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  Magnétostatique
 

Les aimants sont connus depuis l'Antiquité (sans pour autant qu'on savait qu'elle était l'origine de leurs propriétés) sous le nom de "magnétite", pierre trouvée à proximité de la ville de Magnesia (Turquie). C’est de cette pierre par ailleurs que provient le nom actuel de champ magnétique. Les chinois furent les premiers à utiliser les propriétés des aimants différentes de celles des particules chargées, il y a plus de 1000 ans, pour faire des boussoles. Elles étaient constituées d’une aiguille de magnétite posée sur de la paille flottant sur de l’eau contenue dans une récipient gradué.

Au même titre que le champ électrique, une bonne/meilleure compréhension de l'origine de ce champ ne peut se faire que par l'intermédiaire de théories modernes comme la physique quantique ondulatoire ou la physique quantique des champs. Le lecteur débutant devra donc prendre son mal en patience avant d'avoir les connaissances nécessaires pour étudier ces théories.

L’étude quantitative des interactions entre aimants et courants fut faite par les physiciens Biot et Savart seulement en à partir de 1820. Ils mesurèrent l'amplitude des oscillations d’une aiguille aimantée en fonction de sa distance à un courant rectiligne. Ils trouvèrent que la force agissant sur un pôle est dirigée perpendiculairement à la direction reliant ce pôle au conducteur et qu’elle varie en raison inverse de la distance. C'est la premier cas que nous allons étudier :

Soit un déplacement de charges électriques produisant dans l'espace un champ vectoriel dont les effets sont mesurables et dont les propriétés diffèrent de celles du champ électrostatique. Nous en déduisons l'existence d'un nouveau champ vectoriel que nous appelons (temporairement) "champ magnétique" et que nous noterons .

Le cas d'étude le plus simple consiste en un fil rectiligne indéfini (exemple que nous pouvons auss assimiler à un simple déplacement de charges sans nécessairement avoir un fil comme support) parcouru par un courant I  (cf. chapitre d'Electrocinétique) montre que les lignes de champ magnétique sont des cercles ayant le fil pour axe.

 
  
(1)

Remarque: Le sens de   se définit habituellement par l'intermédiaire de "l'observateur d'Ampère", c'est-à-dire un observateur qui serait placé le long du fil, de façon que le courant aille de ses pieds vers sa tête et qui regarderait le point M où nous évaluons le champ ma. est dirigé de la droite vers la gauche de cet observateur. 

Il a été expérimentalement établi que la valeur de à la distance r du fil est proportionnelle au courant I qui le parcourt inversement proportionnel à r :

    (2)

Ce résultat a été obtenu expérimentalement par les physiciens Biot et Savart et consitute traditionnellement la base de l'étude théorique du champ magnétique.

Le coefficient de proportionnalité dépend comme toujours des unités choisies. Pour l'ensemble de ces conséquences, il est avantageux d'écrire l'expression précédente sous une forme qui fasse apparaître la longueur du cercle de rayon . Nous posons donc : 

  (3)

et obtenons ainsi :

    (4)

est une nouvelle constante que nous appelons "susceptibilité magnétique" (à nouveau au meme titre que le permittivité électrique il existe une "susceptibilité relative") 

Théorème d'Ampère

Il est intéressant de calculer la "circulation du champ magnétique" de le long d'un contour qui tourne une fois dans le sens positif autour du fil orienté dans le sens du courant (observateur d'Ampère) :

  (5)

Remarque: Le long du contour, le champ est colinéaire au contour comme nous l'avons vu précédemment d'où le fait que le produit scalaire puisse s'écrire comme simple produite de normes.

Nous obtenons ainsi par définition "loi d'Ampère" (ou "théorème d'Ampère") :

  (6)

L'expression que nous avons obtenue peut encore être simplifiée si nous introduisons un nouvel être physique appelé "intensité du champ magnétique" ou encore plus couramment  "excitation magnétique" qui est noté  . Si nous considèrons que nous sommes dans le vide où il n'y a aucun dipôle magnétique alors nous le définissons par :

    (7)

Dès lors, nous sommes souvent amenées à parler de "induction magnétique" pour et de "champ magnétique" pour . Mais les deux sont allégrement confondus suivant les auteurs et surtout les contextes (de même que ce sera le cas dans ce site).

Alors, finalement nous pouvons écrire la loi d'Ampère sous la forme :

  (8)

L'intérêt de la loi d'Ampère ainsi que du concept de circulation du champ magnétique paraît (peut paraître) ainsi plus évident.

