L'encyclopédie des Sciences
  Calculs différentielles et équations
 

Le calcul différentiel est un des domaines les plus passionnants et vastes de la mathématique, et il existe une littérature considérable (colossale) sur le sujet. Les résultats retrouvent des implications dans absolument tous les domaines de la physique, de l'informatique, de l'électronique, de la chimie, biologie et de la mathématique elle-même.

Les mathématiciens ont rédigé une telle quantité de théorèmes sur le sujet que la validation de certains est délicate car certains à eux-seuls nécessiteraient la vie d'un homme pour être parcourus (c'est un problème que la communauté des mathématiciens reconnait) et vérifiés (ce qui fait que personne ne les vérifie...).

Ce constat fait, nous avons choisi de ne présenter ici que les points absolument nécessaires à la compréhensions des outils fondamentaux de l'ingénieur. Les puristes nous excuseront donc pour l'instant de ne pas présenter certains théorèmes qui peuvent leur sembler indispensables mais que nous rédigerons une fois le temps venu...

Nous allons principalement étudier dans ce qui va suivre ce que les mathématiciens aiment bien préciser (et ils ont raison) : les cas généraux des  fonctions réelles à une variable réelle. Les fonctions plus complexes (à plusieurs variables réelles ou complexes, continues ou discrètes) viendront une fois cette partie terminée. 

Remarque: Nous ne nous attarderons pas à démontrer les dérivées et primitives de toutes les fonctions car comme il y a une infinité de fonctions possibles, il y a également une infinité de dérivées et de primitives. C'est le rôle des professeurs dans les instituts scolaires d'entraîner les élèves à appliquer et à comprendre le raisonnement de dérivation et d'intégration par des applications sur des fonctions connues (l'internet ne remplacera très probablement jamais l'école à ce niveau).

CALCUL DIFFÉRENTIEL

Soit une fonction f réelle à une variable réelle x notée f(x) (nous nous limitons à ce cas de figure pour l'instant et étudierons les dérivées partielles dans des espaces à un nombre de dimensions quelconques plus loin) continue au moins dans un intervalle où se situe l'abscisse a.

Définitions:

D1. Nous appelons "pente moyenne", ou encore "coefficient directeur" le rapport de la projection orthogonale de deux points de la fonction f non nécessairement continue sur l'axe des abscisses et des ordonnées tel que :

  (1)

Remarque: signifiant "un delta" exprime le fait que nous sous-entendons une différence d'une même quantité.

D2. Nous appelons "nombre dérivé en a" ou "pente instantanée" ou encore "dérivée première", la limite quand h tend vers 0 (si elle existe) du rapport de la projection orthogonale de deux points infiniment proches de la fonction f continue (dans le sens qu'elle ne contient pas de "trous") sur l'axe des abscisses et des ordonnées tel que :

  (2)

Une interprétation graphique donne que f '(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a.

Remarques:

R1. d signifiant un "différentiel" exprime le fait que nous sous-entendons une différence infiniment petite d'une même quantité.

R2. Nous renvoyons le lecteur au chapitre d'Analyse Fonctionnelle pour la définition de ce qu'est une fonction continue.

D3. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en tout point de I, la fonction qui à tout réel a de I associe le nombre f '(a) est appelée "fonction dérivée de f sur I" et est notée f '.

Remarque: Au niveau des notations les physiciens adoptent suivant leur humeur différentes notations possibles pour les dérivées. Ainsi, considérons la fonction réelle à une variable f(x), vous trouverez dans la littérature ainsi que dans le présent site les notations suivantes pour la dérivée première :

  (3)

ou encore en considérant implicitement que f est fonction de x (ceci permet d'allèger un petit peu la tailles des développements) :

  (4)

Nous pouvons de la même manière définir les dérivées d'ordre 2 (dérivée d'une dérivée), les dérivées d'ordre 3 (dérivée d'une dérivée d'ordre 2) et ainsi de suite. Nous rencontrerons par ailleurs très fréquemment de telles dérivées en physique (et même en maths pour l'analyse fonctionnelle).

Maintenant, suite à un problème de compréhension dans un des chapitres d'un internaute, précisons une technique utilisée fréquemment par les physiciens. Considérons une dérivée d'ordre 2 telle que :

  (5)

Si nous regardons le d/dx comme un opérateur différentiel nous pouvons bien évidemment écrire :

  (6)

Finalement nous avons :

  (7)

et donc il vient après simplification par f(x) :

  (8)

Cela peut paraître évident pour certains mais parfois moins pour d'autres et il était visiblement utile de préciser cela car c'est souvent utilisé en relativité et en physique quantique.

Indiquons et démontrons maintenant deux propriétés intuitivement évidente des dérivées et qui nous seront plusieurs fois indispensablespour certaines démonstrations sur ce site (comme par exemple dans le chapitre de méthodes numériques ou ici même...).

Considérons d'abord deux nombres réels  et f une fonction à valeurs réelles continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ telle que . Alors nous voulons démontrer qu'il existe bien évidemment au moins un élément c de ]a,b[ tel que  (c'est typiquement le cas des fonctions polynômial!).

Cette propriété est appelée "théorème de Rolle" et donc explicitement elle montre qu'il existe au moins un élément où la dérivée de f est nulle si en la parcourant nous revenons à la même valeur des images pour deux valeurs distinctes des abscisses, c'est-à-dire qu'il existe au moins un point où la tangente est horizontale.

Démonstration:

Si f est constante, c'est immédiat…

Dans le cas contraire, comme f est continue sur l'intervalle fermé borné [a,b] elle admet au moins un minimum global ou maximum global compte tenu que nous nous basons sur l'hypothèse que  et que f n'est pas constante. L'extrema est atteint en un point c appartenant à l'intervalle ouvert ]a,b[ (le fait de prendre l'intervalle ouvert permet dans certains cas d'éviter d'avoir un extrema à nouveau en a ou en b).

Supposons comme premier cas que f(c) est maximum global. La dérivée de la fonction f entre c et un deuxième point ont alors un signe connu.

Pour h strictement positif et tel que c+h appartienne à l'intervalle [a,b] :

  (9)

En considérant la limite quand h tend vers 0, le nombre dérivé  est négatif.

Pour h strictement négatif et tel que c+h appartienne à l'intervalle [a,b] :

  (10)

En considérant la limite quand h tend vers 0, le nombre dérivé f '(c) est positif.

Au bout du compte, la dérivée de f est nulle au point c.

La démonstration est analogue si f(c) est un minimum global, avec les signes des dérivées qui sont les opposés.

C.Q.F.D.

Maintenant, considérons deux réels  et f(x) une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Alors, nous nous proposons de montrer qu'il existe au moins un réel tel que :

  (11)

Ce qui peut aussi s'écrire sous la forme suivante :

  (12)

avec .

Géométriquement cela signifie qu'en au moins un point c du graphe de la fonction f(x), il existe une tangente de coefficient directeur :

  (13)

Graphiquement cela donne :

.
  
(14)

Démonstration:

Nous avons d'abord :

  (15)

car le pente de h(x) est bien évidemment  et comme lorsque  nous devons avoir f(a) il s'ensuit donc la relation donnée précédemment.

Ensuite, pour démontrer qu'un tel point c existe, l'idée est de rapporter les deux points a et b à la même ordonnée ce qui en fait nous ramène au théorème de Rolle et pour cela, nous définissons une fonction g par :

  (16)

qui est telle que effectivement … et en l'occurrence égal à 0 (mais cette valeur importe peu). Dès lors, le théorème de Rolle vu précédemment nous indique qu'il existe un point entre a et bg(x) est nulle tel que . Et en constatant que : où la dérivée de

  (17)

nous obtenons :

  (18)

Soit après simplification :

  (19)

C.Q.F.D.

Puisque le terme de gauche représente un accroissement fini du terme de droit, alors ce résultat est appelée "théorème des accroissement fini" (TAF).

A l'aide de ce petit théorème et des outils mathématiques introduits précédemment, nous pouvons construire un petit théorème fort utile et puissant en physique.

Définition: Nous appelons "règle de L'Hôpital" (également appelée "règle de l'Hospital" ou "règle de Bernoulli") utilise la dérivée dans le but de déterminer les limites difficiles à calculer de la plupart des quotients et qui apparaissent souvent en physique.

Démonstration:

Considérons deux fonctions f(x) et g(x) et telles que  alors nous pouvons écrire:

  (20)

Alors selon la définition de la dérivée:

  (21)

C.Q.F.D.

Nous pouvons généraliser ce résultat initialement basé sur la contrainte .

Démonstration:

Rappelons donc que selon le théorème des accroissement finis, si f(x) est dérivable sur un intervalle ]a,b[ et continue sur [a,b] alors il existe un réel c dans l'intervalle [a,b] tel que:

  (22)

Si le théorème se vérifie pour deux fonctions satisfaisant aux mêmes contraintes alors nous avons deux fonctions telles que:

 et   (23)

Si g'(c) est non nul nous avons alors tout à fait le droit d'écrire le rapport (certains appellent cela le "théorème des accroissements fini généralisé"…) :

  (24)

ce qui sans perdre en validité tant que c est dans l'étau [a,x] peut s'écrire:

  (25)

Ainsi, lorsque  ce qui implique que l'étau [a,x] se referme et donc  nous avons:

  (26)

Ainsi, nous venons de prouver quand dans la démonstration précédente de la règle de l'Hôpital la relation:

  (27)

que nous avions est vraie en toute généralité et qu'il n'est pas nécessaire que  soit vrai pour que le résultat soit juste!

C.Q.F.D.

