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  Géométrie Différentielle
 

Comme nous l'avons déjà en géométrie non-euclidienne, la géométrie différentielle est la branche de la géométrie qui vise à étudier les propriétés locales (au voisinage d'un point) et intrinsèques des courbes et des surfaces non-euclidiennes. La géométrie différentielle tient son nom du fait qu'elle est née de la possibilité d'une interprétation cinématique que le calcul infinitésimal apporte à l'étude des courbes.

Remarque: Avant de nous attaquer à la manière très formelle et abstraite d'aborder la géométrie différentielle avec les outils de la topologie (méthode habituelle aux mathématiciens) nous avons choisi dans un premier temps de présenter les éléments essentiels de manière simple et agréable telle qu'elle est faite dans les écoles d'ingénieurs. Les puristes nous excuseront donc au cas où en attendant mieux...

Définition: Nous assimilerons "l'espace physique" à  et le supposerons muni d'un repère  et nous noterons B la base

Soient un ensemble  et une fonction  telle que :

  (1)

Remarques:

R1. Si f est continue, alors  est une courbe de l'espace appelée "courbe d'un seul tenant".

R2. Une parabole, une sinusoïde sont des courbes appelées "courbes planes". Une ellipse, un cercle sont elles appelées des "courbes planes fermées". Pour ces exemples, tous les points des courbes considérées sont situés dans un même plan. Inversement, une courbe est appelée "courbe gauche" (gauchir = dévier, tordre) s'il n'en est pas ainsi.

Choisissons  et posons  que nous noterons par abus de langage  nous pouvons alors énoncer la définition suivante : le couple (f , I) où f est une fonction continue est appelé "arc paramétré".  est appelée le "support" de (f , I) et  est une "origine" de (f , I).

Remarques:

R1. Abusivement, nous disons aussi que (f , I) est un "paramétrage" de .

R2. Il est facile de définir d'autres arcs paramétrées admettant aussi  comme support. Pour ce faire, il suffit de se donner une fonction  bijective de I vers  et telle que .

Considérons maintenant l'abscisse curviligne (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :

  (2)

nous savons que dans un espace euclidien canonique dans  l'abscisse curviligne s'écrit alors :

  (3)

avec  et comme nous avons , il reste :

  (4)

Dans le système cartésien :

  (5)

il vient donc que :

  (6)

Qui est donc l'élément différentiel linéaire d'un espace euclidien (le plus court chemin ou encore la "géodésique" ou encore " l'abscisse curviligne différentielle").

Nous pouvons bien évidemment écrire (par multiplication des deux côtés de l'égalité) :

  (7)

Voyons une application avec une hélice (les exemples sont jolis en géométrie différentielle et valent donc la peine d'être vus...) qui est un exemple typique de courbe gauche :

Soit  et la fonction :

 avec  et les coordonnées paramétriques :   (8)


  
(9)

La fonction f est un arc paramétré dont le support est appelé une "hélice", r en est le rayon et h le pas. En prenant  comme origine, l'abscisse curviligne de cette hélice (un morceau) est donné par :

  (10)

Donc :

 et donc   (11)

TRIEDRE DE FRENET

Soit  une courbe, s(t) son abscisse curviligne et  son origine. Appelons :

  (12)

par définition de la différentielle la "tangente"  à  au voisinage de M. De plus, par définition de l'abscisse curviligne :

  (13)

et donc  unitaire.

Intéressons nous maintenant à :

  (14)

Nous savons que :

  (15)

donc :

  (16)

Ce résultat va nous être utile pour déterminer les conséquences de la définition suivante. Posons:

  (17)

Etant donné le résultat précédent,  est le vecteur perpendiculaire unitaire à  (nous disons que ce couple de vecteur est "orthonormal direct") en M et C en est par définition la "courbure".

Remarque: La définition de C tel que ci-dessus est vrai dans le cadre d'un choix d’avoir une courbure positive. C'est un point de vue pris en mécanique mais non nécessaire en mathématique.

Si , alors :

  (18)

R est appelé le "rayon de courbure".

Quant à la relation :

  (19)

elle est appelé "1ère formule de Frenet".

Pour donner une interprétation géométrique de la courbure à en M, il suffit  d'étudier la projection  de  dans le plan défini par . Ainsi, nous définissons par  le point du plan contenant le centre du "cercle osculateur" ou "cercle de courbure" qui tangent le mieux  et  tel que :

  (20)

Le cercle de centre  et de rayon  est le cercle qui tangente le mieux  et . Il est appelé "cercle osculateur" à en M.

Dans le cas particulier où  est un vecteur constant :

et donc  ce qui implique que R n'est plus défini. Nous disons quelque fois dans ce cas que le rayon de courbure à  est infini (une droite présente alors une courbure nul en tout point).

Etudions maintenant le vecteur :

  (21)

Nous pouvons déjà dire, étant donné que  et  sont unitaires que  l'est aussi.

Démontrons que  est orthogonal à :

  (22)

Etant donné que  est perpendiculaire à , et que  est aussi perpendiculaire à  nous pouvons en conclure que  est colinéaire à .

Posons :

  (23)

Cette relation constitue la "2ème formule de Frenet" avec R' où par définition,  est le "vecteur binormal" de  au point M et  en est la "torsion" et R' le "rayon de torsion".

Nous pouvons maintenant établir la "3ème formule de Frenet" :

  (24)

d'où nous tirons :

  (25)

Or de par les propriétés du produit vectoriel :

  (26)

d'où la 3ème formule de Frenet :

  (27)

Nous appelons "trièdre de Frenet" associé à  au point M, le repère naturel orthonormale de l'espace :


  
(28)

Remarque: Le rayon de courbure est donc dans le plan osculateur (plan formé par le vecteur tangent et normal à la courbal) qui est le meilleur plan dans lequel est contenu la courbe. Du coup, le rayon de courbure donne en un point (localement) le meilleur ("le plus vrai") rayon de la courbe. La torsion nous donne par contre la tendance qu'à la courbe à sortir du plan osculateur (in extenso si la courbe est contenue dans un plan, la torsion est nulle).

Cherchons le rayon et le centre de courbure en tout M à notre hélice définie plus haut. Rappelons que la fonction paramétrique est donnée par :

  (29)

et que :

  (30)

Nous avons dès lors :

  (31)

Ainsi, la courbure (l'inverse du rayon de courbure) est donnée par ::

  (32)

Donc le rayon de courbure vaut :

  (33)

et il vient par la première formule de Frenet :

  (34)

De par la 3ème formule de Frenet :

  (35)

et le rayon de torsion étant donné par la relation :

  (36)

Nous avons donc :

  (37)

d'où :

  (38)

NAPPES PARAMETRÉES

Soient  :

 avec   (39)

Appelons . Si g est continue, alors  est une surface de l'espace "surface d'un seul tenant". Par définition, dans ce qui suit, le couple  où g est une fonction supposée continue sera appelé "nappe paramétrée", et  le "support" de la nappe paramétrée. Nous disons encore que  et  sont des paramétrages de .

Remarquons que pour une surface  (par exemple un disque), il existe plusieurs nappes paramétrées associées (par exemple les coordonnées cartésiennes, polaires, sphériques).

Soit maintenant  et:

  (40)  

tels que

Nous pouvons définir  :

  (41)

Si nous supposons h continue, il est claire que  est un arc paramétré. Appelons  son support, nous avons  et nous disons que est une "courbe tracée" ou "courbe inscrite" sur .

Remarque: Nous supposerons toujours désormais que

Soit . Intéressons nous aux deux courbes tracées sur définies par les arcs paramétrés suivants :

 avec

 avec
  
(42)

et  sont les deux fonctions dites "fonctions partielles" de g en .

Les supports de  et  sont appelés "courbes-coordonnées" de  en  relativement au paramétrage . Nous les notons respectivement  et . Nous appelons aussi  "1ère courbe-coordonnée" et  "2ème courbe-coordonnée".

Il est bien sûr évident (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) que :

  (43)

est tangent à en  et que  est tangent à  en .


  
(44)

MÉTRIQUE D'UNE SURFACE

Soit :

 avec   (45)

Notons , autrement dit :

  (46)

Nous avons aussi (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) :

  (47)

et nous avons démontré au début de ce chapitre que l'abscisse curviligne dans un espace cartésien était donnée par :

  (48)

Nous avons donc après substitution :

  (49)

Ce qui est équivalent à écrire :

  (50)

De manière plus traditionnelle avec la notation :

  (51)

Nous obtenons la "première forme quadratique fondamentale" :

Comme nous l'avons déjà démontré en calcul tensoriel, cette expression est indépendante de la nappe paramétrée  car l'élément de longueur infiniment petit ds est indépendant du paramétrage de . Cette forme quadratique est donc un invariant qui représente la métrique sur .




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