FONCTIONS LOGARITHMES

ET EXPONENTIELLES

I Situation

L’entreprise Lartronic S.A conçoit et commercialise des filtres passifs électroniques (Passe-bas , passe-haut et passe-bande). Ils se présente sous forme de circuits intégrés pouvant contenir de 2 à 4 filtres. Hormis leur catalogue, le client peut demander du "sur mesure" en donnant ses fréquences de coupure.

Il est donc nécessaire pour la conception de maîtriser les fonctions logarithmiques.

Illustration 1 : Filtre passe-bande

Illustration 2 : Modélisation d’un filtre

Illustration 3 : Expression du gain

********************************************

De plus, nous avons vu dans le chapitre sur les complexes, que la notation exponentielle était la plus usité. Nous verrons ultérieurement que dans les mathématiques du traitement du signal elles seront encore présentes (Transformées de Laplace, transformées de Fourier).

II Fonction logarithme népérien

1. Définition

On appelle logarithme népérien, noté ln ou Log, la primitive de la fonction pour x>0 et s’annulant pour x = 1.



Remarque épistémologique: Les deux fonctions logarithmes les plus utilisées sont celles à base e = 2,71828…. et à base 10 . On les appelait respectivement autrefois le grand log (Log)et le petit log (log). Aujourd’hui, logarithme népérien (ln) et logarithme à base 10 (log)

 

2. Propriétés

2-a) Propriété fondamentale



Démonstration :

Considérons la fonction ln (a.x)

Sa dérivée est .

Si on intègre cette égalité on obtient ln(a.x) = lnx + C

En posant x = 1 , et à l’aide de la définition on obtient que lna = C

Et en posant enfin x = b

 

2-b) Conséquences











 

3. Etude la fonction y = lnx
• Par construction, la fonction logarithme népérien est définie, continue et dérivable sur
• Sens de variation strictement croissante
• Branches infinies

* En l’infini

et x>1 est toujours comprise entre 2 puissances successives de a :





comme alors donc

Recherchons maintenant



D’après le graphique, il est évident que lnx est inférieur au rectangle (1,x,B,A)

Démonstration :















L’axe Ox est donc Branche Parabolique de Direction Asymptotique .

 

Plus généralement, on retiendra avec

 

* En zéro

Dans la recherche de , posons ce qui nous permet

d’écrire :



La courbe possède donc une asymptote verticale en x = 0.

• Le tableau de variations donne donc :



 

On remarque que pour x = 1 , y = 0 , y’(1) = 1

Pour x= e » 2.71828 , y = 1

 

La dérivée seconde nous donne une concavité toujours tournée vers les y négatifs.



---

4. A propos de la dérivée et de la primitive

4-a) On remarque que la fonction g(x) = ln(1 + x) est dérivable en zéro, son calcul

nous donne

.

 

Ce qui nous permet d’écrire l’infiniment petit :

4-b) Calculons la dérivée de y = ln|x|

si x>0 Þ y = lnx Þ y’=

si x<0 Þ y = ln(–x) Þ y’ =

alors on retiendra ou encore où u(x) est une fonction de x.

III Fonction logarithme de base a

1. Définition

On appelle logarithme de base a, notée , la fonction définie par



Regardons la variation de cette courbe en calculant la dérivée

Donc si

Et si

On peut aussi remarquer

D’ou les courbes

 



 

2. Changement de base

Il est très utile de passer d’un logarithme à une base a donnée à un logarithme d’une autre base b par exemple. Le cas le plus connu pour les scientifiques étant le passage du logarithme népérien au logarithme de base 10 ( noté maintenant log x) dont la réciproque, que nous définirons après, est utilisée dans tous les domaines de la physique et de la chimie.

Soit donc b une nouvelle base.

