord que nous avons vu dans le chapitre d'électrodynamique que toute particule chargée en mouvement émettait une radiation électromagnétique. Ensuite, nous avons vu dans les paragraphes précédents que la vitesse de la lumière dans un milieu donnée dépendait de l'indice de réfraction de ce milieu (hypothèse qui se vérifie par la justesse expérimentale des développements théoriques qui en découlents).

Remarques:

R1. C'est cet effet qui provoque la luminosité bleue de l'eau entourant le cœur d'un réacteur nucléaire.

R2. Parfois certains se demandent pourquoi les particules chargées peuvent aller plus vite que la lumière dans un milieu autre que le vide. C'est simple au fait : même si les deux particules rencontrent à peu près les mêmes obstacles et difficultés à se propager le photon ne peut être accéléré par une impulsion alors qu'une particule chargée peut se voir être accélérée par un phénomène donné dans un milieu donné.

Nous avons donc deux données de bases. La vitesse de la particule chargée qui peut s'écrire sous la forme suivante avec les notations relativistes :

  (56)

et la vitesse de la lumière dans un milieu avec un indice de réfraction donné :

  (57)

Il est facile de voir que pour obtenir  il faut avoir :

  (58)

Soit :

  (59)

Certains auteurs préfèrent comparer la distance parcourue par la lumière par rapport à celle parcourue par la particule. Il vient ainsi :

  (60)

Et donc pour que la particule parcoure des distances égales à celles de  la lumière dans le même temps il faut que . Au-delà, apparaît l'effet Tcherenkov.

FORMULES DE DESCARTES

Nous avons discuté précédemment certains phénomènes qui se produisent lorsqu'un front d'onde passe d'un milieu à un autre dans lequel la propagation est différente. Non seulement nous avons analysé ce que devient le front d'onde, mais encore nous avons introduit le concept de "rayon" qui est particulièrement utile pour les construction géométriques. Nous nous proposons maintenant d'approfondir les phénomènes de réfraction et de réflexion d'un point de vue géométrique en utilisant le concept de rayon comme l'outil permettant de décrire les processus qui prennent place aux surface de discontinuité de la propagation. Nous admettrons également que les processus se limitent à des réflexions et réfractions, aucune autre modification n'affectant les surfaces d'onde.

Ce traitement géométrique est correct tant que les surfaces et les discontinuités rencontrées par l'onde au cours de sa propagation sont très grandes devant la longueur d'onde. Tant que cette condition est remplie, la traitement s'applique aussi bien aux ondes lumineuses, acoustiques (en particulier ultrasonores – très hautes fréquences), sismiques, etc.

Nous commençons par considérer la réflexion des ondes sur une surface. Nous devons d'abord établir certaines définitions. Le centre de courbure C (cf. chapitre de Géométrie Différentielle) est le centre de la surface sphérique de la figure ci-dessous et le sommet O est le pôle de la calotte sphérique.

Définition: La droite passant par O et C est appelée "axe optique".

Si nous prenons O pour origine des coordonnées, toutes les quantités mesurées à droite de O seront prises comme positives, toutes celles à gauche comme négatives.


  
(61)

Supposons que le point P soit une source d'ondes sphériques. Le rayon donne par réflexion le rayon et, comme les angles d'incidence et de réflexion sont égaux par rapport à la perpendiculaire AC de la surface (comme nous l'avons déjà fait remarquer lors de notre étude de la réfraction), nous voyons sur la figure que :

et   (62)

d'où :

  (63)

En admettant que les angles et sont très petits, c'est-à-dire que les rayons sont "para-axiaux" et que la source est très distante ou que le détecteur est très petit par rapport à la source, nous pouvons écrire avec une bonne approximation (développement de MacLaurin pour de petits angles) :

  (64)

En substituant ces valeurs approximatives de et dans , nous obtenons :

  (65)

qui est la "formule de Descartes pour la réflexion sur une surface sphérique concave". Elle implique, dans l'approximation utilisée pour l'établir, que pour tous les rayons incidents passant par P passeront par Q après réflexion sur la surface. Nous pouvons alors dire que Q est "l'image de l'objet" P.