DIFFÉRENTIELLEs

Nous avons indiqué précédemment ce qu'était un différentiel d. Mais il existe au fait plusieurs types de sortes de différentielles d'une fonction (remarquez que nous distinguons le genre masculin et féminin du terme) :

1. Les différentiels

2. Les différentielles partielles

3. Les différentielles totales exactes

4. Les différentielles totales inexactes

Rappelons que nous appelons "différentiel df" d'une fonction f à une variable la relation donnée par (voir texte précédent) :

  (28)

Cependant, pour exprimer l'effet d'un changement de toutes les variables d'une fonction f de plusieurs variables, nous devons utiliser un autre type de différentiel que nous appelons la "différentielle totale" (dérivée en deux sous-familles : différentielle totale exacte et différentielle totale inexacte).

Soit par exemple, une fonction f(x, y) des deux variables x et y. L'accroissement df de la fonction f, pour un accroissement fini de x à et de y à est :

  (29)

que nous pouvons aussi écrire :

  (30)

ou encore:

  (31)

Pour des accroissements infiniment petits de x et y :

  (32)

Intéressons nous dès lors aux deux termes :

et   (33)

Le premier terme de gauche, nous le voyons, ne donne finalement que la variation en x de la fonction f(x, y) en ayant y constant sur la variation. Nous notons cela dès lors (si la connaissance des variables constantes est triviale, nous ne les indiquons plus) :

  (34)

et de même :

  (35)

Les deux expressions :

et   (36)

sont ce que nous appelons des "différentielles partielles".

Il vient dès lors :

  (37)

qui est la "différentielle totale exacte" de df. Il est important de se rappeler de la forme de cette relation que nous retrouverons partout dans des opérateurs particuliers en physique, dans la mécanique des fluides, dans la thermodynamique, etc.

Remarque: De la même manière, pour une fonction de plus de deux variables, par exemple f(x,y,z), la différentielle totale df est:

  (38)

Dans l'équation ci-dessus, la différentielle df a été calculée à partir de l'expression de la fonction f. Puisqu'il existe une fonction f qui vérifie l'expression de df, la différentielle df est dite alors aussi "totale exacte".

Profitons pour faire une indication importante sur l'utilisation des dérivées partielles par les phyisiciens (et donc dans les nombreux chapitres y relatifs du site). Nous avons vu plus haut que si fx, y nous avons toujours : dépend de deux variables

  (39)

et s'il ne dépend que d'un variable nous avons alors :

  (40)

et alors :

  (41)

raison pour laquelle les physiciens mélangent allègrement les deux notations…

Maintenant, il faut cependant savoir qu'il existe également des différentielles totales exactes, qu'aucune fonction ne vérifie. Dans ce cas, nous parlons de "différentielle totale inexacte" et pour déterminer si une différentielle totale est exacte ou inexacte, nous utilisons les propriétés des dérivées partielles (cas très important en thermodynamique!!!).

Soit la forme différentielle :

  (42)

M(x,y) et N(x,y) sont des fonctions des variables x et y. Si dz est une différentielle totale exacte, alors :

  (43)

Il faut donc que :

et   (44)

ou encore, en effectuant une seconde dérivation, que:

et   (45)

Avant de continuer, nous avons besoin d'un résultat donné par le "théorème de Schwarz" qui s'énonce de la manière suivante :

Soit une fonction f, si :

  (46)

sont continues alors (il faut vraiment vraiment vérifier que ce soit le cas) :

  (47)

pour tout .

Démonstration:

Nous considérons l'expression :

  (48)

Posons :

et   (49)

Nous avons alors :

  (50)

Par le théorème des accroissements finis :



  
(51)

avec En reprenant les définitions de g et w nous obtenons :


  
(52)

en appliquant à nouveau le théorème des accroissements finis aux deux membres entre parenthèses nous trouvons :


  
(53)

avec Pour finir :

  (54)

et par continuité lorsque , nous avons :

  (55)

Plus simplement écrit :

  (56)

C.Q.F.D.

Par récurrence sur le nombre de variables nous pouvons démontrer le cas général (c'est long mais c'est possible, nous le ferons si besoin il y a).

Donc finalement pour en revenir à notre problème initial, nous avons donc :

  (57)

Ce qui nous donne finalement :

  (58)

C'est donc condition que doit satisfaire une différentielle totale pour être une différentielle totale exacte et la condition qu'elle ne doit pas satisfaire pour être une différentielle totale inexacte!!!

Afin de ne pas confondre les deux types de différentielles, nous utilisons le symbole pour représenter une différentielle totale inexacte et d pour une différentielle totale exacte. La distinction est extrêmement importante car seules les différentielles totale exactes ont une intégrale qui ne dépend que des bornes d'intégration (puisque toutes les variables changent en même temps) :

mais   (59)

Autrement dit, la variation d'une fonction dont la différentielle est totale exacte, ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement des états initiaux et finaux. Nous appelons une telle fonction qui satisfait à une différentielle totale exacte, une "fonction d'état", c'est-à-dire une fonction dont la valeur ne dépend que de l'état présent et futur, et non de son histoire.

Cette distinction est très importante et particulièrement en thermodynamique où il convient de déterminer si une quantité physique est une différentielle totale exacte (une "fonction d'état" donc) ou non afin de savoir comment évoluent les systèmes.

Exemple:

Un exemple important de forme différentielle en thermodynamique, est le travail élémentaire d'une force exercée sur un corps en mouvement dans le plan , nous avons :

  (60)

et ne dérivent pas nécessairement d'un même potentiel tel que :

  (61)

DÉRIVÉES USUELLES

Nous allons démontrer ici les dérivées les plus fréquentes (une petite trentaine) que nous puissions rencontrer en physique théorique et mathématique ainsi que certaines de leurs propriétés. La liste est pour l'instant non exhaustive mais les démonstrations étant généralisées, elles peuvent s'appliquer à un grand nombre d'autres cas (que nous appliquerons/rencontrerons tout au long de ce site).

1. Dérivée de :

Partons d'abord d'un cas particulier, la dérivée de :

Soit donc a un réel quelconque fixé, alors:

  (62)

Le nombre dérivé en a de la fonction cube est donc .

Nous pouvons généraliser ce résultat pour tout entier naturel  positif ou négatif n et nous allons voir que la fonction f définie sur  par  est dérivable et que sa dérivée f' est définie par .

  (63)

Ainsi, nous avons (quelques exemples peuvent êtres utiles pour comprendre la portée de ce résultat):

  (64)

Nous voyons donc qu'en ayant déterminé la dérivée d'une fonction de la forme , nous avons également déterminé la dérivée de toute fonction qui est mise sous cette forme tel que:

 et   (65)

Cependant, les fonctions:

  (66)

ne sont pas dérivables en puisque la fonction n'y est plus définie (division par zéro). De plus, en ce qui concerne la fonction comportant la racine (puissance non entière), la dérivée n'est pas définie dans .

Cependant, le résultat précédent donne un résultat intéressant pour les fonctions constantes telle que:

  (67)

il n'est alors pas difficile de déterminer la dérivée qui vaut simplement:

  (68)

Donc la dérivée de toute fonction constante est nulle (il est important de se souvenir de ce résultat quand nous étudierons les propriétés des intégrales) !!!

2. Dérivée de la fonction f(x)=cos(x):

Soit donc a un réel quelconque fixé, alors (attention! il est utile de connaître les relations trigonométriques remarquables que nous démontrons dans le chapitre de trigonométrie dans la section de géométrie):

  (69)

Puisque:

  (70)

Effectivement, rappelons que la fonction sin(x) est assimilable (visuellement et mathématiquement) à une droite de fonction  au voisinage de .

Donc pour résumer:

  (71)

3. Dérivée de la fonction f(x)=sin(x) :

Soit donc a un réel quelconque fixé, alors (attention! il est utile de connaître les relations trigonométriques remarquables que nous démontrons dans le chapitre de trigonométrie dans la section de géométrie):

  (72)

Donc pour résumer:

  (73)

4. Dérivée de la fonction :

La dérivée de la fonction  est égale à , c'est-à-dire si :

    (74)

alors:

  (75)

Démonstration:

Si est l'accroissement de la fonction pour un accroissement correspondant de la variable x, alors :

  (76)

et nous pouvons écrire :

  (77)

Multiplions et divisons par x l'expression figurant dans le membre droit de la dernière égalité :

  (78)

Désignons la quantité  par . Il est évident que  quand tend vers zéro pour un x donné. Par conséquent :

  (79)

Or, nous retrouvons ici une autre provenance historique de la constante d'Euler (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle) où :

  (80)

Ainsi :

  (81)

C.Q.F.D.

Une cas particulier important est le cas où a=e. Nous avons alors :

  (82)

5. Dérivée d'une somme de fonctions :

Soient u et v deux fonctions. La fonction somme  est dérivable sur tout intervalle où u et v sont dérivables, sa dérivée est la fonction s' somme des fonctions dérivées u' et v' de u et v.

Ce résultat se généralise pour une somme d'un nombre quelconque fixé de fonctions.

Démonstration:

Soit a un réel fixé et u et v deux fonctions définies et dérivables en a:

  (83)

Donc la dérivée d'une somme est la somme des dérivées.

C.Q.F.D.

6. Dérivée d'un produit de fonctions :

Soient u et v deux fonctions.  La fonction produit  est dérivable sur tout intervalle où u et v sont dérivables, sa dérivée première est la fonction p' telle que :

  (84)

Démonstration:

Soit a un réel fixé et u et v deux fonctions définies et dérivables en a:

  (85)

Nous rajoutons à cette dernière relation deux termes dont la somme est nulle tel que:


  
(86)

C.Q.F.D.

