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  Optique Ondulatoire
 

Dans ce chapitre seront dégagés certains éléments qui ont conduit au développement de la mécanique quantique. Effectivement, la mécanique quantique est née, en premier lieu, d'une étude attentive de la nature de la lumière. Bien que cette science nouvelle soit développée au début du 20ème siècle, les considérations qui l'ont guidée alors sont incontestablement le résultat de 25 siècles de maturation. Au fond, c'est à une longue histoire de la lumière pleine de contreverses que la mécanique quantique apporte enfin au 20ème siècle une magistrale conclusion.

PRINCIPE D'HUYGENS

Huygens visualisait la propagation de la lumière comme résultant d'un processus de génération d'ondelettes sphériques en chaque point atteint par un front d'onde, ondelettes dont la somme donnait le champ en propagation. En traçant la tangente aux fronts d'onde des ondelettes à un instant donné, on obtenait le front d'onde de l'onde totale à ce même instant.

Nous rappelons qu'une surface d'onde ou "front d'onde" (cf. chapitre de mécanique ondulatoire) est le lieu des points du milieu atteins par le mouvement ondulatoire au même instant. La perturbation a donc même phase en tous points d'une surface d'onde. Pour une onde plane, par exemple, la perturbation s'exprime par (nous l'avons démontre dans le chapitre traitant de la mécanique ondulatoire) :

  (1)

ou dans une formulation plus générale :

  (2)

qui donne donc l'expression de la propagation de la perturbation pour laquelle la "surface d'onde" est le lieu des points où la phase a même valeur à un instant donnée. La surface d'onde est donnée en conséquence par l'équation :

  (3)

Huygens, a donné une méthode imagée de représentation du passage d'une surface d'one à une autre dans le cas où l'onde est supposée résulter du mouvement des particules constituant le milieu matériel. Ainsi, si nous considérons la surface d'onde S ci-dessous :


  
(4)

Quand le mouvement ondulatoire atteint cette surface, chaque particule a,b,c,... de la surface devient une source secondaire d'ondes, émettant des ondes secondaires (indiquées par les petits demi-cercles) qui atteignent la couche suivante de particules du milieu. Ces particules sont mises en mouvement et forment la nouvelle surface d'onde S' et ainsi de suite… Ainsi, Huygens avait une conception ondulatoire de la lumière, mais il ne considérait pas la nature périodique de l'onde, ce qui ne lui permettait pas d'introduire la notion de couleur de la lumière; de plus, selon son principe, une onde se propageant en sens inverse à celui de l'onde incidente devrait aussi se manifester, ce qui n'est pas le cas dans un matériau homogène.

L'intuition d'Huygens est cependant proche de la réalité, comme le montrera Fresnel dans sa théorie de la diffraction. Il faudra cependant attendre Kirchhoff, qui introduira un facteur d'inclinaison (oblicité) dans la théorie, pour obtenir une explication de l'absence d'onde se propageant vers l'arrière (le temps venu nous rédigerons les développements y relatifs).

LOI DE MALUS

Comme tous les "points correspondants" .sont équidistants, par le principe d'Huyghens, la "loi de Malus" (la première donc et pas celle obtenue lors de l'étude de la polarisation de la lumière comme nous le verrons plus loin) affirme que l'intervalle de temps entre les points correspondants de deux surfaces d'onde est le même pour tout couple de points correspondants.

Conséquences (se référer en même temps à la figure ci-dessous) :


  
(5)

- Lorsque l'onde se propage dans un milieu homogène, les rayons lumineux doivent être rectilignes et les surfaces d'onde rester parallèles.

- Lorsque l'onde change de milieu, les distances entre deux paires de points correspondants varient d'un milieu à l'autre, si les vitesses de propagation sont différentes.

Cette loi permet de retrouver le loi de Descartes-Snellius que nous avons déjà démontré en optique géométrique, ce qui assure à priori que le principe d'Huygens reste valide dans le cadre de l'optique géométrique.

Démonstration:

Selon la figure ci-dessus, nous avons :

  (6)

en divisant chaque terme par , nous obtenons :

  (7)

Comme nous obtenons donc bien la loi de Descartes-Snellius telle que nous l'avions obtenu en optique géométrique :

  (8)

DIFFRACTION DE FRAUNHOFER

Du point de vue de l'optique géométrique, un faisceau lumineux est un cylindre de section qui rassemble un grand nombre de rayons parallèles. Il est donc supposé rectiligne lorsqu'il est défini dans un milieu homogène.

L'émittance énergétique du faisceau ne varie que si une lentille (ou un autre dispositif) fait varier sa section ou si le milieu absorbe de l'énergie.

Le faisceau lumineux "éclate" quand un obstacle ne laisse passer qu'une partie de sa section.

Le principe d'Huygens montre que ce sont les bords de l'obstacle qui engendrent cette diffraction.

Le phénomène est général mais n'est bien observable que si la rapport est très grand. L étant la longueur des bords. Cette condition est nécessaire pour que l'intensité de la partie non diffractée du faisceau ne masque pas l'effet.

Définitions:

D1. Nous parlons de "diffraction de Fraunhofer" lorsque, comme supposé précédemment, les rayons lumineux incidents sont parallèles et le phénomène observé à relativement grande distance de l'écran.

D2. Nous parlons de "diffraction de Fresnel" lorsque les rayons incidents forment un faisceau divergent, en provenance d'une source ponctuelle ou si nous observons le phénomène à faible distance.