Dans le cas particulier où le rayon incident est parallèle à l'axe optique, ce qui équivaut à placer l'objet à une très grande distance du détecteur, nous avons . La formule de Descartes devient alors :

  (66)

et l'image se forme au point F appelée "foyer", et sa distance du détecteur donnée par :

  (67)

est appelée "distance focale".

La relation obtenue précédemment est également valable pour un surface convexe. Effectivement, il suffit de tirer les traits représentant les rayons lumineux au-delà de la surface concave pour voir que l'objet d'étude est le même à une symétrie près :


  
(68)

La seule différence entre les surface concaves et convexe tient au fait que dans le cas de la surface convexe, l'image de l'objet réfléchi apparaît comme s'il semblait être derrière la surface (à l'équivalent du point P). Ceci nous amène à définir la terminologie suivante :

Définition: Dans le cas d'une surface concave, nous disons que l'image d'un objet est une "image réelle" alors que dans le cas d'une surface convexe, nous disons que l'image d'un objet est une "image virtuelle".

Remarque: Si l'ouverture du miroir est grande, de telle sorte qu'il reçoive des rayons fortement inclinés la formule de Descartes que nous avons précédemment déterminé n'est plus, nous le savons, une bonne approximation Il n'y a plus dans ce cas une image ponctuelle bien définie d'un "point objet", mais un nombre infini d'entre elles : en conséquence l'image d'un objet de grandes dimensions apparaît flou puisque les images se superposent. Cette effet porte le nom "d'abbération de sphéricité" et la partie de l'axe optique qui contient l'ensemble des images réfléchies s'appelle alors la "caustique par réflexion". L'aberration de sphéricité ne peut pas être éliminée, mais un dessin approprié de la surface permet de la supprimer pour certaines positions sur l'axe optique appelées "stigmatiques". Par exemple, dans notre cas d'étude précédent, il est évident (par construction géométrique) que si nous posons P en C, alors le point C devient alors le point stigmatique. Nous disons alors qu'il est le point "rigoureusement stigmatique".

Par contre pour le miroir parabolique tous les rayons convergent vers le foyer du miroir où est concentrée l’énergie lumineuse reçue par le miroir. Réciproquement, nous plaçons le filament d'une lampe au foyer d'un miroir parabolique pour obtenir des projecteurs de grande portée. Nous donnons aussi une forme parabolique aux antennes de réception des ondes hertziennes. Pour la télévision diffusée par des satellites comme on travaille en ondes centimétriques (fréquence de quelques GHz) une distance focale de l’ordre du mètre est convenable pour l'antenne (in extenso cela s'applique au télescopes et radiotélescopes).


  
(69)

L'idée pour démontrer que le foyer de la parabole est le point stigmatique rigoureux est la suivante :

Reprenons le schéma que nous avons utilisé lors de notre étude des coniques dans le chapitre de géométrie analytique :


  
(70)

Nous y avons rajouté le point qui est la projection orthogonale du point M (point d'incidence du rayon lumineux) ainsi que la tangente de la parabole au point M. Si nous arrivons à démontrer que la tangente à est la médiatrice du segment , alors nous démontrons également que l'angle d'incidence et de réflexion sont bien égaux.

Prenons l'équation :

  (71)

d'une parabole de paramètre (cf. chapitre de Géométrie Analytique) rapporté à un repère principal . Le foyer à donc pour coordonnées et la directrice a pour équation :

  (72)

Nous obtenons l'équation de la tangente en par la dérivée en ce même point (attention… rappelez-vous de l'orientation particulière de la parabole!) :

  (73)

Ce qui s'écrit encore :

  (74)

et en sachant que :

  (75)

nous obtenons donc l'équation de la tangent :

  (76)

Un des vecteurs directeur de la tangente est donc alors :

  (77)

D'autre part, nous avons (cela se vérifie facilement en posant ) :

et   (78)

Nous avons donc le produit scalaire :

  (79)

comme les vecteurs et ont même norme d'après la définition de la parabole, nous en déduisons déduit que le vecteur (directeur de la tangente) dirige la bissectrice de l'angle des vecteurs et et donc par extension que la tangent à est bien la médiatrice de .