Mais il existe une formulation plus générale que la dérivée première d'un produit :

Considérons pour cela toujours nos deux fonctions u et v, n fois dérivables sur un intervalle I. Alors le produit uv est n fois dérivable sur I et :

  (87)

et ceci constitue la "formule de Leibniz" que nous avons utilisé dans le chapitre de calcul algébrique pour l'étude des polynômes de Legendre (qui nous sont eux-mêmes indispensables pour l'étude de la chimie quantique).

La démonstration de la formule est très proche de celle fait pour le binôme de Newton (cf. chapitre de Calcul Algébrique).

Démonstration:

Soit :

  (88)

D'autre part :

  (89)

La formule est ainsi bien initialisée.

La démonstration se fait par récurrence. Ainsi, le but est de montrer que pour  que si :

  (90)

alors :

  (91)

Nous avons donc :

  (92)

Nous allons procéder à un changement de variable dans la première somme pour ne plus avoir le terme en k+1. Nous posons pour cela  :

  (93)

Si nous revenons à la lettre k, nous avons donc :

  (94)

Nous avons donc :

  (95)

Nous voulons réunir les deux sommes. Pour cela, nous écartons les termes en trop dans chacun d'elles :

  (96)

Ce qui donne donc :

  (97)

D'après la formule de Pascal (cf. chapitre de Probabilités), nous avons :

  (98)

Donc :

  (99)

Or :

  (100)

Donc :

  (101)

C.Q.F.D.

7. Dérivée d'une fonction composée :

Soit la fonction composée  de deux fonctions u et g dérivables, la première en u(x), la seconde en x, la fonction dérivée f' est définie par , c'est-à-dire :

  (102)

Démonstration:

Soit a un réel fixé et u une fonction définie et dérivable en a et g une fonction définie et dérivable en u(a) :

  (103)

posons , nous avons alors:

  (104)

continuons notre développement précédent:


  
(105)

C.Q.F.D.

Donc la dérivée d'une fonction composée est donnée par la dérivée de la fonction multipliée par la "dérivée intérieure". Par ailleurs, ce type de dérivation est très important car souvent utilisé en physique sous la dénomination de "dérivation en chaîne".

Voyons de quoi il s'agit. La dernière relation obtenu peut être écrite sous une autre forme si nous posons et :

  (106)

Ce qui peut s'étendre à des cas plus compliqués par exemple si  alors :

  (107)

8. Dérivée d'une fonction réciproque :

Si la fonction  f est continue, strictement monotone sur un intervalle I, dérivable sur  I, alors la fonction réciproque   est dérivable sur l'intervalle f(I) et admet pour fonction dérivée:

  (108)

En effet, nous pouvons écrire :

  (109)

C’est-à-dire (application identité) :

  (110)

Par application de la dérivation des fonctions composées:

  (111)

d'où:

  (112)

Pour une variable x, nous poserons pour la dérivée de la fonction réciproque:

  (113)

10. Dérivée de la fonction arccos(x) :

En utilisant le résultat précédent de la fonction réciproque, nous pouvons calculer la dérivée de la fonction arccos(x) :

  (114)

11. Dérivée de la fonction arcsin(x) :

En utilisant le résultat précédent de la fonction réciproque, nous pouvons calculer la dérivée de la fonction arcsin(x) :

  (115)

12. Dérivée d'un quotient de deux fonctions :

La fonction  est dérivable sur tout intervalle où les fonctions u et v sont dérivable et où la fonction v est non nulle et:

  (116)

Démonstration:

La fonction f peut être considérée comme le produit de deux fonctions : la fonction u et la fonction 1/v. Une produit de deux fonctions est dérivable si chacune d'elle est dérivable, il faut donc que la fonction u soit dérivable et que la fonction 1/v soit également dérivable ce qui est le cas quand v est dérivable non nulle.

  (117)

C.Q.F.D.

13. Dérivée de la fonction tan(x) :

Par définition (cf. chapitre de Trigonométrie) nous avons :

  (118)

et en appliquant donc la dérivée d'un quotient vu précédemment, nous avons :

  (119)

ou encore :

  (120)

14. Dérivée de la fonction cot(x) :

Par définition (cf. chapitre de Trigonométrie), :

  (121)

et donc (dérivée d'un quotient à nouveau) :

  (122)

ou encore :

  (123)

15. Dérivée de la fonction arctan(x) :

Nous utilisons les propriétés dérivée des fonctions réciproques :

  (124)

16. Dérivée de la fonction arccot(x) :

Selon la même méthode que précédemment :

  (125)

17. Dérivée de la fonction  :

Nous verrons lors de notre études des méthodes numérique (cf. chapitre de Méthodes Numériques) que le "nombre d'Euler" peut être calculé selon la série :

  (126)

qui converge sur . En dérivant terme à terme cette série qui converge, il vient :

  (127)

Ainsi l'exponentielle est sa propre dérivée. Ainsi, nous pouvons nous permettre d'étudier les dérivées de quelques fonction trigonométriques hyperboliques (cf. chapitre de Trigonométrie).

18. Dérivée de la fonction sinh(x) :

Rappel :

  (128)

Donc trivialement :

  (129)

19. Dérivée de la fonction cosh(x) :

Rappel :

  (130)

Donc trivialement :

  (131)

20. Dérivée de la fonction tanh(x) :

Puisque par définition :

  (132)

Donc en appliquant la dérivée d'un quotient nous obtenons :

  (133)

Ou encore :

  (134)

21. Dérivée de la fonction coth(x) :

Rappel :

  (135)

et donc :

  (136)

22. Dérivée de la fonction arcsinh(x) :

Nous appliquons les propriétés des dérivées des fonctions réciproques :

  (137)

Or (voir à nouveau le chapitre de trigonométrie) :

  (138)

et donc :

  (139)

Etant donné que cosh ne prend que des valeurs positives, nous avons :

  (140)

Donc finalement :

  (141)

23. Dérivée de la fonction arccosh(x) :

Nous appliquons les propriétés des dérivées des fonctions réciproques :

  (142)

Or selon la même méthode que précédemment :

  (143)

d'où :

  (144)

Etant donné que ne prend que des valeurs positives nous avons alors :

  (145)

Donc :

  (146)

24. Dérivée de la fonction arctanh(x) :

En appliquant les propriétés des dérivées des fonctions réciproques) :

  (147)

25. Dérivée de la fonction arccoth(x) :

En appliquant les propriétés des dérivées des fonctions réciproques) si :

  (148)

26. Dérivée de la fonction :

Avec  :

  (149)

Donc (dérivée d'une fonction composée) :

  (150)

CALCUL INTéGRAL

Nous allons aborder ici les principes élémentaires et de base du calcul intégral. La suite (avec plus de rigueur) viendra en fonction du temps qui est la disposition des responsables du site.

INTéGRALE DéFINIE

Une valeur approchée de l'aire sous une courbe peut être obtenue par un découpage en n bandes rectangulaires verticales de même largeur. En particulier on peut réaliser un encadrement de cette aire à l'aide d'une somme majorante et d'une somme minorante pour un découpage donné.


  
(151)

Supposons que le nombre n de bandes tende vers l'infini. Comme les bandes sont de même largeur, la largeur de chaque bande tend vers 0.

Si les sommes et ont toutes deux une limite lorsque, le nombre n de bandes, tend vers l'infini, alors l'aire A sous la courbe est comprise entre ces deux limites.

Nous avons :

  (152)

Si ces deux limites sont égales, leur valeur est celle de l'aire sous la courbe.

D'où une première définition de l'intégrale définie ou dite "intégrale de Riemann":

Soit un intervalle , divisé en n parties égales, soit f une fonction continue sur l'intervalle , soit , la somme algébrique minorante et soit , la somme algébrique majorante. Nous appelons "intégrale définie" de f, depuis a jusqu'à b, notée :

  (153)

le nombre A tel que pourvu que cette limite existe.

Intuitivement, il est évident que lorsque , nous étendons la définition ainsi :

  (154)

Remarques:

R1. Pour calculer l'aire majorante et l'aire minorante, il n'est pas nécessaire que la largeur des sous-intervalles du découpage soit la même partout.

R2. Si cette limite existe, alors nous disons que f est "intégrable" sur et l'intégrale définie existe.

R3. Le fait de chercher cette limite s'appelle "calculer l'intégrale".

R4. Les nombres a et b sont appelés les "bornes d'intégration", a est la "borne inférieure", b est la "borne supérieure".

R5. D'autres lettres que x peuvent être employées dans la notation de l'intégrale définie. Ainsi si f est intégrable sur , alors etc. C'est la raison pour laquelle la variable x de la définition est dite "variable muette".

R6. Comme nous le verrons plus loin, il est essentiel de ne pas confondre "intégrale définie" et "intégrale indéfinie". Ainsi, une intégrale indéfinie, notée est une fonction, ou, plus précisément, une famille de fonctions appelées aussi "primitives de f" (voir plus bas) alors qu'une intégrale définie, notée est une constante.

INTéGRALE INDéFINIE

Nous avons vu précédemment lors de notre études des dérivées, le problème suivant : étant donnée une fonction F(x), trouver sa dérivée, c'est-à-dire la fonction .

Définition: Nous disons que la fonction F(x) est une "primitive" ou "intégrale indéfinie" de la fonction f(x) sur le segment [a, b], si en tout point de ce segment nous avons l'égalité .

Une autre manière de voire le concept d'intégrale indéfinie est de passer par le théorème fondamental du calcul intégral (et différentiel) appelé aussi parfois "théorème fondamental de l'analyse" qui s'énonce ainsi :

Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a, b].

P1. Si A est la fonction définie par pour tout X dans [a, b], alors A est la primitive de f sur [a, b] qui s'annule en a.

P2. Si F est une primitive de f sur [a, b], alors .

Démonstration:

Soit la fonction :

  (155)

Si f est positive et (la démonstration dans le cas où est proposée similaire) et comme , nous pouvons nous représenter A(X) comme l'aire sous la courbe de f depuis jusqu'à .