Considérons un cas générique et le plus répandu dans les laboratoires de physique qui est la diffraction par une fente rectangulaire étroite :

Pour cela, nous considérons que le faisceau incident est une onde électromagnétique plane et périodique, perpendiculaire à la fente et donnée par :

  (9)

Rappel : Sa longueur d'onde étant donnée par

CAS D'UNE FENTE RECTANGULAIRE

La largeur e de la fente est orientée selon l'axe y, sa hauteur h est supposée très grande afin de pouvoir négliger l'effet des extrémités.

Suivant le principe d'Huygens, le front de l'onde plane, délimité par la fente, constitue une multitude de sources , de largeur dy, qui émettent, en phase, des ondelettes sphérique décrites par leur vecteur champ associée :

  (10)

Considérons maintenant un point d'observation P, à une distance R de la source (assimilée à la fente). Nous avons vu lors de l'étude des sources d'émission de type sphériques (cf. chapitre d'électrodynamique) que leur amplitude diminuait de manière inversement proportionnelle à la distance telle que :

  (11)

Or, les ondelettes, suivant à quel point de la fente elles sont assimilées, ne vont pas toutes parcourir la même distance R mais un distance propre r . Cependant, si R est suffisamment éloigné de la fente, nous nous permettrons d'approximer :

  (12)

reste encore le terme périodique où nous posons . Or, nous avons pour valeurs extrêmales :

  (13)

Ces valeurs correspondant respectivement, à l'avance et au retard des fonctions d'onde décrivant la propagation des ondelettes dans les extrémités de la fente.

Effectivement, il suffit de voir la figure ci-dessous, en considérant donc et ainsi :


  
(14)

Ainsi, nous avons :

  (15)

Donc les différentes ondelettes sont déphasées et produisent ainsi des interférences.

Définition: En mécanique ondulatoire, on parle "d'interférences" lorsque deux ondes de même type se rencontrent. Ce phénomène se rencontre souvent en optique avec les ondes lumineuses, mais il apparaît également avec les ondes sonores.

L'onde diffractée dans la direction de , est alors donnée par la somme de toutes les contributions :

  (16)

Sachant que (relations trigonométrique) :

  (17)

Nous avons donc :

  (18)

Nous avions démontré dans le chapitre d'Électrodynamique que l'énergie (in extenso l'intensité) d'une onde électromagnétique était donnée (dans le vide) par la valeur scalaire moyenne du vecteur de Poynting :

  (19)

Nous avons donc :

  (20)

qui est l'émittance lumineuse émise dans la direction .

Si nous introduisons le sinus cardinal que nous avons déjà rencontré lors de notre étude des transformées de Fourier dans le chapitre sur les Suites et Séries nous avons alors:

Donc nous pouvons obtenir le même résultat en prenant le module au carré de la transformée de Fourier d'un signal monochromatique au travers d'une fenêtre rectangulaire. Ainsi, il semble  possible d'étudier les phénomènes de diffraction en utilisant la transformée de Fourier et ce domaine se nomme "l'optique de Fourier".

Voici une représentation graphique du rapport :


  
(21)

Remarque: Dans la pratique, sur l'écran, en face de la fente, nous observons une bande lumineuse, dont la largeur dépend du quotient . Il s'agit au fait de la fente.

De part et d'autre de la frange centrale, il y en a d'autres, plus étroites et disposées symétriquement. Leur intensité diminue très rapidement selon le terme prépondérant au dénominateur :


  
(22)

Entre les franges, se trouvent des zones d'obscurité qui sont le siège d'interférences destructives. Leur position sont données par la condition :

  (23)

sauf pour où l'on observe un maximum !

Nous observons donc des franges sombres dans les directions :

  (24)

Ainsi, la largeur angulaire de la frange central est le double de la valeur angulaire obtenue pour le premier minimum :

  (25)

Nous obtenons la largeur des pics suivants, comme suit :

Deux minima successifs satisfont donc les conditions :

  (26)

Ainsi :

  (27)

En posant il vient dès lors :

  (28)

Puisque l'émittance énergétique diminue très rapidement, seules les premières franges (pour lesquelles ) sont observables. Il reste :

  (29)

Les positions des maxima sont elles données par la condition :

  (30)

Posons :

  (31)

La résolution numérique de donne (en radians) :

  (32)

Les positions des maxima successifs sont alors :

  (33)

etc…

Nous aurions facilement pu obtenir une approximation convenable de ce résultat, en considérant que l'intensité est maximale lorsque :

  (34)

Ce qui nous amène à écrire :

avec   (35)

Remarque: Un résultat remarquable de l'expérience de Fraunhoffer est qu'elle remet en question la vision corpusculaire de la lumière telle que nous l'avions au 19ème siècle. 

Effectivement, beaucoup d'expériences telle que la projection de l'ombre d'un objet sur un mur semblait bien montrer que la lumière était tel un corpuscule ne traversant pas la matière et étant stopée net par tout obstacle que ce soit en son centre ou en ses bords (il faut attirer votre attention sur les "bords" en particulier). 

