Depuis Chasles et jusque dans les années 1930, la géométrie projective était souvent synonyme de "géométrie supérieure". Elle s'opposait à la géométrie euclidienne : élémentaire... , et analytique. A l'époque de Monge, de Carnot, de von Staudt, on parlait aussi de "géométrie de position" ou de "situation". Ces géométries étudient les figures au point de vue de leurs positions respectives et des propriétés invariantes qui les lient dans une transformation géométrique (rotation, symétrie, homothétie,...), homographique tout particulièrement. Outre la division harmonique, notion de base, elle fait appel au célèbre rapport anharmonique (birapport), à l'inversion, l'involution, la transformation par polaires réciproques, la projection stéréographique, la corrélation, l'homologie, la dualité, les coniques, etc. (voir plus loin dans ce texte pour les définitions)

Cette géométrie très abstraite en dehors de quelques généralités et principes de base exposés ci-dessous, est relativement difficile à appréhender et requiert, avant de s'y plonger, une bonne connaissance en géométrie élémentaire voire, dans l'espace, une parfaite maîtrise de l'espace tridimensionnel, dans le cycle observation-représentation-interprétation. Ceci nous amené à introduire certains concepts qui n'ont normalement pas leur place ici mais qui nous le pensons, peuvent aider grandement l'intéressé à mieux comprendre cette branche des mathématiques.

Dans un premier lieu, nous allons étudier les concepts élémentaires de la perspective en s'attardant particulièrement sur le concept de présentation "projective" (il existe d'autres méthodes de perspective empiriques : cavalière, isométrique, militaire, … mais ces dernières n'ont pas de sens mathématique ou réel même si elle représentent assez convenablement des objets volumiques). Ensuite, nous étudierons les représentations mathématiques de quelques objets tri-dimensionnel dans le cadre d'applications pour enfin passer à l'étude de la géométrie projective dure. Enfin, nous étudierons la mathématique utilisé dans la représentation informatique des formes géométriques (splines, courbes de bézier, etc...)

Remarque: La "géométrie descriptive" est une forme artistique rigoureuse de la géométrie projective mais non formelle (dans le sens qu'elle ne s'étudie pas mathématiquement).

PERSPECTIVE conique (centrale)

Un des problèmes de l'étude des volumes tri-dimensionnels et de leur représentation est le concept de "perspective". Effectivement, l'être humain ne peut voir les 3 dimensions d'un objet, c'est le cerveau qui interprète les ombres et reflets d'un objet afin que nous l'interprétions comme ayant un volume (il existe des illusions d'optique qui vont dans ce sens…: les trompe l'œil).

Nous allons nous intéresser dans la paragraphes qui suivent à la "perspective conique", aussi appelée "perspective centrale" ou encore "linéaire".

Remarque: Dans le domaine de la géométrie projective nous ne parlons pas de "perspective conique" mais de "projection conique".

Définition: La "perspective conique" ou "projection perspective" est par construction la représentation la plus proche de nos perceptions visuelles, elle permet notamment de voir une sphère comme un cercle (au moins en première approximation, si la sphère n'est pas placée trop en marge du champ de vision ; pour avoir toujours des cercles, il faudrait projeter non sur un plan mais une sphère, modélisant mieux la rétine).

Remarque: La perspective conique est celle des peintres de la Renaissance. C'est aussi celle qui apparaît sur une photo.

La difficulté de la représentation en perspective est de traduire dans un plan (celui de la feuille de papier par exemple) une construction qui est définie - de manière assez simple, d'ailleurs - dans l'espace à l'aide d'outils mathématiques.

Une projection conique de l'espace à 3 dimensions usuel est donc transformation projective qui envoie tous les points de cet espace sur un même plan de cet espace. Elle nécessite la donnée d'un point O (équivalent à la position de l'oeil de l'observateur) et d'un plan de projection dit "tableau" (la Vitre de Dürer, l'équivalent de la rétine).

Nous verrons lors des développements théoriques que contrairement aux projections affines (voir le sous-chapitre suivant), la projection conique ne conserve pas le barycentre (donc les rapports de longueurs sur une droite donnée) mais elle conserve l'alignement et le birapport.