  
(156)

Pour démontrer que A est une primitive de f , nous allons prouver que . Selon la définition de la dérivée :

  (157)

Etudions ce quotient  : est représentée par l'aire de la bande de largeur h, prise en sandwich entre deux rectangles de largeur h.

Soit M le maximum de f sur l'intervalle et m le minimum de f sur ce même intervalle. Les aires respectives des deux rectangles sont Mh et mh.

Nous avons alors la double inégalité suivante :

  (158)

Comme h est positif, on peut diviser par sans changer le sens des inégalités :

  (159)

Lorsque et si f est une fonction continue, alors M et m ont pour limite , et le rapport , qui est compris entre m et M, a bien pour limite .

Comme pour tout X, ceci nous montre que la dérivée de la fonction aire est f. Ainsi Af. Comme , A est bien la primitive de f qui s’annule en a. est une primitive de

C.Q.F.D.

Avant de commencer la démonstration de la deuxième propriété du théorème fondamental, donnons et démontrons le théorème suivant qui va nous être indispensable : Si  et  sont deux primitives de la fonction f(x) sur le segment [a, b], leur différence est une constante (ce théorème est très important en physique pour ce qui est de l'étude de ce que nous appelons les "conditions initiales").

Démonstration:

Nous avons en vertu de la définition de la primitive :

  (160)

pour .

Posons :

  (161)

Nous pouvons écrire :

  (162)

Il vient donc de ce que nous avons vu pendant notre étude des dérivées que .

Nous avons alors :

  (163)

C.Q.F.D.

Il résulte de ce théorème que si nous connaissons une primitive quelconque F(x) de la fonction f(x), toute autre primitive de cette fonction sera de la forme :

  (164)

Donc finalement, nous appelons "intégrale indéfinie" de la fonction f(x) et nous notons :

  (165)

tout expression de la forme  où F(x) est une primitive de f(x). Ainsi, par convention d'écriture :

  (166)

si et seulement si .

Dans ce contexte, f(x) est également appelée "fonction à intégrer" et f(x)dx, "fonction sous le signe somme".

Géométriquement, nous pouvons considérer l'intégrale indéfinie comme un ensemble (famille) de courbes telles que nous passons de l'une à l'autre en effectuant une translation dans le sens positif ou négatif de l'axe des ordonnés.

Revenons-en à la démonstration du point (2) du théorème fondamental de l'analyse :

Démonstration:

Soit F une primitive de f.

Puisque deux primitives diffèrent d'une constante, nous avons bien:

  (167)

ce que nous pouvons écrire aussi :

  (168)

pour tout X dans . Le cas particulier donne et donc et . En remplaçant, nous obtenons :

  (169)

Comme cette identité est valable pour tout X de l'intervalle , elle est vraie en particulier pour . D'où :

  (170)

C.Q.F.D.

Remarque: Le théorème fondamental qui montre le lien entre primitive et intégrale a conduit à utiliser le même symbole pour écrire une primitive, qui est une fonction, et une intégrale, qui elle, est un nombre.

Voici quelques propriétés triviales de l'intégration qu'il est bon de se rappeler car souvent utilisée ailleurs sur le site (si cela ne vous semble pas évident, contactez-nous et nous le détaillerons) :

P1. La dérivée d'une intégrale indéfinie est égale à la fonction à intégrer :

  (171)

P2. La différentielle d'une intégrale indéfinie est égale à l'expression sous le signe somme :

  (172)

P3. L'intégrale indéfinie de la différentielle d'une certaine fonction est égale à la somme de cette fonction et d'une constante arbitraire :

  (173)

P4. L'intégrale indéfinie de la somme (ou soustraction) algébrique de deux ou plusieurs fonctions est égale à la somme algébrique de leurs intégrales (ne pas oublier que l'on travail avec l'ensemble des primitives et non des primitives particulières!):

  (174)

Démonstration:

Pour démontrer cela nous allons prouver que la dérivée du membre de gauche permet de trouver le membre de droit et inversement (réciproque) à l'aides des propriétés précédentes.

D'après P1 nous avons :

  (175)

Vérifions s'il en est de même avec le membre de droite (nous supposons connues les propriétés des dérivées que nous avons démontrées au début de ce chapitre) :

  (176)

C.Q.F.D.

P5. Nous pouvons sortir un facteur constant de sous le signe somme, c'est-à-dire :

  (177)

Nous justifions cette égalité en dérivant les deux membres (et d'après les propriétés des dérivées) :

  (178)

P6. Nous pouvons sortir un facteur constant de l'argument de la fonction intégrée (plutôt rarement utilisée) :

  (179)

En effet, en dérivant les deux membres de l'égalité nous avons d'après les propriétés des dérivées :

  (180)

P7. L'intégration d'une fonction dont l'argument est sommé (ou soustrait) algébriquement est la primitive de l'argument sommé (respectivement soustrait) :

  (181)

Cette propriété ce démontre également identiquement à la précédente à l'aide des propriétés des dérivées.

P8. La combinaison des propriétés P6 et P7 nous permettent d'écrire :

  (182)

P9. Soit f une fonction continue sur [a,b], nous avons pour :

Ce théorème découle immédiatement de la définition de l'intégrale indéfinie. F étant une primitive de f  sur [a,b] nous avons:

P10. Voilà une propriété souvent utilisée dans le chapitre de Statistiques du site (nous ne trouvons pas de moyen d'exprimer cette propriété par le langage courant donc...) :


  
(183)

INTéGRATION PAR changements de variableS

Lorsque nous ne pouvons facilement déterminer la primitive d'une fonction donnée, nous pouvons nous débrouiller par un changement de variable astucieux (parfois même très subtile) à contourner la difficulté. Cela ne marche pas à tous les coups (car certaines fonctions ne sont pas intégrables formellement) mais il vaut la peine d'essayer avant d'avoir recours à l'ordinateur.

A nouveau, nous ne donnons que la forme générale de la méthode. C'est le rôle des professeurs dans les écoles d'entraîner les élèves à comprendre et maîtriser ce genre de techniques. De plus, les chapitres traitant des sciences exactes sur le site (physique, informatique, astrophysique, chimie, …) regorgent d'exemples utilisant cette technique et servent ainsi implicitement d'exercices de style.

Soit à calculer l'intégrale (non bornée pour l'instant) :

  (184)

bien que nous ne sachions pas calculer directement la primitive de cette fonction f(x) (en tout cas nous imaginons être dans une telle situation) nous savons (d'une manière ou d'une autre) qu'elle existe (nous ne traitons pas encore des intégrales impropres à ce niveau).

La technique consiste alors dans cette intégrale à effectuer le changement de variable :

  (185)

est une fonction continue ainsi que sa dérivée, et admettant une fonction inverse. Alors , démontrons que dans ce cas l'égalité :

  (186)

est satisfaite.

Nous sous-entendons ici que la variable t sera remplacée après intégration du membre droit par son expression en fonction de x. Pour justifier l'égalité en ce sens, il suffit de montrer que les deux quantités considérées dont chacune n'est définie qu'à une constant arbitraire près ont la même dérivée par rapport à x. La dérivée du membre gauche est :

  (187)

Nous dérivons le membre droit par rapport à x en tenant compte que t est une fonction de x. Nous savons que :

  (188)

Nous avons par conséquent :

  (189)

Les dérivées par rapport à x des deux membres de l'égalité de départ sont donc égales (c.q.f.d).

Bien évidemment, la fonction doit être choisie de manière à ce que nous sachions calculer l'intégrale indéfinie figurant à droite de l'égalité.

Remarque: Il est parfois préférable de choisir le changement de variable sous la forme  au lieu de  car cela à une large tendance à simplifier la longueur de l'équation au lieu de l'allonger.

jacobien

Considérons un domaine D du plan u,v limité par une courbe L. Supposons que les coordonnées x,yu,v (toujours dans le cadre d'un changement de variables donc) par les relations de transformations : soient des fonctions des nouvelles variables

  (190)

où les fonctions et sont univoques, continues et possèdent des dérivées continues dans un certain domaine D' que nous définirons par la suite. Il correspond alors d'après les relations précédentes à tout couple de valeurs u,v un seul couple de valeur x,y et réciproquement.

Il résulte de ce qui précède qu'à tout point du plan Oxy correspond univoquement un point P'(u,v) du plan Ouv de coordonnées u,v définies par les relations précédentes. Les nombres v et u seront appelées "coordonnées curvilignes" de P et nous verrons des exemples concrets et schématisé de ceux-ci dans le chapitre de calcul vectoriel.

Si dans le plan Oxy le point P décrit la courbe fermée L délimitant le domaine D, le point correspondant décrit dans le plan Ouv un certain domaine D'. Il correspond alors à tout point de D' un point de D. Ainsi, les relations de transformations établissent une correspondance biunivoque entre les points des domaines D et D'.

Considérons maintenant dans D' une droite . En général, les relations de transformation lui font correspondre dans le plan Oxy une ligne courbe (ou inversement). Ainsi, découpons le domaine D' par des droites et en de petits domaines rectangulaires (nous ne prendrons pas en compte dans la limite, les rectangles empiétant sur la frontière de D'). Les courbes correspondantes du domaine D découpent alors ce dernier en quadrilatère (définis par des courbes donc). Evidemment, l'inverse est applicable.

Considérons dans le plan Ouv le rectangle limité par les droites :

  (191)

et le quadrilatère curviligne correspondant dans le plan Oxy. Nous désignerons les aires de ces domaines partiels également par et . Nous avons évidemment :

  (192)

Les aires et peuvent êtres en générales différentes.