Or, l'expérience de Fraunhofer ainsi qu'en particulier celle de Fresnel en ce qui concerne les bords (nous la verrons plus loin car elles est mathématiquement plus délicate à aborder), montrent bien que la lumière semble pouvoir se comporter non pas comme un simple corpuscule mais bien comme une onde (à partir du principe de d'Huygens que nous avons utilisé pour nos développements) tel que nous l'ont montré les développements précédents qui expliquement parfaitement bien les résultats expérimentaux des diffractions de Fraunhofer.

Mais alors pourquoi garder le modèle corpusculaire de la lumière ? Tout simplement pour d'autres résultats expérimentaux et théoriques dont pour les plus connus tel que l'effet photo-électrique ou la diffraction Compton (cf. chapitre de Physique Nucléaire) qui s'expliquent théoriquement à merveille si ce n'est parfaitement avec un modèle corpusculaire de la lumière (et certaines autres particules de dimension, charge, spin, etc. donné).

Au fait, comme nous le verront dans le chapitre de physique quantique ondulatoire, c'est le phyisicien De Broglie qui va mettre définitivement un terme à cette dualité paradoxale en reliant à l'aide des outils de la mécanique relativiste et physique quantique ondulatoire les deux aspects mathématiquement.

POUVOIR DE RÉSOLUTION

Selon le critère du physicien anglais Lord Rayleigh, le "pouvoir de résolution" d'une fente, est l'angle entre deux rayons lumineux de longueur d'onde , issus de deux sources ponctuelles , éloignées, dont les figures de diffractions sont séparées telles que :


  
(36)

Or, nous avons vu que les minimas étaient donnés par :

  (37)

et donc pour :

  (38)

Si la lumière qui passe à travers une fente forme une image sur un écran, et que l'image est observée au microscope par exemple, il est impossible, quel que soit le grandissement du microscope, d'observer plus de détails dans l'image qu'il n'est permis par le pouvoir de résolution de la fente. Il faut tenir compte de ces considérations dans la conception des instruments d'optique.

CAS D'UNE RÉSEAU DE FENTES RECTANGULAIRES

Considérons maintenant un réseau de N fentes étroites de largeur , de hauteur et distantes de d. Un unique faisceau incident éclaire toutes les fentes.

Remarque: L'étude de ce modèle va nous permettre de comprendre en partie comment fonctionne le prisme et le fonctionnement des goniomètres utilisé en astronomie pour l'analyse du spectre ainsi que la diffraction par rayons X par un réseau d'atomes (donc l'importance est non négligeable).

Soit le schéma suivant :


  
(39)

Nous voyons sur le schéma ci-dessus que pour certaines directions , la distance est telle que des interférences constructives ou destructives se réalisent.

Posons que le réseau est placé dans le plan YZ et que la direction du faisceau ce fait selon l'axe X. Plaçons nous en un point d'observation P situé dans le plan XY. Selon les propriétés des ondes électromagnétiques (cf. chapitre d'Electrodynamique), le vecteur champ électrique de l'onde émise par la fente est perpendiculaire à la direction d'observation et peut s'exprimer par :

  (40)

et nous avons vu que :

  (41)

d'où :

  (42)

Dans une direction quelconque, les ondes issues de deux fentes adjacentes sont déphasées de et au point P d'observation, le champ électrique résultant est donné par la somme des contributions de chaque fente avec son décalage propre. D'où :

  (43)

Nous voyons donc que chaque onde est déphasée de :

  (44)

Nous pouvons maintenant représenter en utilisant les phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) dans l'espace des phases tel que :

  (45)

Ce qui donne graphique pour le deuxième terme contenant la variable de sommation j pour une distance R fixe :


  
(46)

Nous voyons que les mis bout à bout forment un polygone régulier, inscrit dans un cercle de rayon :

  (47)

La norme du champ électrique résultant étant égal à la corde définie par l'angle :

  (48)

nous aurons :

  (49)

L'énergie lumineuse (in extenso l'intensité) émise dans la direction étant proportionnelle au carré du champ électrique (cf. chapitre d'Electrodynamique), nous avons alors pour les interférences destructives ou constructives :

  (50)

Nous substituons maintenant par l'expression trouvée lors de notre étude plus haut de la diffraction par une seule fente :

  (51)

Ainsi, nous obtenons pour l'addition des effets d'interférences et de diffraction :

  (52)

Bien que cette relation semble compliquée, tous ses paramètres n'ont pas la même importance pratique.

En effet considérons la fonction :

  (53)

Le terme A présente des maxima lorsque :

  (54)

et des valeurs nulles si :

avec   (55)

Bien que le terme B fasse diverger la relation pour , la règle de l'Hospital (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) nous donne que :

  (56)

Il en résulte que pour et donc des valeurs nulles de A et de B, la fonction présente des énormes pics de hauteur .

Vu leur grande amplitude, les pics principaux sont ceux que l'on observe expérimentalement le plus facilement. Ainsi, la position angulaire des maxima de la fonction est donnée par :

  (57)

La valeur de n, qualifie le "numéro d'ordre du maximum d'interférence".

Appliquons ses résultats à la relation d'interférence :

  (58)

Le pic d'ordre n est centré sur la valeur équivalente qui annule le numérateur et le dénominateur de cette fraction tel que :

  (59)

d'où :

  (60)

Ainsi, un réseau dont nous connaissons la valeur d du pas peut utilisée pour mesurer la longueur d'onde d'une lumière incidente inconnue.