Lorsque nous parlons de perspective conique, nous utilisons quelques plans et droites particuliers dans l'espace tri-dimensionnel (voir figure plus bas):

- Le "plan du tableau" (ou "vitre de Dürer"), noté T, est le plan sur lequel on fait le dessin (plan de projection).

- Le "plan du sol", noté S, est un plan fixé, perpendiculaire à T.

- Le "point de vue" (ou "centre de projection"), noté O, est un point hors de T et de S : c'est le point où devra se placer l'oeil pour que le dessin sur T coïncide avec l'image réelle.

- Le "plan de l'horizon", noté H, est le plan parallèle à S passant par O.

- La "ligne d’horizon", notée h, est l’intersection de H et de T.

- La "ligne de Terre", notée LT, est l’intersection de S et de T.

- Un plan ou une droite parallèles à S sont appelés "horizontaux".

- Un plan ou une droite perpendiculaires à S sont appelés "verticaux".

- Un plan ou une droite parallèles à T sont appelés "frontaux".

- Un plan ou une droite perpendiculaires à T sont appelés de "bout".

Voici un schéma qui représente ces différentes définitions:

(1)

IMAGES DE POINTS

Tout objet volumique (ce qui ne peut être déterminé qu'au touché ou au niveau de l'abstraction mathématique) composé par un ensemble de points M, est à notre cerveau, l'image d'une projection plane m dont le support est une surface dans l'espace se trouvant entre l'objet observé et notre œil. En mathématique, cette surface est appelée "tableau" et est délimitée dans sa vue centrale par la ligne d'horizon (là où se situent les points de fuite) et par un référentiel physique appelé donc la "ligne de terre" (voir schéma ci-dessous).

(2)

La hauteur entre la ligne de Terre et le point de vue est appelée la "hauteur d'horizon".

L'objectif à partir de ce schéma est de déterminer mathématiquement une représentation d'un objet volumique sur une surface (plan dans un cas simple, quelconque sinon) en connaissant l'équation de la droite entre le point M et le point V (point de vue) afin d'en déterminer les coordonnées d'intersection entre cette droite et le tableau.

Nous pouvons du schéma ci-dessus tirer les relations suivantes selon les théorèmes de Thalès (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) dans les différents triangles:

(3)

avec .

Si nous posons les coordonnées du point m deviennent:

et (4)

A partir de ces relations, le problème de la représentation plane d'une forme volumique est complètement résolu, puisque nous pouvons toujours projeter un point (ou la distance entre deux points) sur un tableau à partir des coordonnées de l'original.

Le terme est communément appelé la "longueur focale" du point de vue à l'écran et les spécialistes de l'optique le notent habituellement par la lettre f.

Pour mieux comprendre ce dernier résultat, nous pouvons nous mettre dans la contexte d'une étude bi-dimensionnelle où l'observateur est à la hauteur de la ligne de Terre (h=0) et disposé de façon à représenter une personne regardant le tableau (assimilable à un écran télé, ordinateur ou tout autre) dans lequel nous posons les axes conventionnels x et y dans le plan de l'écran et Z perpendiculairement (ainsi, relativement au premier schéma, Y devient Z et inversement).

Ainsi la relation précédente des rapports :

(5)

devient avec ce changement d'axes:

(6)

et comme h=0 (ce qui est souvent le cas devant des écrans):

(7)

Remarque: Cette relation est une forme particulière de ce que nous appelons les "transformations homographiques". Nous reviendrons plus loin sur celles-ci et démontrerons certaines de leurs propriétés.

Si le tableau est posé sur l'axe du référentiel (le tableau de projection est assimilé à l'écran), nous avons alors z'=0 ce qui nous donne :

(8)

et en procédant de même:

(9)

Remarque: Ces deux dernières relations sont celles que nous utilisons pour faire des animations 3D programmées dans le logiciel Macromedia Flash (par exemple).

Nous voyons sur les deux dernières relations un terme identique:

(10)

ce terme correspond à la "profondeur" de la perspective.