Supposons donc dans D une fonction continue . Il correspond à toute valeur de cette fonction du domaine D la même valeur (ce qu'il faut vérifier) dans D', où :

  (193)

Considérons les sommes intégrales de la fonction dans le domaine D. Nous avons évidemment l'égalité suivante :

  (194)

Calculons , c'est-à-dire l'aire du quadrilatère curviligne dans le plan Oxy :

Déterminons les coordonnes de ses sommets :

  (195)

Nous assimilerons dans le calcul de l'aire du quadrilatère les arcs et . Les relations précédentes deviennent alors : à des segments de droites parallèles. Nous remplacerons en outre les accroissement des fonctions par leurs différentielles. C'est dire que nous faisons abstraction des infiniment petits d'ordre plus élevé que

  (196)

Sous ces hypothèses, le quadrilatère curviligne peut être assimilé à un parallélogramme. Son aire est approximativement égale au double de l'aire du triangle , aire que nous pouvons calculer en utilisant les propriétés du déterminant (comme nous le démontrerons dans le chapitre d'algèbre linéaire, le déterminant dans représente un parallélogramme alors que dans celui-ci représente le volume d'un parallélépipède) :

  (197)

Tel que (c'est là qu'il faut faire le meilleur choix pour que l'expression final soit la plus simple et la plus esthétique, nous procédons par essais successifs et faisons enfin le choix ci-dessous) :


  
(198)

Ainsi, nous avons :

  (199)

Par conséquent :

  (200)

Avec :

  (201)

qui est la "matrice jacobienne" (alors que son déterminant est appelé le "jacobien" (tout court)) de la transformation de coordonnées de . En appliquant exactement le même raisonnement pour , alors la matrice jacobienne s'écrit alors (en changeant un peu les notations car sinon cela devient illisible):

  (202)

Bref, à quoi cela sert-il concrètement ? Eh bien revenons à notre relation :

  (203)

qui n'est finalement qu'approximative étant donné que dans les calculs de l'aire nous avons négligé les infiniment petits d'ordre supérieur. Toutefois, plus les dimensions des domaines élémentaires et sont petites, et plus nous nous approchons de l'égalité. L'égalité ayant finalement lieu quand nous passons à la limite (finalement en maths aussi on fait des approximations… hein !), les surfaces des domaines élémentaires tendant vers zéro :

  (204)

Appliquons maintenant l'égalité obtenue au calcul de l'intégral double (nous pouvons faire de même avec la triple bien sûr). Nous pouvons donc finalement écrire (c'est la seule manière de poser la chose qui a un sens) :

  (205)

Passant à la limite, nous obtenons l'égalité rigoureuse :

  (206)

Telle est la relation de transformation des coordonnées dans une intégrale double. Elle permet de ramener le calcul d'une intégrale double dans le domaine au domaine , ce qui peut simplifier le problème.

De même, pour une intégrale triple, nous écrirons :

  (207)

Déterminons maintenant le Jacobien pour les systèmes de coordonnées les plus courants (nous renvoyons à nouveau le lecteur au chapitre de calcul vectoriel pour plus d'information concernant ces systèmes) :

1. Coordonnes polaires :

  (208)

Comme r est toujours positif, nous écrivons simplement :

  (209)

2. Coordonnées cylindriques (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire pour le calcul du déterminant) :


  
(210)

Comme r est toujours positif, nous écrivons simplement :

  (211)

3. En coordonnées sphériques (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire pour le calcul du déterminant) :


  
(212)

Comme est toujours positif, nous écrivons simplement :

avec   (213)

INTéGRATION PAR PARTIES

Lorsque nous cherchons à effectuer des intégrations, il est très fréquent que nous ayons à utiliser un outil (ou méthode de calcul) appelé "intégration par parties". Voici la démonstration de la validité de ce dernier.

Soit f,g deux applications de classe  (dérivables n fois) de [a,b] dans , alors (voir la version plus light dans la démo...) :

  (214)

Démonstration:

Procédons par par récurrence sur n. Nous supposons la formule vraie pour n et nous la démontrons pour n+1 :

  (215)

Pour n=1 nous retrouvons la formule bien connue:

  (216)

C.Q.F.D.

PRIMITIVES USUELLES

Il existe en mathématique et en physique un grand nombre de primitives ou de fonctions définies sur des intégrales que nous retrouvons assez fréquemment (mais pas exclusivement). Comme dans n'importe quel formulaire, nous vous proposons les primitives connues mais avec les démonstrations. 

Cependant, nous omettrons les primitives qui découlent déjà des dérivées que nous avons démontrées plus haut.

Sinon voici déjà une liste de quelques intégrales fréquentes (le lecteur en rencontrera de toute façon bien d'autres – développées dans les détails - lors de son parcours du site) :

1. Primitive de :

Par définition nous avons donc :

  (217)

Nous utilise le changement de variable et ainsi :

  (218)

Donc :

  (219)

2. Primitive de :

Par définition nous avons donc :

  (220)

Nous utilisons le changement de variable et :

  (221)

Donc :

  (222)

3. Primitive de :

Nous intégrons par parties :

  (223)

Si nous posons , () nous obtenons :

  (224)

Donc :

  (225)

4. Primitive de :

Nous intégrons à nouveau par parties :

  (226)

Si nous posons, (), nous obtenons :

  (227)

Donc :

  (228)

5. Primitive de :

Nous intégrons encore une fois par parties :

  (229)

Si nous posons , (), nous obtenons :

  (230)

Donc :

  (231)

6. Primitive de :

Encore une fois… nous intègrons par parties :

  (232)

Si nous posons , (), nous obtenons :

  (233)

Donc :

  (234)

7. Primitive de avec :

Une intégration par parties nous donne :

  (235)

Donc :

  (236)

Remarque: Une autre intégrale très importante avec l'exponentielle en physique est celle que nous avions démontrée lors de notre étude de la loi de Gauss-Laplace en statistiques et probabilités (détermination de la moyenne).

8. Primitive de :

  (237)

en intégrant par parties nous trouvons :

  (238)

Donc :

  (239)

9. Primitive de avec :

Une intégration par parties nous donne :

  (240)

Donc :

  (241)

10. Primitive de pour :

  (242)

Ainsi il vient :

  (243)

Il vient :

et   (244)

d'où :

  (245)

11. Primitive de :

Pour () sachant que (voir les propriétés des logarithmes dans le chapitre d'analyse fonctionnelle) :

  (246)

nous avons en utilisant la primitive de :

  (247)

12. Primitive de :

Nous avons :

  (248)

Nous utilisons le changement de variable et obtenons :

  (249)

Donc :

  (250)

13. Primitive de :

Nous avons donc :

  (251)

Nous utilisons le changement de variable et obtenons:

  (252)

Donc :

  (253)

14. Primitive de :

Nous intégrons par parties :

  (254)

Si nous posons , () nous obtenons :

  (255)

Donc :

.   (256)

15. Primitive de :

Nous intégrons par parties :

  (257)

Si on pose , () nous obtenons :

  (258)

Donc finalement :

  (259)

16. Primitive de :

Nous intégrons par parties :

  (260)

Si nous posons , () nous obtenons :

  (261)

Donc finalement :

  (262)

17. Primitive de :

Nous intégrons par parties :

  (263)

Si nous posons , () nous obtenons :

  (264)

Donc finalement :

  (265)

18. Primitive de avec :

Posons . Une intégration par partie donne :

  (266)

en remplaçant par dans la dernière intégrale, nous obtenons :

  (267)

et donc :

  (268)

19. Primitive de avec  :

Dans ce cas nous avons la formule de récurrence

  (269)

qui se démontre de la même façon que la relation de récurrence précédente.

20. Primitive de :

Sachant que , nous avons :

  (270)

Donc :

  (271)

21. Intégrale de :

Sachant que , nous avons :

  (272)

Donc :

  (273)

22. Primitive de  :

En utilisant les relations trigonométriques remarquables, nous avons :

  (274)

Selon la primitive . Donc :

  (275)

23. Primitive de  :

En utilisant encore une fois les relations trigonométriques remarquables, nous avons :

  (276)

Selon la primitive . Donc :

  (277)

24. Primitive de  :

Nous faisons la substitution (). Sachant que :

  (278)

(cf. chapitre de Trigonométrie) nous obtenons alors :

et   (279)

(selon la dérivée de ). Donc :

  (280)

et :

  (281)

25. Primitive de  :

Sachant que (cf. chapitre de Trigonométrie) nous avons :

  (282)

Nous faisons le changement de variable () :

  (283)

(selon la primitive de ). Donc :

  (284)

26. Primitive de  :

Nous faisons la substitution (). Sachant que (cf. chapitre de Trigonométrie) :

  (285)

nous obtenons :

et   (286)

(selon la dérivée de arctan(x)). Donc :

  (287)

et :

  (288)

27. Primitive de :

Nous faisons à nouveau la substitution  (comme précédemment). Nous trouvons alors:

  (289)

 et donc:

  (290)

28. Primitive de :

 Sachant que:

  (291)

Nous avons alors:

  (292)

En faisant le changement de variable:

 avec   (293)

nous obtenons :

  (294)  

D'où:

  (295)

29. Primitive de 

Par le même raisonnement que précédemment en utilisant le cosinus nous obtenons:

  (296)

30. Primitive de  avec  :

Posons :

  (297)

Une intégration par partie donne (nous avons démontré lors des dérivées usuelles que la primitive du sinus hyperbolique était le cosinus hyperbolique):

  (298)

en remplaçant  par  dans la dernière intégrale, nous obtenons:

  (299)

et donc :

  (300)

Ainsi:

  (301)

31. Primitive de  avec  :

Dans ce cas nous avons aussi la relation récurrence:

  (302)

qui se démontre de la même façon que ci-dessus. Ainsi:

  (303)

32. Primitive de :

Sachant que (démontré lors des dérivées usuelles) :

  (304)

nous avons:

  (305)

Donc:

  (306)

33. Primitive de :

Sachant que (démontré lors des dérivées usuelles):

  (307)

nous avons:

  (308)

Donc :

  (309)

34. Primitive de :

Nous avons en utilisant la primitive de :

  (310)

Donc :

  (311) .

