Lors de notre études des nombres, des opérateurs, et de théorie des nombres (dans les chapitres du même nom), nous avons assez souvent utilisé les termes de "groupes, "d'anneaux", de "corps", "d'homomorphisme", etc. et continuerons par la suite à le faire encore de nombreuses fois. Outre le fait que ces concepts soient d'une extrême importance, permettant de faire des démonstrations ou de construire des êtres mathématiques indispensables à l'étude de la physique théorique contemporaine (physique quantique des champs, théories de cordes, modèles standard,...), ils permettent de comprendre les composants et les propriétés de base de la mathématique et de ses opérateurs en rangeant ceux-ci par catégories distinctes. Ainsi, choisir de mettre la théorie des ensembles en tant que cinquième chapitre de ce site est un choix tout à fait discutable puisque rigoureusement c'est par là que tout commence... Cependant, nous avions besoin d'exposer quand même la théorie de la démonstration ne serait-ce que pour les notations et les méthodes dont il sera fait usage ici.

Par ailleurs, lors de l'enseignement des mathématiques modernes dans l'enseignement secondaire, voire primaire (années 70), on introduisit le langage des ensembles et l'étude préalable des relations binaires pour une approche plus rigoureuse de la notion de fonctions et d'applications (voir la définition plus loin) et de la mathématique en générale.

Définition: Nous parlons alors de "diagramme sagittal" (ou de "schéma sagittal" du latin sagitta = flèche).

Exemple:

La représentation graphique d'une fonction définie de E={-3,-2,-1,0,1,2,3} vers F={0,1,2,3,...9} conduirait au diagramme sagittal ci-dessous :

  (1)

Une relation de E dans E fournirait un diagramme sagittal du type :

  (2)

Le bouclage de chaque élément montrant une "relation réflexive"; la présence systématique d'une flèche retour indiquant une "relation symétrique".

Cependant le choix d'introduire la théorie des ensembles dans les classes d'école a une raison aussi un peu autre. Au fait, dans un souci de rigueur interne (in extenso : non liées à la réalité), une très grande partie des mathématiques a été reconstruite à l'intérieur d'un seul cadre axiomatique, dénommé donc "théorie des ensembles", dans le sens où chaque concept mathématique (autrefois indépendant des autres) est ramené à une définition dont tous les constituants logiques proviennent de ce même cadre : elle est considérée comme fondamentale. Ainsi, la rigueur d'un raisonnement effectué au sein de la théorie de ensembles est garantie par le fait que le cadre est "non-contradictoire" ou "consistant". Voyons les définitions qui construisent ce cadre.

Définitions:

D1. Nous appelons "ensemble" toute liste, collection ou rassemblement d'objets bien définis, explicitement ou implicitement.

D2. Un "univers" U est un objet dont les constituants sont des ensembles.

Il faut noter que ce que les mathématiciens appellent "univers" n'est pas un ensemble! En fait il s'agit d'un modèle qui satisfait au axiomes des ensembles.

Effectivement, nous verrons que nous ne pouvons pas parler de l'ensemble de tous les ensembles (ce n'est pas un ensemble), pour désigner l'objet qui est constitué de tous les ensembles ainsi, nous parlons d'univers.

D2. Nous appelons "éléments" ou "membres de l'ensemble" les objets appartenant à l'ensemble et nous notons :

    (3)

si p est un élément de l'ensemble A et dans le cas contraire : 

  (4)

Si B est une "partie" de A, ou sous-ensemble de A, nous notons cela : 

 ou   (5)

dès lors, si pour tout :

  (6)

Nous identifiions également un ensemble soit en listant ses éléments, soit en donnant la définition de ses éléments.

Exemples:

E1.  

E2.

D3. Nous pouvons munir les ensembles d'un certain nombre de relations qui permettent de comparer ses éléments (c'est utile parfois...) ou de comparer certaines de leurs propriétés. Ces relations sont appelées "relations de comparaisons" ou "relations d'ordre" (cf. chapitre sur les Opérateurs).

Remarques:

R1. La structure d'ensemble ordonnée a été mise en place à la base dans le cadre de la théorie des Nombres par Cantor et Dedekind.

R2. Comme nous l'avons démontré dans le chapitre sur les Opérateurs, sont totalement ordonnées par les relations usuelles . La relation , souvent dite "d'ordre strict", n'est pas une relation d'ordre car non réflexive et non anti-symétrique (cf. chapitre sur les Opérateurs). Par exemple, dans , la relation "a divise b", souvent notée par le symbole " | ", est un ordre partiel.

R3. Si R est un ordre sur E et F est une partie de E, la restriction à F de la relation R est un ordre sur F, dit "ordre induit par R dans F".

R4. Si R est un ordre sur E, la relation R' définie par :

  (7)

est un ordre sur E, dit "ordre réciproque" de R. L'ordre réciproque de l'ordre usuel  est l'ordre noté  ainsi que l'ordre réciproque de l'ordre "a divise b" dans est l'ordre "b est multiple de a".

L'ensemble est l'être mathématique de base, dont l'existence est posée : il n'est pas défini en tant que tel, mais par ses propriétés, données par les axiomes. Il fait appel à une procédure humaine : une sorte de fonction de catégorisation, qui permet à la pensée de distinguer plusieurs éléments qualifiés d'indépendants.

Nous pouvons démontrer à partir des ces concepts, que le nombre de sous-ensembles d'un ensemble de cardinal n (nombre d'éléments) est :

Il y a d'abord l'ensemble vide , soit 0 éléments choisi par n, in extenso et ainsi de suite…

Le nombre de sous-ensembles de E correspond donc à la sommation de tous les coefficients binômiaux:

  (8)

Or, nous avons (cf. chapitre de Calcul Algébrique):

  (9)

Donc:

Exemple:

Considérons l'ensemble , nous avons l'ensemble des parties P(S) constitué par :

- "L'ensemble vide" :

- Les "singletons" :

- Les "duets" :

- Lui-même :

Remarque: L'ordre dans lequel sont différenciés les éléments ne rentrent pas en compte lors du comptage des parties de l'ensemble de départ.

En physique-mathématique, nous travaillerons presque exclusivement avec des ensembles de nombres. Nous nous se restreindrons donc à l'étude des définitions et propriétés de ces derniers.

AXIOMATIQUE DE ZERMELO-FREANKEL

L'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, abrégée "axiomatique ZF", présentée ci-dessous a été formulée par Ernst Zermela (1908) puis précisée par Adolf Abraham (1922). Elle est considérée comme la plus naturelle et intuitive dans le cadre de la théorie des ensembles.

Remarque: Il existe bien d'autres axiomatiques, basées sur le concept plus général de "classe", comme celle développée par von Neumann, Bernays et Gödel (pour les notations, voir le chapitre traitant de la Théorie De La Démonstration).

Strictement parlant, les axiomes de ZFC sont simplement des énoncés du calcul des prédicats du premier ordre (cf. chapitre de Théorie De La Démonstration) égalitaire dans un langage ayant un seul symbole primitif pour l'appartenance (relation binaire). Ce qui suit doit donc seulement être perçu comme une tentative d'exprimer en français la signification attendue de ces axiomes.

A1. Axiome d'extensionalité:

Deux ensembles sont égaux si, et seulement si ils ont les mêmes éléments. C'est ce que nous notons :

  (11)

ou:

  (12)

Cette définition exprime seulement le fait qu'un ensemble ne contient rien d'autre que ce qui est spécifié par la donnée ses éléments.

L'unicité de certains ensembles est démontrée en utilisant conjointement l'axiome de sélection (voir plus loin) et l'axiome d'extensionnalité.

A2. Axiome de l'ensemble vide: 

L'ensemble vide existe, il n'a aucun élément, son cardinal est noté 0. Si X est un objet {X} est un ensemble appelé singleton (single = seul), son cardinal est 1.

A3. Axiome de la paire:

Si A et B sont deux ensembles, alors, il existe un ensemble C contenant A et B et eux seuls comme éléments. Cet ensemble se note {A, B}:

  (13)

A4. Axiome de l'union (dit aussi Axiome de la réunion ou encore de la somme):

Soient A et B deux ensembles. Il existe un ensemble C dont les éléments sont exactement ceux qui appartiennent à A et à B. Nous notons cela :

A5. Axiome de la somme: A tout ensemble A, nous pouvons associer un ensemble de l'univers B qui est la réunion des éléments x du premier, in extenso dont les éléments sont exactement les éléments des éléments du premier.

L'ensemble B est noté  ou bien .

A6. Axiome de parties (ou Axiome de l'ensemble des parties) : 

A tout ensemble A, nous pouvons associer un ensemble de l'univers B qui contient exactement les parties (in extenso les sous-ensembles) C du premier:

A7. Axiome de l'infini:

Il existe un ensemble, dit "ensemble autosuccesseur" K contenant  (l'ensemble vide) tel que si xK, alors  appartient également à K : appartient à

K est autosuccesseur :   (14)

Cet ensemble permet d'utiliser des ensembles infinis.

 est ainsi le plus petit ensemble autosuccesseur, au sens de l'inclusion  et par convention nous notons (ou nous construisons l'ensemble des naturels) :

  (15)

A8. Axiome de régularité (ou Axiome de fondation): 

Pour tout ensemble non vide A, il existe un ensemble B, élément de A tel qu'aucun élément de A ne soit élément de B (il faut bien différencier le niveau du langage utilisé, un ensemble et ses éléments n'ont pas le même statut) ce que nous notons :

  (16)

Le but principal de cet axiome est d'éliminer la possibilité d'avoir A comme élément de lui-même.

En conséquence :

A9. Axiome de l'ensemble des parties:

Démonstration:

En effet, soit A un ensemble tel que . Considérons le singleton{A}, ensemble dont le seul élément est A. D'après l'axiome de fondation, nous devons avoir un élément de ce singleton qui n'a aucun élément en commun avec lui. Mais le seul élément possible est A lui-même, c'est-à-dire que nous devons avoir:

  (17)

Or par hypothèse,  et par construction. Donc , ce qui contredit l'assertion précédente. Donc .

C.Q.F.D.

A10. Axiome de remplacement : 

Quel que soit l'ensemble A d'éléments a et la relation binaire f, il existe un ensemble B constitué des éléments b tel que f(a,b) soit vraie. Si f est une fonction, alors et .

A11. Axiome de sélection (ou de compréhension) : 

A tout ensemble A et toute condition ou proposition S(x), il correspond un ensemble B dont les éléments sont exactement les éléments x de A pour lesquels S(x) est vraie. C'est ce que nous notons :

  (18)

Cet axiome est primordial : le respect de ses conditions très strictes d'application permet d'éliminer les paradoxes de la "théorie naïve des ensembles", comme le paradoxe de Russel ou le paradoxe de Cantor qui ont invalidé la théorie naïve des ensembles.

Considérons par exemple l'ensemble R de Russell de tous les ensembles qui ne s'auto-contiennent pas (notez bien que nous donnons une propriété de R sans expliciter quel est cet ensemble) : . Le problème est de savoir si R se contient ou non. Si , alors, R s'auto-contient, et, par définition  et inversement. Chaque possibilité est donc contradictoire.

Si maintenant nous désignons par C l'ensemble de tous les ensembles (l'Universel de Cantor), nous avons en particulier : , ce qui est impossible (i.e. par exemple avec la puissance du continu de l'ensemble de réels), d'après le théorème de Cantor.

Ces "paradoxes" (ou antinomies syntaxiques) proviennent d'un non respect des conditions d'application de l'axiome de sélection : pour définir E (dans l'exemple de Russel), il doit exister une proposition S(x) qui porte sur l'ensemble R, qui doit être explicité. La proposition définissant l'ensemble de Russell ou celui de Cantor n'indique pas quel est l'ensemble E; elle est donc invalide.

Un exemple fort symphatique et fort connu (c'est la raison pour laquelle nous le présentons) permet de mieux comprendre (il s'agit du paradoxe de Russel) :

Un jeune étudiant se rendit un jour chez son barbier. Il engagea la conversation et lui demanda s'il avait de nombreux concurrents dans sa jolie cité. De manière apparemment innocente, le barbier lui répondit :"Je n'ai aucune concurrence. En effet, de tous les hommes de la cité, je ne rase évidemment pas ceux qui se rasent eux-mêmes, mais j'ai le bonheur de raser tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes."

En quoi donc, une telle affirmation si simple put-elle mettre en défaut la logique de notre jeune étudiant si malin ?

La réponse est en effet innocente, jusqu'au moment ou nous décidons de l'appliquer au cas du barbier :

Se rase-t-il lui-même, oui ou non ?

Supposons qu'il se rase lui-même : il entre dans la catégorie de ceux qui se rasent eux-mêmes, dont le barbier a précisé qu'il ne les rasait évidemment pas. Donc il ne rase pas lui-même.

Très bien ! Supposons alors qu'il ne se rase pas lui-même : il entre alors dans la catégorie de ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes, dont le barbier a précisé qu'il les rasait tous. Donc il se rase lui-même.

Finalement, ce malheureux barbier est dans une position étrange : s'il se rase lui-même, il ne se rase pas, et s'il ne se rase pas lui-même, il se rase. Cette logique est autodestructrice, stupidement contradictoire, rationnellement irrationnelle.

Vient alors l'axiome de sélection :

Nous excluons le barbier de l'ensemble des personnes auxquelles s'applique la déclaration. Car en réalité, le problème vient du fait que le barbier est un élément de l'ensemble de tous les hommes de la cité. Ainsi, ce qui s'applique à tous les hommes ne s'applique pas au cas individuel du barbier.

A12. Axiome du choix :

Étant donné un ensemble A d'ensembles non vides mutuellement disjoints, il existe un ensemble BA) contenant exactement un élément pour chaque membre de A. (l'ensemble de choix pour

Complétons le tout par une note de culture générale : la théorie des ensembles basée sur les axiomes 1 à 7 est dite de Zermelo (Z). Complétée par l'axiome 8, nous parlons de la théorie Zermelo-Fraenkel ou, plus simplement, la théorie ZF. Si nous lui ajoutons l'axiome du choix, elle est dite "axiomatique ZFC" ("C" comme choix - pour l'axiome du même nom).

Indiquons cependant que la question de l'axiomatisation et donc des fondements se trouva quand même ébranlée de deux questions à l'époque de leur construction: quels axiomes valides doivent être choisis et dans un système d'axiomes les mathématiques sont-elles cohérentes (ne risque-t-on pas de voir apparaître une contradiction)?

La première question fut soulevée d'abord par l'hypothèse du continu: si nous pouvons mettre deux ensembles de nombres en correspondance terme à terme, ils ont le même nombre d'éléments (cardinal). Nous pouvons mettre en correspondance les entiers avec les rationnels comme nous l'avons démontré dans le chapitre sur les Nombres, ils ont donc même cardinal, nous ne pouvons par contre mettre en correspondance les entiers avec les réels. La question est alors de savoir s'il y a un ensemble dont le nombre d'éléments serait situé entre les deux ou pas? Cette question est importante pour construire la théorie classique de l'analyse et les mathématiciens choisissent en général de dire qu'il n'y en a pas, mais nous pouvons aussi dire le contraire.

En fait l'hypothèse du continu est liée de manière plus profonde à l'axiome du choix qui peut aussi être formulé de la manière suivante: si C est une collection d'ensembles non vides alors nous pouvons choisir un élément de chaque ensemble de la collection. Si C a un nombre fini d'éléments ou un nombre dénombrable d'éléments, l'axiome semble assez évident: npous pouvons ranger les ensembles de C en les numérotant, et le choix d'un élément dans chaque ensemble est simple. Là où ça se complique c'est lorsque l'ensemble C a la puissance du continu: comment choisir des éléments s'il n'y pas la possibilité es les numéroter?

Finalement en 1938 Kurt Gödel montre que la théorie des ensembles est cohérente sans l'axiome du choix et sans l'hypothèse du continu aussi bien qu'avec! Et pour clore tout ça Paul Cohen montre en 1963 que l'axiome du choix et l'hypothèse du continu ne sont pas liés.

CARDINAux

Définition: Des ensembles sont dits "équipotents" s'il existe une bijection (correspondance biunivoque) entre ces ensembles. Nous disons qu'ils ont alors même "cardinal".

Ainsi, plus rigoureusement, un cardinal (qui quantifie le nombre d'éléments contenus dans l'ensemble) est une classe d'équivalence (cf. chapitre sur les Opérateurs) pour la relation d'équipotence.

Remarque: Cantor est le principal créateur de la théorie des ensembles, sous une forme que nous qualifions aujourd'hui de "théorie naïve des ensembles". Mais, à côté de considérations élémentaires, sa théorie comportait des niveaux d'abstraction élevés. La vraie nouveauté de la théorie de Cantor, c'est qu'elle permet de parler de l'infini. Par exemple, une idée importante de Cantor a justement été de définir l'équipotence.

Si nous écrivons  en tant qu'égalité de cardinaux, nous entendons alors par là qu'il existe deux ensembles équipotents A et B tels que :

 et   (19)

Les cardinaux peuvent êtres comparés. L'ordre ainsi défini est une relation d'ordre total (cf. chapitre sur les Opérateurs) entre les cardinaux (la preuve que la relation d'ordre est totale utilise l'axiome du Choix et la preuve qu'elle soit antisymétrique est connue sous le nom de théorème de Cantor-Bernstein que nous démontrons d'ailleurs plus bas).

Dire que  signifie dans un vocabulaire simple que A est équipotent à une partie propre de B, mais B n'est équipotent à aucune partie propre de A. Si Les mathématiciens diraient que le Card(A) est plus petit ou égal au Card(B) si il existe une injection de A dans B.

Nous avons vu lors de notre étude des nombres, en particulier des nombres transfinis, qu'un ensemble équipotent (ou en bijection) à était dit "ensemble dénombrable".

Voyons cette notion un petit peu plus dans les détails:

Soit A un ensemble, s'il existe un entier n tel qu'il y ait au moins à chaque élément de A un correspondant dans l'ensemble {1,2,...n}(au fait rigoureusement il s'agit d'une bijection... concept que nous définirons plus tard) nous disons alors que le cardinal de A, noté Card(A), est de "cardinal fini" et vaut n.

Dans le cas contraire, nous disons que l'ensemble A est de "cardinal infini" et nous posons :

    (20)

Un ensemble A est donc "dénombrable" s'il existe une bijection entre A et . Un ensemble de nombre A est "au plus dénombrable" s'il existe une bijection entre A et une partie . Un ensemble au plus dénombrable est donc soit de cardinal fini, soit dénombrable.

Nous vérifions dès lors les propositions suivantes:

P1. une partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable.

P2. un ensemble contenant un ensemble non-dénombrable n'est lui aussi pas dénombrable

P3. Le produit de deux ensembles dénombrables est dénombrable

Remarque: Nous pouvons restreindre un ensemble de nombres par rapport à l'élément nul et aux éléments négatifs ou positifs qu'il contient et dès lors nous notons (exemple pour l'ensemble des réels):

  (21)

Ces notions étant analogues pour .

Donc tout sous-ensemble infini de  est équipotent à  lui-même. En particulier, il y a autant d'entier naturels pairs que d'entiers naturels quelconques (utiliser la bijection ) de  vers P, où P désigne l'ensemble des entiers naturels pairs), autant d'entiers relatifs que d'entiers naturels, autant d'entiers relatifs que de nombres rationnels (voir le chapitre traitant des nombres pour les démonstrations).

Nous pouvons donc écrire:

  (22)

et plus généralement, toute partie infinie de  est dénombrable.

Un résultat important: tout ensemble infini possède donc une partie infinie dénombrable.

Puisque nous avons démontré dans le chapitre traitant des nombres que l'ensemble des réels avait la "puissance du continu" et que l'ensemble des nombres naturels était de cardinal transfini , Cantor souleva la question s'il existait un cardinal transfini entre  et le cardinal de ? Autrement dit, existe-il un ensemble infiniment grand qui serait intermédiaire entre l'ensemble des nombres entiers et l'ensemble des réels?

Le problème se posa en notant bien évidemment  le cardinal de  et (nouveauté)  le cardinal de  et en proposant de démontrer ou de contredire que:

  (23)

selon la loi combinatoire qui donne le nombre d'éléments de l'ensemble que l'on peut obtenir à partir de tous les sous-ensembles d'un ensemble (tel que nous l'avons démontré précedemment).

Le reste de sa vie, Cantor essaya, en vain, de démontrer ce résultat que l'on nomma "l'hypothèse du continu". Il n'y réussit pas et sombra dans la folie. En 1900, au congrès international des mathématiciens, Hilbert estima qu'il s'agissait là d'un des 23 problèmes majeurs qui devraient êtres résolus au XX^ème siècle.

Ce problème se résout d'une façon assez étonnante. D'abord, en 1938, un des plus grands logiciens du 20ème siècle, Kurt Gödel, démontra que l'hypothèse de Cantor n'était pas réfutable, c'est-à-dire qu'on ne pourrait jamais démontrer qu'elle était fausse. Puis en 1963, le mathématicien Paul Cohen boucla la boucle. Il démontra qu'on ne pourrait jamais non plus démontrer qu'elle était vraie !!! Nous ne pouvons conclure à juste raison que Cantor avait perdu la raison à chercher à démontrer une problème qui ne pouvait pas l'être.

pRODUIT CARTÉSIEN

Si E et F sont deux ensembles, nous appelons "produit cartésien de E par F" l'ensemble noté (à ne pas confondre avec le produit vectoriel) formé de tous les couples possibles où e est un élément de E et f un élément de F.

Autrement écrit:

  (24)

Nous remarquons facilement que  et  ne sont pas les mêmes ensembles (sauf bien sur si ).

Nous notons le produit cartésien de E par lui même : 

  (25)

et nous disonsalors est "l'ensemble des couples d'éléments de E".

Nous pouvons effectuer le produit cartésien d'une suite d'ensemble  et ainsi obtenir l'ensemble des n-uplets où .

Dans le cas où tous les ensembles  sont identiques à E, le produit cartésien se note bien évidemment . Nous disons alors que  est "l'ensemble des n-uplets d'éléments de E".

Si E et F sont finis alors le produit cartésien est fini. De plus:

  (26)

De là, nous voyons que si les ensembles  sont finis alors le produit cartésien est aussi fini et nous avons :

  (27)

En particulier,  si E est un ensemble fini.

Exemples:

E1. Si est l'ensemble des nombres réels, est alors l'ensemble des couples de réels. Dans le plan rapporté à un repère, tout point M admet des coordonnées qui sont un élément de .

E2.  Lorque nous lançons deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6, chaque dé peut être symbolisé par l'ensemble .  Le résultat d'un lancer est alors un élément de . Le cardinal de  est alors 36.  Il y a donc 36 résultats possibles quand nous lançons 2 dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

Remarque: La théorie de base des ensembles ainsi que le concept de cardinal sont à la base théorique des logiciels de bases de données relationnelles.

BORNES

Soit M un ensemble de nombres quelconques de façon à ce que (exemple particulier mais fréquent) nous avons comme définitions:

D1.  est appelé "borne supérieure" ou "majorant" de l'ensemble M, si  pour . Inversémement, nous parlons de "borne inférieure" ou de "minorant" (il ne faut donc pas confondre le concept de borne avec le concept d'intervalle!).

D2. Soit . est appelé "plus petite borne supérieure" noté :

  (28)

de M si x est une borne supérieure de M et si pour toute borne supérieure nous avons Inversement, nous parlons de "plus petite borne inférieure" que nous notons:

  (29)

Les définitions sont équivalentes dans le cadre de l'analyse fonctionnelle (voir chapitre du même nom) puisque les fonctions sont définies sur des ensembles.

Effectivement, Soit f  une fonction dont le domaine de définition I balaie tout . Ce que nous notons  et soit .

D1. Nous disons que f présente un "maximum global" en  si:

  (30)

D2. Nous disons que f présente un "minimum global" en  si:

  (31)

Dans l'un de ces deux cas, nous disons que f présente un "extremum global" en  (c'est un concept que nous retrouverons souvent en mécanique analytique!).

D3. f est "majorée" s'il existe un réel M tel que . Dans ce cas, la fonction possède une borne supérieure de f sur son domaine de définition I notée traditionnellement:

  (32)

et elle représente donc la plus petite borne supérieure (le plut petit majorant).

D4. f est "minorée" s'il existe un réel M tel que . Dans ce cas, la fonction possède une borne supérieure de f sur son domaine de définition I notée traditionnellement:

  (33)

et elle représente la plus grande borne inférieure (le plus grand minorant).

D5. Nous disons que f  est "bornée" si elle est à la fois majorée et minorée (c'est le cas des fonction trigonométriques).

OPÉRATIONS ENSEMBLISTES

Nous pouvons construire à partir d'au moins trois ensembles A,B,C, l'ensemble des opérations (dont nous devons les notations à Dedekind) existant dans le théorie des ensembles (très utiles dans l'étude des probabilités et statistiques). 

Remarque: Certaines des notations présentes ci-dessous se retrouveront fréquemment dans des théorèmes complexes, il est donc nécessaire de bien comprendre de quoi il en retourne.

Ainsi, nous pouvons construire les opérations ensemblistes suivantes :

INCLUSIONS

Dans le cas le plus simple, nous définissons "l'inclusion" par :

  (34)

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire : A est "inclus" (ou "fait partie", ou encore est un "sous-ensemble") dans B alors pour tout x appartenant à A chacun des ces x appartient aussi à B.

  (35)

De ceci il en découle les propriétés suivantes:

P1. Si et  alors cela implique = et réciproquement

P2. Si  et  alors cela implique

INTERSECTION

Dans le cas le plus simple, nous avons :

  (36)

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire : "L'intersection" des ensembles A et B consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent à la fois dans A et dans B.

  (37)

Plus généralement, si  est une famille d'ensembles indexés par , l'intersection des  est notée :

  (38)

Cette intersection est donc définie explicitement par :

  (39)

C'est-à-dire que l'intersection de la famille d'ensembles indexés comprend tous les x qui se trouvent dans chaque ensemble de tous les ensemble de la famille.

Soit deux ensembles A et B, nous disons qu'ils sont "disjoints" si et seulement si:

  (40)

Par ailleurs, si :

  (41)

Les mathématiciens notent cela :

  (42)

et l'appellent "union disjointe"

Définition: Une collection  d'ensembles non vides forment une "partition" d'un ensemble A si les propriétés suivantes sont vérifiées :

P1.  et

P2.

Exemples:

E1. L'ensemble des nombres pairs et l'ensemble des nombres impairs forment une partition de .

E2. La loi d'intersection est une loi commutative (voir plus loin la définition du concept de "loi") telle que:

  (43)

RÉUNION/UNION

Dans le cas le plus simple, nous avons :

  (44)

En langage non spécialisé voici ce que qu'il faut lire: La "réunion" ou "union" des ensembles A et BA et en plus dans B. consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent dans

  (45)

Plus généralement, si est une famille d'ensembles indexés par , l'union des est notée . Cette réunion est définie par:

  (46)

C'est-à-dire que la réunion de la famille d'ensembles indexés comprend tous les x pour lesquels il existe un ensemble indexé par i tel que x soit inclus dans cet ensemble .

Nous avons les propriétés de distributivité suivantes:

  (47)

  (48)

La loi de réunion  est une loi commutative (voir plus loin la définition du concept de "loi") telle que:

  (49)

Nous appellons par ailleurs "lois d'idempotences" les relations (précisons cela pour la culture générale):

  (50)

et "lois d'absorptions" les lois:

  (51)

Les loi de réunion et d'intersection sont associatives telles que:

  (52)

et distributives telles que:

  (53)

DIFFÉRENCE

Dans le cas le plus simple, nous avons :

  (54)

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire : La "différence" des ensembles A et B consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent uniquement dans A (et qui excluent donc les éléments de B).

  (55)

Si nous nous rappellons du concept de "cardinal" (voir plus haut), nous avons avec les opérations précédemment définies, la relation suivante:

  (56)

d'où si :

DIFFÉRENCE SYMÉTRIQUE

Soit E un ensemble. Pour tout nous définissons la différence symétrique entre A et B par :

  (58)

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire: La "différence symétrique" des ensembles A et BA et de ceux se trouvant uniquement dans B (nous laissons donc de côté les éléments qui sont communs). consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent uniquement dans

  (59)

Les propriétés triviales sont les suivantes :

P1.

P2.

P3.

PRODUIT

Dans le cas le plus simple, nous avons :

  (60)

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire: "l'ensemble produit" (à ne pas confondre avec la multiplication ou le produit vectoriel) de deux ensembles A et B est l'ensemble des couples tels que:

  (61)

L'ensemble produit des réels par exemple forme le plan où chaque élément est défini par une abscisse et son ordonnée.

COMPLÉMENTARITÉ

Dans le cas le plus simple, nous avons :

  (62)

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire : Le "complémentaire" est définit comme en prenant B un ensemble et A un sous-ensemble de B alors le complémentaire de A dans B est l'ensemble des éléments qui sont dans B mais pas dans A.

  (63)

Une autre notation très importante de la complémentarité est la suivante:

ou   (64)

Nous avons comme propriétés pour tout  inclus dans B :

  (65)

  (66)

Voici quelques lois triviales relatives aux compléments:

  (67)

Il existe d'autres lois très importantes en logique booléenne. Si nous considérons trois ensembles A, B, C comme représentés ci-dessous:

  (68)

nous avons donc:

  (69)

et les fameuses "lois de De Morgan" sous forme ensembliste (cf. chapitre de Systèmes Logiques Formels) et qui sont données par les relations :

  (70)

FONCTIONS et applications

Définition: En mathématiques, une "application" (ou "fonction") notée f ou A est la donnée de deux ensembles, l'ensemble de départ E et l'ensemble d'arrivée F (ou d'image de E), et d'une relation associant à chaque élément x de l'ensemble de départ un et un seul élément de l'ensemble d'arrivée, que nous appelons "image de x par f " et que nous notons f(x).

Nous appelons "images" les éléments de f(E) et les éléments de E sont appelés les antécédents.

Nous disons alors que f est une application de E dans F notée:

  (71)

(se rappeler du premier diagramme sagittal présenté au début de ce chapitre), ou encore une application à arguments dans E et valeurs dans F.

Remarque: Le terme "fonction" est souvent utilisé pour les applications à valeurs numériques, réelles ou complexes, c'est-à-dire lorsque l'ensemble d'arrivée est ou . Nous parlons alors de "fonction réelle", ou de "fonction complexe".

Définitions:

D1. Le "graphe" (ou encre "graphique" ou "représentative") d'une application est le sous-ensemble du produit cartésien constitué des couples (x,f(x)) pour x variant dans E. La donnée du graphe de f détermine son ensemble de départ (par projection sur la première composante souvent notée x) et son image (par projection sur la seconde composante souvent notée y).

D2. Si le triplet  est une fonction où E et F sont deux ensembles et  est un graphe et donc E et F sont respectivement la source et le but de f. Le "domaine de définition" ou "ensemble de départ" de f est :

=   (72)

D3. Etant donnés trois ensembles E, F et G (non vides), toute fonction de vers G est appelée "loi de composition" de à valeurs dans G.

D4. Une "loi de composition interne" (ou simplement "loi interne") dans E est une loi de composition de à valeurs dans E (cas E=F=G). 

Remarque: La soustraction dans n'est pas une loi de composition interne bien qu'elle fasse partie des quatre opérations élémentaires apprises à l'école. Par contre l'addition sur en est biens une.

D5. Une "loi composition externe" (ou simplement "loi externe") dans E est une loi de composition de à valeurs dans E, où F est un ensemble distinct de E. En général, F est un corps, dit "corps de scalaires"

Exemple:

Dans le cas d'un espace vectoriel (voir définition beaucoup plus bas) la multiplication d'un vecteur (dont les composante se basent sur un ensemble donné) par un réel est une loie de composition externe.

Remarque: Une loi de composition externe à valeurs dans E est aussi appelée "action de F sur E". L'ensemble F est alors le domaine d'opérateurs. On dit aussi que F opère sur E (ayez en tête l'exemple des vecteurs précédemment cité)

D6. Nous appelons "image de f", et nous notons Im(f), le sous-ensemble défini par :

  (73)

Ainsi, "L'image" d'une application  est la collection des f(x) pour x parcourant E , c'est un sous-ensemble de F.

Et nous appelons "noyau de f", et nous notons Ker(f), le sous-ensemble tès important en mathématiques défini par :

  (74)

Selon la figure (il faut bien comprendre ce concept de noyau car nous le réutiliserons de nombreuses fois pour démontrer des théorèmes ayant des applications pratiques importantes) :

  (75)

Remarques:

R1. Ker(f) provient de l’allemand "Kern", signifiant tout simplement "noyau". En anglais, le noyau se dit aussi "kernel", signifiant "amande" dans le civil.

R2. Normalement les notations Im et Ker sont réservées aux homomorphismes de groupes, d'anneaux, de corps et aux applications linéaires entre espaces vectoriels ou modules etc.... (voir plus loin). Nous n'avons normalement pas l'habitude de les utiliser pour des applications quelconques entre ensembles quelconques. Mais bon...ça fait rien.

Les applications peuvent avoir une quantité phénoménale de propriétés dont voici celles qui font partie des connaissances générales du physicien (pour plus de renseignements sur ce qu'est une fonction, voir le chapitre traitant de l'Analyse Fonctionnelle).

Soit f une application d'un ensemble E à un ensemble F alors nous avons les propriétés suivantes :

P1. Une application est dite "surjective" si :

Tout élément y de F est l'image par f d'au moins (nous insistons sur le "au moins") un élément de E. Nous disons encore que c'est une "surjection" de E dans F. Il découle de cette définition, qu'une application est surjective si et seulement si . En d'autres termes, nous écrivons aussi cette définition ainsi :

  (76)

ce qui s'illustre par:

  (77)

P2. Une application est dite "injective" si :

Tout élément y de F est l'image par f d'au plus (nous insistons sur le "au plus") d'un seul élément de E, l'application f . Nous disons encore que f est une injection de E dans F. Il résulte de cette définition, qu'une applicationest injective si et seulement si les relations  et impliquent autrement dit : une application pour laquelle deux éléments distincts ont des images distinctes est dite injective. Ou encore, une application est injective si l'une aux moins des propriétés équivalents suivantes est vérifiée :

P2.1

P2.2

P2.3 l'équation en x, a au plus une solution dans E

Tout cela s'illustrant par:

  (78)

P3. Une application est dite "bijective" si :

Une application f de E dans F est à la fois surjective et injective. Dans ce cas, nous avons que pour tout élément y de F de l'équation  admet dans E une unique (ni "au plus", ni "au moins") pré-image x.  Ce que nous écrivons aussi :

  (79)

ce qui s'illustre par:

  (80)

Nous sommes ainsi tout naturellement amené à définir une nouvelle application de F dans E, appelée "fonction réciproque" de f et notée  , qui a tout élément y de F, fait correspondre l'élément x de E. Autrement dit: pré-image (ou solution) unique de l'équation

  (81)

L'existence d'une application réciproque implique que le graphique d'une application bijective (dans l'ensemble des réels...) et celui de son application réciproque sont symétriques par rapport à la droite d'équation . 

Effectivement, nous remarquons que si est équivalent à . Ces équations impliquement que le point (x, y) est sur le graphique de f si et seulement si le point (y, x) est sur le graphique de .

Exemple:

Prenons le cas d'une station de vacances où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel. Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble des touristes vers l'ensemble des chambres (à chaque touriste est associée une chambre).

- Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chacun d'entre eux ait une chambre individuelle. Cela n'est possible que si le nombre de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres.

- L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.

- S'il est possible de répartir les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées : l'application sera alors à la fois injective et surjective nous dirons qu'elle est bijective.

Remarques:

R1. Il vient des définitions ci-dessus qu'une application f est bijective (ou "biunivoque") dans l'ensemble des réels si et seulement si toute droite horizontale coupe la représentation graphique de la fonction en un seul point. Nous pouvons donc amener à faire la seconde remarque suivante :

R2. Une application qui vérifie le test de la droite horizontale est continuement croissante ou décroissante en tout point de son domaine de définition.

P4. Une application est dite "fonction composée" si :

Soit  une application de E dans F et  une fonction de F dans G. L'application qui associe à chaque élément x de l'élément de E,  de G s'appelle "application composée" de  et de  et se note .

Le symoble " " est appelé "rond". Ainsi, la relation précédente ce lit "psi rond phy". Ainsi:

  (82)

Soit, de plus,  une application de G dans H. Nous vérifions aussitôt que l'opération de composition est associative:

  (83)

Cela nous permet d'omettre les parenthèses et d'écrire plus simplement:

Dans le cas particulier où  serait une application de E dans E, nous notons  l'application composée  (k fois).

Ce qui est important dans ce que nous venons de voir dans ce chapitre, c'est que toutes les propriétés définies et énoncées ci-dessus sont applicables aux ensembles de nombres.

Voyons en un exemple très concret et très puissant:

THÉORÈME DE CANTOR-BERNSTEIN

Attention. Ce théorème, dont le résultat est évident dans un premier abord, n'est pas simple à aborder. Nous vous conseillons de lire très lentement et de vous imaginer les diagrammes sagittaux dans la tête.

Voici l'hypothèse à démontrer: Soit X et  Y deux ensembles. S'il existe une injection (voir la définition d'une fonction injective ci-dessus) de X vers Y et une autre de Y vers X, alors les deux ensembles sont en bijection (voir la définition d'une fonction bijective ci-dessus). Il s'agit donc aussi d'une relation anti-symétrique.

Pour la démonstration, nous avons besoin de démontrer au préalable un lemme dont l'énonce est le suivant : Soit X, Y, Z trois ensembles tels que . Si X et Y sont en bijection, alors X et Z sont en bijection.

Démonstration:

D'abord, au niveau formel, créons une fonction f que nous créons telle quelle soit bijective:

  (84)

Nous avons besoin maintenant de définir l'ensemble A par les images de l'union des fonctions des fonctions f (du genre f(f(f...))) ) des pré-images de l'ensemble Z  dont nous excluons les éléments de X (ce que nous notons Z-X ).

En d'autres termes (si la première forme n'est pas claire…) nous définissons l'ensemble A comme étant l'union des images de (Z-X) par les applications Ce que nous noterons donc:

  (85)

Nous avons alors bien évidemment (faire un schéma de tête des diagramme sagittaux peut aider à ce niveau là):

  (86)

Nous pouvons démontrer élégamment cette dernière relation:

  (87)

(sympathique n'est-ce pas…).

Comme Z peut être partitionné en  et , nous posons comme une définition l'application g telle que:

  (88)

tel que pour toute pré-image a nous ayons:

  (89)

(rappelez-vous de la définition des applications notées "f") et:

  (90)

L'application g est alors bijective car ses restrictions à  et , (qui forment une partition) sont f et l'identité qui sont par définition bijectives.

Finalement il existe bien, par construction, une bijection entre X et Z.

Reprenons les hypothèses du théorème :

Soit  une injection de X vers Y et  une injection de Y vers X

Nous avons alors:

et    (91)

donc:

  (92)

Comme  est injective, X et  sont par définition en bijection et de même, comme  est injective,  et sont en bijection (là il est bon de relire…).

Donc: X et  sont eux aussi en bijection

En utilisant le lemme sur  et X (donc en analogie avec ), il vient donc que est en bijection ce qui nous donne avec ceux que nous avons vu juste précédemment, que puisque aussi  et sont en bijection, alors que est en bijection avec ,  alors X et Y sont en injection (ouf! c'est beau mais c'est aussi vicieux que simple).

C.Q.F.D.

Ce théorème s'interprète alors comme disant : Si je peux compter une partie d'un ensemble avec la totalité des éléments d'un autre ensemble, et réciproquement, alors ils ont le même nombre d'élements. Ce qui est évident pour des ensembles finis. Ce théorème généralise alors cette notion pour des ensembles infinis.

À partir de là, ce théorème représente l'une des briques de base pour généraliser la notion de tailles d'ensembles à des ensembles infinis.

STRUCTURES ALGÉBRIQUES 

L'algèbre dite "algèbre moderne" commence avec la théorie des structures algébriques due en partie à Carl F. Gauss et surtout à Évariste Galois. Ces structures existent en un très grand nombre mais seulement les fondamentales nous intéresseront ici. Avant des les détailler, voici un diagramme synoptique des ces principales grandeurs et de leur hiéarchie :

  (93)

Remarques: Tout en haut du diagramme, la structure au nombre minimal de contraintes, en bas, un maximum. Soit, plus nous descendons, plus la structure est en quelque sorte spécialisée.

Soit pour simplifier les écritures,  une loi de composition (comme l'addition, la soustraction, la multiplication ou encore la division,...)...

Remarque: Cette notation généralisée est parfois appelée "notation stellaire".

Définitions: Soit  et  des symboles de lois (cela pourrait être l'addition et la multiplication pour prendre le cas le plus connu) alors :

D1.  est une "loi commutative" si : 

D2.  est une "loi associative" si :

D3. n est "élément neutre" pour si :

D4. a' est "l'élément symétrique" (dans le sens génénéral de l'opposé par exemple pour l'additon et l'inverse pour la multiplication) de a pour si :

D5.   est une "loi distributive" par rapport à si :

Remarques:

R1. Si a est son propre symétrique par rapport à la loi , les mathématiciens disent que a est "involutif"

R2. Si un élément b de E vérifie , alors b est dit "élément absorbant" pour la loi .

R3. Il faut toujours vérifier que les neutres et les symétriques le soient "à gauche" et "à droite". Ainsi, par exemple, dans , l'élément 0 n'est un neutre qu'à droite car mais .

MAGMA

Définition: Nous désignons un ensemble par le terme "magma" M , si les composants le constituant sont opérables par rapport une loi interne . :

est un magma si

Remarques:

R1. Si de plus la loi interne est commutative, nous parlons de "magma commutatif"

R2. Si de plus la loi interne est assiocative, nous parlons de "magma assiocatif"

R3. Si de plus la loi interne possède un élément neutre, nous parlons de "magma unitaire"

Il est donc important de se rappeler que si nous désignons une structure algébrique par le terme "magma" tout court cela signifie en aucun cas que le loi interne est commutative, associative ou même qu'elle possède un élémenet neutre !

Définition: Dans un magma , un élément x est dit "élément régulier" (ou "élément simplifiable") à gauche si pour tout couple nous avons :

  (94)

Remarque: Nous définissons de même un élément régulier à droite.

Ainsi, un élément est dit "régulier" s'il est régulier à droite et à gauche. Si * est commutative (ce qui est le cas pour un magma commutatif), les notions d'élément régulier à gauche ou à droite coïncident.

Exemple:

Dans tout élément est régulier et dans tout élément non nul est régulier.

Un magma est donc une structure algébrique élémentaire. Il existe des structures plus subtiles (monïdes, groupes, anneaux, corps, espace vectoriels, etc.) dans lesquelles un ensemble est muni de plusieurs lois et de différentes propriétés. Nous allons les voir de suite et les utiliser tout au long de ce site.

MONOÏDE

Définition: Si la loi est associative et possède un élément neutre nous disons alors que le "magma associatif unitaire" est un "monoïde" :

est un monoïde si

Remarques:

R1. Si de plus la loi interne est en plus commutative alors nous disons alors que la structure forme un "monoïde abélien" (ou simplement "monoïde commutatif").

R2. Dans certains ouvrage nous trouvons aussi comme définition que le monoïde est un "demi-groupe" (avec une loi associative) muni d'un élément neutre.

Montrons  tout de suite que l'ensemble des entiers naturels   est un monoïde abélien totalement ordonné (comme nous l'avons partiellement vu dans le chapitre des opérateurs) par rapport aux lois d'addition et de multiplication :

La loi d'addition ( + ) est-elle une opération interne telle que  nous ayons :

  (95)

Nous pouvons démontrer que c'est bien le cas en sachant que 1 appartient à  tel que :

  (96)

Donc  et l'addition est bien une loi interne (nous disons également que l'ensemble est "stable" par rapport à l'addition) et en même temps associative puisque 1 peut être additionné à lui-même par définition dans n'importe quel ordre sans que le résultat en soit altéré. Si vous vous rappelez que la multiplication est une loi qui se construit sur l'addition, alors la loi de multiplication ( x ) est aussi une loi interne et associative !

Nous admettrons à partir d'ici qu'il est trivial que la loi d'addition est également commutative et que le zéro "0" en est l'élément neutre (n). Ainsi, la loi de multiplication est elle aussi commutative et il est trivial que "1" en est l'élément neutre (n).

- Existe t'il, en restant dans la lignée de l'exemple précédant..., pour la loi d'addition ( + ) un symétrique  tel que  nous ayons:

  (97)

avec ?

Il est assez trivial que pour que cette égalité soit satisfaite nous ayons:

  (98)

soit:

a + b = -c   (99)

or les nombres négatifs n'existent pas dans . Ce qui nous amène aussi à la conclusion que la loi d'addition ( + ) n'a pas de symétrique et que la loi de soustraction ( - ) n'existe pas dans  (la soustraction étant rigoureusement l'addition d'un nombre négatif).

- Existe t'il  pour la loi de multiplication ( x ) un symétrique a' tel que  nous ayons :

  (100)

avec ?

D'abord il est évident que:

  (101)

Mais excepté pour , le quotient 1/a  n'existe pas dans . Donc nous devons conclure qu'il n'existe pas pour tout élément de de symétriques pour la loi de multiplication et ainsi que la loi de division n'existe pas dans .

Synthèse:

(lois)	(+)	(-)	(x)	(/)
Opération interne	oui	-	oui	-
Commutative	oui		oui
Elément neutre	oui (zéro "0")		oui (un "1")
Symétrique	-		-

Remarque: Le "-" signifie que cette propriété n'existe pas dans l'ensemble considéré

Nous avons par exemple les propriétés suivantes relativement à l'ensemble des entiers naturels et au concept de monoïde:

P1.  est totalement ordonné (attention cette notation est un peu abusive! il suffit qu'il y ait juste une des deux relations d'ordre R pour que l'ensemble soit totalement ordonné).

P2. et sont des monoïdes abéliens.

P3. L'élément zéro "0" est l'élément absorbant pour le monoïde

P4. Les lois de soustraction et division n'existent pas dans l'ensemble

P5. est un monoïde abélien totalement ordonné par rapport aux lois d'addition et de multiplication (attention la notation suivante est abusive car le monoïde est composé que d'une seule loi interne et d'une relation d'ordre R ce qui donnerait au total 4 monoïdes):

  (103)

Remarques:

R1. Il est rare d'utiliser les monoïdes; car souvent, lorsque nous nous trouvons face à une structure trop pauvre pour pouvoir vraiment discuter, nous la prolongeons vers quelque chose de plus riche, comme un groupe, ou un anneau (voir plus loin) tel que l'ensemble des entiers relatifs.

R2. Dire qu'une structure algébrique est totalement ordonnée par rapport à certaines lois signifie que soit une loi, et R une relation d'ordre et a,b,c,d quatre éléments de la strucutre intéressée, alors si aRb et cRd implique . Nous notons alors cette structure  ou simplement et en indiquant la (ou les) loi concernée.

GROUPES

Définition: Nous désignons un ensemble par le terme "groupe", si les composants le constituant satisfont aux trois conditions de ce que nous nommons la "loi interne de groupe", définie ci-dessous:

 est un groupe si

Dans ce cas, la loi de compositions interne sera souvent (mais pas exclusivement!) notée "+" et appelée "l'addition", le neutre e noté "0" et le symétrique de x noté "-x".

Insistons sur le fait que la structure de groupe est probablement une des plus importantes dans la pratique de l'ingénieur et de la physique moderne en général. Raison pour laquelle il convient d'y porter une attention toute particulière (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste)!

Si de plus, la loi interne  est également commutative, nous disons alors que le groupe est un "groupe abélien" ou simplement "groupe commutatif".

S'il existe dans G au moins un élément a tel que tout élément de G est une puissance de a ou du symétrique a' de a, nous disons que  est un "groupe cyclique de générateur a" s'il est fini, sinon nous disons qu'il est "monogène" (nous reviendrons sur les groupes cycliques dans le chapitre d'Algèbre Ensembliste).

Plus généralement un groupe d'élément neutre e, non réduit uniquement à {e} sera monogène, s'il existe un élément a de G distinct de e tel que . Un tel groupe sera cyclique, s'il existe un entier n non nul pour lequel . Le plus petit entier non nul vérifiant cette égalité est alors "l'ordre du groupe".

Exemple:

Montrons tout de suite que l'ensemble des entiers relatifs   est un groupe abélien totalement ordonné (comme nous l'avons vu dans le chapitre des opérateurs) par rapport aux lois d'addition et de multiplication.

D'abord pour raccourcir les développements, il est utile de rappeler que l'ensemble  est un "prolongement" de  par le fait que nous y avons ajouté tous les nombres symétrique de signe négatif ( ).

Ainsi, en abusant toujours des notations (car normalement un groupe n'a qu'une seule loi et une seule relation d'ordre R suffiit à l'ordonner),  forme un groupe abélien totalement ordonné (4 groupes au fait!) et   un monoïde abélien (deux monoïides au fait!) totalement ordonné.

Remarquons aussi que la loi de division n'existe pas pour tout élément de l'ensemble !

Synthèse :

(lois)	(+)	(-)	(x)	(/)
Opération interne	oui	oui	oui	-
Associative	oui	non	oui
Commutative	oui	non	oui
Elément neutre	oui (zéro "0")	non (0 pas neutre à gauche)	oui (un "1")
Symétrique	oui (signe opposé)	non	inverse

Nous avons donc les propriétés suivantes :

P1.  est totalement ordonné (attention à nouveau cette notation est un peu abusive! il suffit qu'il y ait juste une des deux relations d'ordre R pour que l'ensemble soit totalement ordonné).

P2. est un groupe commutatif dont zéro "0" est l'élément absorbant

P3. La loi de division n'existe pas dans l'ensemble

P4. L'ensemble  est un groupe abélien totalement ordonné par rapport aux lois d'addition et de soustraction et de multiplication (attention la notation suivante est encore une fois abusive car le groupe est composé que d'une seule loi interne et d'une relation d'ordre R ce qui donnerait au total 4 groupes)::

  (105)

P5. L'ensemble  est un groupe commutatif totalement ordonné par rapport à la loi de multiplication :

  (106)

Nous voyons de suite que  a des propriétés trop restreintes, c'est la raison pour laquelle il est intéressant de le prolonger par l'ensemble des rationnels  défini de manière très simpliste... par (cf. chapitre sur les Nombres):

  (107)

Ce qui se lit: L'ensemble des rationnels et défini par l'ensemble des quotients p et q appertenant chacun à dont nous excluons à q de prendre la valeur nulle.

Et nous avons évidemment:

  (108)

Il est dès lors évident (sans démonstration et toujours en utilisant la notation abusive déjà comentée mainte fois plus haut...) que est aussi totalement ordonné et aussi que  est un groupe abélien totalement ordonné par rapport à la loi d'addition seulement .

Ce qui devient intéressant avec , c'est que la de multiplication devient une loi interne et forme un groupe abélien commutatif dit "groupe multiplicatif" par rapport à .

Démonstration:

Démonstrons donc que le symétrique existe pour la loi de multiplication (.) tel que:

  (109)

Puisque dans  tout nombre peut se mettre sous la forme:

    (110)

avec .

Alors puisque:

  (111)

Il existe donc un symétrique à tout rationnel dans  pour la loi de multiplication.

C.Q.F.D.

Par définition, ou par construction, la division existe dans  et est une opération interne. Mais est-elle associative telle que pour  nous ayons:

  (112)

Démonstration:

Au fait, la démonstration est assez triviale si nous nous rappelons que la division se définit à partir de la loi de multiplication par l'inverse et que cette dernière loi est commutative. Ainsi, il vient :

  (113)

Donc la loi de division n'est pas associative dans .

C.Q.F.D.

Nous pouvons aussi nous demander si la loi de division ( / ) est cependant commutative tel que la relation:

  (114)

pour ?

Nous voyons très bien que cela n'est pas le cas puisque nous pouvons écrire cette dernière relation sous la forme:

  (115)

Synthèse:

(lois)	(+)	(-)	(x)	(/)
Opération interne	oui	oui	oui	oui
Associative	oui	non	oui	non
Commutative	oui	non	oui	non
Elément neutre	oui (zéro "0")	non (0 pas neutre à gauche)	oui (un "1")	non
Symétrique	oui (signe opposé)	oui (signe opposé)	non (excepté dans )	non

Nous avons donc les propriétés suivantes :

P1.  est totalement ordonné

P2. sont indépendammnets des groupes abéliens totalement ordonnés

P3. Zéro "0" est l'élément absorbant par rapport  groupe

P4. L'ensemble  est un groupe abélien totalement ordonné par rapport aux lois d'addition et de multiplication que nous notons :

et   (117)

Les mêmes propriétés sont applicables à  et à  mais à la différence que ce dernier n'est pas ordonnable.

Cependant, il peut être compréhensible que pour  vous soyez sceptiques. Développons donc tout cela:

Nous devons nous assurer que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres de la forme  donne quelque chose d'encore de cette forme.

Additionnons les nombres   et   où a, b, c et d sont des réels :

  (118)

Donc l'addition est bien une loi interne commutative et associative pour laquelle il existe un élément neutre et symétrique dans l'ensemble des complexes.

Soustrayons les nombres   et   où  a, b, c et d  sont ici encore, des réels :

  (119)

Donc la soustraction est une opération interne elle n'est ni commutative, ni associative elle n'a pas d'élément neutre à gauche et pas de symétrique.

Multiplions maintenant les nombres  et   où  a, b, c et d  là toujours, des réels. Pour parvenir à nos fins, nous emploierons la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.

  (120)

Donc la loi de multiplication est bien une opération interne commutative, associative et distributive (!) pour laquelle il existe un élément neutre et symétrique dans (voir ci-après) dans l'ensemble des complexes.

Une division est avant tout une multiplication par l'inverse. Prouver qu'il existe un inverse c'est prouver qu'il existe un symétrique pour la multiplication. Inversons donc le nombre  où x et y sont des réels (différents de zéro):

  (121)

Donc l'inverse la divisiond'un nombre complexe est bien une opération interne non associative et non commutative pour laquelle il existe un élément neutre et symétrique.

Voyons un exemple de groupe cyclique : Dans , considérons G={1,i,-1,-i} muni de la multiplication usuelle des nombres complexes. Alors  est évidemment un groupe abélien. Un tel groupe est aussi monogène car engendré par les puissances d'un de ses éléments : i (ou bien -i). Ce groupe monogène étant fini, il s'agit alors d'un groupe cyclique.

ANNEAUX

L'anneau est le coeur de l'algèbre commutative qui est la structure algébrique correspondant aux concepts collégiens d'addition, de soustraction, et de multiplication.

Définition: Un groupe commutatif (ou "groupe abélien") A est un "anneau" s'il est muni d'une seconde loi de composition interne vérifiant les propriétés suivante :

 est un Anneau

Comme nous le savons déjà, l'élément neutre de la première loi de composition interne + est noté "0" et appelé "zéro" de l'anneau. La deuxième loi interne est souvent notée par un point à demi hauteur et appelée la "multiplication".

Remarques:

R1. Si de plus, la deuxième loi interne de composition  est également commutative, l'anneau est dit "anneau commutatif". Nous rencontrons aussi des anneaux non-commutatifs dans lequel la relation de commutativité n'est pas imposée, il faut alors renforcer la propriété de l'élément neutre de cette deuxième loi en imposant à "1" d'être un élément neutre à la fois à droite et à gauche tel que : (un exemple d'anneau non-commutatif est fourni par l'ensemble des matrices à coefficients dans un anneau A, par exemple - voir chapitre d'Algèbre Linéaire).

R2. Si de plus, il existe dans A un élément neutre pour la loi deuxième loi de composition interne , et que cet élément neutre est l'unité "1" nous disons alors que l'anneau est un "anneau unitaire" et 1 est appelé "unité" de l'anneau. Si l'anneau est commutatif et possède un élément neutre pour la deuxième loi de composition interne alors nous parlons "d'anneau commutatif unitaire"

R3. Si , quels que soient les éléments a,b de A, l'anneau est dit "anneau intègre" ou "anneau sans diviseurs de zéro" (dans le cas contraire il est bien évidemment "non intègre").

R4. Un "anneau factoriel" est un anneau commutatif unitaire et intègre dans lequel le théorème fondamental de l'arithmétique (cf. chapitre de Théorie des Nombres) est vérifié.

Définitions:

D1. Un élément a d'un anneau A est une "élément unité" s'il existe tel que . Si un tel b existe il est unique (nous en avons vu un exemple lors de notre étude des classes de congruence en théorie des nombres).

D2. Soit A un anneau. Nous disons que A possède des diviseurs de zéro s'il existe avec et . Les éléments a et b sont appelés des "diviseurs de zéro".

Remarques:

R1. Il est clair qu'un anneau est intègre si et seulement si il ne possède aucun diviseur de zéro.

R2. Les notions d'unité et de diviseurs de zéro sont incompatibles mais un élément d'un anneau peut être ni l'un ni l'autre. Ces le cas, par exemple, de tous les entiers dans . Ce ne sont ni des unités, ni des diviseurs de zéro.

Nous verrons un exemple important d'anneau lors du cadre de notre étude des polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique) mais nous en avons déjà vu de très importants lors de notre étude des classes de congruences dans le chapitre de théorie des nombres.

Voyons quelques exemples d'anneaux : Lors de notre étude des groupes nous avons trouvé que les structures :

  (122)

sont tous les quatre des groupes abéliens et les trois premiers sont en plus totalement ordonnés.

La loi de division n'état en aucun cas associative, nous pouvons nous restreindre à étudier pour chacun des groupes précités, le couple de lois: (+) et ( x ).

Ainsi, il vient très vite que:

  (123)

constituent des anneaux commutatifs unitaires et intègres.

Remarque: Nous considérerons comme évident qu'à ce niveau du discours que le lecteur aura remarqué que est un "sous-anneau" de dans le sens où les opérations définies sont internes à chacun des ensembles et que les éléments neutres et identité sont identiques et qu'il existe pour chaque élément de ces ensembles un opposé qui est dans le même ensemble. Nous allons approfondir le concept de sous-anneau un peu plus loin.

Soit A un anneau, nous avons les propriétés suivant :

P1.

P2.

P3.

Démonstrations:

DM1. La propriété P1 découle de la définition D4 des structures algébriques (tout élément possède un opposé/symétrique). En effet, nous pouvons additionner à l'égalité l'élément –a. Nous obtenons alors par l'existence de l'opposé cela donne d'où

DM2. La propriété P2 découle des définitions D3 (existence de l'élément neutre), D4 (existence de l'opposé/symétrique), D5 (distributivité par rapport à l'autre loi) ainsi que de la propriété P1 ci-dessus. En effet, nous avons :

  (124)

Nous avons donc . La propriété P1 ci-dessus permet de conclure que (nous pourrions discuter de la pertinence de ce genre de démonstration…)

DM3. La propriété P3. se montre à l'aide de P2. Nous avons :

  (125)

en ajoutant –a à cette dernière égalité, nous avons

C.Q.F.D.

SOUS-ANNEAU

Définition: Soit A un anneau et un sous-ensemble de A. Nous disons que S est un "sous-anneau" de A si :

P1. (élément neutre de A est aussi dans S)

P2.

P3.

P4.

Exemple:

L'anneau est un sous-anneau de

CORPS

Définition: Nous désignons un ensemble de nombres par le terme "corps" si :

est un corps si

Donc un corps est un anneau non nul dans lequel tout élément non nul est inversible ou en d'autre termes : un anneau dont tous les éléments non nuls sont des unités est un corps.

Remarque:

R1. Si la loi interne est également commutative, le corps est dit "corps commutatif".

R2. Les quaternions (cf. chapitre sur les Nombres) forment par exemple un corps non commutatif pour l'addition et la multiplication.

Voyons des exemples de corps parmi les anneaux unitaires suivant :

  (126)

Il nous faut d'abord déterminer lesquels ne constituent pas des groupes par rapport à la loi interne de multiplication ( x ).

Comme nous l'avons déjà vu dans notre étude des groupes précédemment, il est évident qu'il nous faut éliminer .

Ainsi, les corps fondamentaux de l'arithmétique sont:

  (127)

et puisque la loi de multiplication ( x ) est commutative dans ces ensembles, nous pouvons affirmer que ces corps sont également des corps commutatifs.

Ainsi, nous appellerons "corps" un système C de nombres réels ou complexes a tels que la somme, la différence, le produit et le quotient de deux quelconques de ces nombres a appartiennent au même système A.

Nous énonçons également cette propriété de la manière suivante : les nombres d'un corps se reproduisent par les opérations rationnelles (addition, soustraction, multiplication, division). Ainsi, il est évident que le nombre zéro ne pourra jamais former le dénominateur d'un quotient et l'ensemble des entiers ne peut former un corps car la division de l'ensemble des nombres entiers ne donne pas nécessairement un résultat dans ce même ensemble.

ESPACES VECTORIELS

Lorsque nous définissons un "vecteur" (cf. chapitre de Calcul Vectoriel), nous faisons habituellement référence à un "espace euclidien" (cf. aussi chapitre de Calcul Vectoriel) de n dimensions de . Cependant, la notion d'espace vectoriel est beaucoup beaucoup plus vaste que ce dernier qui ne représente qu'un cas particulier.

Définition: Un "espace vectoriel (EV)" ou "K-espace vectoriel" (abrégé : K-ev) sur le corps K (nous prendrons fréquemment pour ce corps ou ) est un ensemble possédant les propriétés :

Nous avons donc deux lois de composition (en prenant les notations traditionnelle des vecteurs qui sera peut-être plus parlante et utile pour la suite...):

1. Une loi de composition interne: l'addition notée + qui vérifie:

1.1. Associativité:

1.2. Commutativité:

1.3. Élément neutre:

1.4. Élément opposé:

2. Une loi de composition externe: la multiplication par un scalaire, notée , qui vérifie:

2.1. Associativité:

2.2. Distributivité:

2.3. Distributivité:

2.4. Élément neutre:

Remarques:

R1. Nous disons alors que l'espace vectoriel à une "structure algébrique vectorielle" et que ces éléments sont des "vecteurs", les éléments de K des "scalaires".

R2. Les opération respectives sont fréquemment l'addition et la mutiplication traditionnelles.

R3. Dorénavant, pour distinguer les éléments du corps Ket de l'ensemble E, nous noterons ceux de  KE par des lettres latines majuscules. par des lettres grecques et ceux de

R4. Outre les cinq propriétés énumérées ci-dessus, il ne faut pas oublier d'ajouter les cinq autres propriétés du groupe abélien (opération interne, commutativité, associativité, élément neutre, élément inverse). Ce qui nous fait donc au total dix propriétés à respecter.

Il est inutile de démontrer que ces propriétés sont respectées pour et, par conséquent pour . Nous pouvons cependant nous poser la question à propos de certains sous-ensembles de .

Exemples:

E1. Considérons la région rectangulaire illustrée dans la figure (a) (et en perspective dans la figure (c)) ci-dessous :

  (128)

Ce sous-ensemble de n'est pas un espace vectoriel car, entre autres, la propriété d'opération interne du groupe abélien n'est pas satisfaite. En effet, si nous prenons deux vecteur à l'intérieur du rectangle et que nous les additionnons, il se peut que le résultat sorte du rectangle. Par contre, il est facile de voir que la droite (infinie) illustrée dans la figure (b) respecte toutes les propriétés énumérées précédemment et, par conséquent, défini un espace vectoriel. Notons bien, cependant, que cette droite se doit de passer par l'origine, sinon la propriété d'élément neutre du groupe abélien ne serait pas respectée (l'élément neutre n'existant plus).

E2. Un autre exemple d'un espace vectoriel est l'ensemble des polynômes de degré deux ou moins (cf. chapitre de Calcul Algébrique). Par exemple, deux éléments de cet espace sont :

  (129)

Cet ensemble respecte les 10 propriétés d'un espace vectoriel. En effet, si nous additionnons deux polynômes de degré deux ou moins, nous obtenons un autre polynôme de degré deux ou moins. Nous pouvons aussi multiplier un polynôme par un scalaire sans changer l'ordre (ou degré) de celui-ci, etc. Nous pouvons donc représenter un polynôme par des vecteurs dont les termes sont les coefficients du polynôme.

Mentionnons que nous pouvons aussi former des espaces vectoriels avec des ensembles de fonctions plus générales que des polynômes. Il importe seulement de respecter les dix propriétés fondamentales d'un espace vectoriel !

Ainsi défini, un espace vectoriel E sur K est une action de sur qui est compatible avec la loi de groupe (par extension un "automorphisme" - voir la définition plus loin - sur ).

Définition: Soit E un espace vectoriel, nous appelons "sous-espace vectoriel" (SEV) de E un sous-ensemble de E si et seulement si :

  (130)

ALGÈBRES

Une "C-algèbre A" où C est un corps commutatif, est un ensemble A muni de deux lois de composition internes + (addition) et  (produit) et d'une loi externe  (multiplication) à domaine d'opérateurs C (produit par un scalaire) si et seulement si :

Exemples:

E1. Pour reprendre un exemple dans la lignée de celui sur les exemples vectoriels, l'espace euclidien  muni de l'addition (+), de la multiplication  et du produit vectoriel  est une -algèbre non associative et non commutative notée .

E2. est un -algèbre (un nombre complexe pouvant être vu comme un vecteur à deux composantes selon ce que nous avons dans le chapitre des Nombres).

HOMOMORPHISMES

Le concept d'homomorphismes (du grec homoios = semblable et morphê = forme) a été défini par les mathématiciens car permettant de mettre en évidence des propriétés remarquables des fonctions en particulier avec leurs structures, leur noyau, et de ce que nous appelons les "idéaux" (voir plus loin). Ils nous permettront ainsi d'identifier une structure algébrique à une autre tout en respectant leur structure à une autre.

Définitions:

D1. Si et sont deux magmas (peu importe la notation utilisé pour les lois internes), une application f de A dans B est un "homomorphisme de magma" ou "morphisme de magma" (par abus de langage nous écrivons parfois aussi "homorphisme" par flegme) si :

  (131)

en d'autres termes, si l'image d'un composé dans A est le composé des images dans B.

D2. Si et sont deux monoïdes, une application f de A dans B est un "homomorphisme de monoïde" si :

  (132)

où sont les éléments neutres respectifs des monoïdes A,B.

D3. Si sont deux anneaux, un "homomorphisme d'anneaux" de dans est une application telle que nous ayons pour tout :

  (133)

où sont les éléments neutres des anneaux par rapport à la multiplication.

Soit un homomorphisme d'anneaux. Alors :

P1.

P2.

P3. Si a est une unité de A, alors est une unité de B et

Démonstrations:

DM1. Par , nous avons . Ajoutant des deux côtés de l'égalité, nous obtenons

DM2. La propriété P2 découle aussi de et la propriété P1. En effet, nous avons . En additionnant aux deux côtés de la dernière égalité, nous obtenons .

DM3. Soient tel que . Alors par et , nous avons et de même ce qui montre que est l'inverse de si b est l'inverse de a.

C.Q.F.D.

Montrons maintenant qu'un homomorphisme d'anneaux est injectif si et seulement si l'élément 0 est la seul pré-image de 0, autrement dit si :

  (134)

Démonstration:

La condition est clairement nécessaire. Montrons qu'elle est suffisante :

Nous supposons donc que . Soit tel que . Alors ceci implique que donc que ce qui montre que f est injectif.

C.Q.F.D.

D4. Soient et , deux groupes et f une application . Nous disons que f est un "homomorphisme de groupe" si :

  (135)

où sont les éléments neutres respectifs des groupes A,B .

D5. Soient f une application d'un corps vers un autre. Nous disons que f est un "homomorphisme de corps" si f est un homomorphisme d'anneaux...

Remarque: Le fait que l'homomorphisme de corps soit le même que celui d'un anneau tient juste au fait que la différence entre les deux est que les éléments du corps sont inversibles (aucune loi ou propriété de loi ne diffère entre les deux selon leur définition).

Montrons maintenant que tout homomorphisme de corps est injectif ("homomorphisme injectif")

Démonstration:

Soit un homomorphisme de corps et Ker(f) un idéal (voir plus bas pour la définition d'un idéal). Nous avons forcément car (de par la définition de l'homorphisme d'anneau!). Il en résulte donc que et par suite f est injectif (si jamais relire les conditions équivalentes qui font qu'une fonction est injective et ensuite relire la définition d'homorphisme d'anneaux!).

Ainsi, un homomorphisme de corps est donc simplement homomorphisme d'anneaux.

Autre manière plus simple de faire la démonstration:

Si a est différent de 0 alors:

  (136)

où . Donc f(a) est différent de 0 ce qui prouve que  et donc que f est injective.

C.Q.F.D.

D6. Soient A et B deux K-ev et une application de A dans B. Nous disons que f est une "application linéaire" ou "homomorphisme d'espaces vectoriels" si :

  (137)

et nous notons L(A,B) l'ensemble des applications linéaires.

Remarques:

R1. Nous avions déjà défini plus haut le concept d'application linéaire mais n'avions pas précisé que les deux ensembles A et B étaient des K-ev.

R2. L'application linéaire est appelée "forme linéaire" si et seulement si

D7. Si l'homomorphisme est bijectif nous dirons alors que f est un "isomorphisme". S'il existe un isomorphisme entre A et B, nous disons que A et B sont "isomorphes" et nous noterons cela .

Remarque: L'isomorphisme permet au fait d'identifier deux ensembles munis d'une structure algébrique identique (que ce soit groupe, anneau, etc.) mais dont les éléments sont nommés d'une façon différente.

D8. Si l'homomorphisme f est une application uniquement interne, nous dirons alors que f est un "endomorphisme" (en d'autres termes, nous avons un endomorphisme si dans la définition de l'homorphisme nous avons A=B)

Remarque: Si nous avons un endomorphisme f de E, f est donc restreint à Im(f). Donc le terme "endomorphisme" veut juste dire que l'application f arrive dans E et pas qu'elle touche tous les éléments de E. Nous avons et pas forcément car dans ce dernier cas nous disons que f est surjective comme nous l'avons déjà vu.

D9. Si l'endomorphisme f est en plus bijectif (donc en d'autres termes si homomorphisme est un endomorphisme et un isomorphisme), nous dirons alors que f est un "automorphisme"

IDÉAL

Définition: Soit A un anneau commutatif. Un sous-ensemble est un "idéal" si :

P1. pour tout

P2. pour tout et tout

En d'autres termes, un idéal est un sous-ensemble fermé pour l'addition et stable par multiplication par un élément quelconque de A.

Exemple:

L'ensemble des nombres pairs est par un exemple d'idéal de l'ensemble des nombres naturels.

Remarque: Les idéaux et sont appelé les "idéaux triviaux".

Pour savoir si un idéal est égal à tout l'anneau, il est utile d'utiliser la propriétés suivante qui spécifie que si A est un anneau et I un idéal de A, alors si nous avons .

Démonstration:

Ceci résulte de la propriété P2 de la définition d'un idéal :

Pour tout , nous avons car .

C.Q.F.D.

Un premier exemple d'idéal est donné par le noyau d'un homomorphisme d'anneaux. Effectivement, démontrons que le noyau d'un homomorphisme est un idéal de R.

Démonstration:

Soient . Alors :

  (138)

ce qui montre que . Soit , alors :

  (139)

ce qui montre que .

C.Q.F.D.

Proposition : Soit A un anneau et soit . Le sous-ensemble :

  (140)

noté ou aA, est un idéal (nous allons voir un exemple concret après la prochaine définition).

Définitions:

D1. Un idéal d'un anneau A est dit "idéal principal" s'il existe tel que .

D2. Un anneau dont tous les idéaux sont principaux est dit "anneau principal".

Montrons maintenant que l'anneau est principal (car tous ses idéaux sont principaux).

Démonstration:

Soit I un idéal de (il est facile d'en choisir un : par exemples tous les multiples de 2 ou de 3, etc.). Soit le plus petit entier positif non nul de I. Nous allons montrer que :

Soit a un élément quelconque de I. La division euclidienne nous permet d'écrire :

  (141)

avec (nous l'avons déjà démontré).

Mais comme et que , par la définition d'un idéal, nous avons (la somme ou différences des éléments d'un idéal appartenant à l'idéal). Par choix de r (étant inférieur à r) ceci implique que et donc que .

Ainsi tout élément de I est un multiple de r et donc :

  (142)

C.Q.F.D.

La démonstration ci-dessus n'utilise que la division euclidienne sur . Nous pouvons alors généraliser ce résultat aux anneaux qui possèdent une division euclidienne. Ainsi, par exemple, l'anneau k[X] des polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique) à coefficients dans un corps k est un anneau principal car il possède une division euclidienne.

Démonstration:

Soit I un idéal de k[X]. Notons d le plus petit degré que puisse avoir un polynôme non nul de I. Si  alors  et donc . Autrement, soit a(X) un polynôme de degré d. Si  alors on peut diviser u(X) par a(X). Il existe  tels que  et . Donc  ce qui entraîne  (autrement contradiction avec la minimalité de d). Par suite, . Nous venons de montrer que

C.Q.F.D.

Ainsi, les seuls idéaux de sont ceux de la forme . De plus si nous avons d et m qui sont des entiers > 1. Alors si et seulement si d | m.

Démonstration:

Si d | m alors il existe n avec . Soit un élément de . Alors :

  (143)

ce qui montre que .

Réciproquement, si ceci implique que m est de la forme et ceci prouve que d divise m.

C.Q.F.D.

Démontrons aussi qu'un anneau R est un corps si et seulement s'il ne possède que les idéaux triviaux {0},R.

Démonstration:

Montrons que la condition est nécessaire : Soit I un idéal non nul de R et un élément non nul. Par hypothèse (qu'il s'agit d'un corps), il est inversible, c'est-à-dire qu'il existe tel que . Ceci implique que et donc, par un résultat obtenu plus haut .

Réciproquement, supposons que tout idéal soit l'idéal nul. Alors si est un élément non nul de R, l'idéal principal (r) doit être égal à R. Mais ceci implique que et dont qu'il existe avec ce qui montre que r est inversible. L'anneau R est donc un corps.

C.Q.F.D.

Cette caractérisation va nous permettre de démontrer facilement que tout homomorphisme partant d'un corps est injectif. Soit que si un homomorphisme où R est un corps. Alors f est injectif.

Démonstration:

Nous mettons ensemble ce qui a été vu jusque-là. Nous avons démontré plus haut que le noyau Ker(f) d'un homomorphisme est un idéal. Mais nous avons également démontré plus haut que nous avons soit soit (car l'anneau R est un corps si et seulement s'il ne possède que les idéaux triviaux).

Mais vu que (de par la définition d'un homomorphisme) il s'ensuit qu'il reste (puisque nous avons démontré que si A est un anneau et I un idéal de A alors si alors ). Ceci implique par un théorème précédent (où nous avons démontré que si l'homomorphisme est injectif) que… f est injective.

C.Q.F.D.

Etudions maintenant les homomorphismes dont l'anneau de départ est . Soit A un anneau et un homomorphisme. Par définition d'un homomorphisme et par ses propriétés, il faut que et . Mail il faut encore que :

  (144)

pour tout . Ainsi f est complètement déterminé par la donnée de f(1) et est donc unique. Réciproquement, nous montrons que l'application définie par :

  (145)

est un homomorphisme d'anneaux. En résumé. il existe un et un seul homomorphisme de dans un anneau quelconque A.

Définition: Soit A un anneau et l'unique homomorphisme défini précédemment. Si f est injectif, nous dirons que A est de "caractéristique nulle". Sinon, Ker(f)est un idéal non trivial de et comme est dès lors principal (comme nous l'avons démontré plus haut) il est de la forme . L'entier m est appelé la " avec caractéristique de A".

Remarque: Moins formellement, la caractéristique d'un anneau est le plus petit entier positif m tel que . S'il n'y en a pas, alors la caractéristique est nulle.

Exemple:

L'anneau est de caractéristique nulle car l'unique homomorphisme est l'identité. Il est donc injectif. Les injections montrent que (et également) sont des corps de caractéristique nulle)

Nous nous proposons maintenant de démontrer que la caractéristique d'un anneau intègre (et en particulier d'un corps) est égale 0 ou à un premier p.

Démonstration:

Nous montrons la contraposée. Soit A un anneau de caractéristique avec m non premier. Il existe alors des entiers naturels tels que . Soit l'unique homomorphisme (définir précédemment). Par définition (de l'idéal) de m, nous avons . Mais alors ce qui montre que A n'est pas intègre. mais

C.Q.F.D.

Remarque: La réciproque du théorème n'est pas vraie comme le montre l'exemple de l'anneau où l'addition et la multiplication se font composant par composant. C'est un anneau de caractéristique nulle mais avec des diviseurs de zéro :

  (146)