Cependant, si la lumière incidente est polychromatique (typiquement pour les observations astronomiques), la relation précédente nous donne pour une longueur d'onde donnée la position des franges d'interférences. Ainsi, un astronome faisant passer de la lumière polychromatique de son télescope par un réseau diffraction faire une analyse spectroscopique de la lumière.

La relation nous donne également que pour des valeurs fixes de m et d, plus est grand, plus l'angle l'est aussi dans un intervalle compris entre . Ainsi, les raies spectrales résultant de l'incidence d'un faisceau polychromatique montre un spectre allant du violet (faible longueur d'onde donc petit angle) au rouge (grande longueur d'onde donc grand angle).

Au moyen d'un goniomètre, nous mesurons les angles des pics principaux d'ordre m, pour le plus grand nombre possible de valeurs de m. Nous en déduisons de la pente du graphique :

  (61)

Le pied du pic est situé à en un endroit où le numérateur s'annule pour la première fois après le passage du pic.

Puisque l'argument de cette fonction augmente de entre deux pics successifs (parmi tous les pics principaux et secondaires), il vaut à l'endroit du pic d'ordre m (pic principal donc) et doit parcourir radians supplémentaires pour atteindre le pied du pic.

Le numérateur vaut donc :

  (62)

La distance angulaire entre le sommet et le pied du pic principal est donc donné par :

  (63)

Mais dès le premier ordre, nous avons . La différence des deux sinus donne (cf. chapitre de Trigonométrie) :

  (64)

Un développement de MacLaurin (cf. chapitre des Suites Et Séries) de donne lorsqu'on prend le premier terme du développement :

  (65)

mais nous avons aussi la relation remarquable . D'où la largeur angulaire d'un pic d'ordre m :

  (66)

Or :

  (67)

Donc :

  (68)

Il est claire que deux raies superposées seront vues comme distinctes si elles sont séparées d'une distance angulaire égale à leur largeur angulaire. L'expression :

  (69)

établit qu'à deux positions angulaire correspondent deux longueurs d'onde. Nous pouvons donc donner la séparation de deux raies par au lieu de .

Ainsi de :

  (70)

nous tirons :

  (71)

Mais :

  (72)

Lorsque et sont petits, nous avons :

  (73)

Ce qui nous amène à écrire par substitution :

  (74)

Le pouvoir de résolution R d'un réseau représente sa capacité de séparer deux raies spectrales de longueurs d'onde et voisines tel que :

  (75)

Nous voyons que le pouvoir de résolution augmente proportionnellement à l'ordre de diffraction.

FENTES DE YOUNG

Selon le principe de la dualité onde-corpuscule, la lumière se comporte à la fois comme une onde et comme un corpuscule (particule matérielle). C'est la résolution de problèmes comme ceux du corps noir (cf . chapitre de Thermodynamique), de l'effet photoélectrique (cf. chapitre de Physique Nucléaire) ou encore celui de l'effet Compton (cf. chapitre de Physique Nucléaire) qui a révélé l'existence de cette dualité.

Mais nous allons nous maintenant étudier la manière la plus flagrante mettant en évidence l'aspect ondulatoire de la matière à l'échelle atomique à l'aide de l'expérience des fentes de Young. Nous allons aborder celle-ci de manière simplifée comme un cas particulier du réseau de fentes rectangulaires mais ayant l'avantage de mettre expérimentalement en évidence de manière aisée le comportement duaire et probabiliste de la matière à l'échelle atomique.

Soit une source de lumière S, qui rayonne une onde monochromatique  de longueur d'onde à travers deux fentes  et  percées dans un obstacle opaque à la lumière, comme le montre la figure ci-dessous :


  
(76)

Remarque: L'intérêt du dispositif est qu'il permet de produire deux sources de lumières cohérentes. C'est-à-dire deux sources dont la différence de phase est constante tout au long de l'expérience.

Nous disposons un écran d'observation E en un point H tel que la distance :

  (77)

a serait typiquement de l'ordre du millimètre et D du mètre.

L'onde donnera après son passage à travers les fentes  et  , comme nous l'avons déjà vu, naissance à deux ondes "filles" et  de même pulsation qui emprunteront respectivement les chemins  et  et qui iront interférer au point M de l'écran E.

Si l'interférence en M est constructive, ce point sera alors situé sur une frange brillante et si l'interférence en M est destructive, il sera sur une frange obscure. Pour observer cela, écrivons d'abord l'onde résultante au point M :

  (78)

dans laquelle nous avons en termes de phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) : 

 et   (79)

A est l'amplitude k est le vecteur d'onde et t, représente la variable temps comme nous l'avons déjà étudié en détail dans le chapitre de mécanique ondulatoire.

Maintenant, faisons un changement de variable (histoire de pas avoir à se trimbaler de longues exponentielles) :

 et   (80)

Remarque: Nous verrons plus loin qu'au fait  et

Pour le calcul de l'intensité au point M, nous allons prendre la norme complexe (module) de de  ce qui s'écrit donc comme le produit du complexe et son conjugué :

  (81)

Remarque: Ce calcul est très important car l'analogie avec la physique quantique ondulatoire est très forte à ce niveau et similaire au calcul de l'amplitude de probabilité (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire).

Donc :

  (82)

L'intensité est donc maximale si et seulement si :

  (83)

Donc que :

  (84)

avec . Ce qui donne :

  (85)

Remarque: C'est ici que trivialement nous voyons que  et

L'intensité est donc nulle si et seulement si :

  (86)

Donc que :

  (87)

avec . Ce qui donne :

  (88)

Maintenant, il nous faut calculer  en fonction de z pour savoir ce que nous observons sur l'écran E.