Nous pouvons toujours dans le cadre des surfaces sphériques, déterminer le grandissement :


  
(80)

Ainsi, le "grandissement" d'un système optique est défini comme le rapport de la grandeur de l'image à celle de l'objet, c'est-à-dire :

  (81)

Nous voyons d'après la figure ci-dessus que :

  (82)

Nous avons donc, en tant compte de ce que :

  (83)

d'où :

  (84)

Faisons maintenant une étude équivalent à celle effectuée précédemment, ayant les mêmes propriétés de symétrie et les défauts, mais sur les "dioptres sphériques" (résultats intéressant pour ce qui est de l'étude de l'œil).

Nous allons donc considérer la réfraction au passage d'une surface sphérique séparant deux milieux d'indices de réfaction absolus et (voir figure ci-dessous).


  
(85)

Les éléments géométriques fondamentaux sont les mêmes que ceux définis pour les surfaces sphériques.

Nous considérons donc dans un premier temps un dioptre concave et observant que la "distance objet" est situé à l'opposé des autres points, nous devons opter à une convention de signe pour prendre cette observation en évidence dans les équations. Ainsi, q sera défini comme une valeur négative.

Un rayon incident tel que PA est réfracté suivant AQ et coupe donc l'axe optique en q. Nous observons sur la figure que :

et   (86)

Remarque: Nous avons opté pour pour refléter le fait que q est négatif d'après nos conventions de signe. Sinon quoi, les relations trigonométrique remarquables nous donneraient un q
positif.

Nous avons d'après la loi de Snell :

  (87)

et nous admettrons comme pour les surfaces sphériques que les rayons sont peu inclinés. Dans ces conditions les angles et sont très petits et que nous pouvons écrire à l'aide des développement en série de MacLaurin et de sorte que la loi de Snell s'écrit :

  (88)

D'après la figure nous pouvons faire les approximations :

  (89)

de sorte qu'en substituant dans l'approximation de la loi de Snell nous trous après simplification élémentaire :

  (90)

qui constitue la "formule de Descartes pour la réfraction au passage d'une surface sphérique". Bien qu'elle ait été démontrée dans le cas d'une surface concave, elle reste valable pour les surface convexe en tenant compte alors de ce que r est négatif à son tour.

Le "foyer objet" appelé également "premier point focal" d'une surface sphérique réfringente est la position d'un point objet de l'axe optique tel que les rayons réfractés soient parallèles à l'axe optique, ce qui revient à former l'image du point à l'infini, où . La distance de l'objet à la surface sphérique est appelée alors "distance focale objet", et nous la désignons par . En posant . Nous avons alors : et

  (91)

La distance focale est positive et le système dit "convergent" quand le foyer objet est réel, placé devant la surface sphérique. Quand le foyer objet est virtuel la distance focale est négative et le système est dit "divergent".

De même, si les rayons incidents sont parallèles à l'axe optique, ce qui revient à avoir un objet très éloigné de la surface sphérique , les rayons réfractés passent par un point de l'axe optique appelé "foyer image" ou "second point focal" (avec à nouveau les même problèmes de stigmatisme). Dans ce cas la distance de la surface sphérique à l'image est appelée "distance focale image" et nous la désignons par . En posant et nous avons alors :

  (92)

Intéressons nous maintenant à une autre type de surface réfléchissantes et réfractantes : les lentilles.

Une lentille est par définition un milieu transparent limité par deux surface courbes (généralement sphériques), bien que l'une des faces d'une lentille puisse être plane. Une onde incidient subit donc deux réfractions à la traversée de la lentille. Admettons pour simplifier que les milieux de part et d'autre de la lentille sont identiques et leur indice de réfraction égal à 1 (l'air ou le vide par exemple) tandis que l'indice de réfaction de la lentille est n. Nous ne considérerons également que les lentilles minces, c'est-à-dire dont l'épaisseur est très petite devant les rayons de courbure :


  
(93)

L'axe optique est maintenant la droite déterminée par les deux centres . Considérons le rayon incident PA passant par P. Au passage de la première surface, le rayons incident est réfracté suivant le rayons AB. Si nous le prolongions, le rayon AB passerait par Q' qui est donc l'image de P donnée par le premier dioptre. La distance q' de Q' à s'obtient par l'application de la seconde formule de Descartes (sans oublier que la première partie de la lentille est un dioptre convexe) :

  (94)

Mais en ayant d'où :

  (95)

En B le rayon subit une deuxième réfraction et devient le rayon BQ. Nous pouvons dire alors que Q est "l'image finale" de produit par le système des deux dioptres constituant la lentille. Mais, en considérant la réfraction en B, l'objet (virtuel) est Q' et l'image est Q, à une distance q de la lentille. Donc, en appliquant à nouveau :

  (96)

avec à nouveau et en prenant garde au fait que selon notre point de référence q devient -q' nous avons alors :

  (97)

En combinant les deux relations précédentes pour éliminer q' nous trouvons que :

  (98)

ce que constitue la "formule de Descartes pour les lentilles minces". En écrivant cette équation, il convient d'appliquer à la convention des singes que nous avons fixé, c'est-à-dire que les rayons sont positifs pour une surface concave et négatifs pour une surface convexe, vue du côté duquel la lumière frappe la lentille.

Le point O dans la figure précédente, est choisi de façon à coïncider avec le "centre optique" de la lentille. Le centre optique à pour propriété d'être un point tel que tout rayon passant par lui sort parallèlement à la direction du rayon incident.

Pour montrer qu'en tel point existe, considérons, dans la lentille ci-dessous (à symétrie horizontale et verticale) :


  
(99)

Considérons les deux rayons parallèles générateurs des dioptres (éléments de la lentille) choisis tels que les plans tangents correspondants et sont par construction aussi parallèles.

Pour le rayon , dont la direction est telle qu'il se réfracte suivant , le rayon émergent est et parallèle à de par la symétrie horizontale de la lentille. Ainsi, les triangles et étant semblables quels que soient les "rayons générateurs", nous voyons ainsi que la position de O est satisfaite par la relation :

  (100)

et existe donc indépendamment des rayons générateurs.

Comme dans le cas d'un simple dioptre, le foyer objet , ou "premier point focal d'une lentille" est la position de l'objet pour laquelle les rayons émergent parallèlement à l'axe optique () après avoir traversé la lentille. La distance de la lentille à est alors appelée "distance focale objet" nous la désignons par f. En posant alors et dans l'équation de Descartes précédente, nous obtenons la distance focale objet sous la forme :

  (101)

que nous appelons parfois "équation de l'opticien".

Pour un rayons incident parallèle à l'axe optique () le rayon émergent passe un point , caractérisé par , et appelé "foyer image d'une lentille" ou "second point focal d'une lentille". Par conséquent, dans une lentille mince les deux foyers sont placés symétriquement de chaque côté.

Par ailleurs, si f est positif, la lentille est dite "lentille convergente", si f est négatif elle est dite "lentille divergente".

Remarque: A nouveau, les problèmes d'aberrations sont aussi existantes pour les lentilles.

ÉQUATION DE CONJUGAISON

Tout point d'un objet étendu envoie donc de la lumière dans toutes les directions. Si une partie de cette lumière tombe sur une lentille, elle en émergie soit convergente en un point, soit divergent en semblant venir d'un point image. Pour trouver l'image, il suffit de tracer trois et seulement trois rayons :


  
(102)

1. Rayon passant par le centre optique (non dévié)

2. Rayon parallèle à l'axe principal et convergent sur les lentilles convexes et divergent sur les lentilles convexes.

3. Rayons passant par le foyer objet ou dirigé vers le foyer objet

Appliquons cette superposition à l'exemple de la fleur ci-dessous située à une distance entre f et 2fS, traçons ses 3 rayons. Ils convergent par construction géométrique (donc résultat à accepter tel quel) au même point P (ce que nous avons démontré), qui est l'image du sommet S de la fleur mais à une distance non symétrique par rapport à O. De même, ED. d'une lentille convergent. Du sommet est l'image de


  
(103)

Le schéma ci-dessus fournit donc une relation analytique entre les distances de l'image et de l'objet et la distance focale.

Les triangles et sont semblables et tous leurs angles sont donc égaux ce qui nous amène à écrire par application du théorème de Thalès (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) :

  (104)

.

Les triangles SOD et POE sont aussi semblables d'où à nouveau par application de Thalès :

  (105)

En combinant les deux dernier rapports, nous obtenons ainsi "l'équation de conjugaison" (qui ne s'accorde pas…) :

  (106)

L'application de cette équation est très importante. Elle permet en définissant à quelle distance on place un objet de la lentille et en souhait avoir son image à une distance , quelle doit être la distance focale de la lentille convergente (et ce indépendamment des indices de réfraction !).

Un peu de biologie… :

Le cristallin de l'œil pouvant se déformer sous l'effet de certains muscles, constitue une lentille à focale variable permettant d'accommoder la vision des objets à distance variable. La distance du centre optique à la rétine étant fixe, le seul moyen de voir clairement des objets situés à des distances différentes est de modifier la distance focale. Dans son état ordinaire, le cristallin a une configuration assez plate, avec un grand rayon de courbure (il a alors une grand distance focale).

L'œil à pour rôle de focaliser la lumière provenant d'un objet à l'infini (environ 25 centimètres pour un humain moyen…) sur la rétine. Mais tous les yeux ne font pas cela correctement et le "punctum remotum" (distance maximale de vision distincte sans accommodation) est parfois à une distance finie, même parfait inférieur à cinq mètres (entraînant probablement une fatigue des yeux).

Si l'objet s'approche, les muscles se contractent, le cristallin gonfle et sa distance focale diminue de façon que l'image se forme toujours sur sa rétine. Le point le plus proche qui peut être vu clairement avec le maximum d'accommodation est appelé le "punctum proximum". Cette distance évolue beaucoup avec l'âge : elle est de dix centimètres pour un enfant de dix ans, de cent centimètres pour une personne de soixante ans (c'est la presbitie).

Il est habituel de parler de "puissance dioptrique" d'une lentille qui est simplement l'inverse de sa distance focale. La puissance d'une lentille s'exprime ainsi en "dioptries" .

Ainsi :

  (107)

PRISME

En optique, le prisme est un des composantes les plus importants. On le retrouve en chimie, en physique de la matière condensée, en astrophysique, en optoélectronique et encore dans beaucoup d'autres appareils courants de la vie de tous les jours (comme les lentilles).

Nous allons dans les paragraphes qui suivent déterminer les relations les plus importantes à connaître relativement aux prismes et utiles à l'ingénieur et au physicien.

Nous nous intéressons aux rayons lumineux entrant par une face et sortant par une autre ayant subit deux réfractions (nous n'étudierons par les réflexions).

Voici la représentation type d'un prisme en optique géométrique avec le rayon incident S et sortant S ' et les deux normales N, N ' aux arêtes du sommet d'ouverture . Plus les divers angles d'incidence et de réfraction:


  
(108)

Nous savons que la somme des angles d'un quadrilatère (toujours décomposable en deux triangles dont la somme des angles est ) vaut . Donc dans le quadrilatère délimité par les sommets 1234. Nous avons la somme:

  (109)

Maintenant que la situation est posée passons à la partie optique…

Nous avons quatre relations fondamentales à démontrer pour le prisme.

D'abord, nous avons au point d'incidence I et I ' la loi de Descartes qui nous permet d'écrire:

  (110)

Comme l'indice de réfraction de l'air est de 1 alors nous avons simplement en I:

  (111)

Dans la même idée en I ' nous avons:

  (112)

Donc:

  (113)

Nous avons aussi la relation:

  (114)

Soit:

  (115)

L'angle de déviation D est facile à déterminer. Il suffit de prendre le quadrilatère central:

  (116)

Donc:

  (117)

Nous avons donc les 4 relations fondamentales du prisme:

  (118)

Connaissant i et i' et l'indice de réfraction m nous pouvons alors déterminer tous les paramètres.

L'idéal serait encore de pouvoir se débarrasser de la connaissance expérimentale de i'.

Nous avons donc:

  (119)

Or:

  (120)

Ainsi il vient:

  (121)

Donc:

  (122)

Puisqu'il est avéré que l'indice m d'un milieu varie avec la longueur d'onde on comprend aisément que le prisme est capable de disperser la lumière blanche.

Enfin, si i est petit en prenant au premier ordre:

  (123)

Dès lors, si i est petit, i/m l'est aussi donc:

  (124)

Donc si i et  sont petits:

  (125)


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