Dans certains ouvrages, cette profondeur est notée (simple mise en facteur):

(11)

Si nous considérons deux points ( ou ) visibles de la surface d'un volume vu par un observateur et leur distance respective ou , ces grandeurs se conservent si les deux points se confondent dans le plan du tableau car nous avons alors:

P=1 (12)

puisque .

Il est intéressant d'étudier quelle doit être la valeur de la focale pour afin d'avoir ou . Ainsi, si nous prenons la limite:

(13)

en appliquant la règle de l'Hospital (dérivée au nominateur et dénominateur) et en se rappelant que z est fixé, alors:

(14)

De ce résultat nous pouvons conclure la chose suivante:

Pour que tout distance réelle entre deux points non confondus dans le tableau mais se trouvant dans un même plan aient une distance de projection égale, il faut que les équations des deux droites qui déterminent leur intersection avec le tableau soient parallèles. Ce qui implique, puisque l'observateur est un point convergent, qu'il faut éloigner l'observateur à une distance infinie du plan pour conserver les grandeurs ainsi projetées sur le tableau: c'est la "projection orthographique".

Un très bon exemple pour visualiser ces résultats est de programmer en pseudo-3D sur un ordinateur.

Exemple:

Il existe de nombreuses manières de faire de la 3D avec l'informatique. Les plus connues techniquement parlant sont avec OpenGL ou DirectX ou du C++ mais ne sont pas très pédagogique d'accès… nous allons donc voir comment faire tourner une pseudo-sphère dans l'espace projectif avec Macromedia Flash dans le but de montrer comment s'appliquent les différents éléments théoriques présentés plus haut mais aussi de montrer que ce ne sont pas les seuls outils disponibles.

Pour cela, ouvrez le logiciel Macromedia Flash et enregistrez la nouvelle animation sous le nom Cercle.fla :

(15)

Avec l'outil Cercle dans la barre de dessin, dessinez un cercle de dimension respectable dans la zone d'animation:

(16)

Ensuite après avoir sélectionné votre cercle, avec l'outil Remplissage choisissez un Dégradé Radial:

(17)

Faites un clic droit sur le cercle et choisissez l'option Convert to Symbol et saisissez les informations telles que présentées ci-dessous:

(18)

Renommez le calque où se trouve votre movie clip avec le nom 3d Clip:

(19)

Faites un double clic sur votre cercle pour entrer dans votre Movie Clip.

Sélectionnez-y à nouveau le cercle, faites-un clic droit dessus et sélectionnez Convert to Symbol:

(20)

Ensuite, dans les propriétés du cercle saisissez-y le nom Point:

(21)

Maintenant, dans le Movie Clip nommé Cercle, nous allons insérer trois frames: la première pour définir les fonctions mathématiques recalculant les différentes variables, la deuxième qui appelle les fonctions, la troisième qui permet de relancer en boucle et indéfiniment la deuxième.

Afin de faire les choses au propre, nous allons créer un deuxième calque (en renommant celui qui contient notre cercle en Cercle) que nous appellerons Code:

(22)

Faisons un clic droit sur la troisième image du calque contenant notre cercle:

(23)

et choisissons l'option Insert Frame et pour le calque Code faites presque de même mais en choisissant l'option Insert Key Frame. Vous devriez alors obtenir le visuel suivant:

(24)

Ensuite en sélectionnant la première image du calque Code activez l'affichage des Actions pour y insérer le code suivant:

(25)

Faites de même avec la deuxième image du calque Code mais en mettant:

(26)

et enfin de même avec la troisième image mais en y mettant:

(27)

Nous obtenons alors le résultat suivant:

(28)

Nous allons maintenant faire intervernir l'axe Z en fixant Y (et en faisant donc bouger Z). Bien évidemment, nous ne verrons rien se passer en ce qui concerne Z tant que nous ne définissons pas la projection homographique et parce qu'un ordinateur est incapable de montrer basiquement le concept de profondeur... Le code s'écrit alors:

(29)

Le calcul de Zpos va nous permettre plus loin de calculer la profondeur du mouvement de l'objet selon l'axe Z. Et c'est là qu'interviendra la projection homographique.