Cette dernière relation à bien évidemment une grande utilité en physique théorique car elle nous permettra de déterminer d'autres résultats forts importants. Sinon, au niveau de la pratique, le physicien de laboratoire ou l'électricien/électrotechnicien sera souvent confronté à utiliser pour de petites et moyennes expériences des électro-aimants dont il pourrait souhaiter re-calibrer les valeurs nominales ou encore de solénoïdes.

ÉLECTRO-AIMANT

Déterminons donc par exemple (important et intéressant) le champ magnétique dans l'entrefer de longueur  et de section d'un électro-aimant d'un de longueur  et de section .

La loi d'Ampère nous donne :

  (9)

dans le cas de l'électro-aimant nous pouvons écrire que la circulation du champ est la somme de la circulation du champ de l'entrefer et de l'aimant lui-même:

  (10)

N correspondant au nombre de boucles de courant entourant l'aimant et qui permet la production du champ magnétique.

Nous avons par définition:

 et   (11)

d'où :

  (12)

Si l'entrefer n'est pas trop grand   et que  d'où :

  (13)

ce qui revient à écrire  alors :

    (14)

d'où :

  (15)

La relation est la même pour un électro-aimant ayant deux bobines.

FORCE D'UN AIMANT OU ELECTRO-AIMANT

Si nous avons connaissance du champ magnétique B produitpar l'aimant à sa surface, nous pouvons calculer avec une bonne approximation la force nécessaire pourle décoller d'une surface en Fer.

Pour cela, nous noterons F la force nécessaire pour faire décoller l'aimant à une distance d de la surface de Fer. Nous supposerons la distance d suffisamment petite pour que l'on puisse accepter que dans tout le volume situé entre l'aimant et le Fer, le champ magnétique est constant.

Ainsi, le travail fait par la force F est (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

  (16)

Ce travail s'est transformé en énergie du champ magnétique dans le volume créé entre l'aimant et le fer. La densité volumique d'énergie due au champ magnétique étant (cf. chapitre d'Electrodynamique) :

Le volume de l'espace créé entre l'aimant et le Fer étant égal à  où S est la surface de l'aimant qui était collée au Fer. Nous avons alors l'équivalence suivante :

  (17)

Nous en déduisons la force de contact :

  (18)

BOBINE SOLONOÏDALE INFINIE

Une application aussi particulièrement importante en électronique et électrotechnique est celle du calcul d'une bobine de fil parcourue par un courant que nous considérerons comme constant dans un premier temps. Il s'agit ni plus ni moins d'une bobine d'induction ou plus techniquement appelée un inductance. Voyons de quoi il s'agit.

Un solénoïde est une bobine formée par un fil conducteur enroulé en hélice et parcouru par un courant d'intensité I. Dans ce qui suit, nous supposons que le champ d'induction d'un solénoïde est nul entre les spires et parallèle à l'axe du solénoïde.

Considérons le schéma suivant et intéressons nous en approximation qu'à la partie interne du solénoïde en admettant que le champ extérieur est nul par la longueur infinie de celui-ci et la parfait jointure des bobines :


  
(19)

Appliquons la loi d'ampère au trajet rectangulaire abcd. Ainsi :

  (20)

La première intégrale du membre de droite donne B est la grandeur de à l'intérieur du solénoïde et h, la longueur du segment ab. Nous pouvons remarquer que le segment ab, même s'il est parallèle à l'axe du solénoïde, ne doit pas nécessairement coïncider avec lui.

La deuxième et la quatrième intégrale sont nulles car, pour ces deux segments. et sont partout perpendiculaires : étant donné que est nul partout, les deux intégrales sont nulles. La troisième intégrale est également nulle puisque le segment calculé se trouve à l'extérieur du solénoïde où nous avons supposé que le champ magnétique de la bobine était idéale.

Ainsi, l'intégrale pour tout le trajet rectangulaire est tel que :

  (21)

mais le courant I est la somme des courants passant dans chacune des N contenues dans le chemin d'intégration. Mais en électronique nous avons l'habitude de travailler avec la valeur n (nous choisissons la lettre minuscule par analogie avec le thermodynamique ou les minuscules représentent des densités) qui est le nombre de spire par unité de longueur :

  (22)

Ainsi, nous avons :

  (23)

Bien que cette relation ait été établie pour un solénoïde idéal infini, elle donne une grandeur assez précise (sans être exacte!) du champ d'induction magnétique pour les points d'intérieur situés près du centre d'un solénoïde réel. Cette relation révèle par ailleurs que le champ magnétique est en approximation indépendant du diamètre du solénoïde et qu'il est uniforme à travers la section de celui-ci. En laboratoire, un solénoïde est un dispositif pratique pour produire un champ d'induction uniforme de la même façon que le condensateur plan est utilisé pour produire un champ électrique uniforme.

BOBINE TOROÏDALE

La bobine toroïdale est un autre exemple important de l'application de la loi d'Ampère. Effectivement, nous retrouvons particulièrement ce type de configuration dans l'électronique de petite puissance (ordinateurs par exemple) ou les inductances sont pour la plupart toroïdales ou la production d'énergie avec les fameux Tokomak qui de façon schématisée (très…) se réduisent à des bobines toroïdales.


  
(24)

Pour des raisons de symétrie il est claire que les lignes d'induction magnétique forment des cercles concentriques à l'intérieur de la bobine. Appliquons la loi d'Ampère au trajet d'intégration circulaire de rayon r :

  (25)

C'est-à-dire :

  (26)

Il s'ensuit que :

  (27)

Ainsi, contrairement à B l'intérieur d'un solénoïde, B n'est pas constant à l'intérieur de la bobine toroïdale.

Relation de Maxwell-Ampère

Soit  la densité de courant en un point quelconque de l'espace dans le cas d'une distribution à trois dimensions et soit S une surface fermée qui s'appuie sur un contour quelconque. Le courant I qui traverse est bien évidemment donné par :

  (28)

D'après la loi d'Ampère, la circulation du champ magnétique le long de est égale à cette intégrale. Elle peut donc prendre ici, selon le choix du contour , une infinité de valeurs variables de façon continue. D'autre part, le théorème de Stokes (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) fournit que :

  (29)

d'où :

  (30)

et nous en ressortons finalemement que :

  (31)

Nous pouvons faire une similitude osée de ce résultat avec la relation ci-dessous (démontrée dans le chapitre d'électrodynamique), par extension de la charge statique et de la charge dynamique :

  (32)

qui n'est d'autre que la première équation de Maxwell (cf. chapitre d'Electrodynamique). Dès lors, comme nous avons vu en électrostatique, nous avons :

  (33)

Par analogie, l'idée est de poser (cette hypothèse se vérifie un peu plus bas par les résultats remarquables obtenus) :

  (34)

relation que nous pouvons écrire de manière plus élégante en supposant le courant non dépendant de la position de l'observateur dans l'espace et colinéaire au vecteur perpendiculaire de la surface traversée :

  (35)

représente le périmètre du fil dans lequel le courant I circule.

Loi de Biot-Savart

Du dernier développement, nous tirons donc :

  (36)

Rappelez-vous qu'à la dernière étape de notre développement précédent (nous l'avons précisé implicitement) que le chemin d'intégration est perpendiculaire au courant ! Mais le champ magnétique ne peut pas être nul en tout point de la ligne du courant. Dès lors, nous sommes amené à écrire ce qui est caché :

  (37)

Le relation ci-dessus nous permet donc, par extension, d'écrire sous une forme plus générale :

    (38)

qui n'est d'autre que la "loi de Biot-Savart" souvent présentée en premier dans les classes scolaire comme début d'étude du magnétisme.

Cette dernière forme peut  tout aussi bien s'écrire (forme très importante) :

  (39)

Donc :

  (40)

Nous retrouvons ici l'approximation non relativiste du champ magnétique tel que nous l'avons déterminé lors de notre étude de la mécanique relativiste, où nous avons démontré que :

  (41)

Une autre forme importante de l'expression du champ magnétique est :

  (42)

Comme J est colinéaire à , nous pouvons écrire :

  (43)

Donc : 

  (44)

Une remarque importante s'impose à notre niveau du discours : dans le cadre des études scolaires pré-universitaires, les formulations mathématiques des champs magnétique et  électrique sont considérées comme des lois indémontrables d'où l'on tire plus tard les équations de Maxwell (de plus les développements ne sont pas des plus esthétiques et rigoureux). L'aspect totalement expérimental de relations aussi importantes peut avoir une image néfaste de la physique théorique sur les étudiants. Il convient dès lors de préciser que lors des études universitaire, nous avons une approche juste un peu moins pragmatique.

Effectivement, nous postulons l'équation de Schrödinger (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) dont nous nous servons pour  démontrer la formulation non relativiste de la loi de Coulomb à l'aide de la théorie de Yukawa (cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs). Ensuite, pendant l'étude de la relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte), nous déterminons la  forme relativiste de la loi de Coulomb. Ensuite, nous admettons l'existence du champ magnétique dont l'expression est donnée expérimentalement par la force de Lorentz (voir plus bas dans ce chapitre)  et de par les propriétés des transformations de Lorentz et de la connaissance de l'expression relativiste de la loi de Coulomb nous déterminons l'expression relativiste du champ magnétique. Ensuite, par approximation non relativiste, nous tombons sur la loi de Biot-Savart. Cette manière de procéder est beaucoup mieux accueillie par les étudiants mais pas nécessairement accessible à tous les niveaux.

Revenons maintenant sur la loi de Biot-Savart. Un exemple important en astrophysique de loi de Biot-Savart dans le cadre des jets de plasmas des disques d'accrétion sont les boucles de courant circulaires uniques (il faut y rajouter aussi la force de laplace dans le cadre relativiste pour comprendre la dynamique de ces jets).

La figure ci-dessous en représente un bon exemple :


  
(45)

Nous avons donc une boucle circulaire de rayon R parcourue par un courant d'intensité I. L'objectif étant de calculer et un point P de l'axe de cette boucle.

Le vecteur correspondant à un courant élémentaire au sommet de la boucle sort perpendiculairement du plan de la page. L'angle entre ce vecteur et est donc de . Le plan formé par et est normal à la figure. Le vecteur produit par ce courant élémentaire est normal à ce plan de par la forme de la loi de Biot-Savart. Il est donc dans ce plan de la figure et à angle droit avec le vecteur comme indiqué sur la figure.

Décomposons en deux parties : la première, est le long de l'axe de la boucle et la seconde, est perpendiculaire à cet axe. Seule la composante contribue à l'induction magnétique totale au point P. Il en est ainsi du fait que les composantes de tous les courants élémentaires sont sur l'axe et qu'elles s'additionnent directement. Quant aux composantes , elles sont dirigées dans différentes directions perpendiculairement à cet axe de sorte que, par symétrie, leur contribution est nulle sur cet axe (prenez vraiment garde à ce cas particulier).

Nous obtenons :

  (46)

C'est une intégrale scalaire effectuée sur tous les courants élémentaires. Nous obtenons d'après la loi de Biot-Savart :

  (47)

De plus, nous avons selon le schéma :

  (48)

En combinant ces relations, nous obtenons :

  (49)

La figure révèle que r et ne sont pas des variables indépendantes. Nous pouvons les exprimer en fonction de la nouvelle variable x, la distance entre le centre de la boucle et le point P. Les relations entre ces variables sont :

  (50)

En substituant ces valeurs dans l'expression de , nous obtenons :

  (51)

Nous remarquons que, pour tous les courants élémentaires, I,R,x ont respectivement les mêmes valeurs. L'intégration de cette différentielle donne :

  (52)

Une point important de cette relation est en où nous obtenons donc :

  (53)

Un autre cas d'application important de la loi de Biot-Savart consiste à reprendre l'exemple précédent, mais pour une forme continue plane quelconque et considérée comme ponctuelle et dont nous aimerions connaître la valeur du champ ailleurs que sur l'axe de symétrie. Les résultats seront très utiles lorsque nous étudierons le physique quantique corpusculaire et donc les propriétés magnétiques des métaux.

DIPÔLE MAGNÉTIQUE

Le dipôle magnétique a tout comme en électrostatique, un énorme importance dans l'étude des propriétés magnétiques des matériaux pour lesquelles il permet d'élaborer de bons modèles théoriques.

Avant de lire ce qui va suivre, nous conseillerions au lecteur (c'est même plus qu'un conseil) de lire le absolument tout le développement du dipôle électrostatique rigide dans le chapitre traitant du champ électrique. Effectivement, la plupart des calculs qui vont suivre comportement les mêmes raisonnements, développements et approximations mathématiques à quelques infimes nuances près. Nous n'avons dès lors pas souhaité refaire les même calculs intermédiaires déjà présent lors du calcul du dipôle électrostatique (cependant, si vraiment il y a difficulté de la part du lecteur, nous sommes prêts à compléter… mais bon…).

La dipôle magnétique a une différence non négligeable relativement au cas pratique que nous nous imposons comme cadre d'étude… il n'y pas 2 charges ! Effectivement, des charges au repos émettent en première approximation (c'est expérimentale et… théorique) un champ magnétique intrinsèque beaucoup trop faible pour être considéré comme intéressant dans le cadre de l'étude des propriétés magnétique des matériaux. Il convient cependant de préciser quelque chose d'intéressant (de sympa), les charges coulombiennes élémentaires sont parfois modélisées (à tort!) par les physiciens comme en rotation sur elles-mêmes (le "spin") et sont représentées comme une superpositions de spires circulaires (tiens… une spire…) en infiniment petites ce qui fait qu'un observateur dans un référentiel au repos (au centre de la charge ) peut interpréter la charge coulombienne globale comme étant un courant en déplacement dans les différentes spires, induisant ainsi un champ magnétique intrinsèque (joli non !?).