35. Primitive de :

Nous avons en utilisant la primitive de :

  (312)

Donc:

36. Primitive de :

Nous faisons la substitution:

 avec   (313)

Nous obtenons en utilisant la dérivée arctanh(x):

  (314)

et:

  (315)

37. Primitive de :

Nous faisons la substitution:

 avec   (316)

Nous obtenons en utilisant la dérivée arctan(x):

  (317)

et donc:

  (318)

38. Primitive de :

Nous faisons la substitution :

 avec   (319)

Nous obtenons:

  (320)

Nous obtenons donc la primitive :

  (321)

39. Primitive de :

Nous faisons la substitution :

 avec   (322)

Nous obtenons :

  (323)

Nous obtenons donc la primitive:

  (324)

40. Primitive de :

 Nous faisons la substitution :

 avec   (325)

Nous obtenons:

  (326)

Or :

  (327)

D'où:

  (328)

Donc:

  (329)

41. Primitive de :

Nous faisons la substitution habituelle:

 avec   (330)

Nous obtenons:

  (331)

Or :

  (332)

D'où:

  (333)

Donc:

  (334)

42. Primitive de avec :

 Une première intégration par parties donne:

  (335)

Une deuxième intégration par parties donne:

  (336)

d'où l'égalité :

  (337)

Ainsi en redistribuant la relation précédente:

  (338)

43. Primitive de  avec  :

Un raisonnement analogue à celui d'avant montre que :

  (339)

44. Primitive de  avec  :

Une intégration par parties nous donne:

  (340)

45. Primitive de  avec  :

Une intégration par parties nous donne,

  (341)

46. Primitive de  avec  :

Nous avons la relation suivante:

  (342)

Par suite:

  (343)

Ainsi:

  (344)

47. Primitive de  avec :

Nous avons en utilisant le résultat précédent:

  (345)

Donc:

  (346)

48. Primitive de  avec :

En faisant le changement de variable :

 avec   (347)

Nous obtenons en utilisant la dérivée de arctan(x) :

  (348)

49. Soit :

  (349)

avec . Nous avons:

  (350)

Or cette dernière intégrale se résout par parties:

  (351)

Donc:

  (352)

Que nous retrouvons plus fréquemment dans la littérature sous la forme:

  (353)

Identiquement au développement suivant, nous avons pour (le signe change):

  (354)

la relation suivante:

  (355)

Vous pourrez trouver une application de ces deux primitives dans le modèle cosmologique newtonien de l'univers dans le chapitre d'Astrophysique!

50. Primitive de  :

Nous avons en utilisant les primitives de  (vu avant) et  (vu plus haut):

  (356)

51. Primitive de  :

Nous avons en utilisant les primitives de  (vu avant) et  (vu plus haut):

  (357)

52. Primitive de  avec  :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer . Remarquons que le domaine de définition de f est . Dans un premier temps nous allons déterminer une primitive de f sur l'intervalle .

Faisons le changement de variable:

  (358)

avec donc:

  (359)

où nous considérons la fonction  avec pour réciproque la fonction  donnée par  (cf. chapitre de Trigonométrie):

  (360)

Nous obtenons alors en utilisant la primitive de  :

  (361)

or (cf. chapitre de Trigonométrie) comme :

  (362)

Donc:

  (363)

et en utilisant un autre résultat du chapitre de Trigonométrie:

  (364)

nous avons alors:

  (365)

étant donné que les primitives sont données à une constant près, nous pouvons écrire:

  (366)

pour . F est donc une primitive de  sur .

53. Primitive de  avec  :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer . Remarquons que le domaine de définition de f est .

Nous faisons la substitution:

 avec   (367)

Nous obtenons:

  (368)

où nous avons utilisé la primitive de  avec  démontrée plus haut.Or nous avons:

  (369)

Donc:

  (370)

et:

  (371)

54. Primitive de  avec  :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer . Faisons le changement de variable:

  (372)

avec donc:

  (373)

Nous obtenons:

  (374)

en ayant utilisé la primitive de  démontrée plus haut.

Ainsi:

  (375)

Mais comme nous avons vu dans le chapitre de Trigonométrie:

  (376)  

et:

  (377)

Donc:

  (378)

55. Primitive de  avec  :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer .

Nous faisons la substitution:

avec   (379)

Nous obtenons:

  (380)

56. Primitive de  avec  :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer .

Faisons le changement de variable:

 avec   (381)

Nous obtenons de la même manière que précédemment.:

  (382)

Sachant que (cf. chapitre de Trigonométrie):

  (383)

Nous obtenons la primitive:

  (384)

qui est une primitive importante que nous retrouverons en Mécanique Analytique et en Génie Civil.

FONCTION DE DIRAC

La fonction de Dirac ou "fonction delta" joue un rôle pratique très important aussi bien en électronique et informatique qu'en physique quantique ondulatoire et physique quantique des champs (cela permet de discrétiser un continuum). Pour l'introduire simplement, considérons la fonction définie par:

  (385)

La représentation de  est un rectangle de largeur a, de hauteur 1/a et de surface unité. La fonction de Dirac peut être considérée comme la limite, lorsque  de la fonction f(x). On a donc:

  (386)

avec:

  (387)

 est un nombre plus grand que 0 aussi petit que nous le voulons. Pour une fonction g(x) continue en x=0 on a:

  (388)

Par extension nous avons :

  (389)

et pour une fonction g(x) continue en :

  (390)

Il est alors assez aisé de définir la fonction de Dirac dans l'espace à 3 dimensions par:

  (391)

Fonction Gamma d'Euler

Nous définissons la fonction Gamma d'Euler (intégrale Eulérienne de deuxième espèce) par l'intégrale suivante:

  (392)

avec x appartenant à l'ensemble des nombres complexes (dont des réels aussi...)!

Remarque: Nous avons déjà rencontré cette intégrale et certaines de ses propriétés (qui vont être démontrées ici) lors de notre étude des fonctions de distribution Bêta, Gamma, Khi-deux, Student et Fisher en statistiques (cf. chapitre de Statistiques). Nous utiliserons également cette intégrale en maintenance (cf. chapitre de Techniques De Gestion), en théorie des cordes (cf. chapitre de Théorie Des Cordes) et dans d'autres domaines de l'ingénierie (voir la section correspondante).

Voici un tracé graphique pour x parcourant un intervalle des nombres réels :


  
(393)

et la même fonction mais dans le plan complexe avec en ordonnée le module de x :


  
(394)

Cette fonction est intéressante si nous imposons que la variable x appartienne aux entiers positifs et que nous l'écrivons sous la forme suivante :

  (395)

Intégrons par partie cette dernière fonction:

  (396)

Comme la fonction exponentielle décroît beaucoup plus vite que  nous avons alors:

  (397)

Dans la littérature, nous retrouvons fréquemment les notations suivantes (qui portent alors à confusion) :

  (398)

Ce qui nous amène à récrire le résultat sous une forme plus classique :

  (399)

De la relation , il vient par récurrence :

  (400)

Or :

  (401)

ce qui donne :

  (402)

Donc: 

  (403)

ou autrement écrit pour :

  (404)

Un autre résultat intéressant de la fonction gamma d'Euler est obtenu lorsque nous remplaçons t par  et calculons celle-ci pour .

D'abord, nous avons :

  (405)

ensuite :

  (406)

Or, comme nous l'avons démontré dans le chapitre de statistiques lors de notre étude de loi de de Gauss-Laplace, cette dernière intégrale vaut :

  (407)

Constante d'Euler-MASCHERONI

Ce petit texte fait juste office de curiosité relativement à la constante d'Euler e et à presque tous les outils de calcul différentiel et intégral que nous avons vu jusqu'à maintenant. C'est un très joli exemple (presque artistique) de ce que nous pouvons faire avec les mathématiques dès que nous avons suffisamment d'outils à notre disposition.

De plus, cette constante est utile dans certaines équations différentielles où nous la retrouverons.

Nous avions vu dans le chapitre d'analyse fonctionnelle que la constante d'euler e est définie par la limite :

    (408)

Dans un cas plus général nous pouvons très facilement démontrer de la même façon que:

  (409)

Cela suggère évidemment:

  (410)

par changement de variable nous écrivons :

  (411)

Pour transformer cette expression nous pouvons écrire :

  (412)

Or la quantité: 

  (413)

tend vers la limite , appelée "constante d'Euler-Mascheroni" ou également  "constante Gamma d'Euler", lorsque n tend vers l'infini.

D'où:

  (414)

Divisons chacun des termes du produit  par l'entier correspondant pris dans n!, nous obtenons donc:




ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Définition: En mathématique, une "équation différentielle" (E.D.) est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées jusqu'à l'ordre n. "L'ordre" d'une équation différentielle correspond au degré maximal de différentiation auquel une des fonctions inconnues y a été soumise.

Par rapport à notre objectif d'essayer de voir comment les mathématiques décrivent la réalité, les équations différentielles remportent un franc succès, mais sont également la source de bien des soucis. D'abord des difficultés de modélisation (voir par exemple le système d'équation différentielles de la relativité générale...), des difficultés de résolution (il n'existe pas de méthode générale!), puis des difficultés propremetn mathématiques, enfin des difficultés liées au fait que certaines équations différentielles ne sont pas stables par nature et donnent des solutions chaotiques (voir le chapitre de dynamique des populations pour des exemples simples flagrants!).