Nous obtenons alors une pseudo-sphère qui tourne autour d'un axe dans un plan perpendiculaire à l'écran. Raison pour laquelle nous voyons la pseudo-sphère faire des allers-retours gauche/droite (le concept d'éloignement n'est pas encore présent faut de présence d'un facteur profondeur):

(30)

Maintenant nous allons utiliser les relations:

(31)

démontrées plus haut. Si nous cherchons à représenter la profondeur de tout point du tableau de projection c'est le rapport de distance entre deux des points de ce tableau qui vont nous intéresser pour déterminer le changement d'échelle:

(32)

Il faudra donc appliquer ce résultat comme définissant l'échelle du tableau de projection.

Nous avons alors le code suivant où la profondeur P joue sur la hauteur et la largeur de la surface d'animation de l'instance Point de notre pseudo-sphère:

(33)

Ce qui nous donne:

(34)

et bien évidemment cela fonctionne quelque soit l'équation paramétrique de la trajectoire! Nous pouvons ensuite copier cette instance d'animation, changer la hauteur, l'angle de départ pour avoir les 4 sommets d'un cube qui tourne dans l'espace.

C'est la prochaine étape:

Effectivement, changeons notre code comme indiqué ci-dessous pour avoir quatre pseudo-sphères tournant autour d'un axe Z imaginaire sortant de l'écran:

(35)

Ce qui nous donne en charme… quatre pseudo-sphères tournant autour d'un centre commun:

(36)

Maintenant, nous inversons Y et Z à nouveau et appliquons la projection homographique:

(37)

Et nous obtenons:

(38)

Pour la suite, nous allons générer 8 pseudo-sphère et au lieu de les faire tourner toujours autour du même axe nous allons les faire tourner autour des 3 axes X, Y ou Z en utilisant les variables XAngle, YAngle ou ZAngle et les matrices de rotation autour de chacun des ces axes respectifs:

(39)

Et voici le résultat final:

(40)

IMAGES DE DROITES

Déterminons à partir des résultats précédents, l'image d'une droite parallèle à la ligne de Terre (donc à l'axe x) du tableau assimilable à un écran. Dans ce cas, nous avons:

et pour (41)

ce qui nous donne d'après les relations obtenues précédemment:

(42)

Donc toute droite parallèle à la ligne de Terre devient en perspective une droite se trouvant à une hauteur y' dans le plan parallèle à XZ de notre écran (on pouvait le deviner intuitivement…).

Pour toute droite parallèle à l'axe Z de l'écran (donc dans sa "profondeur"), nous avons:

et pour (43)

ce qui nous donne:

(44)

Ces droites d'équation:

(45)

passent toutes par le point qui est le "point de fuite principal" et par le point telle que représenté sur la projection ci-dessous faite dans Adobe Photoshop (les lignes horizontales ont été rajoutées pour donner l'effet de perspective):

(46)

A partir de la figure ci-dessus, nous pouvons définir le concept "d'angle de fuite" donné par la figure ci-dessous:

(47)

Une représentation géométrique autre peut aider à mieux comprendre le résultat. Rappelons donc que le point de fuite d'une droite D est le point d'intersection F du plan du tableau T avec la droite parallèle à D passant par O. Deux droites parallèles D et D' ont donc le même point de fuite. Représenté comme ci-dessous:

(48)

Si nous notons A le point d'intersection de D avec T, le dessin en perspective de D est la droite , intersection de T avec le plan contenant O et D.Puisque deux droites parallèles ont le même point de fuite F, elles sont donc représentées par deux droites sécantes en F.

Pour toute droite quelconque se situant dans le plan XZ de l'écran (donc dans sa "profondeur"), nous avons:

et pour (49)

ce qui nous donne:

(50)

De cette dernière équation, nous déduisons:

(51)

en portant z dans l'expression de x:

(52)

nous remplaçons x et z dans l'équation de la droite , et calculs et simplifications faits, nous trouvons:

(53)

Examinons le cas particulier de droites passant par les sommets opposés d'un carrelage, c'est-à-dire inclinées à donc avec un coefficient directeur (une pente) de .