Bref, considérons un spire plane (tiens… une spire…), de forme quelconque, de centre O, parcourure par un courant permanent et constant dont un des points de la spire est notée par P. Nous allons calculer le champ magnétique créé par cette spire en tout point M de l'espace, situé à grande distance de la spire (précisément, à des distances grandes comparées à la taille de la spire).

Remarque: Personnellement il y a certaines étapes du calcul que je trouve… comment dire… de très loin pas convaincantes… mais bon… il y a tellement d'approximations que l'on est plus à ça près… hummm..

Nous posons :

  (54)

Nous allons dont utiliser la loi de Biot-Savart dans la limite appartenant à la spire :

  (55)

Mais donc :

  (56)

Évaluons le terme pour des points M situés à grande distance de la spire :

  (57)

où nous avons fait comme le dipôle électrostatique rigide un développement limité à l'ordre 1.

Remarque: La dernière approximation est très grossière dans le sens qu'il s'agit d'un choix astucieux des termes à négliger pour arriver à un résultat esthétique visuellement et permettant de définir le moment magnétique dipolaire (voir un peu plus loin)...

En reportant cette expression dans la loi de Biot-Savart, nous obtenons :

  (58)

Évaluons séparément chaque terme intervenant dans la parenthèse :

1.

puisque le vecteur est indépendant du point sur la spire et que nous faisons une intégration curviligne sur toute la spire, en revenant au point de départ.

2.

De par les propriétés du produit vectoriel :

  (59)

Or puisque et sont perpendiculaires, nous avons qui est la surface infinitésimale dS' d'un carré et cela ne représente rien étant donné que l'abscisse est curviligne par rapport à O. Effectivement :


  
(60)

Donc, nous pouvons écrire :

  (61)

est le vecteur normal au plan de la spire (vecteur de base de l'axe Z). Ce résultat est général, valable quelque soit la surface.

D'où :

  (62)

3.

de par les propriétés du produit vectoriel.

Prenons une surface S plane quelconque. Sur cette surface, nous avons :

  (63)

puisque nous revenons au même point de départ. Nous avons donc l'égalité :

  (64)

Nous allons utiliser ces relations pour calculer l'intégrale inconnu du début. Si nous décomposons les vecteurs et dans la base engendrant le plan de la spire, nous obtenons :

  (65)

or :

  (66)

D'où :

  (67)

De par l'égalité , nous avons :

  (68)

Rappel :

  (69)

Sous forme de composantes (seulement la troisième est non nulle), nous avons :

  (70)

d'où :

  (71)

Ce qui nous amène à écrire :

  (72)

En rassemblant ces résultats, nous obtenons pour le champ magnétique :

  (73)

Nous voyons donc apparaître une grandeur importante car décrivant complètement la spire vue depuis une grande distance, à savoir le "moment magnétique dipolaire" :

  (74)

souvent noté aussi par un M par certains auteurs.

En faisant usage de la propriété suivante du produit vectoriel (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

  (75)

Nous obtenons alors l'expression du champ magnétique approximative créé par un dipôle :

  (76)

à comparer (pour le fun) avec l'expression du champ électrique pour un dipôle électrique rigide :

  (77)

Nous sommes quand même arrivé à mettre cela sous une forme assez identique et esthétique après quelques approximations…

Nous avons aussi :

  (78)

d'où :

  (79)

L'origine du champ magnétique d'un matériau quelconque doit être microscopique. En utilisant le modèle de Bohr de l'atome (cf. chapitre de Physique Quantique Corpusculaire), nous pouvons nous convaincre que les atomes (du moins certains) ont un moment magnétique dipolaire intrinsèque. Effectivement, le modèle de Bohr de l'atome d'Hydrogène consiste en un électron de charge . en mouvement (circulaire) autour d'un noyau centre (un proton) avec une période

Si nous regardons sur des échelles de temps longues par rapport à T, tout se passe comme s'il y avait un courant :

  (80)

Nous avons donc une sorte de spire circulaire, de rayon moyen la distance moyenne au proton, c'est à dire le rayon de Bohr . L'atome d'Hydrogène aurait donc un moment magnétique intrinsèque :

  (81)

est le moment cinétique de l'électron et le "facteur gyromagnétique". Ce raisonnement peut se généraliser aux autres atomes. En effet, un ensemble de charges en rotation autour d'un axe vont produire un moment magnétique proportionnel au moment cinétique total. Cela se produit même si la charge totale est nulle (matériau ou atome neutre) : ce qui compte c'est l'existence (scalaire) d'un courant.

Du coup, nous pouvons expliquer qualitativement les propriétés magnétiques des matériaux en fonction de l'orientation des moments magnétique des atomes qui les composent :

- Matériaux diamagnétiques : les moments sont distribués aléatoirement, il n'y a pas de cham magnétique intrinsèque.

