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  Musique Mathématique
 

La théorie de la musique est l'ensemble des aspects théoriques d'un système musical particulier. Il existe, non pas une, mais une infinité de théories musicales, chaque type de musique possédant la sienne. Tout système musical repose en effet sur un certain nombre d'usages, plus ou moins contraignants, susceptibles de faire l'objet d'une théorisation, orale ou écrite.

Une théorie de la musique possède fréquemment un point de départ religieux, philosophique, ou magique ; d'autres fois, un point de départ arithmétique ou scientifique (acoustique). C'est à cette dernère que nous nous intéresserons ici évidemment...

Nous allons pour commencer considérer dans ce chapitre les ondes élastiques dans un gaz, résultant des variations de pression dans le gaz. Le son constitue l'exemple le plus important de ce type d'ondes.

Il existe cependant une différence importante entre les ondes élastiques dans un gaz et les ondes élastiques dans un barreau solide. Les gaz sont très compressibles, et si des fluctuations de pression s'établissent dans un gaz, sa densité subira le même type de fluctuation que la pression.

Considérons les ondes se propageant à l'intérieur d'un tuyau ou tube cylindrique (horizontal) de section S. Notons  et  la pression et la masse volumique à l'équilibre du gaz. Dans ces conditions d'équilibre,  et  sont les mêmes dans tout le volume gazeux du cylindre, c'est-à-dire indépendants de x.

Si la pression du gaz est perturbée par exemple à l'une des deux ouvertures de cylindre creux, un élément de volume de celui-ci Sdx sera intuitivement mis en mouvement parce que les pressions P et P' sur les deux faces S, S' de ce petit volume seront différentes et produiront donc une force résultante.

Remarque: Même si elles ont une très grande vitesse, dans un gaz les molécules subissent des chocs très fréquents les unes avec les autres. Elles parcourent au fait moins d'un micron en moyenne (libre parcours moyen), dans les conditions normales, avant d'en taper une autre.

Il en résulte un déplacement de la section S d'une quantité  et de la section S' d'une quantité différente  nécessairement différente car l'équilibre de pression n'aura pas eu le temps de se faire.

Ainsi, l'élément de volume au début à une largeur dx mais après la variation de pression il aura une largeur si les variations de pression sont petits en première approximation:

Cependant, en raison de la variation du volume, il y a également à présente une variation de densité due à la compressibilité du gaz. La masse contenue dans le volume non perturbé est initialement:

Si  est la masse volumique du gaz perturbé, la masse du volume perturbé vau au final:

La conservation de la matière demande que ces deux masses soient égales, c'est-à-dire que:

ou:

En résolvant en  nous obtenons:

Comme nous considérons les variations de pression petites par rapport à la pression ambiante,  est petit, nous pouvons remplacer :

par son développement limité de Taylor:

Soit:

En admettant maintenant que la pression est uniquement reliée à la masse volumique (pour faire simple) nous pouvons écrire:

En utilisant la forme générale du développement de Taylor (cf. chapitre de Suites et Séries):

Nous avons alors:

La quantité:

est appelée "coefficient de compressibilité" ou plus techniquement "coefficient de compressibilité isotherme".

Rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de Thermodynamique que:

Alors (relation que nous utiliserons plus loin):

Conventionnellement il est noté (au signe près):

Ce qui correspond bien à l'intuition: une augmentation de pression (variation positive) implique une diminution de volume (variation négative).

Soit:

souvent notée .

Nous avons alors:

Cette expression relie la pression en tout point du gaz à la déformation au même point.

Nous avons ensuite besoin de l'équation du mouvement de l'élément de volume. La masse de l'élément est  et son accélération  .

Nous avons naturellement en termes de force (le signe moins indiquant que la force qui varie la pression s'oppose à la pression initiale dans le cylindre) :

soit:

Dans ce problème, il y a deux champs, le champ des déplacements  et le champ des pressions P. Nous pouvons les combiner de la manière suivante en prenant:

et en dérivant par rapport à x et en nous rappelant que  est indépendante de la position dans le gaz. Nous avons alors:

Ce que nous pouvons combiner avec:

Soit:

Nous obtenons donc une relation similaire à ce que nous avons obtenu dans le chapitre de Mécanique Ondulatoire pour les ondes mécaniques ou dans le chapitre d'Électrodynamique dans l'équation de propagation des ondes. Nous en concluons que le déplacement dû à une perturbation de pression dans un gaz de propage à la vitesse:

 

La relation:

est parfois appelée "relation de Newton-Laplace".

Si nous considérons l'ai comme un gaz parfait diatomique alors (cf. chapitre de Thermodynamique) nous avons … de masse molaire  (moyenne pondérée des masses molaires de  et ) il vient à :

Ce qui est en parfait accord avec l'expérience!

Or, nous avons aussi le résultat suivant (cf. chapitre de Mécanique des Milieux Continus):

Or, nous avons démontré dans le chapitre de Génie Mécanique que le coefficient de Poisson respectait:

En prenant l'approximation que pour un gaz … nous avons alors:

et donc:

La vitesse du son est alors donnée par la même expression pour les fluides ou les solides! Ainsi, la propagation d'une déformation (onde transversale) dans un solide est donnée par:

Nous avons aussi:

En divisant ces deux égalités membre à membre, nous obtenons:

Soit après simplification:

Pour l'usage en laboratoire, ce modèle d'onde sonore est plus pratique que le précédente car nous mesurons plus facilement des variations de pression dans un liquide ou un gaz, que des déplacements de molécules.

Le mouvement des ondes dans les gaz est un processus adiabatique (cf. chapitre de Thermodynamique) donc il n'y a aucun échange d'énergie sous forme de chaleur par élément de volume du gaz






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