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  Srivanasa Ramanujun
 
Srivanasa Ramanujan
Le génie indien des mathématiques
Srivanasa Ramanujan est le mathématicien indien le plus célèbre. Etoile filante dans le monde des mathématiques, et dans le monde tout court, il a pourtant produit un grand nombre de contributions concernant la théorie des nombres, les fonctions elliptiques, les fractions continues et les séries infinies.

Né en 1887 à Erode, un petit village situé 400 km au sud de Madras, dans une famille pauvre de la caste des Brahmanes, rien ne semblait le prédestiner à devenir un grand mathématicien. Il passe son enfance dans la ville de Kumbakonam, où son père exerce le métier de comptable chez un drapier. A partir de l'âge de cinq ans, il fréquente différentes écoles primaires avant de pouvoir intégrer la " Town High School " de Kumbakonam en janvier 1898. C'est un bon élève dans toutes les matières, mais son don pour les mathématiques se révèle très tôt et lui permet d'obtenir une bourse de son école. A l'âge où les enfants commencent à peine à savoir lire, il connaissait déjà par coeur un grand nombre de décimales de .

En 1900, il commence de développer ses " propres mathématiques " en se basant sur son premier livre de mathématiques, " La Trigonométrie plane " de S. Looney, qui se consacre entre autres aux sommes et produits de séries. Ces notions auront par la suite une place importante dans son travail. Il définit une méthode pour résoudre les équations du 3ème degré, puis du 4ème, puis il tente aussi de résoudre celles du 5ème degré, ignorant qu'elles ne peuvent être résolues par les radicaux. On est alors en 1902 et c'est à cette époque que Ramanujan se procure le second (et dernier !) livre dans lequel il puisera ses connaissances mathématiques de bases, " Synopsis of elementary results in pure mathematics ", compilation d'environ 6000 théorèmes et autres formules par G.S. Carr. Ce livre étant essentiellement un livre de résultats, la plupart sans démonstrations, influencera le style futur de Ramanujan, qui n'a laissé que très peu de preuves de ses propres résultats.

A 17 ans, sa démarche est déjà celle d'un chercheur en mathématiques, puisqu'il développe des thèmes comme l'étude de la série de terme général 1/n ou des nombres de Bernoulli. Comme ses résultats scolaires sont bons, il reçoit une bourse lui permettant d'entrer au " Government College " de Kumbakonam en 1904. Cependant, il consacre trop de temps à ses recherches en mathématiques et néglige les autres matières, ce qui lui vaut la suppression de cette bourse l'année suivante. Sans argent, il part, à l'insu de ses parents, pour la ville de Vizagapatnam où il poursuit ses travaux sur les séries hypergéométriques et les relations entre intégrales et séries. Plus tard, il apprendra qu'il étudiait à cette période les fonctions elliptiques. En 1906, il retourne à nouveau au lycée, à Madras cette fois-ci, avec l'idée de passer un examen lui permettant d'entrer à l'université. Il assiste quelques mois aux cours puis tombe malade. Au cours de l'examen, il réussit seulement en maths et échoue partout ailleurs, ce qui lui interdit l'entrée à l'université de Madras.

Dans les années qui suivent, il continue alors de développer seul ses idées, sans aucune aide extérieure et sans connaissance des thèmes de recherche possibles, en dehors de ceux découlant des notions abordées dans le livre de Carr. Ramanujan étudie ainsi les fractions continues et les séries divergentes en 1908. Il tombe alors de nouveau très malade et doit subir, en Avril 1909, une opération dont il aura du mal à se remettre. Il se marie le 14 Juillet 1909 avec une " fillette " de 9 ans, avec laquelle il ne s'installera en ménage que trois ans plus tard. Il commence alors de poser et de résoudre des problèmes mathématiques dans le journal de la Société Indienne de Mathématiques (SIM). En 1910, il développe des relations sur les équations modulaires elliptiques. Un an plus tard, la publication d'un article brillant sur les nombres de Bernoulli dans ce même journal lui vaut la reconnaissance de son travail par ses pairs. Malgré qu'il ne possède aucun diplôme universitaire, il acquiert la réputation de génie des mathématiques dans la région de Madras. La même année, il rencontre le fondateur de la SIM, qui lui permet d'obtenir un emploi temporaire chez un comptable de Madras et lui conseille de contacter Ramachandra Rao, un mécène membre de la SIM. Ce dernier écrit [1]:

" Une silhouette grossière, corpulente, le visage mal rasé, pas très propre, avec un regard brillant très frappant, s'avança avec un cahier usé jusqu'à la corne sous le bras. Il était extrêmement pauvre…Il ouvrit son cahier et commença d'expliquer quelques unes de ses découvertes. Je vis presque immédiatement qu'il y avait quelque chose d'extraordinaire mais mes connaissances ne me permirent pas de juger s'il avait raison ou pas…Je lui demandai ce qu'il désirait. Il dit qu'il voulait un petit revenu pour vivre afin de pouvoir poursuivre ses recherches. "

Rao lui dit de retourner à Madras et essaie, sans succès, de lui obtenir une bourse d'études. En 1912, Ramanujan postule pour un emploi aux comptes du port de Madras. Comme il est bien connu du milieu des mathématiciens de Madras, il inclut à sa demande une lettre de recommandation de E.W. Middlewast, un professeur de mathématiques du " Presidency College " de Madras, diplômé de Cambridge. Celui-ci écrit [2]:

" Je recommande fortement le candidat. C'est un jeune homme qui a des capacités tout à fait exceptionnelles en mathématiques et plus spécialement dans le domaine des nombres. Il a une aptitude naturelle au calcul pour lequel il est très rapide. "

Grâce à cette lettre, Ramanujan obtient le poste et commence son travail le 1 Mars 1912. Il a alors la chance d'être entouré de personnes ayant une formation en mathématiques et qui s'intéressent à son travail. Le chef comptable du port de Madras est un mathématicien qui publie un article sur le travail de Ramanujan en 1913, " On the distribution of primes ". D'autre part, un professeur du " Madras Engineering College ", C.L.T. Griffith, est intéressé par les capacités de Ramanujan. Ayant lui-même fait ses études à Londres, il écrit à M.J.M. Hill, un de ses professeurs de mathématiques, à qui il envoie une copie de l'article sur les nombres de Bernoulli, ainsi que quelques résultats de Ramanujan.

Hill répond alors de façon assez encourageante mais montre qu'il n'a pas tout compris aux résultats sur les séries divergentes. De plus, il lui donne un conseil, celui de lire " Theory of infinite series " de Bromwich. Ceci déplaît à Ramanujan, qui s'adresse alors à Hobson et Baker, deux autres mathématiciens anglais. Ils ne prennent même pas la peine de lui répondre. En Janvier 1913, Ramanujan écrit à Hardy, car il a pu voir une copie de son livre " Orders of infinity ". Dans sa lettre, il se présente de cette façon [3] :

" Je n'ai pas de formation universitaire mais j'ai eu une scolarité normale. Après avoir quitté l'école, j'ai employé mon temps libre à faire des mathématiques. Je n'ai pas suivi le parcours usuel que l'on peut suivre à l'université mais je m'invente une nouvelle voie. J'ai fait des recherches spécifiques sur les séries divergentes en général et les résultats que j'ai obtenus sont qualifiés par les mathématiciens locaux de " surprenants " ."

 

Hardy, accompagné de Littlewood, étudie alors la longue liste de théorèmes non-démontrés que Ramanujan a joint à sa lettre. Il lui répond le 8 Février. Sa lettre commence ainsi [2]:

" J'ai été extrêmement intéressé par votre lettre et par les théorèmes que vous énoncez. Vous comprendrez cependant que, avant que je puisse juger convenablement de la valeur de ce que vous avez fait, il est essentiel que je puisse voir les preuves de certaines de vos affirmations. Il me semble que l'on peut classer vos résultats en trois catégories :
(1) il y a un certain nombre de résultats qui sont déjà connus, ou aisément déductibles de théorèmes connus;
(2) il y a des résultats qui, autant que je le sache, sont nouveaux et intéressants, mais intéressants plus par leur étrangeté et par leur apparente difficulté que par leur importance ;
(3) il y a des résultats qui semblent nouveaux et importants…
"

Ramanujan est enchanté de la réponse d'Hardy et lui écrit de nouveau [4] :

" J'ai trouvé en vous un ami qui voit mon travail avec compréhension…Je suis déjà un homme à moitié mort de faim. Pour préserver mon cerveau, je veux de la nourriture et c'est mon désir prioritaire. Toute lettre d'encouragement de votre part me serait utile pour obtenir une bourse d'une université ou du gouvernement . "

L'Université de Madras alloue effectivement une bourse à Ramanujan en Mai 1913 et en 1914, Hardy le fait venir au " Trinity College ", à Cambridge. C'est le début d'une extraordinaire collaboration entre les deux hommes.

En principe, la religion de Ramanujan lui interdisait de voyager, mais E. H. Neville, un collègue de Hardy qui donnait alors des conférences en Inde, réussit à le convaincre de venir au Royaume-Uni. Ramanujan embarque donc le 17 Mars 1914 et à part le mal de mer, rien ne vient perturber sa croisière, qui se termine environ un mois plus tard. Il est accueilli à Londres par Neville, puis se rend à Cambridge où il habite quelque temps chez ce dernier, avant de se rendre au " Trinity College " le 30 Avril. Son régime strictement végétarien ne tarde pas à lui poser des problèmes de santé, d'autant plus que la guerre éclate bientôt en Europe et qu'il est difficile de se procurer certains aliments. Sa santé ne cessera de se fragiliser tout au long de son séjour en Angleterre. Néammoins, la collaboration entre Ramanujan et Hardy se révèle très vite fructueuse, même si l'absence de véritable formation du mathématicien indien n'est pas sans poser problèmes. Hardy écrit [5] :

" Comment s'y prendre pour lui enseigner les mathématiques modernes ? Les limites de ses connaissances étaient aussi déroutantes que leur profondeur. "

Littlewood est alors chargé d'aider Ramanujan à apprendre des méthodes mathématiques rigoureuses. Cependant [6], " ..c'était extrêmement difficile car à chaque fois qu'une nouvelle notion, que l'on jugeait qu'il devait connaître, était abordée, la réaction de Ramanujan était une avalanche d'idées originales qui rendaient impossible à Littlewood de persister dans son intention première. "

Hardy à gauche et Littlewood à droite, les révélateurs de Ramanujan

Littlewood est bientôt obligé de partir à la guerre mais Hardy reste à Cambridge. Durant son premier hiver anglais, Ramanujan tombe malade car il supporte mal le climat. Il publie une partie de son travail réalisé en Angleterre, décidant de reporter la publication des résultats obtenus en Inde à la fin de la guerre. Le 16 Mars 1916, il obtient le titre de docteur de l'université de Cambridge, malgré qu'il ne possède pas les diplômes requis pour préparer une thèse. Son travail s'intitule " Highly composite numbers " et se compose de sept de ses articles publiés en Angleterre. Le 18 Février 1918, Ramanujan est élu membre de la " Cambridge Philosophical Society ". Trois jours plus tard, probablement le plus grand honneur de toute sa carrière, son nom apparaît sur la liste des élections des membres de la " Royal Society of London ". Il a été proposé par une liste impressionnante de mathématiciens : Hardy, Mac Mahon, Grace, Larmor, Bromwich, Hobson, Baker, Littlewood, Nicholson, Young, Whittaker, Forsyth et Whitehead. Son élection a effectivement lieu le 2 Mai 1918 et il est également élu membre du " Trinity College " pour 6 ans le 19 Octobre 1918.

Tous ces honneurs semblent redonner un peu de vigueur à la santé de Ramanujan, qui redouble d'efforts pour produire des résultats. Fin Novembre, alors qu'il semble en très bonne voie de guérison. Hardy écrit dans une lettre [2] :

" Je pense que nous pouvons maintenant espérer qu'il a passé un cap difficile et qu'il est sur la voie de la guérison. Sa température a cessé d'être irrégulière et il a repris du poids…Il n'y a jamais eu de signe de diminution de ses extraordinaires talents mathématiques. Il a naturellement moins produit pendant sa maladie mais la qualité est restée la même… Il retournera en Inde avec une situation et une réputation scientifique telles qu'aucun Indien n'en a connues auparavant, et je suis la certitude que l'Inde saura l'apprécier comme le trésor qu'il est. Sa simplicité naturelle et sa modestie n'ont jamais été affectées par son succès, bien que tout tende à le faire prendre conscience qu'il est vraiment un succès lui-même. "

Ramanujan repart pour l'Inde le 27 Février 1919, et arrive le 13 Mars. Cependant, son état de santé déjà très mauvais ne cesse de se dégrader. Il meurt l'année suivante, le 22 Avril 1920, à l'âge de 32 ans, probablement à cause de graves carences alimentaires.

Les lettres qu'il avait écrit à Hardy en 1913 contenaient de nombreux résultats fascinants, concernant les séries de Riemann, les intégrales elliptiques, les séries hypergéométriques et les équations de la fonction zeta. Il avait cependant seulement une vague idée de ce qu'était une preuve mathématique et certains de ses théorèmes sur les nombres premiers étaient faux. Il avait redécouvert de manière indépendante les résultats de Gauss, Kummer et d'autres sur les séries hypergéométriques. Ses propres travaux sur les produits et les sommes partielles de ces séries ont conduit à des développements importants dans ce domaine. Son travail le plus célèbre concerne le nombre p(n) de partitions d'un entier n. Mac Mahon avait produit des tables des valeurs de p(n) pour des petits n et Ramanujan se basa sur ces données numériques pour conjecturer des propriétés remarquables qu'il prouva en utilisant les fonctions elliptiques.
D'autres propriétés furent prouvés seulement après sa mort. Dans un papier publié avec Hardy, il donne une formule asymptotique pour p(n). Elle donne en fait la valeur exacte de p(n), ce qui fut démontré plus tard par Rademacher.

Ramanujan a laissé derrière lui un grand nombre de cahiers non-publiés (les fameux " carnets de Ramanujan "), remplis de théorèmes que les mathématiciens ont continué, et continuent, d'étudier. G.N. Watson, par exemple, professeur à Birmingham de 1918 à 1951, publia 14 articles regroupé sous le titre général " Theorems stated by Ramanujan " et publia en tout environ 30 articles insprirés du travail de Ramanujan. Le décryptage de ses carnets par Bruce Berndt, de l'Université de l'Illinois, a duré jusqu'à très récemment. Aujourd'hui, ses travaux ont des applications dans les codes de calculs des décimales de , ainsi qu'en physique théorique.

Le legs de Ramanujan aux mathématiques est sans doute un des plus importants et des plus difficiles. Il est d'autant plus admirable si l'on repense quelques instants au contexte dans lequel Ramanujan a grandi, l'Inde au début du siècle dernier, ainsi qu'à ses éternels problèmes de santé qui ne l'ont pas empêché de s'investir totalement dans la recherche mathématique. Sa vie trop tôt écourtée et les énigmes qu'il a laissé aux génération futures nous évoquent un autre mathématicien exceptionnel, Galois, dont nous parlerons peut être un jour dans ces pages.

Références :

[1] R Ramachandra Rao, In memoriam S Ramanujan, B.A., F.R.S., J. Indian Math. Soc. 12 (1920), 87-90.
[2] B C Berndt and R A Rankin, Ramanujan : Letters and commentary (Providence, Rhode Island, 1995).
[3] P K Srinivasan, Ramanujan : Am inspiration 2 Vols. (Madras, 1968).
[4] S Ramanujan, Collected Papers (Cambridge, 1927).
[5] Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
[6] E Shils, Reflections on tradition, centre and periphery and the universal validity of science : the significance of the life of S Ramanujan, Minerva 29 (1991), 393-419.

Et puis, à lire également, et en français, l'article de Jonathan et Peter Borwein dans le Pour la Science sur les Mathématiciens, maintenant édité en livre aux Editions Belin, qui s'attarde plus sur le côté calcul de que sur la biographie de Ramanujan.






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