L'encyclopédie des Sciences
  2nd
 

Les ensembles mathématiques

Définitions

* N contient les nombres 0, 1, 2, 3 ...
C'est l'ensemble des entiers naturels.

* Z contient les nombres précédents ainsi que -1, -2, -3, ...
C'est l'ensemble des entiers relatifs.

* D contient les nombres précédents ainsi que les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme
par exemple : 48,9 ; 54,698 ...
C'est l'ensemble des nombres décimaux.

* Q contient les nombres précédents ainsi que toutes les fractions (3/2, 10/3, 562/2158 ...)
C'est l'ensemble des rationnels.

* R contient les nombres précédents ainsi que pi, racine2 ...
C'est l'ensemble des nombres réels.

* C contient les nombres précédents ainsi que les nombres imaginaires (ex : i tel que i² = -1)
C'est l'ensemble des nombres complexes. (étudié en Tale)
avec a un entier relatif et n un entier naturel.

Illustration :


Nous avons donc les inclusions suivantes : NinclusZinclusDinclusQinclusR

Valeurs absolues - Encadrements

I. définition et propriétés

Définition :

Soit x un réel, on appelle valeur absolue de x notée |x| le nombre positif défini par :
    * |x| = x si x supegal 0
    * |x| = -x si x infegal 0

Propriétés :

    *|-x|=|x|
    * racine (x²) = |x|
    * |xy| = |x| × |y|
    * |x/y| = |x|/|y| si y different 0

Inégalité du Triangle :

|x + y| infegal |x| + |y|

Propriétés :

Soit a > 0 et x réel, alors :
    * |x| = a equivaut x = a ou x = -a
    * |x| infegal a equivaut S = [-a; a]
    * |x| > a equivaut S =

II. Encadrements

Définition :

Réaliser l'encadrement d'un nombre x quelconque, c'est trouver deux nombres a et b tels que a infegal x infegal b.
L'amplitude de l'encadrement est c = b - a

Valeur Approchée :

Soient a et x deux nombres et e > 0. Alors a est une valeur approchée de x (ou approximation) à e près (ou à la précision e près) quand |x - a| infegal e

Définition :

Soient a et x deux réels et e > 0,
    * a est une valeur approchée de x à e près par défaut si a infegal x infegal a + e
    * a est une valeur approchée de x à e près par excès si a - e infegal x infegal a

Propriétés :


    * Soit x tel que a infegal x infegal b, une valeur approchée de x est c = (a + b)/2. La précision est e = (b - a)/2 et c est une valeur approchée de x à e près soit : |x - c| infegal e.
    * Si x tel que a infegal x infegal b et que c infegal a infegal b infegal d alors on a : c infegal a infegal x infegal b infegal d
    * Si x tel que a infegal x infegal b, un majorant de |x| est le plus grand nombre en valeur absolue |a| ou |b|.

III. Rappels sur les distances

Définition :

La distance entre deux points A(xA) et B (xB) se calcule par :
d(A,B) = |xB - xA| (ou (|xA - xB|).

Propriétés :

On a les équivalences suivantes :

    * d(x, a) infegal r
    * |x - a| infegal r
    * a - r infegal x infegal a + r
    * x appartient [a - r; a + r]


Fonctions Carré et Inverse

I. Rappels


Propriétés du carré d'un nombre réel :
    * Le carré d'un nombre réel est positif ou nul, c'est-à-dire : quel que soit le nombre réel x, x²supegal0.
    * Deux nombres réels opposés ont même carré, c'est-à-dire : quel que soit le nombre réel x, (-x)² = x².
Produits remarquables : Quels que soient les nombres réels a et b,
    * (a + b)² = a² + 2ab + b²
    * (a - b)² = a² - 2ab + b²
    * (a - b)(a + b) = a² - b²

 

II. Fonction carré


Définition : La fonction carré f est définie sur R par : f(x) = x².

Propriété : La fonction carré est décroissante sur ]-infini; 0] et croissante sur [0 ; +infini[.
La fonction carré présente un minimum égal à 0 en 0.
Son tableau de variations est le suivant :

La courbe représentative de la fonction carrée est la suivante :

Définition : Dans un plan muni d'un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonction carré est une courbe appelée parabole.
L'origine du repère est le sommet de cette parabole.
Propriété : La représentation graphique de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

 

III. Fonction inverse


Définition : La fonction inverse f est définie pour tout nombre réel différent de 0 par : f(x) = .
La fonction inverse est définie sur R{0} ou sur R*.
Propriété : La fonction inverse est décroissante sur ]-infini; 0[ et décroissante sur ]0 ; +infini[.
Son tableau de variations est le suivant :

Dans le tableau de variations, la double-barre sous 0 indique que la fonction n'est pas définie en 0.
La courbe représentative de la fonction inverse est la suivante :

Propriété : Dans un plan muni d'un repère orthonormal, la représentation graphique de la fonction inverse est une courbe appelée hyperbole.
La représentation graphique de la fonction inverse est symétrique par rapport à l'origine du repère.