Considérons pour cela le schéma suivant :


  
(89)

 et .

Nous avons sur notre schéma :

  (90)

Or ,  donc nous avons :

  (91)

Comme z et a sont petits devant D et en utilisant l'approximation :

  (92)

si  est petit devant 1. Nous avons alors :

  (93)

De même :

  (94)

Donc en soustrayant ces deux relations :

  (95)

Donc finalement en utilisant la relation :

  (96)

il vient :

  (97)

Ainsi, la distance entre deux maximum consécutifs est :

  (98)

et est appelé "interfrange".

Pour les franges d'intensité nulle il vient immédiatement :

  (99)

Cette relations révèle que l'intensité I présente des minima (franges obscures) et maxima (franges brillantes) distribués selon la direction z de manière périodique. Cela ne nous étonne pas plus que cela pour l'instant car il découle du cas plus général étudié plus haut.


  
(100)

Il convient cependant de préciser que les calculs précédents montrent que l'intensité des franges est partout égale. Or nous observons expérimentales (voir la figure ci-dessus) que leur intensité diminue lorsqu'on s'éloigne du centre de l'écran. Comme nous l'avons déjà vu, deux phénomènes sont à l'origine de cette observation :

Premièrement, les fentes ont une certaine largeur, ce qui implique un phénomène de diffraction. En effet, une lumière envoyée sur un petit trou n'en ressort pas de façon isotrope. Cela se traduit par le fait que la lumière est majoritairement dirigée vers l'avant. Cet effet se répercute sur la figure observée après les fentes d'Young : l'intensité des franges décroît au fur et à mesure que l'on s'éloigne du centre.

Le second phénomène à prendre en compte est le fait que les ondes émises en  et  sont des ondes sphériques, c'est-à-dire que leur amplitude décroît au fur-et-à-mesure qu'elles avancent. Ainsi l'amplitude de  et  ne sera pas la même au point M.

Donc nos calculs restent approximatifs par rapport à l'étude que nous avions fait du réseau de fentes rectangulaires mais c'est ainsi que l'expérience des fentes de Young est présentée dans les écoles et cela suffit à mettre en évidence le résultat principal.

L'expérience originelle de Thomas Young peut donc être interprétée en utilisant les simples lois de Fresnel comme nous l'avons fait avec le réseau de fentes. Ce qui met en évidence le caractère ondulatoire de la lumière. Mais cette expérience a par la suite été raffinée, notamment faisant en sorte que la source S émette un quantum à la fois. Par exemple, on peut à l'heure actuelle émettre des photons ou des électrons ou encore des atomes un par un. Ceux-ci sont détectés un par un sur l'écran placé après les fentes d'Young. Nous observons alors que ces impacts forment petit à petit la figure d'interférences. Selon des lois classiques concernant les trajectoires de ces corpuscules, il est impossible d'interpréter ce phénomène!!! D'où l'intérêt de l'étude théorique et expérimentale des fentes de Young.

De gauche à droite et de haut en bas, voici les motifs obtenus en accumulant 10, 300, 2'000 et 6'000 électrons avec un flux de 10 électrons/seconde. L’accumulation des électrons finit par constituer des franges d’interférence ce qui est assez déroutant!


  
(101)

Nous reviendrons sur ce phénomène crucial dans le chapitre de physique quantique ondulatoire pour en dire un peu plus.

POLARISATION DE LA LUMIÈRE

Ce n'est qu'au 19ème siècle qu'on découvrit la polarisation de la lumière (nous allons de suite expliquer de quoi il s'agit). Cependant, à l'époque de Newton, on connaissait déjà un phénomène dû à la polarisation : l'existence de cristaux dits "cristaux biréfringents" (tel le spath d'Islande) qui ont la propriété de réfracter un seul rayon en deux rayons distincts (aujourd'hui nous savons que les deux rayons réfractés par un tel cristal sont polarisés).

Pour comprendre ce qu'est la "polarisation de la lumière", revenons au cas d'une onde se propageant sur une corde (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire). Une telle onde peut le faire dans un plan vertical (droite) aussi bien que dans un plan horizontal (gauche) ou dans tous les plans intermédiaires:


  
(102)

Dans les deux cas, nous disons que l'onde est "polarisée linéairement", ce qui signifie que les oscillations se font uniquement et toujours dans le même plan, appelé "plan de polarisation". Une telle onde peut passer à travers une fente verticale si elle est polarisée verticalement, une onde polarisée horizontalement ne pourra pas.

Rappel : nous avons vu dans le chapitre d'électrodynamique que pour les ondes électromagnétiques, le champ électrique oscille (du moins pour la solution standard des équations de Maxwell) et est orthogonale à la direction de propagation.

Le vecteur champ électrique d'une onde peut être décomposé en deux composantes perpendiculaires l'une à l'autre, si l'onde se propage dans la direction z et transportant chacune la moitié de l'intensité de l'onde. Ces deux composantes changent à tout moment lorsque varie. Le résultat à tout instant est un champ horizontal total et un champ vertical total.


  
(103)

Si tourne autour de la direction de propagation avec son extrémité décrivant un cercle, nous disons alors que l'onde est "polarisée circulairement" :


  
(104)

reste alors constant en module mais tourne tout en progressant, effectuant un tour complet pour chaque parcours égal à une longueur d'onde.