Remarque: Les équations différentielles sont utilisées pour construire des modèles mathématiques de phénomènes physiques et biologiques, par exemple pour l'étude de la radioactivité ou la mécanique céleste. Par conséquent, les équations différentielles représentent un immense champ d'étude, aussi bien en mathématiques pures qu'appliquées

L'équation différentielle d'ordre n la plus générale peut toujours s'écrire sous la forme :

  (1)

Nous ne considérons sur ce site que le cas où x et y sont à valeur dans . Une solution à une telle E.D. sur l’intervalle  est une fonction  (une fonction  qui est n fois continûment dérivable) telle que pour tout , nous ayons :

  (2)

Remarques:

R1. Pour des raisons qui seront développés par la suite, nous disons aussi "intégrer l'E.D." au lieu de "trouver une solution à l'E.D.".

R2. Etant donné que tout le site internet est bourré d'exemples d'équations différentielles et de méthodes de résolutions dans les chapitres sur la mécanique, la physique atomique, la cosmologie, l'économétrie, les suites et séries, etc., nous ne ferons pas d'exemples ici et nous intéresserons donc qu'à l'aspect théorique minimal.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE

Une équation différentielle du 1er ordre est donc une E.D. qui ne fait intervenir que la première dérivée y'.

Définition: Une équation différentielle du 1er ordre est dite "E.D. d'ordre 1 à variables séparées" si ellle peut s'écrire sous la forme :

  (3)

Une telle équation différentielle peut s'intégrer facilement. En effet, nous écrivons :

  (4)

Puis symboliquement :

  (5)

Remarque: Nous écrivons ici explicitement la constante d'intégration arbitraire  (qui est implicitement présente dans les intégrales indéfinies) pour ne pas l'oublier!

Il s'agit donc d'abord de trouver des primitives F et G de f et de g, et ensuite d'exprimer y en terme de xC) : (et de

  (6)

La constante d'intégration est fixée lorsqu'on demande que pour un  donnée, nous ayons une valeur donnée de . Nous parlons alors de "problème aux valeurs initales".

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

Définition: Une équation différentielle d'ordre n est dite "E.D. linéaire" (E.D.L.) si et seulement si elle est de la forme :

  (7)

Avec :

  (8)

Voyons maintenant une propriété qui peut sembler négligeable du premier coup d'œil qui va prendre de l'importance plus loin!

Nous allons montrer que L est une application linéaire :

  (9)

Et pour tout  :

  (10)

Définition: L'équation différentielle (c'est la plus courante en physique) :

  (11)

s'appelle "équation homogène" (E.H.) ou "équation sans second membre" (ESSM) associée à :

  (12)

Nous allons maintenant démontrer une propriété importantes des E.H. : l'ensemble  des solutions de E.H. est le noyau de l'application linéaire L (ce qui rappelons-le signifie : ) et l'ensemble {S} des solutions à  est donné par :

 avec   (13)

c'est-à-dire que les solutions de la forme:

  (14)

 est une "solution particulière" de  et   la "solution homogène", parcourent toutes les solutions de l'E.D.

Démonstration:

La première affirmation sera supposée évidente.

En ce qui concerne la 2ème partie, toute fonction de la forme  est solution de .

En effet c'est trivial et cela découle de la définition du concept de noyau (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) :

  (15)

C.Q.F.D.

Ce qu'il est important aussi de comprendre avec les E.D. linéaires avec second membre, c'est que si nous trouvons des solutions à L(y) avec un second membre donné et des solutions à la même E.D. avec un autre second membre (différent!), alors la somme de toutes ces solutions, sera solution de l'E.D. avec la somme des seconds membres!!!

Il existe de nombreuses manières de résoudre les équations différentielles linéaires ou non linéaires de manière exacte ou approchée. Citons les quelques méthodes que nous analyserons plus loin par l'exemple (mais qui se trouvent déjà de nombreuses fois dans le chapitres de physique) :

- La méthode du polynôme caractéristique (voir plus bas)

- La méthode des perturbations (voir plus bas)

La méthode de variation de la constante ne sera pas présentée car basée sur une hypothèse empirique elle est dangereuse d'usage en physique!

méthode du polynôme caractéristique

La résolution des équations différentielles simples (à coefficients constants et sans seconde membre la plupart du temps...) utilise une technique faisant appel à un polynôme caractéristique de l'équation différentielle dont nous verrons les détails dans les développements à suivre sur quelques cas particuliers courants en physique.

C'est une méthode relativement simple à mettre en place lorsque nous cherchons les solutions homogènes de l'équation sans second membre (ESSM). Dans le cas contraire, celui de la présence d'un seconde membre, nous additionnons les solutions de l'équation homogènes aux solutions particulières.

RÉSOLUTION  L'E.H. DE L'E.D.L. A COEFFICIENTS CONSTANTS D'ORDRE 1

Considérons l'E.D.L. à coefficient constant suivante:

    (16)

Nous écrivons son équation homogène associée:

  (17)

Ce qui peut s'écrire:

  (18)

d'où :

  (19)

Il y a derrière cette solution homogène une infinité de solutions : à chaque valeur donnée à C correspond une solution.

Il faut encore à cette solution homogène ajouter la solution particulière  et nous disposons pour cela d'une collection de recettes, qui dépendent du type de la fonction f(x) du second membre de l' équation. Nous les verrons au cas par cas dans les différents chapitres de Physique.

RÉSOLUTION  L'E.H. DE L'E.D.L. A COEFFICIENTS CONSTANTS D'ORDRE 2

Considérons l'E.D.L. à coefficient constant suivante:

    (20)

Nous écrivons son équation homogène associée:

  (21)

dans laquelle la fonction second membre est nulle. Nous pouvons immédiatement entrevoir une solution du type (en s'inspirant de la forme des solutions des E.D. du 1er ordre):

  (22)

 est une constante.

Ce qui nous donne alors:

  (23)

Ce que nous pouvons simplifier en:

  (24)

Si notre hypothèse de départ est bonne, nous n'avons qu'à résoudre en K cette "équation caractéristique" (ECAR) ou "polynôme caractéristique" de l'équation homogène pour trouver la solution homogène:

  (25)

dont les solutions dépendent du signe du discriminant du polynôme caractéristique :

  (26)

- Si le discriminant est strictement positif, soit :

Alors nous savons que le polynôme caractéristique possède deux racines distinctes et nous avons alors:

  (27)

 et . Nous disons alors que la solution est "retardée" ou "avancée" selon les valeurs de ces constantes. Mais l'essentiel est de remarque que si  est solution, alors  est toujours solution!

Nous parlons alors de "solution générale de l'équation homogène". Il y a derrière ce résultat une infinité de solutions : à chaque valeur donnée aux constantes A, B correspond une solution.

Les physicien écrivent aussi parfois cela sous une forme particulière en posant d'abord:

  (28)

avec donc:

  (29)

Et en utilisant les fonctions de trigonométrie hyperbolique (cf. chapitre de Trigonométrie):

  (30)

d'où finalement la possibilité d'écrire la solution homogène sous la forme (lorsque nous omettons l'avance ou le retard ) :

  (31)

Par ailleurs, montrons que les solutions de l'ESSM forment un espace vectoriel de dimension 2 (correspond donc à l'ordre de notre E.D.)!

En effet:

- La fonction zéro:  est solution de l'ESSM (ça c'est inutile à démontrer… évident!).

- La somme ou soustraction des solutions reste solution (ça nous l'avons déjà démontré plus haut)

- Les éléments de la base de l'espace vectoriel (les solutions de l'ESSM) sont linéairement indépendants (ça c'est intéressant car nous en aurons besoin!).

Posons:

  (32)

Alors:

  (33)

Donc l'équation différentielle à coefficients constants :

  (34)

s'écrit alors:

  (35)

Donc nous avons bien une structure d'espace vectoriel.

Rappelons que inversement deux fonction sont linéaire dépendantes si:

  (36)

- Si le discriminant est nul, soit :

L' équation caractéristique possède une racine double réelle K.

En allant un peu vite nous dirons alors:

  (37)

et que c'est fini… mais au fait ce serait oublié que la base vectorielle doit être formée de deux solutions indépendantes!

Donc la deuxième solution est probablement de la forme:

  (38)

Alors:

  (39)

Si nous l'injectons dans l'ESSM:

  (40)

alors:

  (41)

Or :

  (42)

Donc:

  (43)

Donc finalement:

  (44)

Ce qui donne pour la solution générale de l'ESSM:

  (45)

- Si le discriminant est nul, soit :

L'équation caractéristique possède deux racines complexes conjuguées (cf. chapitre d'Algèbre):

  (46)

Dès lors:

  (47)

Or, si nous cherchons plutôt des solutions réelles, nous pouvons toujours poser A et B égaux tels que:

  (48)

Et si nous posons que le retard, ou l'avance est nulle (), alors nous retrouvons la relation disponible dans la plupart des livres:

  (49)

A' et B' sont donc deux constantes réelles quelconques. Il existe une autre forme importante à cette dernière relation (souvent utilisée en électronique par exemple). Effectivement, Il est possible, pour tout A' et B' réels, de trouver C' et  réels tels que l'égalité suivante est vérifiée:

  (50)

Nous posons:

  (51)

alors:

  (52)

Il est alors possible de trouver  tel que :

  et     (53)

La quantité de départ s'écrit ainsi:

  (54)

Finalement:

  (55)

méthode RÉGULIÈRE DES PERTURBATIONS

Très fréquemment en physique (de pointe), un problème mathématique ne peut pas être résolu de manière exacte. Si la solution est connue il y a parfois une telle dépendance de paramètres que la solution est difficile à utiliser en tant que tel.