L'image de ces droites est alors donnée par:

(54)

Si , nous avons selon la relation ci-dessus:

(55)

cela signifiant que toute projection de droites de coefficient directeur se situant dans le plan XY pour constitue des points de fuite secondaires situés sur la ligne d'horizon à une distance égale de part et d'autre du point de fuite principal tel que représenté ci-dessous (dans le contexte d'un cours sur Adobe Photoshop, nous y avons rajouté un cube dans cette perspective):

(56)

Nous voyons bien dans la figure ci-dessus la symétrie par rapport à l'axe vertical et les deux points de fuites qui sont l'origine du carrelage.

Considérons maintenant des droites parallèles à l'axe Y de l'écran et leur équation de projection si et :

(57)

Ces droites images restent donc des droites parallèles à l'axe y. Autrement dit, les droites images restent parallèle aux droites "objet" tel que représenté ci-dessous (pour différentes positions du point d'observation):

(58)

Prenons pour exemple de ce dernier résultat, des segments de même hauteur H dont le pied est sur le plan horizontal:

(59)

La hauteur du segment image se déduit par:

(60)

Considérons maintenant , c'est-à-dire des colonnes verticales de même hauteur H alignées sur la droite . Calculons les coordonnées des sommets images:

(61)

C'est l'équation d'une droite et remarquons que toutes ces droites joignant les sommets passent par le point de coordonnées qui n'est d'autre que le point de fuite principal P.

Une représentation géométrique peut à nouveau aider à al compréhension des résultant précédents. Soit la figure suivante:

(62)

La ligne de fuite du plan P est la droite d'intersection h' du plan P', parallèle à P et passant par O, avec le plan du tableau. Elle contient par conséquent les points de fuite de toutes les droites contenues dans P comme nous l'avons déjà démontré.

Le point de fuite principal du plan P est le projeté orthogonal F' du point O sur la droite h'. C'est le point de fuite des droites de P parallèles à , donc orthogonales à h'.

Il résulte de ces définitions que deux plans parallèles ont les mêmes éléments de référence.

A partir de l'exposé précédente, nous avons une nouvelle méthode pour présenter un objet en rotation dans un espace tridimensionnel. Au lieu de faire tourner l'objet autour de différents axes, nous pouvons imaginer à l'aide des équations ci-dessus faire tourner l'observateur autour de l'objet (c'est un point de vue…).

Nous n'avons considéré ici que la perspective projective sur un plan. Au fait, pour travailler sur des méthodes de projection quelconques (sphère sur plan, plan sur sphère, sphère sur sphère, n'importe quoi sur n'importe quoi) il suffit d'étendre l'analyse que nous avons faite ci-dessus dans un système de coordonnées adapté au système étudié (coordonnées polaires, cylindriques, sphérique, …). C'est probablement ainsi que procèdent les logiciels de simulation 3D pour projeter une image sur une surface réfléchissante et semi-transparent tel qu'une verre ondulé.

Remarque: Des résultats que nous avons obtenu ci-dessus, nous pouvons tirer un conclusion intéressante. Pour que l'observateur d'un photo ou d'un tableau voie l'image telle qu'elle était à l'origine, celui-ci doit se placer à des coordonnées déterminées du tableau (de la photo ou du tableau).

PERSPECTIVES AFFINES

Même si la meilleure méthode de la représentation en perspective est la méthode la perspective conique, nous ne pouvons nous permettre systématiquement de faire des grosses quantités de calcul pour représenter un volume. Ainsi, il est possible de définir des techniques de perspectives qui découlent d'une approximation des résultats mathématiques obtenus précédemment pour arriver à deux techniques (il en existe un plus grand nombre mais ces deux perspective sont de loin les plus utilisées) que l'on retrouve quotidiennement sur de nombreux supports papiers techniques ou artistiques. Ces deux techniques sont respectivement la "perspective cavalière" et la "perspective isométrique" qui font partie de la famille des "perspectives affines" dites également "projections affines".

Définition: Une "projection affine" de l'espace à 3 dimensions usuel est une transformation affine qui envoie tous les points de cet espace sur un même plan de cet espace. Si le point M(x, y, z) n'est pas sur le plan de projection, lui et son image m(x', y', z') forment une droite dont la direction est constante: nous l'appellons "direction de projection". La perspective qui en découle est appelée familièrement "perspective parallèle" ou encore "perspective cylindrique". Comme toutes les transformations affines de l'espace, une projection affine conserve:

- Le parallélisme entre les droites

- Le barycentre, donc toutes les proportions existantes sur une droite donnée

Seule les longueurs et les angles situés dans un plan parallèle au plan de projection sont conservés.