- Matériaux paramagnétiques : ceux pour lesquels peuvent s'orienter dans une direction privilégiée en présence d'un champ magnétique extérieur, pouvant donc être ainsi aimantés momentanément.

- Matériaux ferromagnétiques : ceux dont les moments sont déjà orientés dans une direction particulière, de façon permanente (aimants naturels).

Remarque: La Terre est connue pour avoir un champ magnétique dipolaire, où le pôle Nord magnétique correspond au pôle Sud géographique (à un angle près). Au niveau macroscopique, l'explication de l'existence du champ magnétique observé sur les étoiles est encore aujourd'hui loin d'être satisfaisante. La théorie de "l'effet dynamo" essaie de rendre compte des champs observés par la présence de courants, essentiellement azimutaux, dans le cœur des astes. Plusieurs faits connus restent partiellement non éclaircis :

- Les cycles magnétiques : le Soleil a un champ magnétique à grande échelle qui ressemble à celui de la Terre, approximativement dipolaire. Cependant, il y a une inversion de polarité tous les 11 ans (sur 11 ans). Pour la Terre, on a pu mettre en évidence qu'il y avait eu une inversion il y a environ 700'000 ans.

- Non alignement avec le moment cinétique de l'astre : s'il est de l'ordre d'une dizaine de degrés pour la Terre, il est perpendiculaire pour Neptune!

MOMENT MAGNÉTIQUE

 

Loi de lorentz

En électrostatique, nous avons calculé la force exercée par une ou un ensemble de charges au repos sur une charge immobile ou en mouvement. La force exercée s'écrivait alors de la manière suivante:

  (82)

Dans le cas le plus général, où les charges agissantes sont en mouvement, la force qu'elles exercent sur une charge ponctuelle q placée en un point de l'espace est la somme de deux termes : l'un qui est indépendant de la vitesse  de cette charge, l'autre qui en dépend. Voici comment s'écrit cette relation :

  (83)

qui n'est d'autre que la "loi de Lorentz" ou "force de Lorentz".

Pour démontrer cette relation, nous allons poser deux hypothèses mais avant il est important d'informer le lecteur que cette démonstration nécessite des outils mathématique non nécessairement évidents (il faut avoir lu le chapitre de Mécanique Analytique et de Physique Quantique Ondulatoire pour comprendre) :

H1. Soit une particule ponctuelle non-relativiste de masse m, de position  et de vitesse ; nous supposons qu'elle est soumise à une force et qu'elle satisfait les équations de Newton:

  (84)

avec les relations de commutations suivantes (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire):

  (85)

Il faut bien voir que la dernière relation est une hypothèse et qu'elle n'est pas équivalente aux règles de commutation que nous avons vues en physique quantique entre positions et impulsions!

H2. Il existe des champs  et , ne dépendant pas des vitesses, tels que:

  (86)

et qui vérifient les équations de Maxwell (cf. chapitre d'Electrodynamique) :

  (87)

A un niveau classique, nous exprimons les hypothèses de commutation en utilisant la correspondance commutateurs-crochet de Poisson (cf. chapitre de Mécanique Analytique), soit:

  (88)

avec (rappel):

  (89)

Maintenant, nous définissons un potentiel vecteur  (cf. chapitre d'Electrodynamique) tel que:

  (90)

alors l'hypothèse () de commutation peut s'écrire:

  (91)

donc nous pouvons dire que ne dépend que de  et t puisqu'il commute identiquement à .

De plus, nous savons que la mécanique classique admet une formulation lagrangienne (équivalent aux équation de Newton) pour laquelle les équation de la mécanique deviennent (cf. chapitre de Mécanique Analytique):

  (92)

L désigne le lagrangien du système. Dès lors, avec:

  (93)

nous pouvons intégrer la relation : 

  (94)

et nous obtenons:

  (95)

Le signe "-" de la constante d'intégration du potentiel vecteur se jusitifie pour être en cohérence avec ce que nous avons vu en théorie de Jauge (cf. chapitre d'Electrodynamique).

La seconde équation de Lagrange  nous donne alors:

  (96)

En développant un peu:

 et   (97)

Pour l'ensemble des coordonnées, cela donne sous forme condensée et en utilisant les outils de l'analyse vectorielle:

  (98)

Donc:

  (99)

ou autrement écrit:

  (100)

Nous retrouvons donc bien l'expression de la force de Lorentz où  et sont donnés par:

  (101)

comme nous l'avons vu en théorie de Jauges. Certes la démonstration est loin d'être évident mais elle est possible.