Il peut être le cas, cependant, qu'un paramètre identifié, disons  par tradition, tel que la solution est disponible est raisonnablement simple pour .

Le souci ensuite est de savoir comme la solution est altérée pour un  non-nul mais petit quand même. Cette étude est le centre de la théorie des perturbations que nous utilisons par exemple dans le chapitre de relativité générale pour calculer la précession du périhélie de Mercure.

Comme la théorie dans le cadre général est trop complexe par rapport aux objectifs du site, nous nous proposons une approche par l'exemple d'abord avec une simple équation algébrique et ensuite avec ce qui nous intéresse : une E.D.

THÉORIE PERTURBATIVE DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Considérons l'équation polynômiale suivante :

  (56)

Nous savons de par notre étude du chapitre d'analyse fonctionnelle, que cette équation polynômiale admet deux racines qui sont trivialement :

  (57)

Pour  petit, ces racines peuvent être approximées par le premier terme en développement de série de Taylor (cf. chapitre de Suites Et Séries) :

  (58)

La question et de savoir si nous pouvons obtenir les deux relations précédentes sans à priori de connaissances sur la solution exacte de l'équation polynômiale initiale? La réponse est bien évidemment affirmative avec l'aide de la théorie des perturbations.

La technique se base en quatre étapes :

1. Dans la première étape, nous assumons que la solution de l'équation polynômiale est un expression du type série de Taylor en . Nous avons alors :

  (59)

 sont bien évidemment à déterminer.

2. Dans la deuxième étape, nous injectons la solution hypothétique dans notre équation polynômiale :

  (60)

Comme :


  
(61)

et :

  (62)

Il vient finalement que l'équation polynômiale s'écrit :

  (63)

3. Dans la troisième étape nous égalisons successivement les termes avec 0 tel que :

  (64)

4. Quatrième et dernière étape, nous résolvons successivement les équations polynômiales ci-dessus pour obtenir :

  (65)

En injectant ces résultants dans la solution hypothétique :

  (66)

il est évident d'observer que nous retombons sur la solution certaine :

  (67)

THÉORIE PERTURBATIVE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

La théorie des perturbations est aussi souvent utilisée pour résoudre un bon nombre d'équations différentielles. C'est le cas par exemple en mécanique des fluides, en relativité générale ou en physique quantique.

A nouveau, plutôt que de faire une théorie ultra abstraite et générale, voyons le concept sur un exemple tel que précédemment.

Considérons l'équation différentielle suivante :

  (68)

ou autrement écrit :

  (69)

avec les conditions aux limites . La résolution exacte est relativement facile à obtenir. D'abord nous commençons par l'équation homogène :

  (70)

C'est donc une équation différentielle linéaire d'ordre 2 avec des coefficients constants, équation qu'il est relativement aisé de résoudre dans le cas général. Soit l'équation :

  (71)

Supposons que la fonction y qui satisfait cette équation différentielle soit de la forme K peut être un nombre complexe. Nous avons alors :

 ou   (72)

pourvu, bien sûr, que . Cette dernière relation est donc l'équation quadratique auxiliaire de l'équation différentielle (polynôme caractéristique). Elle a deux solutions/racines (c'est une simple résolution d'un polynôme du deuxième degré) que nous noterons dans le cas général : . Ce qui signifie que :

 et   (73)

est satisfait pour les deux racines. Si nous faisons la somme puisque les deux sont égales à la même constante :

  (74)

Ainsi, il est immédiat que la solution générale de l'équation homogène de y est du type :

  (75)

A, B sont bien évidemment des constantes à déterminer. Nous résolvons maintenant le polynôme caractéristique :

  (76)

Il vient immédiatement que :

  (77)

Donc :

  (78)

Maintenant une solution particulière à :

  (79)

est relativement trivialement une solution du type :

  (80)

B est bien évidemment une constante à déterminer et qui vaut simplement une fois injectée dans l'équation différentielle :

  (81)

Soit :

  (82)

D'où finalement la solution générale :

  (83)

Ensuite, avec les conditions initiales  il est très facile de trouver A :

  (84)

et :

  (85)

Il est loisible de choisir .

Donc :

  (86)

Maintenant que nous avons la solution générale, si  est petit nous pouvons prendre le développement d'ordre 4 en série de MacLaurin de l'exponentielle (cf. chapitre de Suites Et Séries). Tel que :

  (87)

Injecté dans y cela donne :

  (88)

Maintenant que nous avons ce développement, ce que nous souhaitons montrer c'est qu'à partir d'un développement perturbatif nous pouvons retrouver le même résultat en série et ce sans aucune connaissance préalable sur la solution.

A nouveau, le développement pour cela ce fait en 4 étapes :

1. Dans la première étape, nous assumons que la solution de l'équation différentielle est un expression du type série de Taylor en . Nous avons alors :

  (89)

 sont bien évidemment à déterminer.

2. Dans la deuxième étape, nous injectons la solution hypothétique dans notre équation différentielle dans celle-ci avec les conditions initiales et nous développons le tout.

D'abord l'équation différentielle :

  (90)

ensuite les conditions initiales :

  (91)

3. Dans la troisième étape nous égalisons successivement les termes avec 0 tel que :

  (92)

4. Dans la quatrième étant nous résolvons les équations différentielles listées précédemment (si vous ne voyez pas comment nous les résolvons n'hésitez pas à nous contacter!) :

  (93)

En injectant ces relations dans la solution supposée développée en série de Taylor et injectée dans l'équation différentielle :

  (94)

Nous retombons sur :

  (95)

SYSTÈMES D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Voyons maintenant des développements qui vont aussi bien être utiles en physique quantique que dans la résolution de systèmes d'équations différentielles (et particulièrement une qui est connue en théorie du chaos!).

Avant cela, il va nous falloir introduire le concept d'exponentialisation d'une matrice:

L'ensemble des matrices  à coefficients dans  noté  est un espace vectoriel pour l'addition des matrices et la multiplication par un scalaire. Nous notons I la matrice identité.

Nous admettrons qu'une suite de matrices  convergent vers une matrice A si et seulement si les suites de coefficients des matrices  convergent vers les coefficients correspondent de A.

Exemple:

Dans  la suite de matrices:

  (96)

converge vers:

  (97)

lorsque.

Si, nous avons vus lors de notre étude des nombres complexes (cf. chapitre sur les Nombres) que la série:

  (98)

converge et sa limite est notée . En fait ici il n'y a aucune difficulté à remplacer x par une matrice A): puisque nous savons (nous l'avons montré lors de notre étude des nombres complexes) que tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme (le corps des nombres complexes est isomorphe au corps des matrices réelles carrées

  (99)

et qu'un nombre complexe au carré est équivalent à mettre sa forme matricielle au carré:

  (100)

Effectivement:

  (101)

Nous définissons alors l'exponentielle d'une matrice  comme la matrice limite de la suite:

  (102)

Si la matrice A est diagonale il est évident que son exponentielle est facile à calculer. En effet, si:

  (103)

Par suite:

  (104)

Or, il apparaît évident qu'une matrice non diagonale va être beaucoup plus compliquée à traiter! Nous allons alors utiliser la technique de diagonalisation soit une réduction des endomorphismes (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire).

Alors, remarquons que si  est inversible et si  alors:

  (105)

Ceci découle du fait que (penser au changement de base d'une application linéaire comme ce qui a été étudié dans le chapitre d'Algèbre Linéaire):

  (106)

Donc:

  (107)

Ce développement va nous permettre de ramener le calcul de l'exponentielle d'une matrice diagonalisable à la recherche de ses valeurs propres et de ses vecteurs propres.

Exemple:

Calculons  où:

  (108)

Les valeurs propres de A sont,  et les vecteurs propres associés sont:

  (109)

Effectivement:

 et   (110)

En posant:

  (111)

Nous avons:

  (112)

avec:

  (113)

Par conséquent:

  (114).

Maintenant, rappelons que dans le cas des nombres réels nous savons que si  alors . Dans le cas des matrices nous pouvons que si  sont deux matrices qui commutent entre-elles c'est-à-dire telles que . Alors .

La condition de commutativité vient au fait que l'addition dans l'exponentielle est elle commutative. La démonstration est donc intuitive.

Un corollaire important de cette proposition est que pour toute matrice,  est inversible. En effet les matrices  et  commutent, par conséquent:

  (115)

Nous rappelons qu'une matrice  à coefficients complexes est unitaire si:

  (116)

La proposition suivante nous servira par la suite.

Montrons que si A est une matrice hermitienne (dite aussi "autoadjointe") (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) alors pour tout ,  est unitaire.

Démonstration:

  (117)

Donc:

  (118)

C.Q.F.D.

Rappelons que cette condition pour une matrice autoadjointe est liée à la définition de groupe unitaire d'ordre n (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste).

Une des premières applications de l'exponentielle de matrices est la résolution des équations différentielles ordinaires. En effet, de l'équation différentielle linéaire ci-dessous avec comme condition initiale  et où A est une matrice :

  (119)

la solution est donnée (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral) par:

  (120)

Nous retrouvons fréquemment ce genre de systèmes d'équations différentielles en biologie (dynamique des populations), en astrophysique (étude des plasmas) ou en mécanique des fluides (théorie du chaos) ainsi que mécanique classique (systèmes couplés), en astronomie (orbites couplées), en électrotechnique, etc.

Exemple:

Supposons que nous ayons le système d'équations différentielles suivant:

  (121)

La matrice associée est alors:

  (122)

et son exponentielle (voir les développement faits plus haut):

  (123)

La solution générale du système est donc:

  (124)

Nous avons donc:

  (125)

Après recherche des constantes nous trouvons:

  (126)

ce qui nous donne finalement:

  (127)






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