 

D’où la formule du changement de base

Cas particulier à retenir : a = e et b = 10

D’où et inversement

 

IV Fonction exponentielle

1. Définitions

Les fonctions sont continues et monotones pour x>0. Elles réalisent de ce fait une bijection de R^*+ sur R et sont donc inversibles. Leurs fonctions réciproques sont appelées exponentielles de base a et notée exp_a et sont définies

par ou

Ces fonctions sont continues et monotones pour tout x et établissent une bijection de R sur R^*+ avec

Les points particuliers sont définis par :





On notera les deux fonctions exponentielles essentielles

et

2. Propriétés

2-a) Relation fondamentale

entraîne

ou

2-b) limites comparées

Nous avons vu précédemment que " Puissance l’emporte sur logarithme ", on retiendra de la même façon que " exponentielle l’emporte sur puissance "

 

avec

 

V Fonctions exponentielles généralisées

Ce sont des fonctions dont la présentation est de la même forme qu’une exponentielle ou une fonction puissance, mais où u(x) et v(x) sont des fonctions de x.

Il est cependant impossible d’étudier ces fonctions telles qu’elles se présentent. Il faut revenir à une notation exponentielle classique.

On retiendra cette dernière expression.

VI Echelle logarithmique

Lorsqu’on étudie un phénomène représenté par une fonction f(x) sur une gamme étendue de valeurs de x, l’échelle linéaire pour les abscisses est mal adaptée. On lui préfère une échelle logarithmique, en général de base 10. Elle permet de " dilatée " les faibles et les fortes valeurs.

En appelant a la distance entre les extrémité d’une décade (dizaine), on place x sur l’échelle logarithmique à l’aide de son représentant a .log x . Ce qui nous donne :

 

 

 

Puissances d'un réel strictement positif

I. Puissance d'un réel strictement positif

Pour tout x > 0 et pour tout on a :
Démonstration :

II-La fonction racine enieme

Démonstration :
Etudions sur la fonction f : x xⁿ
f'(x) = n × x^n-1
Sur l'intervalle considéré, , on a f'(x) > 0,
donc f est strictement croissante sur et elle est de plus continue sur cet intervalle.
D'autre part on a :
f(0) = 0ⁿ et
L'intervalle image est donc (identique à l'intervalle de définition).
Sur la fonction est donc dérivable, continue et strictement croissante : pour tout il existe une unique valeur de x telle que xⁿ = a

Remarque :
1. Pour tout x appartenant à , xⁿ = 0 admet une unique solution :
2. xⁿ = a avec a > 0 et x > 0


Propriétés :
Si a > 0, alors
Si a = 0, alors
Donc, pour tout Etude de la fonction :
Sur
Ici le problème mis en évidence vient de l'écriture logarithmique : on ne peut l'utiliser que si x > 0, donc

Dérivée :

Sur

Donc f'(x) est strictement positive sur et f est strictement croissante sur cet intervalle.

Limite :
En 0⁺ :


En


Continuité en 0 :
On a :
Donc f_n est continue en 0.

Dérivabilité en 0 :




La fonction n'est pas dérivable en 0 et la courbe admet une demi-tangente verticale en ce point.

On a donc :

Théorèmes de croissance comparée

La comparaison des croissances respectives des fonctions e^x, xⁿ et ln x peuvent permettre de lever certaines indéterminations se présentant lors du calcul des limites de fonctions.

Nous avons (pour n^*) :

Exemple d'application 1

Calculer
Nous allons nous ramener à une formule du cours :

Appliquons les théorèmes de croissance comparée :
et
donc
Conclusion :
Nous avons donc

Exemple d'application 2

Démontrer que
Nous pouvons nous ramener à une formule du cours, afin d'appliquer les théorèmes de croissance comparée.
Pour cela, mettons en facteur le terme dominant :

Nous savons que .
Et que d'où
Conclusion :
.
On a bien :

Exemple d'application 3

Déterminer
donc
Posons . Ce changement de variable nous permet d'utiliser le fait que :
pour déduire que :

Méthode sur les équations différentielles

Résolution avec second membre

position du probléme

L'énoncé introduit une équation différentielle avec second membre ( par exemple ) et pose des questions destinées à la résoudre.
Ces questions sont pratiquement toujours les mêmes, mais n'ont pas forcément le même ordre que celui donné dans le principe suivant.

Principe :

Pour résoudre l'équation avec second membre (E) on demande de :
a) Résoudre l'équation sans second membre(E')
b) Montrer qu'une fonction g est solution de (E)
c) Montrer que f est solution de (E) si et seulement si (f-g) est solution de (E')
d) En déduire les solutions de (E)

Exercice concret

Résolution de (E)
a) résoudre y'+2y=0 (E')
b) Déterminez a et b de façon à ce que g définie sur par soit solution de (E)
c) Montrez que f est solution de (E) si et seulement si (f-g) est solution de (E ')
d) Déduisez-en les solution s de (E)



a) On applique la propriété du cour , on trouve que les solutions de (E ') sont les fonctions

b) Le principe de ce genre de question est de remplacer y par g et d'identifier alors les constantes . allons-y :
g est dérivable sur et
on en déduit que
f sera donc solution de (E) si c'est-à-dire si a et b vérifient :

c'est-à-dire pour et
On a donc :

c) f-g est solution de (E') :


(on a car g est solution de l'équation avec second membre)
f solution de (E)

REMARQUE :
Retenez bien ces différentes phases car c'est toujours pareil. L'important étant de partir de (f-g) et de faire dérouler la démonstration.

d) f solution de (E)
solution de (E')
d'après a)
est définie par

Résolution d'équation différentielles du type y'' + w²y = 0

Exemple :
voir l'exercice 1 ci-dessous. Théorème 2 : Solution vérifiant des conditions initiales
L'équation différentielle , où est un réel donné, admet une solution unique f, définie sur , vérifiant les conditions initiales : et

Résolution d'une équation différentielle

I. Equations du type y' = ky

Soit k un nombre réel, résoudre l'équation différentielle : y' = ky
consiste à déterminer toutes les fonctions f dérivables sur telles que, pour tout nombre réel x, f'(x) = k f(x).

Les solutions de l'équation différentielle y' = ky sont les fonctions f définies sur par :
f(x) = C e^kx, où c.

Pour tout couple (x₀ ; y₀) ², l'équation y' = ky admet une solution f et une seule telle que f(x₀) = y₀.

Exemple : Trouver les solutions qu'admet l'équation différentielle y' + y ln 5 = 0 sur .
y' + y ln 5 = 0
y' = -y ln 5
y' = y ln 1/5
On reconnait que cette équation est de la forme y' = ky.
Ses solutions sont donc les fonctions f dérivables sur définies sur par :
f(x) = C e^{x ln 1/5}, où c.
f(x) = C (e^{ln 1/5})^x, où c.
f(x) = C (1/5)^x, où c.

II. Equations du type y' = ay + b

Soit a et b deux nombres réels, résoudre l'équation différentielle : y' = ay + b
consiste à déterminer toutes les fonctions f dérivables sur telles que, pour tout nombre réel x, f'(x) = a f(x) + b.

Les solutions de l'équation différentielle y' = ay + b, avec a0, sont les fonctions f définies sur par :
f(x) = C e^ax - b/a, où c.

Pour tout couple (x₀ ; y₀) ², l'équation y' = ay + b, avec a0, admet une solution f et une seule telle que f(x₀) = y₀.

Exemple : Soit l'équation différentielle 4y' - y = 6. Déterminer la solution de cette équation qui prend la valeur 4 en 0.
Cette équation peut s'écrire sous la forme y' = 1/4 y + 3/2.
Elle est de la forme y' = ay + b.
Ses solutions sont donc les fonctions :
f : x C e^ax - b/a.
Soit, dans notre cas :
f : x C e^{1/4 x} - 6, où C.

Nous pouvons maintenant déterminer la valeur de la constance C grâce à la condition initiale imposée : f(0) = 4.
On a donc : C - 6 = 4, soit C = 10
La fonction f cherchée est donc définie sur par :
f(x) = 10 e^{1/4 x} - 6.

Les nombres complexes

I. Présentation de

Remarque :
Dans , on définit :
      Le zéro : .
      L'unité : .
On a : .

Opposé et inverse d'un élément
      est l'opposé de .
      est l'inverse de .

Injection canonique de dans

• L'application est un morphisme injectif de corps.
• est isomorphe au sous-corps .
• On convient alors d'identifier un élément de à l'élément de . On écrira donc au lieu de . En particulier :
  • à la place de .
  • à la place de .
• D'après ce qui précède, on convient de dire que est inclus dans et on note : .

Il est important de noter que l'identification de avec n'a de sens que parce qu'il existe l'injection ", l'injection est sous-entendue, l'écriture correcte étant . On dit aussi de manière abusive que est une partie de et on note , là encore, l'injection est sous-entendue. Nous devrions écrire et dire " on identifie à une partie de via l'injection canonique ", mais par habitude (système international), on conserve toujours les notations normales (sans noter le à chaque fois).

Forme algébrique d'un nombre complexe
Soit un élément de . définie ci-dessus. Ainsi, lorsque l'on écrit "

• Nous adoptons la notation appelée forme algébrique plutôt que la notation , et nous parlerons de nombre complexe (ou du complexe ) plutôt du couple .
• Le réel est appelé partie réelle du complexe et il est noté .
• Le réel est appelé partie imaginaire du complexe et il est noté . On a alors : .
• Deux nombres complexes sont égaux s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : : les deux complexes et sont égaux ssi : et .
• Le complexe est dit imaginaire pur lorsque : .

II. Conjugué d'un nombre complexe

Remarques :
.
.

III. Module

IV. Argument d'un complexe

Introduction :
Soit un nombre complexe non nul, avec et réels. On a :

• .
• .

Ou encore, avec . Cela conduit naturellement à la définition suivante : Parmi ces réels (il y en a une infinité), un seul appartient à l'intervalle . On l'appelle l'argument principal. Si on le note , alors tout argument de vérifie :
avec .
Ce que l'on note : , et on dit alors que est équivalent (ou congru) à modulo .

Remarques :
Contrairement au module qui est défini pour n'importe quel nombre complexe (nul ou non nul), l'argumentnul n'est pas défini.
On retiendra les arguments suivants :
     

Forme trigonométrique d'un complexe :
D'après ce qui précède, on constate qu'on peut écrire tout complexe non nul d'argument sous la forme suivante appelée forme trigonométrique :
      du nombre complexe Remarque :
Pour se rappeler de ces trois dernières propriétés de "Arg", il suffit de remarquer qu'elles sont identiques à celles de "ln".

V. Notation exponentielle complexe

Notation :
Il est pratique d'utiliser pour tout la notation exponentielle complexe tel que :
     
Donc tout complexe non nul peut s'écrire sous la forme suivante : avec On peut aussi exprimer cette formule en notation exponentielle :

Remarque :
Ces formules précédentes permettent de linéariser des expressions trigonométriques.

VI. Représentation géométrique

Théorèmes - Définitions :
Soit le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct et soit l'ensemble des vecteurs du plan rapporté à le base .
L'application qui, au vecteur de coordonnées , associe le nombre complexe est une bijection de sur .
Un argument de est une mesure de l'angle de vecteurs , et est la norme du vecteur .
On dit que est l'affixe de et on note : .
L'application de dans qui, au point de coordonnées , associe le complexe est une bijection de sur .
Un argument de est une mesure de l'angle de vecteurs et (distance). On dit que et que est l'affixe de et on note .
Nombres complexes et transformation

• Translation 
  Soit b un nombre complexe fixé, f l'application qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = z + b. 
  est la translation de vecteur d'affixe b.
  
  Pour comprendre : on a z' - z qui l'affixe du vecteur
  et b qui est l'affixe d'un vecteur donc = ce qui correspond bien à la définition de M a pour image M' par la translation de vecteur
  
  
• Rotation de centre O
  Soit a un nombre réel fixé, f l'application qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que z' = z e^ia est la rotation de centre O l'origine du repère et d'angle a.
  
  Pour comprendre : on a z'/z = e^ia , donc |z'|/|z| = 1 donc OM' = OM
  de plus : Arg(z'/z) = ^a donc (; ' ) = ^a , ce qui correspond bien à la définition de la rotation de centre O.
  Exercice interactif
  
  
• Rotation de centre ()
  Soit a un nombre réel fixé, l'application f qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que z' - = (z - )e^ia.
  est la rotation de centre () et d'angle a .
  
  
  De façon plus générale, si a est un nombre complexe de module 1 et différent de 1 et b est un nombre complexe quelconque, l'application qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = az + b est une rotation de centre le point () tel que
  = a + b.
  
  
• Homothétie de centre O et de rapport k
  
  Soit k un réel non nul, et l'application f qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que z' = kz est l'homothétie de centre O et de rapport k.
  
  Pour comprendre : on a z' = kz or z' est l'affixe du vecteur et z' l'affixe du vecteur ' donc on a : ' = k , ce qui correspond bien à la définition d'homothétie de centre O.
  
  
• Homothétie de centre () et de rapport k
  
  Soit k un réel non nul, et un nombre complexe, l'application f qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' tel que
  z'- = k(z - ) est l'homothétie de centre () et de rapport k.
  
  Pour comprendre : on a z'- = k(z - ) or z'- est l'affixe du vecteur et z - l'affixe du vecteur ' donc on a :
  ' = k , ce qui correspond bien à la définition d'homothétie de centre .
  
  De façon plus générale, si a est un nombre réel différent de 1 et b est un nombre complexe quelconque, l'application qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = az + b est une homothétie de centre le point ()
  tel que = a + b.
  
  
• Similitude directe de centre () de rapport k et d'angle  a
  
  Soit k un réel positif, un nombre complexe et a un réel, l'application f qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z'
  tel que z'- = ke^ia (z - ) est la similitude directe
  de centre (), de rapport k et d'angle de mesure a.
  
  ( il suffit d'utiliser la composée d'une rotation et d'une homothétie de même centre )
  
  De façon plus générale, si a est un nombre complexe non nul l'application qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe
  z' = az + b est une similitude directe de centre le point () tel que
  = a + b de rapport |a| et d'angle  a = Arg(a).
  Exemples
• Symétrie orthogonale d'axe, l'axe des réels :
  L'application qui à tout point M du plan d'affixe z associe le point M' d'affixe
  z' = est la symétrie orthogonale d'axe l'axe des réels.
•  

Intégrale d'une fonction dérivable

Définition et propriété :  Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de , F une quelconque de ses primitives sur I, a et b deux nombres appartenant à I. On appelle intégrale de f entre a et b que l'on note  le nombre réel F(b) - F(a), indépendant du choix de la primitive F.

Exemple de calcul d'intégrale :

Intégration par parties

Dans certain cas il est difficile de calculer une intégrale, car on ne connait pas de primitive pour la fonction concernée, c'est dans ce cas que l'on utilise la méthode d'intégration par parties.
Cette méthode consiste à "transporter" le calcul d'une primitive sur une autre fonction.

Soient u et v deux fonctions 2 fois dérivables sur un intervalle I ( condition suffisante ) .
Pour tout couple (a ; b) d'éléments de I on a :


Démonstration :
La fonction uv est une primitive de la fonction
u'v + uv' ( qui est dérivable, donc admet une primitive ) on a donc :

d'où le résultat en utilisant la linéarité de l'intégrale.

Exemple : on veut calculer l'intégrale

on pose :

ce qui permet de calculer l'intégrale :

on dit que l'on a fait une intégration par partie pour calculer cette intégrale.

Propriétés de l'intégrale

Dans tout ce qui suit : f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I a, b, c trois nombres réels de I l un nombre réel quelconque

propriété de linéarité de l'intégrale

relation de Chasles :

Ordre des bornes :

Positivité de l'intégrale :  si a < b et pour tout réel x de [a ; b] f(x) 0 alors

Intégrale et ordre : si a < b et pour tout réel x de [a ; b] f(x) g(x) alors

Valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [a ; b] : Le nombre m défini par   est appelé valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [a ; b].

Intégrale et aire

L'aire du domaine délimité par : - les droites d'équation x = a , x = b -  la courbe représentative de la fonction f  positive      sur l'intervalle [a; b]. - l'axe des abscisses est le produit de l'unité d'aire par  l'intégrale : Comprendre sur quelques exemples pourquoi l'aire d'un tel domaine peut se calculer avec une intégrale.

L'aire du domaine délimité par : -  les droites d'équation x = a , x = b -  les courbes représentative des fonction f et g sur l'intervalle [a; b]. ( sachant que la courbe Cg est au dessus de la courbe Cf ) est le produit de l'unité d'aire par  l'intégrale :

Intégrale et volume ( activité.doc )

Volume d'un solide dont les bases sont parallèles

L'espace est rapporté à un repère orthogonal  (O; ;; ) .  On considère un solide limité par deux plans parallèles au plan ( O; ;) :  le plan de cote a d'équation z = a le plan de cote b d'équation z = b Si S(z) est l'aire de l'intersection du solide avec tout plan parallèle à ( O; ;) de cote z alors le volume de ce solide est (en unité de volume ) :

Volume d'un solide engendré par la rotation d'une partie de plan autour d'un axe L'espace est rapporté à un repère orthogonal  (O; ;; ) .  On considère la partie du plan (O; ;) délimitée par la courbe d'équation y = f(x) et les droites d'équation  x = a,  x = b et l'axe (O ;  ) . En tournant autour de l'axe (O ;  ), cette partie de plan engendre un solide de résolution limité par les plans parallèles à (O;; ) de cotes respectives a et b. Le volume de ce solide est en unité de volume :

Volume d'un cône de révolution. Volume d'un cône quelconque ou d'une pyramide. Volume d'une sphère.

Méthode des rectangles , valeur approchée d'une intégrale

On veut déterminer la valeur approchée de l'intégrale où f est la fonction définie sur I= [a ; b] =[ ; ] par f(x) = .(syntaxe) Pour cela on va partager l'intervalle I en n = intervalles égaux de même largeur (b - a)/n : On a : La méthode des rectangles consiste à remplacer ces n intégrales par les sommes suivantes : ( méthode des rectangles "inférieurs" RI ) ou (méthode des rectangles "supérieurs" RS ) autrement dit à remplacer par des fonctions constantes particulières sur chaques intervalles [xi;xi+1] (fonction en escalier ) En calculant ces deux dernières expressions on trouve : La moyenne T de ces deux valeurs correspond à la valeur approchée de l'intégrale par la méthode des trapèzes.

intégrale

On veut déterminer la valeur approchée de l'intégrale où f est la fonction définie sur I= [a ; b] pour cela on va partager l'intervalle I en n intervalles égaux de même largeur (b - a)/n : On a : La méthode des trapèzes consiste à remplacer ces n intégrales par la somme suivante : ( correspondant à la somme des aires algébriques des trapèzes de hauteur ( xi+1 - xi ) et de bases f(xi+1) et f(xi) : (où RI et RS sont les valeurs approchées de l'intégrale avec respectivement les méthodes des rectangles supérieure et inférieure )

Primitives d'une fonction dérivable
Définition : soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit qu'une fonction F définie sur I est une primitive de f lorsqu'elle est dérivable sur I et que F ' = f Propriété : si F est une primitive de f sur I, toutes les primitives de f sur I sont les fonctions F + C ( ou C est une fonction constante sur I) Exemple : on sait que la fonction x x² définie sur admet pour dérivée la fonction x 2x définie sur , ce qui peut se dire encore , la fonction x x² est une primitive de la fonction x 2x sur et plus généralement toute fonction    x x² + k ou k est un réel fixé est une primitive de la fonction x 2x définie sur .
Comment déterminer une primitive d'une fonction ? En général, il suffit d'utiliser les même formules servent pour dériver ou trouver une primitive ( sauf pour deux cas voir en rouge sur le tableau ) Pour déterminer une dérivée on utilise les tableaux de gauche à droite. Pour déterminer une primitive on utilise les tableaux de droite à gauche. f ' est la dérivée de la fonction f ; F est une primitive de la fonction f . u est une fonction dérivable. Tableaux pour dériver ou chercher une primitive :

Primitives utilisant des formes composées

On veut déterminer une primitive de la fonction f définie sur par :
à un coefficient multiplicateur prés f est sous la forme u'/u
On veut déterminer une primitive de la fonction f définie sur ]-2; 2 [ par :
à un coefficient multiplicateur prés f est sous la forme
On veut déterminer une primitive de la fonction f définie sur par :

Fonction puissance de base a Soit a un nombre réel qui n'est pas un entier relatif ( sinon on se ramène à des fonctions déja connu qui peuvent être définie sur ou ) , on appelle fonction puissance de base a la fonction qui à tout réel x strictement positif associe le réel e^alnx que l'on note aussi x^a .
Fonction dérivée de cette fonction :

Le signe de la dérivée dépend de a si a > 0 la fonction puissance est croissante sinon elle décroissante.

Equations différentielles

Introduction :  Soit la fonction f définie sur par f(x) = cos 2x . Cette fonction est dérivable et sa dérivée la fonction f ' est telle que f '(x) = - 2 sin 2x pour réel x La fonction f ' est elle même dérivable et sa fonction sa dérivée f'' est telle que f ''(x) = - 4 cos 2x pour tout réel x.

on a donc pour tout réel x :  f(x) = cos 2x f '(x) = - 2 sin 2x f''(x) = - 4 cos 2x

On peut remarquer que :  4 f(x) + f ''(x) = 0 pour tout réel x. On dit que l'équation  4 f(x) + f ''(x) = 0  est une équation différentielle , et la fonction f définie sur par f(x) = cos 2x en est la solution ( on dit aussi fonction intégrale ) . Généralement, on écrit plutôt 4y(x) + y''(x) = 0 et de façon plus simple 4y + y'' = 0

Remarque :  Résoudre ( on dit aussi intégrer ) une équation différentielle sur un intervalle I c'est trouver toutes les solutions, sur I de cette équation, c'est à dire toutes les fonctions f qui vérifient l'égalité. L'inconnue de ce type d'équation n'est plus un nombre réel, mais une fonction.  La courbe représentative d'une fonction f solution est appelée courbe intégrale. Si une équation différentielle ne fait intervenir que x, y ,y' ( avec y fonction de x et y' sa dérivée ) on dit que l'équation différentielle est du premier ordre. Si une équation différentielle ne fait intervenir que x, y ,y',y'' ( avec y fonction de x et y' sa dérivée , y'' sa dérivée seconde ) on dit que l'équation différentielle est du second ordre.

Probabilité Vocabulaire des probabilités :
L'exemple choisi pour introduire le vocabulaire probabiliste est le jet d'un dé )
Epreuve  ou expérience aléatoire :
expérience pouvant être répétée dans des conditions identiques et dont l'issue n'est pas prévisible à priori. ( Le jet d'un dé en regardant le nombre correspondant sur la face supérieure est une expérience aléatoire ou une épreuve )
Eventualité , cas possible :
résultat d'une épreuve, notée généralement ₁, ₂, ....
(Exemple : 1,2,3,4,5,6 sont les éventualités de l'expérience aléatoire  définie ci-dessus comme exemple )
Univers :
associé à une expérience aléatoire , ensemble des cas possibles d'une expérience aléatoire. L'univers est généralement noté .
  ( exemple choisi = {1,2,3,4,5,6} )
Événement :
partie de l'univers.
( Exemple :  "obtenir un nombre pair" est un événement, A = {2,4,6} )

• Si une éventualité appartient à un événement, on dit qu'elle réalise cette événement.
• L'événement particulier est un événement particulier puisqu'il contient toute les éventualités d'une même expérience aléatoire , il est donc toujours réalisé on l'appelle événement certain.
• Aucune éventualité appartient à l'événement , il est donc jamais réalisé, est appelé événement impossible.

Événement élémentaire : 
événement réduit à une seule éventualité ( Exemple : "obtenir 6" est un événement élémentaire , B= {6} ) Les événements étant des ensembles on peut définir les mêmes opérations que sur les ensembles.

Si A et B sont deux événements d'une même expérience aléatoire :

• A  le complémentaire de A est appelé événement contraire de A. ( Exemple si A est l'événement : A :"Obtenir un nombre pair " , A= {2,4,6} ,   A  est l'événement contraire A: " Ne pas obtenir de nombre pair " , A= {1,3,5} ). Remarque deux événement contraire sont incompatibles.
• A B : l'événement A B est la réunion des événement A et B . ( Exemple si A est l'événement : A :"Obtenir un nombre pair " , A= {2,4,6} , et B: " Obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 ", B={4,5,6} A B : "Obtenir un nombre pair ou 4" et A B = {2,4,5,6})
• A B : l'événement A B est l'intersection des événement A et B . ( Exemple si A est l'événement : A :"Obtenir un nombre pair " , A= {2,4,6} , et B: " Obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 ", B={4,5,6} A B : "Obtenir un nombre pair et 4" et A B = {4,6})
• Si A B = , les événements A et B sont dit incompatibles , il ne peuvent pas se réaliser en même temps ( Exemple si A est l'événement : A :"Obtenir un nombre < 3 " , A= {1,2} , et B: " Obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 ", B={4,5,6} A B : "Obtenir un nombre < 3 et 4" et A B = ).
  

Variables aléatoires

Définitions :
On considère une expérience aléatoire d'univers associé ( fini ou infini ), on appelle variable aléatoire X toute fonction de à valeur dans .
L'ensemble des images des éléments de par la variable aléatoire X est appelée univers image, on le note X() .
Si X() est un ensemble fini ou dénombrable, on dit que la variable aléatoire X est discréte, si X() est un intervalle ou une union d'intervalles de , on dit que la variable aléatoire X est continue.

Exemples de variables aléatoires :
La variable aléatoire X qui à chaque français choisi au hasard dans la population fait correspondre le nombre d'heures qu'il passe par jour à travailler un certain jour ( défini à l'avance ) est une variable aléatoire continue prenant ses valeurs dans l'intervalle [0 ; 24 ].
La variable aléatoire X qui à chaque lancer de 2 dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6 fait correspondre la somme des numéros inscrits sur les faces des deux dés est une variable aléatoire discréte d'univers image l'ensemble {2; 3 ; ....12}

Types de variable aléatoire :

• Variables aléatoires discrète d'univers image fini ( bac )
• Variables aléatoires discrète d'univers image dénombrable ( bac ++)
• Variables aléatoires continues ( bac ++ )

Indépendance de deux variables aléatoires ( bac ++ ) :
Soient X et Y deux variables aléatoires discrétes définies sur un univers , on dit que X et Y sont indépendantes si pour tout couple (x ; y) appartenant à X() Y() on a P( X = x et Y = y) = P(X = x) P(Y = y )
Soient X et Y deux variables continues définies sur un univers , on dit que X et Y sont indépendantes si pour tout couple d'intervalle ([a ; b] ; [c ; d] ) de X() Y() P( X [a ; b] et Y [c ; d] ) = P(X [a ; b]) P(Y [c ; d] )

spérance mathématique

L'espérance mathématique est un paramètre de position, les valeurs possibles d'une variable aléatoire gravitent autour de cette valeur.
Variable aléatoire discrète ne prenant qu'un nombre fini de valeurs :
Soit une variable aléatoire discréte X supposée prendre un nombre fini de valeurs x₁ , x₂ , x₃, ...... x_n avec les probabilités :
p ₁ = P(X = x₁) , p₂ = P(X = x₂) , ....., p_n= P(X = x_n) _.
on appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X le nombre réel noté E(X) défini par :

Exemple de calcul :
Espérance mathématique d'une variable aléatoire X suivant une loi Binomiale de paramètre n et p :

Variable discrète prenant un nombre infini de valeurs :
Dans ce cas une variable aléatoire peut trés bien ne pas avoir d'espérance mathématique.
Soit une variable aléatoire discréte X supposée prendre un nombre infini de valeurs x ₁ , x₂ , x₃, ...... x_n , .....avec les probabilités :
p ₁ = P(X = x₁) , p₂ = P(X = x₂) , ....., p_n= P(X = x_n) , .....
On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire X le nombre réel si il existe noté E(X) défini par :

Exemple de calcul :
Espérance mathématique d'une variable aléatoire X suivant une loi de Poisson de paramètre .

Variable continue :
Dans ce cas une variable aléatoire X peut trés bien ne pas avoir d'espérance mathématique , l'espérance mathématique se calcul à partir de la densité f_X de loi de la variable aléatoire :

Exemple de calcul
Espérance mathématique d'une variable aléatoire X suivant une loi normale
N(0 ; 1) :

Propriétés de l'espérance mathématique :

• si X est une variable aléatoire à valeur positive, alors E(X) 0.
• Linéarité de l'espérance mathématique :
  pour tout réel a et b et toutes variables aléatoires X et Y d'espérance mathématiques E(X) et E(Y) on a :
  E(aX + bY) = a E(X) + bE(Y)
• Si deux variables X et Y d'espérances mathématiques respectives E(X) et E(Y) sont indépendantes on a : E(XY) = E(X)E(Y)