Remarque: La lumière n'est pas forcément polarisée ! Chaque atome émet un train d'ondes qui dure moins d'un cent millionième de seconde (ces trains d'ondes sont parfaitements expliqués par la propagation de la particule libre en physique quantique avec les transformées de Fourier), et toutes ces ondes n'ont aucune corrélation de phase ou d'orientation. Le champ résultant en une position donnée de l'espace, est la somme géométrique de tous ces trains d'ondes : il change constamment.

Ainsi, la lumière naturelle est un mélange aléatoire et très rapidement variable d'ondes linéairement polarisées dans toutes les directions. En regardant vers la source, nous observons un champ , résultant qui oscille dans une certaine direction durant une fraction de période puis saute brusquement à une nouvelle direction aléatoire tout en restant perpendiculaire à la direction de propagation :


  
(105)

Cette introduction ayant été faite, passons à quelque chose d'un peu plus formel :

Nous avions donc vu en électrodynamique qu'une onde plane progressive monochromatique (même si physiquement elle n'existe pas...) se propageant dans le vide était composée d'un champ et d’un champ magnétique et était caractérise par sa pulsation, son amplitude en champ électrique et sa direction de propagation donnée par un vecteur unitaire à choix selon l’orientation du repère choisi. et en champ magnétique

Nous avons vu également que ces ondes possèdent des propriétés structurelles remarquables, en particulier :

- et sont transverses, c’est-à-dire que leur direction est en tout point et à tout instant orthogonale à la direction de propagation (théorème de Malus). Ceci, permettant de définir un plan d’onde, plan généré par les deux directions de et .

- Les normes de ces deux vecteurs sont reliées par , où est la vitesse de la lumière dans le vide (c'est ce rapport immense entre le champ magnétique et le champ électrique d'une onde électromagnétique qui fait que les développements présentés plus loin se font de préférence par rapport à la composante de l'onde)

- Enfin, ces deux vecteurs sont orthogonaux entre eux, et le trièdre est un trièdre orthogonal direct.

Ces trois propriétés se résument par la relation :

  (106)

où nous avons choisi le repère tel que l'onde se propage selon la direction . De plus, nous avions montré que le champ électrique est une fonction d'onde trigonométrique donnée à l'arbitraire de phase près par :

ou   (107)

Plaçons nous maintenant dans une base (x,y,z). L'expression la plus générale du champ électrique d'une onde plane progressive monochromatique se propageant selon peut être décomposée selon deux composantes :


  
(108)

La norme du champ étant dès lors donnée dès lors par :

  (109)

Si (ce qui est le cas le plus souvent) nous avons alors :

  (110)

En choisissant une autre origine des temps, nous pouvons toujours nous ramener à écrire :

  (111)

avec .

Remarque: Le choix d'écrire plutôt que nous sera utile plus tard pour l'utilisation des relations trigonométriques remarquables et nous permettre de trouver l'équation d'une ellipse (patience… c'est pas très loin).

En utilisant les phaseurs (cf. chapitre de Mécanique Ondulatoire) ces dernières relations peuvent se ramener à :

  (112)

Mais la polarisation la plus générale est décrite par un vecteur complexe normalisé à l'unité dans un espace à deux dimensions de composantes :

  (113)

avec .

Cependant, pour décrire ce champ, et donc l'ensemble de l'onde, il est commode de se placer dans le plan et de décrire l'évolution du vecteur dans ce plan. C'est ce que nous allons faire par la suite. Ceci revient en fait à choisir une origine des coordonnées selon z. Dans ce cas, nous pouvons écrire :

  (114)

POLARISATION LINÉAIRE

Définition: Nous disons qu'une onde est "polarisée linéairement" lorsque ou .

Dans le premier cas (, nous avons :

  (115)

Dès lors, nous avons qui ont des valeurs comprises respectivement entre .

Remarque: Relativement à un diagramme que nous verrons plus loin il convient de prendre en compte que lorsqu'une composante est positive l'autre l'est aussi et inversement.

Nous avons dès lors à chaque instant :

  (116)

ce qui signifie que le champ garde une direction fixe. D'où le fait que nous parlions d'onde polarisée linéairement.

Si nous avons alors :

  (117)

Dès lors, nous avons qui ont des valeurs comprises aussi entre .

Remarque: Relativement à un diagramme que nous verrons plus loin il convient de prendre en compte que lorsqu'une composante est positive l'autre est négative et inversement.

Nous avons dès lors à chaque instant :

  (118)

ce qui signifie aussi que le champ garde une direction fixe. D'où le fait que nous parlions également d'onde polarisée linéairement.

POLARISATION ELLIPTIQUE

Si est quelconque, et en nous plaçant en , nous avons :

et   (119)

d'où :

  (120)

De plus, nous pouvons écrire :

  (121)

En portant chacun des membres au carré :

  (122)

et en sommant, nous éliminons le temps et obtenons :

  (123)

Nous remarquons que si nous retrouvons :

  (124)

Ceci dit, ceci est l'équation d'une ellipse :

  (125)

En tout point similaire à la forme générale des coniques que nous avons vue en géométrique analytique (cf. chapitre de Géométrie Analytique) :

  (126)

Dans ce cas, l'extrémité de décrit donc une ellipse et nous parlons dès lors naturellement de "polarisation elliptique".

Suivant la valeur de , cette ellipse peut être parcourue dans un sens ou dans l'autre. Pour déterminer ce sens, dérivons l'expression du champ et plaçons nous à toujours dans le même plan d'onde en :

  (127)

Ainsi :

- Si l'ellipse est parcourue dans le sens direct (inverse des aiguilles d'une montre) comme le montre la figure plus loin. Nous disons alors que la polarisation est "elliptique gauche directe".

- Si l'ellipse est parcourue dans le sens direct aussi (inverse des aiguilles d'une montre) comme le montre la figure plus loin. Nous disons alors que la polarisation est "elliptique droite directe".

- Si l'ellipse est parcourue dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre). Nous disons alors que la polarisation est "elliptique droite indirecte".

- Si l'ellipse est parcourue dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) comme le montre la figure plus loin. Nous disons alors que la polarisation est "elliptique gauche indirecte".

POLARISATION CIRCULAIRE

Si et nous avons alors l'équation de l'ellipse qui se réduit à :

qui est l'équation d'un cercle de rayon , le sens étant toujours donné par le signe du sinus :

- Si il s'agit d'une polarisation circulaire gauche

- Si il s'agit d'une polarisation circulaire droit.

.... voir la figure plus bas pour un schéma.

POLARISATION NATURELLE

Nous pouvons considérer l'émission d'une source comme une succession d'ondes planes progressives monochromatiques dont l'expression sera donc :

  (128)

Ces trains d'ondes sont donc dans un état de polarisation particulier. Cependant, cet état varie aléatoirement d'un train d'onde à l'autre, et ceci en un temps très court par rapport au temps d'intégration des détecteurs. Ceux-ci ne verront donc pas de polarisation particulière, et le champ n'aura pas de direction particulière.

Nous parlons dès lors de "lumière non polarisée". Si nous superposons cette lumière à une onde polarisée, nous obtenons ce que nous appelons une "polarisation partielle".

Finalement, nous pouvons résumer tout ce que nous avons vu jusqu'à maintenant par la figure suivante où nous avons :

- La polarisation linéaire

- La polarisation linéaire partielle (n'est pas représentée)

- La polarisation elliptique gauche ou droite

- La polarisation elliptique partielle (n'est pas représentée)

- La polarisation circulaire gauche ou droite

- La polarisation circulaire partielle (n'est pas représentée)


  
(129)

Nous pouvons représenter cela de manière animée avec Maple et les commandes suivantes:

> restart;
> with (plots):
> Ex:=1;Ey:=1;phi:=Pi/4;k:=1;omega:=1;
> animate3d([x,a*Ex*cos(omega*t-k*x),a*Ey*cos(omega*t-k*x-phi)],a=0..1,x=-10..10,t=0..2*Pi,frames=15,grid=[35,35],style=patchnogrid,axes=boxed);


  
(130)

Il est bien entendu possible de modifier les paramètres. Par exemple,  donnc une polarisation circulaire,  donne une polarisation rectiligne comme nous l'avons montré plus haut.

LOI DE MALUS

Pour polariser de la lumière, le physicien fera usage de polariseurs. Nous n'entrerons pas ici (car ce n'est pas dans le cadre de l'optique ondulatoire) dans les détails des propriétés atomiques ou moléculaires de la matière qui sont la cause de la polarisation de la lumière transmise.

Pour nos besoins, nous allons nous restreindre à un polariseur qui polarise une lumière incidente de manière linéaire selon l'axe x (la composant étant dès lors nulle). Il vient dès lors :

  (131)

Or, nous avons vu dans le chapitre traitant des équation de Maxwell que :

  (132)

Dès lors, il vient pour l'intensité maximale (tel que ) :

  (133)

relation qui constitue la non moins fameuse "loi de Malus".

Pour étudier de façon quantitative la polarisation, nous allons nous servir d'un ensemble polariseur/analyseur. Nous faisons d'abord passer la lumière dans un polariseur dont l'axe fait un angle avec l'axe x, puis dans un second polariseur, appelé "analyseur", dont l'axe fait un angle avec le même axe (voir figure ci-dessous) avec :

  (134)

dont la norme est égale à l'unité !


  
(135)

A la sortie de l'analyseur, le champ électrique s'obtient en projetant la lumière polarisée linéairement obtenue à la sortie du polaroïd :

avec   (136)

sur (ce qui signifie : projection=produit scalaire, pour obtenir un vecteur on multiplie par le vecteur sur lequel on projette ) :

  (137)

Nous en déduisons la loi de Malus pour l'intensité :

  (138)

dans le cas particulier de la polarisation linéaire bien sûr. Nous réutiliserons ce résultat en cryptographie quantique (cf. chapitre de Cryptographie).

COHÉRENCE ET INTERFÉRENCE

Nous allons maintenant voir quelles sont les conditions nécessaires à ce que des ondes planes interférent entre elles. Ces développements permettent de comprendre bien des choses sur la vision du monde qui nous entoure via notre oeil (surtout pourquoi l'ensemble des ondes reçues par nos rétines ne se mélangent pas et donc les coleurs non plus!).

Considérons deux ondes planes  et   de pulsations  et , de vecteurs d'onde  et  se propageant toutes deux parallèlement à l'axe .

Nous notons On note  et  les amplitudes complexes des deux ondes et nous nous s'intéressons à l'intensité moyenne observée en un point O pris comme origine des coordonnées:


  
(139)

Nous posons:

  (140)

et nous supposerons:

  (141)

Au point O les amplitudes complexes s'écrivent

  (142)

 et  représentent les phases de  et .

Calculons maintenant l'intensité instantanée au point O qui sera notée J(t). Comme l'intensité moyenne I est proportionnelle au carré de l'amplitude, nous supposerons qu'il en sera de même pour l'intensité instantanée. Ce qui nous amène à calculer la somme des parties réelles des amplitudes des deux ondes:

  (143)

Ce qui s'écrit en se rappelant que (cf. chapitre sur les Nombres):

  (144)

Soit:

  (145)

Et nous avons alors:

  (146)

Il vient la somme de quatre termes:

  (147)

Pour calculer l'intensité moyenne, nous allons choisir une approche expérimentale. L'intensité moyenne sur le temps de pose  du détecteur (électronique ou biologique) sera donc donnée par:

  (148)

I est donc la somme des moyennes des quatre termes intervenant dans J(t). En lumière visible (cas de notre œil), les fréquences sont de l'ordre de  et les temps de pose des détecteurs varient entre la milliseconde et la seconde.  contient alors typiquement  périodes de  et !!

Examinons l'effet de la valeur moyenne sur chacun des termes de J(t):

1. Nous avons (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

  (149)

Nous pouvons estimer que sur un grand nombre de périodes (temps d'ouverture du détecteur), c'est cette moyenne qui sera mesurée (en l'occurrence c'est celle-ci!).

2. Nous avons de même:

  (150)

avec la même remarque que précédemment en ce qui concerne le détecteur!

3. Pour le troisième terme c'est un peu différent:

  (151)

Or, la moyenne d'un cosinus et d'un sinus sur une période est nulle. Donc si le détecteur fait une mesure sur un temps d'exposition supérieur à , soit sur un grand nombre de périodes, nous aurons:

  (152)

4. Pour le quatrième terme c'est encore différent dans l'approximation expérimentale. Effectivement:

  (153)

Or, . Donc le détecteur n'a pas le temps de mesurer l'intensité moyenne sur une période entière en première approximation puisque:

  (154)

et que cette valeur est beaucoup beaucoup plus grande dans le spectre du visible que le temps d'ouverture/échantillonnage de l'œil qui est lui de 0.1 [s].

Ainsi, nous noterons la moyenne de quatrième terme par:

  (155)

L'intensité moyenne vaut donc dans un cadre expérimental:

  (156)

ou:

  (157)

Si les pulsations  sont égales (ou pratiquement égales), c'est alors l'interférence entre deux ondes planes monochromatiques. L'intensité moyenne s'écrit alors:

  (158)

L'intensité mutuelle est non nulle et nous disons alors qu'il y a cohérence. Dans le cas contraire, si les deux pulsations sont très différentes, la moyenne  est nulle et nous avons alors:

  (159)

Le terme d'interférences a disparu, l'intensité moyenne est la somme des intensités moyennes des deux ondes. Nous disons dans ce cas que les deux ondes sont incohérentes entre elles.

Quand nous savons que l'œil interprète l'intensité pour former les perceptions des objets nous comprenons pourquoi deux objets de deux couleurs différentes ne forment pas une perception correspondant à un mélange des deux couleurs car même si dans le spectre du visible, les pulsations sont presque égales, leur déphasage en un point donné de l'espace est rarement nul tel que:

  (160)

Il n'y donc pas interférence et nous avons en réalité:

  (161)

et ce d'autant plus que le déphasage n'est pas constant dans le temps et que la moyenne de déphasages fait que le troisième terme s'annule. On ne peut donc pas interférer de manière simple des ondes planes de sources différentes. Par contre lorsque la source est identique nous retrouvons ce que font nos écrans avec les trois couleurs primaires RVB.

Lorsque  est un multiple de , I est maximale (interférence constructive). Lorsque  est de la forme , I est minimale. Nous avons alors une interférence destructive.

Remarque: Lors de la composition de plusieurs ondes, nous pouvons toujours considérer qu'il y a interférence. Toutefois, nous appelons "conditions d'interférences" des conditions d'observation des ces interférences, in extenso des conditions pour que le résultat de leur composition soit suffisamment stable pour être observé. Il est d'usage de parler de visibilité ce qui restreint à la seule observation par l'œil (humain).

Nous avons vu pour l'œil que la fréquence temps d'échantillonnage est de . Sachant que la lumière visible à une fréquence de , la fréquence doit donc être stabilisée par la source pendant:

  (162)

ce qui matériellement est impossible sauf à ce que la source soit la même. Nous en déduisons que pour des interférences soient visibles à l'œil, les sources doivent être synchrones à mieux que  ce qui en pratique amène à ne considérer que des sources absolument synchronisées sur une source unique.

Dans le modèle précédent, nous avons par ailleurs négligée qu'une onde réelle est limitée dans le temps. Un photon est représenté par un paquet d'onde limité. Soit T sa durée, il aura une longueur  dans le vide ou dans l'air que nous appelons "longueur de cohérence temporelle".

Un rayonnement donné est donc une superposition d'une succession de trains d'ondes dont la longueur moyenne est , les trains d'ondes successifs n'ont pas de relation de phases entre eux: ils ne peuvent pas interférer.


Asian





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