Arrêtons nous un instant sur l'expression de la force de Lorentz. Nous voyons avec cette relation, qu'une charge immobile (ou non) dans un champ électrique subira une force qui lui donnera l'impulsion nécessaire à faire varier son énergie cinétique (nulle ou non nulle au départ). Cette constation n'est cependant pas valable pour le champ magnétique. Effectivement, lorsque nous placons une charge immobile dans un champ magnétique, cette dernière ne subira aucune force du champ magnétique et donc ne verra pas son énergie cinétique varier. Si la particule chargée à une vitesse initiale non nulle, il s'ensuit que le champ magnétique va changer les composantes du vecteur vitesse mais pas la norme. Ainsi, nous avons pour habitude de dire que : "le champ magnétique ne travaille pas".

Démonstration:

  (102)

Donc :

  (103)

L'énergie cinétique de la particule ne change donc effectivement pas à cause du champ magnétique.

Maintenant, si nous nous intéressons uniquement au second terme de cette relation, nous pouvons arriver à démontrer la loi de Laplace :

Nous avons:

  (104)

 est la densité volumique de charge. Si  et sont supposés parallèles nous pouvons écrire que:

  (105)

Une densité de courant nous permet de calculer la vitesse d'entraînement des porteurs de charges dans un conducteur. Le nombre d'électrons de conduction dans un fil est égal à:

  (106)

n est le nombre d'électrons de conduction par unité de volume et  le volume du fil.

Une quantité de charges  traverse un fil en un temps t donné par:

  (107)

L'intensité I du courant étant définie par:

  (108)

nous obtenons que:

  (109)

De:

  (110)

Nous pouvons maintenant tirer que:

  (111)

Enfin, nous trouvons que:

  (112)

qui est la "loi de laplace" ou "force de Laplace".

Voyons quelques cas importants d'application de la loi de Lorentz :

EFFET HALL CLASSIQUE

Précédemment, nous avons étudié l'action d'une induction magnétique sur un circuit filiforme en ayant pour but de trouver l'expression des forces magnétiques appliquées à la matière même de ce circuit. Portons maintenant notre attention sur les électrons de conductivité eux-mêmes, en nous plaçant dans le cas de la figure ci-dessous.


  
(113)

Légende: Un ruban métallique est parcouru par un courant continu . Le vecteur densité de courant  est constant et parallèle aux grands côtés PQ ou RS du ruban.

Imaginons alors que le ruban soit plongé dans un champ magnétique uniforme perpendiculaire aux plans PQ et RS (selon l'axe Z). Les charges mobiles de densité volumique  contenues dans un élément de volume dV sont donc soumises à la force magnétique :

  (114)

Cette force modifie les trajectoires des électrons mobiles et, au cours d'un régime transitoire, provoque leur accumulation sur le bord avant du ruban tandis qu'un excès de charges positives apparaît sur le bord arrière.

Ce phénomène produit un champ électrique supplémentaire parallèle à RP qui exerce sur les charges mobiles du volume une force électrique:

  (115)

Les deux forces s'opposent donc l'une à l'autre et la force coulombienne tend à ramener les trajectoires électroniques dans leur position initiale. Un régime permanent s'établit peu à peu. 

Remarque: En fait, a chaque fois que nous parlons de régime permanent en physique, nous mentons un peu. Il s'agit au fait juste d'un équilibre stable et en général, le système oscille autour de sa position d'équilibre. Au bout d'un certain temps, un système comme le conducteur impliqué dans notre exemple montre des oscillations négligeables. La physique c'est aussi parfois qu'une question d'approximations...

Quand il est atteint, la densité de courant est à nouveau parallèle à PQ et les forces électriques et magnétiques ci-dessus sont vectoriellement opposées. Nous avons donc :

  (116)

avec :

  (117)

Dans certains ouvrages cette égalité est notée sous forme de ses composantes telle que :

  (118)

Or, comme nous le démontrons dans le chapitre d'électricité dès lors :

  (119)

Nous définissons alors le "coefficient de Hall" par :

  (120)

peut être aussi bien utilisé à l'équilibre pour la mesure de que par extension si nous supposons alors donc à la mesure de la densité de porteurs dans l'échantillon.

Remarque: Nous parlons également de "résistance de Hall". Il s'agit simplement du rapport de la tension de Hall sur le courant circulant dans l'échantillon. Il ne faut cependant pas confondre la résistance de Hall avec . Notons que la résistance de Hall varie linéairement avec le champ magnétique.

Dans un semi-conducteur à deux dimensions, l'effet Hall est également mesurable. Par contre, à suffisamment basse température, nous observons une série de plateaux pour la résistance Hall en fonction du champ magnétique. Ces plateaux apparaissent à des valeurs précises de résistance, et ce, indépendamment de l'échantillon utilisé. Ceci fait l'étude de "l'effet Hall quantique" que nous n'étudierons pas dans ce chapitre.

Sous forme scalaire la relation de "l'effet Hall", encadrée ci-dessus, s'écrit:

  (121)

Nous pouvons aussi l'exprimer en explicitant la différence de potentiel qui correspond par définition au champ électrique.

Si l est la largeur du ruban, nous avons:

  (122)

Si e est son épaisseur, le courant  I qui le parcourt est:

  (123)

Compte tenu des positions relatives des divers vecteurs, la relation exprimant l'effet Hall équivaut donc à:

  (124)

Plus esthétiquement et sous une forme traditionnelle, la tension de l'effet Hall est donnée par:

  (125)

avec:

  (126)

RAYON DE LARMOR

Un cas très intéressant d'étude de laboratoire est le mouvement d'un charge dans un champ magnétique uniforme. Pour cette étude, considérons une particule de masse m et de charge q placée dans un champ magnétique uniforme avec une vitesse initiale .

Nous avons selon la loi de Lorentz :

  (127)

Puisque la force magnétique est nulle dans la direction du champ , cette direction est privilégiée. Nous allons donc tirer parti de cette information et décomposer la vitesse en deux composantes, l'une parallèle et l'autre perpendiculaire au champ, . L'équation du mouvement s'écrit alors :

  (128)

La trajectoire reste donc rectiligne uniforme dans la direction du champ ! Prenons un repère cartésien dont l'axe est donné par la direction du champ magnétique tel que . L'équation du mouvement ne s'écrit dès lors que plus que sur deux composantes puisque :

  (129)

d'où :

  (130)

Une solution très simple à ces deux équations différentielles est dans un cadre non relativiste :

  (131)

où nous avons donc choisi une vitesse initiale suivant . En intégrant, nous obtenons :

  (132)

où les constantes d'intégration ont été choisies nulles (choix arbitraire). La trajectoire est donc un cercle de rayon :

  (133)

appelé "rayon de Larmor", décrit avec la pulsation :

dite "pulsation gyro-synchrotron". Ce cercle est parcouru dans le sens conventionnel positif pour des charges négatives.

Le problème d'une telle configuration pour construire un accélérateur, c'est que si nous augmentons l'énergie de la particule (en ajoutant un champ électrique synchronisé sur la pulsation gyro-synchrotron et colinéaire au mouvement), sa vitesse augmente mais le rayon de Larmor aussi. Or, le "cyclotron" qui est basé sur ce système a un rayon limité puisqu'il est difficile de maintenir un champ magnétique constant sur une grande surface.

Plus difficile encore, dans le cas relativiste, la pulsation s'écrit avec le facteur de Fitzgerald-Lorentz (cf. chapitre de Relativité Restreinte):

Nous voyons alors qu'il faut ajuster la pulsation du champ électrique à la pulsation de rotation lorsque la vitesse augmente: l'accélérateur est maintenant un "synchrocyclotron".

Pour résoudre le problème de l'augmentation du rayon, nous utilisons alors un "synchrotron" constitué d'un tube à vide unique comportant de sections droite contenant des cavités accélératrices et des section cours équipées d'aimants créant à chaque instant le champ magnétique adapté à la vitesse des particules. Cette technique, dont il est facile de parler mais très difficile à mettre en pratique, est la plus utilisée à nos jours. Le LHC du CERN fait partie de la famille des synchrotrons

A partir de cette relation il est inversement aisé d'avoir l'énergie cinétique de la particule:

  (134)

C'est sur la base de cette relation que fonctionnent les "spectromètres de masse de Dempster". C'est en utilisant cette technique que les chercheurs ont découvert dans les années 1920 que les atomes d'un même élément chimique n'ont pas nécessairement la même masse. Les différentes variétés d'atomes d'un même élément chimique, variétés qui diffèrent par leur masse, sont les isotopes (cf. chapitre de Physique Nucléaire).

Le rayon de Larmor correspond à la distance la plus grande que peut parcourir une particule dans la direction transverse avant d'être déviée de sa trajectoire. Cela correspond donc à une sorte de distance de piégage. A moins de recevoir de l'énergie cinétique supplémentaire, une particule chargée est ainsi piégée dans un champ magnétique.

Il est intéressant de noter que l'énergie cinétique transverse d'une particule est élevée (grande masse ou grande vitesse transverse) et plus le rayon de Larmor est grand. Inversement, plus le champ magnétique est élevé et plus ce rayon est petit.

Remarque: Le confinement du plasma dans un tokamak est basé sur cette propriété qu'ont les particules chargées de décrire une trajectoire en hélice autour d'une ligne de champ magnétique. D'où l'intérêt d'utiliser un tore.
Asian





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