Sans trop nous attarder sur ces deux techniques, nous les présentons brièvement car elles doivent faire partie de la culture générale du physicien.

PERSPECTIVE CAVALIÈRE

Prenons une vue (par exemple la vue de face), et nommons les axes x (horizontale) et y (verticale). L'axe z étant l'axe perpendiculaire à la vue.

Dans la perspective cavalière, nous traçons l'axe z avec un certain angle par rapport à l'axe x (par exemple ou ), et l'on y reporte les distances en les multipliant par un coefficient inférieur à 1 en appliquant les règles trigonométriques de base tel que:

perspective cavalière
(63)

C'est en mathématique, par exemple, que la perspective cavalière est fréquemment choisie pour représenter sur le tableau des classes d'écoles les figures géométriques tridimensionnelles dans une base orthonormée canonique de direction E.

Si la direction de projection n'est pas orthogonale au plan de projection, alors la perspective cavalière transforme une sphère en ellipse.Cette distorsion de la sphère rend la perspective cavalière tout à fait impropre à une utilisation en dessin d'art.Cet inconvénient n'est par contre pas rédhibitoire dans une utilisation en dessin industriel.

PROJECTION ORTHOGONALE

Si la direction de projection est orthogonale au plan de projection, alors la perspective transforme une sphère en cercle. C'est donc un type de perspective utilisable en dessin comme alternative à la perspective conique (avec laquelle elle va d'ailleurs coïncider quand l'oeil de l'observateur est placé infiniment loin du tableau).

La projection orthogonale la plus simple à exprimer est évidemment celle qui envoie l'espace sur un plan parallèle au tableau, de cote constante égale à a. Autrement dit, tel que:

(64)

On obtient alors trivialement les coordonnées dans un repère orthonormé 2D propre à ce plan où et .

Inconvénient de cette méthode: l'effet réel de la profondeur, est entièrement perdu. Pour y remédier il existe deux solutions équivalentes (généralisables aux autres perspectives): l'une consiste à tourner l'objet par isométrie de l'espace et l'autre à changer la tableau.

Un cas particulier de la projection orthogonale est la "perspective isométrique". Elle est très utilisée en dessin industriel, elle projette orthogonalement les points de l'espace sur le plan isotrope, d'équation:

(65)

La direction de projection est donc la normale à ce plan, de vecteur directeur

Le perspective isométrique consiste à placer les axes x, y, z à les uns des autres et y reporter les distances telles quelles (d'où son nom).

perspective isométrique
(66)

À titre de comparaison, nous avons représenté selon les deux perspectives présentées précédemment un cube avec un cercle inscrit dans le carré de chaque face.

cube et cercles inscrits

Perspective cavalière (gauche) et isométrique (droite)
(67)

COORDONNÉES HOMOGÈNES

En mathématique, les coordonnées homogènes, introduites par August Ferdinand Möbius, rendent les calculs possibles dans l'espace projectif comme les coordonnées cartésiennes le font dans l'espace euclidien. Les coordonnées homogènes sont largement utilisées en infographie et plus particulièrement pour la représentation de scènes en trois dimensions (3D) car elles sont adaptées à la géométrie projective et elles permettent de caractériser les transformations de l'espace sous une forme algorithmique optimale. La notation sous forme matricielle est plus particulièrement employée dans les bibliothèques de programmation graphique 3D telles que OpenGL et Direct3D.

Nous avons vu lors de notre étude des transformations dans le plan et l'espace (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) que parmi la translation, l'homothétie, la rotation ou la réflexion que la translation ne pouvait être représentée sous forme matricielle sans passer par une astuce qui a consistait à ajouter une dimension supplémentaire factice au vecteur des coordonnées ainsi qu'à la matrice associée à la transformation.

Ainsi, nous avions vu que la translation dans pouvait s'écrire sous forme matricielle: