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  Mécanique des milieux continus
 

Au sens strict du terme, la mécanique des milieux continus (abrégée M.M.C. parfois) est la branche de la mécanique qui se propose d'étudier l'étude des mouvements, des déformations, des champs de contraintes au sein de milieux continus. 

Définition:

D1. Nous désignons par "milieu" tout fluide (solide, liquide, gaz ou plasma selon ce que nous avons vu en thermodynamique), déformable ou non, quand nous le considérons d'un point de vue macroscopique, par opposition à une description corpusculaire.

D2. Nous désignons par "milieur continu" un milieu tel que si M et M' appartiennent à un milieu et si M' appartient au voisinage M, alors quelle que soit la déformation subie par ce milieu, dM' appartiendra au voisinage de dM.

Cette branche apparaît souvent comme la science de l'ingénieur qui permet de comprendre et de décrire le monde matériel qui nous entoure et les phénomènes courants qui s'y déroulent: mouvements de liquides, de gaz, vol des avions, hélicoptères, fusées, satellites, navigation des bateaux, déformations des corps solides, structure interne des étoiles, etc. Par ses attaches à la mécanique thermique (thermodynamique), elle s'étend jusqu'à la thermique, l'énergétique, l'acoustique.

Prenant en compte les comportements des milieux continus, elle englobe l'hydrodynamique, la dynamique des gaz, l'élasticité, la plasticité et d'autres comportements. Elle est la clé de ce que nous appelons aujourd'hui la "modélisation", qui n'est autre que l'art d'analyser un phénomène physique et de le décrire en termes mathématiques, ce qui permet de l'étudier avec la rigueur propre à cette discipline.

Cette section du site est séparée en 4 parties principales: solides, liquides, gaz et plasmas. Dans chaque partie, nous introduirons les outils mathématiques spécifiques à l'étude de tel ou tel milieu continu avec une complexité (toute relative) croissante. Cependant, par choix il a été décidé d'exposer les théorèmes avec les outils mathématiques les plus simples possibles mais tout en arrivant aux mêmes résultats. Ainsi, par exemple, la démonstration de l'équation de Navier-Stokes qui prendrait 150 pages de développements mathématiques rigoureux n'en prend plus que 27. Il y a donc un avantage non négligeable aussi bien pour l'auteur que pour le lecteur à procéder ainsi.

Remarque: Concernant les équations de Navier-Stokes, nous donnerons aussi des exemples pratiques de celles-ci lors de notre étude de la météorologie.

SOLIDES

Des atomes d'un même élément ou d'éléments différents s'assemblent en des édifices spécifiques. Cela conditionne la force de leurs interactions électriques, qui définissent la structure finale de la substance. Dans les conditions normales sur notre planète, la matière existe à l'état solide, liquide, gaz ou plasma. Si les forces interatomiques sont assez intenses , la collection de particules conserve sa forme et son volume.

Cette propriété de conserver la forme et le volume, ainsi que des propriétés élastiques distinguent les solides.

PRESSIONS

Les notions de "compression" et "contrainte" (que nous pouvons englober dans le terme de "pression") sont de première importance en mécanique des fluides. Il convient donc de définir ces différents types de pression avec le plus de rigueur possible.

Définitions:

D1. Nous appelons "pression de compression" et nous notons traditionnellement P le rapport entre la force F qui s'exerce (s'appuie) sur un élément de surface S. Ainsi, sous forme scalaire:

  (1)

Remarque: Si une force agit sur une surface finie, nous parlons alors de "force répartie".

D2. Nous appelons "pression de contrainte" et nous notons le rapport entre la force F qui tire sur un élément de surface S. Ainsi, sous forme vectorielle:


  
(2)

 et  sont respectivement les "contraintes normales" et "contraintes tangentielles".

Nous pourrions très bien englober les deux définitions ci-dessus en une seule et travailler avec les signes des forces. Mais par souci de cohérence avec ce qui est enseigné dans les écoles, nous garderons ces deux définitions qui s'identifient par définition par le fait que leurs forces sont opposées par rapport à un élément de surface S.

ÉlasticitÉ des solides

D'une manière ou d'une autre, une contrainte de compression ou de traction peut déformer le triplet hauteur, largeur, épaisseur d'un corps. S'attaquer directement à l'étude d'un cas qui déforme ces trois paramètres est une peu long et sera abordée dans le chapitre traitant de la détermination de l'expression du module de Young de cisaillement.

Mais il est utile, ne serait-ce que du point de vue du vocabulaire de donner un exemple à partir du cas le plus simpliste qui puisse être. Si nous imaginons un corps élastique d'une dimension (ayant ni hauteur, ni largeur mais juste une longueur) sous l'application de deux forces de contraintes parfaitement colinéaires mais antagonistes, nous pouvons imager que le corps en considération s'allonge d'un certain facteur.

Définition: La "déformation normale" sous des forces axiales et antagonistes est donnée par le rapport entre la variation de longueur du corps sur sa longueur initiale tel que:

  (3)

Cette relation est une forme extrêmement simplifiée de tous les types de déformations qu'il peut exister et que nous verrons plus loin en détails.

Il y a nécessairement une relation entre les forces de compression et de traction et la variation de dimension d'un corps. Cette relation est dépendante de la structure atomique du matériau et devrait rigoureusement faire appel à la physique quantique pour être déterminée (nous nous en abstiendrons cependant dans cette section du site). Nous observons cependant suivant les matériaux des caractéristiques diverses qui intéressent aux plus hauts points les ingénieurs:


  
(4)

Les figures ci-dessus représentent la variation de la contrainte de compression en fonction de la déformation pour certains matériaux (habituellement nous représentons ces caractéristiques en inversant les axes). Les matériaux ductiles comme l'acier doux (a), cessent d'être linéaires à la limite d'élasticité . Sous traction les polymères (b) caoutchouteux s'allongent d'abord en dépliant leurs molécules (cf. chapitre de Génie Des Matériaux) puis en tirant sur les liaisons chimiques (cf. chapitre de Chimie Quantique). La plupart des matériaux biologiques (c) sont sous contrainte, même lorsqu'ils ne sont pas déformés. La peau, par exemple, est comme un gant de caoutchouc enveloppant le corps. L'élastine (d) est habituellement renforcée de collagène dans les systèmes biologiques tels que les artères. Un tendon est fait principalement de collagène.

Dans un cas plus général, les ingénieurs ont pour habitude de définir les points représentés ci-dessous dans leurs mesures d'essais de traction:


  
(5)

La caractéristique ci-dessus comporte une partie linéaire comme c'est le cas d'une certaine classe de matériaux. Cela signifie que la pente de la caractéristique est une constante, qui reflète la déformation élastique du matériau sous l'effet de la contrainte croissante. Cette contrainte élastique par unité de déformation définit le "module de Young" (il n'y a pas de composante tangentielle dans ce cas d'étude !):

  (6)

cette relation étant valable aussi bien en contraintes de compression qu'en traction.

Remarques:

R1. La "rhéologie" est une partie de la mécanique qui étudie la plasticité, l'élasticité, la viscosité et la fluidité caractéristiques des corps déformables. C'est une branche très importante de l'ingénierie industrielle.

R2. Attention les calculs qui vont suivre sont relativement longs et difficiles et ce même si nous avons essayé de les simplifier aux maximum. Cependant tous les résultats nous seront infiniment utiles que ce soit pour déterminer l'équation de Navier-Stokes pour pour l'étude da la résistance des matériaux (cf. chapitre de Génie Mécanique)!

LOI DE HOOKE

Étant donné les définitions données précédemment, nous obtenons la relation:

  (7)

qui est par définition la "loi linéaire de Hooke" en contrainte normale.

Il est assez intuitif de supposer que plus la force de liaison des atomes constituant le matériau étudié est grande, plus grande est la force à appliquer pour éloigner les atomes, donc pour étirer le corps. Les solides qui ont des grandes forces de liaisons, ont une haute température de fusion (cela est approfondi dans le chapitre traitant de la Chimie Quantique).

Si nous notons :

  (8)

Nous nous retrouvons avec la loi que nous connaissons:

  (9)

qui est la force de rappel des ressorts (cf. chapitre de Mécanique Classique).

Mais il existe plusieurs types de contraintes avec leurs modules respectifs. Ainsi voici la définition des plus importantes dans la partie linéaire de leur caractéristique:

D1. Nous définissons le "module de cisaillement" ou "module de rigidité":

  (10)

et le "module d'élasticité de glissement" ou "module de Coulomb" (dont nous démontrerons plus loin la provenance):

  (11)

 est "l'angle de déformation" et  le "coefficient de Poisson". Généralement cet angle étant petit:


  
(12)

D2. Nous définissons le "module de compressibilité omnidirectionnel", comme le rapport de la contrainte volumique à la déformation volumique (nous démontrerons plus loin les développements mathématiques qui amènent au dernier terme de la relation):

  (13)

Nous pourrions encore définir beaucoup de modules tels que le module de flexion, de flexion pure, de flexion composée, de torsion… Nous étudierons certains d'entre eux plus loin.

Pour chacune des différentes définitions de modules que nous pouvons envisager, nous pouvons définir une loi de Hooke qui lui est adapté. Cependant, tout cela peut paraître assez arbitraire mais au fait il n'en est rien car toutes les définitions de modules que nous avons vues précédemment sont un cas particulier d'un relation mathématique généralisée qui sera démontrée sur ce site dans un proche avenir.

MODULE DE GLISSEMENT

La condition nécessaire pur qu'un solide rigide soit en équilibre statique est comme nous l'avons vu en mécanique classique, que la résultante des forces que l'extérieur exerce sur le corps soit nul:

  (14)

Cependant, quand un solide subit des contraintes et qu'il peut en subir, il peut y avoir déformation qui peut être suivie d'une rupture ou d'une modification similaire. Plus, précisément, il y a "déformation" d'un corps (non nécessairement solide) quand les distances entre certains points du corps ont changé.

Lorsque dans l'étude théorique de l'élasticité, nous excluons les modifications du corps étudié telles que les ruptures, nous disons que nous nous restreignons aux "déformations élastiques".

Le géométrie et la physique des déformations peut être complexe. Leur description se déduit de celle d'un certain nombre de déformations élémentaires dont nous préciserons plus loin les caractéristiques.

  (15)

Les forces scalaires de contraintes de traction  engendrent sur leurs faces respectives des tensions "normales" (perpendiculaires donc!):

  (16)

En admettant que la force  agit seule, la déformation unitaire est par définition :

  (17)

Lorsqu'un parallélépipède est soumis à un effort de traction , il y a intuitivement contraction des dimensions dans la direction x. Contraction observable de façon tout aussi intuitive pour .

Nous avons alors si  agit seul:

  (18)

où le signe "-" indique une contraction et où est une coefficient appelé "coefficient de Poisson".

Si  agit seule:

  (19)

En acceptant le principe de superposition des forces, l'effet produit par plusieurs forces agissant simultanément est égal à la somme des effets produits par chacune des forces superposées agissant séparément.

Ceci est admissible, étant donné la linéarité des équations unissant la déformation unitaire et la tension normale. Nous obtenons alors:

  (20)

En ayant procédé de manière identique pour les deux autres directions OY et OZ.

A partir des relations précédentes, il est aisé de trouver les équations unissant  à :

  (21)

Soit un matériau soumis à des contraintes diverses. A l'intérieur de celui-ci, nous opérons, par la pensée, l'extraction d'un parallélépipède rectangle. Les faces de celui-ci sont sollicitées par des contraintes normales  et tangentielles  (sur le schéma ci-dessous le solide est en équilibre statique).


  
(22)

Les contraintes normales  et de tangentielles  représentent les actions du parallélépipède de matériau ôté mentalement sur les faces de l’élément examiné.

Il est intéressant (dans le sens que cela facilite l'analyse) de rechercher les contraintes qui existent dans un plan faisant un angle avec l’axe des x. Pour ce faire, nous imaginons un triangle de matière ayant un angle au sommet enlevé hors de la matière mentalement. Nous négligerons l'effet de la pesanteur.

Soit :


  
(23)

Posons:

  (24)

et dz étant l'épaisseur du solide (non représenté sur le schéma précédent).

Sur la longueur ds, des contraintes apparaissent et se décomposent en contraintes normale  et tangentielles (dites de "contraintes cisaillement" ou de "contraintes flexion" également) .

Le problème consiste à établir les relations entre  et et .

Les conventions de signes sont :

- Les contraintes  exerçant une traction sont positives alors que les tensions  exerçant une compression sont négatives.

- Les contraintes  ayant tendance à faire tourner le parallélépipède dans le sens des aiguilles d’une montre, sont positives. Dans le sens anti-horaire, elles seront négatives.

L’équation d’équilibre de projection sur la direction ON est :


  
(25)

Rappelons que:

  (26)

Comme et  nous avons :

    (27)

comme :

et   (28)

alors :

  (29)

Finalement :

  (30)

Conclusion : En fonction de  et , il est possible de calculer la tension normale qui existe sur une surface plane quelconque d’angle .

L’équation d’équilibre de projection sur la direction de OT est:

  (31)

comme alors finalement :

  (32)

Conclusion : En fonction de  et , il est possible de calculer la tension tangentielle qui existe sur une surface plane quelconque d’angle .

Soit, à présent, la situation suivante:


  
(33)

Il s'agit d'un bloc de matière dont l'on extrait virtuellement un plan de forme carré que l'on va étudier en prenant en première partie qu'un des triangles rectangle le composant pour ensuite étudier l'ensemble.

Avant la sollicitation, nous considérons donc le losange abcd qui est en fait un carré à  suivant la direction OX.

Pendant la sollicitation, ce losange se déforme sous l’action des contraintes tangentielles décomposées de contraintes de cisaillement pur et devient le losange a'b'c'd'. La diagonale bd est alors étendue et la diagonale ac est comprimée. L’angle en a qui valait  vaut après déformation  (en a'). De même, l’angle en b qui valait  vaut à présent  (Fig. A). 

Remarque: L'angle est appelé "angle de glissement" et nous le considérerons comme faible.

Nous pouvons nous rendre compte de l’effet de la déformation en isolant le losange et en lui faisant subir une rotation de . Après déformation, nous avons la forme indiquée par les lignes en pointillées (Fig. B).

L’angle de glissement étant petit, nous avons :

  (34)

Donc  représente le glissement du coté ab par rapport à dc divisé par la distance entre les deux plans ab et dc. L'analyse qui vient d'être effectuée reste valable quel que soit le corps solide ou  liquide considéré.

Soit, à présent, le cas d'un solide élastique obéissant à la loi de Hooke. Le problème va consister à établir la relation entre l'angle de glissement  et les contraintes tangentielles  agissant sur les cotés du losange. 

Soit le triangle rectangle oab. L'allongement du coté et le raccourcissement du coté oa pendant la déformation s'obtiennent à partir des équations suivantes :

  (35)

Comme:

  (36)

Nous avons :

 et   (37)

Donc :

  (38)

donc la longueur oa' diminue si  augmente .

  (39)

donc ob' augmente si  augmente.

Pour l'angle triangle rectangle oa'b', nous avons :

    (40)

Or:

    (41)

Comme  ( est petit) nous avons :

  (42)

Soit:

  (43)

Finalement nous avons la relation donnant le "module de glissement" que nous avions donné plus haut sans démonstration :

  (44)

MODULE DE COMPRESSIBILITÉ

Nous reste encore à voir la provenance mathématique de l'expression d'un autre module tout aussi important que le module en cisaillement: le module de compressibilité .

Soit les équations déterminées dans l'étude précédente:

  (45)

Si les forces appliquées sur le cube sont égales en intensité nous avons:

  (46)

Ce qui nous donne:

  (47)

En sommant les termes selon le principe de superposition linéaire des forces:

  (48)

Or:

  (49)

Finalement:

  (50)

ce que nous notons également:

  (51)

ou encore:

  (52)

avec étant par définition le "coefficient de compressibilité".

MODULE DE FLEXION

Pour l'étude du module de flexion considérons la situation ci-dessous:


  
(53)

La figure de gauche ci-dessus représente un matériau à l'état statique. La figure de droite représente le même matériau mais soumis à un moment de force couplé M.

Comme la matériau subit à sa surface à la fois une compression et à l'opposé une tension, il doit donc exister une frontière (un ligne ou un plan) ou aucune contrainte n'existe. Cette ligne ou ce plan (c'est rare que nous ayons affaire à un matériau ayant uniquement deux dimensions…) est appelé "plan neutre". Ce plan neutre va nous servir de référence pour définir la contrainte de flexion.

Maintenant que ce plan est défini, considérons les figures ci-dessous:


  
(54)

Soir R le rayon de courbure de la barre (cylindre, plaque, parallélépipède, …). La déformation sur le segment est définie par la relation:

  (55)

Les longueurs mn et ij sont définies par:

  (56)

et la longueur  par:

  (57)

ainsi l'expression de la déformation devient:

  (58)

ce qui indique que la déformation varie de façon linéaire avec y.

Nous pouvons définir le module de flexion par:

  (59)

Considérons l'état statique de la barre. La somme des contraintes de traction et compression sont alors nulles. Effectivement, nous le voyons bien si nous considérons le schéma ci-dessous:


  
(60)

Considérons  la force agissante sur un élément de surface dS. Nous pouvons considérer l'équilibre des forces à l'état statique tel que:

  (61)

En substituant l'expression de la contrainte obtenue précédemment:

  (62)

En supposant linéaire la caractéristique de contrainte en première approximation donc .

En simplifiant un tant soit peu:

  (63)

Si nous multiplions l'intégrale par  alors la relation doit être égale au moment de force appliqué tel que:

  (64)

En substituant par l'expression de la contrainte obtenue précédemment:

  (65)

Ce qui nous amène à définir le terme:

  (66)

que les ingénieurs nomment le "moment d'inertie de la barre par rapport au plan neutral" ou encore "moment d'inertie statique". Ce terme représente une mesure de la rigidité de la section transversale de la barre d'un point de vue géométrique, sans considérations des propriétés matérielles.

Substituant cette relation dans l'équation de contrainte de flexion, nous obtenons le "module de flexion":

  (67)

La difficulté pour l'ingénieur consiste souvent à localiser mathématiquement le plan neutral...

Liquides

Les fluides usuels sont de deux types: les liquides et le gaz (les solides sont aussi parfois considérés comme des fluides...ce n'est qu'une question d'opinion..). Etymologiquement, un fluide est susceptible de s'écouler. Le liquide adopte la forme du récipient qui le contient tout en conservant un volume propre à peu près invariable. Le gaz n'a pas de volume propre: il envahit uniformément (mécanique statistique de Boltzmann) le récipient dans lequel il est maintenu. Une atmosphère en constitue un cas spécial, du fait qu'elle est maintenue par la gravité à la périphérie d'un astre, ce qui exclut l'uniformité de la densité ou pression.

La distinction entre liquide et gaz est subtile. Nous pouvons cependant dire que le volume propre des liquides manifeste l'existence d'une cohésion liée à une densité assez grande (liaisons de Van der Waals); cette cohésion disparaît avec le volume propre chez les gaz.

Si l'on compare les fluides avec les solides, la première remarque qui s'impose concerne l'isotropie (les propriétés sont les mêmes dans toutes les directions spatiales) des fluides usuels qui est toujours réalisée (si l'on agit pas sur le fluide en tout cas!).

Nous allons aborder la théorie de la mécanique des fluides en difficulté croissante et par redondance. D'abord il va être démontré que les propriétés d'un fluide statique sont isotropes (théorème de Pascal). A l'aide de ce résultat, il va être plus simple de comprendre le théorème de Bernoulli qui va nous permettre, entre autres, de définir la concept de "pression hydrostatique". Ensuite, nous construirons un modèle très important de la dynamique des fluides, connus sous le nom de "équations de Navier-Stokes", que l'on dans tous les domaines possibles (astrophysique, mécanique quantique, météorologie,..). Ce modèle de dynamique des fluides est conséquent en développements théoriques et résultats expérimentaux et peut être considéré comme un terrain difficile. Cependant, pour faciliter la lecture, nous avons choisi de ne pas aborder celui-ci directement par usage du calcul tensoriel. Nous avons ainsi fait en sorte que les variables tensorielles apparaissent d'elles-mêmes d'écoulant des résultats simples de l'analyse vectorielle que nous obtiendrons. Une fois les équations de Navier-Stokes déterminées et démontrées, nous verrons que nous pouvons retrouver l'expression du théorème de Bernoulli à partir de ces mêmes équations.

La dynamique des fluides, ou "hydrodynamique", est de loin, le domaine de la mécanique classique le moins aisé en ce qui concerne la description et la prédiction. C'est pourquoi le théorème de Bernoulli s'utilise fréquemment, non pour expliquer en détail le comportement d'un fluide, mais pour en faire une description qualitative.

thÉoreme de pascal

Le résultat qui va suivre est de la plus haute importance pour comprendre l'ensemble de la mécanique des fluides. Il faut prendre le temps de comprendre !


  
(68)

Si nous considérons les forces s’exerçant, en l’absence de mouvement, sur un  tétraèdre élémentaire OABC de volume élémentaire V. Il est toujours possible d’adopter un volume suffisamment petit pour avoir une pression uniforme s’exerçant sur les faces du tétraèdre.

Soient , les pressions de réaction du fluide dues aux contraintes extérieures sollicitant les faces respectives OBC, OAB, OAC et ABC de surface . Soient également les cosinus directeurs (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) du vecteur unitaire  normal à la surface ABC.

Le système étant en équilibre, la résultantes  des forces de réaction du système est nulle. Nous avons donc les équations suivantes résultant de la projections suivant les trois axes de coordonnées:

  (69)

Par simplification élémentaire il vient:

  (70)

Nous obtenons alors la relation suivante:

  (71)

Conclusion importante: en un point quelconque d’un fluide, la pression est indépendante de la direction de la normale  à la surface élémentaire sur laquelle elle s'exerce.

Par le principe de l'action et de réaction de Newton, nous sommes amenés à énoncer le "théorème de Pascal":

Les fluides incompressibles transmettent intégralement et dans toutes les directions, les pressions qui leur sont appliquées.

Ce théorème est fondamental aussi bien en mécanique des fluides qu'en mécanique des gaz et les implications pratiques sont énormes (ce théorème explique entre autres, que la pression est indépendant de la géométrie du contenant du liquide) !

VISCOSITÉ

En mécanique des fluides, il est utile de considérer plusieurs types fluides ayant des caractéristiques qui les différent. Ceci s'avère particulièrement pratique pour les simulations tout en restant conforme à l'observation expérimentale (cf. chapitre de Génie Météo Et Marin).

Nous définissons la "viscosité" par les forces internes s'opposant au déplacement des diverses couches composant le fluide.  Nous distinguons la " viscosité dynamique"  et la "viscosité cinématique" .

1. La viscosité dynamique :

  (72)

avec  étant le coefficient de viscosité dynamique (l'unité étant le Poiseuil [PI]), dF variation de la force de frottement entre deux couches infiniment voisines,  variation de la vitesse par la distance entre deux couches infiniment voisines  et dS étant la surface considérée .

Conclusion: le Poiseuil est la viscosité d'un fluide nécessitant 1 Newton pour faire glisser à la vitesse de 1 mètre pas seconde, deux couches fluides de 1 mètre carré distantes de 1 mètre.

Remarque: Anciennement, l'unité employée était la "poise" :

2. La viscosité cinématique est définie par:

  (73)

Une transformation de la définition de la viscosité dynamique donne (il faut se rappeler de cette relation pour plus tard !!):

  (74)

Soit:

  (75)

Par définition les fluides ayant les caractéristiques suivantes:


  
(76)

sont nommés respectivement:

- Fluides pseudo-plastique (1)
- Fluides newtoniens (2)
- Fluides dilatant (3)

Il existe encore un 3 autres types de fluide non représenté sur le schéma et dont la viscosité est supposée nulle (cf. chapitre de Thermodynamique):

- Fluides parfaits (4)
- Fluides semi-parfaits (5)
- Fluides réels (6)

Remarques:

R1. Le comportement d'un fluide parfait est très différent de celui d'un fluide réel aussi petite soit la viscosité de ce dernier. En effet, le fluide parfait, parce qu'il n'a pas de viscosité, ne dissipe jamais l'énergie cinétique. Alors qu'un fluide réel très peu visqueux la dissipe efficacement grâce à la turbulence, et au phénomène de cascade qui l'accompagne.

R2. Nous reviendrons sur les propriétés de la viscosité dynamique et cinématique lors de la démonstration des équations de Navier-Stokes-(Reynolds).

R3. Les fluides qui ne sont pas newtoniens sont appelés en tout généralité dans la littérature "fluides non-newtoniens"...

Les fluides non-newtontien ont donc une déformation dépend de la force que nous leur appliquons. Le meilleur exemple est celui du sable mouillé en bord de mer : quand nous frappons le sable, il a la viscosité élevée d'un solide, alors que lorsque nous appuyons doucement dessus, il se comporte comme une pâte. Par ailleurs certains non-newtoniens ont des propriétés telles qu'il est possible pour un individu de courir dessus sans couler ou de couler en restant en position...

LOI DE POISEUILLE

En 1835 un médecin français, Jean Léonard Marie Poiseulle fit une série d'expériences soignées, pour déterminer comment un fluide visqueux s'écoule dans un tuyau étroit. Son but était de comprendre la dynamique de la circulation sanguine chez l'homme. Le plasma du sang se comporte comme un fluide newtonien, tandis que le sang entier ne l'est pas. Presque la moitié du volume normal du sang est faite de cellules assez grandes pour pérturber l'écoulement laminaire, surtout quand elles entrent en contact avec les parois des vaisseaux, un phénomène qui prend de l'importance dans le capillaires très étroits. Néanmoins, l'analyse de Poiseuille s'applique à l'écoulement dans les veines et les plus grosses artères et elle a une grande valeur, bien qu'elle soit un peu simpliste.

Le résultat de Poiseuille peut être établi en considérant le fluide dans un tuyau comme formé de couches cylindriques orienté selon un axe x de rayon r concentriques qui se déplacent à des vitesses qui vont en décroissant à parti du centre (symétrique circulaire supposée).

Alors la relation définissant la viscosité s'écrit :

  (77)

Ce qui nous donne la force de viscosité sur le cylindre. La surface de contact de chaque couche cylindrique de longueur l est donnée par et donc :

  (78)

L'origine de l'accélération (in extenso de la force) ne peut se faire que par une différence de pression telle que :

  (79)

ce qui nous amène à écrire :

  (80)

En intégrant membre à membre, nous obtenons :

  (81)

Soit :

  (82)

La courbe représentative de la vitesse en fonction de r est une parabole dont le sommet se situe sur l'axe centre du cylindre (). Le débit volumique transporté par une couche cylindrique entre r et est . Ainsi, le débit total est :

  (83)

et nous obtenons la "loi de Poiseuille" pour le débit laminaire visqueux :

  (84)

Nous trouvons donc le résultat logique que le débit augmente avec le gradient de pression et le rayon du tube, et diminue avec la viscosité.

Nous trouvons par ailleurs une relation analogue à la loi d'Ohm (cf. chapitre d'Électrocinétique) où la différence de potentiel est donnée par la résistence multipliée par le courant alors que la différence de pression est donné par la resistance visqueuse multipliée par le débit.

thÉorÈme de Bernoulli

Quand nous discutons du mouvement d'un fluide, l'équation de continuité (cf. chapitre Thermodynamique), qui exprime la conservation de la masse (volumique) du fluide est une notion importante.

  (85)

Considérons cette équation dans le cas particulier qui nous intéresse ici un fluide non visqueux en écoulement laminaire se déplaçant à l'intérieur d'un tube de lignes de courants parallèles (le mouvement du fluide est de type irrotationnel - voir chapitre d'Analyse vectorielle du site), délimité par la surface :


  
(86)

Nous sommes en régime stationnaire (l'aspect du mouvement est indépendant du temps) et la masse n'est ni apportée par une source ni enlevée par un puits à l'intérieur de la région considérée. Le volume de fluide qui traverse dans l'intervalle   correspond à un cylindre de base , de longueur  et donc de volume . La masse de fluide qui a traversé pendant le temps  est donc:

    (87)

De même:

    (88)

est la masse de fluide qui a traversé:

      (89)

pendant le même intervalle de temps. Avec les hypothèses faites, l'équation de conservation de la masse exige que les deux masses soient les mêmes, ou que exprimé autrement:  

  (90)

D'où:

  (91)

Ceci est la forme de l'équation de continuité dans le contexte qui nous intéresse. De plus, si le fluide est incompressible, la densité est partout la même et l'équation précédente se réduit à:

    (92)

Considérons maintenant une région dans un fluide où il y a un flux stationnaire comme l'indique la figure ci-dessous:


  
(93)

Pendant un court intervalle de temps , le fluide qui, initialement, traversait a progressé jusqu'à une surface  à la distance  tandis que le fluide qui traversait se retrouve en  à une distance . Puisque le reste du volume entre les surfaces  et reste inchangé, nous allons porter notre attention sur les deux volumes (égaux) hachurés sur la figure.

Ces deux volumes sont égaux car le fluide est incompressible et l'équation de continuité est valable. Soient  et  les forces exercées sur les surfaces  et  en raison de la pression existant dans le fluide. A cause de ces forces, le fluide produit ou reçoit du travail en déplaçant les deux volumes. En , la surface est poussée par le fluide et le travail exercé sur le fluide  alors qu'en  le fluide pousse la surface et le travail effectué par le fluide est . Le travail total exercé sur le volume de fluide situé entre  et est donc:

  (94)

en appelant  et  les pressions respectives en  et  et en écrivant: 

  (95)

d'après la définition de la pression. Comme:

  (96)

d'après l'équation de continuité et l'hypothèse d'incompressibilité, nous pouvons écrire que:

  (97)

Le travail extérieur exercé sur le système change son énergie propre comme l'établit la thermodynamique (). Pour le volume de fluide considéré, l'énergie propre des volumes mis en évidence comprend l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de gravitation. Le fluide entre   et  gagne de l'énergie dans le volume . Supposons que les deux volumes aient une masse égale , de nouveau à cause de l'équation de continuité. Alors le gain net d'énergie est:

  (98)

Puisque nous avons déjà supposé le fluide incompressible, la densité  est la même partout et  aux deux extrémités. D'où: peut être remplacé par

  (99)

En combinant cette relation avec  nous obtenons :

  (100)

ou: 

  (101)

Comme l'équation ci-dessus concerne des grandeurs prises en deux points arbitraires le long d'une ligne de courant, nous pouvons généraliser et écrire:

  (102)

Ce résultat, connu sous le nom de "théorème de Bernoulli", exprime la constance de la pression le long d'une ligne de courant dans un fluide incompressible, irrotationnel et non visqueux et où les forces volumiques extérieures dérivent d'une énergie potentielle (nous reviendrons là-dessus après avoir déterminé les équations de Navier-Stokes).

Signalons aussi une manière  élégante et simple de retrouver cette relation. La conservation de l'énergie nous donne le long d'une ligne de courant:

  (103)

avec respectivement et dans l'ordre la somme de l'énergie cinétique, de l'énergie potentielle et de l'énergie de pression. Soit:

  (104)

et si nous divisons tout cela par le volume nous obtenons alors:

  (105)

voilà….

Remarques:

R1. D'une ligne de courant à l'autre, c'est la valeur de la constante qui change. De plus, l'utilisation du théorème de Bernoulli exige de connaître la forme des lignes de courant.

R2. La conservation de la quantité de gauche exprime la conservation de l'énergie le long d'une ligne de courant et nous y trouvons respectivement l'énergie cinétique volumique, l'énergie potentielle volumique de pesanteur et la pression.

Considérons maintenant deux applications importantes du théorème de Bernouilli.

Si le fluide se déplace dans un plan horizontal, l'énergie potentielle de gravitation reste constante et l'équation de Bernoulli se réduit alors à:

  (106)

Donc, dans un tuyau horizontal, la vitesse est d'autant plus grande que la pression est plus faible et réciproquement. Nous utilisons aussi cet effet pour créer participer à la poussée d'un avion (attention ce paramètre est mineur car ce n'est pas ce qui contribue le plus au vol d'un avion, c'est l'effet Magnus dont la démonstration sera donneé plus loin).


  
(107)

Le profil d'une aile est construit de telle sorte que l'air a une vitesse plus grande au-dessus de la surface de l'aile qu'au dessous qu'au dessus, ce qui produit une pression plus forte au-dessous qu'au dessus. Il en résulte donc une force résultant vers le haut. 

Autrement dit, une spécialiste dans l'aérodynamique dirait:

- A l'extrados : Par effet de courbure, les particules d'air sont contraintes de parcourir une distance plus grande ;leur vitesse va donc d'abord s'accroître fortement pour diminuer ensuite afin de retrouver au bord de fuite la vitesse initiale de l'écoulement. Tout l'extrados est donc le siège d'une dépression locale généralisée. La couche limite, d'abord laminaire, devient peu à peu turbulente, voire tourbillonnaire lorsqu'on approche du bord de fuite.

- A l'intrados : le profil constituant un obstacle à l'écoulement, l'air va se trouver freiné : nous voyons donc apparaître une surpression localisée sur l'intrados. En fait, avec la forme des ailes d'avion actuelle, en position horizontale, l'effet Bernoulli serait négligeable. Pour qu'un avion décolle, il faudrait que l'extrados ait une surface beaucoup plus grande.

C'est bien mieux ainsi non ?

Autre chose encore, si le fluide n'est pas en mouvement, nous avons l'équation de Bernoulli qui s'écrit:

  (108)

Il s'agit de "'équation de Laplace" en hydrostatique (utilisée dans les vases communicants).

thÉorÈme de TORICELLI

Le théorème de Toricelli permet de déterminer la vitesse d'écoulement d'un liquide. C'est un cas classique d'étude dans les petites écoles.

Considérons un volume fermé contenant un liquide de masse volumique et muni d'un orifice de surface , duquel le liquide coule vers l'extérieur. Nous voulons déterminer la vitesse P au-dessus de sa surface ne varient de façon appréciable pendant l'écoulement. Comme le tube d'échappement de liquide va de la région de la surface du liquide à l'orifice ouvert à l'air libre, nous avons . Un liquide coulant à l'air libre est à la pression atmosphérique , , car le liquide est entouré d'air libre et rien ne peut maintenir une différence de pression. D'après l'équation de Bernoulli, avec , nous trouvons sur une ligne de courant : d'écoulement du liquide de cet orifice. Le volume est supposé être assez grand pour que ni le niveau du liquide, ni la pression

  (109)

d'où :

  (110)

De l'équation de continuité (), nous déduisons que si alors et est alors négligeable devant . Dans le cas particulier, mais fréquent, où le réservoir est ouvert à l'air libre (), la densité d'énergie de pression disparaît. Le fluide coule sous l'effet de la gravité, sans être poussé par une différence de pression. Nous trouvons alors (en multipliant par la surface de l'orifice, nous obtenons le débit):

  (111)

Cette relation constitue le "théorème de Toricelli". Chose curieuse, nous avons déjà vu cette relation en mécanique classique pour la vitesse de chute libre d'un corps. Il en retourne l'observation faite par Toricelli : si le jet est dirigé directement vers le haut, il atteint presque le niveau de la surface du liquide dans le volume. La raison pour laquelle le jet n'atteint pas effectivement ce niveau est une certaine perte d'énergie à cause du frottement.

EFFET VENTURI

Certaines applications pratiques de la mécanique des fluides résultent de l'interdépendance de la pression et la vitesse. Il y a une catégorie de situations dans lesquelles la variation d'énergie potentielle gravitationnelle est négligeable. L'équation de Bernoulli relie alors la différence de pression à la différence d'énergie cinétique donc la variation du carré de la vitesse.

Nous considèrons un fluide incompressible (!), non visqueux et de masse volumique. Le fluide s'écoule en régime permanent dans une canalisation cylindrique de rayon  et de section  suivie par un tube cylindrique de rayon  et de section . Le raccordement est fait par une canalisation conique assez longue pour que l'on reste en régime laminaire.

Nous savons (équation de continuité) que :

  (112)

qui veut dire, comme nous l'avons vu, qu'une diminution de la section traversée par le fluide se traduit par une augmentation de sa vitesse.

Dans toute situation où le flux entrant est environ au même niveau que le rétrécissement , l'équation de Bernoulli s'emploie pour exprimer la différence de pression :

  (113)

devient :

  (114)

Utilisant l'équation de continuité, pour éliminer , nous obtenons :

  (115)

Comme le second membre de la relation est positif et : il y a donc une chute de pression dans la région étroite. En arrivant à la région divergente à nouveau en , la pression du fluide augmente de nouveau et la vitesse reprend sa valeur initiale. Cette diminution de la pression qui accompagne l'augmentation de la vitesse est appelée "effet Bernoulli" ou "effet Venturi".

Ainsi, la vitesse du fluide augmente dans un goulot d'étranglement pour satisfaire l'équation de continuité (conservation du flux/masse) et le fait qu'il soit incompressible (sinon il y aurait une sorte de bouchon...).

Remarque: Paradoxalement l'effet Venturi se produit aussi lors du franchissement d'un sommet ou d'une crête par l'air atmosphérique ou également dans les rues des villes. En effet l'air qui arrive sur la montagne ou la crête à tendance à "s'écraser" dessus. La section d'écoulement de l'air au sommet est donc plus faible qu'à la base. Il se produit donc également un effet Venturi : la vitesse du vent est plus élevée sur les sommets et les crêtes qu'en bas (les professionnels du planeur en savent quelque chose…).

TUBE DE PITOT

Le tube de Pitot permet la mesure de la vitesse d'écoulement d'un gaz subsonique. Le tube de Pitot consiste à pratiquer dans un tube, un orifice de prise de pression en A et en B:


  
(116)

Le point A est un point d'arrêt car la vitesse est nulle (il n'y pas d'écoulement dans l'orifice, c'est juste une prise de pression). Loin de l'obstacle (le tube de Pitot) l'écoulement est supposé uniforme de vitesse v et de pression  .

En A (point d'arrêt), en utilisant la relation de Bernoulli le long de la ligne de courant et en considérant la variation de hauteur entre A et B négligeable, la pression vaut:

  (117)

Nous avons donc:

  (118)

Donc pour les avions à partir de la différence d'une mesure de pression et de la connaissance de la densité du gaz il est possible de connaître la vitesse.

Remarque: En aéronautique, la pression dynamique s'ajoute à la pression statique pour donner la pression totale qui peut être mesurée au point de vitesse nulle du tube Pitot. En enlevant la pression statique, on trouve la "pression dynamique".

PERTE DE CHARGE (PRESSION)

Lorsque, dans un écoulement d’un fluide parfait, il n'y a aucune machine (ni pompe ni turbine) entre les points (1) et (2) d'une même ligne de courant, la relation de Bernoulli peut s'écrire sous la forme suivante :

  (119)

Lorsque le fluide traverse une machine hydraulique, il échange de l'énergie avec cette machine sous forme de travail pendant une durée donnée. La puissance P échangée est alors (cf. chapitre de Mécanique Classique):

  (120)

où par convention, si  l'énergie est reçue par le fluide (pompe) sinon, si  l'énergie est fournie par le fluide (turbine).

Si le débit-volume est , la relation de Bernoulli s'écrit alors logiquement:

  (121)

où:

  (122)

Un fluide parfait n'existe pas. Lors d'un écoulement dans une conduite, les forces de frottement dissipent une partie de l'énergie cinétique et potentielle ce qui se traduite par l'existence de pertes de charges dont il s'agit de tenir compte.

Considérons un écoulement cylindrique horizontal stationnaire et incompressible. Si nous appliquons la relation de Bernoulli entre l'entrée et la sortie nous obtenons:

  (123)

Or, expérimentalement, nous observons qu'il faut imposer une pression plus importante en entrée pour entretenir le régime permanent. En effet, les forces de viscosité résistent à l'écoulement. Il faut donc imposer une suppression  que nous appelons "perte de charge en pression" et qui est due à l'existence de forces de frottements (viscosité) ou de pertes singulières (géométrie des circuits de distributions).

L'équation de Bernoulli généralisée s'écrit alors dans ce cas d'étude qui fait partie de l'ingénierie des procédés:

  (124)

Cette relation est souvent utilisée dans l'étude théorique (…) des problèmes de conduite.

ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES

Soit un parallélépipède élémentaire extrait d'un fluide statique à l'équilibre de dimensions dx, dy, dz représenté à la figure ci-dessous. La matière à l'équilibre composant le parallélépipède est en général soumise à des forces de volume dans toutes les directions (théorème de Pascal) dont les composantes sur les trois axes orthogonaux sont représentées sur la figure ci-dessous (ces forces peuvent être de nature gravitationnelles, électromagnétiques ou inertielles...).


  
(125)

Remarques:

R1. Il est important de remarquer que les composantes des tous les vecteurs visibles sur la figure ci-dessus sonte exprimés en newton par unité de surface, soit en d'autres termes par unité de pression (qui est l'unité de la contrainte)

R2. Il est important d'être attentif au plus hoint point sachant à ce qui va suivre car certaines des résultats que nous obtiendrons ici seront réutilisés dans le chapitre de relativité générale pour comprendre le tenseur d'énergie-impulsion

Nous pouvons, comme nous l'avons représenté ci-dessus, décomposer et translater l'ensemble des forces auxquelles est soumis le parallélépipède aux centre des faces de ce dernier. Nous représentons bien évidemment chacune des contraintes sur chacune des faces comme la somme des contraintes normales et tangentielles telles que nous l'avions fait pour l'étude des solides sous contrainte (selon les trois axes toujours, d'où la somme de trois composantes!).

Au total, nous nous retrouvons avec 18 composantes de contraintes normales et tangentielles:

  (126)

Nous cherchons à minimiser le nombre de composantes normales afin de déterminer quelles sont les contraintes suffisantes sur chacun des axes. Ainsi nous poserons:

  (127)

Donc trois composantes suffisent pour connaître les forces de contraintes normales aux surfaces selon chaque axe.

Si nous effectuons la somme des moments de forces par rapport aux centres de gravité pour chaque axe de symétrie du parallélépipède (XX',YY',ZZ') il est évident que sur les 12 composantes tangentielles, 6 suffisent pour décrire l'ensemble du système.

Ainsi pour le plan XOY passant par le centre de gravité nous avons:

  (128)

Pour le plan XOZ:

  (129)

Pour le plan ZOY:

  (130)

Donc pour chaque plan (XOY, ZOY, ZOX), une composante suffit pour décrire l'ensemble de moments de forces.

Ainsi, par souci de simplification d'écriture, nous poserons (il est plus conforme de faire les développements avec des indices en minuscules):

et    (131)

Au total, cela nous fait donc 3 composant tangentielle plus 3 composantes normales qui sont suffisantes et nécessaires pour décrire les contraintes sur le parallélépipède selon chaque axe du plan de symétrie de ce dernier:

  (132)

Nous pouvons obtenir les mêmes composantes d’équilibre en considérant cette fois un tétraèdre régulier élémentaire (extrait du cube ci-dessus) statique. Le but étant de démontrer que nous retrouvons bien les 6 composantes déterminées précédemment.


  
(133)

Remarque: Il est important d'observer à nouveau que les composantes des tous les vecteurs visibles sur la figure ci-dessus sonte exprimés en newton par unité de surface, soit en d'autres termes par unité de pression (qui est l'unité de la contrainte).

Pour connaître l’aire des faces OAC, OBC, OAB , nous multiplions la surface ABC (notée ci-après: S) par le cosinus de l'angle que forment les vecteurs   et .

Effectivement, soit les surfaces:

 et   (134)

Cependant, nous cherchons à exprimer les  en fonction de S. Le schéma ci-dessous (coupe du tétraèdre) devrait aider à comprendre le raisonnement:


  
(135)

et donc:

  (136)

Finalement:

  (137)

Le rapport:

  (138)

d'où:

  (139)

Le principe d'analyse étant le même pour toutes les autres surfaces telles que:

  (140)

Nous écrirons donc:  

  (141)

tel que:

  (142)

Remarque: Nous pouvons facilement connaître les valeurs des  à l'aide de l'analyse vectorielle. Effectivement, le plan ABC étant d'équation:

  (143)

en simplifiant par :

  (144)

Le vecteur normal au plan étant bien:

  (145)

pour connaître les cosinus de l'angle du vecteur normal avec les , il suffit d'assimiler ces derniers au vecteurs de base  tel que (trigonométrie élémentaire):

  (146)

et en  procédant de même pour tous les autres .

L'équilibre des forces nous donne:

  (147)

Après simplification:

  (148)

Suivant les autres axes:

  (149)

Soit en résumé:

  (150)

En utilisant la représentation matricielle, nous obtenons:

  (151)

Soit en notation indicielle les forces normales sont données par la relation :

  (152)

avec (, si )

Nous voyons apparaître une grandeur mathématique  ayant 9 composantes, alors qu'un vecteur dans le même espace  en possède 3. Nous connaissons ce genre d'être mathématique que nous avons déjà étudié en algèbre dans le chapitre de calcul tensoriel. La grandeur  est appelée "tenseur des contraintes du second ordre". En outre, certaines composantes peuvent êtres égales (, si ) , ce qui le rendrait symétrique. Il ne possède alors plus que les 6 composantes distinctes, relativement aux nombres de composantes suffisantes pour d'écrire totalement un système à l'équilibre.

Pour étudier les déformations d’un milieu continu tel qu'un fluide, nous considèrerons d'abord le cas de très faibles déformations. Les petits déplacements  d’un point seront représentés par u, v, w parallèles aux axes d’un référentiel OXYZ. Nous admettons que ces composantes sont des quantités très faibles variant d’une façon continue dans le volume du corps considéré.

Soit un segment linéaire OP situé dans un solide avant déformation. Dans un référentiel OXYZ, nous noterons  et   les coordonnées de O et P.

Pendant la déformation, la ligne OP devient O'P' tel que représenté ci-dessous:


  
(153)

Soient  les déplacements du point O parallèlement aux axes OX, OY, OZ et

 les déplacements du point P parallèlement aux mêmes axes.

Les coordonnées des points O' et P' sont alors :

 et   (154)

Avant déformation, soit L  la longueur OP :

  (155)

Après déformation, nous avons une longueur L' valant :

  (156)

Si  est l’allongement de l’élément OP pendant la déformation, nous avons:

  (157)

En effectuant les quelques transformations suivantes:

  (158)

En développant:

  (159)

Soit:

    (160)

En négligeant les termes de déplacement d’ordre supérieur et en tenant compte de la relation:

  (161)

il vient que disparaît avec  ainsi que les termes au carré, nous avons:

  (162)

Or, la géométrie analytique (trigonométrie élémentaire; rapport des côtés opposés et adjacents à l'hypoténuse) donne les relations suivantes :

  (163)

qui sont les cosinus directeurs de la droite L.

Nous pouvons alors écrire:

  (164)

La variation  étant un déplacement faible, nous avons recours à un développement en série de Taylor (cf. chapitres sur les Suites Et Séries) dont nous négligeons les termes d’ordre supérieur (linéarisation des équations) :

  (165)

Nous avons également:

  (166)

La différence donne:

  (167)

Donc nous pouvons maintenant écrire :

  (168)

Finalement:

  (169)

En groupant, nous avons :

  (170)

Cette expression permet en un point quelconque le calcul de la déformation  dans une direction ayant comme cosinus directeur  l, m, n  en fonction des déplacements  u, v, w en ce point !

Soit le cas où la ligne L coïncide avec l’axe OX, nous avons , l’équation précédente devient alors:

  (171)

Nous avons, si L coïncide avec l’axe OY  ou avec l’axe OZ :

  (172)

Les grandeurs  sont appelées "déformations normales" et non pas d'unités.

Pour l'interprétation des termes , nous nous référerons à la figure suivante:


  
(173)

Soient deux segments de droite OR et OQ situés dans le plan XOY. Avant déformation OR et OQYOX. Après déformation, ils peuvent prendre la position O'R' et O'Q'. Les composantes du déplacement de O sont u, v . coïncidaient avec le référentiel orthonormé

- La composante du déplacement de R' est calculée comme suit:

 avec   (174)

car l’angle est faible .

En toute généralité comme , nous écrirons:

  (175)

- La composante du déplacement de Q' est elle:

  (176)

Comme avant déformation, l’angle QOR est de , après déformation, l’angle droit est réduit de . Cette réduction  est appelée "déformation de cisaillement" ou "déformation tangentielle" et est notée par .

Nous procéderons de la même façon pour les autres termes, d’où :

  (177)

Compte tenu du quadruplet de groupes d'équations démontrés précédemment dans cette section (voir les déformation des solides):


  
(178)

Nous pouvons résumer:

  (179)

Généralement, nous posons pour simplifier les notations (il faut cependant pas croire que la déformation en cisaillement devient une déformation normale ! ce n'est qu'une convention d'écriture dont le physicien doit se rappeler !):

  (180)

De même, nous posons:

  (181)

Soit finalement:

  (182)

En tenant compte que:

  (183)

Nous obtenons les tensions de cisaillement comme suit:

  (184)

Considérons maintenant, pour exemple, un fluide circulant dans la direction de OY avec un gradient de vitesse dans la direction de x :


  
(185)

En se plaçant au niveau de y et au point 1 d’abscisse x, nous avons une vitesse  et au point 2 d’abscisse x+dx, une vitesse:

 (avec )   (186)

Dans la direction de x, il n’y a pas de composante de vitesse donc:

 (avec )   (187)

Nous supposons maintenant que les tensions de cisaillement sont proportionnelles à  à un facteur près tel que:

  (188)

avec:

  (189)

Il donc possible de considérer des déplacements par unité de temps en posant:

  (190)

En rapprochant cette dernière relation de:

  (191)

nous pouvons dire alors que G initialement valable dans un milieu élastique solide considéré par ses déplacements est l'analogue de dans le cas d’un fluide visqueux considéré par les déplacement par unité de temps. Ainsi, nous voyons que les unités sont conservées.

En considérant également les déformations par unité de temps pour les contraintes normales (nous y reviendrons en détail un peu plus loin), nous avons alors le système d'équations:

  (192)

Ainsi, nous obtenons une écriture condensée:

  (193)

 est le symbole de Kronecker :

=   (194)

Le tenseur  décrit ainsi en partie l'ensemble de contraintes d'un fluide visqueux dans lequel nous avons supposé dans le cadre de l'hypothèse d'une fluide newtonien qu'il y a des relations linéaires entre les tensions et les déformations normales.

Nous posons maintenant la somme des contraintes dynamiques sous une forme générale que nous allons justifier:

  (195)

où le terme se justifie par le fait que dans le cas statique, une pression dynamique constante p existe toujours en un point d'un fluide que l'on a pas dans le cas d'un solide. Pour justifier le signe négatif, nous observerons que dans l'expression de , les deux premiers termes du membre de droite correspondent, dans '’étude précédente ,à des contraintes d'extension, alors que la pression p correspond à une compression du fluide

Il nous reste  à présent, à déterminer le coefficient  .  Soit , nous avons alors . Il vient successivement et par addition:

  (196)

Cette expression doit répondre à un fluide qui est également dans une situation statique tel que:

  (197)

Il vient alors que dans la cas statique:

  (198)

Puisque:

  (199)

Nous avons alors:

  (200)

L'expression générale des contraintes s'écrit alors pour un fluide newtonien:

  (201)

Présentement, nous allons introduire les opérateurs de l'analyse vectorielle afin de disposer d’une expression plus générale. De cette façon, nous pourrons adapter la formulation à n'importe quel système de coordonnées (cartésiennes, cylindriques, sphériques,...) ce qui facilitera la résolution de problèmes pratiques.

Nous avons vu que pour un solide, nous avions:

  (202)

Nous allons déterminer les équations sous la forme indicielle en considérant toujours les déplacements par unité de temps (vitesses).

  (203)

tel que  et que

Pour  nous avons ainsi:

 ou   (204)

Pour  nous avons:

 ou   (205)

Nous pouvons dès lors écrire:


  
(206)

En effectuant la somme des termes de:

  (207)

Or, les outils de l'analyse vectorielle nous permettent d'écrire:

  (208)

Pour le fluide, nous aurons ainsi:

  (209)

L'équation dynamiques des contraintes générale s'écrira alors sous la forme suivante pour un fluide newtonien:

  (210)

Tenseurs des contraintes que certains auteurs notent (l'écriture est un peu dangereuse mais elle a une jusitification dans un cadre d'étude plus approfondi des fluides!):

  (211)

ou encore pour différencier vecteur et tenseur:

  (212)

Si les contraintes normales (fluide incompressible) sont négligeables le deuxième terme se simplifie et nous avons alors (relation que nous retrouverons dans le chapitre de Génie Météorologique):

  (213)

Il est, à présent, utile de repasser sous une forme développée pour l'équation précédente, en se rappelant que (voir plus haut):


  
(214)

Écrivons maintenant le système d'équations de Newton (sommes des contraintes dynamiques internes et externes à un élément de volume d'un fluide) qui est:

  (215)

où:

-  est la somme des forces externes par unité de volume

-  est l'accélération massique

- est la densité du fluide

et qui peut s'écrire sous forme condensée:

  (216)

avec:

  (217)

Nous avons:

  (218)

En introduisant les expressions de  obtenues dans la relation ci-dessus, nous aboutissons aux équations:


  
(219)

Ce sont les "équations de Navier-Stokes de la dynamique des fluides newtoniens". Il en existe deux formes condensées que nous allons de suite déterminer:

En reprenant la première équation de Navier-Stokes et en la développant, il vient :


  
(220)

Comme:

  (221)

et que:

  (222)

Nous obtenons:

  (223)

En simplifiant, il vient finalement:

  (224)

En opérant de la même manière pour les deux autres composantes, nous pouvons réduire le système d'équations de Navier-Stokes à une seule équation vectorielle :

  (225)

Comme (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

  (226)

Nous avons:

  (227)

Soit en final:

  (228)


Remarque: Nous trouvons également parfois dans la littérature, une équation contenant une seconde viscosité , alors que  se manifeste rigoureusement que lors du cisaillement pur selon nos hypothèses,   apparaît lors d'une compression omnidirectionnelle s'accompagnant d'une variation de densité.

L'équation précédente s'écrit alors :

  (229)

C'est "l'équation de Navier-Stokes" ou aussi appelée "équation de mouvement pour un fluide newtonnien".

FLUIDE INCOMPRESSIBLE

Dans un fluide incompressible, nous avons par définition . L'équation de conservation qui est (cf. chapitre de Thermodynamique):

  (230)

s'écrit alors:

  (231)

soit:

  (232)

L'équation de Navier-Stokes:

  (233)

s'écrit alors:

  (234)

ou autrement:

  (235)

Si de plus la viscosité  est négligeable, nous avons donc pour une fluide parfait:

  (236)

C'est équation est appelée "équation d'Euler de 1ère forme" ou encore "équation locale du bilan de conservation de la quantité de mouvement".

Il existe une deuxième forme de l'équation d'Euler dans le cadre d'un fluide incompressible et à viscosité négligeable que nous allons de suite déterminer (souvent utilisée dans l'industrie) :

Si , nous pouvons écrire:

  (237)

Ce qui peut aussi s'écrire:


  
(238)

Ce qui s'écrit encore:

  (239)

Le premier facteur peut être considéré comme le produit scalaire suivant :

  (240)

Soit:

  (241)

La "dérivée particulaire" peut alors prendre la forme condensée suivante :

  (242)

Remarque: La composante en x de la dérivée particulaire est donc (nous retrouverons cela dans le chapitre de Génie Météo) :

  (243)

ce que les spécialistes du domaine notent de manière générale pour toute composante :

  (244)

L'équation d'Euler de 1ère forme:

  (245)

devient compte tenu de la dérivée particulaire:

  (246)

ou encore:

  (247)

Nous avons vu en analyse vectorielle que:

  (248)

Si nous posons , nous avons:

  (249)

Soit:

  (250)

Finalement, nous obtenons une nouvelle équation appelée "équation d'Euler de 2ème forme" et qui s'écrit:

  (251)

Bien que les deux équations d'Euler soient très importantes, il en existe une forme variée très utile en météorologie que nous allons de suite déterminer.

Nous nous basons toujours sur l'écoulement d'un fluide incompressible et non visqueux, mais  dont les forces de volume dérivent cette fois-ci d'un potentiel  (U étant un potentiel).

Dans ce cas, nous recourons à l'équation d'Euler sous sa 1ère forme:

  (252)

Puisque les forces volumiques dérivent d'un potentiel U, nous avons:

  (253)

Nous rappellons la relation:

  (254)

Soit  un vecteur , il vient:

  (255)

donc:

  (256)

donc nous pouvons aussi écrire:

  (257)

En reprenant la relation:

  (258)

L'équation:

  (259)

devient:

  (260)

Donc:

  (261)

et puisque:

  (262)

Nous pouvons écrire:

  (263)

Nous savons que donc:

  (264)

En écrivant le produit vectoriel  sous forme développée, nous avons:

  (265)

Ce qui donne:

  (266)

Supposons que  soit est un vecteur vitesse angulaire constant, nous avons alors:

  (267)

L'équation:

  (268)

s'écrit alors:

  (269)

Nous retrouvons dans cette équation, utilisée en météorologie, l'accélération de Coriolis que nous avions déterminé en mécanique classique du point matériel rigide.

Si l'écoulement s'effectue à vitesse constante  et n'est pas rotationnel (non turbulent)  , alors l'équation précédente se réduit à:

  (270)

En dynamique classique du point matériel rigide, nous avons montré que dans le cas d'un potentiel gravitationnel Terrestre:

  (271)

z étant l'altitude d'un point du fluide par rapport à un niveau de référence . Si nous prenons  pour le niveau du sol, l'avant dernière relation devient :

  (272)

Le terme entre crochet pour satisfaire cette relation doit être tel que:

  (273)

Nous retrouvons donc bien le théorème de Bernoulli ce qui conforte notre modèle des fluides newtoniens selon le modèle de Navier-Stokes.

FLUIDE COMPRESSIBLE

Dans ce cas  est une fonction de la pression p (cas des "fluides barotropes"). Nous considérons également que la viscosité est négligeable. Il vient alors:

  (274)

L'équation:

  (275)

s'écrit alors:

  (276)

FLUIDE STATIQUE

Dans le cas statique  et    l'équation:

  (277)

devient simplement:

  (278)

qui est "l'équation de la statique des fluides".

Remarque: Les viscosités disparaissent. La statique des fluides est la même pour les fluides visqueux ou non visqueux.

nombre de reynolds

Considérons d'abord, pour simplifier, le cas incompressible. L'équation de continuité, ou de conservation de la masse, (cf. chapitre de Thermodynamique) s'écrit alors:

  (279)

s'écrit alors:

  (280)

Nous choisissons maintenant plusieurs grandeurs de références notées par un indice r tel que:

 et   (281)

Alors:

  (282)

donc l'équation des déformations par unité de temps devient:

  (283)

Nous avons également:

  (284)

Restreignons nous à l'étude d'une composante:

  (285)

En multipliant par la densité :

  (286)

Ecrivons l'équation de Navier-Stokes pour une composante:

  (287)

Les termes ou apparaissent les coefficients de viscosité peuvent être réécrits tels que:

  (288)

Ainsi par correspondance:

  (289)

En introduisant les variables adimensionnelles:

  (290)

car comme nous l'avons vu:

  (291)

d'où:

  (292)

ou encore:

  (293)

Nous multiplions la relaiton:

  (294)

par  et la divisons par  tel qu'elle devienne:

  (295)

Au niveau dimensionnel, nous avons:

et    (296)

Finalement:

  (297)

Cette équation différentielle exprimée en variables relatives et sans dimensions est appelé "équation de Navier-Stokes-Reynolds adimensionnelle"

Le terme , appelé "nombre de Reynolds", représente au niveau symbolique le rapport des forces d'inerties sur les forces visqueuses :

  (298)

 est la "viscosité cinématique relative".

La viscosité dynamique est donc un terme inversement proportionnel à la valeur du nombre de Reynolds.

APPROXIMATION DE BOUSSINESQ

Soit la relation déjà démontrée précédemment:

  (299)

En y remettant le terme contenant la viscosité:

  (300)

sans oublier qu'au niveau des notations (nous savons… c'est un peu embêtant):

  (301)

Si le potentiel est de type gravitationnel, il va de soi que:

  (302)

Donc:

  (303)

Si l'on peut considérer le contexte de l'expérience tel que la densité volumique est inférieure ou égale à celle de l'eau et que les vitesses sont petites, alors nous pouvons éliminer les termes de second degré, tel que la relation précédente s'écrive:

  (304)

Nous nous plaçons dans le cadre d'un fluide faiblement turbulent, dans lequel la pression et la densité s'écrivent:

  (305)

 représentent le terme d'accroissement turbulents par rapport aux valeurs statiques du fluide.

Nous négligeons également les frottements sur les bords et donc la viscosité en supposant que l'effet des turbulences devient vite prépondérant sur la valeur du frottement.

Donc nous avons le système d'équations:

  (306)

qui peut s'écrire:

  (307)

et encore:

  (308)

ce qui s'écrit aussi:

  (309)

Mais dans le cas statique:

  (310)

Il nous reste donc:

  (311)

En divisant le tout par :

  (312)

mais encore une fois:

  (313)

L'approximation de Boussinesq consistant à supposer que le fluide est incompressible et que le système està température constante et peu turbulent, nous avons:

  (314)

Ce qui nous donne:

  (315)

Cette équation s'appelle "équation de Boussinesq" et va nous permettre d'introduire la théorie du chaos dans le domaine de la météorologie et des fluides dans le cas particulier des cellules de convection.

LOI DE STOKES

La complexité de l'hydrodynamique est un terrain tout désigné pour l'application de l'analyse dimensionnelle dont nous avons parlé au tout début de notre étude de la mécanique analytique. L'exemple analysé ici montre clairement les possibilités, mais aussi les limites de la méthode.

Nous envisageons un solide de forme quelconque plongé dans un fluide incompressible animé d'une vitesse uniforme à grande distance (le problème est équivalent à celui d'un solide qui se déplace à vitesse constante dans un fluide au repos). Nous cherchons à exprimer la force F qu'exerce le fluide sur l'obstacle, supposée immobile (et notamment dépourvu de tout mouvement de rotation).

La solution analytique est trop complexe pour perdre son temps à résoudre ce genre de problème pratiques. Il convient de recourir à l'analyse dimensionnelle.

Les paramètre pertinents sont dans notre étude:

- L la dimension linéaire de l'obstacle

- v la vitesse du fluide à grande distance

-  la masse du fluide

-  la coefficient de viscosité du fluide

Comme il se doit, tous ces paramètres sont des constantes, bien que la vitesse varie en direction et en norme au voisinage de l'obstacle: à grande distance, elle es uniforme et sa valeur v est bien un paramètre pertinent.

Nous pourrions nous demander si la pression ne devrait pas compter au nombre de ces paramètres. Ce n'est pas le cas. La pression est conditionné par la valeur de la vitesse et par celles des paramètres constants comme nous l'avons voyons dans le théorème de Bernoulli. Inutile donc de rajouter un terme redondant.

Sans chercher l'unique combinaison sans dimension des quatre premières, nous appliquons la démarche systèmatique. Nous voulons déterminer A, B, C, D, tels que:

  (316)

Comme:

  (317)

Il vient:

  (318)

Le système de dimensionnalité s'écrit:

  (319)

Ainsi:

  (320)

Dès lors:

  (321)

et curieusement nous retrouvons ici ce que nous avions vu dans notre développement de l'approximation de Boussinesq:

  (322)

Donc la force exercée par le fluide s'écrit:

  (323)

Dans la littérature nous trouvons la notation:

  (324)

C dépend de .

Les limites de la méthode analytique dimensionnelle (et même analytique tout court…) apparaît lorsque l'on confronte ce modèle à l'expérience (évidemment nous pourrions faire des modèles numériques de l'équation de Navier-Stokes-Reynolds pour l'ordinateur et ainsi l'honneur serait sauf):


  
(325)

Ce graphique correspond à l'écoulement autour d'un cylindre; la vitesse  étant perpendiculaire à l'axe du cylindre. Les régimes sont signalés en chiffres romains: stationnaire (I), périodique laminaire (II), turbulent avec superposition d'état périodique (III), turbulent (IV).

La courbe à deux caractéristique remarquables:

1. Elle a été obtenue en modifiant de manière indépendante les valeurs des quatre paramètres. Nous constatons que C ne dépend que du seul nombre sans dimension : c'est un succès de l'analyse dimensionnelle.

2. Il est vain d'espérer trouver une fonction analytique simple qui reproduise la courbe expérimentale. Il faut donc aller voir de plus près les divers régimes correspondants à cette courbe complexe.

La figure ci-dessous schématise l'écoulement d'un fluide visqueux autour d'un cylindre pour différentes valeurs du nombre de Reynolds:


  
(326)

Le régime correspondant à la figure (a) est dit "régimestationnaire". Nous pouvons parler d'un déplacement "quasi-statique" de la part du fluide où en chaque point l'accélération est négligeable. Nous devons donc nous attendre à ce que l'inertie du fluide n'intervienne pas dans l'expression de la force. Pour cela, il faut et il suffit que:

  (327)

C est indépendant de .

Nous avons donc:

  (328)

Le paramètre C' sans dimensions ne peut dépendre que de la géométrie de l'obstacle. Dans le cas où l'obstacle est sphérique (cas très important en physique avec L=R), C' a été déterminé expérimentalement comme valant  tel que:

  (329)

connue sous le nom de "loi de Stokes" ou "formule de Stokes". Attention.... cette loi ne s'applique bien que pour les petites vitesses et des petites sphères.

Dans le régime décrit par (b), deux tourbillons s'installent symétriquement derrière le cylindre. Quand  augmente au-delà de 40, nous distinguons l'allée de "tourbillons de von Kármán".

pression hydrostatique

Nous avons précédemment démontré sans mal que:

  (330)

Si la vitesse du fluide est nulle:

  (331)

Ce qui donne sous forme différentielle:

  (332)

Si nous mesurons la pression du liquide à partir de sa face supérieur :

  (333)

Si nous prenons  comme référence, nous pouvons poser que:

  (334)

d'où:

  (335)

Si nous nous trouvons dans le cas d'un récipient remplis d'un fluide en contacte avec l'atmosphère, pour calculer la pression dans ce fluide à un hauteur donné, il faudrait prendre en considération la pression atmosphérique qui "s'appuie" également sur le fluide. Ainsi la "pression hydrostatique" est données par:

  (336)

Conséquence: dans un liquide au repos, homogène, les équipotentielles gravifiques sont confondues avec les surface isobares. Sans quoi, il y aurait mouvement transversal.

POUSSÉE D'ARCHIMÈDE

La poussée d'Archimède, phénomène mondialement connu, est souvent rebelle à l'intuition première. Au fait, nous avons trop tendance dans les écoles à poser la poussée d'Archimède comme un "principe" et ce à tort puisque une simple analyse mathématique suffit à la démontrer (nous laisserons de côté l'analyse de l'énergie mise en jeu dans la cohésion moléculaire de l'élément analysé..).

Si l'on isole une portion  arbitraire d'un fluide en équilibre statique, les conditions de cet équilibre s'écrivent nécessairement (sinon quoi le volume "explose" ou se dissocie) :

  (337)

 désigne le poids ( en première approximation…) de  alors que le terme  décrit la résultante des forces de pression exercées sur la surface de : chaque élément de surface dS subit une force:

  (338)

p est la pression qui s'exerce localement sur dS. Quant à , il s'agit d'un vecteur unité dirigé normalement (à la perpendiculaire) à dS et vers l'intérieur de . La résultant de toutes ces forces se note historiquement de la façon suivante:

  (339)

qui exprime donc, comme vous le devinez, la fameuse "poussée d'Archimède" que le reste du fluide exerce sur l'élément. L'intégrale porte sur toute la surface (cette surface est fermée, d'où l'intégrale cruviligne correspondante) de l'élément .

La condition d'équilibre montre que . Nous comprenons que  soit dirigé vers le haut: sous l'effet du champ gravitationnel, augmente avec la profondeur.

Si l'on remplace le fluide contenu dans le volume par un objet fluide ou solide quelconque mais qui occupe le même volume, la poussée d'Archimède n'est pas modifiée. A cause de la relation  nous avons coutume de dire qu'elle est équivalent eau poids du fluide déplacé.

Dans le cas où la direction et l'intensité dans le temps de  est uniforme et constant  nous pouvons écrire:

  (340)

et nous retrouvons la relation de la "loi d'Archimède" bien connue de tous les écoliers:

  (341)

Il existe un autre possibilité pour arriver à cette démonstration qui demande moins d'outils mathématiques et qui est plus abordable. Elle consiste en la suivante: considérons un cylindre de volume V plongé dans un liquide à la vertical. Les composant horizontales des forces de pression s'annulent mais la composante verticale au somment du cylindre  (proche de la surface) est inférieur en intensité (sauf cause extérieure) à celle se trouvant à sa base  . Nous pouvons donc écrire:

  (342)

C'est un peu plus simple et ça tient en une ligne…


Asian





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