Les Fonctions

I. Notion de fonction

D est un intervalle ou une réunion d'intervalles de R. Fabriquer, ou définir une fonction f de D dans R, c'est associer à chaque réel x de D un réel et un seul, noté f(x).
On dit que D est l'ensemble de définition de f, ou encore que f est définie sur D. Le réel f(x) s'appelle l'image de x par f.
Exemples :
      * la fonction f définie sur R par f(x)= 2 associe à tout réel x le réel 2. Tous les réels ont la même image. On dit alors que f est une fonction constante.
      * par la fonction f définie sur R par f(x)= x, chaque réel a pour image lui-même. On dit que f est la fonction identité de R.
      * les fonctions f définies sur R par f(x) = ax + b sont des fonctions affines. Par exemple la fonction f définie sur R par f(x) = 2x + 3.

Notez qu'une fonction constante est une fonction affine (cas où a = 0). La fonction définie sur R par f(x) = x est aussi une fonction affine (cas où a = 1; b = 0).

II. Les problèmes de notation

f est une fonction de D dans R; on peut la désigner par l'écriture suivante :
f :   D fleche R
       x fleche2 f(x)

Exemple : f :   R fleche R
                        x fleche2

Signification de cette notation : f est la fonction définie sur R qui à tout réel associe son carré.

III. Les problèmes de l'ensemble de définition

Illustrons sur deux exemples comment on peut trouver l'ensemble de définition D de certaines fonctions f.
Exemples :
a) Il y a un dénominateur dans l'écriture de f(x).
     f(x) =
x étant un réel, l'écriture ne désigne un réel que si: 2x + 5 different 0, soit x different .
Donc: D = R- .
b) Il y a une racine carrée dans l'écriture de f(x).
     f(x) =
x étant un réel, l'écriture ne désigne un réel que si : x - 1 supegal 0, soit x supegal 1.
Donc: D = .

Parité de fonctions

I. Fonctions paires

Soit une fonction f définie sur Df. On dit que f est paire si :
Df est symétrique par rapport à 0;
pour tout xappartientDf, f(-x) = f(x)

Exemples :
* La fonction cosinus est paire [pour tout x réel, cos(-x) = cos x].
* La fonction carrée est paire [pour tout x réel, (-x)² = x²].

Interprétation graphique :

Le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

II. Fonctions impaires

Soit une fonction f définie sur Df. On dit que f est impaire si :
Df est symétriue par rapport à 0;
pour tout xappartientDf, f(-x) = -f(x)

Exemples :


* La fonction sinus est impaire [pour tout x réel, sin(-x) = -sin x].
* La fonction inverse est impaire [pour tout x réel non nul, 1/(-x) = -(1/x)]

Interprétation graphique :

Le graphe d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

III. Fonctions ni paires, ni impaires

Une fonction f peut être ni paire ni impaire.

Exemple :
La fonction f(x) = 1/(x + 3) n'est ni paire ni impaire.


Sens de variation d'une fonction

I. Rappels et vocabulaire

Soit une fonction f définie sur l'intervalle de définition Df.

Prenons un point a quelconque de Df. On dit que :
   * f(a) est l'image de a par la fonction f.
   * a est un antécédent de f(a) par la fonction f.

Chaque point de l'intervalle de définition a une et une seule image, tandis qu'un point de l'ensemble image peut avoir aucun, un ou plusieurs antécédent(s).

II. Sens de variation


quelquesoita,b appartient I,a < b alors f(a) - f(b) infegal 0

Une fonction est dite croissante sur un intervalle I si :
Pour tout a et b appartenant à I, avec a < b on a f(a) infegal f(b).
Cela revient donc à voir si f(b) - f(a) supegal 0.

Une fonction sera dite décroissante sur I si :
Pour tout a et b appartenant à I, avec a < b on a f(a) supegal f(b).
Cela revient donc à voir si f(b) - f(a) infegal 0.

Remarque : en remplacant les signes infegal et supegal par des inégalités strictes, on obtient les définitions de fonctions strictement croissantes ou décroissantes ( = pas de palier ).


Les Vecteurs

I.Vecteurs coplanaires


soit vectu, vectv, vectw 3 vecteurs et A un point de l'espace.
Les points B,C,D sont tels que AB=vectu, AC=vectv, AD=vectw.
Les vecteurs vectu,vectv,vectw sont dits coplanaires si les points A,B,C,D sont coplanaires.

Trois vecteurs vectu,vectv,vectw de l'espace sont coplanaires, si et seulement si, il existe un couple (a,b) de nombres réels tel que :
· soit vectu=avectv+bvectw
· soit vectv=avectu+bvectw
· soit vectw=avectu+bvectv

II. Base de l'espace


On appelle base de l'espace tout triplet (vecti,vectj,vectk) de vecteurs non coplanaires

III. Repère cartésien de l'espace


Tout quadruplet (O,vecti,vectj,vectk), où O est un point de l'espace et (vecti,vectj,vectk) une base, est un repère de l'espace.
1°) Coordonnées d'un point
x = abscisse, y = ordonnée, z = côte
2°) Coordonnées d'un vecteur AB
AB a pour coordonnées
3°) Coordonnées du milieu I d'un segment [AB]
I a pour coordonnées

IV. Distance de deux points


La distance des points A et B est le nombre réel positif :

V. Condition d'orthogonalité de deux vecteurs


Les vecteurs (X,Y,Z) et (X',Y',Z') sont orthogonaux si et seulement si :









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